Հեքիաթներ

Թվաբանական առաջընթացի գումարը որոշելու բանաձևը. Թվաբանական առաջընթացի գումարը: Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացների փոխհարաբերությունները

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»:
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)

Թվաբանական առաջընթացը թվերի մի շարք է, որոնցում յուրաքանչյուր թիվ նույնքանով մեծ է (կամ փոքր), քան նախորդը։

Այս թեման հաճախ դժվար է ու անհասկանալի։ Նամակների ցուցիչներ, n-րդ կիսամյակառաջընթացներ, առաջընթացի տարբերություն - այս ամենը ինչ-որ կերպ շփոթեցնող է, այո ... Եկեք պարզենք թվաբանական առաջընթացի իմաստը և ամեն ինչ անմիջապես կստացվի:)

Թվաբանական առաջընթացի հայեցակարգը.

Թվաբանական առաջընթացը շատ պարզ և հստակ հասկացություն է։ Կասկածե՞ր։ Իզուր։) Ինքներդ տեսեք։

Ես կգրեմ թվերի անավարտ շարք.

1, 2, 3, 4, 5, ...

Կարող եք երկարացնել այս գիծը: Ո՞ր թվերն են հաջորդում՝ հինգից հետո: Բոլորը ... հը ..., մի խոսքով, բոլորը կհասկանան, որ 6, 7, 8, 9 և այլն թվերը ավելի հեռուն կգնան:

Եկեք բարդացնենք խնդիրը. Ես տալիս եմ թվերի անավարտ շարք.

2, 5, 8, 11, 14, ...

Դուք կարող եք բռնել օրինակը, երկարացնել շարքը և անվանել յոթերորդշարքի համարը?

Եթե դուք հասկացաք, որ այս թիվը 20 է, շնորհավորում եմ ձեզ: Դուք ոչ միայն զգացիք թվաբանական առաջընթացի հիմնական կետերը,այլ նաև հաջողությամբ օգտագործել դրանք բիզնեսում: Եթե չեք հասկանում, կարդացեք:

Հիմա եկեք հիմնական կետերը սենսացիաներից թարգմանենք մաթեմատիկայի։)

Առաջին առանցքային կետը.

Թվաբանական առաջընթացը վերաբերում է թվերի շարքին:Սա սկզբում շփոթեցնող է: Մենք սովոր ենք հավասարումներ լուծել, գրաֆիկներ կառուցել և այդ ամենը… Եվ հետո երկարացնել շարքը, գտնել շարքի համարը…

Ամեն ինչ կարգին է. Պարզապես պրոգրեսիաները մաթեմատիկայի նոր ճյուղի հետ առաջին ծանոթությունն են։ Բաժինը կոչվում է «Սերիա» և աշխատում է թվերի և արտահայտությունների շարքով։ Ընտելացեք դրան։)

Երկրորդ առանցքային կետը.

Թվաբանական առաջընթացում ցանկացած թիվ տարբերվում է նախորդից նույն չափով։

Առաջին օրինակում այս տարբերությունը մեկն է. Ինչ թիվ էլ վերցնես, նախորդից մեկով ավելի է։ Երկրորդում `երեք: Ցանկացած թիվ երեք անգամ մեծ է նախորդից: Իրականում հենց այս պահն է, որ մեզ հնարավորություն է տալիս բռնել օրինաչափությունը և հաշվարկել հաջորդ թվերը։

Երրորդ առանցքային կետը.

Այս պահը տպավորիչ չէ, այո... Բայց շատ, շատ կարևոր: Ահա նա. առաջընթացի յուրաքանչյուր թիվ իր տեղում է:Կա առաջին թիվը, կա յոթերորդը, կա քառասունհինգերորդը և այլն: Եթե դրանք պատահաբար շփոթեք, ապա օրինաչափությունը կվերանա: Թվաբանական առաջընթացը նույնպես կվերանա։ Դա ընդամենը թվերի շարք է:

Ամբողջ իմաստը դա է:

Իհարկե, նոր թեմայում հայտնվում են նոր տերմիններ և նշումներ։ Նրանք պետք է իմանան. Հակառակ դեպքում, դուք չեք հասկանա առաջադրանքը: Օրինակ, դուք պետք է որոշեք նման բան.

Գրեք թվաբանական առաջընթացի առաջին վեց անդամները (a n), եթե a 2 = 5, d = -2,5:

Ոգեշնչու՞մ է) Նամակներ, որոշ ցուցանիշներ... Իսկ առաջադրանքն, ի դեպ, ավելի հեշտ չէր կարող լինել։ Պարզապես պետք է հասկանալ տերմինների և նշումների իմաստը: Այժմ մենք կյուրացնենք այս գործը և կվերադառնանք առաջադրանքին։

Պայմաններ և նշանակումներ.

Թվաբանական առաջընթացթվերի շարք է, որոնցում յուրաքանչյուր թիվ տարբերվում է նախորդից նույն չափով։

Այս արժեքը կոչվում է . Եկեք ավելի մանրամասն անդրադառնանք այս հայեցակարգին:

Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.

Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունայն գումարն է, որով ցանկացած առաջընթացի թիվ ավելիննախորդը.

Մի կարևոր կետ. Խնդրում եմ ուշադրություն դարձրեք բառին «ավելին».Մաթեմատիկորեն դա նշանակում է, որ ստացվում է յուրաքանչյուր պրոգրեսիայի համար ավելացնելովթվաբանական առաջընթացի տարբերությունը նախորդ թվին:

Հաշվարկելու համար ասենք երկրորդշարքի համարները, անհրաժեշտ է առաջինթիվ ավելացնելթվաբանական պրոգրեսիայի հենց այս տարբերությունը: Հաշվարկի համար հինգերորդ- տարբերությունն անհրաժեշտ է ավելացնելԴեպի չորրորդլավ և այլն:

Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունՄիգուցե դրականայդ դեպքում շարքի յուրաքանչյուր համար իրական կդառնա ավելի շատ, քան նախորդը:Այս առաջընթացը կոչվում է աճող։Օրինակ:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Ահա յուրաքանչյուր թիվ ավելացնելովդրական թիվ՝ +5 նախորդին։

Տարբերությունը կարող է լինել բացասականապա շարքի յուրաքանչյուր թիվ կլինի ավելի քիչ, քան նախորդը:Այս առաջընթացը կոչվում է (չեք հավատա!) նվազում է։

Օրինակ:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Այստեղ նույնպես ստացվում է յուրաքանչյուր թիվ ավելացնելովնախորդին, բայց բացասական թիվ, -5.

