Bajke

Ako se dvije tetive kružnice sijeku, onda je proizvod segmenata jedne tetive jednak proizvodu segmenata druge tetive. Šta je tetiva kružnice u geometriji, njena definicija i svojstva Sve teoreme o kružnicama

Akord na grčkom znači "žica". Ovaj koncept se široko koristi u različitim oblastima nauke - u matematici, biologiji i drugim.

U geometriji, definicija pojma će biti sljedeća: ovo je pravi segment koji povezuje dvije proizvoljne tačke na istoj kružnici. Ako takav segment siječe centar krivulje, naziva se prečnikom opisane kružnice.

U kontaktu sa

Kako konstruisati geometrijsku tetivu

Da biste konstruirali ovaj segment, prvo morate nacrtati krug. Označite dvije proizvoljne tačke kroz koje se povlači sekantna linija. Segment prave linije koji se nalazi između tačaka preseka sa kružnicom naziva se tetiva.

Ako takvu os podijelite na pola i iz ove točke povučete okomitu liniju, ona će proći kroz središte kruga. Možete izvršiti suprotnu radnju - iz središta kruga nacrtajte polumjer okomit na tetivu. U ovom slučaju, radijus će ga podijeliti na dvije identične polovine.

Ako uzmemo u obzir dijelove krive koji su ograničeni sa dva paralelna jednaka segmenta, tada će i ove krive biti jednake jedna drugoj.

Svojstva

Postoji niz obrazaca, povezujući tetive i centar kruga:

Odnos sa radijusom i prečnikom

Gore navedeni matematički koncepti su međusobno povezani sljedećim zakonima:

Tetiva i radijus

Između ovih pojmova postoje sljedeće veze:

Relacije sa upisanim uglovima

Uglovi upisani u krug pridržavaju se sljedećih pravila:

Interakcije luka

Ako dva segmenta savijaju dijelove krivulje jednake veličine, tada su te ose jednake jedna drugoj. Iz ovog pravila proizlaze sljedeći obrasci:

Tetiva koja se savija tačno do pola kruga je njen prečnik. Ako su dvije prave na istoj kružnici paralelne jedna s drugom, tada će i lukovi koji su zatvoreni između ovih segmenata također biti jednaki. Međutim, ne treba brkati zatvorene lukove sa onima koje su podvučene istim linijama.

Dio 3. Krugovi

I. Referentni materijali.

I. Svojstva tangenti, tetiva i sekanti. Upisani i centralni uglovi.

Krug i krug

1. Ako iz jedne tačke koja leži izvan kruga povučemo dvije tangente na nju, onda

a) dužine segmenata od date tačke do dodirnih tačaka su jednake;

b) uglovi između svake tangente i sekanse koji prolaze kroz centar kružnice su jednaki.

2. Ako iz jedne tačke koja leži izvan kruga povučemo tangentu i sekansu na nju, tada je kvadrat tangente jednak umnošku sekante i njenog vanjskog dijela

3. Ako se dvije tetive seku u jednoj tački, onda je proizvod segmenata jedne tetive jednak proizvodu segmenata druge.

4. Obim C=2πR;

5. Dužina luka L =πRn/180˚

6. Površina kruga S=πR 2

7. Sektorsko područje S c=πR 2 n/360

Mera stepena upisanog ugla jednaka je polovini stepena mere luka na koji se oslanja.

Teorema 1. Mjera ugla između tangente i tetive koja ima zajedničku tačku na kružnici jednaka je polovini stepena mjere luka zatvorenog između njegovih stranica

Teorema 2(o tangenti i sekansu). Ako su tangenta i sekansa povučene iz tačke M u kružnicu, tada je kvadrat tangentnog segmenta od tačke M do tačke tangente jednak umnošku dužina preseka od tačke M do tačaka njenog presek sa kružnicom.

Teorema 3. Ako se dvije tetive kružnice sijeku, onda je umnožak dužina segmenata jedne tetive jednak proizvodu dužina segmenata druge tetive, odnosno ako se tetive AB i CD sijeku u tački M, tada je AB MV = CM MD.

