चतुष्फलक में अनुभागों का निर्माण। टेट्राहेड्रोन और उसका खंड तीन बिंदुओं से टेट्राहेड्रोन खंड का निर्माण
विषय पर पाठ:
"चतुष्फलक और समान्तर चतुर्भुज के खंडों का निर्माण"
पाठ मकसद
1. एक चतुष्फलक और एक समतल द्वारा समांतर चतुर्भुज के खंडों के निर्माण से जुड़ी समस्याओं को हल करने की बुनियादी बातों से खुद को परिचित करें।
2. अनुभागों के निर्माण के लिए समस्याओं के प्रकारों की पहचान करें।
3. चतुष्फलक और समान्तर चतुर्भुज के खंडों के निर्माण से जुड़ी समस्याओं को हल करने में कौशल विकसित करना।
4. स्थानिक कल्पना का निर्माण।
कक्षाओं के दौरान.
मैं संगठनात्मक क्षण.
II होमवर्क की जाँच करना।
दोस्तों, हमने अपने पिछले पाठों में किन ज्यामितीय निकायों का अध्ययन किया था? (चतुष्फलक, समान्तर चतुर्भुज)।
चतुष्फलक किसे कहते हैं?
समान्तर चतुर्भुज किसे कहते हैं?
आइए अब मौखिक होमवर्क की जाँच करें।
पृष्ठ 31 पर पाठ्यपुस्तक में हम प्रश्न 14,15 पढ़ते हैं और उनके उत्तर देते हैं।
14. क्या पाँच सीधे कोनों वाला कोई चतुष्फलक है?
(नहीं, क्योंकि चार बनने वाले त्रिभुजों में केवल चार समकोण हो सकते हैं, प्रत्येक में अधिकतम एक)।
15. क्या कोई समानान्तर चतुर्भुज है जिसमें:
ए) केवल एक फलक एक आयत है। (नहीं, क्योंकि समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं)।
बी) केवल दो आसन्न फलक समचतुर्भुज हैं। (नहीं, केवल विपरीत फलक ही हीरे हो सकते हैं)।
वी) सभी किनारों के कोण नुकीले हैं। (नहीं, एक समांतर चतुर्भुज में न्यून और अधिक कोण दोनों होते हैं, और प्रत्येक फलक एक समांतर चतुर्भुज होता है)।
जी) चेहरे के सभी कोण सही हैं। (हाँ, एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में)।
डी) किसी चेहरे के सभी न्यून कोणों की संख्या किसी चेहरे के सभी अधिक कोणों की संख्या के बराबर नहीं होती है। (नहीं, प्रत्येक फलक पर समान मात्रा में न्यून और अधिक कोण होते हैं)।
III किसी नये विषय की व्याख्या.
अब चलते हैं एक नये विषय पर. पाठ का विषय लिखिए. आज के पाठ का उद्देश्य:
1. एक चतुष्फलक और एक समतल द्वारा समांतर चतुर्भुज के खंडों के निर्माण से जुड़ी समस्याओं को हल करने की बुनियादी बातों से खुद को परिचित करें।
2. अनुभागों के निर्माण के लिए समस्याओं के प्रकारों की पहचान करें।
3. चतुष्फलक और समान्तर चतुर्भुज के खंडों के निर्माण से जुड़ी समस्याओं को हल करने में कौशल विकसित करना।
4. स्थानिक कल्पना का निर्माण।
इसलिए, चतुष्फलक और समांतर चतुर्भुज से संबंधित कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, विभिन्न विमानों में उनके अनुभागों को खींचने में सक्षम होना उपयोगी है।
हमें क्या मतलब विमान काटना ? पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 27 पर हमें इस प्रश्न का उत्तर मिलेगा।
विमान काटना किसी भी ऐसे समतल का नाम बताइए जिसके दोनों ओर किसी दिए गए बहुफलक के बिंदु हों।
अगली अवधारणा है अनुभाग। और फिर हम मदद के लिए पाठ्यपुस्तक की ओर रुख करते हैं। अब देखें कि अनुभाग की सटीक परिभाषा कैसी दिखती है।
v बहुभुज जो कि एक खंड है, उसकी भुजाएँ कहाँ होती हैं?
v उस बहुभुज के शीर्ष कहाँ हैं जो एक खंड है?
आइए अब प्रश्न का उत्तर दें। एक समतल के साथ बहुफलक के एक खंड का निर्माण करने का क्या मतलब है? इस प्रकार, प्रत्येक चेहरे में हम खंडों का निर्माण करेंगे जिसके साथ काटने वाला विमान चेहरों को काटता है।
क्रॉस सेक्शन का सही ढंग से निर्माण करने के लिए, आपको विभिन्न प्रमेयों और गुणों को लागू करने में सक्षम होना चाहिए। चलिए सवाल का जवाब देते हैं.
अनुभागों का निर्माण करते समय इनमें से कौन सा कथन उपयोगी हो सकता है?
1. यदि दो तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो वे इस बिंदु वाली सीधी रेखा के अनुदिश प्रतिच्छेद करते हैं।
2. यदि प्रतिच्छेदी तलों में से एक में पड़ी एक सीधी रेखा दूसरे तल को काटती है, तो वह तलों की प्रतिच्छेदी रेखा को काटती है।
3. यदि दो समान्तर तलों को तीसरा प्रतिच्छेद करता है, तो तलों की प्रतिच्छेदन रेखाएँ समांतर होती हैं।
4. एक छेदक तल एक बहुफलक के फलक को एक टूटी हुई रेखा के अनुदिश काटता है।
5. एक समतल द्वारा समांतर चतुर्भुज के एक खंड में, यह प्राप्त हो सकता है:
वी रेखा खंड
वी त्रिकोण
वी चतुष्कोष
वी पंचकोण
वी षट्भुज
वी सातकोणक
आइए अब याद रखें कि विमान को कैसे परिभाषित किया जाए:
अनुभागों का निर्माण करते समय, यह जानना महत्वपूर्ण है:
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अब पाठ्यपुस्तक में हम अनुभागों के निर्माण के मुख्य कार्यों पर विचार करेंगे। और इसलिए, कार्य एक, जहां एक सेकेंट प्लेन से संबंधित तीन बिंदुओं का उपयोग करके टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करना आवश्यक है, उनमें से दो एक विमान में स्थित हैं, और तीसरा दूसरे विमान में स्थित है। 
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समस्या को सुलझाना। स्लाइडों का उपयोग करके समाधान की शुद्धता की जाँच करना।
वी पाठ का सारांश.
