Ენის გასატეხები

ოთხგანზომილებიანი კუბი. კიბერკუბი - პირველი ნაბიჯი მეოთხე განზომილებაში რა ჰქვია კუბს სხვადასხვა გვერდით

Tesseract არის ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი - კუბი ოთხგანზომილებიან სივრცეში.
ოქსფორდის ლექსიკონის მიხედვით, სიტყვა ტესერაქტი გამოიყენა და გამოიყენა 1888 წელს ჩარლზ ჰოვარდ ჰინტონმა (1853-1907) თავის წიგნში აზროვნების ახალი ხანა. მოგვიანებით ზოგიერთმა იმავე ფიგურას უწოდა ტეტრაკუბი (ბერძნ. ოთხ - ოთხი) - ოთხგანზომილებიანი კუბი.
ჩვეულებრივი ტესერაქტი ევკლიდეს ოთხგანზომილებიან სივრცეში განისაზღვრება, როგორც წერტილების ამოზნექილი კორპუსი (±1, ±1, ±1, ±1). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შემდეგი ნაკრები:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = ტესერაქტი შემოიფარგლება რვა ჰიპერთრენით x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , რომელთა კვეთა ტესერაქტთან ერთად განსაზღვრავს მას სამგანზომილებიან სახეებს (რომლებიც ჩვეულებრივი კუბურებია) არაპარალელური სამგანზომილებიანი სახეების ყოველი წყვილი იკვეთება ორგანზომილებიანი სახეების (კვადრატების) შესაქმნელად და ა.შ სახეები, 24 ორგანზომილებიანი სახე, 32 კიდე და 16 წვერო.
პოპულარული აღწერა
შევეცადოთ წარმოვიდგინოთ როგორი იქნება ჰიპერკუბი სამგანზომილებიანი სივრცის დატოვების გარეშე.
ერთგანზომილებიან „სივრცეში“ - წრფეზე - ვირჩევთ L სიგრძის AB სეგმენტს. AB-დან L მანძილზე მდებარე ორგანზომილებიან სიბრტყეზე ვხატავთ მის პარალელურად DC სეგმენტს და ვაკავშირებთ მათ ბოლოებს. შედეგი არის კვადრატული CDBA. ამ ოპერაციის განმეორებით თვითმფრინავთან ერთად ვიღებთ სამგანზომილებიან კუბს CDBAGHFE. ხოლო კუბის მეოთხე განზომილებაში (პირველ სამზე პერპენდიკულარულად) L მანძილით გადაწევით მივიღებთ ჰიპერკუბს CDBAGHFEKLJIOPNM.
ერთგანზომილებიანი სეგმენტი AB ემსახურება როგორც ორგანზომილებიანი კვადრატის CDBA გვერდი, კვადრატი - როგორც CDBAGHFE კუბის მხარე, რომელიც, თავის მხრივ, იქნება ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის მხარე. სწორი ხაზის სეგმენტს აქვს ორი სასაზღვრო წერტილი, კვადრატს აქვს ოთხი წვერო, კუბს აქვს რვა. ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბში იქნება 16 წვერო: საწყისი კუბის 8 წვერო და მეოთხე განზომილებაში გადატანილი 8. მას აქვს 32 კიდე - თითოეული 12 იძლევა ორიგინალური კუბის საწყის და საბოლოო პოზიციებს, ხოლო კიდევ 8 კიდე „ხატავს“ მის რვა წვეროს, რომლებიც გადავიდა მეოთხე განზომილებაში. იგივე მსჯელობა შეიძლება გაკეთდეს ჰიპერკუბის სახეებისთვის. ორგანზომილებიან სივრცეში არის მხოლოდ ერთი (თვით კვადრატი), კუბს აქვს 6 მათგანი (ორი სახე გადატანილი კვადრატიდან და კიდევ ოთხი, რომელიც აღწერს მის გვერდებს). ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბს აქვს 24 კვადრატული სახე - ორიგინალური კუბის 12 კვადრატი ორ პოზიციაზე და 12 კვადრატი მისი თორმეტი კიდედან.
როგორც კვადრატის გვერდები არის 4 ერთგანზომილებიანი სეგმენტი, ხოლო კუბის გვერდები (სახეები) არის 6 ორგანზომილებიანი კვადრატი, ასევე "ოთხგანზომილებიანი კუბისთვის" (ტესერაქტი) გვერდები არის 8 სამგანზომილებიანი კუბი. . ტეზერაქტის კუბების მოპირდაპირე წყვილის სივრცეები (ანუ სამგანზომილებიანი სივრცეები, რომლებსაც ეს კუბურები ეკუთვნის) პარალელურია. ფიგურაში ეს არის კუბურები: CDBAGHFE და KLJIOPNM, CDBAKLJI და GHFEOPNM, EFBAMNJI და GHDCOPLK, CKIAGOME და DLJBHPNF.
ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ მსჯელობა ჰიპერკუბებზე მეტიზომები, მაგრამ ბევრად უფრო საინტერესოა, თუ როგორ დაეძებს ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი ჩვენ, სამგანზომილებიანი სივრცის მაცხოვრებლებს. ამისთვის გამოვიყენებთ ანალოგიების უკვე ნაცნობ მეთოდს.
ავიღოთ მავთულის კუბიკი ABCDHEFG და შევხედოთ მას ერთი თვალით კიდის მხრიდან. ჩვენ დავინახავთ და შეგვიძლია დავხატოთ ორი კვადრატი სიბრტყეზე (მისი ახლო და შორი კიდეები), რომლებიც დაკავშირებულია ოთხი ხაზით - გვერდითი კიდეებით. ანალოგიურად, ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი სამგანზომილებიან სივრცეში გამოიყურება როგორც ორი კუბური „ყუთი“, რომლებიც ჩასმულია ერთმანეთში და დაკავშირებულია რვა კიდით. ამ შემთხვევაში, თავად "ყუთები" - სამგანზომილებიანი სახეები - იქნება დაპროექტებული "ჩვენს" სივრცეზე და მათი დამაკავშირებელი ხაზები გადაჭიმული იქნება მეოთხე ღერძის მიმართულებით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ სცადოთ წარმოიდგინოთ კუბი არა პროექციაში, არამედ სივრცულ გამოსახულებაში.
ისევე, როგორც სამგანზომილებიანი კუბი იქმნება მისი სახის სიგრძით გადანაცვლებული კვადრატით, მეოთხე განზომილებაში გადატანილი კუბი წარმოქმნის ჰიპერკუბს. ის შემოიფარგლება რვა კუბიკით, რომლებიც მომავალში რაღაც ლამაზად გამოიყურება რთული ფიგურა. ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი თავისთავად შედგება უსასრულო რაოდენობის კუბებისგან, ისევე როგორც სამგანზომილებიანი კუბი შეიძლება "დაიჭრას" უსასრულო რაოდენობის ბრტყელ კვადრატებად.
სამგანზომილებიანი კუბის ექვსი სახის მოჭრით, შეგიძლიათ მისი დაშლა ბრტყელ ფიგურად - განვითარებად. მას ექნება კვადრატი თავდაპირველი სახის თითოეულ მხარეს პლუს კიდევ ერთი - მის საპირისპირო სახე. და ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის სამგანზომილებიანი განვითარება შედგება ორიგინალური კუბისაგან, მისგან "იზრდება" ექვსი კუბი, პლუს კიდევ ერთი - საბოლოო "ჰიპერფეისი".
ტესერაქტის თვისებები არის თვისებების გაფართოება გეომეტრიული ფორმებიუფრო მცირე განზომილება ოთხგანზომილებიან სივრცეში.