Svojstva kružnih akorda:

Promjer okomit na tetivu dijeli ga na pola. Obrnuto: prečnik koji prolazi kroz sredinu tetive je okomit na nju.

Jednake tetive kruga su na jednakim udaljenostima od središta kruga. Obrnuto: jednake tetive se nalaze na jednakoj udaljenosti od središta kruga.

Lukovi kruga zatvoreni između paralelnih tetiva su jednaki.

kružnice koje imaju zajedničku tačku i zajedničku tangentu u ovoj tački nazivaju se tangente.Ako se kružnice nalaze na jednoj strani zajedničke tangente, onda se nazivaju interno tangente, a ako su na suprotnim stranama tangente, onda se nazivaju vanjska tangenta.

II. Dodatni materijali

Svojstva nekih uglova.

Teorema.

1) Ugao (ABC), čiji vrh leži unutar kruga, je poluzbir dva luka (AC i DE), od kojih je jedan između njegovih stranica, a drugi između produžetaka stranica.

2) ugao (ABC), čiji vrh leži izvan kruga, a stranice se sijeku sa kružnicom, je polurazlika dva luka (AC i ED) zatvorena između njegovih stranica

Dokaz .

Crtajući tetivu AD (na oba crteža), dobijamo ∆AVD,

u odnosu na koji je ugao koji se razmatra ABC služi kao spoljašnji kada mu vrh leži unutar kruga, a unutrašnji kada mu vrh leži izvan kruga. Dakle, u prvom slučaju: ; u drugom slučaju:

Ali uglovi ADC i DAE, poput upisanih, mjere se polulukom

AC i DE; dakle, ugao ABC se meri: u prvom slučaju zbirom: ½ ﬞ AC+1/2 ﬞ DE, što je jednako 1 / 2 (ﮟ AC+ﮞ DE), a u drugom slučaju razlika je 1 / 2 ﬞ AC- 1 / 2 ﬞ DE, što je jednako 1 / 2 (ﬞ AC- ﬞ DE).

Teorema. Ugao (ACD) koji formiraju tangenta i tetiva mjeri se polovinom luka koji se nalazi u njoj.

Pretpostavimo prvo da tetiva CD prolazi kroz centar O, tj. da je tetiva prečnik. Zatim ugao ACD- ravno i stoga jednako 90°. Ali polovina luka CmD je takođe jednaka 90°, pošto ceo luk CmD, koji čini polukrug, sadrži 180°. To znači da je teorema tačna u ovom konkretnom slučaju.

Uzmimo sada opšti slučaj kada CD akorda ne prolazi kroz centar. Crtajući tada prečnik CE, imaćemo:

U cilj ACE, sastavljen od tangente i prečnika, meri se, kao što je dokazano, polovinom luka CDE; Ugao DCE, kao upisan, meri se sa polovinom luka CnED: jedina razlika u dokazu je da ovaj ugao ne treba posmatrati kao razliku, već kao zbir pravog ugla ALL i oštrog ugla ECD.

Proporcionalne linije u krugu

Teorema. Ako se kroz tačku (M) uzetu unutar kružnice povuče neka tetiva (AB) i prečnik (CD), onda je proizvod segmenata tetive (AM MB) jednak proizvodu segmenata prečnika (MB MC).

Dokaz.

P
Crtanjem dva pomoćna tetiva AC i BD dobijamo dva trokuta AMC i MBD (na slici prekrivena crticama), koji su slični, jer su im uglovi A i D jednaki, kao i upisani, na osnovu istog luka BC, uglova C i B su jednaki, kao što su upisani, na osnovu istog luka AD. Iz sličnosti trokuta zaključujemo:

AM: MD=MS: MV, odakle je AM MV=MD MS.

Posljedica. Ako se kroz tačku (M) uzetu unutar kruga povuče bilo koji broj tetiva (AB, EF, KL,...), tada je proizvod segmenata svake tetive konstantan broj za sve tetive, jer je za svaku vrpcu ovaj proizvod je jednak proizvodu segmenata prečnika CD koji prolaze kroz uzetu tačku M.