स्थिति की कल्पना करें:
आपका सहपाठी बीमार हो गया और वह पाठ छूट गया जहां उन्होंने "पॉलीहेड्रा के अनुभागों का निर्माण" विषय पर चर्चा की थी। आपको इस विषय पर फ़ोन पर समझाने की आवश्यकता है. चरण-दर-चरण एल्गोरिथम तैयार करें.
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अब मैं कुछ परीक्षण करूंगा. आपको तीन मिनट के भीतर तीन कार्य पूरे करने होंगे। चतुष्फलक और समांतर चतुर्भुज के सही खंडों के साथ-साथ सही रेखाचित्र दिखाने वाले रेखाचित्रों की संख्या का चयन करें और लिखें।
छठी
गृहकार्य
. n.14, प्रश्न 16, क्रमांक 000,106। चतुष्फलक या समान्तर चतुर्भुज के एक खंड के निर्माण पर एक समस्या लेकर आएं और उसका समाधान करें।
आज हम फिर देखेंगे कि कैसे एक समतल के साथ चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें.
आइए सबसे सरल मामले (अनिवार्य स्तर) पर विचार करें, जब अनुभाग विमान के 2 बिंदु एक चेहरे से संबंधित होते हैं, और तीसरा बिंदु दूसरे चेहरे से संबंधित होता है।
आइए हम आपको याद दिला दें अनुभागों के निर्माण के लिए एल्गोरिदमइस प्रकार का (मामला: 2 बिंदु एक ही चेहरे के हैं)।
1. हम एक ऐसे फलक की तलाश कर रहे हैं जिसमें अनुभाग तल के 2 बिंदु हों। एक ही चेहरे पर स्थित दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें। हम टेट्राहेड्रोन के किनारों के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदु पाते हैं। सीधी रेखा का वह भाग जो चेहरे पर समाप्त होता है, अनुभाग का किनारा है।
2. यदि बहुभुज को बंद किया जा सकता है, तो अनुभाग का निर्माण किया गया है। यदि इसे बंद करना असंभव है, तो हम निर्मित रेखा और तीसरे बिंदु वाले तल का प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं।
1. हम देखते हैं कि बिंदु E और F एक ही फलक (BCD) पर स्थित हैं, समतल (BCD) में एक सीधी रेखा EF खींचें। 
2. आइए चतुष्फलक BD के किनारे के साथ सीधी रेखा EF का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें, यह बिंदु H है।
3. अब आपको सीधी रेखा EF और तीसरे बिंदु G वाले तल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना होगा, अर्थात। विमान (एडीसी)।
सीधी रेखा CD समतल (ADC) और (BDC) में स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह सीधी रेखा EF को प्रतिच्छेद करती है, और बिंदु K सीधी रेखा EF और समतल (ADC) का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
4. इसके बाद, हमें एक ही तल में स्थित दो और बिंदु मिलते हैं। ये बिंदु G और K हैं, दोनों बाईं ओर के चेहरे के तल में स्थित हैं। हम एक रेखा GK खींचते हैं और उन बिंदुओं को चिह्नित करते हैं जिन पर यह रेखा चतुष्फलक के किनारों को काटती है। ये बिंदु M और L हैं।
4. यह अनुभाग को "बंद" करने के लिए बना हुआ है, यानी एक ही चेहरे पर स्थित बिंदुओं को कनेक्ट करें। ये बिंदु एम और एच हैं, और एल और एफ भी हैं। ये दोनों खंड अदृश्य हैं, हम उन्हें एक बिंदीदार रेखा से खींचते हैं।
क्रॉस-सेक्शन एक चतुर्भुज एमएचएफएल निकला। इसके सभी शीर्ष चतुष्फलक के किनारों पर स्थित हैं। आइए परिणामी अनुभाग का चयन करें।
अब आइये सूत्रीकरण करें सही ढंग से निर्मित अनुभाग के "गुण":
1. बहुभुज के सभी शीर्ष, जो एक खंड है, एक चतुष्फलक (समानांतर चतुर्भुज, बहुभुज) के किनारों पर स्थित होते हैं।
2. खंड की सभी भुजाएँ बहुफलक के फलकों पर स्थित हैं।
3. बहुभुज के प्रत्येक फलक में अनुभाग के एक से अधिक (एक या कोई नहीं!) पक्ष शामिल नहीं हो सकता
पाठ विकास
ग्रेड 10 "ए" में "चतुष्फलक और समान्तर चतुर्भुज के वर्गों का निर्माण" विषय पर
पाठ का उद्देश्य:
एक समतल के साथ चतुष्फलक और समान्तर चतुर्भुज के खंडों का निर्माण करना सिखा सकेंगे;
विश्लेषण, तुलना, सामान्यीकरण और निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करना;
छात्रों की स्वतंत्र गतिविधि कौशल और समूह में काम करने की क्षमता विकसित करना।
उपकरण: प्रोजेक्टर, इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड, हैंडआउट्स।
पाठ का प्रकार: नई सामग्री सीखने का पाठ.