ქულები (±1, ±1, ±1, ±1). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შემდეგი ნაკრები:

ტესერაქტი შემოიფარგლება რვა ჰიპერპლანით, რომელთა გადაკვეთა თავად ტესერაქტთან განსაზღვრავს მის სამგანზომილებიან სახეებს (რომლებიც ჩვეულებრივი კუბურებია). არაპარალელური 3D სახეების ყოველი წყვილი იკვეთება და ქმნის 2D სახეებს (კვადრატებს) და ა.შ. საბოლოოდ, ტესერაქტს აქვს 8 3D სახე, 24 2D სახე, 32 კიდე და 16 წვერო.

პოპულარული აღწერა

შევეცადოთ წარმოვიდგინოთ როგორი იქნება ჰიპერკუბი სამგანზომილებიანი სივრცის დატოვების გარეშე.

ტესერაქტის აგება თვითმფრინავზე

ერთგანზომილებიანი სეგმენტი AB ემსახურება როგორც ორგანზომილებიანი კვადრატის CDBA გვერდი, კვადრატი - როგორც CDBAGHFE კუბის მხარე, რომელიც, თავის მხრივ, იქნება ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის მხარე. სწორი ხაზის სეგმენტს აქვს ორი სასაზღვრო წერტილი, კვადრატს აქვს ოთხი წვერო, კუბს აქვს რვა. ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბში იქნება 16 წვერო: საწყისი კუბის 8 წვერო და მეოთხე განზომილებაში გადატანილი 8. მას აქვს 32 კიდე - თითოეული 12 იძლევა ორიგინალური კუბის საწყის და საბოლოო პოზიციებს, ხოლო კიდევ 8 კიდე „ხატავს“ მის რვა წვეროს, რომლებიც გადავიდა მეოთხე განზომილებაში. იგივე მსჯელობა შეიძლება გაკეთდეს ჰიპერკუბის სახეებისთვის. ორგანზომილებიან სივრცეში არის მხოლოდ ერთი (თვით კვადრატი), კუბს აქვს 6 მათგანი (ორი სახე გადატანილი კვადრატიდან და კიდევ ოთხი, რომელიც აღწერს მის გვერდებს). ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბს აქვს 24 კვადრატული სახე - ორიგინალური კუბის 12 კვადრატი ორ პოზიციაზე და 12 კვადრატი მისი თორმეტი კიდედან.

როგორც კვადრატის გვერდები არის 4 ერთგანზომილებიანი სეგმენტი, ხოლო კუბის გვერდები (სახეები) არის 6 ორგანზომილებიანი კვადრატი, ასევე "ოთხგანზომილებიანი კუბისთვის" (ტესერაქტი) გვერდები არის 8 სამგანზომილებიანი კუბი. . ტეზერაქტის კუბების მოპირდაპირე წყვილის სივრცეები (ანუ სამგანზომილებიანი სივრცეები, რომლებსაც ეს კუბურები ეკუთვნის) პარალელურია. ფიგურაში ეს არის კუბურები: CDBAGHFE და KLJIOPNM, CDBAKLJI და GHFEOPNM, EFBAMNJI და GHDCOPLK, CKIAGOME და DLJBHPNF.

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ მსჯელობა უფრო დიდი რაოდენობის განზომილებების ჰიპერკუბებზე, მაგრამ გაცილებით საინტერესოა, თუ როგორ მოგვეძებს ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი ჩვენ, სამგანზომილებიანი სივრცის მაცხოვრებლებს. ამისთვის გამოვიყენებთ ანალოგიების უკვე ნაცნობ მეთოდს.

ავიღოთ მავთულის კუბიკი ABCDHEFG და შევხედოთ მას ერთი თვალით კიდის მხრიდან. ჩვენ დავინახავთ და შეგვიძლია დავხატოთ ორი კვადრატი სიბრტყეზე (მისი ახლო და შორეული კიდეები), რომლებიც დაკავშირებულია ოთხი ხაზით - გვერდითი კიდეებით. ანალოგიურად, ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი სამგანზომილებიან სივრცეში გამოიყურება როგორც ორი კუბური „ყუთი“, რომლებიც ჩასმულია ერთმანეთში და დაკავშირებულია რვა კიდით. ამ შემთხვევაში, თავად "ყუთები" - სამგანზომილებიანი სახეები - იქნება დაპროექტებული "ჩვენს" სივრცეზე და მათი დამაკავშირებელი ხაზები გადაჭიმული იქნება მეოთხე ღერძის მიმართულებით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ სცადოთ წარმოიდგინოთ კუბი არა პროექციაში, არამედ სივრცულ გამოსახულებაში.

ისევე, როგორც სამგანზომილებიანი კუბი იქმნება მისი სახის სიგრძით გადანაცვლებული კვადრატით, მეოთხე განზომილებაში გადატანილი კუბი წარმოქმნის ჰიპერკუბს. ის შემოიფარგლება რვა კუბიკით, რომლებიც პერსპექტივაში საკმაოდ რთულ ფიგურას წააგავს. ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი თავისთავად შედგება უსასრულო რაოდენობის კუბებისგან, ისევე როგორც სამგანზომილებიანი კუბი შეიძლება „დაიჭრას“ უსასრულო რაოდენობის ბრტყელ კვადრატებად.

სამგანზომილებიანი კუბის ექვსი სახის მოჭრით, შეგიძლიათ მისი დაშლა ბრტყელ ფიგურად - განვითარებად. მას ექნება კვადრატი თავდაპირველი სახის თითოეულ მხარეს პლუს კიდევ ერთი - მის საპირისპირო სახე. და ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის სამგანზომილებიანი განვითარება შედგება ორიგინალური კუბისაგან, მისგან "იზრდება" ექვსი კუბი, პლუს კიდევ ერთი - საბოლოო "ჰიპერფეისი".

ტესერაქტის თვისებები წარმოადგენს ქვედა განზომილების გეომეტრიული ფიგურების თვისებების გაგრძელებას ოთხგანზომილებიან სივრცეში.

პროგნოზები

ორგანზომილებიან სივრცემდე

ეს სტრუქტურა ძნელი წარმოსადგენია, მაგრამ შესაძლებელია ტესერაქტის პროექტირება ორგანზომილებიან ან სამგანზომილებიან სივრცეებში. გარდა ამისა, სიბრტყეზე პროექცია აადვილებს ჰიპერკუბის წვეროების ადგილმდებარეობის გაგებას. ამ გზით, შესაძლებელია მივიღოთ სურათები, რომლებიც აღარ ასახავს სივრცით კავშირებს ტეზერაქტის შიგნით, მაგრამ ასახავს წვეროს კავშირის სტრუქტურას, როგორც შემდეგ მაგალითებში:

მესამე სურათზე ნაჩვენებია ტეზერაქტი იზომეტრიაში, კონსტრუქციის წერტილის მიმართ. ეს წარმოდგენა საინტერესოა ტესერაქტის გამოყენებისას, როგორც ტოპოლოგიური ქსელის საფუძველს, რათა დააკავშიროს მრავალი პროცესორი პარალელურ გამოთვლებში.

სამგანზომილებიან სივრცეში

ტესერაქტის ერთ-ერთი პროექცია სამგანზომილებიან სივრცეზე წარმოადგენს ორ ჩადგმულ სამგანზომილებიან კუბს, რომელთა შესაბამისი წვეროები დაკავშირებულია სეგმენტებით. შიდა და გარე კუბებს აქვთ სხვადასხვა ზომა სამგანზომილებიან სივრცეში, მაგრამ ოთხგანზომილებიან სივრცეში ისინი თანაბარი კუბურებია. ყველა ტეზერაქტის კუბის თანასწორობის გასაგებად, შეიქმნა მბრუნავი ტეზერაქტის მოდელი.