Teorema. Ako se iz tačke (M) uzete izvan kruga povuče neka sekansa (MA) i tangenta (MS), tada je proizvod sekante i njenog vanjskog dijela jednak kvadratu tangente (pretpostavlja se da je sekansa je ograničena drugom tačkom preseka, a tangenta - dodirnom tačkom).

Dokaz.

Nacrtajmo pomoćne akorde AC i BC; tada dobijamo dva trougla MAC i MVS (na slici prekrivena crticama), koji su slični jer imaju zajednički ugao M, a uglovi MCW i CAB su jednaki, pošto se svaki od njih meri polovinom luka BC. Uzmimo MA i MC strane u ∆MAS; slične stranke u ∆MVS će biti MC i MV; dakle MA: MS = MS: MV, odakle je MA MV = MS 2.

Posljedica. Ako se iz tačke (M) uzete izvan kruga u nju povuče bilo koji broj sekanti (MA, MD, ME,...), tada je proizvod svake sekante i njenog vanjskog dijela konstantan broj za sve sekante, budući da je za svaku sekantu ovaj proizvod jednak kvadratu tangente (MC 2) povučene iz tačke M.

III. Uvodni zadaci.

Zadatak 1.

IN od jednakokračnog trapeza sa oštrim uglom od 60°, bočna strana je jednaka , a manja baza je jednaka . Pronađite polumjer kružnice opisane ovim trapezom.

Rješenje

1) Poluprečnik kružnice opisane oko trapeza jednak je poluprečniku kružnice opisane oko trougla čiji su vrhovi bilo koja tri vrha trapeza. Pronađite polumjer R kružnice opisane oko trougla ABD.

2) A B C D je, dakle, jednakokraki trapez A.K. = M.D., K.M. =.

U ∆ ABK A.K. = AB cos A = · cos 60° = . znači,
AD = .

B.K. = AB grijeh A = · = .

3) Po kosinusnoj teoremi u ∆ ABD BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB · AD cos A.

BD 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;
BD = .

4) S(∆ ABD) = AD · B.K.; S(∆ ABD) = · · 3 = .

Zadatak 2.

U jednakostranični trokut ABC upisan je krug i iscrtan segment N.M.,

M A.C., N B.C., koja ga dodiruje i paralelna je sa stranicom AB.

Odredite obim trapeza AMNB, ako je dužina segmenta MN jednako 6.

Rješenje.

1) ∆ABC– jednakostranična, tačka O– tačka preseka medijana (simetrale, visine), što znači CO : O.D. = 2 : 1.

2) MN– tangenta na kružnicu, P– tačka kontakta, što znači O.D. =
= OP, Onda CD= 3 · C.P..

3) ∆CMN ∾ ∆ TAKSI, što znači ∆ CMN– jednakostraničan CM. = CN = MN = = 6; P.

3) BN = C.B. – CN = 18 – 6 = 12.

4) P ( AMNB) = A.M. + MN + BN + AB = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

Oko kružnice je opisan jednakokraki trapez čija je srednja linija jednaka 5, a sinus oštrog ugla u osnovi jednak je 0,8. Pronađite površinu trapeza.

Rješenje.Pošto je kružnica upisana u četvorougao, onda B.C. + AD = AB + CD. Ovaj četvorougao je jednakokraki trapez, što znači B.C. + AD = 2AB.

FP– srednja linija trapeza, što znači B.C. + AD = 2FP.

Onda AB = CD = FP = 5.

∆ABK– pravougaone, B.K. = AB grijeh A; B.K.= 5 · 0,8 = 4.

S ( A B C D) = FP · B.K.= 5 · 4 = 20.

Odgovori: 20.

Upisana kružnica trougla ABC dodiruje stranicu BC u tački K, a izvanokružnica dodiruje stranicu BC u tački L. Dokazati da je CK=BL=(a+b+c)/2

Dokaz: neka su M i N tangente upisane kružnice sa stranicama AB i BC. Tada je BK+AN=BM+AM=AB, tako da je CK+CN= a+b-c.