पाठ में प्रयुक्त विधियाँ और तकनीकें: दृश्य, व्यावहारिक, समस्या-खोज, समूह, अनुसंधान गतिविधि के तत्व।
मैं . आयोजन का समय.
शिक्षक पाठ के विषय और उद्देश्य की घोषणा करता है (स्लाइड नंबर 1 ).
द्वितीय . ज्ञान को अद्यतन करना।
अध्यापक: अपना होमवर्क करते समय, आपको सीधी रेखाओं और तलों के मिलन बिंदु, एक बहुफलक के मुख के तल पर एक काटने वाले तल का निशान ढूंढना था। इसके लिए क्या करना होगा इस पर टिप्पणी करें।
(छात्र होमवर्क पर टिप्पणी करते हैं (स्लाइड संख्या 2-3 ).
अध्यापक: किसी नए विषय का अध्ययन करने के लिए आगे बढ़ने के लिए, आइए प्रश्नों के उत्तर देकर सैद्धांतिक सामग्री की समीक्षा करें:
कटिंग प्लेन किसे कहते हैं (स्लाइड संख्या 4 )? (छात्र एक परिभाषा देते हैं।)
बहुफलक का एक भाग क्या कहलाता है (स्लाइड नंबर 5 )? (परिभाषा तैयार की गई है।)
एक समतल द्वारा बहुफलक के एक खंड का निर्माण करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है?
एक खंड का निर्माण काटने वाले तल और बहुफलक के फलकों के तलों के प्रतिच्छेदन की रेखाओं के निर्माण के लिए आता है।)
क्या काटने वाले तल के लिए बहुफलक के सभी फलकों के तलों को काटना आवश्यक है?
अध्यापक: आइए थोड़ा शोध करें और इस प्रश्न का उत्तर दें: "एक चतुष्फलक या समतल चतुर्भुज के खंड में कौन सी आकृति प्राप्त की जा सकती है?"
(छात्र, समूहों में काम करते हुए, पूछे गए प्रश्न का उत्तर ढूंढते हैं।)
(कुछ मिनटों के बाद वे अपनी धारणाएँ बनाते हैं, और एक प्रदर्शन शुरू होता हैस्लाइड 6-7 .)
अध्यापक: आइए उन नियमों को दोहराएं जिन्हें पॉलीहेड्रॉन के अनुभागों का निर्माण करते समय याद रखने की आवश्यकता है (छात्र आवश्यक सिद्धांतों, प्रमेयों, गुणों को याद करते हैं और तैयार करते हैं):
यदि दो बिंदु कटिंग प्लेन और पॉलीहेड्रॉन के कुछ चेहरे के विमान से संबंधित हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा चेहरे के तल पर कटिंग प्लेन का निशान होगी।
यदि कोई काटने वाला तल एक निश्चित तल में पड़ी रेखा के समानांतर है और इस तल को काटता है, तो इन तलों की प्रतिच्छेदन रेखा इस रेखा के समानांतर होती है।
जब दो समान्तर तलों को एक काटने वाले तल द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो समांतर रेखाएँ प्राप्त होती हैं।
यदि काटने वाला तल एक निश्चित तल के समानांतर है, तो ये दोनों तल तीसरे तल को एक दूसरे के समानांतर सीधी रेखाओं के अनुदिश काटते हैं।
यदि काटने वाले तल और दो प्रतिच्छेदी फलकों के तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो यह इन फलकों के उभयनिष्ठ किनारे वाली एक रेखा पर स्थित होता है।
अध्यापक: इन रेखाचित्रों में त्रुटियाँ ढूँढ़ें, अपने कथन का औचित्य सिद्ध करें (स्लाइड8-9 ).
अध्यापक: तो, दोस्तों, हमने एक समतल के साथ पॉलीहेड्रा के अनुभागों का निर्माण करना सीखने के लिए एक सैद्धांतिक आधार तैयार किया है, विशेष रूप से टेट्राहेड्रोन और पैरेललपिप के अनुभागों में। आप समूहों में काम करते हुए अधिकांश कार्यों को स्वतंत्र रूप से पूरा करेंगे, इसलिए आप में से प्रत्येक के पास पॉलीहेड्रा के खाली चित्रों के साथ कार्यपत्रक हैं, जिन पर आप अनुभाग बनाएंगे। यदि आवश्यक हो, तो आप किसी शिक्षक या समूह के किसी वरिष्ठ से सलाह ले सकते हैं।
तो, हम आपके ध्यान में प्रस्तुत करते हैंपहला कार्य : ( स्लाइड नंबर 10 ) दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करेंएम, एन, क. (क्रॉस-सेक्शन एक त्रिकोण बनता है, जांचें -स्लाइड नंबर 11 .)
अध्यापक: चलो गौर करते हैंदूसरा कार्य : एक चतुष्फलक दिया गया हैडीएबीसी. एक समतल के साथ चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करेंएमएनके, अगरएमडीसी, एनविज्ञापन, कअब. ( स्लाइड संख्या 12 )
(निर्माण पर टिप्पणी करते हुए कक्षा के साथ समस्या का समाधान करें।)
( कार्य क्रमांक 3 – समूहों में स्वतंत्र कार्य (स्लाइड संख्या 14 ). इंतिहान -स्लाइड संख्या 15 .)
टास्क नंबर 4 : एक समतल के साथ चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करेंएमएनके, कहाँएमऔरएन- पसलियों के बीच का हिस्साअबऔरईसा पूर्व ( स्लाइड संख्या 16 ). (की जाँच करेंस्लाइड संख्या 17 .)
