समांतर चतुर्भुज के प्रकार. तिरछा समान्तर चतुर्भुज: एक गणित शिक्षक के लिए गुण, सूत्र और कार्य प्रत्यक्ष समान्तर चतुर्भुज आरेखण

इस पाठ में, हर कोई "आयताकार समानांतर चतुर्भुज" विषय का अध्ययन करने में सक्षम होगा। पाठ की शुरुआत में, हम दोहराएंगे कि मनमाना और सीधा समांतर चतुर्भुज क्या हैं, उनके विपरीत फलकों और समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुणों को याद रखें। फिर हम देखेंगे कि घनाभ क्या है और इसके मूल गुणों पर चर्चा करेंगे।

विषय: रेखाओं और तलों की लंबवतता

पाठ: घनाकार

दो समान समांतर चतुर्भुज ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 तथा चार समांतर चतुर्भुज ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 से बनी सतह कहलाती है समानांतर खात(चित्र .1)।

चावल। 1 समांतर चतुर्भुज

अर्थात्: हमारे पास दो समान समांतर चतुर्भुज ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 (आधार) हैं, वे समानांतर विमानों में स्थित हैं ताकि पार्श्व किनारे AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 समानांतर हों। इस प्रकार, समांतर चतुर्भुज से बनी सतह कहलाती है समानांतर खात.

इस प्रकार, एक समांतर चतुर्भुज की सतह उन सभी समांतर चतुर्भुजों का योग है जो समांतर चतुर्भुज बनाते हैं।

1. समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समान्तर और बराबर होते हैं।

(आकृतियाँ समान हैं, अर्थात, उन्हें ओवरलैपिंग द्वारा जोड़ा जा सकता है)

उदाहरण के लिए:

एबीसीडी = ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 (परिभाषा के अनुसार समान समांतर चतुर्भुज),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (चूंकि AA 1 B 1 B और DD 1 C 1 C समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक हैं),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (चूंकि AA 1 D 1 D और BB 1 C 1 C समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक हैं)।

2. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु से द्विभाजित होते हैं।

समांतर चतुर्भुज AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B के विकर्ण एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, और प्रत्येक विकर्ण इस बिंदु से आधे में विभाजित होता है (चित्र 2)।

चावल। 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होते हैं।

3. एक समान्तर चतुर्भुज के समान और समानांतर किनारों के तीन चतुर्भुज होते हैं: 1 - एबी, ए 1 बी 1, डी 1 सी 1, डीसी, 2 - एडी, ए 1 डी 1, बी 1 सी 1, बीसी, 3 - एए 1, बीबी 1, सीसी 1, डीडी 1।

परिभाषा। एक समान्तर चतुर्भुज को सीधा कहा जाता है यदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हों।

मान लीजिए कि पार्श्व किनारा AA 1 आधार के लंबवत है (चित्र 3)। इसका मतलब यह है कि सीधी रेखा AA 1 सीधी रेखाओं AD और AB पर लंबवत है, जो आधार के तल में स्थित हैं। इसका मतलब यह है कि पार्श्व फलकों में आयतें हैं। और आधारों में मनमाने समांतर चतुर्भुज होते हैं। आइए हम ∠BAD = φ को निरूपित करें, कोण φ कोई भी हो सकता है।

चावल। 3 दायां समान्तर चतुर्भुज

तो, एक समकोण चतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें पार्श्व किनारे समान्तर चतुर्भुज के आधारों के लंबवत होते हैं।

परिभाषा। समांतर चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है,यदि इसके पार्श्व किनारे आधार से लंबवत हैं। आधार आयताकार हैं.