ტესერაქტის კიდეების გასწვრივ ექვსი დამსხვრეული პირამიდა ტოლი ექვსი კუბის გამოსახულებაა. თუმცა, ეს კუბურები არის ტესერაქტისთვის, როგორც კვადრატები (სახეები) კუბისთვის. მაგრამ სინამდვილეში, ტესერაქტი შეიძლება დაიყოს უსასრულო რაოდენობის კუბებად, ისევე როგორც კუბი შეიძლება დაიყოს უსასრულო რაოდენობის კვადრატებად, ან კვადრატი უსასრულო რაოდენობის სეგმენტებად.

ტესერაქტის კიდევ ერთი საინტერესო პროექცია სამგანზომილებიან სივრცეზე არის რომბისებური დოდეკედრონი თავისი ოთხი დიაგონალით, რომლებიც აკავშირებს საპირისპირო წვეროების წყვილებს რომბების დიდი კუთხით. ამ შემთხვევაში, ტესერაქტის 16 წვეროდან 14 დაპროექტებულია რომბის დოდეკედრის 14 წვეროში, ხოლო დანარჩენი 2-ის პროგნოზები ემთხვევა მის ცენტრში. სამგანზომილებიან სივრცეზე ასეთ პროექციაში შენარჩუნებულია ყველა ერთგანზომილებიანი, ორგანზომილებიანი და სამგანზომილებიანი მხარის თანასწორობა და პარალელიზმი.

სტერეო წყვილი

ტესერაქტის სტერეო წყვილი გამოსახულია, როგორც ორი პროექცია სამგანზომილებიან სივრცეზე. ტესერაქტის ეს სურათი შექმნილია იმისთვის, რომ წარმოედგინა სიღრმე მეოთხე განზომილებაში. სტერეო წყვილი ისეა დანახული, რომ თითოეული თვალი ხედავს ამ სურათებიდან მხოლოდ ერთს, ჩნდება სტერეოსკოპიული სურათი, რომელიც ასახავს ტესერაქტის სიღრმეს.

ტესერაქტის შეფუთვა

ტესერაქტის ზედაპირი შეიძლება გაიშალოს რვა კუბად (ისევე, როგორც კუბის ზედაპირი შეიძლება გაიშალოს ექვს კვადრატად). არსებობს 261 განსხვავებული ტესერაქტის დიზაინი. ტესერაქტის გაშლა შეიძლება გამოითვალოს დაკავშირებული კუთხეების გრაფიკზე გამოსახვით.

ტესერაქტი ხელოვნებაში

ედვინა ა-ს „ახალ აბბოტის დაბლობში“ ჰიპერკუბი მთხრობელის როლს ასრულებს.
ჯიმი ნეიტრონის თავგადასავლების ერთ ეპიზოდში "ბიჭის გენიოსი" ჯიმი იგონებს ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბს, რომელიც იდენტურია რობერტ ჰაინლეინის რომანიდან "დიდების გზის" (1963) დასაკეცი ყუთის.
რობერტ ე. ჰაინლეინმა ახსენა ჰიპერკუბები სულ მცირე სამ სამეცნიერო ფანტასტიკურ მოთხრობაში. "ოთხი განზომილების სახლში" ("The House That Teal Built") მან აღწერა სახლი, რომელიც აშენდა როგორც შეუფუთავი ტესერაქტი, შემდეგ კი მიწისძვრის გამო მეოთხე განზომილებაში "დაკეცა" და იქცა "ნამდვილ" ტესერაქტად. .
ჰაინლაინის რომანი დიდების გზა აღწერს ჰიპერ ზომის ყუთს, რომელიც შიგნიდან უფრო დიდი იყო, ვიდრე გარედან.
ჰენრი კუტნერის მოთხრობა „ყველა ტენალი ბოროგოვი“ აღწერს შორეული მომავლის ბავშვებისთვის საგანმანათლებლო სათამაშოს, სტრუქტურაში მსგავსი ტესერაქტის.
ალექს გარლანდის რომანში () ტერმინი "ტესერაქტი" გამოიყენება ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის სამგანზომილებიანი გასაშლელად და არა თავად ჰიპერკუბის. ეს არის მეტაფორა, რომელიც შექმნილია იმის დასანახად, რომ შემეცნებითი სისტემა უნდა იყოს უფრო ფართო, ვიდრე შეცნობადი.
კუბი 2-ის სიუჟეტი: ჰიპერკუბი ორიენტირებულია რვა უცნობზე, რომლებიც ჩარჩენილია "ჰიპერკუბში", ანუ დაკავშირებული კუბების ქსელში.
სატელევიზიო სერიალი ანდრომედა იყენებს ტესერაქტის გენერატორებს, როგორც სიუჟეტის მოწყობილობას. ისინი ძირითადად შექმნილია სივრცისა და დროის მანიპულირებისთვის.
ნახატი "ჯვარცმა" (Corpus Hypercubus) სალვადორ დალის ().
Nextwave-ის კომიქსები ასახავს მანქანას, რომელიც მოიცავს 5 ტეზერაქტის ზონას.
ალბომში Voivod Nothingface ერთ-ერთ კომპოზიციას ჰქვია "ჩემს ჰიპერკუბში".
ენტონი პირსის რომანში Route Cube, ერთ-ერთი ორბიტალური მთვარე საერთაშორისო ასოციაციაგანვითარებას ეწოდება ტესერაქტი, რომელიც შეკუმშულია 3 განზომილებაში.
სერიალში "შავი ხვრელის სკოლა" მესამე სეზონში არის ეპიზოდი "ტესერაქტი". ლუკასი აჭერს საიდუმლო ღილაკს და სკოლა იწყებს „მათემატიკური ტესერაქტის ფორმას“.
ტერმინი "ტესერაქტი" და მისი წარმოებული "ტესერაქტი" გვხვდება მადლენ ლ'ენგლის მოთხრობაში "დროში ნაოჭი".
TesseracT არის ბრიტანული djent ჯგუფის სახელი.
მარველის კინემატოგრაფიული სამყაროს ფილმების სერიაში, ტესერაქტი არის ძირითადი სიუჟეტური ელემენტი, ჰიპერკუბის ფორმის კოსმოსური არტეფაქტი.
რობერტ შეკლის მოთხრობაში „მის თაგვი და მეოთხე განზომილება“ ეზოთერიკოსი, ავტორის ნაცნობი მწერალი, ცდილობს დაინახოს ტესერაქტი, საათობით უყურებს მის მიერ შემუშავებულ მოწყობილობას: ბურთი ფეხზე, მასში ჩასმული ღეროებით. რომელ კუბებს აკრავენ ყველანაირი ეზოთერული სიმბოლოთი. მოთხრობაში მოხსენიებულია ჰინტონის შემოქმედება.
ფილმებში The First Avenger, The Avengers. Tesseract - მთელი სამყაროს ენერგია

Სხვა სახელები

ჰექსადეკაკორონი ჰექსადეკაკორონი)
Octochoron (ინგლისური) ოქტახორონი)
ტეტრაკუბი
4-კუბი
ჰიპერკუბი (თუ ზომების რაოდენობა არ არის მითითებული)

შენიშვნები

ლიტერატურა

ჩარლზ ჰინტონი. მეოთხე განზომილება, 1904 წ. ISBN 0-405-07953-2
მარტინ გარდნერი, მათემატიკური კარნავალი, 1977 წ. ISBN 0-394-72349-X
იან სტიუარტი, თანამედროვე მათემატიკის კონცეფციები, 1995 წ. ISBN 0-486-28424-7

ბმულები

Რუსულად

Transformator4D პროგრამა. ოთხგანზომილებიანი ობიექტების (მათ შორის ჰიპერკუბის) სამგანზომილებიანი პროექციის მოდელების ფორმირება.
პროგრამა, რომელიც ახორციელებს ტესერაქტის კონსტრუქციას და მის ყველა აფინურ ტრანსფორმაციას, C++-ის წყაროს კოდით.

