Kako riješiti jednadžbe na primjerima četvrtog stepena. Jednačina četvrtog stepena. Rješavanje bikvadratnih jednačina četvrtog stepena
Ubrzo nakon što je Cardano objavio metodu za rješavanje kubnih jednačina, njegovi učenici i sljedbenici pronašli su načine da svedu opštu jednačinu četvrtog stepena na kubnu jednačinu. Predstavimo najjednostavniji metod koji pripada L. Ferrari.
Kada predstavljate metodu, moraćete da koristite sledeću elementarnu lemu.
Lemma. Da bi kvadratni trinom bio kvadrat linearnog binoma, potrebno je i dovoljno da njegov diskriminanta bude jednaka nuli.
Dokaz. Nužnost. Neka . Zatim dovoljnost. Neka Onda
Ideja predstavljene metode je da se lijeva strana jednadžbe prikaže kao razlika dva kvadrata. Tada se može razložiti na dva faktora drugog stepena, a rješavanje jednačine će dovesti do rješavanja dvije kvadratne jednačine. Da bismo postigli cilj, predstavimo lijevu stranu u obliku:
Ovdje je y pomoćna nepoznanica, koja se mora odabrati tako da izraz u uglastim zagradama ispadne kvadrat linearnog binoma. Na osnovu leme, za ovo je neophodno i dovoljno da se ispuni uslov
Ovaj uslov je jednačina trećeg stepena u odnosu na y. Nakon otvaranja zagrada, pretvara se u obrazac
Neka je jedan od korijena ove jednadžbe. Tada će uslov biti zadovoljen, tako da važi
za neke k i I. Originalna jednadžba ima oblik
Izjednačavajući svaki od faktora sa nulom, naći ćemo četiri korijena originalne jednačine.
Da damo još jednu napomenu. Neka su korijeni prvog faktora, i neka su korijeni drugog. Zatim, sabiranjem ovih jednakosti, dobijamo to
Tako smo dobili izraz za korijen pomoćne kubične jednačine u smislu korijena izvorne jednačine četvrtog stepena.
Primjer. Riješite jednačinu. Prema gore navedenoj metodi, transformiramo lijevu stranu:
Sada stavimo . Nakon formacija dobijamo jednačinu
Lako je vidjeti da je jedan od korijena ove jednadžbe broj . Zamjenom ga u transformiranu lijevu stranu originalne jednačine, dobijamo:
Izjednačavajući faktore sa nulom, dobijamo
Što se tiče jednačina iznad četvrtog stepena, poznate su neke klase jednačina relativno posebnog oblika koje su dozvoljavale algebarska rješenja u radikalima, odnosno u obliku rezultata aritmetičkih operacija i akcije vađenja korijena. Međutim, pokušaji da se daju rješenja općih jednačina petog i višeg stepena bili su neuspješni sve do, konačno, početkom 19. stoljeća. Ruffini i Abel nisu dokazali da je rješenje ove vrste za opšte jednačine iznad četvrtog stepena nemoguće. Konačno, 1830. godine, briljantni francuski matematičar E. Galois uspio je pronaći potrebne i dovoljne uslove (koje je prilično teško provjeriti) za rješivost u radikalima posebno za zadata jednačina. Istovremeno, Galois je stvorio i koristio teoriju permutacijskih grupa, koja je bila nova za njegovo vrijeme.
U opštem slučaju, rješenje jednadžbe četvrtog stupnja provodi se korištenjem metoda za rješavanje jednačina za više stupnjeve, na primjer, Ferrarijeva metoda ili korištenjem Hornerove sheme. Ali neke jednačine 4. stepena imaju jednostavnije rješenje.
Postoji nekoliko posebnih vrsta jednadžbi četvrtog stepena, metode za rješavanje kojih ćete naučiti u nastavku:
- Bikvadratna jednačina $ax^4+bx^2+c=0$;
- Recipročne jednačine oblika $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- Jednačine oblika $ax^4+b=0$.
Rješavanje bikvadratnih jednačina četvrtog stepena
Bikvadratne jednadžbe $ax^4+bx^2+c=0$ svode se na kvadratne jednačine zamjenom varijable $x^2$ novom, na primjer, $y$. Nakon zamjene, nova rezultirajuća jednačina se rješava, a zatim se vrijednost pronađene varijable zamjenjuje u jednačinu $x^2=y$. Rezultat rješenja će biti korijeni jednadžbe $x^2=y$.
Primjer 1
Riješite jednačinu $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
Proširimo zagrade u polinomu:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
U ovom obliku, postaje očigledno da možemo izabrati izraz $y=x^2-3x$ kao novu varijablu:
$y\cdot (y+2)=24$
Sada riješimo dvije kvadratne jednačine $x^2-3x=-4$ i $x^2-3x=-6$.
