Ზღაპრები

ვექტორის სიგრძის ფორმულა. ვექტორის სიგრძის პოვნა კოორდინატებიდან. სივრცითი ამოცანების ვექტორული კოორდინატების განსაზღვრის ფორმულა

ვიპოვოთ ვექტორის სიგრძე მისი კოორდინატებიდან (მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში), ვექტორის საწყისი და ბოლო წერტილების კოორდინატებიდან და კოსინუსების თეორემიდან (მოცემულია 2 ვექტორი და მათ შორის კუთხე).

ვექტორი არის მიმართული სწორი სეგმენტი.ამ სეგმენტის სიგრძე განსაზღვრავს ვექტორის რიცხვით მნიშვნელობას და ე.წვექტორის სიგრძე ან ვექტორის მოდული.

1. ვექტორის სიგრძის გამოთვლა მისი კოორდინატებიდან

თუ ვექტორული კოორდინატები მოცემულია ბრტყელ (ორგანზომილებიან) მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, ე.ი. x და y ცნობილია, შემდეგ ვექტორის სიგრძე შეიძლება ვიპოვოთ ფორმულის გამოყენებით

სივრცეში ვექტორის შემთხვევაში ემატება მესამე კოორდინატი

MS EXCEL-ის გამოხატულებაში =ROOT(SUMKV(B8:B9))საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ვექტორის მოდული (ვარაუდობენ, რომ ვექტორის კოორდინატორები შეყვანილია უჯრედებში B8:B9, იხილეთ ფაილის მაგალითი).

SUMMQ() ფუნქცია აბრუნებს არგუმენტების კვადრატების ჯამს, ე.ი. ამ შემთხვევაში იგი უდრის ფორმულას =B8*B8+B9*B9.

მაგალითის ფაილი ასევე ითვლის ვექტორის სიგრძეს სივრცეში.

ალტერნატიული ფორმულა არის =ROOT(SUMPRODUCT(B8:B9,B8:B9)).

2. ვექტორის სიგრძის პოვნა წერტილების კოორდინატების მეშვეობით

თუ ვექტორი მოცემულია მისი საწყისი და დასასრული წერტილების კოორდინატებით, მაშინ ფორმულა განსხვავებული იქნება =ROOT(SUMVARE(C28:C29,B28:B29))

ფორმულა ვარაუდობს, რომ საწყისი და დასასრული წერტილების კოორდინატები შეყვანილია დიაპაზონში C28:C29 და B28: B29 შესაბამისად.

ფუნქცია SUMMQDIFFERENCE() inაბრუნებს შესაბამისი მნიშვნელობების კვადრატული განსხვავებების ჯამს ორ მასივში.

არსებითად, ფორმულა ჯერ ითვლის ვექტორის კოორდინატებს (სხვაობა წერტილების შესაბამის კოორდინატებს შორის), შემდეგ ითვლის მათი კვადრატების ჯამს.

3. ვექტორის სიგრძის პოვნა კოსინუსების თეორემის გამოყენებით

თუ თქვენ გჭირდებათ ვექტორის სიგრძის პოვნა კოსინუსების თეორემის გამოყენებით, მაშინ ჩვეულებრივ მოცემულია 2 ვექტორი (მათი მოდულები და მათ შორის კუთხე).

ვიპოვოთ c ვექტორის სიგრძე ფორმულის გამოყენებით =ROOT(SUM(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

უჯრედებში B43: B43 შეიცავს a და b ვექტორების სიგრძეებს და უჯრედს B45 - მათ შორის კუთხე რადიანებში (PI() წილადებში).

თუ კუთხე მითითებულია გრადუსებში, ფორმულა ოდნავ განსხვავებული იქნება =ROOT(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*PI()/180))

შენიშვნა: სიცხადისთვის, კუთხის მნიშვნელობის მქონე უჯრედში გრადუსებში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ, იხილეთ, მაგალითად, სტატია

ოქსი

შესახებ ა OA.

, სად OA .

ამრიგად, .

მოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი.

გამოსავალი.

პასუხი:

ოქსიზიკოსმოსში.

ა OAდიაგონალი იქნება.

ამ შემთხვევაში (მას შემდეგ, რაც OA OA .

ამრიგად, ვექტორის სიგრძე .

მაგალითი.

ვექტორის სიგრძის გამოთვლა

გამოსავალი.

