Igre

Omjer je na prvom mjestu 1 3. Omjeri. Kako izračunati proporciju

Formula proporcija

Proporcija je jednakost dva omjera kada je a:b=c:d

odnos 1 : 10 je jednako omjeru 7 : 70, koji se takođe može napisati kao razlomak: 1 10 = 7 70 glasi: "jedan je do deset kao što je sedam do sedamdeset"

Osnovna svojstva proporcije

Proizvod ekstremnih članova jednak je proizvodu srednjih članova (unakrsno): ako je a:b=c:d , tada je a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Inverzija proporcije: ako je a:b=c:d onda b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Preuređenje srednjih pojmova: ako je a:b=c:d onda a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Preuređivanje ekstremnih pojmova: ako je a:b=c:d onda d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Rješavanje proporcije sa jednom nepoznatom | Jednačina

1 : 10 = x : 70 ili 1 10 = x 70

Da biste pronašli x, trebate pomnožiti dva poznata broja unakrsno i podijeliti sa suprotnom vrijednošću

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Kako izračunati proporciju

zadatak: potrebno je popiti 1 tabletu aktivnog ugljena na 10 kilograma težine. Koliko tableta treba uzeti ako osoba ima 70 kg?

Napravimo proporciju: 1 tableta - 10 kg x tablete - 70 kg Da biste pronašli X, trebate pomnožiti dva poznata broja unakrsno i podijeliti sa suprotnom vrijednošću: 1 tableta x tablete✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 odgovor: 7 tableta

zadatak: za pet sati Vasja napiše dva članka. Koliko će članaka napisati za 20 sati?

Napravimo proporciju: 2 članka - 5 sati xčlanci - 20 sati x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 odgovor: 8 članaka

Mogu reći budućim maturantima da mi je sposobnost iscrtavanja proporcija bila korisna kako za proporcionalno smanjivanje slika, tako i u HTML izgledu internet stranice, i u svakodnevnim situacijama.

Omjer (u matematici) je odnos između dva ili više brojeva iste vrste. Omjeri upoređuju apsolutne količine ili dijelove cjeline. Omjeri se izračunavaju i pišu na različite načine, ali osnovni principi su isti za sve omjere.

Steps

Dio 1

Definicija omjera

Koristeći omjere. Omjeri se koriste kako u nauci tako i u Svakodnevni život da uporedi vrednosti. Najjednostavniji odnosi povezuju samo dva broja, ali postoje relacije koje uspoređuju tri ili više vrijednosti. U bilo kojoj situaciji u kojoj je prisutno više od jedne količine, odnos se može zapisati. Povezivanjem određenih vrijednosti, omjeri mogu, na primjer, sugerirati kako povećati količinu sastojaka u receptu ili tvari u kemijskoj reakciji.