Ინგლისურად

Mushware Limited - tesseract გამომავალი პროგრამა ( Tesseract ტრენერი, ლიცენზია თავსებადი GPLv2-თან) და პირველი პირის მსროლელი ოთხგანზომილებიან სივრცეში ( ადანაქსისი; გრაფიკა ძირითადად სამგანზომილებიანია; OS-ის საცავებში არის GPL ვერსია).

პოლიჰედრა

სწორი
(პლატონური მყარი ნივთიერებები)

ვარსკვლავური დოდეკაედონი ვარსკვლავური იკოსიდოდეკაედონი ვარსკვლავური იკოსადედონი ვარსკვლავური პოლიედონი ვარსკვლავური რვააედონი

ამოზნექილი

არქიმედეს მყარი ნივთიერებები	Cubooctahedron Icosidodecahedron Truncated octahedron Truncated octahedron Truncated კუბი Trunced dodecahedron Rhombocuboctahedron Rhombic trunced კუბოკდაჰედონი Rhombich ჩაკეტილი კუბოქტაედონი დამსხვრეული იკოსიდოდეკაედონი რეგულარული პრიზმა ანტიპრიზმი
კატალონიური სხეულები	Rhombododecahedron Rhombothriacontahedron Triakisthetrahedron Tetrakishexahedron Pentakisdodecahedron Triakisicosahedron Deltoidal icositetrahedron Deltoidal hexexontahedron ხუთკუთხედი icositetrahedrona DixPentahedron რონ
სრული სივრცითი სიმეტრიის გარეშე	პირამიდა პრიზმა ბიპირამიდა ანტიპრიზმი ზონოჰედრონ პარალელეპიპედი რომბოედრონული პრიზმოიდური შეკვეცილი პირამიდა
პენტაგონდოდეკაედონი პარალელოედრონი

ფორმულები,
თეორემები,
თეორიები

სხვა

როგორც კი მოვახერხე ლექციების წაკითხვა ოპერაციის შემდეგ, პირველი კითხვა, რომელიც სტუდენტებმა დაუსვეს იყო:

როდის დაგვიხატავ 4 განზომილებიან კუბს? ილიას აბდულხაევიჩი დაგვპირდა!

მახსოვს, ჩემს ძვირფას მეგობრებს ზოგჯერ მოსწონთ მათემატიკური საგანმანათლებლო აქტივობების მომენტი. ამიტომ მათემატიკოსებისთვის ჩემი ლექციის ნაწილს აქ დავწერ. და ვეცდები მოწყენის გარეშე. რაღაც მომენტებში, რა თქმა უნდა, უფრო მკაცრად ვკითხულობდი ლექციას.

ჯერ შევთანხმდეთ. 4-განზომილებიანი და მით უმეტეს 5-6-7- და ზოგადად k-განზომილებიანი სივრცე არ გვეძლევა სენსორულ შეგრძნებებში.
”ჩვენ საწყენი ვართ, რადგან მხოლოდ სამგანზომილებიანი ვართ”, - თქვა ჩემმა საკვირაო სკოლის მასწავლებელმა, რომელმაც პირველად მითხრა, რა არის 4 განზომილებიანი კუბი. საკვირაო სკოლა, ბუნებრივია, უკიდურესად რელიგიური - მათემატიკური იყო. იმ დროს ჰიპერკუბებს ვსწავლობდით. ერთი კვირით ადრე, მათემატიკური ინდუქცია, ერთი კვირის შემდეგ, ჰამილტონის ციკლები გრაფიკებში - შესაბამისად, ეს არის მე-7 კლასი.

ჩვენ არ შეგვიძლია შევეხოთ, ყნოსვა, მოვისმინოთ ან დავინახოთ 4 განზომილებიანი კუბი. რა ვუყოთ მას? ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ ეს! იმის გამო, რომ ჩვენი ტვინი ბევრად უფრო რთულია, ვიდრე თვალები და ხელები.

ასე რომ, იმისათვის, რომ გავიგოთ რა არის 4 განზომილებიანი კუბი, ჯერ გავიგოთ რა არის ჩვენთვის ხელმისაწვდომი. რა არის სამგანზომილებიანი კუბი?

ᲙᲐᲠᲒᲘ ᲙᲐᲠᲒᲘ! მე არ გეკითხები მკაფიო მათემატიკური განმარტებას. წარმოიდგინეთ უმარტივესი და ყველაზე ჩვეულებრივი სამგანზომილებიანი კუბი. Გააცნო?

ჯარიმა.
იმისათვის, რომ გავიგოთ, როგორ განვაზოგადოთ 3-განზომილებიანი კუბი 4-განზომილებიან სივრცეში, მოდით გავარკვიოთ რა არის 2-განზომილებიანი კუბი. ეს ასე მარტივია - ეს არის კვადრატი!

კვადრატს აქვს 2 კოორდინატი. კუბს აქვს სამი. კვადრატული წერტილები არის წერტილები ორი კოორდინატით. პირველი არის 0-დან 1-მდე და მეორე არის 0-დან 1-მდე. კუბის წერტილებს სამი კოორდინატი აქვთ. და თითოეული არის ნებისმიერი რიცხვი 0-დან 1-მდე.

ლოგიკურია წარმოვიდგინოთ, რომ 4 განზომილებიანი კუბი არის ნივთი, რომელსაც აქვს 4 კოორდინატი და ყველაფერი 0-დან 1-მდეა.

/* დაუყოვნებლივ ლოგიკურია წარმოვიდგინოთ 1 განზომილებიანი კუბი, რომელიც სხვა არაფერია თუ არა მარტივი სეგმენტი 0-დან 1-მდე. */

მაშ, მოიცადეთ, როგორ დავხატოთ 4 განზომილებიანი კუბი? ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ არ შეგვიძლია დავხატოთ 4 განზომილებიანი სივრცე თვითმფრინავზე!
მაგრამ ჩვენ არ ვხატავთ 3-განზომილებიან სივრცეს თვითმფრინავზე, ჩვენ ვხატავთ მას პროექტირებაორგანზომილებიან სახატავ სიბრტყეზე. მესამე კოორდინატს (z) ვათავსებთ კუთხით, წარმოვიდგინოთ, რომ ღერძი ნახაზის სიბრტყიდან მიდის "ჩვენკენ".

ახლა სრულიად გასაგებია, როგორ დავხატოთ 4 განზომილებიანი კუბი. ისევე, როგორც მესამე ღერძი დავაყენეთ გარკვეულ კუთხით, ავიღოთ მეოთხე ღერძი და ასევე განვათავსოთ იგი გარკვეულ კუთხით.
და - ვოილა! -- 4 განზომილებიანი კუბის პროექცია სიბრტყეზე.

Რა? ეს მაინც რა არის? მე ყოველთვის მესმის ჩურჩული უკანა მერხებიდან. ნება მომეცით უფრო დეტალურად აგიხსნათ, რა არის ხაზების ეს ნაზავი.
ჯერ შეხედეთ სამგანზომილებიან კუბს. რა გავაკეთეთ? კვადრატი ავიღეთ და გავატარეთ მესამე ღერძის გასწვრივ (z). ეს ჰგავს ბევრ, ბევრ ქაღალდის კვადრატს, რომლებიც ერთმანეთზეა დაწყობილი.
იგივეა 4 განზომილებიანი კუბიც. მოხერხებულობისთვის და სამეცნიერო ფანტასტიკისთვის მეოთხე ღერძს ვუწოდოთ „დროის ღერძი“. ჩვენ უნდა ავიღოთ ჩვეულებრივი სამგანზომილებიანი კუბი და გადავათრიოთ დროში „ახლა“ დროიდან „ერთ საათში“.