, შესაბამისად,

პასუხი:

სწორი ხაზი თვითმფრინავზე

ზოგადი განტოლება

Ax + By + C (> 0).

ვექტორი = (A; B)ნორმალური ვექტორია.

ვექტორული ფორმით: + C = 0, სად არის წრფეზე თვითნებური წერტილის რადიუსის ვექტორი (სურ. 4.11).

განსაკუთრებული შემთხვევები:

1) + C = 0-ით- სწორი ხაზი ღერძის პარალელურად ოქსი;

2) Ax + C = 0- სწორი ხაზი ღერძის პარალელურად ოი;

3) Ax + By = 0- სწორი ხაზი გადის საწყისზე;

4) y = 0- ღერძი ოქსი;

5) x = 0- ღერძი ოი.

წრფის განტოლება მონაკვეთებში

სად ა, ბ- სწორი ხაზით მოწყვეტილი სეგმენტების მნიშვნელობები კოორდინატთა ღერძებზე.

წრფის ნორმალური განტოლება(ნახ. 4.11)

სად არის ჩამოყალიბებული კუთხე წრფისა და ღერძის ნორმალურად ოქსი; გვ- მანძილი საწყისიდან სწორ ხაზამდე.

შემოტანა ზოგადი განტოლებაპირდაპირ ნორმალურ ფორმაში:

აქ არის ხაზის ნორმალიზებული ფაქტორი; ნიშანი არჩეულია ნიშნის საპირისპიროდ C, თუ და თვითნებურად, თუ C=0.

ვექტორის სიგრძის პოვნა კოორდინატებიდან.

ვექტორის სიგრძეს აღვნიშნავთ . ამ აღნიშვნის გამო, ვექტორის სიგრძეს ხშირად ვექტორის მოდულს უწოდებენ.

დავიწყოთ სიბრტყეზე ვექტორის სიგრძის ვიპოვით კოორდინატების გამოყენებით.

მოდით შემოვიტანოთ მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე ოქსი. დაე მასში მითითებული იყოს ვექტორი და ჰქონდეს კოორდინატები. ვიღებთ ფორმულას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ვექტორის სიგრძე კოორდინატების და .

მოდით გადავდოთ კოორდინატების წარმოშობიდან (პუნქტიდან შესახებ) ვექტორი . ავღნიშნოთ წერტილის პროგნოზები აკოორდინატთა ღერძებზე როგორც და შესაბამისად და განიხილეთ მართკუთხედი დიაგონალით OA.

პითაგორას თეორემის ძალით, თანასწორობა , სად . მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ვექტორული კოორდინატების განსაზღვრებიდან შეგვიძლია განვაცხადოთ, რომ და და კონსტრუქციით სიგრძე OAვექტორის სიგრძის ტოლია, შესაბამისად, .

ამრიგად, ვექტორის სიგრძის პოვნის ფორმულამისი კოორდინატების მიხედვით თვითმფრინავს აქვს ფორმა .

თუ ვექტორი წარმოდგენილია კოორდინატ ვექტორებში დაშლის სახით , შემდეგ მისი სიგრძე გამოითვლება იგივე ფორმულით , ვინაიდან ამ შემთხვევაში კოეფიციენტები და არის ვექტორის კოორდინატები მოცემულ კოორდინატულ სისტემაში.

მოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი.

იპოვეთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში მოცემული ვექტორის სიგრძე.

გამოსავალი.

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიყენებთ ფორმულას, რომ ვიპოვოთ ვექტორის სიგრძე კოორდინატებიდან :

პასუხი:

ახლა ჩვენ ვიღებთ ვექტორის სიგრძის ფორმულას მისი კოორდინატებით მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ოქსიზიკოსმოსში.

მოდით გამოვსახოთ ვექტორი საწყისიდან და აღვნიშნოთ წერტილის პროგნოზები აკოორდინატთა ღერძებზე როგორც და . შემდეგ შეგვიძლია გვერდებზე ავაშენოთ მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომელშიც OAდიაგონალი იქნება.

ამ შემთხვევაში (მას შემდეგ, რაც OA– მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალი), საიდანაც . ვექტორის კოორდინატების განსაზღვრა საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ტოლობები და სიგრძე OAუდრის სასურველი ვექტორის სიგრძეს, შესაბამისად, .

ამრიგად, ვექტორის სიგრძე სივრცეში უდრის მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამის კვადრატულ ფესვს, ანუ ნაპოვნი ფორმულით .