समांतर चतुर्भुज ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 आयताकार है (चित्र 4), यदि:

1. एए 1 ⊥ एबीसीडी (आधार के तल पर लंबवत पार्श्व किनारा, यानी एक सीधा समानांतर चतुर्भुज)।

2. ∠BAD = 90°, अर्थात् आधार एक आयत है।

चावल। 4 आयताकार समान्तर चतुर्भुज

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में एक मनमाना समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होते हैं।लेकिन ऐसे अतिरिक्त गुण भी हैं जो घनाभ की परिभाषा से प्राप्त होते हैं।

इसलिए, घनाभएक समांतर चतुर्भुज है जिसके पार्श्व किनारे आधार से लंबवत हैं। घनाभ का आधार एक आयत है.

1. एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में, सभी छह फलक आयत हैं।

परिभाषा के अनुसार ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 आयत हैं।

2. पार्श्व पसलियाँ आधार से लंबवत होती हैं. इसका मतलब यह है कि एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के सभी पार्श्व फलक आयत हैं।

3. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी द्विफलकीय कोण समकोण होते हैं।

आइए, उदाहरण के लिए, AB किनारे वाले एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के डायहेड्रल कोण पर विचार करें, यानी, समतल ABC 1 और ABC के बीच का डायहेड्रल कोण।

AB एक किनारा है, बिंदु A 1 एक तल में स्थित है - समतल ABB 1 में, और बिंदु D दूसरे तल में - समतल A 1 B 1 C 1 D 1 में स्थित है। फिर विचाराधीन डायहेड्रल कोण को निम्नानुसार भी दर्शाया जा सकता है: ∠A 1 ABD।

आइए किनारे AB पर बिंदु A लें। AA 1 समतल АВВ-1 में किनारे AB पर लंबवत है, AD समतल ABC में किनारे AB पर लंबवत है। इसका मतलब यह है कि ∠A 1 AD किसी दिए गए डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है। ∠A 1 AD = 90°, जिसका अर्थ है कि किनारे AB पर डायहेड्रल कोण 90° है।

∠(एबीबी 1, एबीसी) = ∠(एबी) = ∠ए 1 एबीडी= ∠ए 1 एडी = 90°.

इसी प्रकार, यह सिद्ध हो गया है कि आयताकार समांतर चतुर्भुज का कोई भी द्विफलकीय कोण समकोण होता है।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

टिप्पणी। घनाभ के एक शीर्ष से निकलने वाले तीन किनारों की लंबाई घनाभ की माप होती है। इन्हें कभी-कभी लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई भी कहा जाता है।

दिया गया है: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - आयताकार समांतर चतुर्भुज (चित्र 5)।

सिद्ध करना: ।

चावल। 5 आयताकार समान्तर चतुर्भुज

सबूत:

सीधी रेखा CC 1 समतल ABC पर लंबवत है, और इसलिए सीधी रेखा AC पर लंबवत है। इसका मतलब है कि त्रिभुज CC 1 A समकोण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

लेकिन BC और AD आयत की विपरीत भुजाएँ हैं। अतः BC = AD. तब:

क्योंकि , ए , वह। चूँकि CC 1 = AA 1, इसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।

आइए हम समांतर चतुर्भुज ABC के आयामों को a, b, c के रूप में निरूपित करें (चित्र 6 देखें), तो AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

या (समतुल्य) एक बहुफलक, जिसके छह फलक होते हैं और उनमें से प्रत्येक - चतुर्भुज.

समांतर चतुर्भुज के प्रकार

समांतर चतुर्भुज कई प्रकार के होते हैं:

• घनाभ एक समांतर चतुर्भुज है जिसके सभी फलक आयत हैं।
• एक समांतर चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें 4 पार्श्व फलक आयताकार होते हैं।
• एक झुका हुआ समांतर चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसके पार्श्व फलक आधारों के लंबवत नहीं होते हैं।

आवश्यक तत्व

समांतर चतुर्भुज के दो फलक जिनमें एक उभयनिष्ठ किनारा नहीं होता है, विपरीत कहलाते हैं, और जिनका एक उभयनिष्ठ किनारा होता है उन्हें आसन्न कहा जाता है। समांतर चतुर्भुज के दो शीर्ष जो एक ही फलक के नहीं होते, विपरीत कहलाते हैं। विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले खंड को समांतर चतुर्भुज का विकर्ण कहा जाता है। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के तीन किनारों की लंबाई जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष होता है, इसके आयाम कहलाते हैं।