ჩვენ გვაქვს "ახლა" კუბი. სურათზე არის ვარდისფერი.

ახლა კი მას მეოთხე ღერძის გასწვრივ ვათრევთ - დროის ღერძის გასწვრივ (მე ვაჩვენე მწვანეში). და ჩვენ ვიღებთ მომავლის კუბს - ლურჯი.

"ახლა კუბის" თითოეული წვერო დროში ტოვებს კვალს - სეგმენტს. მისი აწმყოს მომავალთან დაკავშირება.

მოკლედ, ყოველგვარი ტექსტის გარეშე: დავხატეთ ორი იდენტური 3-განზომილებიანი კუბი და დავაკავშირეთ შესაბამისი წვერები.
ზუსტად ისევე, როგორც გააკეთეს 3-განზომილებიანი კუბიკით (დახატეთ 2 იდენტური 2-განზომილებიანი კუბი და დააკავშირეთ წვეროები).

5 განზომილებიანი კუბის დასახატად მოგიწევთ 4 განზომილებიანი კუბის ორი ასლის დახატვა (4 განზომილებიანი კუბი მეხუთე კოორდინატი 0 და 4 განზომილებიანი კუბი მეხუთე კოორდინატი 1) და დააკავშიროთ შესაბამისი წვეროები კიდეებით. მართალია, თვითმფრინავში ისეთი კიდეების არეულობა იქნება, რომ არაფრის გაგება თითქმის შეუძლებელი იქნება.

მას შემდეგ რაც წარმოვიდგინეთ 4 განზომილებიანი კუბი და შევძელით მისი დახატვაც კი, შეგვიძლია მისი შესწავლა სხვადასხვა გზით. დაიმახსოვრეთ მისი შესწავლა როგორც გონებაში, ასევე სურათიდან.
Მაგალითად. 2 განზომილებიანი კუბი 4 მხრიდან შემოსაზღვრულია 1 განზომილებიანი კუბებით. ეს ლოგიკურია: 2 კოორდინატიდან თითოეულს აქვს დასაწყისიც და დასასრულიც.
სამგანზომილებიანი კუბი 6 მხრიდან შემოსაზღვრულია 2 განზომილებიანი კუბებით. სამი კოორდინატიდან თითოეულს აქვს დასაწყისი და დასასრული.
ეს ნიშნავს, რომ 4 განზომილებიანი კუბი უნდა შემოიფარგლოს რვა სამგანზომილებიანი კუბით. თითოეული 4 კოორდინატისთვის - ორივე მხარეს. ზემოთ მოცემულ ფიგურაში ჩვენ ნათლად ვხედავთ 2 სახეს, რომლებიც ზღუდავენ მას „დროის“ კოორდინატთან.

აქ არის ორი კუბი (ისინი ოდნავ ირიბია, რადგან მათ აქვთ 2 განზომილება დახრილი სიბრტყეზე), რაც ზღუდავს ჩვენს ჰიპერკუბს მარცხნივ და მარჯვნივ.

ასევე ადვილი შესამჩნევია "ზედა" და "ქვედა".

ყველაზე რთულია ვიზუალურად იმის გაგება, თუ სად არის "წინა" და "უკანა". წინა კიდე იწყება "კუბის ახლა" წინა კიდედან და "მომავლის კუბის" წინა კიდემდე - წითელია. უკანა არის იასამნისფერი.

მათი შემჩნევა ყველაზე რთულია, რადგან სხვა კუბურები ჩახლართულია თქვენს ფეხქვეშ, რაც ზღუდავს ჰიპერკუბს სხვა პროეციულ კოორდინატზე. მაგრამ გაითვალისწინეთ, რომ კუბურები მაინც განსხვავებულია! აქ არის ისევ სურათი, სადაც ხაზგასმულია "კუბი ახლანდელი" და "მომავლის კუბი".

რა თქმა უნდა, შესაძლებელია 4-განზომილებიანი კუბის დაპროექტება 3-განზომილებიან სივრცეში.
პირველი შესაძლო სივრცითი მოდელი ნათელია, როგორ გამოიყურება: თქვენ უნდა აიღოთ 2 კუბური ჩარჩო და დააკავშიროთ მათი შესაბამისი წვერები ახალი კიდით.
მე არ მაქვს ეს მოდელი მარაგში. ლექციაზე სტუდენტებს ვაჩვენებ 4-განზომილებიანი კუბის ოდნავ განსხვავებულ სამგანზომილებიან მოდელს.

თქვენ იცით, როგორ ხდება კუბის დაპროექტება ასეთ თვითმფრინავზე.
თითქოს ზემოდან ვუყურებთ კუბს.

ახლო ზღვარი, რა თქმა უნდა, დიდია. და შორი კიდე უფრო პატარა ჩანს, ჩვენ მას ვხედავთ ახლოდან.

ასე შეგიძლიათ დაპროექტოთ 4 განზომილებიანი კუბი. კუბი ახლა უფრო დიდია, ჩვენ ვხედავთ მომავლის კუბს შორს, ამიტომ ის უფრო პატარა ჩანს.

Მეორეს მხრივ. ზემოდან.

პირდაპირ კიდედან:

ნეკნების მხრიდან:

და ბოლო კუთხე, ასიმეტრიული. განყოფილებიდან "მითხარი, რომ მის ნეკნებს შორის გავიხედე".

კარგი, მაშინ შეგიძლია მოიფიქრო ყველაფერი. მაგალითად, როგორც ხდება 3-განზომილებიანი კუბის განვითარება სიბრტყეზე (ეს ჰგავს ფურცლის ამოჭრას ისე, რომ დაკეცვისას მიიღოთ კუბი), იგივე ხდება 4-განზომილებიანი კუბის განვითარებასთან დაკავშირებით. სივრცე. ეს ჰგავს ხის ნაჭრის ამოჭრას ისე, რომ მისი 4 განზომილებიან სივრცეში დაკეცვით მივიღოთ ტესერაქტი.

თქვენ შეგიძლიათ შეისწავლოთ არა მხოლოდ 4-განზომილებიანი კუბი, არამედ ზოგადად n-განზომილებიანი კუბურები. მაგალითად, მართალია თუ არა, რომ n-განზომილებიანი კუბის გარშემო შემოხაზული სფეროს რადიუსი ნაკლებია ამ კუბის კიდის სიგრძეზე? ან აქ არის უფრო მარტივი კითხვა: რამდენი წვერო აქვს n-განზომილებიან კუბს? რამდენი კიდეები (1 განზომილებიანი სახე)?

ტესერაქტი (ძველი ბერძნულიდან τέσσερες ἀκτῖνες - ოთხი სხივი) არის ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი - კუბის ანალოგი ოთხგანზომილებიან სივრცეში.

გამოსახულება არის ოთხგანზომილებიანი კუბის პროექცია (პერსპექტივა) სამგანზომილებიან სივრცეზე.

ოქსფორდის ლექსიკონის მიხედვით, სიტყვა „ტესერაქტი“ გამოიგონა და გამოიყენა 1888 წელს ჩარლზ ჰოვარდ ჰინტონმა (1853–1907) თავის წიგნში „აზროვნების ახალი ხანა“. მოგვიანებით ზოგიერთმა იმავე ფიგურას „ტეტრაკუბი“ უწოდა.