მაგალითი.

ვექტორის სიგრძის გამოთვლა , სადაც არის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ერთეული ვექტორები.

გამოსავალი.

ჩვენ გვეძლევა ვექტორის დაშლა ფორმის კოორდინატ ვექტორებად , შესაბამისად, . შემდეგ, კოორდინატებიდან ვექტორის სიგრძის პოვნის ფორმულის გამოყენებით, გვაქვს .

აბსცისა და ორდინატთა ღერძი ეწოდება კოორდინატები ვექტორი. ვექტორული კოორდინატები ჩვეულებრივ მითითებულია ფორმაში (x, y), და თავად ვექტორი, როგორც: =(x, y).

ორგანზომილებიანი ამოცანების ვექტორული კოორდინატების განსაზღვრის ფორმულა.

ორგანზომილებიანი ამოცანის შემთხვევაში ვექტორი ცნობილი წერტილების კოორდინატები A(x 1;y 1)და B(x 2 ; წ 2 ) შეიძლება გამოითვალოს:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

სივრცითი ამოცანების ვექტორული კოორდინატების განსაზღვრის ფორმულა.

სივრცითი პრობლემის შემთხვევაში ვექტორი ცნობილი წერტილების კოორდინატებია (x 1;y 1;ზ 1 ) და ბ (x 2 ; წ 2 ; ზ 2 ) შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

= (x 2 - x 1 ; წ 2 - წ 1 ; ზ 2 - ზ 1 ).

კოორდინატები იძლევა ვექტორის ყოვლისმომცველ აღწერას, ვინაიდან შესაძლებელია თავად ვექტორის აგება კოორდინატების გამოყენებით. იცის კოორდინატები, ადვილია გამოთვლა და ვექტორის სიგრძე. (საკუთრება 3 ქვემოთ).

ვექტორული კოორდინატების თვისებები.

1. ნებისმიერი თანაბარი ვექტორებიერთ კოორდინატულ სისტემაში აქვს თანაბარი კოორდინატები.

2. კოორდინატები კოლინარული ვექტორებიპროპორციული. იმ პირობით, რომ არცერთი ვექტორი არ არის ნული.

3. ნებისმიერი ვექტორის სიგრძის კვადრატი მისი კვადრატების ჯამის ტოლია კოორდინატები.

4.ოპერაციის დროს ვექტორული გამრავლება on ნამდვილი რიცხვიმისი თითოეული კოორდინატი მრავლდება ამ რიცხვზე.

5. ვექტორების შეკრებისას ვიანგარიშებთ შესაბამისის ჯამს ვექტორული კოორდინატები.

6. სკალარული პროდუქტიორი ვექტორი უდრის მათი შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების ჯამს.

a → ვექტორის სიგრძე აღინიშნა →-ით. ეს აღნიშვნა რიცხვის მოდულის მსგავსია, ამიტომ ვექტორის სიგრძეს ვექტორის მოდულსაც უწოდებენ.

სიბრტყეზე ვექტორის სიგრძის საპოვნელად მისი კოორდინატებიდან, აუცილებელია განიხილოს მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა O x y. მასში მითითებული იყოს a → ვექტორი a x კოორდინატებით; აი. შემოვიღოთ a → ვექტორის სიგრძის (მოდულის) საპოვნელად ფორმულა a x და a y კოორდინატების მეშვეობით.

გამოვსახოთ ვექტორი O A → = a → საწყისიდან. განვსაზღვროთ A წერტილის შესაბამისი პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე, როგორც A x და A y. ახლა განვიხილოთ მართკუთხედი O A x A A y დიაგონალით O A .

პითაგორას თეორემიდან გამომდინარეობს ტოლობა O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , საიდანაც O A = O A x 2 + O A y 2 . მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში ვექტორული კოორდინატების უკვე ცნობილი განსაზღვრებიდან ვიღებთ, რომ O A x 2 = a x 2 და O A y 2 = a y 2 , ხოლო აგებულებით, O A-ს სიგრძე უდრის ვექტორის O A → სიგრძეს. , რაც ნიშნავს O A → = O A x 2 + O A y 2.

აქედან გამოდის, რომ ვექტორის სიგრძის პოვნის ფორმულა a → = a x; a y-ს აქვს შესაბამისი ფორმა: a → = a x 2 + a y 2 .