Korijeni prve jednadžbe su $x_1(1,2)=4;-1$, druga nema rješenja.
Rješavanje recipročnih jednačina 4. stepena
Ove jednadžbe oblika $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ ponavljaju sa svojim koeficijentima za članove nižeg reda koeficijente za polinome sa višim stupnjevima. Da biste riješili takvu jednačinu, prvo je podijelite sa $x^2$:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
Zatim zamijenite $(x+\frac(1)(x))$ novom varijablu, zatim $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, nakon zamjene dobijamo sljedeće kvadratna jednačina:
$a(y^2-2)+by+c=0$
Nakon ovoga tražimo korijene jednadžbi $x+\frac(1)(x)=y_1$ i $x+\frac(1)(x)=y_2$.
Slična metoda se koristi za rješavanje recipročnih jednačina oblika $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.
Primjer 2
Riješite jednačinu:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
Ova jednačina je recipročna jednačina oblika $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Stoga, cijelu jednačinu dijelimo sa $x^2$:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
Zamijenimo izraz $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
Izračunajmo korijene ove jednadžbe, oni su jednaki $y_1=3$ i $y_2=-\frac(7)(3)$.
Shodno tome, sada je potrebno riješiti dvije jednačine $x+\frac(2)(x)=3$ i $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$. Rješenje prve jednačine je $x_1=1, x_2=2$, druga jednačina nema korijena.
Stoga su korijeni originalne jednadžbe $x_1=1, x_2=2$.
Jednačine oblika $ax^4+b=0$
Korijeni jednadžbe ovog tipa nalaze se korištenjem skraćenih formula za množenje.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Prvo morate pronaći jedan korijen koristeći metodu odabira. Obično je to djelitelj slobodnog člana. U ovom slučaju, djelitelji broja 12 su ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Počnimo da ih zamjenjujemo jednu po jednu:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ broj 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ broj -1 nije korijen polinoma
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ broj 2 je korijen polinoma
Pronašli smo 1 od korijena polinoma. Koren polinoma je 2, što znači da originalni polinom mora biti djeljiv sa x - 2. Da bismo izvršili podjelu polinoma, koristimo Hornerovu shemu:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
Koeficijenti originalnog polinoma su prikazani u gornjem redu. Korijen koji smo pronašli nalazi se u prvoj ćeliji drugog reda 2. Drugi red sadrži koeficijente polinoma koji je rezultat dijeljenja. Računaju se ovako:
| U drugu ćeliju drugog reda upisujemo broj 2, jednostavnim pomicanjem iz odgovarajuće ćelije prvog reda. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Posljednji broj je ostatak dijeljenja. Ako je jednako 0, onda smo sve ispravno izračunali.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Ali ovo nije kraj. Možete pokušati proširiti polinom na isti način 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Opet tražimo korijen među djeliteljima slobodnog člana. Delitelji brojeva -6 su ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ broj 1 nije korijen polinoma
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ broj -1 nije korijen polinoma
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ broj 2 nije korijen polinoma
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ broj -2 je korijen polinoma
Upišimo pronađeni korijen u našu Horner shemu i počnimo popunjavati prazne ćelije:
| U drugu ćeliju trećeg reda upisujemo broj 2, jednostavnim pomicanjem iz odgovarajuće ćelije drugog reda. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Stoga smo faktorizirali originalni polinom:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Polinom 2x 2 + 5x - 3 takođe može biti faktorizovan. Da biste to učinili, možete riješiti kvadratnu jednačinu kroz diskriminantu, ili možete potražiti korijen među djeliteljima broja -3. Na ovaj ili onaj način, doći ćemo do zaključka da je korijen ovog polinoma broj -3
| U drugu ćeliju četvrtog reda upisujemo broj 2, jednostavnim pomicanjem iz odgovarajuće ćelije trećeg reda. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Stoga smo originalni polinom dekomponirali na linearne faktore.
Descartes-Eulerovo rješenje
Nakon što smo izvršili zamjenu, dobijamo jednačinu u sljedećem obliku (naziva se "nepotpuna"):
y 4 + stry 2 + qy + r = 0 .Roots y 1 , y 2 , y 3 , y 4 takve jednačine jednaki su jednom od sljedećih izraza:
u kojoj se kombinacije znakova biraju na način da je zadovoljen sljedeći odnos:
,
i z 1 , z 2 i z 3 su korijeni kubne jednadžbe
Ferarijevo rešenje
Glavni članak: Ferrari metoda
Hajde da predstavimo jednačinu četvrtog stepena u obliku:
Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0,Njegovo rješenje se može naći iz sljedećih izraza:
ako je β = 0, rješavanje u 4 + α u 2 + γ = 0 i, vršeći zamenu 
, pronađimo korijene: . 