अध्यापक : चलिए पाठ के अगले भाग पर चलते हैं। आइए एक समतल द्वारा समांतर चतुर्भुज के खंडों के निर्माण की समस्या पर विचार करें। हमने पाया कि जब एक समांतर चतुर्भुज को एक समतल द्वारा खंडित किया जाता है, तो इसका परिणाम एक त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचकोण या षट्भुज हो सकता है। अनुभागों के निर्माण के नियम समान हैं। मैं अगली समस्या पर आगे बढ़ने का सुझाव देता हूं, जिसे आप स्वयं ही हल कर लेंगे।
(प्रदर्शित किया गयास्लाइड संख्या 18 )
समस्या #5
एक समांतर चतुर्भुज का एक क्रॉस सेक्शन बनाएंएबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 विमानएमएनके, अगरएमए.ए. 1 , एनबी बी 1 , कसीसी 1 . (की जाँच करेंस्लाइड संख्या 19 ).
समस्या क्रमांक 6 : ( स्लाइड संख्या 20 ) समांतर चतुर्भुज के एक खंड का निर्माण करेंएबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 विमानपीटीओ, अगर पी, टी, हेक्रमशः किनारों AA से संबंधित हैं 1, बीबी 1, एसएस 1.
(समाधान पर चर्चा की जाती है, छात्र अलग-अलग शीट पर एक अनुभाग बनाते हैं और निर्माण की प्रगति को रिकॉर्ड करते हैं (स्लाइड संख्या 21 ).)
प्रति ∩ बीसी = एम
टीपी ∩ एबी = एन
एनएम ∩ एडी = एल
एनएम ∩ सीडी = एफ
पीएल, एफओ
पीटीओएफएल– आवश्यक अनुभाग.
कार्य संख्या 7: (स्लाइड संख्या 22) एक समतल के साथ समांतर चतुर्भुज के एक खंड का निर्माण करेंकेएमएन, अगरकए 1 डी 1 , एन, एमअब.
समाधान: (स्लाइड संख्या 23)
एम.एन.∩ एडी=क्यू;
QK∩AA 1 =पी;
पीएम;
एनई II पीके; केएफ II एमएन;
एफ.ई.
एमपीकेफेनवांछित अनुभाग.
रचनात्मक कार्य (विकल्पों के अनुसार कार्ड):
एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड मेंएसएबीसी शीर्ष सी के माध्यम से औरपसली के मध्यएसपिरामिड का एक भाग इसके समानांतर बनाएंएस.बी.. किनारे AB पर एक बिंदु लिया गया हैएफताकि एएफ: एफबी=3:1. बिंदु के माध्यम सेएफऔरपसली के मध्यएसC से एक सीधी रेखा खींची गई है। क्या ये लाइन होगीअनुभाग तल के समानांतर?
अब 1 साथ -आयताकार समांतर चतुर्भुज एबीसी का खंडडीए 1 में 1 साथ 1 डी 1. बिंदु E के माध्यम से,एफ, K, जो क्रमशः हैंपसलियों के बीच मेंडीडी 1 , ए 1 डी 1 , डी 1 सी 1 द्वितीय खण्ड का प्रदर्शन किया गया।सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज Eएफके और एबी 1 सीसमान, और स्थापित करेंइन त्रिभुजों के कौन से कोण एक दूसरे के बराबर हैं?
पाठ सारांश: इसलिए, हम चतुष्फलक और समांतर चतुर्भुज के अनुभागों के निर्माण के नियमों से परिचित हुए, अनुभागों के प्रकारों की जांच की, और अनुभागों के निर्माण के लिए सबसे सरल समस्याओं का समाधान किया। अगले पाठ में हम विषय का अध्ययन करना जारी रखेंगे और अधिक जटिल समस्याओं पर गौर करेंगे।
आइए अब हमारे पारंपरिक प्रश्नों का उत्तर देकर पाठ को सारांशित करें (स्लाइड संख्या 24 ):
"मुझे पाठ पसंद आया (नापसंद) क्योंकि..."
"आज कक्षा में मैंने सीखा..."
"मैं चाहता हूँ..."
(पाठ के लिए ग्रेडिंग।)
गृहकार्य: अनुच्छेद 14 संख्या 105, 106. (स्लाइड संख्या 25 )
105 नंबर पर अतिरिक्त कार्य : वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें समतलएमएनकेएक किनारे को विभाजित करता हैअब, अगरसीएन : रा = 2:1, बी.एम. = एम.डी.और अवधिक- माध्यिका का मध्य भागअलत्रिकोणएबीसी.
(रचनात्मक कार्य समाप्त करें।)
स्लाइड 2
शिक्षकों के लिए सूचना. इस प्रस्तुति को बनाने का उद्देश्य एक रेखा और एक समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु, समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा और टेट्राहेड्रोन के अनुभागों के निर्माण के लिए एल्गोरिदम को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करना है। शिक्षक इस विषय पर पाठ पढ़ाते समय प्रस्तुति का उपयोग कर सकते हैं, या उन छात्रों द्वारा स्वतंत्र अध्ययन के लिए इसकी अनुशंसा कर सकते हैं जो किसी कारण से इसका अध्ययन करने से चूक गए, या उन्हें कुछ प्रश्न दोहराने के लिए। छात्र एक संक्षिप्त सारांश भरकर प्रस्तुतिकरण का अध्ययन करते हैं।
स्लाइड 3
विद्यार्थी के लिए सूचना. इस प्रस्तुति को बनाने का उद्देश्य अंतरिक्ष में निर्माण से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करना है। कॉलआउट पर टिप्पणियों का सावधानीपूर्वक और धीरे-धीरे अध्ययन करने का प्रयास करें और ड्राइंग के साथ उनकी तुलना करें। सारांश में सभी रिक्त स्थान भरें। समस्याओं को स्वयं हल करते समय, आपको पहले स्वयं समाधान के बारे में सोचना चाहिए, और फिर लेखक द्वारा प्रस्तावित समाधान को देखना चाहिए। शिक्षक के लिए प्रश्न लिखें और उन्हें कक्षा में पूछें।