Ի դեպ, պրոգրեսիայի հետ աշխատելիս շատ օգտակար է անմիջապես որոշել դրա բնույթը` ավելանում է, թե նվազում: Դա շատ է օգնում որոշման մեջ ձեր կողմնորոշումը գտնելու, ձեր սխալները բացահայտելու և դրանք շտկելու համար, քանի դեռ ուշ չէ:

Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունսովորաբար նշվում է տառով դ.

Ինչպես գտնել դ? Շատ պարզ. Շարքի ցանկացած թվից պետք է հանել նախորդթիվ. հանել. Ի դեպ, հանման արդյունքը կոչվում է «տարբերություն»):

Սահմանենք, օրինակ. դաճող թվաբանական առաջընթացի համար.

2, 5, 8, 11, 14, ...

Վերցնում ենք մեր ուզած տողի ցանկացած թիվ, օրինակ՝ 11. Դրանից հանում ենք նախորդ համարըդրանք. 8:

Սա ճիշտ պատասխանն է։ Այս թվաբանական առաջընթացի համար տարբերությունը երեք է:

Դուք կարող եք պարզապես վերցնել ցանկացած քանակի առաջընթաց,որովհետեւ կոնկրետ առաջընթացի համար դ-միշտ նույնը.Գոնե ինչ-որ տեղ շարքի սկզբում, թեկուզ մեջտեղում, թեկուզ ցանկացած տեղ։ Դուք չեք կարող վերցնել միայն առաջին համարը: Միայն այն պատճառով, որ հենց առաջին համարը ոչ նախորդ.)

Ի դեպ, դա իմանալով d=3, այս առաջընթացի յոթերորդ թիվը գտնելը շատ պարզ է: Հինգերորդ թվին գումարում ենք 3 - ստանում ենք վեցերորդը, կլինի 17։ Վեցերորդ թվին գումարում ենք երեք, ստանում ենք յոթերորդ թիվը՝ քսան։

Եկեք սահմանենք դնվազող թվաբանական առաջընթացի համար.

8; 3; -2; -7; -12; .....

Հիշեցնում եմ, որ, անկախ նշաններից, որոշել դանհրաժեշտ է ցանկացած համարից խլել նախորդը.Մենք ընտրում ենք ցանկացած քանակի պրոգրեսիա, օրինակ -7: Նրա նախորդ թիվը -2 է։ Ապա.

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը կարող է լինել ցանկացած թիվ՝ ամբողջ, կոտորակային, իռացիոնալ, ցանկացած։

Այլ տերմիններ և նշանակումներ:

Շարքի յուրաքանչյուր թիվ կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ։

Առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ ունի իր համարը.Թվերը խիստ կարգավորված են՝ առանց որևէ հնարքների։ Առաջին, երկրորդ, երրորդ, չորրորդ և այլն: Օրինակ, 2, 5, 8, 11, 14, ... երկուսը առաջին անդամն է, հինգը երկրորդը, տասնմեկը չորրորդն է, լավ, հասկանում եք…) Խնդրում եմ հստակ հասկացեք. թվերն իրենք ենկարող է լինել բացարձակապես ցանկացած, ամբողջ, կոտորակային, բացասական, ինչ էլ որ լինի, բայց համարակալում- խիստ կարգով:

Ինչպե՞ս գրել առաջընթաց ընդհանուր ձևով: Ոչ մի խնդիր! Շարքի յուրաքանչյուր թիվ գրված է որպես տառ: Թվաբանական առաջընթացը նշելու համար, որպես կանոն, օգտագործվում է տառը ա. Անդամի համարը նշվում է ներքևի աջ մասում գտնվող ինդեքսով: Անդամները գրվում են՝ բաժանված ստորակետերով (կամ ստորակետերով), այսպես.

ա 1, ա 2, ա 3, ա 4, ա 5, .....

ա 1առաջին համարն է ա 3- երրորդ և այլն: Ոչ մի բարդ բան: Այս շարքը կարող եք հակիրճ գրել այսպես. (a n).

Կան առաջընթացներ վերջավոր և անսահման.

Վերջնականառաջընթացն ունի սահմանափակ թվով անդամներ: Հինգ, երեսունութ, ինչ էլ որ լինի: Բայց դա վերջավոր թիվ է:

Անվերջառաջընթաց - ունի անսահման թվով անդամներ, ինչպես կարող եք կռահել:)

Դուք կարող եք գրել վերջնական առաջընթաց այս շարքի միջոցով, բոլոր անդամները և վերջում մի կետ.

ա 1, ա 2, ա 3, ա 4, ա 5:

Կամ այսպես, եթե անդամները շատ են.

ա 1, ա 2, ... ա 14, ա 15:

Կարճ գրառումում դուք պետք է լրացուցիչ նշեք անդամների թիվը: Օրինակ (քսան անդամների համար), այսպես.

(a n), n = 20

Անսահման առաջընթացը կարելի է ճանաչել տողի վերջում գտնվող էլիպսիսով, ինչպես այս դասի օրինակներում:

Այժմ դուք արդեն կարող եք լուծել առաջադրանքները: Առաջադրանքները պարզ են՝ զուտ թվաբանական առաջընթացի իմաստը հասկանալու համար։

Թվաբանական առաջընթացի առաջադրանքների օրինակներ.

Եկեք ավելի մանրամասն նայենք վերը նշված առաջադրանքին.