, (bilo koji znak kvadratnog korijena će odgovarati) , (tri kompleksna korijena, od kojih će jedan odgovarati) 
Dva ± s moraju imati isti predznak, ± t - su nezavisna. Da biste pronašli sve korijene, trebate pronaći x za kombinacije sa predznakom ± s ,± t = +,+ za +,− za −,+ za −,−. Dvostruki korijeni će se pojaviti dva puta, trostruki korijeni tri puta, a kvartarni korijeni četiri puta. Redoslijed korijena ovisi o tome koji kockasti korijen U odabrano. vidi takođe
- Lako riješene vrste jednačina 4. stepena: Bikvadratna jednačina, recipročna jednačina četvrtog stepena
Književnost
- Korn G., Korn T. (1974) Handbook of Mathematics.
Linkovi
- Ferrarijeva odluka
Wikimedia Foundation. 2010.
Pogledajte šta je "jednačina četvrtog stepena" u drugim rječnicima:
jednačina četvrtog stepena- - [L.G. Englesko-ruski rječnik informacionih tehnologija. M.: Državno preduzeće TsNIIS, 2003.] Teme informacione tehnologije općenito EN kvartična jednačina … Vodič za tehnički prevodilac
Grafikon polinoma 4. stepena sa četiri korena i tri kritične tačke. Jednačina četvrtog stepena u matematici je algebarska jednačina oblika: Četvrti stepen za algebarske jednačine je najviša na kojoj... ... Wikipedia
Jednadžba oblika: anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 naziva se recipročna ako su njeni koeficijenti u simetričnim pozicijama jednaki, odnosno ako je an − k = ak, za k = 0, 1, ..., br. Sadržaj 1 Jednačina četvrtog stepena ... Wikipedia
U kojoj je nepoznati član na četvrti stepen. Kompletan rečnik stranih reči koje su ušle u upotrebu u ruskom jeziku. Popov M., 1907. BIKVADRATNA JEDNAČINA iz lat. bis, dvaput, i kvadrat, kvadrat. Jednačina u kojoj je najveći stepen ... ... Rečnik stranih reči ruskog jezika
Zajedno sa aritmetikom postoji nauka o brojevima i, preko brojeva, o količinama uopšte. Bez proučavanja svojstava bilo koje određene, konkretne veličine, obje ove nauke istražuju svojstva apstraktnih veličina kao takvih, bez obzira na ... ... enciklopedijski rječnik F. Brockhaus i I.A. Efron
Skup primenjenih znanja koji omogućava inženjerima vazduhoplovstva da studiraju u oblasti aerodinamike, problema sa čvrstoćom, konstrukcije motora i dinamike leta aviona (tj. teorije) za stvaranje novog aviona ili poboljšanje... ... Collier's Encyclopedia
Najstarija matematička aktivnost bilo je brojanje. Račun je bio neophodan za praćenje stoke i obavljanje trgovine. Neka primitivna plemena su brojala broj objekata tako što su ih uparili sa raznim delovima tela, uglavnom... ... Collier's Encyclopedia
Istorija tehnologije po periodu i regionu: neolitska revolucija Drevna tehnologija Egipta Nauka i tehnologija drevne Indije Nauka i tehnologija drevne Kine Tehnologije Ancient Greece Tehnologije Drevni Rim Tehnologije islamskog svijeta... ... Wikipedia
Jednačina je matematički odnos koji izražava jednakost dva algebarska izraza. Ako je jednakost istinita za bilo koje dopuštene vrijednosti nepoznatih uključenih u nju, onda se naziva identitetom; na primjer, omjer oblika ... ... Collier's Encyclopedia
Teorema Abela Ruffinija to kaže opšta jednačina ovlasti na nije rješivo u radikalima. Sadržaj 1 Detalji... Wikipedia
Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Čovjek je koristio jednačine u drevnim vremenima, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Rješenja ove vrste jednačina mogu se izvoditi prema opštoj šemi za rješavanje jednačina viših stupnjeva. Ove vrste jednadžbi imaju rješenja u radikalima zahvaljujući Ferrari metodi, koja omogućava da se rješenja svedu na kubnu jednadžbu. Međutim, u većini slučajeva, faktoringom polinoma, možete brzo pronaći rješenje jednadžbe.
Pretpostavimo da nam je data binomna jednačina četvrtog stepena:
Razložimo polinom na faktore:
Određujemo korijene prvog kvadratnog trinoma:
Određujemo korijene drugog trinoma:
Kao rezultat toga, originalna jednadžba ima četiri kompleksna korijena:
Gdje mogu riješiti jednačine 4. stepena na mreži?
Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i saznati kako riješiti jednačinu na našoj web stranici, a ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek smo sretni da vam pomognemo.