Neka su P i Q tačke dodira vankruga sa produžecima stranica AB i BC. Tada AP=AB+BP=AB+BL i AQ=AC+CQ=AC+CL. Stoga AP+AQ=a+b+c. Dakle, BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

a) Nastavak simetrale ugla B trougla ABC seče opisanu kružnicu u tački M. O je centar upisane kružnice. O B je središte tangente izvan kružnice na stranu AC. Dokažite da tačke A, C, O i O B leže na kružnici sa centrom M.

D
dokaz: Jer

b) Tačka O, koja leži unutar trougla ABC, ima svojstvo da prave AO, BO, CO prolaze kroz središta opisanih kružnica trouglova BCO, ACO, ABO. Dokazati da je O centar upisane kružnice trougla ABC

Dokaz: Neka je P centar opisanog trougla ACO. Onda

IV. Dodatni zadaci

br. 1. Krug tangenta na hipotenuzu pravokutnog trokuta i produžetke njegovih kateta ima poluprečnik R. Odredi obim trokuta

R rješenje: HOGB - kvadrat sa stranicom R

1) ∆OAH =∆OAF duž kraka i hipotenuza =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) P ABC =AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

br. 2. Tačke C i D leže na kružnici prečnika AB. AC ∩ BD = P, i AD ∩ BC = Q. Dokažite da su prave AB i PQ okomite

Dokaz: A D – prečnik => upisani ugao ADB=90 o (na osnovu prečnika)=> QD/QP=QN/QA; ∆QDP je sličan ∆QNA sa 2 strane i ugao između njih => QN je okomit na AB.

br. 3. U paralelogramu ABCD, dijagonala AC je veća od dijagonale BD; M je tačka na dijagonali AC, BDCM je ciklični četvorougao. Dokažite da je prava BD zajednička tangenta na opisane kružnice trokuta ABM i ADM

P
ušće O je tačka preseka dijagonala AC i VD. Onda MO · OC=BO · OD. Dok je OS = OA i VO = VD, onda MO · OA=VO 2 i MO · OA=DO 2. Ove jednakosti znače da je OB tangenta na opisanu kružnicu trougla ADM

br. 4. N U osnovi AB jednakokračnog trougla ABC uzeta je tačka E, a kružnice koje dodiruju segment CE u tačkama M i N upisane su u trouglove ACE i ABE. Odredite dužinu segmenta MN ako su poznate dužine AE i BE.

Prema uvodnom zadatku 4 CM=(AC+CE-AE)/2 i CN=(BC+CE-BE)/2. Uzimajući u obzir da je AC=BC, dobijamo MN=|CM-CN|=|AE-BE|/2

br. 5. Dužine stranica trougla ABC čine aritmetičku progresiju, a a

Neka je M središte stranice AC, N tačka dodira upisane kružnice sa stranicom BC. Tada je BN=r–b (uvodni problem 4), dakle BN=AM, jer p=3b/2 po uslovu. osim toga,

V .Zadaci za samostalno rješavanje

br. 1. Četvorougao ABCD ima svojstvo da postoji kružnica upisana u kut BAD i tangenta na produžetke stranica BC i CD. Dokazati da je AB+BC=AD+DC.

br. 2. Zajednička unutrašnja tangenta na kružnice poluprečnika R i r siječe njihove zajedničke vanjske tangente u tačkama A i B i dodiruje jednu od kružnica u tački C. Dokazati da je AC∙CB=Rr

br. 3. U trouglu ABC, ugao C je pravi ugao. Dokazati da je r =(a+b-c)/2 i r c =(a+b+c)/2

br. 4. Dva kruga se seku u tačkama A i B; MN je zajednička tangenta na njih. Dokazati da prava AB dijeli segment MN na pola.

br. 5. Nastavci simetrala uglova trougla ABC sijeku opisanu kružnicu u tačkama A 1, B 1, C 1. M – tačka presjeka simetrala. dokazati da:

a) MA·MC/MB 1 =2r;

b) MA 1 ·MC 1 /MB=R

br. 6. Ugao koji čine dvije tangente povučene iz jedne tačke na kružnici jednak je 23°15`. Izračunajte lukove između tangentnih tačaka

br. 7. Izračunajte ugao koji čine tangenta i tetiva ako tetiva dijeli krug na dva dijela u omjeru 3:7.