1. Գրի՛ր թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամները (a n), եթե a 2 = 5, d = -2,5:

Մենք առաջադրանքը թարգմանում ենք հասկանալի լեզվով: Տրվում է անսահման թվաբանական պրոգրեսիա: Այս առաջընթացի երկրորդ թիվը հայտնի է. ա 2 = 5.Հայտնի առաջընթացի տարբերություն. դ = -2,5:Մենք պետք է գտնենք այս առաջընթացի առաջին, երրորդ, չորրորդ, հինգերորդ և վեցերորդ անդամներին:

Պարզության համար գրեմ մի շարք՝ ըստ խնդրի պայմանի։ Առաջին վեց անդամները, որտեղ երկրորդ անդամը հինգն է.

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,...

ա 3 = ա 2 + դ

Արտահայտության մեջ փոխարինում ենք ա 2 = 5Եվ d=-2,5. Մի մոռացեք մինուսը:

ա 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Երրորդ տերմինը երկրորդից քիչ է։ Ամեն ինչ տրամաբանական է. Եթե թիվը մեծ է նախորդից բացասականարժեքը, ուստի թիվն ինքնին պակաս կլինի նախորդից: Առաջընթացը նվազում է. Լավ, եկեք հաշվի առնենք:) Մենք համարում ենք մեր շարքի չորրորդ անդամը.

ա 4 = ա 3 + դ

ա 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

ա 5 = ա 4 + դ

ա 5=0+(-2,5)= - 2,5

ա 6 = ա 5 + դ

ա 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Այսպիսով, երրորդից վեցերորդ ժամկետները հաշվարկված են։ Սա հանգեցրեց մի շարքի.

ա 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Մնում է գտնել առաջին տերմինը ա 1ըստ հայտնի երկրորդի. Սա մի քայլ է մյուս ուղղությամբ՝ դեպի ձախ։) Այստեղից՝ թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը դչպետք է ավելացվի ա 2, Ա վերցրու:

ա 1 = ա 2 - դ

ա 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Դա այն ամենն է, ինչ կա դրա համար: Առաջադրանքի պատասխան.

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Ընդ որում, ես նշում եմ, որ մենք լուծել ենք այս խնդիրը կրկնվողճանապարհ. Սա սարսափելի բառնշանակում է միայն առաջընթացի եզրույթի որոնում նախորդ (կից) թվով.Առաջընթացի հետ աշխատելու այլ ուղիներ կքննարկվեն ավելի ուշ:

Այս պարզ առաջադրանքից կարելի է մեկ կարևոր եզրակացություն անել.

Հիշեք.

Եթե մենք գիտենք առնվազն մեկ անդամ և թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը, կարող ենք գտնել այս պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ:

Հիշո՞ւմ ես: Այս պարզ եզրակացությունը թույլ է տալիս լուծել այս թեմայով դպրոցական դասընթացի խնդիրների մեծ մասը։ Բոլոր առաջադրանքները պտտվում են երեք հիմնական պարամետրերի շուրջ. թվաբանական առաջընթացի անդամ, առաջընթացի տարբերություն, պրոգրեսիայի անդամի թիվ։Բոլորը.

Իհարկե, բոլոր նախորդ հանրահաշիվները չեղյալ չեն հայտարարվում:) Անհավասարությունները, հավասարումները և այլ բաներ կցվում են առաջընթացին: Բայց ըստ առաջընթացի- ամեն ինչ պտտվում է երեք պարամետրի շուրջ.

Օրինակ, հաշվի առեք այս թեմայի վերաբերյալ որոշ հայտնի առաջադրանքներ:

2. Վերջնական թվաբանական առաջընթացը գրի՛ր շարքով, եթե n=5, d=0.4, իսկ a 1=3.6։

Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Ամեն ինչ արդեն տրված է։ Պետք է հիշել, թե ինչպես են հաշվարկվում թվաբանական առաջընթացի անդամները, հաշվում և գրում: Խորհուրդ է տրվում առաջադրանքի պայմանում չբացակայել բառերը՝ «վերջնական» և « n=5«Որպեսզի չհաշվես, քանի դեռ դեմքդ ամբողջովին կապտած ես:) Այս պրոգրեսում ընդամենը 5 (հինգ) անդամ կա.

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

ա 4 = ա 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

ա 5 = ա 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Մնում է գրել պատասխանը.

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Մեկ այլ խնդիր.

3. Որոշեք, թե արդյոք 7 թիվը կլինի թվաբանական առաջընթացի անդամ (a n), եթե a 1 \u003d 4.1; d = 1.2:

Հմմ... Ո՞վ գիտի: Ինչպե՞ս սահմանել ինչ-որ բան:

Ինչպես-ինչպես ... Այո, գրեք առաջընթացը շարքի տեսքով և տեսեք, թե արդյոք կլինի յոթ, թե ոչ: Մենք հավատում ենք:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

ա 4 = ա 3 + դ = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Հիմա պարզ երեւում է, որ մենք ընդամենը յոթն ենք սայթաքել է 6.5-ի և 7.7-ի միջև: Յոթը չի մտել մեր թվերի շարքի մեջ, և, հետևաբար, յոթն էլ տվյալ առաջընթացի անդամ չի լինի։

Պատասխան՝ ոչ։

Եվ ահա GIA-ի իրական տարբերակի վրա հիմնված առաջադրանք.

4. Թվաբանական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական անդամներ դուրս են գրվում.

...; 15; X; 9; 6; ...

Ահա մի շարք առանց վերջի և սկզբի. Անդամների թվեր չկան, տարբերություն չկա դ. Ամեն ինչ կարգին է. Խնդիրը լուծելու համար բավական է հասկանալ թվաբանական առաջընթացի իմաստը։ Տեսնենք և տեսնենք, թե ինչ կարող ենք իմանալայս տողից? Որո՞նք են երեք հիմնական պարամետրերը:

Անդամների համարներ? Այստեղ ոչ մի թիվ չկա։

Բայց կան երեք թվեր և ուշադրություն. - բառ «անընդմեջ»վիճակում։ Սա նշանակում է, որ թվերը խիստ կարգավորված են, առանց բացերի։ Այս շարքում երկուսը կա՞ն: հարեւանհայտնի թվեր? Այո, ունեմ! Սրանք 9 և 6 են: Այսպիսով, մենք կարող ենք հաշվարկել թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը: Վեցից հանում ենք նախորդհամարը, այսինքն. ինը:

Մնացել են դատարկ տեղեր։ Ո՞ր թիվը կլինի x-ի նախորդը: Տասնհինգ. Այսպիսով, x-ը կարելի է հեշտությամբ գտնել պարզ գումարման միջոցով: 15-ին ավելացրեք թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը.