स्लाइड 4
I. सीधा a समतल α को प्रतिच्छेद करता है। एक प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करें.
α β P m a उत्तर: I. सीधी रेखा a और समतल α का प्रतिच्छेदन बिंदु बनाने के लिए, आपको यह करना होगा: 1) रेखा a से गुजरने वाला और सीधी रेखा m के अनुदिश समतल α को प्रतिच्छेद करने वाला एक समतल β खींचना (ढूंढ़ना) 2) निर्माण करना सीधी रेखाओं a और m के प्रतिच्छेदन का बिंदु P. सीधी रेखा a के माध्यम से हम एक समतल β खींचते हैं जो समतल α को सीधी रेखा t पर प्रतिच्छेद करता है। हम सीधी रेखा a को समतल α और β की प्रतिच्छेदन रेखा के साथ काटते हैं: सीधी रेखा t। बिंदु P सीधी रेखा a और का उभयनिष्ठ बिंदु है समतल α, क्योंकि सीधी रेखा m α तल में स्थित है। एल्गोरिथम को संक्षिप्त सारांश में लिखें।
स्लाइड 5
1) सीधी रेखा एमएन और समतल बीडीसी के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करें।
डी बी ए सी एम एन पी (एम, एन) (एबीसी) उत्तर: विमान एबीसी सीधी रेखा एमएन से गुजरता है और विमान बीडीसी को सीधी रेखा बीसी के साथ काटता है। सीधी रेखा MN, सीधी रेखा BC को बिंदु P पर काटती है। सीधी रेखा BC, समतल BDC में स्थित है, जिसका अर्थ है कि सीधी रेखा MN, समतल BDC को बिंदु P पर काटती है।
स्लाइड 6
2) सीधी रेखा MN और समतल ABD के प्रतिच्छेदन बिंदु की रचना करें।
D B A C M N P उत्तर: समाधान देखें सीधी रेखा MN समतल ВDC से संबंधित है, जो समतल АВD को सीधी रेखा DB के साथ काटती है आइए हम सीधी रेखाओं MN और DB को काटते हैं। आगे
स्लाइड 7
द्वितीय. माना सीधी रेखा AB समतल α के समानांतर नहीं है। यदि बिंदु C समतल α से संबंधित है, तो समतल α और ABC के प्रतिच्छेदन की रेखा का निर्माण करें
B C A α β P m आइए समतल α के साथ सीधी रेखा AB का प्रतिच्छेदन बिंदु बनाएं। स्थिति और निर्माण के अनुसार, बिंदु C और P समतल ABC और α में उभयनिष्ठ हैं। स्थिति और निर्माण के अनुसार, बिंदु C और P समतल ABC और α में उभयनिष्ठ हैं। इसका मतलब यह है कि सीधी रेखा CP समतल ABC और α के प्रतिच्छेदन की वांछित सीधी रेखा है। II. समतल α और समतल ABC (C α, (A, B) α, AB || α) के प्रतिच्छेदन की रेखा बनाने के लिए, आपको: सीधी रेखा AB और समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करना होगा α - बिंदु पी; 2) बिंदु P और C समतल (ABC) और α के सामान्य बिंदु हैं, जिसका अर्थ है (ABC) α = CP एल्गोरिदम को संक्षिप्त सारांश में लिखें।
स्लाइड 8
3).एमएनपी और एडीबी तलों के प्रतिच्छेदन की सीधी रेखा का निर्माण करें।
एमएनपी समतल और एडीबी फलक के प्रतिच्छेदन का निर्माण करें। एम डी बी ए सी एन पी एक्स क्यू आर उत्तर: आइए समतल एडीबी (बिंदु एक्स) के साथ सीधी रेखा एमआर के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करें। सीधी रेखा MR, समतल ADC में स्थित है, जो समतल ADB को सीधी रेखा AD के अनुदिश काटती है। सीधी रेखा MR, समतल ADC में स्थित है, जो समतल ADB को सीधी रेखा AD के अनुदिश काटती है। बिंदु X और N ADB और MNP तलों के सामान्य बिंदु हैं। इसका मतलब है कि वे सीधी रेखा XN पर प्रतिच्छेद करते हैं। निर्माण प्रगति को संक्षिप्त सारांश में रिकॉर्ड करें।
स्लाइड 9
चतुष्फलक का अनुभाग.