თუ ვექტორი a → მოცემულია გაფართოების სახით a → = a x i → + a y j → ვექტორებში, მაშინ მისი სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს იგივე ფორმულით a → = a x 2 + a y 2, ამ შემთხვევაში კოეფიციენტები a x. და a y არის როგორც a → ვექტორის კოორდინატები მოცემულ კოორდინატულ სისტემაში.

მაგალითი 1

გამოთვალეთ ვექტორის სიგრძე a → = 7 ; e, მითითებულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში.

გამოსავალი

ვექტორის სიგრძის საპოვნელად გამოვიყენებთ ფორმულას ვექტორის სიგრძის საპოვნელად a → = a x 2 + a y 2 კოორდინატებიდან: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

პასუხი: a → = 49 + e.

ვექტორის სიგრძის პოვნის ფორმულა a → = a x; a y; z მისი კოორდინატებიდან დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში Oxyz სივრცეში, მიღებულია სიბრტყეზე შემთხვევის ფორმულის მსგავსად (იხ. სურათი ქვემოთ)

ამ შემთხვევაში, O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (რადგან OA არის მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალი), შესაბამისად O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . ვექტორული კოორდინატების განსაზღვრებიდან შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი ტოლობები O A x = a x; O A y = a y; O A z = a z; , და სიგრძე OA უდრის იმ ვექტორის სიგრძეს, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ, შესაბამისად, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

აქედან გამომდინარეობს, რომ a → = a x ვექტორის სიგრძე; a y; a z უდრის a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

მაგალითი 2

გამოთვალეთ ვექტორის სიგრძე a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , სადაც i → , j → , k → არის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ერთეული ვექტორები.

გამოსავალი

მოცემულია ვექტორის დაშლა a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k →, მისი კოორდინატებია a → = 4, - 3, 5. ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.

პასუხი: a → = 5 2 .

ვექტორის სიგრძე მისი საწყისი და დასასრული წერტილების კოორდინატებით

ზემოთ მოყვანილი იქნა ფორმულები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ვექტორის სიგრძე მისი კოორდინატებიდან. ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევები თვითმფრინავზე და სამგანზომილებიან სივრცეში. გამოვიყენოთ ისინი ვექტორის კოორდინატების საპოვნელად მისი საწყისი და ბოლო წერტილების კოორდინატებიდან.

ასე რომ, მოცემულია წერტილები მოცემული კოორდინატებით A (a x ; a y) და B (b x ; b y), ამიტომ ვექტორს A B → აქვს კოორდინატები (b x - a x ; b y - a y), რაც ნიშნავს, რომ მისი სიგრძე შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით: A B. → = ( b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

და თუ წერტილები მოცემული კოორდინატებით A (a x ; a y ; a z) და B (b x ; b y ; b z) მოცემულია სამგანზომილებიან სივრცეში, მაშინ A B → ვექტორის სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით.

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

მაგალითი 3

იპოვეთ A B ვექტორის სიგრძე → თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში A 1, 3, B - 3, 1.

გამოსავალი

სიბრტყეზე საწყისი და დასასრული წერტილების კოორდინატებიდან ვექტორის სიგრძის პოვნის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1). ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

მეორე გამოსავალი მოიცავს ამ ფორმულების რიგრიგობით გამოყენებას: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

პასუხი: A B → = 20 - 2 3 .

მაგალითი 4

დაადგინეთ რა მნიშვნელობებზეა ვექტორის სიგრძე A B → უდრის 30-ს, თუ A (0, 1, 2); B (5 , 2 , λ 2) .

გამოსავალი

ჯერ დავწეროთ A B → ვექტორის სიგრძე ფორმულის გამოყენებით: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

შემდეგ მიღებული გამოსახულებას ვატოლებთ 30-ს, აქედან ვპოულობთ საჭირო λ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 და λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.

პასუხი: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

ვექტორის სიგრძის პოვნა კოსინუსების თეორემის გამოყენებით

სამწუხაროდ, პრობლემებში ვექტორის კოორდინატები ყოველთვის არ არის ცნობილი, ამიტომ განვიხილავთ ვექტორის სიგრძის პოვნის სხვა გზებს.