გეომეტრია

ჩვეულებრივი ტესერაქტი ევკლიდეს ოთხგანზომილებიან სივრცეში განისაზღვრება, როგორც წერტილების ამოზნექილი კორპუსი (±1, ±1, ±1, ±1). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შემდეგი ნაკრები:

ტესერაქტი შემოიფარგლება რვა ჰიპერპლანით, რომელთა გადაკვეთა თავად ტესერაქტთან განსაზღვრავს მის სამგანზომილებიან სახეებს (რომლებიც ჩვეულებრივი კუბურებია). არაპარალელური 3D სახეების ყოველი წყვილი იკვეთება და ქმნის 2D სახეებს (კვადრატებს) და ა.შ. საბოლოოდ, ტესერაქტს აქვს 8 3D სახე, 24 2D სახე, 32 კიდე და 16 წვერო.

პოპულარული აღწერა

ერთგანზომილებიან „სივრცეში“ - წრფეზე - ვირჩევთ L სიგრძის AB სეგმენტს. AB-დან L მანძილზე მდებარე ორგანზომილებიან სიბრტყეზე ვხატავთ მის პარალელურად DC სეგმენტს და ვაკავშირებთ მათ ბოლოებს. შედეგი არის კვადრატული ABCD. ამ ოპერაციის გამეორებით თვითმფრინავით, ვიღებთ სამგანზომილებიან კუბს ABCDHEFG. ხოლო კუბის მეოთხე განზომილებაში (პირველ სამზე პერპენდიკულარულად) L მანძილით გადაწევით მივიღებთ ჰიპერკუბს ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

ერთგანზომილებიანი სეგმენტი AB ემსახურება ორგანზომილებიანი კვადრატის ABCD მხარეს, კვადრატი - როგორც ABCDHEFG კუბის მხარე, რომელიც, თავის მხრივ, იქნება ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის მხარე. სწორი ხაზის სეგმენტს აქვს ორი სასაზღვრო წერტილი, კვადრატს აქვს ოთხი წვერო, ხოლო კუბს აქვს რვა. ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბში იქნება 16 წვერო: საწყისი კუბის 8 წვერო და მეოთხე განზომილებაში გადატანილი 8. მას აქვს 32 კიდე - თითოეული 12 იძლევა ორიგინალური კუბის საწყის და საბოლოო პოზიციებს, ხოლო კიდევ 8 კიდე „ხატავს“ მის რვა წვეროს, რომლებიც გადავიდა მეოთხე განზომილებაში. იგივე მსჯელობა შეიძლება გაკეთდეს ჰიპერკუბის სახეებისთვის. ორგანზომილებიან სივრცეში არის მხოლოდ ერთი (თვით კვადრატი), კუბს აქვს 6 მათგანი (ორი სახე გადატანილი კვადრატიდან და კიდევ ოთხი, რომელიც აღწერს მის გვერდებს). ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბს აქვს 24 კვადრატული სახე - ორიგინალური კუბის 12 კვადრატი ორ პოზიციაზე და 12 კვადრატი მისი თორმეტი კიდედან.

ტესერაქტის შეფუთვა

ავიღოთ მავთულის კუბიკი ABCDHEFG და შევხედოთ მას ერთი თვალით კიდის მხრიდან. ჩვენ დავინახავთ და შეგვიძლია დავხატოთ ორი კვადრატი სიბრტყეზე (მისი ახლო და შორეული კიდეები), რომლებიც დაკავშირებულია ოთხი ხაზით - გვერდითი კიდეებით. ანალოგიურად, ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი სამგანზომილებიან სივრცეში გამოიყურება როგორც ორი კუბური „ყუთი“, რომლებიც ჩასმულია ერთმანეთში და დაკავშირებულია რვა კიდით. ამ შემთხვევაში, თავად "ყუთები" - სამგანზომილებიანი სახეები - იქნება დაპროექტებული "ჩვენს" სივრცეში და მათი დამაკავშირებელი ხაზები გადაჭიმული იქნება მეოთხე განზომილებაში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ სცადოთ წარმოიდგინოთ კუბი არა პროექციაში, არამედ სივრცულ გამოსახულებაში.

ისევე, როგორც სამგანზომილებიანი კუბი იქმნება მისი სახის სიგრძით გადანაცვლებული კვადრატით, მეოთხე განზომილებაში გადატანილი კუბი წარმოქმნის ჰიპერკუბს. ის შემოიფარგლება რვა კუბიკით, რომლებიც პერსპექტივაში საკმაოდ რთულ ფიგურას წააგავს. ნაწილი, რომელიც დარჩა "ჩვენს" სივრცეში, დახაზულია მყარი ხაზებით, ხოლო ნაწილი, რომელიც გადავიდა ჰიპერსივრცეში, დახაზულია წერტილოვანი ხაზებით. ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი თავისთავად შედგება უსასრულო რაოდენობის კუბებისგან, ისევე როგორც სამგანზომილებიანი კუბი შეიძლება "დაიჭრას" უსასრულო რაოდენობის ბრტყელ კვადრატებად.

სამგანზომილებიანი კუბის ექვსი სახის მოჭრით, შეგიძლიათ მისი დაშლა ბრტყელ ფიგურად - განვითარებად. მას ექნება კვადრატი ორიგინალური სახის თითოეულ მხარეს, პლუს კიდევ ერთი - მის საპირისპირო სახე. და ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის სამგანზომილებიანი განვითარება შედგება ორიგინალური კუბისაგან, მისგან "იზრდება" ექვსი კუბი, პლუს კიდევ ერთი - საბოლოო "ჰიპერფეისი".

პროგნოზები

ორგანზომილებიან სივრცემდე

ეს სტრუქტურა ძნელი წარმოსადგენია, მაგრამ შესაძლებელია ტესერაქტის პროექტირება ორგანზომილებიან ან სამგანზომილებიან სივრცეებში. გარდა ამისა, სიბრტყეზე პროექცია აადვილებს ჰიპერკუბის წვეროების ადგილმდებარეობის გაგებას. ამ გზით შესაძლებელია გამოსახულებების მიღება, რომლებიც აღარ ასახავს სივრცით კავშირებს ტეზერაქტის შიგნით, მაგრამ ასახავს წვეროს კავშირის სტრუქტურას, როგორც შემდეგ მაგალითებში:

სამგანზომილებიან სივრცეში

ტეზერაქტის პროექცია სამგანზომილებიან სივრცეზე წარმოადგენს ორ ჩადგმულ სამგანზომილებიან კუბს, რომელთა შესაბამისი წვეროები დაკავშირებულია სეგმენტებით. შიდა და გარე კუბებს აქვთ სხვადასხვა ზომა სამგანზომილებიან სივრცეში, მაგრამ ოთხგანზომილებიან სივრცეში ისინი თანაბარი კუბურებია. ყველა ტეზერაქტის კუბის თანასწორობის გასაგებად, შეიქმნა მბრუნავი ტეზერაქტის მოდელი.

ტესერაქტის კიდეების გასწვრივ ექვსი დამსხვრეული პირამიდა ტოლი ექვსი კუბის გამოსახულებაა.
სტერეო წყვილი