VI. Kontrolni zadaci.

Opcija 1.

Tačka M se nalazi izvan kruga sa centrom O. Iz tačke M su povučene tri sečice: prva siječe kružnicu u tačkama B i A (M-B-A), druga u tačkama D i C (M-D-C), a treća siječe kružnicu u tačkama F i E (M-F-E) i prolazi kroz centar kružnice, AB = 4, BM =5, FM = 3.

Dokažite da ako je AB = CD, onda su uglovi AME i CME jednaki.

Pronađite polumjer kružnice.

Odredite dužinu tangente povučene iz tačke M u kružnicu.

Pronađite ugao AEB.

Opcija 2.

AB je prečnik kružnice sa centrom O. Tetiva EF seče prečnik u tački K (A-K-O), EK = 4, KF = 6, OK = 5.

Pronađite polumjer kružnice.

Pronađite udaljenost od centra kružnice do tetive BF.

Pronađite oštar ugao između prečnika AB i tetive EF.

Čemu je jednaka tetiva FM ako je EM paralelna sa AB?

Opcija 3. U pravokutnom trokutu ABC (

Opcija 4.

AB je prečnik kružnice sa centrom O. Poluprečnik ove kružnice je 4, O 1 je sredina OA. Povučena je kružnica sa centrom u tački O 1, tangenta na veći krug u tački A. Tetiva CD većeg kruga je okomita na AB i siječe AB u tački K. E i F su točke presjeka CD-a sa manji krug (C-E-K-F-D), AK=3.

Pronađite akorde AE i AC.

Naći stepensku meru luka AF i njegovu dužinu.

Nađite površinu dijela manjeg kruga odsječenog tetivom EF.

Pronađite polumjer kružnice opisane trouglom ACE.

Prvo, shvatimo razliku između kruga i kruga. Da biste vidjeli ovu razliku, dovoljno je razmotriti koje su obje brojke. To su beskonačan broj tačaka na ravni, koje se nalaze na jednakoj udaljenosti od jedne centralne tačke. Ali, ako se krug sastoji i od unutrašnjeg prostora, onda on ne pripada krugu. Ispostavilo se da je krug i kružnica koja ga ograničava (krug(r)) i bezbroj tačaka koje se nalaze unutar kruga.

Za bilo koju tačku L koja leži na kružnici vrijedi jednakost OL=R. (Dužina segmenta OL jednaka je poluprečniku kružnice).

Segment koji spaja dvije tačke na kružnici je njegov akord.

Tetiva koja prolazi direktno kroz centar kružnice je prečnika ovaj krug (D). Prečnik se može izračunati pomoću formule: D=2R

Obim izračunato po formuli: C=2\pi R

Područje kruga: S=\pi R^(2)

Luk kružnice naziva se onaj njegov dio koji se nalazi između njegove dvije tačke. Ove dvije tačke definiraju dva luka kružnice. Akord CD savija dva luka: CMD i CLD. Identične tetive savijaju jednake lukove.

Centralni ugao Ugao koji leži između dva poluprečnika naziva se.

Dužina luka može se pronaći pomoću formule:

Koristeći mjeru stepena: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Korištenje radijanske mjere: CD = \alpha R

Prečnik, koji je okomit na tetivu, dijeli tetivu i lukove koje ona skuplja na pola.

Ako se tetive AB i CD kružnice sijeku u tački N, tada su proizvodi segmenata tetiva razdvojenih tačkom N jednaki jedan drugom.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangenta na kružnicu

Tangenta na kružnicu Uobičajeno je da se zove prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom.