ორი ვექტორის სიგრძე A B → , A C → და მათ შორის კუთხე (ან კუთხის კოსინუსი) უნდა იყოს მოცემული და თქვენ უნდა იპოვოთ ვექტორის სიგრძე B C → ან C B →. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ კოსინუსების თეორემა სამკუთხედში △ A B C და გამოთვალოთ B C გვერდის სიგრძე, რომელიც უდრის ვექტორის სასურველ სიგრძეს.

განვიხილოთ ეს შემთხვევა შემდეგი მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი 5

A B → და A C → ვექტორების სიგრძეები, შესაბამისად, არის 3 და 7, ხოლო მათ შორის კუთხე π 3. გამოთვალეთ B C → ვექტორის სიგრძე.

გამოსავალი

B C → ვექტორის სიგრძე ამ შემთხვევაში უდრის სამკუთხედის B C გვერდის სიგრძეს △ A B C. მდგომარეობიდან ცნობილია სამკუთხედის A B და A C გვერდების სიგრძეები (ისინი ტოლია შესაბამისი ვექტორების სიგრძისა), ასევე ცნობილია მათ შორის კუთხე, ამიტომ შეგვიძლია გამოვიყენოთ კოსინუსების თეორემა: B C 2 = A B 2. + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 ამრიგად, B C → = 37 .

პასუხი: B C → = 37.

ასე რომ, კოორდინატებიდან ვექტორის სიგრძის საპოვნელად, არსებობს შემდეგი ფორმულები a → = a x 2 + a y 2 ან a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, ვექტორის საწყისი და ბოლო წერტილების კოორდინატებიდან. A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 ან A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, ზოგიერთ შემთხვევაში უნდა იქნას გამოყენებული კოსინუსების თეორემა .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

6.4. წერტილოვანი პროდუქტის ზოგიერთი გამოყენება

11. ვექტორის სკალარული ნამრავლის გამოხატვა ფაქტორების კოორდინატების მეშვეობით. თეორემა.

12. ვექტორის სიგრძე, სეგმენტის სიგრძე, ვექტორებს შორის კუთხე, ვექტორების პერპენდიკულარობის მდგომარეობა.

13. ვექტორთა ვექტორული ნამრავლი, მისი თვისებები. პარალელოგრამის ფართობი.

14. ვექტორთა შერეული პროდუქტი, მისი თვისებები. ვექტორის თანაპლენარობის პირობა. პარალელეპიპედის მოცულობა. პირამიდის მოცულობა.

15. სიბრტყეზე სწორი ხაზის განსაზღვრის მეთოდები.

16. სიბრტყეზე წრფის ნორმალური განტოლება (დერივაცია). კოეფიციენტების გეომეტრიული მნიშვნელობა.

17. სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში (დერივაცია).

სიბრტყის ზოგადი განტოლების შემცირება სიბრტყის განტოლებამდე სეგმენტებში.

18. სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება კუთხური კოეფიციენტით (დერივაცია).

19. ორ წერტილზე გამავალ სიბრტყეზე სწორი წრფის განტოლება (დერივაცია).

20. კუთხე სწორ ხაზებს შორის სიბრტყეზე (გამომავალი).

21. მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე სიბრტყეზე (გამომავალი).

22. სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობისა და პერპენდიკულარულობის პირობები (დერივაცია).

23. სიბრტყის განტოლება. ნორმალური სიბრტყის განტოლება (დერივაცია). კოეფიციენტების გეომეტრიული მნიშვნელობა.

24. სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში (დერივაცია).

25. სამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება (დერივაცია).

26. კუთხე სიბრტყეებს შორის (გამომავალი).

27. მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე (გამომავალი).

28. სიბრტყეების პარალელურობისა და პერპენდიკულარობის პირობები (დასკვნა).

29. წრფის განტოლებები r3-ში. ორ ფიქსირებულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლებები (დერივაცია).

30. სწორი წრფის კანონიკური განტოლებები სივრცეში (დერივაცია).

სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებების შედგენა სივრცეში.

სივრცეში სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებების განსაკუთრებული შემთხვევები.

სივრცის ორ მოცემულ წერტილში გამავალი წრფის კანონიკური განტოლებები.

სივრცეში წრფის კანონიკური განტოლებიდან გადასვლა წრფის სხვა ტიპის განტოლებაზე.

31. კუთხე სწორ ხაზებს შორის (გამომავალი).

32. მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე სიბრტყეზე (გამომავალი).

მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე სიბრტყეზე - თეორია, მაგალითები, ამონახსნები.

