ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და წრფივი დამოუკიდებლობა.
ვექტორების საფუძველი. აფინური კოორდინატთა სისტემა

აუდიტორიაში არის ურიკა შოკოლადებით და დღეს ყველა სტუმარი მიიღებს ტკბილ წყვილს - ანალიტიკურ გეომეტრიას ხაზოვანი ალგებრით. ეს სტატია მოიცავს ორ განყოფილებას ერთდროულად. უმაღლესი მათემატიკადა ჩვენ ვნახავთ, როგორ ერწყმიან ისინი ერთ შეფუთვას. დაისვენე, მიირთვით ტვიქსი! ...ჯანდაბა, რა სისულელეა. თუმცა, კარგი, გოლს არ გავიტან, საბოლოო ჯამში, სწავლისადმი დადებითი დამოკიდებულება უნდა გქონდეს.

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება, ხაზოვანი ვექტორული დამოუკიდებლობა, ვექტორული საფუძველიდა სხვა ტერმინები არა მარტო გეომეტრიული ინტერპრეტაცია, მაგრამ, უპირველეს ყოვლისა, ალგებრული მნიშვნელობა. „ვექტორის“ ცნება წრფივი ალგებრის თვალსაზრისით ყოველთვის არ არის ის „ჩვეულებრივი“ ვექტორი, რომლის გამოსახვაც შეგვიძლია სიბრტყეზე ან სივრცეში. თქვენ არ გჭირდებათ შორს ეძებოთ მტკიცებულება, შეეცადეთ დახატოთ ხუთგანზომილებიანი სივრცის ვექტორი . ან ამინდის ვექტორი, რომელიც ახლახანს მივედი Gismeteo-ზე: – ტემპერატურა და ატმოსფერული წნევაშესაბამისად. მაგალითი, რა თქმა უნდა, არასწორია ვექტორული სივრცის თვისებების თვალსაზრისით, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, არავინ კრძალავს ამ პარამეტრების ვექტორად ფორმალიზებას. შემოდგომის სუნთქვა...

არა, არ ვაპირებ მოგწყინოთ თეორიით, წრფივი ვექტორული სივრცეებით, ამოცანაა გაგებაგანმარტებები და თეორემები. ახალი ტერმინები (წრფივი დამოკიდებულება, დამოუკიდებლობა, წრფივი კომბინაცია, საფუძველი და ა.შ.) ვრცელდება ყველა ვექტორზე ალგებრული თვალსაზრისით, მაგრამ მოყვანილი იქნება გეომეტრიული მაგალითები. ამრიგად, ყველაფერი მარტივი, ხელმისაწვდომი და გასაგებია. ამოცანების მიღმა ანალიტიკური გეომეტრიაჩვენ ასევე განვიხილავთ რამდენიმე ტიპურ ალგებრის ამოცანას. მასალის ათვისებისთვის სასურველია გაეცნოთ გაკვეთილებს ვექტორები დუიმებისთვისდა როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი?

სიბრტყის ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა.
სიბრტყის საფუძველი და აფინური კოორდინატთა სისტემა

მოდით განვიხილოთ თქვენი კომპიუტერის მაგიდის სიბრტყე (მხოლოდ მაგიდა, საწოლის მაგიდა, იატაკი, ჭერი, რაც მოგწონთ). დავალება შედგება შემდეგი მოქმედებებისგან:

1) აირჩიეთ თვითმფრინავის საფუძველი. უხეშად რომ ვთქვათ, მაგიდას აქვს სიგრძე და სიგანე, ამიტომ ინტუიციურია, რომ ორი ვექტორი იქნება საჭირო საფუძვლის ასაგებად. ერთი ვექტორი აშკარად არ არის საკმარისი, სამი ვექტორი ძალიან ბევრია.

2) შერჩეული საფუძველზე დააყენეთ კოორდინატთა სისტემა(კოორდინატთა ბადე) მაგიდაზე ყველა ობიექტს კოორდინატების მინიჭება.

არ გაგიკვირდეთ, თავიდან ახსნა-განმარტებები თითებზე იქნება. უფრო მეტიც, შენზე. გთხოვთ განათავსოთ მარცხენა საჩვენებელი თითიმაგიდის კიდეზე ისე, რომ მონიტორს უყურებს. ეს იქნება ვექტორი. ახლა მოათავსეთ პატარა თითი მარჯვენა ხელი მაგიდის კიდეზე იგივენაირად - ისე რომ მონიტორის ეკრანისკენ იყოს მიმართული. ეს იქნება ვექტორი. გაიღიმე, მშვენივრად გამოიყურები! რა შეგვიძლია ვთქვათ ვექტორებზე? მონაცემთა ვექტორები კოლინარული, რაც ნიშნავს ხაზოვანიგამოხატულია ერთმანეთის მეშვეობით:
, კარგად, ან პირიქით: , სად არის რაიმე რიცხვი ნულისაგან განსხვავებული.

ამ მოქმედების სურათი შეგიძლიათ ნახოთ კლასში. ვექტორები დუიმებისთვის, სადაც ავხსენი ვექტორის რიცხვზე გამრავლების წესი.

თქვენი თითები საფუძველს დააყენებს კომპიუტერის მაგიდის სიბრტყეს? Აშკარად არა. კოლინარული ვექტორები მოძრაობენ წინ და უკან გასწვრივ მარტომიმართულება და თვითმფრინავს აქვს სიგრძე და სიგანე.

ასეთ ვექტორებს ე.წ წრფივად დამოკიდებული.

მითითება: სიტყვები "წრფივი", "წრფივი" აღნიშნავს იმ ფაქტს, რომ მათემატიკური განტოლებები და გამონათქვამები არ არის კვადრატები, კუბურები, სხვა ხარისხები, ლოგარითმები, სინუსები და ა.შ. არსებობს მხოლოდ წრფივი (1-ლი ხარისხის) გამონათქვამები და დამოკიდებულებები.

ორი სიბრტყის ვექტორი წრფივად დამოკიდებულითუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი კოლინარულია.

გადააჯვარედინეთ თითები მაგიდაზე ისე, რომ მათ შორის იყოს 0 ან 180 გრადუსის გარდა სხვა კუთხე. ორი სიბრტყის ვექტორიხაზოვანი არადამოკიდებული თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი არ არიან კოლინარული. ასე რომ, საფუძველი მიიღება. არ არის საჭირო უხერხულობა, რომ საფუძველი აღმოჩნდა "დახრილი" სხვადასხვა სიგრძის არაპერპენდიკულარული ვექტორებით. ძალიან მალე დავინახავთ, რომ არა მხოლოდ 90 გრადუსიანი კუთხეა შესაფერისი მისი ასაგებად და არა მხოლოდ თანაბარი სიგრძის ერთეული ვექტორები.

ნებისმიერითვითმფრინავის ვექტორი ერთადერთი გზაგაფართოებულია საფუძვლის მიხედვით:
, სადაც არის რეალური რიცხვები. ნომრებს ეძახიან ვექტორული კოორდინატებიამ საფუძველზე.

იმასაც ამბობენ ვექტორიწარმოდგენილი როგორც ხაზოვანი კომბინაცია საბაზისო ვექტორები. ანუ გამოთქმა ე.წ ვექტორის დაშლასაფუძველზეან ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები.