Definicija omjera. Omjer je odnos između dvije (ili više) vrijednosti iste vrste. Na primjer, ako su vam za pravljenje kolača potrebne 2 šolje brašna i 1 šolja šećera, onda je odnos brašna i šećera 2 prema 1.
- Omjeri se također mogu koristiti u slučajevima kada dvije količine nisu povezane jedna s drugom (kao u primjeru kolača). Na primjer, ako u razredu ima 5 djevojčica i 10 dječaka, tada je omjer djevojčica i dječaka 5 prema 10. Ove vrijednosti (broj dječaka i broj djevojčica) su nezavisne jedna od druge, odnosno njihove vrijednosti promjenit će se ako neko napusti razred ili u razred dođe novi učenik. Omjeri jednostavno upoređuju vrijednosti količina.
obratite pažnju na Različiti putevi prikaz omjera. Odnosi se mogu predstaviti riječima ili pomoću matematičkih simbola.
- Vrlo često se odnosi izražavaju riječima (kao što je prikazano gore). Ovaj oblik predstavljanja odnosa posebno se koristi u svakodnevnom životu, daleko od nauke.
- Odnosi se takođe mogu izraziti pomoću dvotočka. Kada upoređujete dva broja u omjeru, koristit ćete jednu dvotočku (na primjer, 7:13); Kada upoređujete tri ili više vrijednosti, stavite dvotočku između svakog para brojeva (na primjer, 10:2:23). U našem primjeru razreda, možete izraziti omjer djevojčica i dječaka kao 5 djevojčica: 10 dječaka. Ili ovako: 5:10.
- Ređe se odnosi izražavaju kosom crtom. U primjeru klase, moglo bi se napisati ovako: 5/10. Ipak, ovo nije razlomak i takav omjer se ne čita kao razlomak; Štaviše, zapamtite da u omjeru brojevi ne predstavljaju dio cjeline.
Dio 2
Koristeći omjere
1. Pojednostavite omjer. Omjer se može pojednostaviti (slično razlomcima) dijeljenjem svakog člana (broja) omjera sa . Međutim, ne gubite iz vida originalne vrijednosti omjera.
  - U našem primjeru u razredu ima 5 djevojčica i 10 dječaka; odnos je 5:10. Najveći zajednički djeliteljčlanovi omjera su jednaki 5 (pošto su i 5 i 10 djeljivi sa 5). Podijelite svaki omjer sa 5 da dobijete omjer od 1 djevojčice prema 2 dječaka (ili 1:2). Međutim, kada pojednostavljujete omjer, imajte na umu originalne vrijednosti. U našem primjeru u razredu nisu 3 učenika, već 15. Pojednostavljeni omjer poredi broj dječaka i broj djevojčica. Odnosno, na svaku djevojčicu dolaze 2 dječaka, ali u razredu ne postoje 2 dječaka i 1 djevojčica.
  - Neki odnosi se ne mogu pojednostaviti. Na primjer, omjer 3:56 nije pojednostavljen jer ovi brojevi nemaju zajedničke faktore (3 je prost broj, a 56 nije djeljivo sa 3).
2. Koristite množenje ili dijeljenje da povećate ili smanjite omjer. Uobičajeni problemi uključuju povećanje ili smanjenje dvije vrijednosti koje su proporcionalne jedna drugoj. Ako vam je dat omjer i trebate pronaći odgovarajući veći ili manji omjer, pomnožite ili podijelite originalni omjer nekim datim brojem.
  - Na primjer, pekar treba utrostručiti količinu sastojaka datu u receptu. Ako recept zahtijeva omjer brašna i šećera 2 prema 1 (2:1), pekar će svaki član u omjeru pomnožiti sa 3 kako bi dobio omjer 6:3 (6 šoljica brašna na 3 šolje šećera).
  - S druge strane, ako pekar treba da prepolovi količinu sastojaka datu u receptu, tada će pekar podijeliti svaki član omjera sa 2 i dobiti omjer 1:½ (1 šolja brašna na 1/2 šolje šećera ).
3. Pronalaženje nepoznate vrijednosti kada su data dva ekvivalentna omjera. Ovo je problem u kojem morate pronaći nepoznatu varijablu u jednoj relaciji koristeći drugu relaciju koja je ekvivalentna prvoj. Za rješavanje takvih problema koristite . Zapišite svaki omjer kao običan razlomak, stavite znak jednakosti između njih i pomnožite njihove članove unakrsno.
  - Na primjer, data je grupa učenika u kojoj su 2 dječaka i 5 djevojčica. Koliki će biti broj dječaka ako se broj djevojčica poveća na 20 (proporcija ostaje ista)? Prvo zapišite dva omjera - 2 dječaka:5 djevojčica i X dječaci: 20 djevojčica. Sada zapišite ove omjere kao razlomke: 2/5 i x/20. Pomnožite članove razlomaka unakrsno i dobijete 5x = 40; dakle x = 40/5 = 8.
dio 3
Uobičajene greške
1. Izbjegavajte sabiranje i oduzimanje u problemima s omjerom riječi. Mnogi problemi sa rečima izgledaju otprilike ovako: „Recept zahteva 4 gomolja krompira i 5 korena šargarepe. Ako želite dodati 8 krompira, koliko šargarepe će vam trebati da omjer ostane isti? Prilikom rješavanja ovakvih zadataka učenici često griješe dodajući isti broj sastojaka originalnom broju. Međutim, da biste održali omjer, morate koristiti množenje. Evo primjera ispravnih i netačnih rješenja:
  - Netačno: „8 - 4 = 4 - pa smo dodali 4 gomolja krompira. To znači da trebate uzeti 5 korijena šargarepe i dodati im još 4... Stanite! Omjeri se ne računaju na taj način. Vrijedi pokušati ponovo."
  - Ispravno: „8 ÷ 4 = 2 - što znači da smo pomnožili količinu krompira sa 2. Shodno tome, 5 korena šargarepe takođe treba pomnožiti sa 2. 5 x 2 = 10 - potrebno je dodati 10 korena šargarepe u recept. ”

Za rješavanje većine zadataka iz matematike srednja škola Potrebno je poznavanje sastavljanja proporcija. Ova jednostavna vještina pomoći će vam ne samo da izvodite složene vježbe iz udžbenika, već i da uđete u samu suštinu matematičke nauke. Kako napraviti proporciju? Hajde da to sada shvatimo.