Ako pravac ima dvije zajedničke tačke, zove se secant.

Ako povučete polumjer do tačke tangente, on će biti okomit na tangentu kružnice.

Nacrtajmo dvije tangente iz ove tačke u našu kružnicu. Ispada da će tangentni segmenti biti jednaki jedan drugom, a središte kruga će se nalaziti na simetrali ugla sa vrhom u ovoj tački.

AC = CB

Sada nacrtajmo tangentu i sekansu na kružnicu iz naše tačke. Dobijamo da će kvadrat dužine tangentnog segmenta biti jednak proizvodu cijelog sekansnog segmenta i njegovog vanjskog dijela.

AC^(2) = CD \cdot BC

Možemo zaključiti: proizvod cijelog segmenta prve sekante i njegovog vanjskog dijela jednak je proizvodu cijelog segmenta druge sekante i njegovog vanjskog dijela.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Uglovi u krugu

Mere stepena centralnog ugla i luka na koji se oslanja su jednake.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Upisani ugao je ugao čiji je vrh na kružnici i čije stranice sadrže tetive.

Možete ga izračunati znajući veličinu luka, jer je jednaka polovini ovog luka.

\ugao AOB = 2 \ugao ADB

Na osnovu prečnika, upisanog ugla, pravog ugla.

\ugao CBD = \ugao CED = \ugao CAD = 90^ (\circ)

Upisani uglovi koji savijaju isti luk su identični.

Upisani uglovi koji počivaju na jednoj tetivi su identični ili je njihov zbir jednak 180^ (\circ) .

\ugao ADB + \ugao AKB = 180^ (\circ)

\ugao ADB = \ugao AEB = \ugao AFB

Na istom krugu su vrhovi trouglova sa identičnim uglovima i datom bazom.

Ugao sa vrhom unutar kruga i koji se nalazi između dvije tetive identičan je polovini zbroja ugaonih vrijednosti lukova kruga koji se nalaze unutar zadanog i vertikalnog kuta.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Ugao s vrhom izvan kruga i smješten između dvije sekante identičan je polovini razlike ugaonih vrijednosti lukova kruga koji se nalaze unutar kuta.

\ugao M = \ugao CBD - \ugao ACB = \frac(1)(2) \lijevo (\cup DmC - \cup AlB \desno)

Upisan krug

Upisan krug je kružnica tangenta na stranice poligona.

U tački u kojoj se sijeku simetrale uglova mnogougla nalazi se njegov centar.

Krug ne može biti upisan u svaki poligon.

Površina poligona s upisanim krugom nalazi se po formuli:

S = pr,

p je poluperimetar poligona,

r je poluprečnik upisane kružnice.

Iz toga slijedi da je polumjer upisane kružnice jednak:

r = \frac(S)(p)

Zbroji dužina suprotnih strana bit će identični ako je krug upisan u konveksni četverokut. I obrnuto: krug se uklapa u konveksni četverokut ako su zbroji dužina suprotnih strana identični.

AB + DC = AD + BC

Moguće je upisati krug u bilo koji od trouglova. Samo jedan jedini. U tački u kojoj se sijeku simetrale unutrašnjih uglova figure, ležat će centar ove upisane kružnice.

Radijus upisane kružnice izračunava se po formuli:

r = \frac(S)(p) ,

gdje je p = \frac(a + b + c)(2)

Circumcircle

Ako kružnica prolazi kroz svaki vrh poligona, tada se takav krug obično naziva opisano o poligonu.

U tački presjeka okomitih simetrala stranica ove figure bit će centar opisane kružnice.

Radijus se može naći izračunavanjem kao poluprečnik kružnice koja je opisana oko trokuta definisanog sa bilo koja 3 vrha poligona.

Postoji sljedeći uvjet: krug se može opisati oko četverougla samo ako je zbir njegovih suprotnih uglova jednak 180^( \circ) .

\ugao A + \ugao C = \ugao B + \ugao D = 180^ (\circ)

Oko bilo kojeg trougla možete opisati krug, i to samo jedan. Središte takvog kruga nalazit će se u tački gdje se sijeku okomite simetrale stranica trokuta.