მაგალითად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ვექტორი იშლება სიბრტყის ორთონორმალური საფუძვლის გასწვრივ, ან შეგვიძლია ვთქვათ, რომ იგი წარმოდგენილია ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

ჩამოვაყალიბოთ საფუძვლის განსაზღვრაფორმალურად: თვითმფრინავის საფუძველიეწოდება წრფივად დამოუკიდებელი (არასწორხაზოვანი) ვექტორების წყვილი, , სადაც ნებისმიერისიბრტყის ვექტორი არის საბაზისო ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

განმარტების არსებითი პუნქტია ვექტორების აღების ფაქტი გარკვეული თანმიმდევრობით. ბაზები - ეს ორი სრულიად განსხვავებული საფუძველია! როგორც ამბობენ, მარცხენა ხელის პატარა თითს მარჯვენა ხელის პატარა თითის ნაცვლად ვერ ჩაანაცვლებ.

ჩვენ გავარკვიეთ საფუძველი, მაგრამ საკმარისი არ არის კოორდინატთა ბადის დაყენება და კოორდინატების მინიჭება კომპიუტერის მაგიდის თითოეულ ელემენტზე. რატომ არ არის საკმარისი? ვექტორები თავისუფალია და ტრიალებს მთელ სიბრტყეში. მაშ, როგორ მიანიჭოთ კოორდინატები მაგიდაზე იმ პატარა ბინძურ ლაქებს, რომლებიც შემორჩა ველური შაბათ-კვირას? საჭიროა ამოსავალი წერტილი. და ასეთი ღირსშესანიშნაობა ყველასთვის ნაცნობი წერტილია - კოორდინატების წარმოშობა. მოდით გავიგოთ კოორდინატთა სისტემა:

დავიწყებ „სკოლის“ სისტემით. უკვე შესავალ გაკვეთილზე ვექტორები დუიმებისთვისმე ხაზგასმით აღვნიშნე რამდენიმე განსხვავება მართკუთხა კოორდინატთა სისტემასა და ორთონორმალურ საფუძველს შორის. აი სტანდარტული სურათი:

როცა საუბრობენ იმაზე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, მაშინ ყველაზე ხშირად ისინი გულისხმობენ საწყისს, კოორდინატულ ღერძებს და მასშტაბებს ღერძების გასწვრივ. სცადეთ საძიებო სისტემაში აკრიფოთ „მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა“ და ნახავთ, რომ ბევრი წყარო გეტყვით მე-5-მე-6 კლასიდან ნაცნობი კოორდინატთა ღერძების შესახებ და სიბრტყეზე წერტილების გამოსახატავად.

მეორე მხრივ, როგორც ჩანს, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა შეიძლება მთლიანად განისაზღვროს ორთონორმალური საფუძვლების მიხედვით. და ეს თითქმის მართალია. ფორმულირება ასეთია:

წარმოშობა, და ორთონორმალურისაფუძველი დგინდება დეკარტის მართკუთხა სიბრტყის კოორდინატთა სისტემა . ანუ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა აუცილებლადგანისაზღვრება ერთი წერტილით და ორი ერთეული ორთოგონალური ვექტორებით. სწორედ ამიტომ ხედავთ ნახატს, რომელიც ზემოთ დავწერე - ში გეომეტრიული პრობლემებიხშირად (მაგრამ არა ყოველთვის) ვექტორები და კოორდინატთა ღერძები შედგენილია.

ვფიქრობ, ყველას ესმის, რომ წერტილის (წარმოშობის) და ორთონორმალური საფუძვლის გამოყენება ნებისმიერი წერტილი თვითმფრინავზე და ნებისმიერი ვექტორი თვითმფრინავშიკოორდინატები შეიძლება დაინიშნოს. ფიგურალურად რომ ვთქვათ, „თვითმფრინავზე ყველაფერი შეიძლება დაინომროს“.

საჭიროა თუ არა კოორდინატთა ვექტორები იყოს ერთეული? არა, მათ შეიძლება ჰქონდეთ თვითნებური არანულოვანი სიგრძე. განვიხილოთ თვითნებური არანულოვანი სიგრძის წერტილი და ორი ორთოგონალური ვექტორი:

ასეთ საფუძველს ე.წ ორთოგონალური. ვექტორებთან კოორდინატების წარმოშობა განისაზღვრება კოორდინატთა ბადით და სიბრტყის ნებისმიერ წერტილს, ნებისმიერ ვექტორს აქვს თავისი კოორდინატები მოცემულ საფუძველზე. მაგალითად, ან. აშკარა უხერხულობა ის არის, რომ კოორდინატის ვექტორები ზოგადადაქვთ განსხვავებული სიგრძე, გარდა ერთიანობისა. თუ სიგრძეები უდრის ერთიანობას, მაშინ მიიღება ჩვეულებრივი ორთონორმალური საფუძველი.

! შენიშვნა : ორთოგონალურ საფუძველში, ისევე როგორც ქვემოთ სიბრტყისა და სივრცის აფინურ ფუძეებში განიხილება ღერძების გასწვრივ ერთეულები. პირობითი. მაგალითად, ერთი ერთეული x-ღერძის გასწვრივ შეიცავს 4 სმ-ს, ერთი ერთეული ორდინატთა ღერძის გასწვრივ შეიცავს 2 სმ-ს.

და მეორე კითხვა, რომელზეც რეალურად უკვე გაცემულია პასუხი, არის თუ არა კუთხე ფუძე ვექტორებს შორის 90 გრადუსის ტოლი? არა! როგორც განმარტება ამბობს, საბაზისო ვექტორები უნდა იყოს მხოლოდ არაკოლინარული. შესაბამისად, კუთხე შეიძლება იყოს ნებისმიერი, გარდა 0 და 180 გრადუსისა.

თვითმფრინავის წერტილი ე.წ წარმოშობა, და არაკოლინარულივექტორები, , კომპლექტი აფინური სიბრტყის კოორდინატთა სისტემა :

ზოგჯერ ასეთ კოორდინატულ სისტემას უწოდებენ ირიბისისტემა. როგორც მაგალითები, ნახაზი აჩვენებს წერტილებს და ვექტორებს:

როგორც გესმით, აფინური კოორდინატთა სისტემა კიდევ უფრო ნაკლებად მოსახერხებელია ვექტორებისა და სეგმენტების სიგრძის ფორმულები, რომლებიც გაკვეთილის მეორე ნაწილში განვიხილეთ, მასში არ მუშაობს; ვექტორები დუიმებისთვის, ბევრი გემრიელი ფორმულა დაკავშირებული ვექტორების სკალარული პროდუქტი. მაგრამ ძალაშია ვექტორების დამატებისა და ვექტორის რიცხვზე გამრავლების წესები, ამ მიმართებაში სეგმენტის გაყოფის ფორმულები, ისევე როგორც სხვა სახის პრობლემები, რომლებსაც მალე განვიხილავთ.