სიბრტყეზე მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე მანძილის პოვნის პირველი გზა.

მეორე მეთოდი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მანძილი მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე სიბრტყეზე.

სიბრტყეზე მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე მანძილის პოვნის ამოცანების ამოხსნა.

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე სივრცეში - თეორია, მაგალითები, ამონახსნები.

პირველი გზა ვიპოვოთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე სივრცეში.

მეორე მეთოდი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე სივრცეში.

33. სივრცეში წრფეების პარალელურობისა და პერპენდიკულარულობის პირობები.

34. ხაზების ფარდობითი მდებარეობა სივრცეში და წრფე სიბრტყით.

35. კლასიკური ელიფსის განტოლება (დერივაცია) და მისი აგება. ელიფსის კანონიკურ განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც დადებითი რეალური რიცხვებია და როგორ ავაშენოთ ელიფსი?

36. კლასიკური ჰიპერბოლის განტოლება (დერივაცია) და მისი აგება. ასიმპტოტები.

37. კანონიკური პარაბოლის განტოლება (დერივაცია) და კონსტრუქცია.

38. ფუნქცია. ძირითადი განმარტებები. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები.

39. რიცხვთა თანმიმდევრობა. რიცხვთა მიმდევრობის ლიმიტი.

40. უსასრულოდ მცირე და უსასრულოდ დიდი რაოდენობით. თეორემა მათ შორის კავშირის, თვისებების შესახებ.

41. თეორემები სასრულ ზღვრების მქონე ცვლადებზე მოქმედებების შესახებ.

42. ნომერი ე.

შინაარსი

განსაზღვრის მეთოდები

Თვისებები

ამბავი

მიახლოებები

43. ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრა. გაურკვევლობების გამოვლენა.

44. ღირსშესანიშნავი საზღვრები, მათი დასკვნა. ექვივალენტური უსასრულო სიდიდეები.

შინაარსი

პირველი მშვენიერი ლიმიტი

მეორე მშვენიერი ლიმიტი

45. ცალმხრივი საზღვრები. ფუნქციის უწყვეტობა და უწყვეტობა. ცალმხრივი საზღვრები

ფუნქციის მარცხენა და მარჯვენა საზღვრები

პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილი

მეორე სახის შეწყვეტის წერტილი

მოსახსნელი შესვენების წერტილი

46. წარმოებულის განმარტება. გეომეტრიული მნიშვნელობა, წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა. ტანგენსი და ნორმალური განტოლებები მრუდისა და წერტილისთვის.

47. თეორემები შებრუნებული, რთული ფუნქციების წარმოებულზე.

48. უმარტივესი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები.

49. პარამეტრული, იმპლიციტური და სიმძლავრე-ექსპონენციალური ფუნქციების დიფერენციაცია.

21. იმპლიციტური და პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციების დიფერენციაცია

21.1. იმპლიციტური ფუნქცია

21.2. პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქცია

50. უმაღლესი რიგის წარმოებულები. ტეილორის ფორმულა.

51. დიფერენციალური. დიფერენციალური გამოყენება სავარაუდო გამოთვლებზე.

52. როლის, ლაგრანჟის, კოშის თეორემები. L'Hopital-ის წესი.

53. თეორემა ფუნქციის ერთფეროვნების აუცილებელი და საკმარისი პირობების შესახებ.

54. ფუნქციის მაქსიმუმის და მინიმუმის განსაზღვრა. თეორემები ფუნქციის უკიდურესობის არსებობისთვის აუცილებელ და საკმარის პირობებზე.

თეორემა (აუცილებელი პირობა ექსტრემისთვის)

55. მოსახვევების ამოზნექილი და ჩაზნექილი. გადახრის წერტილები. თეორემები გადახრის წერტილების არსებობისათვის აუცილებელ და საკმარის პირობებზე.

მტკიცებულება

57. n-ე რიგის განმსაზღვრელი, მათი თვისებები.

58. მატრიცები და მოქმედებები მათზე. მატრიცის რანგი.

განმარტება

დაკავშირებული განმარტებები

Თვისებები

ხაზოვანი ტრანსფორმაცია და მატრიცული რანგი

59. ინვერსიული მატრიცა. თეორემა შებრუნებული მატრიცის არსებობის შესახებ.