Najviše jednostavan primjer je problem gdje su poznata tri parametra, a četvrti treba pronaći. Proporcije su, naravno, različite, ali često morate pronaći neki broj koristeći postotke. Na primjer, dječak je imao ukupno deset jabuka. Četvrti dio dao je svojoj majci. Koliko je jabuka ostalo dječaku? Ovo je najjednostavniji primjer koji će vam omogućiti da napravite proporciju. Glavna stvar je da ovo uradite. U početku je bilo deset jabuka. Neka bude 100%. Obilježili smo sve njegove jabuke. Dao je jednu četvrtinu. 1/4=25/100. To znači da je otišao: 100% (prvobitno je bilo) - 25% (dao je) = 75%. Ova brojka pokazuje postotak količine preostalog voća u odnosu na prvobitno raspoloživu količinu. Sada imamo tri broja pomoću kojih već možemo riješiti proporciju. 10 jabuka - 100%, X jabuke - 75%, gdje je x potrebna količina voća. Kako napraviti proporciju? Morate razumjeti šta je to. Matematički to izgleda ovako. Znak jednakosti je postavljen za vaše razumijevanje.

10 jabuka = 100%;

x jabuke = 75%.

Ispada da je 10/x = 100%/75. Ovo je glavno svojstvo proporcija. Uostalom, što je veći x, veći je postotak ovog broja od originala. Rješavamo ovu proporciju i nalazimo da je x = 7,5 jabuka. Ne znamo zašto je dječak odlučio pokloniti cijeli broj. Sada znate kako napraviti proporciju. Glavna stvar je pronaći dva odnosa, od kojih jedan sadrži nepoznato nepoznato.

Rješavanje proporcije se često svodi na jednostavno množenje, a zatim dijeljenje. Škole ne objašnjavaju djeci zašto je to tako. Iako je važno shvatiti da su proporcionalni odnosi matematički klasici, sama suština nauke. Da biste riješili proporcije, morate znati rukovati razlomcima. Na primjer, često trebate pretvoriti procente u razlomke. Odnosno, snimanje 95% neće raditi. A ako odmah napišete 95/100, tada možete napraviti značajna smanjenja bez pokretanja glavnog izračuna. Vrijedi odmah reći da ako se pokaže da je vaša proporcija s dvije nepoznanice, onda se to ne može riješiti. Ovdje vam nijedan profesor neće pomoći. A vaš zadatak najvjerovatnije ima složeniji algoritam za ispravne radnje.

Pogledajmo još jedan primjer gdje nema postotaka. Vozač je kupio 5 litara benzina za 150 rubalja. Razmišljao je koliko će platiti za 30 litara goriva. Da bismo riješili ovaj problem, označimo sa x potreban iznos novca. Ovaj problem možete riješiti sami, a zatim provjerite odgovor. Ako još niste shvatili kako napraviti proporciju, pogledajte. 5 litara benzina je 150 rubalja. Kao u prvom primjeru, zapisujemo 5l - 150r. Sada pronađimo treći broj. Naravno, ovo je 30 litara. Slažete se da je par od 30 l - x rubalja prikladan u ovoj situaciji. Pređimo na matematički jezik.

5 litara - 150 rubalja;

30 litara - x rubalja;

Rešimo ovu proporciju:

x = 900 rubalja.

Tako smo odlučili. U svom zadatku ne zaboravite provjeriti adekvatnost odgovora. Dešava se da pogrešnom odlukom automobili postižu nerealne brzine od 5000 kilometara na sat i tako dalje. Sada znate kako napraviti proporciju. Možete ga i riješiti. Kao što vidite, u tome nema ništa komplikovano.

osnovu matematičko istraživanje je sposobnost da se stekne znanje o određenim veličinama upoređujući ih s drugim veličinama koje ili jednaka, ili više ili manje nego one koje su predmet istraživanja. To se obično radi pomoću serije jednačine I proporcije. Kada koristimo jednadžbe, odredimo količinu koju tražimo tako što ćemo je pronaći jednakost sa nekom drugom već poznatom količinom ili količinama.

Međutim, često se dešava da uporedimo nepoznatu količinu sa drugim nije jednako nju, ali manje-više od nje. To zahtijeva drugačiji pristup obradi podataka. Možda ćemo morati znati, npr. koliko dugo jedna količina je veća od druge, ili koliko puta jedno sadrži drugo. Da bismo pronašli odgovor na ova pitanja, saznaćemo šta je to odnos dvije veličine. Jedan omjer se zove aritmetika, i drugi geometrijski. Iako je vrijedno napomenuti da oba ova pojma nisu usvojena slučajno ili samo u svrhu razlikovanja. I aritmetički i geometrijski odnosi važe i za aritmetiku i za geometriju.