და დასკვნა არის ის, რომ აფინური კოორდინატთა სისტემის ყველაზე მოსახერხებელი სპეციალური შემთხვევაა დეკარტის მართკუთხა სისტემა. ამიტომ ყველაზე ხშირად გიწევს მისი ნახვა, ჩემო ძვირფასო. ...თუმცა, ამ ცხოვრებაში ყველაფერი ფარდობითია - არის მრავალი სიტუაცია, როდესაც ირიბი კუთხე (ან სხვა, მაგალითად, პოლარული) კოორდინატთა სისტემა. და ჰუმანოიდებს შეიძლება მოეწონოთ ასეთი სისტემები =)

გადავიდეთ პრაქტიკულ ნაწილზე. ამ გაკვეთილის ყველა პრობლემა მოქმედებს როგორც მართკუთხა კოორდინატთა სისტემისთვის, ასევე ზოგადი აფინური შემთხვევისთვის. აქ არაფერია რთული;

როგორ განვსაზღვროთ სიბრტყის ვექტორების კოლინარულობა?

ტიპიური რამ. იმისათვის, რომ ორი სიბრტყე ვექტორი იყო კოლინარული, აუცილებელია და საკმარისია მათი შესაბამისი კოორდინატები იყოს პროპორციულიარსებითად, ეს არის აშკარა ურთიერთობის კოორდინატი კოორდინატის დეტალები.

მაგალითი 1

ა) შეამოწმეთ არის თუ არა ვექტორები კოლინარული .
ბ) ვექტორები ქმნიან საფუძველს? ?

გამოსავალი:
ა) გავარკვიოთ არის თუ არა ვექტორებისთვის პროპორციულობის კოეფიციენტი, ისეთი, რომ ტოლობები დაკმაყოფილდეს:

მე აუცილებლად გეტყვით ამ წესის გამოყენების "ფოპიშ" ვერსიაზე, რომელიც საკმაოდ კარგად მუშაობს პრაქტიკაში. იდეა არის დაუყოვნებლივ შეადგინოთ პროპორცია და ნახოთ სწორია თუ არა:

მოდით გავაკეთოთ პროპორცია ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების შეფარდებით:

შევამოკლოთ:
შესაბამისად, შესაბამისი კოორდინატები პროპორციულია, შესაბამისად,

ურთიერთობა შეიძლება საპირისპირო იყოს, ეს არის ექვივალენტური ვარიანტი:

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ის ფაქტი, რომ კოლინარული ვექტორები ერთმანეთის მეშვეობით წრფივად არის გამოხატული. ამ შემთხვევაში თანასწორობა ხდება . მათი ვალიდობა მარტივად შეიძლება დადასტურდეს ვექტორებით ელემენტარული ოპერაციებით:

ბ) ორი სიბრტყის ვექტორი ქმნის საფუძველს, თუ ისინი არ არიან ხაზოვანი (წრფივად დამოუკიდებელი). ჩვენ ვამოწმებთ ვექტორებს კოლინარობისთვის . მოდით შევქმნათ სისტემა:

პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ , მეორე განტოლებიდან გამომდინარეობს რომ , რაც ნიშნავს სისტემა არათანმიმდევრულია(არ არის გადაწყვეტილებები). ამრიგად, ვექტორების შესაბამისი კოორდინატები არ არის პროპორციული.

დასკვნა: ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

გადაწყვეტის გამარტივებული ვერსია ასე გამოიყურება:

ვექტორების შესაბამისი კოორდინატებიდან შევადგინოთ პროპორცია :
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

როგორც წესი, ეს ვარიანტი არ არის უარყოფილი რეცენზენტების მიერ, მაგრამ პრობლემა ჩნდება იმ შემთხვევებში, როდესაც ზოგიერთი კოორდინატი ნულის ტოლია. Ამგვარად: . ან ასე: . ან ასე: . როგორ ვიმუშაოთ აქ პროპორციით? (ნამდვილად, ნულზე ვერ გაყოფთ). სწორედ ამ მიზეზით მე ვუწოდე გამარტივებულ გადაწყვეტას "ფოპიშ".

პასუხი:ა) , ბ) ფორმა.

პატარა შემოქმედებითი მაგალითი ამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება:

მაგალითი 2

პარამეტრის რა მნიშვნელობაზეა ვექტორები იქნება ისინი კოლინარული?

ნიმუშის ხსნარში პარამეტრი გვხვდება პროპორციით.

არსებობს ელეგანტური ალგებრული გზა, რათა შევამოწმოთ ვექტორები კოლინარულობაზე, მოდით, სისტემატიზაცია მოვახდინოთ და დავამატოთ იგი მეხუთე პუნქტად.

ორი სიბრტყის ვექტორისთვის შემდეგი დებულებები ექვივალენტურია:

2) ვექტორები ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები არ არის კოლინარული;

+ 5) ამ ვექტორების კოორდინატებისაგან შემდგარი განმსაზღვრელი არის ნულოვანი.

შესაბამისად, შემდეგი საპირისპირო განცხადებები ექვივალენტურია:
1) ვექტორები წრფივია დამოკიდებული;
2) ვექტორები არ ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები არის კოლინარული;
4) ვექტორები შეიძლება წრფივად გამოისახოს ერთმანეთის მეშვეობით;
+ 5) ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

მე ნამდვილად, ნამდვილად ვიმედოვნებ, რომ ამ დროისთვის უკვე გესმით ყველა ის ტერმინი და განცხადება, რომელსაც წააწყდით.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ახალ, მეხუთე პუნქტს: ორი სიბრტყის ვექტორი კოლინარულია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მოცემული ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია:. ამ ფუნქციის გამოსაყენებლად, რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა შეძლოთ იპოვნეთ განმსაზღვრელი.

გადავწყვიტოთმაგალითი 1 მეორე გზით:

ა) გამოვთვალოთ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი :
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები კოლინარულია.

ბ) ორი სიბრტყის ვექტორი ქმნის საფუძველს, თუ ისინი არ არიან ხაზოვანი (წრფივად დამოუკიდებელი). გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი :
, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

პასუხი:ა) , ბ) ფორმა.

ეს გამოიყურება ბევრად უფრო კომპაქტური და ლამაზი, ვიდრე პროპორციების მქონე ხსნარი.

განხილული მასალის დახმარებით შესაძლებელია ვექტორების არა მხოლოდ კოლინარობის დადგენა, არამედ სეგმენტების და სწორი ხაზების პარალელურობის დამტკიცება. მოდით განვიხილოთ რამდენიმე პრობლემა კონკრეტული გეომეტრიული ფორმების შესახებ.

მაგალითი 3

მოცემულია ოთხკუთხედის წვეროები. დაამტკიცეთ, რომ ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

მტკიცებულება: არ არის საჭირო პრობლემაში ნახატის შექმნა, რადგან გამოსავალი იქნება წმინდა ანალიტიკური. გავიხსენოთ პარალელოგრამის განმარტება:
პარალელოგრამი ოთხკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილებში პარალელურია, ეწოდება.

ამრიგად, აუცილებელია დაამტკიცოს:
1) მოპირდაპირე მხარეების პარალელიზმი და;
2) მოპირდაპირე მხარეთა პარალელიზმი და.