Այսքանը: Պատասխան. x=12

Մենք ինքներս ենք լուծում հետևյալ խնդիրները. Նշում. այս հանելուկները բանաձևերի համար չեն: Զուտ թվաբանական առաջընթացի իմաստը հասկանալու համար։) Պարզապես գրում ենք մի շարք թվեր-տառեր, նայում ու մտածում։

5. Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին դրական անդամը, եթե a 5 = -3; d = 1.1.

6. Հայտնի է, որ 5.5 թիվը թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ է (a n), որտեղ a 1 = 1.6; d = 1.3. Որոշի՛ր այս անդամի n թիվը։

7. Հայտնի է, որ թվաբանական առաջընթացում a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Գտեք 3.

8. Թվաբանական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական անդամներ դուրս են գրվում.

...; 15.6; X; 3.4; ...

Գտե՛ք պրոգրեսիայի տերմինը, որը նշվում է x տառով:

9. Գնացքը սկսեց շարժվել կայարանից՝ աստիճանաբար ավելացնելով արագությունը րոպեում 30 մետրով։ Որքա՞ն կլինի գնացքի արագությունը հինգ րոպեում: Պատասխանեք կմ/ժ-ով:

10. Հայտնի է, որ թվաբանական պրոգրեսիայում a 2 = 5; ա 6 = -5. Գտեք 1-ը.

Պատասխաններ (խառնաշփոթ)՝ 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Ամեն ինչ ստացվեց? Զարմանալի! Դուք կարող եք տիրապետել թվաբանական առաջընթացին ավելին բարձր մակարդակ, հաջորդ դասերին։

Ամեն ինչ չստացվեց? Ոչ մի խնդիր. Հատուկ բաժնում 555-ում այս բոլոր հանելուկները մաս առ մաս բաժանվում են:) Եվ, իհարկե, նկարագրված է պարզ գործնական տեխնիկա, որն անմիջապես ընդգծում է նման առաջադրանքների լուծումը հստակ, հստակ, ինչպես ձեր ձեռքի ափի մեջ:

Ի դեպ, գնացքի մասին փազլում երկու խնդիր կա, որոնց վրա մարդիկ հաճախ են սայթաքում. Մեկը` զուտ առաջընթացով, և երկրորդը` ընդհանուր մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի ցանկացած առաջադրանքի համար: Սա չափերի թարգմանությունն է մեկից մյուսը: Դա ցույց է տալիս, թե ինչպես պետք է լուծվեն այդ խնդիրները։

Այս դասում մենք ուսումնասիրեցինք թվաբանական առաջընթացի տարրական նշանակությունը և դրա հիմնական պարամետրերը: Սա բավական է այս թեմայի շուրջ գրեթե բոլոր խնդիրները լուծելու համար։ Ավելացնել դթվերին, շարք գրեք, ամեն ինչ կորոշվի։

Մատների լուծումը լավ է աշխատում շարքի շատ կարճ հատվածների համար, ինչպես այս դասի օրինակներում: Եթե շարքն ավելի երկար է, ապա հաշվարկներն ավելի են բարդանում։ Օրինակ, եթե հարցի 9-րդ խնդիրում փոխարինեք "հինգ րոպե"վրա «երեսունհինգ րոպե»խնդիրը շատ ավելի կսրվի։)

Եվ կան նաև առաջադրանքներ, որոնք ըստ էության պարզ են, բայց բոլորովին անհեթեթ են հաշվարկների առումով, օրինակ.

Տրվում է թվաբանական առաջընթաց (a n): Գտե՛ք 121 թիվը, եթե a 1 =3 և d=1/6:

Իսկ ի՞նչ, 1/6-ը կավելացնենք շատ ու շատ անգամ։ Հնարավո՞ր է ինքդ քեզ սպանել։

Դուք կարող եք:) Եթե չգիտեք մի պարզ բանաձև, որով կարող եք լուծել նման առաջադրանքները մեկ րոպեում: Այս բանաձևը կլինի հաջորդ դասին։ Եվ այդ խնդիրը լուծված է այնտեղ։ Մի րոպեում։)

Եթե Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Թվաբանական պրոգրեսիայի խնդիրներ գոյություն են ունեցել հնագույն ժամանակներից: Հայտնվեցին ու լուծում պահանջեցին, քանի որ գործնական կարիք ունեին։

Այսպիսով, պապիրուսներից մեկում Հին Եգիպտոս, որը մաթեմատիկական բովանդակություն ունի՝ Ռինդ պապիրուսը (մ.թ.ա. XIX դ.) պարունակում է հետևյալ առաջադրանքը՝ տասը չափ հացը բաժանել տասը հոգու, պայմանով, որ դրանցից յուրաքանչյուրի տարբերությունը չափի մեկ ութերորդն է։

Իսկ հին հույների մաթեմատիկական աշխատություններում կան էլեգանտ թեորեմներ՝ կապված թվաբանական պրոգրեսիայի հետ։ Այսպիսով, «Ալեքսանդրիայի հիպսիկները» (2-րդ դար, որը շատ հետաքրքիր խնդիրներ է կազմել և Էվկլիդեսի «Սկզբունքներին» ավելացրել է տասնչորսերորդ գիրքը, ձևակերպել է միտքը. «Թվաբանական առաջընթացով, որն ունի զույգ թիվանդամներ, 2-րդ կեսի անդամների գումարը մեծ է 1-ինի անդամների գումարից անդամների թվի 1/2 քառակուսիով:

Ան հաջորդականությունը նշվում է: Հերթականության համարները կոչվում են նրա անդամներ և սովորաբար նշվում են ցուցիչներով տառերով, որոնք ցույց են տալիս այս անդամի հերթական համարը (a1, a2, a3 ... այն կարդում է. » և այլն):

Հերթականությունը կարող է լինել անվերջ կամ վերջավոր:

Ի՞նչ է թվաբանական առաջընթացը: Հասկանալի է, որ ստացվում է նախորդ (n) անդամը նույն d թվով գումարելով, որը պրոգրեսիայի տարբերությունն է։

Եթե դ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, ապա նման առաջընթացը համարվում է աճող:

Թվաբանական առաջընթացը համարվում է վերջավոր, եթե հաշվի առնվեն նրա առաջին անդամներից մի քանիսը: Շատ մեծ թվով անդամներով սա արդեն անսահման առաջընթաց է:

Ցանկացած թվաբանական առաջընթաց տրվում է հետևյալ բանաձևով.

an =kn+b, մինչդեռ b և k որոշ թվեր են:

Այն պնդումը, որը հակառակն է, բացարձակապես ճիշտ է. եթե հաջորդականությունը տրված է նմանատիպ բանաձևով, ապա սա հենց թվաբանական պրոգրեսիա է, որն ունի հատկություններ.

Առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ նախորդ և հաջորդ անդամի միջին թվաբանականն է:
Հակառակը. եթե 2-րդից սկսած յուրաքանչյուր անդամ նախորդ և հաջորդ անդամի միջին թվաբանականն է, այսինքն. եթե պայմանը բավարարված է, ապա տրված հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է։ Այս հավասարությունը միևնույն ժամանակ առաջընթացի նշան է, ուստի այն սովորաբար անվանում են պրոգրեսիայի բնորոշ հատկություն։
Նույն կերպ ճշմարիտ է այն թեորեմը, որն արտացոլում է այս հատկությունը. հաջորդականությունը թվաբանական առաջընթաց է միայն այն դեպքում, եթե այս հավասարությունը ճշմարիտ է հաջորդականության անդամներից որևէ մեկի համար՝ սկսած 2-րդից։

Թվաբանական առաջընթացի ցանկացած չորս թվերի բնորոշ հատկությունը կարող է արտահայտվել an + am = ak + al բանաձևով, եթե n + m = k + l (m, n, k պրոգրեսիայի թվերն են):

Թվաբանական առաջընթացում ցանկացած անհրաժեշտ (N-րդ) անդամ կարելի է գտնել՝ կիրառելով հետևյալ բանաձևը.

Օրինակ՝ թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը (a1) տրված է և հավասար է երեքի, իսկ (d) տարբերությունը հավասար է չորսի: Դուք պետք է գտնեք այս առաջընթացի քառասունհինգերորդ անդամը: a45 = 1+4 (45-1) = 177

Բանաձևը an = ak + d(n - k) թույլ է տալիս որոշել թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամը նրա k-րդ անդամներից որևէ մեկի միջոցով, պայմանով, որ այն հայտնի է:

Թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարը (ենթադրելով վերջնական առաջընթացի 1-ին n անդամները) հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Sn = (a1+an) n/2.

Եթե 1-ին անդամը նույնպես հայտնի է, ապա հաշվարկման համար հարմար է մեկ այլ բանաձև.

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Թվաբանական առաջընթացի գումարը, որը պարունակում է n անդամ, հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Հաշվարկների համար բանաձևերի ընտրությունը կախված է առաջադրանքների պայմաններից և նախնական տվյալներից:

Ցանկացած թվերի բնական շարքը, ինչպիսիք են 1,2,3,...,n,... թվաբանական առաջընթացի ամենապարզ օրինակն է:

Բացի թվաբանական առաջընթացից, կա նաև երկրաչափական, որն ունի իր առանձնահատկություններն ու առանձնահատկությունները։

IV Յակովլև | Նյութեր մաթեմատիկայի | MathUs.ru

Թվաբանական առաջընթաց

Թվաբանական առաջընթացը հատուկ տեսակի հաջորդականություն է: Հետևաբար, նախքան թվաբանական (և այնուհետև երկրաչափական) առաջընթացը սահմանելը, մենք պետք է համառոտ քննարկենք թվերի հաջորդականության կարևոր հասկացությունը:

Հաջորդականություն

Պատկերացրեք մի սարք, որի էկրանին մեկը մյուսի հետևից որոշ թվեր են ցուցադրվում։ Ասենք 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : :: Թվերի նման բազմությունը պարզապես հաջորդականության օրինակ է։

Սահմանում. Թվային հաջորդականությունը թվերի մի շարք է, որտեղ յուրաքանչյուր թվի կարող է վերագրվել եզակի թիվ (այսինքն՝ համապատասխանեցնել մեկ բնական թվին)1։ n թվով թիվը կոչվում է n-րդ անդամհաջորդականություններ.

Այսպիսով, վերը նշված օրինակում առաջին համարն ունի 2 թիվը, որը հաջորդականության առաջին անդամն է, որը կարելի է նշանակել a1-ով; հինգ թիվը ունի 6 թիվը, որը հաջորդականության հինգերորդ անդամն է, որը կարելի է նշանակել a5: Ընդհանուր առմամբ, հաջորդականության n-րդ անդամը նշանակվում է an-ով (կամ bn , cn և այլն):

Շատ հարմար իրավիճակ է, երբ հաջորդականության n-րդ անդամը կարող է որոշվել ինչ-որ բանաձևով։ Օրինակ, an = 2n 3 բանաձեւը սահմանում է հաջորդականությունը՝ 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n բանաձևը սահմանում է հաջորդականությունը՝ 1; 1; 1; 1; : ::

Թվերի ամեն մի շարք չէ, որ հաջորդականություն է: Այսպիսով, հատվածը հաջորդականություն չէ. այն պարունակում է ¾չափազանց շատ թվեր, որոնք պետք է վերահամարակալվեն: Բոլոր իրական թվերի R բազմությունը նույնպես հաջորդականություն չէ։ Այս փաստերն ապացուցվում են մաթեմատիկական վերլուծության ընթացքում։

Թվաբանական առաջընթաց. հիմնական սահմանումներ

Այժմ մենք պատրաստ ենք սահմանել թվաբանական պրոգրեսիա։

Սահմանում. Թվաբանական առաջընթացը այն հաջորդականությունն է, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ (սկսած երկրորդից) հավասար է նախորդ անդամի գումարին և որոշ ֆիքսված թվին (կոչվում է թվաբանական առաջընթացի տարբերություն):