Radijus opisane kružnice može se izračunati pomoću formula:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c su dužine stranica trokuta,

S je površina trokuta.

Ptolomejev teorem

Konačno, razmotrite Ptolomejev teorem.

Ptolomejev teorem kaže da je proizvod dijagonala identičan zbiru proizvoda suprotnih strana cikličkog četverokuta.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Teorijski referentni materijali iz geometrije za rješavanje zadataka nastavnika matematike. Da pomogne učenicima u rješavanju problema.

1) Tema o upisanom uglu u krug.

Teorema: ugao upisan u krug jednak je polovini stepena mjere luka na koji počiva (ili polovini središnjeg ugla koji odgovara ovom luku), tj. .

2) Posledice iz teoreme o upisanom uglu u krug.

2.1) Svojstvo uglova podržanih jednim lukom.

Teorema: ako su upisani uglovi podržani jednim lukom, onda su jednaki (ako su podržani dodatnim lukovima, njihov zbir je jednak

2.2) Svojstvo ugla savijenog prečnikom.

Teorema: Upisani ugao u krugu je podvučen prečnikom ako i samo ako je pravi.

AC prečnik

3) Svojstvo tangentnih segmenata. Krug upisan u ugao.

Teorema 1: ako su na njega povučene dvije tangente iz jedne tačke koja ne leži na kružnici, tada su im segmenti jednaki, tj. PB=PC.

Teorema 2: Ako je krug upisan u ugao, onda njegovo središte leži na simetrali tog ugla, tj. PO simetrala.

4) Svojstvo segmenata tetiva na unutrašnjem preseku sekanti.
Teorema 1: proizvod segmenata jedne tetive jednak je umnošku segmenata druge tetive, tj

Teorema 2: ugao između tetiva jednak je polovini zbroja lukova koje te tetive formiraju na kružnici, tj.

Pregled:

Lekcija na temu:

“Teorema o proizvodu segmenata tetiva koje se sijeku»

Predmet: geometrija

Klasa: 8

nastavnik b: Herat Ljudmila Vasiljevna

Škola : MOBU "Srednja škola Druzhbinskaya" okrug Sol-Iletsk, oblast Orenburg

Vrsta lekcije: Lekcija o “otkrivanju” novog znanja.

Oblici rada: individualni, frontalni, grupni.

Nastavne metode:verbalno, vizuelno, praktično, problematično.

Oprema: kompjuterska klasa, multimedijalni projektor,

Materijali (kartice), prezentacija.

Ciljevi lekcije:

obrazovni- proučiti teoremu o umnošku tetiva koje se seku, te pokazati njegovu primjenu u rješavanju zadataka.

Unaprijediti vještine rješavanja problema korištenjem teoreme upisanog ugla i njenih posljedica.

razvija – razvijaju kreativnu i mentalnu aktivnost učenika u nastavi; razvijati intelektualne kvalitete ličnosti učenika, kao što su samostalnost, fleksibilnost, sposobnost procjenjivanja i generalizacije; promoviraju formiranje timskog rada i vještina samostalnog rada; razviti sposobnost da jasno i jasno izražavate svoje misli.
obrazovni – usaditi kod učenika interesovanje za predmet kroz korišćenje informacionih tehnologija (pomoću računara); razviti sposobnost preciznog i kompetentnog izvođenja matematičkih zapisa i crtanja slike za problem.

Obrazovne aktivnosti usmjerene su na povećanje efektivnosti i produktivnosti nastavnog rada premještanjem učenika sa radnog mjesta objekt aktivnosti nastavnika na poziciji predmet nastave , promovira razvoj potencijala svakog djeteta, otkrivanje mogućnosti koje su mu svojstvene.

Obrazovanje (razvijanje) subjektivnosti moguće je samo u aktivnostimau koji je subjekt uključen, u koji on sam: a) postavlja ciljeve; b) koncentrira voljni napor na postizanje cilja; c) razmišlja o napretku i rezultatima svog rada. Refleksija je moćan alat za lični samorazvoj(osobna samogradnja).