ჩვენ ვამტკიცებთ:

1) იპოვნეთ ვექტორები:

2) იპოვნეთ ვექტორები:

შედეგი არის იგივე ვექტორი („სკოლის მიხედვით“ – თანაბარი ვექტორები). კოლინარულობა საკმაოდ აშკარაა, მაგრამ უმჯობესია გადაწყვეტილების ფორმალიზება მკაფიოდ, შეთანხმებით. გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი:
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები არის კოლინარული და .

დასკვნა: ოთხკუთხედის მოპირდაპირე მხარეები პარალელურია წყვილებში, რაც ნიშნავს, რომ იგი პარალელოგრამია განსაზღვრებით. ქ.ე.დ.

მეტი კარგი და განსხვავებული ფიგურები:

მაგალითი 4

მოცემულია ოთხკუთხედის წვეროები. დაამტკიცეთ, რომ ოთხკუთხედი ტრაპეციაა.

მტკიცებულების უფრო მკაცრი ფორმულირებისთვის, რა თქმა უნდა, უმჯობესია მივიღოთ ტრაპეციის განმარტება, მაგრამ საკმარისია უბრალოდ გავიხსენოთ, როგორ გამოიყურება იგი.

ეს არის ამოცანა, რომელიც თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ დამოუკიდებლად. სრული გადაწყვეტაგაკვეთილის ბოლოს.

ახლა კი დროა ნელა გადავიდეთ თვითმფრინავიდან კოსმოსში:

როგორ განვსაზღვროთ სივრცის ვექტორების კოლინარულობა?

წესი ძალიან ჰგავს. იმისთვის, რომ ორი სივრცის ვექტორი თანასწორხაზოვანი იყოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მათი შესაბამისი კოორდინატები იყოს პროპორციული..

მაგალითი 5

გაარკვიეთ, არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები კოლინარული:

ა) ;
ბ)
V)

გამოსავალი:
ა) შევამოწმოთ არის თუ არა პროპორციულობის კოეფიციენტი ვექტორების შესაბამისი კოორდინატებისთვის:

სისტემას არ აქვს ამონახსნი, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები არ არის კოლინარული.

"გამარტივებული" ფორმალიზდება პროპორციის შემოწმებით. Ამ შემთხვევაში:
- შესაბამისი კოორდინატები არ არის პროპორციული, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები არ არის კოლინარული.

პასუხი:ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ-გ) ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების პუნქტები. სცადეთ ეს ორი გზით.

არსებობს მესამე რიგის განმსაზღვრელი სივრცითი ვექტორების შემოწმების მეთოდი ვექტორთა ნამრავლი.

სიბრტყის შემთხვევის მსგავსად, განხილული ხელსაწყოები შეიძლება გამოყენებულ იქნას სივრცითი სეგმენტების და სწორი ხაზების პარალელურობის შესასწავლად.

მოგესალმებით მეორე განყოფილებაში:

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა სამგანზომილებიან სივრცეში.
სივრცითი საფუძველი და აფინური კოორდინატთა სისტემა

ბევრი ნიმუში, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ თვითმფრინავში, მოქმედი იქნება კოსმოსისთვის. შევეცადე თეორიული შენიშვნები მინიმუმამდე დამეყვანა, რადგან ინფორმაციის ლომის წილი უკვე დაღეჭილია. თუმცა, გირჩევთ, ყურადღებით წაიკითხოთ შესავალი ნაწილი, რადგან გამოჩნდება ახალი ტერმინები და ცნებები.

ახლა, კომპიუტერის მაგიდის სიბრტყის ნაცვლად, ჩვენ ვიკვლევთ სამგანზომილებიან სივრცეს. პირველი, მოდით შევქმნათ მისი საფუძველი. ვიღაც ახლა სახლშია, ვიღაც გარეთ, მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში, ჩვენ ვერ გავექცევით სამ განზომილებას: სიგანეს, სიგრძეს და სიმაღლეს. აქედან გამომდინარე, საფუძვლის ასაგებად დასჭირდება სამი სივრცითი ვექტორები. ერთი-ორი ვექტორი საკმარისი არ არის, მეოთხე ზედმეტია.

და ისევ თითებზე ვთბებით. გთხოვთ ასწიეთ ხელი მაღლა და გაშალეთ სხვადასხვა მხარეები ცერა თითი, საჩვენებელი და შუა თითი. ეს იქნება ვექტორები, ისინი იყურებიან სხვადასხვა მიმართულებით, აქვთ სხვადასხვა სიგრძე და აქვთ სხვადასხვა კუთხე მათ შორის. გილოცავთ, სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი მზად არის! სხვათა შორის, არ არის საჭირო ამის დემონსტრირება მასწავლებლებისთვის, რაც არ უნდა ატრიალოთ თითები, მაგრამ არ არის გაქცევა განმარტებებისგან =)

შემდეგი, დავუსვათ საკუთარ თავს მნიშვნელოვანი კითხვა: ნებისმიერი სამი ვექტორი ქმნის სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს?? გთხოვთ, მტკიცედ დააჭიროთ სამი თითი კომპიუტერის მაგიდის ზედა ნაწილზე. Რა მოხდა? სამი ვექტორი განლაგებულია ერთ სიბრტყეში და, უხეშად რომ ვთქვათ, დავკარგეთ ერთ-ერთი განზომილება - სიმაღლე. ასეთი ვექტორებია თანაპლენარულიდა, სავსებით აშკარაა, რომ სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი არ არის შექმნილი.

უნდა აღინიშნოს, რომ თანაპლენარული ვექტორები არ უნდა იწვნენ ერთ სიბრტყეში, ისინი შეიძლება იყვნენ პარალელურ სიბრტყეში (უბრალოდ არ გააკეთოთ ეს თქვენი თითებით, მხოლოდ სალვადორ დალიმ გააკეთა ეს =)).

განმარტება: ვექტორებს უწოდებენ თანაპლენარული, თუ არის სიბრტყე, რომლის პარალელურია. ლოგიკურია აქ დავამატოთ, რომ თუ ასეთი სიბრტყე არ არსებობს, მაშინ ვექტორები არ იქნება თანაპლენარული.

სამი თანაპლენარული ვექტორი ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული, ანუ წრფივად გამოხატულია ერთმანეთის მეშვეობით. სიმარტივისთვის, კიდევ ერთხელ წარმოვიდგინოთ, რომ ისინი იმავე სიბრტყეში არიან. ჯერ ერთი, ვექტორები არ არის მხოლოდ თანაპლენარული, ისინი ასევე შეიძლება იყოს კოლინარული, შემდეგ ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება იყოს გამოხატული ნებისმიერი ვექტორის საშუალებით. მეორე შემთხვევაში, თუ, მაგალითად, ვექტორები არ არის კოლინარული, მაშინ მესამე ვექტორი გამოიხატება მათ მეშვეობით უნიკალური გზით: (და რატომ არის ადვილი მისახვედრი წინა ნაწილის მასალებიდან).

პირიქითაც მართალია: სამი არათანაბარი ვექტორი ყოველთვის წრფივად დამოუკიდებელია, ანუ ისინი არანაირად არ არიან გამოხატული ერთმანეთის მეშვეობით. და, ცხადია, მხოლოდ ასეთ ვექტორებს შეუძლიათ შექმნან სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი.