Օրինակ, հաջորդականություն 2; 5; 8; տասնմեկ; : : : թվաբանական պրոգրեսիա է առաջին անդամ 2-ով և 3 տարբերությամբ: Հերթականություն 7; 2; 3; 8; : : : թվաբանական պրոգրեսիա է՝ առաջին անդամ 7-ով և 5 տարբերությամբ։ 3; 3; : : : զրոյական տարբերությամբ թվաբանական առաջընթաց է։

Համարժեք սահմանում. an հաջորդականությունը կոչվում է թվաբանական առաջընթաց, եթե an+1 an տարբերությունը հաստատուն արժեք է (կախված չէ n-ից):

Թվաբանական առաջընթացն աճում է, եթե դրա տարբերությունը դրական է, և նվազում, եթե տարբերությունը բացասական է:

1 Եվ ահա ավելի հակիրճ սահմանում. հաջորդականությունը բազմության վրա սահմանված ֆունկցիա է բնական թվեր. Օրինակ, իրական թվերի հաջորդականությունը f ֆունկցիան է՝ N! Ռ.

Լռելյայնորեն հաջորդականությունները համարվում են անվերջ, այսինքն՝ պարունակում են անսահման թվով թվեր։ Բայց ոչ ոք չի խանգարում դիտարկել նաև վերջավոր հաջորդականությունները. իրականում թվերի ցանկացած վերջավոր բազմություն կարելի է անվանել վերջավոր հաջորդականություն։ Օրինակ, վերջնական հաջորդականությունը 1; 2; 3; 4; 5-ը բաղկացած է հինգ թվերից։

Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը

Հեշտ է հասկանալ, որ թվաբանական պրոգրեսիան ամբողջությամբ որոշվում է երկու թվով՝ առաջին անդամ և տարբերություն: Ուստի հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս, իմանալով առաջին անդամը և տարբերությունը, գտնել թվաբանական առաջընթացի կամայական անդամ։

Դժվար չէ ստանալ թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի ցանկալի բանաձևը։ Թող ան

թվաբանական պրոգրեսիա տարբերությամբ դ. Մենք ունենք:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Մասնավորապես գրում ենք.
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
և այժմ պարզ է դառնում, որ բանաձևը հետևյալն է.
an = a1 + (n 1)d:

Առաջադրանք 1. Թվաբանական առաջընթացում 2; 5; 8; տասնմեկ; : : : գտե՛ք n-րդ անդամի բանաձևը և հաշվե՛ք հարյուրերորդ անդամը։

Լուծում. Ըստ բանաձևի (1) մենք ունենք.

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Թվաբանական առաջընթացի հատկությունն ու նշանը

թվաբանական պրոգրեսիայի հատկություն։ Թվաբանական առաջընթացում an ցանկացածի համար

Այսինքն՝ թվաբանական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ (սկսած երկրորդից) հարևան անդամների թվաբանական միջինն է։

	Ապացույց. Մենք ունենք:
	a n 1 + a n+1		(ան դ) + (ան + դ)

ինչը պահանջվում էր.

Ավելի ընդհանուր առմամբ, թվաբանական առաջընթացը բավարարում է հավասարությանը

a n = a n k + a n+k

ցանկացած n > 2-ի և ցանկացած բնական k-ի համար< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ստացվում է, որ (2) բանաձևը ոչ միայն անհրաժեշտ, այլև բավարար պայման է, որպեսզի հաջորդականությունը լինի թվաբանական պրոգրեսիա։

Թվաբանական առաջընթացի նշան. Եթե հավասարությունը (2) պահպանվում է բոլոր n > 2-ի համար, ապա an հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է:

Ապացույց. Վերաշարադրենք (2) բանաձևը հետևյալ կերպ.

a n a n 1 = a n+1 a n:

Սա ցույց է տալիս, որ an+1 an տարբերությունը կախված չէ n-ից, և սա պարզապես նշանակում է, որ an հաջորդականությունը թվաբանական առաջընթաց է:

Թվաբանական առաջընթացի հատկությունն ու նշանը կարելի է ձևակերպել որպես մեկ դրույթ. հարմարության համար մենք դա կանենք երեք թվի համար (սա այն իրավիճակն է, որը հաճախ հանդիպում է խնդիրների դեպքում):

Թվաբանական առաջընթացի բնութագրում. Երեք a, b, c թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց, եթե և միայն եթե 2b = a + c:

Խնդիր 2. (Մոսկվայի պետական համալսարան, Տնտեսագիտության ֆակուլտետ, 2007 թ.) Նշված հերթականությամբ երեք թվեր 8x, 3 x2 և 4 կազմում են նվազող թվաբանական պրոգրեսիա: Գտե՛ք x և գրե՛ք այս առաջընթացի տարբերությունը։

Լուծում. Թվաբանական առաջընթացի հատկությամբ մենք ունենք.

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:

Եթե x = 1, ապա ստացվում է 8, 2, 4 նվազող պրոգրեսիա՝ 6 տարբերությամբ: Եթե x = 5, ապա ստացվում է 40, 22, 4 աճող պրոգրեսիա; այս գործը չի աշխատում.

Պատասխան՝ x = 1, տարբերությունը 6 է։

Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը

Լեգենդն ասում է, որ մի անգամ ուսուցիչը երեխաներին ասել է, որ գտնեն 1-ից մինչև 100 թվերի գումարը և նստեց հանգիստ թերթը կարդալու: Սակայն մի քանի րոպեի ընթացքում մի տղա ասաց, որ խնդիրը լուծել է։ Դա 9-ամյա Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսն էր՝ հետագայում պատմության մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկը։

Փոքրիկ Գաուսի գաղափարը սա էր. Թող

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Այս գումարը գրենք հակառակ հերթականությամբ.

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

և ավելացրեք այս երկու բանաձևերը.