सी डी बी ए एम एन पी α खंडों से बना एक बहुभुज जिसके साथ काटने वाला विमान पॉलीहेड्रॉन के चेहरों को काटता है, पॉलीहेड्रॉन का एक खंड कहलाता है। जो खंड खंड बनाते हैं, उन्हें फलकों पर काटने वाले तल के निशान कहा जाता है। ∆ एमएनपी - अनुभाग। मान लीजिए कि समतल चतुष्फलक को काटता है, तो इसे काटने वाला तल कहा जाता है। समतल चतुष्फलक के किनारों को बिंदु M, N, P और फलकों पर - खंडों MN, MP, NP के अनुदिश काटता है... त्रिभुज MNP है इस तल द्वारा चतुष्फलक के अनुभाग को कहा जाता है... इसे एक संक्षिप्त नोट में लिखें।
स्लाइड 10
चतुष्फलक का अनुप्रस्थ काट चतुर्भुज भी हो सकता है।
ए सी डी बी एम एन पी क्यू α एमएनपीक्यू - अनुभाग।
स्लाइड 11
तीन दिए गए बिंदुओं एम, एन, पी से गुजरने वाले विमान के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड के निर्माण के लिए एक एल्गोरिदम।
एमएनपीक्यू आवश्यक अनुभाग है। डी बी ए सी एम एन पी क्यू एक्स उन सतहों पर काटने वाले विमान के निशान बनाएं जिनके साथ 2 सामान्य बिंदु हैं। 3) निर्मित बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें जिसके साथ काटने वाला विमान चयनित चेहरे एबीसी के विमान को काटता है। 4) उन बिंदुओं को चिह्नित करें और नामित करें जहां यह रेखा चेहरे एबीसी के किनारों को काटती है और शेष निशान को पूरा करें। 2) ऐसा चेहरा चुनें जिस पर अभी तक कोई निशान न हो। चयनित चेहरे के तल के साथ पहले से निर्मित निशान वाली सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का निर्माण करें: एबीसी।
स्लाइड 12
चतुष्फलकीय समतल MNP.2 विधि का उपयोग करके एक अनुभाग का निर्माण करें।
डी बी ए सी एम एन पी क्यू एक्स एमएनपीक्यू - आवश्यक अनुभाग।
स्लाइड 13
नंबर 1. (समस्या का समाधान स्वयं करें)। एमएनपी विमान का उपयोग करके टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें।
क्यू डी ए सी एम एन पी एक्स बी एक्स समाधान देखें दूसरी विधि: अगला
स्लाइड 14
नंबर 2. (अपने लिए तय करें)। यदि P फलक ADC से संबंधित है तो MNP समतल का उपयोग करके चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें।
स्लाइड 15
नंबर 3। टेट्राहेड्रल प्लेन α का उपयोग करके, किनारे CD के समानांतर और समतल DBC पर स्थित बिंदु F और बिंदु M से गुजरते हुए एक खंड का निर्माण करें।
3)α (एडीबी)= एमएन, α (एबीसी)=क्यूपी। Q D B A M N P F C दिया गया: α||DC, (M;F) α, F (BDC), M AD। टेट्राहेड्रोन डीएबीसी के एक खंड का निर्माण करें। α||DC, फिर (DBC) α=FP और FP||DC, FP BC=P, FP BD=N। 2) चूँकि α||DC, तो (DAC) α=MQ और MQ||DC, MQ AC=Q। डीसी || NP और NP α, का अर्थ है DC||α, इसलिए MNPQ वांछित अनुभाग है। वाक्य जारी रखें: यदि दी गई सीधी रेखा a एक निश्चित समतल α के समानांतर है, तो इस सीधी रेखा a से गुजरने वाला कोई भी तल और जो समतल α के समानांतर नहीं है, समतल α को एक सीधी रेखा b के अनुदिश काटता है। ………………… सीधी रेखा ए के समानांतर। जारी रखें... α||DC, फिर समतल BDC, α को DC के समानांतर एक सीधी रेखा के अनुदिश और बिंदु F α||DC से गुजरते हुए प्रतिच्छेद करता है, फिर समतल ADC, α को DC के समांतर और बिंदु F से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के अनुदिश प्रतिच्छेद करता है बिंदु एम
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2)α||DВC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)α=MN MP||CD। पी#4. चतुष्फलकीय समतल α को फलक BDC के समानांतर और बिंदु M से गुजरते हुए एक खंड का निर्माण करें। B A C M N D दिया गया है: α||DBC, M α, M AD। समतल α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD द्वारा चतुष्फलक DABC के एक खंड का निर्माण करें। (एडीबी)α=एमएन 3)α (एबीसी)=एनपी। ∆ एमएनपी आवश्यक अनुभाग है, क्योंकि………. वाक्य जारी रखें: यदि दो समानांतर तलों को तीसरा तल प्रतिच्छेद करता है, तो उनके प्रतिच्छेदन की रेखाएँ …………………… समानांतर होती हैं। समतल α की दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ MN और MP क्रमशः समतल (DBC) की दो प्रतिच्छेदी रेखाओं DB और DC के समानांतर हैं, जिसका अर्थ है α||(DBC)। α||DВC, फिर समतल AВ और ADC, समतल α और (ВДС) को सीधी रेखाओं MN और МР के साथ, क्रमशः DB और DC के समानांतर, और बिंदु M से गुजरते हुए प्रतिच्छेद करते हैं।
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अगला एम आर बी ए सी एन नंबर 5. स्वयं हल करें और समाधान लिखें। बिंदु M और खंड PN से गुजरने वाले समतल α द्वारा टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें, यदि PN||AB और M समतल (ABC) से संबंधित है। पी क्यू डी 1)एनपी||एबी एनपी||(एबीसी) एनपी α, α (एबीसी)=एमक्यू एमक्यू||एनपी। 2)एमक्यू एसी=आर. α (एडीसी)=एनआर, α (बीडीसी)=पीक्यू। आरएनपीक्यू-आवश्यक क्रॉस सेक्शन। समाधान NP||(ABC) देखें, जिसका अर्थ है कि समतल MNP, समतल ABC को NP के समानांतर और बिंदु M से गुजरने वाली एक सीधी रेखा MQ के अनुदिश काटता है।
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यदि कुछ स्पष्ट नहीं है तो शिक्षक के लिए प्रश्न तैयार करना न भूलें, साथ ही इस प्रस्तुति को बेहतर बनाने के लिए अपनी सिफ़ारिशें भी तैयार करना न भूलें।
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प्रेजेंटेशन बनाते समय पाठ्यपुस्तकों और मैनुअल का उपयोग किया गया: 1. एल.एस. अतानास्यान, वी.एफ. बुटुज़ोव और अन्य। ज्यामिति 10-11। एम. "ज्ञानोदय" 2008. 2.बी.जी. ज़िव, वी.एम. मेलर, ए.जी. ज्यामिति में बखानस्की समस्याएं 7-11.एम. "ज्ञानोदय" 2000
सभी स्लाइड देखें
, स्लाइड 1-2)समस्याओं को हल करते समय स्टीरियोमेट्री के सिद्धांतों को लागू करना सीखें;
चतुष्फलक के किनारों के साथ काटने वाले तल के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की स्थिति ज्ञात करना सीखें;
इन अनुभागों के निर्माण के लिए मास्टर विधियाँ
संज्ञानात्मक गतिविधि बनाने के लिए, तार्किक रूप से सोचने की क्षमता;
ज्ञान और कौशल अधिग्रहण के आत्म-नियंत्रण के लिए परिस्थितियाँ बनाएँ।
पाठ का प्रकार: नये ज्ञान का निर्माण.