განმარტება: სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველიეწოდება წრფივად დამოუკიდებელი (არათანაბარწონიანი) ვექტორების სამმაგი, მიღებული გარკვეული თანმიმდევრობითდა სივრცის ნებისმიერი ვექტორი ერთადერთი გზაიშლება მოცემულ საფუძველზე, სადაც არის ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველში

შეგახსენებთ, რომ ასევე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ვექტორი წარმოდგენილია სახით ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები.

კოორდინატთა სისტემის ცნება შემოღებულია ზუსტად ისე, როგორც სიბრტყის შემთხვევაში საკმარისია ერთი წერტილი და ნებისმიერი სამი წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორი;

წარმოშობა, და არათანაბარივექტორები, მიღებული გარკვეული თანმიმდევრობით, კომპლექტი სამგანზომილებიანი სივრცის აფინური კოორდინატთა სისტემა :

რა თქმა უნდა, კოორდინატთა ბადე არის „დახრილი“ და მოუხერხებელი, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, აგებული კოორდინატთა სისტემა საშუალებას გვაძლევს აუცილებლადგანსაზღვრეთ ნებისმიერი ვექტორის კოორდინატები და სივრცის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები. თვითმფრინავის მსგავსად, ზოგიერთი ფორმულა, რომელიც უკვე აღვნიშნე, არ იმუშავებს სივრცის აფინურ კოორდინატულ სისტემაში.

აფინური კოორდინატთა სისტემის ყველაზე ნაცნობი და მოსახერხებელი სპეციალური შემთხვევა, როგორც ყველა მიხვდება, არის მართკუთხა სივრცის კოორდინატთა სისტემა:

წერტილი სივრცეში ე.წ წარმოშობა, და ორთონორმალურისაფუძველი დგინდება კარტეზიული მართკუთხა სივრცის კოორდინატთა სისტემა . ნაცნობი სურათი:

სანამ პრაქტიკულ ამოცანებზე გადავიდოდეთ, კვლავ მოვახდინოთ ინფორმაციის სისტემატიზაცია:

სამი სივრცის ვექტორისთვის შემდეგი დებულებები ექვივალენტურია:
1) ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია;
2) ვექტორები ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები არ არის თანაპლენარული;
4) ვექტორები არ შეიძლება წრფივად გამოხატული იყოს ერთმანეთის მეშვეობით;
5) განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება ამ ვექტორების კოორდინატებისგან, განსხვავდება ნულისაგან.

ვფიქრობ, საპირისპირო განცხადებები გასაგებია.

სივრცის ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება/დამოუკიდებლობა ტრადიციულად მოწმდება დეტერმინანტის გამოყენებით (პუნქტი 5). დარჩენილი პრაქტიკული ამოცანები იქნება გამოხატული ალგებრული ხასიათის. დროა ჩამოკიდოთ გეომეტრიის ჯოხი და ატაროთ ხაზოვანი ალგებრის ბეისბოლის ჯოხი:

სივრცის სამი ვექტორითანაპლენარულია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მოცემული ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია: .

თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო მცირე ტექნიკურ ნიუანსზე: ვექტორების კოორდინატები შეიძლება ჩაიწეროს არა მხოლოდ სვეტებში, არამედ სტრიქონებშიც (დეტერმინანტის მნიშვნელობა არ შეიცვლება ამის გამო - იხილეთ განმსაზღვრელთა თვისებები). მაგრამ ეს ბევრად უკეთესია სვეტებში, რადგან უფრო მომგებიანია ზოგიერთი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად.

იმ მკითხველს, ვისაც ცოტათი დაავიწყდა დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები, ან შესაძლოა, საერთოდ არ იცოდეს მათ შესახებ, ვურჩევ ჩემს ერთ-ერთ უძველეს გაკვეთილს: როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი?

მაგალითი 6

შეამოწმეთ არის თუ არა შემდეგი ვექტორები სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს:

გამოსავალი: ფაქტობრივად, მთელი ამონახსნი დგება დეტერმინანტის გამოთვლაზე.

ა) გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი (განმსაზღვრელი ვლინდება პირველ სტრიქონში):

, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია (არა თანაპლენარული) და ქმნიან სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს.

უპასუხე: ეს ვექტორები ქმნიან საფუძველს

ბ) ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების პუნქტი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ასევე არსებობს შემოქმედებითი დავალებები:

მაგალითი 7

პარამეტრის რა მნიშვნელობისას იქნება ვექტორები თანაპლენარული?

გამოსავალი: ვექტორები თანაპლენარულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი დეტერმინანტი ნულის ტოლია:

არსებითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება განმსაზღვრელი. ჩვენ ნულებივით ვეშვებით ჟერბოებზე - უმჯობესია განმსაზღვრელი გავხსნათ მეორე ხაზში და დაუყოვნებლივ მოვიშოროთ მინუსები:

ჩვენ ვახორციელებთ შემდგომ გამარტივებებს და ვამცირებთ საკითხს უმარტივესამდე წრფივი განტოლება:

უპასუხე: ზე

ამის შემოწმება ადვილია, თქვენ უნდა შეცვალოთ მიღებული მნიშვნელობა თავდაპირველ განმსაზღვრელში და დარწმუნდეთ, რომ , ისევ გახსნა.

დასასრულს განვიხილავთ კიდევ ერთ ტიპურ პრობლემას, რომელიც უფრო ალგებრული ხასიათისაა და ტრადიციულად შედის ხაზოვანი ალგებრის კურსში. ეს იმდენად გავრცელებულია, რომ იმსახურებს საკუთარ თემას:

დაამტკიცეთ, რომ 3 ვექტორი ქმნის სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს
და იპოვეთ მე-4 ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველზე

მაგალითი 8

მოცემულია ვექტორები. აჩვენეთ, რომ ვექტორები ქმნიან საფუძველს სამგანზომილებიან სივრცეში და იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველში.

გამოსავალი: ჯერ საქმეს მივუდგეთ. პირობით, მოცემულია ოთხი ვექტორი და, როგორც ხედავთ, მათ უკვე აქვთ კოორდინატები გარკვეულ საფუძველზე. რა არის ეს საფუძველი, ჩვენთვის არ არის საინტერესო. და საინტერესოა შემდეგი: სამ ვექტორს შეუძლია შექმნას ახალი საფუძველი. და პირველი ეტაპი მთლიანად ემთხვევა მე-6 მაგალითის ამოხსნას, აუცილებელია შეამოწმოთ არის თუ არა ვექტორები ჭეშმარიტად დამოუკიდებელი;

გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი:

, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს წარმოადგენს.

! Მნიშვნელოვანი : ვექტორული კოორდინატები აუცილებლადჩაწერა სვეტებადგანმსაზღვრელი, არა სიმებიანი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, იქნება დაბნეულობა შემდგომი გადაწყვეტის ალგორითმში.

ვექტორული სისტემა ე.წ წრფივად დამოკიდებული, თუ არის რიცხვები, რომელთა შორის ერთი მაინც განსხვავდება ნულიდან, ისეთი, რომ ტოლობა https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= ">.