गुण

• समांतर चतुर्भुज अपने विकर्ण के मध्य के बारे में सममित है।
• समांतर चतुर्भुज की सतह से संबंधित और उसके विकर्ण के मध्य से गुजरने वाले किसी भी खंड को इसके द्वारा आधे में विभाजित किया गया है; विशेष रूप से, समांतर चतुर्भुज के सभी विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसके द्वारा द्विभाजित होते हैं।
• समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समान्तर और बराबर होते हैं।
• एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

मूल सूत्र

दायां समान्तर चतुर्भुज

पार्श्व सतह क्षेत्र S b =P o *h, जहां P o आधार की परिधि है, h ऊंचाई है

कुल सतह क्षेत्रफलएस पी =एस बी +2एस ओ, जहां एस ओ आधार क्षेत्र है

आयतनवी=एस ओ *एच

आयताकार समान्तर चतुर्भुज

पार्श्व सतह क्षेत्र S b =2c(a+b), जहां a, b आधार की भुजाएं हैं, c आयताकार समान्तर चतुर्भुज का पार्श्व किनारा है

कुल सतह क्षेत्रफलएस पी =2(एबी+बीसी+एसी)

आयतन V=abc, जहां a, b, c एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के आयाम हैं।

घनक्षेत्र

सतह क्षेत्रफल: $S=6a^2$
आयतन: $वी=ए^3$, कहाँ $ए$- घन का किनारा.

कोई भी समान्तर चतुर्भुज

झुके हुए समान्तर चतुर्भुज में आयतन और अनुपात अक्सर वेक्टर बीजगणित का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं। एक समांतर चतुर्भुज का आयतन एक शीर्ष से निकलने वाले समांतर चतुर्भुज की तीन भुजाओं द्वारा निर्धारित तीन सदिशों के मिश्रित उत्पाद के निरपेक्ष मान के बराबर होता है। समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोणों के बीच संबंध यह कथन देता है कि संकेतित तीन वैक्टरों का ग्राम निर्धारक उनके मिश्रित उत्पाद के वर्ग के बराबर है: 215।

गणितीय विश्लेषण में

में गणितीय विश्लेषणएक n-आयामी घनाभ के नीचे $बी$कई बिंदुओं को समझें $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$दयालु $बी\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

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सही सही गैर-उत्तल उत्तल सूत्र, प्रमेय, सिद्धांतों अन्य