कक्षाओं के दौरान
I. संगठनात्मक क्षण
द्वितीय. छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना
फ्रंटल सर्वेक्षण. (स्टीरियोमेट्री के अभिगृहीत, समानांतर तलों के गुण)
शिक्षक का शब्द
टेट्राहेड्रोन से संबंधित कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, उन्हें खींचने में सक्षम होना उपयोगी हैधारा विभिन्न विमान. (स्लाइड 3). चलो कॉल करोविमान काटना टेट्राहेड्रोन कोई भी समतल होता है जिसके दोनों ओर दिए गए टेट्राहेड्रोन के बिंदु होते हैं। काटने वाला तल चतुष्फलक के फलकों को खंडों के अनुदिश काटता है। वह बहुभुज जिसकी भुजाएँ ये खंड हों, कहलाता हैटेट्राहेड्रोन का क्रॉस सेक्शन . चूँकि चतुष्फलक के चार फलक होते हैं, इसलिए इसके खंड केवल त्रिभुज और चतुर्भुज हो सकते हैं। यह भी ध्यान दें कि एक खंड का निर्माण करने के लिए, टेट्राहेड्रोन के किनारों के साथ काटने वाले विमान के चौराहे के बिंदुओं का निर्माण करना पर्याप्त है, जिसके बाद यह एक ही चेहरे पर स्थित प्रत्येक दो निर्मित बिंदुओं को जोड़ने वाले खंडों को खींचने के लिए रहता है।
इस पाठ में आप चतुष्फलक के अनुभागों का विस्तार से अध्ययन कर सकेंगे और इन अनुभागों के निर्माण की विधियों में महारत हासिल कर सकेंगे। आप पॉलीहेड्रा के अनुभागों के निर्माण के लिए पांच नियम सीखेंगे, टेट्राहेड्रोन के किनारों के साथ काटने वाले विमान के चौराहे के बिंदुओं की स्थिति का पता लगाना सीखेंगे।
सहायक अवधारणाओं का अद्यतनीकरण
पहला नियम. यदि दो बिंदु कटिंग विमान और पॉलीहेड्रॉन के कुछ चेहरे के विमान दोनों से संबंधित हैं, तो इन दो बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा इस चेहरे के विमान के साथ काटने वाले विमान के चौराहे की रेखा है (स्वयंसिद्ध का परिणाम) विमानों का प्रतिच्छेदन)।
दूसरा नियम . यदि काटने वाला तल एक निश्चित तल के समानांतर है, तो ये दोनों तल समानांतर रेखाओं के साथ किसी भी सतह को काटते हैं (दो समानांतर तलों को एक तिहाई द्वारा प्रतिच्छेदित करने का गुण)।
तीसरा नियम. यदि काटने वाला तल एक निश्चित तल में पड़ी रेखा के समानांतर है (उदाहरण के लिए, किसी चेहरे का तल), तो इस तल (चेहरे) के साथ काटने वाले तल की प्रतिच्छेदन रेखा इस रेखा के समानांतर होती है (ए की संपत्ति) समतल के समानांतर रेखा)।
चौथा नियम. एक काटने वाला तल समानांतर रेखाओं के साथ समानांतर सतहों को काटता है (समानांतर विमानों की संपत्ति एक तिहाई द्वारा प्रतिच्छेदित होती है)।
पाँचवाँ नियम . मान लीजिए कि दो बिंदु A और B काटने वाले तल के हैं, और बिंदु A हैं 1 और बी 1 किसी चेहरे पर इन बिंदुओं के समानांतर प्रक्षेपण हैं। यदि सीधी रेखाएँ AB और A हैं 1 बी 1 समानांतर हैं, तो काटने वाला तल इस सतह को A के समानांतर एक सीधी रेखा में काटता है 1 बी 1 . यदि सीधी रेखाएँ AB और A हैं 1 बी 1 एक निश्चित बिंदु पर प्रतिच्छेद करें, तो यह बिंदु काटने वाले विमान और इस चेहरे के विमान दोनों से संबंधित है (इस प्रमेय का पहला भाग विमान के समानांतर रेखा की संपत्ति से होता है, और दूसरा समानांतर के अतिरिक्त गुणों से होता है प्रक्षेपण).