თუ ეს თანასწორობა დაკმაყოფილებულია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა, მაშინ ვექტორთა სისტემა ეწოდება წრფივი დამოუკიდებელი.

თეორემა.ვექტორული სისტემა იქნება წრფივად დამოკიდებულითუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ერთ-ერთი ვექტორი მაინც არის სხვების წრფივი კომბინაცია.

მაგალითი 1.მრავალწევრი არის მრავალწევრების წრფივი კომბინაცია https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. მრავალწევრები ქმნიან წრფივად დამოუკიდებელ სისტემას, ვინაიდან პოლინომი https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

მაგალითი 2.მატრიცული სისტემა, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> წრფივად დამოუკიდებელია, ვინაიდან წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვანი მატრიცა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> წრფივად დამოკიდებული.

გამოსავალი.

მოდით გავაკეთოთ ამ ვექტორების ხაზოვანი კომბინაცია https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" სიმაღლე = 22">.

თანაბარი ვექტორების იგივე კოორდინატების გათანაბრება, მივიღებთ https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

ბოლოს მივიღებთ

და

სისტემას აქვს უნიკალური ტრივიალური გადაწყვეტა, ამიტომ ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია ნულის ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია. მაშასადამე, ვექტორთა ეს სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

მაგალითი 4.ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია. როგორი იქნება ვექტორული სისტემები?

ა).;

ბ).?

გამოსავალი.

ა).გავაკეთოთ წრფივი კომბინაცია და გავუტოლოთ ნულს

ვექტორებთან მოქმედებების თვისებების გამოყენებით ხაზოვან სივრცეში, ბოლო ტოლობას ვწერთ ფორმაში

ვინაიდან ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია, კოეფიციენტები at უნდა იყოს ნულის ტოლი, ანუ gif" width="12" height="23 src=">

განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ტრივიალური ამოხსნა .

თანასწორობიდან გამომდინარე (*) შესრულებულია მხოლოდ მაშინ, როდესაც https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – წრფივი დამოუკიდებელი;

ბ).მოდით გავაკეთოთ ტოლობა https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

მსგავსი მსჯელობის გამოყენებით ვიღებთ

განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას გაუსის მეთოდით ვიღებთ

ან

ამ უკანასკნელ სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებები https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. ამრიგად, არსებობს არა- კოეფიციენტების ნულოვანი კომპლექტი, რომლის ტოლობაც არის (**) . ამიტომ ვექტორთა სისტემა - ხაზოვანი დამოკიდებული.

მაგალითი 5ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, ხოლო ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

თანასწორობაში (***) . მართლაც, ზე, სისტემა იქნება ხაზოვანი დამოკიდებული.

ურთიერთობიდან (***) ვიღებთ ან აღვნიშნოთ .

ვიღებთ

პრობლემები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის (კლასში)

1. სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს, წრფივია დამოკიდებული.

2. სისტემა, რომელიც შედგება ერთი ვექტორისგან ა, წრფივად არის დამოკიდებული თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ, a=0.

3. სისტემა, რომელიც შედგება ორი ვექტორისგან, წრფივად არის დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები პროპორციულია (ანუ ერთი მათგანი მიიღება მეორისგან რიცხვზე გამრავლებით).

4. თუ წრფივად დამოკიდებულ სისტემას დაუმატებთ ვექტორს, მიიღებთ წრფივად დამოკიდებულ სისტემას.

5. თუ ვექტორი ამოღებულია წრფივი დამოუკიდებელი სისტემიდან, მაშინ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

6. თუ სისტემა სარის წრფივად დამოუკიდებელი, მაგრამ ვექტორის დამატებისას ხდება წრფივი დამოკიდებული ბ, შემდეგ ვექტორი ბწრფივად გამოხატული სისტემის ვექტორებით ს.

გ).მატრიცების სისტემა , , მეორე რიგის მატრიცების სივრცეში.

10. მოდით ვექტორთა სისტემა ა,ბ,გვექტორული სივრცე წრფივად დამოუკიდებელია. დაამტკიცეთ შემდეგი ვექტორული სისტემების წრფივი დამოუკიდებლობა:

ა).a+ბ, ბ, გ.

ბ).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–თვითნებური ნომერი

გ).a+ბ, ა+გ, ბ+გ.

11. დაე ა,ბ,გ– სამი ვექტორი სიბრტყეზე, საიდანაც შეიძლება სამკუთხედის ჩამოყალიბება. იქნება ეს ვექტორები წრფივად დამოკიდებული?

12. მოცემულია ორი ვექტორი a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). იპოვეთ კიდევ ორი ​​ოთხგანზომილებიანი ვექტორი a3 დაa4ისე რომ სისტემა a1,a2,a3,a4იყო ხაზოვანი დამოუკიდებელი .

განმარტება 1. ვექტორთა სისტემას უწოდებენ წრფივად დამოკიდებულს, თუ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სისტემის დარჩენილი ვექტორების წრფივი კომბინაციით, ხოლო წრფივად დამოუკიდებელი - სხვაგვარად.

განმარტება 1'. ვექტორთა სისტემას უწოდებენ წრფივად დამოკიდებულს, თუ არსებობს რიცხვები თან 1 , თან 2 , …, თან k , ყველა ნულის ტოლი არ არის, ისეთი, რომ მოცემული კოეფიციენტებით ვექტორების წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლია: = , წინააღმდეგ შემთხვევაში სისტემას წრფივად დამოუკიდებელი ეწოდება.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ ეს განმარტებები ექვივალენტურია.

დაკმაყოფილდეს განმარტება 1, ე.ი. სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი უდრის სხვების წრფივ კომბინაციას:

ვექტორთა სისტემის წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლია და ამ კომბინაციის ყველა კოეფიციენტი არ არის ნულის ტოლი, ე.ი. განმარტება 1' დაკმაყოფილებულია.

დაიცავით განმარტება 1'. ვექტორთა სისტემის წრფივი კომბინაცია ტოლია და კომბინაციის ყველა კოეფიციენტი არ არის ნულის ტოლი, მაგალითად, ვექტორის კოეფიციენტები.

ჩვენ წარმოვადგინეთ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი, როგორც სხვების წრფივი კომბინაცია, ე.ი. განმარტება 1 დაკმაყოფილებულია.

განმარტება 2. ერთეული ვექტორი ან ერთეული ვექტორი ეწოდება n-განზომილებიანი ვექტორი, რომელი მე-ე კოორდინატი უდრის ერთს, დანარჩენი კი ნულის ტოლია.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

თეორემა 1. სხვადასხვა ერთეული ვექტორები ნ-განზომილებიანი სივრცე წრფივად დამოუკიდებელია.

მტკიცებულება.დაე, ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია თვითნებური კოეფიციენტებით იყოს ნულოვანი ვექტორის ტოლი.

ამ თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია. ჩვენ მივიღეთ წინააღმდეგობა.

თითოეული ვექტორი ნ- განზომილებიანი სივრცე ā (ა 1 , ა 2 , ..., აო) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ერთეული ვექტორების წრფივი კომბინაცია, ვექტორული კოორდინატების ტოლი კოეფიციენტებით

თეორემა 2. თუ ვექტორთა სისტემა შეიცავს ნულოვან ვექტორს, მაშინ ის წრფივია დამოკიდებული.