पैरेललेपिप्ड की विशेषता बताने वाला एक अंश

- ऑन दिट क्यू लेस रिवॉक्स से सोंट सुलह ग्रेस ए एल "एन्जाइन... [वे कहते हैं कि इस बीमारी के कारण प्रतिद्वंद्वियों में सुलह हो गई।]
एंजाइन शब्द बड़े मजे से दोहराया गया।
- ले विएक्स कॉम्टे इस्ट टौचेंट ए सीई क्व'ऑन डिट। इल ए प्लुर कमे अन एनफैंट क्वैंड ले मेडेसिन लुई ए डिट क्यू ले कैस एटिट डेंजरेक्स। [वे कहते हैं, पुरानी गिनती बहुत मार्मिक है। जब डॉक्टर ने देखा तो वह एक बच्चे की तरह रोया कहा कि खतरनाक मामला है।]
- ओह, यह बहुत भयानक है। C"est une femme ravissante। [ओह, यह बहुत बड़ा नुकसान होगा। कितनी प्यारी महिला है।]
"वौस पार्लेज़ डे ला पौवरे कॉमटेसे," अन्ना पावलोवना ने पास आते हुए कहा। अन्ना पावलोवना ने अपने उत्साह पर मुस्कुराते हुए कहा, "जे'एआई एनवॉय सेवोइर डे सेस नोवेल्स। ऑन एम'ए डिट क्व'एले अलैइट अन पेउ मिएक्स। ओह, सेन्स डूटे, सी'एस्ट ला प्लस चार्मांटे फेमे डू मोंडे।" - हम विभिन्न शिविरों में भाग ले रहे हैं, मुझे लगता है कि हमने पहले ही अनुमान लगा लिया है, लेकिन मेरी योग्यता के अनुसार। एले इस्ट बिएन मल्ह्यूरेस, [आप गरीब काउंटेस के बारे में बात कर रहे हैं... मैंने उसके स्वास्थ्य के बारे में जानने के लिए भेजा था। उन्होंने मुझे बताया कि वह थोड़ा बेहतर महसूस कर रही हैं। ओह, बिना किसी शक के, यह दुनिया की सबसे प्यारी महिला है। हम अलग-अलग खेमों से हैं, लेकिन यह मुझे उसकी खूबियों के आधार पर उसका सम्मान करने से नहीं रोकता है। वह बहुत दुखी है।] - अन्ना पावलोवना ने कहा।
यह विश्वास करते हुए कि इन शब्दों के साथ अन्ना पावलोवना काउंटेस की बीमारी पर गोपनीयता का पर्दा थोड़ा उठा रही थी, एक लापरवाह युवक ने खुद को आश्चर्य व्यक्त करने की अनुमति दी कि प्रसिद्ध डॉक्टरों को नहीं बुलाया गया था, लेकिन काउंटेस का इलाज एक चार्लटन द्वारा किया जा रहा था जो खतरनाक हो सकता था उपाय.
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"मुझे यह पसंद है! [मुझे यह आकर्षक लगता है!]," उन्होंने उस राजनयिक कागज के बारे में कहा जिसके साथ विट्गेन्स्टाइन द्वारा लिए गए ऑस्ट्रियाई बैनर वियना भेजे गए थे, ले हेरोस डी पेट्रोपोल [पेट्रोपोल के नायक] (जैसा कि वह पीटर्सबर्ग में बुलाया गया था)।
- यह कैसे, यह कैसा है? - अन्ना पावलोवना ने उसकी ओर रुख किया, उस मकसद को सुनने के लिए चुप्पी जगाई, जिसे वह पहले से ही जानती थी।
और बिलिबिन ने अपने द्वारा रचित राजनयिक प्रेषण के निम्नलिखित मूल शब्दों को दोहराया:
बिलिबिन ने कहा, "एल"एम्पेरेउर रेनवोई लेस ड्रेपॉक्स ऑट्रिचिएन्स, "ड्रेपॉक्स एमिस एट एगेरेस क्व"इल ए ट्रौवे हॉर्स डे ला रूट, [सम्राट ऑस्ट्रियाई बैनर, मैत्रीपूर्ण और खोए हुए बैनर भेजता है जो उसे वास्तविक सड़क के बाहर मिले।], बिलिबिन समाप्त हो गया, त्वचा को ढीला कर दिया।
"आकर्षक, आकर्षक, [प्यारा, आकर्षक," प्रिंस वसीली ने कहा।
"सी"एस्ट ला रूट डे वार्सोवी प्यूट एत्रे, [यह वारसॉ रोड है, शायद।] - प्रिंस हिप्पोलीटे ने जोर से और अप्रत्याशित रूप से कहा। हर किसी ने उसकी ओर देखा, समझ नहीं आया कि वह इसके द्वारा क्या कहना चाहता था। प्रिंस हिप्पोलीटे ने भी पीछे देखा अपने चारों ओर हर्षित आश्चर्य के साथ। वह, दूसरों की तरह, यह नहीं समझ पाए कि उनके द्वारा कहे गए शब्दों का क्या मतलब है। अपने राजनयिक करियर के दौरान, उन्होंने एक से अधिक बार देखा कि इस तरह से बोले गए शब्द अचानक बहुत मजाकिया हो गए, और उन्होंने ये कहा बस मामले में, सबसे पहले शब्द जो उसके दिमाग में आए। "शायद यह बहुत अच्छी तरह से काम करेगा," उसने सोचा, "और अगर यह काम नहीं करता है, तो वे इसे वहां व्यवस्थित करने में सक्षम होंगे।" वास्तव में, जबकि एक अजीब सा सन्नाटा छा गया, वह अपर्याप्त देशभक्तिपूर्ण चेहरा अन्ना पावलोवना में प्रवेश कर गया, और उसने मुस्कुराते हुए और इप्पोलिट पर अपनी उंगली हिलाते हुए, राजकुमार वासिली को मेज पर आमंत्रित किया, और, उसे दो मोमबत्तियाँ और एक पांडुलिपि भेंट करते हुए, उसे शुरू करने के लिए कहा। सब कुछ शांत हो गया .