Problem razvijanja subjektivnosti učenikaOvaj problem se ni u kom obimu ne može riješiti jednokratnim mjerama. Ovaj kvalitet se razvijadosljedno zbog uključivanja učenika u obrazovno-spoznajni aktivnost (idealno - na svakoj lekciji), koju izvodi sebe, primjenjujući svoje vlastitim trudom, izvođenjem njihov sami, uz minimalnu pomoć spolja, sve radnje u svom logičnom slijedu. Lekcija pruža učeniku refleksiju na sve 4 faze rada plus rezultate, u potpunosti ispunjavajući zahtjevepristup aktivnosti u obrazovanju.

Predloženim dizajnom lekcije i upotrebom računarske tehnologije postižu se sljedeći razvojni ciljevi:

Intelektualna kultura;
Informacijska kultura;
Kulture samoorganizacije;
Kultura istraživanja;

Aktivnosti učenika treba da budu organizovane na način da se studentima pruže unutrašnji ciljevi i motivi; potreba za traženjem je najvažniji zadatak obuke i edukacije, za to je potrebno kreirati situacije uspjeha, situacije traženja koje izazivaju pozitivne emocije.

Plan lekcije

1. Dokaz teoreme upisanog ugla (3 slučaja); rad sa karticama

Rješavanje problema pomoću gotovih crteža.

2. Radite u parovima.

3. Proučavanje teoreme o proizvodu segmenata tetiva koje se sijeku.

4. Rješavanje zadataka za konsolidaciju teoreme.

Tokom nastave.

Ažuriranje znanja učenika o temi koja se proučava.

Tri učenika se pozivaju na tablu da dokazuju teoreme, dva učenika dobijaju kartice sa zadacima, preostali učenici rešavaju zadatke na gotovim crtežima. Dokaz teorema sluša cijeli razred nakon što učenici riješe zadatke na gotovim crtežima.

Kartica br. 1..

1. Unesite riječi koje nedostaju „Ugao se naziva upisanim uglom ako njegov vrh leži na ……………….., a stranice ugla ………………………………..”.”

2. Pronađite i napišite upisane uglove prikazane na slici:

3. Nađite stepen stepena ugla ABC prikazanog na slici, ako je stepenasta mera luka ABC = 270.

Kartica br. 2.

1. Upiši riječi koje nedostaju: „Upisani ugao se mjeri sa ………….”.

Dato: OA=AB. Naći stepensku mjeru luka AB.

Rješavanje problema pomoću gotovih crteža.

Fig.1. Pronađite sl.2. Fig.3. Fig.4. Sl.5.

AOD, ACD Nađi ABC Nađi BCD Nađi BAC Nađi BCD

II. Raditi u parovima.

Dokaz teoreme o segmentima tetiva koje se sijeku izvodi se u obliku zadatka:

Dokažite da ako se dvije tetive AB i CD kružnice sijeku u tački E, onda

AE * BE =CE * DE

Od njih se traži da samostalno riješe problem u parovima, a zatim razgovaraju o njegovom rješenju. Zapišite nacrt dokaza teoreme u svoje bilježnice i na ploču.

Outline

a) ACE DVA (A = D kao upisani uglovi zasnovani na luku BC;

AES = DEB kao vertikalni).

Pitanja za diskusiju:

Šta možete reći o uglovima CAB i CDB? O uglovima AEC i DEB?

Šta su trouglovi ACE i DBE? Koliki je omjer njihovih stranica, koje su segmenti tangentnih tetiva?

Koja se jednakost može napisati iz jednakosti dva omjera koristeći osnovno svojstvo proporcija?

IV. Učvršćivanje naučenog materijala.

Riješite zadatak: Tetive kružnice PT i KM seku se u tački E. Pronađite ME ako

KE = 4cm, TE =6cm, PE =2cm.

Rješenje: AE * BE =CE * DE

AE * 4 = 2 * 6