ტესერაქტი ხელოვნებაში

ედვინა ა-ს „ახალ აბბოტის დაბლობში“ ჰიპერკუბი მთხრობელის როლს ასრულებს.
ჯიმი ნეიტრონის თავგადასავლების ერთ ეპიზოდში: "ბიჭის გენიოსი", ჯიმი იგონებს ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბს, რომელიც იდენტურია ჰაინლაინის 1963 წლის რომანის დიდების გზის დასაკეცი ყუთის.
რობერტ ე. ჰაინლეინმა ახსენა ჰიპერკუბები სულ მცირე სამ სამეცნიერო ფანტასტიკურ მოთხრობაში. ოთხი განზომილების სახლში (The House That Teal Built) (1940) მან აღწერა სახლი, რომელიც აშენებულია შეუფუთავი ტესერაქტივით.
ჰაინლეინის რომანი დიდების გზა აღწერს ჰიპერ ზომის კერძებს, რომლებიც შიგნიდან უფრო დიდი იყო, ვიდრე გარედან.
ჰენრი კუტნერის მოთხრობა "Mimsy Were the Borogoves" აღწერს საგანმანათლებლო სათამაშოს ბავშვებისთვის შორეული მომავლისგან, სტრუქტურით მსგავსი ტესერაქტის.
ალექს გარლანდის რომანში (1999) ტერმინი "ტესერაქტი" გამოიყენება ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის სამგანზომილებიანი გაშლისთვის, ვიდრე თავად ჰიპერკუბის. ეს არის მეტაფორა, რომელიც შექმნილია იმის დასანახად, რომ შემეცნებითი სისტემა უნდა იყოს უფრო ფართო, ვიდრე შეცნობადი.
კუბი 2-ის სიუჟეტი: ჰიპერკუბი ორიენტირებულია რვა უცნობზე, რომლებიც ჩარჩენილია "ჰიპერკუბში", ან დაკავშირებული კუბების ქსელში.
სატელევიზიო სერიალი ანდრომედა იყენებს ტესერაქტის გენერატორებს, როგორც სიუჟეტის მოწყობილობას. ისინი ძირითადად შექმნილია სივრცისა და დროის მანიპულირებისთვის.
სალვადორ დალის ნახატი "ჯვარცმა" (კორპუსის ჰიპერკუბუსი) (1954)
Nextwave-ის კომიქსები ასახავს მანქანას, რომელიც მოიცავს 5 ტეზერაქტის ზონას.
ალბომში Voivod Nothingface ერთ-ერთ კომპოზიციას ჰქვია "ჩემს ჰიპერკუბში".
ენტონი პირსის რომანში Route Cube, საერთაშორისო განვითარების ასოციაციის ერთ-ერთ ორბიტაზე მომუშავე მთვარე ეწოდება ტესერაქტს, რომელიც შეკუმშულია 3 განზომილებაში.
სერიალში "სკოლა" Შავი ხვრელი"" მესამე სეზონში არის ეპიზოდი "ტესერაქტი". ლუკასი აჭერს საიდუმლო ღილაკს და სკოლა იწყებს ფორმას, როგორც მათემატიკური ტესერაქტი.
ტერმინი "ტესერაქტი" და მისი წარმოებული ტერმინი "ტესერაქტი" გვხვდება მადლენ ლ'ენგლის მოთხრობაში "დროში ნაოჭი".

ადამიანის ტვინის ევოლუცია მოხდა სამგანზომილებიან სივრცეში. აქედან გამომდინარე, ჩვენთვის ძნელი წარმოსადგენია სივრცეები სამზე მეტი ზომებით. სინამდვილეში, ადამიანის ტვინს არ შეუძლია წარმოიდგინოს გეომეტრიული ობიექტები სამზე მეტი ზომებით. და ამავე დროს, ჩვენ შეგვიძლია ადვილად წარმოვიდგინოთ გეომეტრიული ობიექტები არა მხოლოდ სამი, არამედ ორი და ერთი ზომებით.

განსხვავება და ანალოგია ერთგანზომილებიან და ორგანზომილებიან სივრცეებს შორის, ისევე როგორც განსხვავება და ანალოგია ორგანზომილებიან და სამგანზომილებიან სივრცეებს შორის, საშუალებას გვაძლევს ოდნავ გავხსნათ საიდუმლოების ეკრანი, რომელიც გვაშორებს უფრო მაღალი განზომილებების სივრცეებს. იმის გასაგებად, თუ როგორ გამოიყენება ეს ანალოგია, განვიხილოთ ძალიან მარტივი ოთხგანზომილებიანი ობიექტი - ჰიპერკუბი, ანუ ოთხგანზომილებიანი კუბი. კონკრეტულად რომ ვთქვათ, ვთქვათ, გვსურს კონკრეტული პრობლემის გადაჭრა, კერძოდ, დავთვალოთ ოთხგანზომილებიანი კუბის კვადრატული სახეების რაოდენობა. ყველა შემდგომი განხილვა იქნება ძალიან სუსტი, ყოველგვარი მტკიცებულების გარეშე, წმინდა ანალოგიით.

იმის გასაგებად, თუ როგორ იქმნება ჰიპერკუბი ჩვეულებრივი კუბიდან, ჯერ უნდა დაათვალიეროთ, როგორ აშენდება ჩვეულებრივი კუბი ჩვეულებრივი კვადრატიდან. ამ მასალის წარმოდგენის ორიგინალურობისთვის ჩვენ აქ ჩვეულებრივ კვადრატს დავარქმევთ SubCube-ს (და არ ავურიოთ მას სუკუბუსში).

სუბკუბისგან კუბის ასაგებად, თქვენ უნდა გააფართოვოთ ქვეკუბი მიმართულებით სიბრტყეზე პერპენდიკულარულიქვეკუბი მესამე განზომილების მიმართულებით. ამ შემთხვევაში, საწყისი ქვეკუბის თითოეული მხრიდან გაიზრდება ქვეკუბი, რომელიც არის კუბის გვერდითი ორგანზომილებიანი სახე, რომელიც ზღუდავს კუბის სამგანზომილებიან მოცულობას ოთხი მხრიდან, ორი პერპენდიკულარული თითოეული მიმართულებით. ქვეკუბის სიბრტყე. და ახალი მესამე ღერძის გასწვრივ ასევე არის ორი ქვეკუბი, რომელიც ზღუდავს კუბის სამგანზომილებიან მოცულობას. ეს არის ორგანზომილებიანი სახე, სადაც ჩვენი ქვეკუბი თავდაპირველად მდებარეობდა და კუბის ის ორგანზომილებიანი სახე, სადაც კუბი კუბის აგების ბოლოს მოვიდა.

ის, რაც ახლა წაიკითხეთ, წარმოდგენილია ზედმეტად დეტალურად და უამრავი განმარტებით. და კარგი მიზეზის გამო. ახლა ჩვენ გავაკეთებთ ასეთ ხრიკს, ჩვენ ოფიციალურად ჩავცვლით რამდენიმე სიტყვას წინა ტექსტში ამ გზით:
კუბი -> ჰიპერკუბი
ქვეკუბი -> კუბი
თვითმფრინავი -> მოცულობა
მესამე -> მეოთხე
ორგანზომილებიანი -> სამგანზომილებიანი
ოთხი -> ექვსი
სამგანზომილებიანი -> ოთხგანზომილებიანი
ორი -> სამი
თვითმფრინავი -> სივრცე

შედეგად, ვიღებთ შემდეგ შინაარსობრივ ტექსტს, რომელიც აღარ ჩანს ზედმეტად დეტალურად.

კუბისგან ჰიპერკუბის ასაგებად, თქვენ უნდა გაჭიმოთ კუბი კუბის მოცულობის პერპენდიკულარული მიმართულებით მეოთხე განზომილების მიმართულებით. ამ შემთხვევაში, თავდაპირველი კუბის თითოეული მხრიდან გაიზრდება კუბი, რომელიც არის ჰიპერკუბის გვერდითი სამგანზომილებიანი სახე, რომელიც შეზღუდავს ჰიპერკუბის ოთხგანზომილებიან მოცულობას ექვსი მხრიდან, სამი პერპენდიკულარული თითოეული მიმართულებით. კუბის სივრცე. და ახალი მეოთხე ღერძის გასწვრივ ასევე არის ორი კუბი, რომლებიც ზღუდავს ჰიპერკუბის ოთხგანზომილებიან მოცულობას. ეს არის სამგანზომილებიანი სახე, სადაც თავდაპირველად მდებარეობდა ჩვენი კუბი და ჰიპერკუბის ის სამგანზომილებიანი სახე, სადაც კუბი მოვიდა ჰიპერკუბის აგების ბოლოს.