परिभाषा

बहुतलहम बहुभुजों से बनी एक बंद सतह कहेंगे जो अंतरिक्ष के एक निश्चित हिस्से को घेरेगी।

वे खंड जो इन बहुभुजों की भुजाएँ हैं, कहलाते हैं पसलियांबहुफलक, और बहुभुज स्वयं हैं किनारों. बहुभुजों के शीर्षों को बहुफलकीय शीर्ष कहा जाता है।

हम केवल उत्तल बहुफलक पर विचार करेंगे (यह एक बहुफलक है जो अपने फलक वाले प्रत्येक तल के एक तरफ स्थित होता है)।

बहुफलक बनाने वाले बहुभुज इसकी सतह बनाते हैं। अंतरिक्ष का वह भाग जो किसी दिए गए बहुफलक से घिरा होता है, उसका आंतरिक भाग कहलाता है।

परिभाषा: प्रिज्म

समानांतर समतल में स्थित दो समान बहुभुज \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) पर विचार करें ताकि खंड \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)समानांतर। बहुभुज \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) के साथ-साथ समांतर चतुर्भुज द्वारा निर्मित एक बहुफलक \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), को (\(n\)-गोनल) कहा जाता है चश्मे.

बहुभुज \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) को प्रिज्म आधार, समांतर चतुर्भुज कहा जाता है \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)- पार्श्व फलक, खंड \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- पार्श्व पसलियाँ.
इस प्रकार, प्रिज्म के पार्श्व किनारे एक दूसरे के समानांतर और बराबर होते हैं।

आइए एक उदाहरण देखें - एक प्रिज्म \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), जिसके आधार पर एक उत्तल पंचभुज स्थित है।

ऊंचाईप्रिज्म एक आधार के किसी भी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर डाला गया लंब है।

यदि पार्श्व किनारे आधार से लंबवत नहीं हैं, तो ऐसे प्रिज्म को कहा जाता है इच्छुक(चित्र 1), अन्यथा - सीधा. एक सीधे प्रिज्म में, पार्श्व किनारे ऊँचाई हैं, और पार्श्व फलक समान आयत हैं।

यदि एक नियमित बहुभुज एक सीधे प्रिज्म के आधार पर स्थित हो, तो प्रिज्म कहलाता है सही.

परिभाषा: आयतन की अवधारणा

आयतन माप की इकाई एक इकाई घन है (एक घन जो \(1\times1\times1\) इकाइयों को मापता है\(^3\), जहां इकाई माप की एक निश्चित इकाई है)।

हम कह सकते हैं कि एक बहुफलक का आयतन उस स्थान की मात्रा है जिसे यह बहुफलक सीमित करता है। अन्यथा: यह एक मात्रा है जिसका संख्यात्मक मान दर्शाता है कि एक इकाई घन और उसके भाग किसी दिए गए बहुफलक में कितनी बार फिट होते हैं।

आयतन में क्षेत्रफल के समान गुण होते हैं:

1. वॉल्यूम समान आंकड़ेबराबर हैं।

2. यदि एक पॉलीहेड्रॉन कई गैर-प्रतिच्छेदी पॉलीहेड्रा से बना है, तो इसका आयतन इन पॉलीहेड्रा के आयतन के योग के बराबर है।