Kao komponenta široke i važne teme, proporcija zavisi od omjera, pa je neophodno jasno i potpuno razumijevanje ovih pojmova.

338. Aritmetička relacija Ovo razlikaizmeđu dvije količine ili niza količina. Same količine se nazivaju članovi odnosi, odnosno pojmovi između kojih postoji odnos. Dakle, 2 je aritmetički omjer 5 i 3. To se izražava stavljanjem znaka minus između dvije vrijednosti, odnosno 5 - 3. Naravno, termin aritmetički omjer i njegov opis tačku po tačku je praktično beskoristan, jer samo riječ je zamijenjena razlika znakom minus u izrazu.

339. Ako oba člana aritmetičke relacije umnožiti ili podijeliti onda za isti iznos omjer, na kraju će se pomnožiti ili podijeliti s ovim iznosom.
Dakle, ako imamo a - b = r
Zatim pomnožite obje strane sa h, (Ax. 3.) ha - hb = hr
I dijeljenjem sa h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Ako se članovi aritmetičke relacije dodaju ili oduzmu od odgovarajućih članova drugog, tada će omjer zbira ili razlike biti jednak zbiru ili razlici dva odnosa.
Ako je a - b
i d - h,
su dva odnosa,
Tada (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Što je u svakom slučaju = a + d - b - h.
I (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Što je u svakom slučaju = a - d - b + h.
Tako je aritmetički omjer 11 - 4 jednak 7
A aritmetička relacija 5 - 2 je 3
Omjer zbira članova 16 - 6 je 10, - zbir omjera.
Omjer razlike članova 6 - 2 je 4, - razlika omjera.

341. Geometrijski odnos - je odnos između količina, koji se izražava PRIVATNO, ako se jedna količina podijeli s drugom.
Dakle, omjer 8 prema 4 može se napisati kao 8/4 ili 2. To jest, količnik od 8 podijeljen sa 4. Drugim riječima, pokazuje koliko je puta 4 sadržano u 8.

Na isti način, omjer bilo koje količine prema drugoj može se odrediti dijeljenjem prve sa drugom ili, što je, u principu, ista stvar, tako da prva bude brojnik razlomka, a druga nazivnik.
Dakle, omjer a prema b je $\frac(a)(b)$
Omjer d + h prema b + c je $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Geometrijski odnos se takođe piše postavljanjem dve tačke jedna iznad druge između veličina koje se porede.
Dakle, a:b je omjer a prema b, a 12:4 je odnos 12 prema 4. Dvije veličine zajedno tvore par, u kojem se zove prvi pojam antecedent, a posljednji - posljedično.

343. Ova oznaka u obliku tačaka i druga u obliku razlomaka zamjenjivi su po potrebi, antecedent postaje brojilac razlomka, a konsekventni nazivnik.
Dakle, 10:5 je isto što i $\frac(10)(5)$ i b:d je isto što i $\frac(b)(d)$.

344. Ako je dato bilo koje od ova tri značenja: antecedent, konsekvent i odnos dva, onda se može naći treći.

Neka je a= antecedent, c= konsekvent, r= odnos.
Po definiciji, $r=\frac(a)(c)$, to jest, omjer je jednak antecedentu podijeljenom s posljedicom.
Množenjem sa c, a = cr, to jest, antecedent je jednak konsekventnom omjeru.
Podijelite sa r, $c=\frac(a)(r)$, to jest, konsekvent je jednak antecedentu podijeljenom omjerom.

Resp. 1. Ako dva para imaju jednake prethodnike i posljedice, onda su i njihovi omjeri jednaki.

Resp. 2. Ako dva para imaju jednake omjere i antecedente, onda su posljedice jednake, a ako su omjeri i posljedice jednaki, onda su antecedenti jednaki.

345. Ako se upoređuju dvije veličine jednaka, tada je njihov omjer jednak jednom ili omjeru jednakosti. Omjer 3*6:18 jednak je jedan, jer je količnik bilo koje količine podijeljene sa sobom jednak 1.

Ako je prethodnik para više, od konsekventnog, tada je omjer veći od jedan. Pošto je dividenda veća od djelitelja, količnik je veći od jedan. Dakle, omjer 18:6 je 3. To se zove omjer veća nejednakost.