60. წრფივი განტოლებათა სისტემები. წრფივი განტოლებათა სისტემების მატრიცული ამოხსნა. კრამერის წესი. გაუსის მეთოდი. კრონეკერ-კაპელის თეორემა.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა, ამოხსნის მეთოდები, მაგალითები.

განმარტებები, ცნებები, აღნიშვნები.

წრფივი ალგებრული განტოლებების ელემენტარული სისტემების ამოხსნა.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა კრამერის მეთოდით.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით (შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით).

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის გაუსის მეთოდი.

ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი წრფივი ალგებრული სისტემების ზოგადი ამოხსნის დაწერა ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების გამოყენებით.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნა, რომლებიც კლებულობენ შლაპამდე.

ამოცანების მაგალითები, რომლებიც მცირდება წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნამდე.

12. ვექტორის სიგრძე, სეგმენტის სიგრძე, ვექტორებს შორის კუთხე, ვექტორების პერპენდიკულარობის მდგომარეობა.

ვექტორი - ეს არის მიმართული სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორ წერტილს სივრცეში ან სიბრტყეში.ვექტორები ჩვეულებრივ აღინიშნება ან მცირე ასოებით ან საწყისი და დასასრული წერტილებით. ზედ ჩვეულებრივ ტირეა.

მაგალითად, წერტილიდან მიმართული ვექტორი ააზრამდე ბ, შეიძლება დაინიშნოს ა ,

ნულოვანი ვექტორი 0 ან 0 - ეს არის ვექტორი, რომლის საწყისი და დასასრული წერტილები ემთხვევა, ე.ი. ა = ბ. აქედან, 0 = – 0 .

ვექტორის სიგრძე (მოდული)ა არის სეგმენტის სიგრძე, რომელიც წარმოადგენს მას AB, აღინიშნება |ა | . კერძოდ, | 0 | = 0.

ვექტორები ე.წ კოლინარული, თუ მათი მიმართული სეგმენტები დევს პარალელურ წრფეებზე. კოლინარული ვექტორები ა და ბ დანიშნულია ა || ბ .

სამი ან მეტი ვექტორი ეწოდება თანაპლენარული, თუ ისინი ერთ სიბრტყეში წევენ.

ვექტორის დამატება. ვინაიდან ვექტორები არიან მიმართულისეგმენტები, მაშინ მათი დამატება შეიძლება შესრულდეს გეომეტრიულად. (ვექტორების ალგებრული დამატება აღწერილია ქვემოთ, აბზაცში „ერთეული ორთოგონალური ვექტორები“). მოდი ვიჩვენოთ, რომ

ა = ABდა ბ = CD,

შემდეგ ვექტორი __ __

ა + ბ = AB+ CD

არის ორი ოპერაციის შედეგი:

ა)პარალელური გადაცემაერთ-ერთი ვექტორი ისე, რომ მისი საწყისი წერტილი ემთხვევა მეორე ვექტორის ბოლო წერტილს;

ბ)გეომეტრიული დამატება, ე.ი. მიღებული ვექტორის აგება, რომელიც მიდის ფიქსირებული ვექტორის საწყისი წერტილიდან გადატანილი ვექტორის დასასრულამდე.

ვექტორების გამოკლება. ეს ოპერაცია მცირდება წინაზე, ქვეტრაჰენდის ვექტორის ჩანაცვლებით მისი საპირისპირო ვექტორით: ა – ბ =ა + (– ბ ) .

დამატების კანონები.

ᲛᲔ. ა + ბ = ბ + ა (გარდამავალი კანონი).

II. (ა + ბ ) + გ = ა + (ბ + გ ) (კომბინირებული სამართალი).

III. ა + 0 = ა .

IV. ა + (– ა ) = 0 .

ვექტორის რიცხვზე გამრავლების კანონები.

ᲛᲔ. 1 · ა = ა , 0 · ა = 0 , მ· 0 = 0 , (– 1) · ა = – ა .

II. მა = ა მ,| მა | = | მ | · | a | .

III. m(nა ) = (წთ)ა . (C o m b e t a l

რიცხვით გამრავლების კანონი).

IV. (m+n) ა = მა +nა , (დისტრიბუციული

მ(ა + ბ ) = მა + მბ . რიცხვით გამრავლების კანონი).