3. आयतन एक गैर-ऋणात्मक मात्रा है।

4. आयतन सेमी\(^3\) (घन सेंटीमीटर), मी\(^3\) (घन मीटर) आदि में मापा जाता है।

प्रमेय

1. प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर है।
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल प्रिज्म के पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग है।

2. प्रिज्म का आयतन आधार क्षेत्र और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर है: \

परिभाषा: समान्तर चतुर्भुज

समानांतर खातएक प्रिज्म है जिसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज है।

समांतर चतुर्भुज के सभी फलक (\(6\) : \(4\) पार्श्व फलक और \(2\) आधार हैं) समांतर चतुर्भुज हैं, और विपरीत फलक (एक दूसरे के समानांतर) समान समांतर चतुर्भुज हैं (चित्र 2) .

समांतर चतुर्भुज का विकर्णएक समान्तर चतुर्भुज के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही फलक पर नहीं होते हैं (उनमें से \(8\) हैं: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\)वगैरह।)।

आयताकार समान्तर चतुर्भुजएक समांतर चतुर्भुज है जिसके आधार पर एक आयत है।
क्योंकि चूँकि यह एक समांतर चतुर्भुज है, इसके पार्श्व फलक आयत हैं। इसका मतलब यह है कि सामान्यतः एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के सभी फलक आयत होते हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी विकर्ण बराबर होते हैं (यह त्रिभुजों की समानता से पता चलता है \(\त्रिकोण ACC_1=\त्रिकोण AA_1C=\त्रिकोण BDD_1=\त्रिकोण BB_1D\)वगैरह।)।

टिप्पणी

इस प्रकार, एक समान्तर चतुर्भुज में एक प्रिज्म के सभी गुण होते हैं।

प्रमेय

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल है \

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है \

प्रमेय

एक घनाभ का आयतन उसके एक शीर्ष से निकलने वाले तीन किनारों के गुणनफल के बराबर होता है (घनाभ के तीन आयाम): \

सबूत

क्योंकि एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में, पार्श्व किनारे आधार के लंबवत होते हैं, फिर वे इसकी ऊँचाई भी होते हैं, अर्थात, \(h=AA_1=c\) क्योंकि तो, आधार एक आयत है \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). यहीं से यह सूत्र आता है।

प्रमेय

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण \(d\) सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है (जहां \(a,b,c\) समांतर चतुर्भुज के आयाम हैं) \

सबूत

आइए चित्र देखें। 3. क्योंकि आधार एक आयत है, तो \(\triangle ABD\) आयताकार है, इसलिए, पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) ।

क्योंकि तब सभी पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत होते हैं \(BB_1\perp (ABC) \राइटएरो BB_1\)इस तल में किसी भी सीधी रेखा के लंबवत, अर्थात। \(BB_1\perp BD\) . इसका मतलब है कि \(\triकोण BB_1D\) आयताकार है। फिर, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), टी.एच.डी.

परिभाषा: घन

घनक्षेत्रएक आयताकार समांतर चतुर्भुज है, जिसके सभी फलक समान वर्ग हैं।

इस प्रकार, तीन आयाम एक दूसरे के बराबर हैं: \(a=b=c\) । तो निम्नलिखित सत्य हैं

प्रमेयों

1. \(a\) किनारे वाले घन का आयतन \(V_(\text(cube))=a^3\) के बराबर है।

2. घन का विकर्ण सूत्र \(d=a\sqrt3\) का उपयोग करके पाया जाता है।

3. एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \(S_(\text(पूर्ण घन))=6a^2\).