तृतीय. नई सामग्री सीखना (ज्ञान, कौशल का निर्माण)
स्पष्टीकरण के साथ सामूहिक समस्या समाधान (स्लाइड 4)
कार्य 1। बिंदुओं K є AD, M є DS, E є BC से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन DABC के एक खंड का निर्माण करें।
आइए ड्राइंग को ध्यान से देखें। चूँकि बिंदु K और M एक ही तल से संबंधित हैं, हम ADS फलक के साथ काटने वाले तल का प्रतिच्छेदन पाते हैं - यह खंड KM है। बिंदु एम और ई भी एक ही तल में स्थित हैं, जिसका अर्थ है कि काटने वाले तल और वीडीएस के चेहरे का प्रतिच्छेदन खंड एमई है। हम सीधी रेखाओं KM और AC का प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं, जो एक ही समतल ADS में स्थित हैं। अब बिंदु खंड KP, फलक ABC के साथ काटने वाले तल का प्रतिच्छेदन है। इसलिए, चतुर्भुज KMER हमारा वांछित खंड है। समाधान को अपनी नोटबुक में रिकॉर्ड करना:
समाधान।
केएम = α ∩ एडीएस
एमई = α ∩ वीडीएस
एक्स = किमी ∩ एसी
पी = एक्सई ∩ एबी
पीई = α ∩ एबीसी
केआर = α ∩ एडीवी
केएमईआर - आवश्यक अनुभाग
कार्य 2. (स्लाइड 5)
बिंदुओं K = ABC, M = VDS, N = AD से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन DABC के एक खंड का निर्माण करें
आइए कुछ दो बिंदुओं के अनुमानों पर विचार करें। टेट्राहेड्रोन में, बिंदुओं के प्रक्षेपण शीर्ष से आधार तल तक पाए जाते हैं, अर्थात। एम→एम 1 , एन→ए. NM और AM रेखाओं का प्रतिच्छेदन ज्ञात करना 1 बिंदु X. यह बिंदु काटने वाले तल का है, क्योंकि यह सीधी रेखा NM पर स्थित है, समतल ABC का है, क्योंकि यह सीधी रेखा AM पर स्थित है 1 . इसका मतलब यह है कि अब एबीसी विमान में हमारे पास दो बिंदु हैं जिन्हें जोड़ा जा सकता है, हमें सीधी रेखा KX मिलती है। सीधी रेखा BC को बिंदु L पर और भुजा AB को बिंदु H पर प्रतिच्छेद करती है। फलक ABC में हम प्रतिच्छेदन रेखा पाते हैं, यह बिंदु H और K से होकर गुजरती है - यह NL है। एबीपी चेहरे में प्रतिच्छेदन रेखा НN है, वीडीएस चेहरे में हम बिंदु एल और एम के माध्यम से प्रतिच्छेदन रेखा खींचते हैं - यह एलक्यू है, और एडीएस चेहरे में हम खंड एनक्यू प्राप्त करते हैं। चतुर्भुज HNQL आवश्यक अनुभाग है।
समाधान
एम → एम 1 एन → ए
एक्स = एनएम ∩ एएम 1
एल = केएक्स ∩ बीसी
एच = केएक्स ∩ एबी
НL = α ∩ АВС, К є НL
НN = α ∩ АВД,
एलक्यू = α ∩ वीडीएस, М є एलक्यू
एनक्यू = α ∩ एडीएस
एचएनक्यूएल - आवश्यक अनुभाग
चतुर्थ. ज्ञान का समेकन
बाद के सत्यापन के साथ समस्या का समाधान
कार्य 3. (स्लाइड 6)
बिंदुओं K є BC, M є ADV, N є VDS से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन DAWS के एक खंड का निर्माण करें।
समाधान
1. एम → एम 1 , एन → एन 1
एक्स = एनएम ∩ एन 1 एम 1
आर = केएक्स ∩ एबी
आरएल = α ∩ АВД, М є आरएल
केआर = α ∩ वीडीएस, एन є केआर
एलपी = α ∩ एडीएस
आरएलपीके - आवश्यक अनुभाग
वी. स्वतंत्र कार्य (विकल्पों के अनुसार)
(स्लाइड 7)
कार्य 4. बिंदुओं M = AB, N = AC, K = AD से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन DABC के एक खंड का निर्माण करें।
समाधान
केएम = α ∩ एवीडी,
एमएन = α ∩ АВС,
केएन = α ∩ एडीएस
केएमएन - आवश्यक अनुभाग
कार्य 5. बिंदुओं M = AB, K = DS, N = DV से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन DABC के एक खंड का निर्माण करें।
समाधान
एमएन = α ∩ एवीडी
एनके = α ∩ वीडीएस
एक्स = एनके ∩ बीसी
पी = एसी ∩ एमएक्स
आरके = α ∩ एडीएस
एमएनकेपी - आवश्यक अनुभाग
कार्य 6. बिंदुओं M = ABC, K = VD, N = DS से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन DABC के एक खंड का निर्माण करें
समाधान
केएन = α ∩ आईसीई
Х = КN ∩ ВС
टी = एमएक्स ∩ एवीआर = टीएक्स ∩ एसी
आरटी = α ∩ एबीसी, एम є आरटी
पीएन = α ∩ एडीएस
टीपी एन के - आवश्यक अनुभाग
VI. पाठ सारांश.
(स्लाइड 8)
तो, आज हमने सीखा कि टेट्राहेड्रोन अनुभागों पर सबसे सरल समस्याओं का निर्माण कैसे किया जाता है। मैं आपको याद दिला दूं कि एक बहुफलक का एक खंड एक बहुफलक है जो एक निश्चित तल के साथ एक बहुफलक के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। विमान को ही कटिंग विमान कहा जाता है। एक अनुभाग का निर्माण करने का मतलब यह निर्धारित करना है कि काटने वाला विमान किन किनारों को काटता है, परिणामी अनुभाग का प्रकार और इन किनारों के साथ काटने वाले विमान के चौराहे के बिंदुओं की सटीक स्थिति। अर्थात् पाठ में जो लक्ष्य निर्धारित किये गये थे, वे प्राप्त हो गये।
सातवीं. गृहकार्य।
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व्यावहारिक कार्य "टेट्राहेड्रोन के अनुभागों का निर्माण" इलेक्ट्रॉनिक रूप या कागजी संस्करण में। (प्रत्येक को एक व्यक्तिगत कार्य दिया गया था