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი. __ __

კუთხე არანულოვან ვექტორებს შორის ABდა CD- ეს არის ვექტორების მიერ წარმოქმნილი კუთხე, როდესაც ისინი პარალელურად გადაინაცვლებენ წერტილების გასწორებამდე ადა გ. ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლია და ბ ტოლი რიცხვი ეწოდება მათი სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსის ნამრავლი:

თუ ერთ-ერთი ვექტორი არის ნული, მაშინ მათი სკალარული ნამრავლი, განმარტების შესაბამისად, ნულის ტოლია:

(ა, 0 ) = ( 0 , ბ ) = 0 .

თუ ორივე ვექტორი არ არის ნულოვანი, მაშინ მათ შორის კუთხის კოსინუსი გამოითვლება ფორმულით:

სკალარული პროდუქტი ( აა ), ტოლია | ა | 2, ე.წ სკალარული კვადრატი.ვექტორის სიგრძე ა და მისი სკალარული კვადრატი დაკავშირებულია:

ორი ვექტორის წერტილოვანი ნამრავლი:

- დადებითადთუ კუთხე ვექტორებს შორის ცხარე;

- უარყოფითი,თუ კუთხე ვექტორებს შორის ბლაგვი.

ორი არანულოვანი ვექტორის სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა მათ შორის კუთხე სწორია, ე.ი. როდესაც ეს ვექტორები პერპენდიკულარულია (ორთოგონალური):

სკალარული პროდუქტის თვისებები. ნებისმიერი ვექტორისთვის ა, ბ, გ და ნებისმიერი ნომერი მშემდეგი ურთიერთობები მოქმედებს:

ᲛᲔ. (ა, ბ ) = (ბ, ა ) . (გარდამავალი კანონი)

II. (მა, ბ ) = მ(ა, ბ ) .

III.(a+b,c ) = (ა, გ ) + (ბ, გ ). (გამანაწილებელი კანონი)

ერთეული ორთოგონალური ვექტორები. ნებისმიერ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში შეგიძლიათ შეიყვანოთ ერთეული წყვილი ორთოგონალური ვექტორებიმე , ჯ და კ დაკავშირებულია კოორდინატთა ღერძებთან: მე - ღერძით X, ჯ - ღერძით იდა კ - ღერძით ზ. ამ განმარტების მიხედვით:

(მე , ჯ ) = (მე , კ ) = (ჯ , კ ) = 0,

| მე | =| j | =| k | = 1.

ნებისმიერი ვექტორი ა შეიძლება გამოიხატოს ამ ვექტორების მეშვეობით უნიკალური გზით: ა = xმე+ წj+ ზკ . ჩაწერის კიდევ ერთი ფორმა: ა = (x, y, z). Აქ x, წ, z - კოორდინატებივექტორი ა ამ კოორდინატთა სისტემაში. ერთეული ორთოგონალური ვექტორების ბოლო მიმართებისა და თვისებების შესაბამისად მე, ჯ , კ ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი შეიძლება განსხვავებულად იყოს გამოხატული.

დაე ა = (x, y, z); ბ = (u, v, w). მერე ( ა, ბ ) = xu + ივ + zw.

ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი უდრის შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების ჯამს.

ვექტორის სიგრძე (მოდული) ა = (x, წ, ზ ) უდრის:

გარდა ამისა, ახლა გვაქვს შესაძლებლობა ჩავატაროთ ალგებრულივექტორებზე მოქმედებები, კერძოდ, ვექტორების შეკრება და გამოკლება შეიძლება შესრულდეს კოორდინატების გამოყენებით:

a+ ბ = (x + u, y + v, z + w) ;

ა – ბ = (x–u, y– ვ, ზ–ვ) .

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი. ვექტორული ნამუშევარი [ა, ბ ] ვექტორებია დაბ (ამ თანმიმდევრობით) ეწოდება ვექტორი:

არსებობს ვექტორის სიგრძის კიდევ ერთი ფორმულა [ ა, ბ ] :

| [ ა, ბ ] | = | ა | | ბ | ცოდვა ( ა, ბ ) ,

ე.ი. სიგრძე ( მოდული ) ვექტორთა ნამრავლია დაბ უდრის ამ ვექტორების სიგრძის (მოდულების) ნამრავლისა და მათ შორის კუთხის სინუსს.Სხვა სიტყვებით: ვექტორის სიგრძე (მოდული).[ ა, ბ ] რიცხობრივად ტოლია ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობის ა დაბ .