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Փակագծերում յուրաքանչյուր անդամ հավասար է 101-ի, և ընդհանուր առմամբ կա 100 այդպիսի անդամ, հետևաբար

2S = 101 100 = 10100;

Մենք օգտագործում ենք այս գաղափարը գումարի բանաձևը ստանալու համար

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

(3) բանաձևի օգտակար փոփոխությունը ստացվում է n-րդ տերմինի բանաձևը փոխարինելով դրանում.

		2a1 + (n 1)d

Առաջադրանք 3. Գտե՛ք 13-ի բաժանվող բոլոր դրական եռանիշ թվերի գումարը:

Լուծում. Եռանիշ թվերը, որոնք 13-ի բազմապատիկ են, կազմում են թվաբանական առաջընթաց առաջին անդամով 104 և տարբերությամբ 13; Այս առաջընթացի n-րդ տերմինը հետևյալն է.

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

Եկեք պարզենք, թե քանի անդամ է պարունակում մեր առաջընթացը: Դա անելու համար մենք լուծում ենք անհավասարությունը.

an 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Այսպիսով, մեր առաջընթացում կա 69 անդամ: Ըստ (4) բանաձևի մենք գտնում ենք պահանջվող գումարը.

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Ինչ-որ մեկը զգուշությամբ է վերաբերվում «առաջընթաց» բառին, որպես բարձրագույն մաթեմատիկայի բաժիններից շատ բարդ տերմին: Մինչդեռ ամենապարզ թվաբանական առաջընթացը տաքսիների հաշվիչի աշխատանքն է (որտեղ դեռ մնում են)։ Իսկ թվաբանական հաջորդականության էությունը հասկանալը (իսկ մաթեմատիկայի մեջ ավելի կարևոր բան չկա, քան «էությունը հասկանալը») այնքան էլ դժվար չէ՝ վերլուծելով մի քանի տարրական հասկացություններ։

Մաթեմատիկական թվերի հաջորդականություն

Ընդունված է թվային հաջորդականություն անվանել թվերի շարք, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի իր համարը։

իսկ 1-ը հաջորդականության առաջին անդամն է.

իսկ 2-ը հաջորդականության երկրորդ անդամն է.

իսկ 7-ը հաջորդականության յոթերորդ անդամն է.

իսկ n-ը հաջորդականության n-րդ անդամն է.

Այնուամենայնիվ, ոչ մի կամայական թվեր և թվեր մեզ չեն հետաքրքրում։ Մենք կկենտրոնացնենք մեր ուշադրությունը թվային հաջորդականության վրա, որտեղ n-րդ անդամի արժեքը կապված է նրա հերթական թվի հետ կախվածության միջոցով, որը կարող է հստակ ձևակերպվել մաթեմատիկորեն: Այլ կերպ ասած՝ n-րդ թվի թվային արժեքը n-ի որոշ ֆունկցիա է:

a - թվային հաջորդականության անդամի արժեքը.

n-ը նրա սերիական համարն է.

f(n) ֆունկցիան է, որտեղ n թվային հաջորդականության հերթականությունը արգումենտն է:

Սահմանում

Թվաբանական առաջընթացը սովորաբար կոչվում է թվային հաջորդականություն, որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը նույն թվով մեծ է (պակաս) նախորդից։ Թվաբանական հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը հետևյալն է.

a n - թվաբանական առաջընթացի ընթացիկ անդամի արժեքը.

a n+1 - հաջորդ թվի բանաձևը.

դ - տարբերություն (որոշակի թիվ):

Հեշտ է որոշել, որ եթե տարբերությունը դրական է (d>0), ապա դիտարկվող շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ ավելի մեծ կլինի, քան նախորդը, և նման թվաբանական առաջընթացը կաճի։

Ստորև բերված գրաֆիկում հեշտ է հասկանալ, թե ինչու թվային հաջորդականությունկոչվում է «աճող»:

Այն դեպքերում, երբ տարբերությունը բացասական է (դ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Նշված անդամի արժեքը

Երբեմն անհրաժեշտ է որոշել թվաբանական պրոգրեսիայի որոշ կամայական a n անդամի արժեքը: Դուք կարող եք դա անել՝ հաջորդաբար հաշվարկելով թվաբանական առաջընթացի բոլոր անդամների արժեքները՝ առաջինից մինչև ցանկալիը: Սակայն այս ճանապարհը միշտ չէ, որ ընդունելի է, եթե, օրինակ, անհրաժեշտ է գտնել հինգ հազարերորդ կամ ութ միլիոներորդ անդամի արժեքը։ Ավանդական հաշվարկը երկար ժամանակ կպահանջի։ Այնուամենայնիվ, որոշակի թվաբանական առաջընթացը կարող է ուսումնասիրվել որոշակի բանաձևերի միջոցով: Գոյություն ունի նաև n-րդ անդամի բանաձև՝ թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամի արժեքը կարող է որոշվել որպես առաջընթացի առաջին անդամի գումար՝ առաջընթացի տարբերությամբ՝ բազմապատկելով ցանկալի անդամի թվով, հանած մեկ։ .

Բանաձևը ունիվերսալ է առաջընթացի ավելացման և նվազման համար:

Տվյալ անդամի արժեքը հաշվարկելու օրինակ

Լուծենք թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի արժեքը գտնելու հետևյալ խնդիրը.

Պայման՝ առկա է թվաբանական առաջընթաց՝ պարամետրերով.

Հերթականության առաջին անդամը 3-ն է;

Թվերի շարքի տարբերությունը 1,2 է։

Առաջադրանք՝ անհրաժեշտ է գտնել 214 տերմինների արժեքը

Լուծում. տվյալ անդամի արժեքը որոշելու համար օգտագործում ենք բանաձևը.

a(n) = a1 + d(n-1)

Խնդրի դրույթի տվյալները փոխարինելով արտահայտության մեջ՝ ունենք.

a (214) = a1 + d (n-1)

ա(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Պատասխան՝ հաջորդականության 214-րդ անդամը հավասար է 258,6-ի։

Այս հաշվարկման մեթոդի առավելություններն ակնհայտ են. ամբողջ լուծումը տևում է ոչ ավելի, քան 2 տող:

Տրված թվով անդամների գումարը

Շատ հաճախ, տվյալ թվաբանական շարքում պահանջվում է որոշել դրա որոշ հատվածների արժեքների գումարը: Նաև կարիք չկա հաշվարկել յուրաքանչյուր տերմինի արժեքները և այնուհետև ամփոփել դրանք: Այս մեթոդը կիրառելի է, եթե այն տերմինների թիվը, որոնց գումարը պետք է գտնել, փոքր է: Այլ դեպքերում ավելի հարմար է օգտագործել հետեւյալ բանաձեւը.