მტკიცებულება.მოდით იყოს მოცემული ვექტორთა სისტემა და ერთ-ერთი ვექტორი არის ნული, მაგალითად = . შემდეგ, ამ სისტემის ვექტორებით, შეგიძლიათ გააკეთოთ წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლი და ყველა კოეფიციენტი არ იქნება ნული:

ამრიგად, სისტემა ხაზოვანია დამოკიდებული.

თეორემა 3. თუ ვექტორთა სისტემის ზოგიერთი ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

მტკიცებულება.მოცემულია ვექტორების სისტემა. დავუშვათ, რომ სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, ე.ი. არის ნომრები თან 1 , თან 2 , …, თან რ , ყველა ნულის ტოლი არ არის, ისეთი რომ = .მერე

აღმოჩნდა, რომ მთელი სისტემის ვექტორების წრფივი კომბინაცია უდრის , და ამ კომბინაციის ყველა კოეფიციენტი არ არის ნულის ტოლი. შესაბამისად, ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

შედეგი.თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ მისი რომელიმე ქვესისტემა ასევე წრფივად დამოუკიდებელია.

მტკიცებულება.

დავუშვათ პირიქით, ე.ი. ზოგიერთი ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. ჩვენ წინააღმდეგობამდე მივედით.

თეორემა 4 (შტეინიცის თეორემა).თუ თითოეული ვექტორი არის ვექტორების წრფივი კომბინაცია და მ>ნ, მაშინ ვექტორთა სისტემა წრფივია დამოკიდებული.

შედეგი. n-განზომილებიანი ვექტორების ნებისმიერ სისტემაში არ შეიძლება იყოს n-ზე მეტი წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორები.

მტკიცებულება.ყოველი ნ-განზომილებიანი ვექტორი გამოიხატება როგორც n ერთეული ვექტორის წრფივი კომბინაცია. ამიტომ, თუ სისტემა შეიცავს მვექტორები და მ>ნ, მაშინ, თეორემის მიხედვით, ეს სისტემა წრფივია დამოკიდებული.

ფორმის გამოხატვა დაურეკა ვექტორების წრფივი კომბინაცია A 1, A 2,...,A nშანსებით λ 1, λ 2 ,...,λ n.

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულების განსაზღვრა

ვექტორული სისტემა A 1, A 2,...,A nდაურეკა წრფივად დამოკიდებული, თუ არსებობს რიცხვების არანულოვანი ნაკრები λ 1, λ 2 ,...,λ n, რომელშიც ვექტორთა წრფივი კომბინაცია λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nნულოვანი ვექტორის ტოლიაანუ განტოლებათა სისტემა: აქვს არანულოვანი გამოსავალი.
ნომრების ნაკრები λ 1, λ 2 ,...,λ n ნულოვანია, თუ რიცხვებიდან ერთი მაინც λ 1, λ 2 ,...,λ n განსხვავდება ნულიდან.

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოუკიდებლობის განსაზღვრა

ვექტორული სისტემა A 1, A 2,...,A nდაურეკა წრფივი დამოუკიდებელითუ ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nნულოვანი ვექტორის ტოლია მხოლოდ რიცხვთა ნულოვანი ნაკრებისთვის λ 1, λ 2 ,...,λ n ანუ განტოლებათა სისტემა: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θაქვს უნიკალური ნულოვანი გადაწყვეტა.

მაგალითი 29.1

შეამოწმეთ არის თუ არა ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული

გამოსავალი:

1. ჩვენ ვადგენთ განტოლებათა სისტემას:

2. ჩვენ ვხსნით გაუსის მეთოდით. სისტემის ჟორდანანოს გარდაქმნები მოცემულია ცხრილში 29.1. გაანგარიშებისას სისტემის მარჯვენა მხარეები არ იწერება, რადგან ისინი ნულის ტოლია და არ იცვლება იორდანიის გარდაქმნების დროს.

3. ცხრილის ბოლო სამი რიგიდან ჩამოწერეთ გადაწყვეტილი სისტემა, რომელიც ექვივალენტურია ორიგინალისისტემა:

4. ვიღებთ საერთო გადაწყვეტილებასისტემები:

5. თქვენი შეხედულებისამებრ დააყენეთ უფასო ცვლადის მნიშვნელობა x 3 =1, ვიღებთ კონკრეტულ არანულოვან ამონახსანს X=(-3,2,1).

პასუხი: ამგვარად, რიცხვების არანულოვანი სიმრავლისთვის (-3,2,1) ვექტორთა წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვანი ვექტორის -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. აქედან გამომდინარე, ვექტორული სისტემა წრფივად დამოკიდებული.

ვექტორული სისტემების თვისებები

ქონება (1)
თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ვექტორებიდან ერთი მაინც გაფართოვდება სხვების მიხედვით და, პირიქით, თუ სისტემის ვექტორებიდან ერთი მაინც გაფართოვებულია სხვების მიხედვით, მაშინ ვექტორთა სისტემა წრფივია დამოკიდებული.

ქონება (2)
თუ ვექტორების რომელიმე ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

ქონება (3)
თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ მისი რომელიმე ქვესისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

ქონება (4)
ვექტორთა ნებისმიერი სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს, წრფივია დამოკიდებული.

ქონება (5)
m-განზომილებიანი ვექტორების სისტემა ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული, თუ ვექტორების რაოდენობა n მეტია მათ განზომილებაში (n>m).

ვექტორული სისტემის საფუძველი

ვექტორული სისტემის საფუძველი A 1 , A 2 ,..., A n ასეთ ქვესისტემას B 1 , B 2 ,...,B r ეწოდება(თითოეული ვექტორი B 1,B 2,...,B r არის ერთ-ერთი ვექტორი A 1, A 2,..., A n), რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rვექტორთა წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა;
2. ნებისმიერი ვექტორია ჯ სისტემა A 1 , A 2 ,..., A n წრფივად გამოიხატება B 1 , B 2 ,..., B r ვექტორების მეშვეობით

რ— საფუძველში შემავალი ვექტორების რაოდენობა.

თეორემა 29.1 ვექტორთა სისტემის ერთეულის საფუძველზე.

თუ m განზომილებიანი ვექტორების სისტემა შეიცავს m სხვადასხვა ერთეულ ვექტორებს E 1 E 2 ,..., E m , მაშინ ისინი ქმნიან სისტემის საფუძველს.

ვექტორთა სისტემის საფუძვლის პოვნის ალგორითმი

A 1 ,A 2 ,...,A n ვექტორების სისტემის საფუძვლის მოსაძებნად საჭიროა:

• შექმენით შესაბამისი ვექტორული სისტემა ერთგვაროვანი სისტემაგანტოლებები A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• მოიტანე ეს სისტემა

ხაზოვანი დამოკიდებულება და ვექტორული დამოუკიდებლობა

წრფივად დამოკიდებული და დამოუკიდებელი ვექტორული სისტემების განმარტებები

განმარტება 22

მოდით, გვქონდეს n-ვექტორების სისტემა და რიცხვთა სიმრავლე
, მაშინ

(11)

ეწოდება ვექტორთა მოცემული სისტემის წრფივ კომბინაციას მოცემული კოეფიციენტების სიმრავლით.