आयताकार समान्तर चतुर्भुज

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसके सभी फलक आयत हैं।

यह हमारे चारों ओर देखने के लिए पर्याप्त है, और हम देखेंगे कि हमारे आस-पास की वस्तुओं का आकार एक समानांतर चतुर्भुज के समान है। उन्हें रंग से अलग किया जा सकता है, उनमें बहुत सारे अतिरिक्त विवरण होते हैं, लेकिन यदि इन सूक्ष्मताओं को छोड़ दिया जाए, तो हम कह सकते हैं कि, उदाहरण के लिए, एक कैबिनेट, बॉक्स इत्यादि का आकार लगभग समान होता है।

हम लगभग हर दिन एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज की अवधारणा से परिचित होते हैं! चारों ओर देखो और मुझे बताओ कि तुम्हें आयताकार समान्तर चतुर्भुज कहाँ दिखाई देते हैं? किताब को देखो, इसका आकार बिल्कुल वैसा ही है! एक ईंट, एक माचिस, लकड़ी के एक ब्लॉक का आकार समान है, और अभी भी आप एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के अंदर हैं, क्योंकि कक्षा इस ज्यामितीय आकृति की सबसे उज्ज्वल व्याख्या है।

व्यायाम:आप समान्तर चतुर्भुज के कौन से उदाहरण बता सकते हैं?

आइए घनाभ पर करीब से नज़र डालें। और हम क्या देखते हैं?

सबसे पहले, हम देखते हैं कि यह आकृति छह आयतों से बनी है, जो एक घनाभ के फलक हैं;

दूसरे, एक घनाभ में आठ शीर्ष और बारह किनारे होते हैं। घनाभ के किनारे उसके फलकों की भुजाएँ हैं, और घनाभ के शीर्ष फलकों के शीर्ष हैं।

व्यायाम:

1. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के प्रत्येक फलक का क्या नाम है? 2. एक समांतर चतुर्भुज को किन मापदंडों से मापा जा सकता है? 3. विपरीत फलकों को परिभाषित करें।

समांतर चतुर्भुज के प्रकार

लेकिन समान्तर चतुर्भुज न केवल आयताकार होते हैं, बल्कि वे सीधे और झुके हुए भी हो सकते हैं, और सीधी रेखाओं को आयताकार, गैर-आयताकार और घन में विभाजित किया जाता है।

असाइनमेंट: चित्र को देखें और बताएं कि इस पर कौन से समांतर चतुर्भुज दिखाए गए हैं। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज एक घन से किस प्रकार भिन्न है?

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के गुण

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं:

सबसे पहले, इस ज्यामितीय आकृति के विकर्ण का वर्ग इसके तीन मुख्य मापदंडों के वर्गों के योग के बराबर है: ऊंचाई, चौड़ाई और लंबाई।

दूसरे, इसके चारों विकर्ण बिल्कुल समान हैं।

तीसरा, यदि किसी समान्तर चतुर्भुज के सभी तीन पैरामीटर समान हैं, अर्थात लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई समान हैं, तो ऐसे समांतर चतुर्भुज को घन कहा जाता है, और इसके सभी चेहरे एक ही वर्ग के बराबर होंगे।

व्यायाम

1. क्या आयताकार समान्तर चतुर्भुज की भुजाएँ समान होती हैं? यदि कोई हों तो उन्हें चित्र में दिखायें। 2. कौन से? ज्यामितीय आकारएक आयताकार समान्तर चतुर्भुज की भुजाएँ क्या होती हैं? 3. एक दूसरे के संबंध में समान किनारों की व्यवस्था क्या है? 4. इस आकृति के समान फलकों के युग्मों की संख्या बताइए। 5. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में किनारों को ढूंढें जो इसकी लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई को इंगित करते हैं। आपने कितने गिने?

काम

अपनी माँ के लिए जन्मदिन के उपहार को खूबसूरती से सजाने के लिए, तान्या ने एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के आकार का एक बॉक्स लिया। इस बॉक्स का साइज़ 25cm*35cm*45cm है. इस पैकेजिंग को खूबसूरत बनाने के लिए तान्या ने इसे खूबसूरत कागज से ढकने का फैसला किया, जिसकी कीमत 3 रिव्निया प्रति 1 डीएम2 है। आपको रैपिंग पेपर पर कितना पैसा खर्च करना चाहिए?