1-ից n թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարը հավասար է առաջին և n-րդ անդամների գումարին՝ բազմապատկված n անդամի վրա և բաժանված երկուսի։ Եթե բանաձևում n-րդ անդամի արժեքը փոխարինվում է հոդվածի նախորդ պարբերության արտահայտությամբ, ապա ստանում ենք.

Հաշվարկի օրինակ

Օրինակ՝ լուծենք խնդիր հետևյալ պայմաններով.

Հերթականության առաջին անդամը զրո է.

Տարբերությունը 0,5 է։

Խնդրում պահանջվում է որոշել շարքի տերմինների գումարը 56-ից մինչև 101։

Լուծում. Առաջընթացի գումարը որոշելու համար օգտագործենք բանաձևը.

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Նախ՝ մենք որոշում ենք պրոգրեսիայի 101 անդամների արժեքների գումարը՝ մեր խնդրի տվյալ պայմանները փոխարինելով բանաձևով.

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Ակնհայտ է, որ 56-րդից 101-րդ առաջընթացի պայմանների գումարը պարզելու համար անհրաժեշտ է S 101-ից հանել S 55-ը։

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Այսպիսով, այս օրինակի համար թվաբանական առաջընթացի գումարը հետևյալն է.

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782.5

Թվաբանական առաջընթացի գործնական կիրառման օրինակ

Հոդվածի վերջում վերադառնանք առաջին պարբերությունում տրված թվաբանական հաջորդականության օրինակին՝ տաքսիմետր (տաքսի մեքենայի հաշվիչ)։ Դիտարկենք նման օրինակ.

Տաքսի նստելը (որը ներառում է 3 կմ) արժե 50 ռուբլի։ Յուրաքանչյուր հաջորդ կիլոմետրը վճարվում է 22 ռուբլի / կմ փոխարժեքով: Ճանապարհորդության հեռավորությունը 30 կմ: Հաշվեք ուղևորության արժեքը.

1. Եկեք դեն նետենք առաջին 3 կմ-ը, որի գինը ներառված է վայրէջքի արժեքի մեջ։

30 - 3 = 27 կմ.

2. Հետագա հաշվարկը ոչ այլ ինչ է, քան թվաբանական թվերի շարքի վերլուծություն:

Անդամի համարը անցած կիլոմետրերի թիվն է (բացի առաջին երեքը):

Անդամի արժեքը գումարն է:

Այս խնդրի առաջին տերմինը հավասար կլինի 1 = 50 ռուբլի:

Առաջընթացի տարբերություն d = 22 p.

մեզ հետաքրքրող թիվը - թվաբանական առաջընթացի (27 + 1) անդամի արժեքը - 27-րդ կիլոմետրի վերջում մետրի ցուցանիշը - 27,999 ... = 28 կմ:

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Օրացույցային տվյալների հաշվարկները կամայականորեն երկար ժամանակահատվածի համար հիմնված են որոշակի թվային հաջորդականություններ նկարագրող բանաձևերի վրա: Աստղագիտության մեջ ուղեծրի երկարությունը երկրաչափորեն կախված է երկնային մարմնի և լուսատուի հեռավորությունից։ Բացի այդ, տարբեր թվային շարքեր հաջողությամբ օգտագործվում են վիճակագրության և մաթեմատիկայի այլ կիրառական ճյուղերում։

Թվերի հաջորդականության մեկ այլ տեսակ երկրաչափական է

Երկրաչափական պրոգրեսիան բնութագրվում է փոփոխությունների մեծ արագությամբ, համեմատած թվաբանականի հետ: Պատահական չէ, որ քաղաքականության, սոցիոլոգիայի, բժշկության մեջ հաճախ, որպեսզի ցույց տան կոնկրետ երեւույթի տարածման մեծ արագությունը, օրինակ՝ հիվանդության համաճարակի ժամանակ, ասում են, որ գործընթացը զարգանում է. երկրաչափական առաջընթաց.

Երկրաչափական թվերի շարքի N-րդ անդամը տարբերվում է նախորդից նրանով, որ այն բազմապատկվում է ինչ-որ հաստատուն թվով` հայտարարով, օրինակ, առաջին անդամը 1 է, հայտարարը համապատասխանաբար 2 է, ապա.

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4՝ 8 ∙ 2 = 16

n=5՝ 16 ∙ 2 = 32,

b n - երկրաչափական պրոգրեսիայի ընթացիկ անդամի արժեքը.

b n+1 - երկրաչափական պրոգրեսիայի հաջորդ անդամի բանաձեւը.

q-ն երկրաչափական պրոգրեսիայի (հաստատուն թվի) հայտարարն է։

Եթե թվաբանական առաջընթացի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, ապա երկրաչափականը մի փոքր այլ պատկեր է գծում.

Ինչպես թվաբանության դեպքում, երկրաչափական պրոգրեսիան ունի կամայական անդամի արժեքի բանաձև։ Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած n-րդ անդամ հավասար է առաջին անդամի արտադրյալին և n-ի հզորության առաջընթացի հայտարարին՝ կրճատված մեկով.

Օրինակ. Մենք ունենք երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը հավասար է 3-ի, իսկ առաջընթացի հայտարարը հավասար է 1,5-ի: Գտե՛ք առաջընթացի 5-րդ անդամը

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

Տվյալ թվի անդամների գումարը նույնպես հաշվարկվում է հատուկ բանաձևով. Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը հավասար է պրոգրեսիայի n-րդ անդամի և նրա հայտարարի արտադրյալի և պրոգրեսիայի առաջին անդամի արտադրյալի տարբերությանը, որը բաժանվում է մեկով կրճատված հայտարարի վրա.