განმარტება 23

ვექტორული სისტემა
ეწოდება წრფივად დამოკიდებული, თუ არსებობს კოეფიციენტების ასეთი ნაკრები
, რომელთაგან ერთი მაინც არ არის ნულის ტოლი, რომ ვექტორების მოცემული სისტემის წრფივი კომბინაცია კოეფიციენტების ამ სიმრავლით უდრის ნულოვანი ვექტორის:

დაე
, მაშინ

განმარტება 24 (სისტემის ერთი ვექტორის, როგორც სხვათა წრფივი კომბინაციის წარმოდგენის მეშვეობით)

ვექტორული სისტემა
ეწოდება წრფივად დამოკიდებული, თუ ამ სისტემის ვექტორებიდან ერთი მაინც შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ამ სისტემის დარჩენილი ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

განცხადება 3

23 და 24 განმარტებები ექვივალენტურია.

განმარტება 25(ნულოვანი ხაზოვანი კომბინაციის საშუალებით)

ვექტორული სისტემა
ეწოდება წრფივად დამოუკიდებელი, თუ ამ სისტემის ნულოვანი წრფივი კომბინაცია შესაძლებელია მხოლოდ ყველასთვის
ნულის ტოლი.

განმარტება 26(სისტემის ერთი ვექტორის სხვათა წრფივი კომბინაციის სახით წარმოდგენის შეუძლებლობის გამო)

ვექტორული სისტემა
ეწოდება წრფივად დამოუკიდებელი, თუ ამ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ამ სისტემის სხვა ვექტორების წრფივ კომბინაციად.

წრფივად დამოკიდებული და დამოუკიდებელი ვექტორული სისტემების თვისებები

თეორემა 2 (ნულოვანი ვექტორი ვექტორთა სისტემაში)

თუ ვექტორთა სისტემას აქვს ნულოვანი ვექტორი, მაშინ სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

 მოდით
, მაშინ .

ვიღებთ
მაშასადამე, ნულოვანი წრფივი კომბინაციის მეშვეობით ვექტორთა წრფივად დამოკიდებული სისტემის განმარტებით (12) სისტემა ხაზოვანია დამოკიდებული. 

თეორემა 3 (დამოკიდებული ქვესისტემა ვექტორულ სისტემაში)

თუ ვექტორთა სისტემას აქვს წრფივად დამოკიდებული ქვესისტემა, მაშინ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

 მოდით
- წრფივად დამოკიდებული ქვესისტემა
, რომელთა შორის ერთი მაინც არ არის ნულის ტოლი:

ეს ნიშნავს, რომ 23-ე განსაზღვრებით, სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. 

თეორემა 4

წრფივი დამოუკიდებელი სისტემის ნებისმიერი ქვესისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

 პირიქით. დაე, სისტემა იყოს წრფივად დამოუკიდებელი და ჰქონდეს წრფივად დამოკიდებული ქვესისტემა. მაგრამ შემდეგ, თეორემა 3-ის თანახმად, მთელი სისტემა ასევე იქნება ხაზოვანი დამოკიდებული. წინააღმდეგობა. შესაბამისად, წრფივი დამოუკიდებელი სისტემის ქვესისტემა არ შეიძლება იყოს წრფივად დამოკიდებული. 

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულებისა და დამოუკიდებლობის გეომეტრიული მნიშვნელობა

თეორემა 5

ორი ვექტორი და არიან წრფივი დამოკიდებულები თუ და მხოლოდ თუ
.

 აუცილებლობა.

და - ხაზოვანი დამოკიდებული
რომ პირობა დაკმაყოფილებულია
. მერე
, ე.ი.
.

ადეკვატურობა.

ხაზობრივად დამოკიდებული. 

დასკვნა 5.1

ნულოვანი ვექტორი კოლინარულია ნებისმიერი ვექტორის მიმართ

დასკვნა 5.2

იმისათვის, რომ ორი ვექტორი იყოს წრფივად დამოუკიდებელი, აუცილებელია და საკმარისია არ იყო კოლინარული .

თეორემა 6

იმისათვის, რომ სამი ვექტორისგან შემდგარი სისტემა იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ეს ვექტორები იყოს თანაპლენარული. .

 აუცილებლობა.

- წრფივად არიან დამოკიდებულნი, შესაბამისად, ერთი ვექტორი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც დანარჩენი ორის წრფივი კომბინაცია.

, (13)

სად
და
. პარალელოგრამის წესის მიხედვით არის პარალელოგრამის დიაგონალი გვერდებით
, მაგრამ პარალელოგრამი ბრტყელი ფიგურაა
თანაპლენარული
- ასევე თანაპლენარულია.

ადეკვატურობა.

- თანაპლენარული. გამოვიყენოთ სამი ვექტორი O წერტილზე:

C

ბ`

– წრფივად დამოკიდებული 

დასკვნა 6.1

ნულოვანი ვექტორი თანაპლენარულია ნებისმიერი წყვილი ვექტორისთვის.

დასკვნა 6.2

იმისათვის, რომ ვექტორები
იყვნენ წრფივად დამოუკიდებლები, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ისინი არ იყვნენ თანაპლენარული.

დასკვნა 6.3

სიბრტყის ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ერთი და იგივე სიბრტყის ნებისმიერი ორი არაწრფივი ვექტორის წრფივი კომბინაცია.

თეორემა 7

ნებისმიერი ოთხი ვექტორი სივრცეში წრფივად არის დამოკიდებული .

 განვიხილოთ 4 შემთხვევა:

მოდით დავხატოთ სიბრტყე ვექტორებში, შემდეგ სიბრტყე ვექტორებში და სიბრტყე ვექტორებში. შემდეგ ვხატავთ D წერტილში გამავალ სიბრტყეებს, ვექტორების წყვილების პარალელურად; ; შესაბამისად. ჩვენ ვაშენებთ პარალელეპიპედს სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზების გასწვრივ ო.ბ. 1 დ 1 C 1 ABDC.

განვიხილოთ ო.ბ. 1 დ 1 C 1 – პარალელოგრამი კონსტრუქციით პარალელოგრამის წესის მიხედვით
.

განვიხილოთ OADD 1 - პარალელოგრამი (პარალელეპიპედის თვისებიდან)
, მაშინ

EMBED განტოლება.3.

თეორემა 1-ით
ისეთივე როგორც . მერე
, და განმარტებით 24 ვექტორთა სისტემა წრფივია დამოკიდებული. 

დასკვნა 7.1

სივრცეში სამი არათანაბარი ვექტორის ჯამი არის ვექტორი, რომელიც ემთხვევა ამ სამ ვექტორზე აგებული პარალელეპიპედის დიაგონალს, რომელიც გამოიყენება საერთო საწყისზე და ჯამის ვექტორის საწყისი ემთხვევა ამ სამი ვექტორის საერთო საწყისს.

დასკვნა 7.2

თუ სივრცეში ავიღებთ 3 არათანაბლანურ ვექტორს, მაშინ ამ სივრცის ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება დაიშალოს ამ სამი ვექტორის წრფივ კომბინაციაში.