რატომ ვართ ასე დარწმუნებული, რომ მივიღეთ ჰიპერკუბის აგების სწორი აღწერა? დიახ, რადგან სიტყვების ზუსტად იგივე ფორმალური ჩანაცვლებით ვიღებთ კუბის აგების აღწერას კვადრატის აგების აღწერიდან. (შეამოწმეთ ეს თქვენთვის.)

ახლა გასაგებია, რომ თუ კიდევ ერთი სამგანზომილებიანი კუბი უნდა გაიზარდოს კუბის თითოეული მხრიდან, მაშინ სახე უნდა გაიზარდოს საწყისი კუბის თითოეული კიდედან. საერთო ჯამში, კუბს აქვს 12 კიდე, რაც ნიშნავს, რომ დამატებით 12 ახალი სახე (ქვეკუბი) გამოჩნდება იმ 6 კუბზე, რომელიც ზღუდავს ოთხგანზომილებიან მოცულობას სამგანზომილებიანი სივრცის სამი ღერძის გასწვრივ. და დარჩა კიდევ ორი კუბი, რომელიც ზღუდავს ამ ოთხგანზომილებიან მოცულობას ქვემოდან და ზემოდან მეოთხე ღერძის გასწვრივ. თითოეულ ამ კუბს აქვს 6 სახე.

საერთო ჯამში ვხვდებით, რომ ჰიპერკუბს აქვს 12+6+6=24 კვადრატული სახე.

შემდეგი სურათი გვიჩვენებს ჰიპერკუბის ლოგიკურ სტრუქტურას. ეს ჰგავს ჰიპერკუბის პროექციას სამგანზომილებიან სივრცეზე. ეს ქმნის ნეკნების სამგანზომილებიან ჩარჩოს. ფიგურაში, ბუნებრივია, ხედავთ ამ ჩარჩოს პროექციას თვითმფრინავზე.

ამ ჩარჩოზე, შიდა კუბი ჰგავს საწყის კუბს, საიდანაც დაიწყო მშენებლობა და რომელიც ზღუდავს ჰიპერკუბის ოთხგანზომილებიან მოცულობას მეოთხე ღერძის გასწვრივ ქვემოდან. ამ საწყის კუბს ზევით ვჭიმავთ გაზომვის მეოთხე ღერძის გასწვრივ და ის გადადის გარე კუბში. ამრიგად, ამ ფიგურის გარე და შიდა კუბურები ზღუდავს ჰიპერკუბს გაზომვის მეოთხე ღერძის გასწვრივ.

და ამ ორ კუბს შორის შეგიძლიათ იხილოთ კიდევ 6 ახალი კუბი, რომლებიც პირველ ორს ეხება საერთო სახეებს. ეს ექვსი კუბი აკავშირებდა ჩვენს ჰიპერკუბს სამგანზომილებიანი სივრცის სამი ღერძის გასწვრივ. როგორც ხედავთ, ისინი არა მხოლოდ პირველ ორ კუბთან არიან კონტაქტში, რომლებიც ამ სამგანზომილებიანი ჩარჩოს შიდა და გარე კუბურებია, არამედ ისინი ასევე კონტაქტში არიან ერთმანეთთან.

შეგიძლიათ პირდაპირ დათვალოთ ფიგურაში და დარწმუნდეთ, რომ ჰიპერკუბს ნამდვილად აქვს 24 სახე. მაგრამ ეს კითხვა ჩნდება. ეს ჰიპერკუბური ჩარჩო სამგანზომილებიან სივრცეში ივსება რვა სამგანზომილებიანი კუბით ყოველგვარი ხარვეზების გარეშე. ჰიპერკუბის ამ სამგანზომილებიანი პროექციისგან ნამდვილი ჰიპერკუბის შესაქმნელად, თქვენ უნდა გადააქციოთ ეს ჩარჩო შიგნიდან ისე, რომ 8 კუბმა შეკრას 4 განზომილებიანი მოცულობა.

კეთდება ასე. ვიწვევთ ოთხგანზომილებიანი სივრცის მაცხოვრებელს, რომ გვესტუმროს და ვთხოვოთ დახმარება. ის იკავებს ამ ჩარჩოს შიდა კუბს და მოძრაობს მას მეოთხე განზომილების მიმართულებით, რომელიც პერპენდიკულარულია ჩვენი სამგანზომილებიანი სივრცის მიმართ. ჩვენს სამგანზომილებიან სივრცეში მას ისე აღვიქვამთ, თითქოს მთელი შიდა ჩარჩო გაქრა და მხოლოდ გარე კუბის ჩარჩო დარჩა.

გარდა ამისა, ჩვენი ოთხგანზომილებიანი ასისტენტი სთავაზობს დახმარებას სამშობიაროებში უმტკივნეულო მშობიარობისთვის, მაგრამ ჩვენს ორსულებს აშინებს პერსპექტივა, რომ ბავშვი უბრალოდ გაქრება კუჭიდან და დასრულდება პარალელურ სამგანზომილებიან სივრცეში. ამიტომ ოთხგანზომილებიან ადამიანს თავაზიანად უარს ეუბნებიან.

და ჩვენ გვაწუხებს კითხვა, დაიშალა თუ არა ჩვენი ზოგიერთი კუბური, როდესაც ჰიპერკუბის ჩარჩოს შიგნით ვაქციეთ. ბოლოს და ბოლოს, თუ ჰიპერკუბის ირგვლივ ზოგიერთი სამგანზომილებიანი კუბი სახეებით შეეხება მეზობლებს ჩარჩოზე, შეეხებიან თუ არა ისინი იმავე სახეებს, თუ ოთხგანზომილებიანი კუბი ჩარჩოს შიგნით აქცევს?

მოდით კვლავ მივმართოთ ანალოგიას ქვედა განზომილებების სივრცეებთან. შეადარეთ ჰიპერკუბის ჩარჩოს გამოსახულება სამგანზომილებიანი კუბის პროექციას შემდეგ სურათზე ნაჩვენები სიბრტყეზე.

ორგანზომილებიანი სივრცის მაცხოვრებლებმა თვითმფრინავზე ააგეს ჩარჩო კუბის თვითმფრინავზე პროექციისთვის და მოგვიწვიეს ჩვენ, სამგანზომილებიანი მაცხოვრებლები, რომ ეს ჩარჩო შიგნიდან გარეთ გადაგვებრუნებინა. ვიღებთ შიდა კვადრატის ოთხ წვეროს და გადავაადგილებთ სიბრტყეზე პერპენდიკულურად. ორგანზომილებიანი მაცხოვრებლები ხედავენ მთლიანი შიდა ჩარჩოს სრულ გაქრობას და მათ რჩებათ მხოლოდ გარე კვადრატის ჩარჩო. ასეთი მოქმედებით, ყველა კვადრატი, რომელიც კონტაქტში იყო მათ კიდეებთან, აგრძელებს შეხებას იმავე კიდეებთან.

ამიტომ, ვიმედოვნებთ, რომ ჰიპერკუბის ჩარჩოს შიგნით შემობრუნებისას ასევე არ დაირღვევა ჰიპერკუბის ლოგიკური სქემა და ჰიპერკუბის კვადრატული სახეების რაოდენობა არ გაიზრდება და კვლავ იქნება 24-ის ტოლი. ეს, რა თქმა უნდა. , საერთოდ არ არის მტკიცებულება, მაგრამ წმინდა გამოცნობა ანალოგიით.

ყველაფრის შემდეგ, რაც აქ წაიკითხეთ, შეგიძლიათ მარტივად დახატოთ ხუთგანზომილებიანი კუბის ლოგიკური ჩარჩო და გამოთვალოთ მის წვეროების, კიდეების, სახეების, კუბებისა და ჰიპერკუბების რაოდენობა. სულაც არ არის რთული.