क्या आप जानते हैं कि मशहूर भ्रम विशेषज्ञ डेविड ब्लेन ने एक प्रयोग के तौर पर टेम्स के ऊपर लटके हुए एक ग्लास पैरेललपिप में 44 दिन बिताए थे। इन 44 दिनों तक उन्होंने खाना नहीं खाया, सिर्फ पानी पिया। अपनी स्वैच्छिक जेल में, डेविड केवल लेखन सामग्री, एक तकिया और गद्दा, और रूमाल ही ले गया।

या (समतुल्य) छह फलकों वाला एक बहुफलक जो समांतर चतुर्भुज हों। षटकोण.

समांतर चतुर्भुज जो एक समान्तर चतुर्भुज बनाते हैं वे हैं किनारोंइस समान्तर चतुर्भुज की भुजाएँ हैं एक समान्तर चतुर्भुज के किनारे, और समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं चोटियों समानांतर खात. एक समान्तर चतुर्भुज में, प्रत्येक फलक होता है चतुर्भुज.

एक नियम के रूप में, किन्हीं 2 विपरीत चेहरों की पहचान की जाती है और उन्हें बुलाया जाता है समांतर चतुर्भुज के आधार, और शेष चेहरे - समांतर चतुर्भुज के पार्श्व फलक. समांतर चतुर्भुज के वे किनारे जो आधारों से संबंधित नहीं हैं पार्श्व पसलियाँ.

एक समान्तर चतुर्भुज के 2 फलक जिनमें एक उभयनिष्ठ किनारा होता है, हैं नज़दीक, और जिनके किनारे समान नहीं हैं - विलोम.

एक खंड जो दो शीर्षों को जोड़ता है जो पहले फलक से संबंधित नहीं हैं समांतर चतुर्भुज विकर्ण.

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के किनारों की लंबाई जो समानांतर नहीं हैं, हैं रैखिक आयाम (मापन) समान्तर चतुर्भुज। एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में 3 रैखिक आयाम होते हैं।

समांतर चतुर्भुज के प्रकार.

समांतर चतुर्भुज कई प्रकार के होते हैं:

प्रत्यक्षएक किनारे वाला समांतर चतुर्भुज है, विमान के लंबवतमैदान.

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज जिसमें सभी 3 आयाम समान हैं घनक्षेत्र. घन का प्रत्येक फलक बराबर है चौकों .

कोई भी समान्तर चतुर्भुज।एक झुके हुए समान्तर चतुर्भुज में आयतन और अनुपात मुख्य रूप से वेक्टर बीजगणित का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं। एक समांतर चतुर्भुज का आयतन 3 सदिशों के मिश्रित उत्पाद के निरपेक्ष मान के बराबर होता है, जो समांतर चतुर्भुज की 3 भुजाओं (जो एक ही शीर्ष से उत्पन्न होती हैं) द्वारा निर्धारित होते हैं। समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोणों के बीच का संबंध इस कथन को दर्शाता है कि दिए गए 3 वैक्टरों का ग्राम निर्धारक उनके मिश्रित उत्पाद के वर्ग के बराबर है।

समांतर चतुर्भुज के गुण.

• समांतर चतुर्भुज अपने विकर्ण के मध्य के बारे में सममित है।
• सिरों वाला कोई भी खंड जो समांतर चतुर्भुज की सतह से संबंधित है और जो इसके विकर्ण के मध्य से होकर गुजरता है, उसे इसके द्वारा दो समान भागों में विभाजित किया जाता है। समांतर चतुर्भुज के सभी विकर्ण पहले बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसके द्वारा दो समान भागों में विभाजित होते हैं।
• समान्तर चतुर्भुज के विपरीत फलक समानांतर होते हैं और उनके आयाम समान होते हैं।
• एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई का वर्ग बराबर होता है