S druge strane, ako je prethodnik manje od posljedice, tada je omjer manji od jedan i to se zove omjer manje nejednakosti. Dakle, omjer 2:3 je manji od jedan jer je dividenda manja od djelitelja.

346. Obrnuto omjer je omjer dvije recipročne vrijednosti.
Dakle, inverzni omjer je 6 prema 3 je do, to jest:.
Direktna relacija a i b je $\frac(a)(b)$, odnosno antecedent podijeljen konsekventom.
Inverzna relacija je $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ ili $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a)$.
to jest, kosekvenca b podijeljena antecedentom a.

Stoga je izražena inverzna veza invertovanjem razlomka, koji prikazuje direktnu vezu, ili, kada se snimanje vrši pomoću tačaka, obrnuti redosled pisanja članova.
Dakle, a je prema b na suprotan način kao što je b prema a.

347. Kompleksni odnos ovo je omjer radi odgovarajućih pojmova sa dva ili više jednostavnih odnosa.
Dakle, odnos je 6:3, jednako 2
I omjer 12:4 jednako 3
Odnos koji se sastoji od njih je 72:12 = 6.

Ovdje se kompleksna relacija dobija množenjem dva antecedenta i dva konsekventa jednostavnih relacija.
Dakle, omjer je sastavljen
Iz omjera a:b
I c:d omjeri
i h:y omjeri
Ovo je relacija $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Kompleksni odnos se po tome ne razlikuje priroda iz bilo kojeg drugog omjera. Ovaj izraz se koristi da pokaže porijeklo veze u određenim slučajevima.

Resp. Kompleksni omjer jednak je proizvodu jednostavnih omjera.
Omjer a:b je jednak $\frac(a)(b)$
Omjer c:d je jednak $\frac(c)(d)$
Omjer h:y je jednak $\frac(h)(y)$
A omjer koji se dodaje iz ova tri bit će ach/bdy, što je proizvod razlomaka koji izražavaju jednostavne omjere.

348. Ako je u nizu odnosa u svakom prethodnom paru konsekvent prethodnik u sljedećem, tada omjer prvog antecedenta i posljednje posljedice jednak je onom dobivenom iz međuodnosa.
Dakle u brojnim omjerima
a:b
b:c
c:d
d:h
omjer a:h je jednak omjeru koji se zbraja iz omjera a:b, i b:c, i c:d, i d:h. Dakle, kompleksni omjer u posljednjem članku je $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$, ili a:h.

Na isti način, sve količine koje su i antecedentne i posljedične će nestati, kada će proizvod razlomaka biti pojednostavljen na svoje niže članove, a ostatak kompleksnog odnosa će biti izražen prvim antecedentom i posljednjom konsekventom.

349. Posebna klasa složenih relacija dobija se množenjem jednostavne relacije sa sebe ili drugom jednaka odnos. Ovi odnosi se nazivaju duplo, trostruko, četvorostruko, i tako dalje, u skladu sa brojem operacija množenja.

Odnos sastavljen od dva jednake proporcije, tj. kvadrat duplo odnos.

Sastavljeno od tri, to je, kocka naziva se jednostavna relacija trostruko, i tako dalje.

Sličan odnos kvadratni korijeni dvije veličine nazivamo omjerom kvadratni korijen, i omjer kubnih korijena- odnos kockasti koren, i tako dalje.
Dakle, jednostavan odnos a prema b je a:b
Dvostruki omjer a prema b je a 2:b 2
Trostruki odnos a prema b je a 3:b 3
Omjer kvadratnog korijena a prema b je √a :√b
Omjer kubnog korijena a prema b je 3 √a : 3 √b, i tako dalje.
Uslovi duplo, trostruko, i tako dalje ne treba miješati sa udvostručeno, utrostručio, i tako dalje.
Omjer 6 prema 2 je 6:2 = 3
Udvostručimo ovaj omjer, odnosno omjer dvaput, onda ćemo dobiti 12:2 = 6
Utrostručite ovaj odnos, odnosno ovaj odnos tri puta, dobijamo 18:2 = 9
A duplo odnos, tj kvadrat omjer je jednak 6 2:2 2 = 9
I trostruko omjer, odnosno kocka omjera je 6 3:2 3 = 27

350. Da bi veličine bile u međusobnoj korelaciji, moraju biti iste vrste, tako da se sa sigurnošću može reći da li su jedna drugoj jednake, ili je jedna od njih veća ili manja. Stopa je prema inču kao što je 12 prema 1: 12 puta je veća od inča. Ali ne može se reći, na primjer, da je sat duži ili kraći od štapa, ili da je ar više ili manje od stepena. Međutim, ako su te količine izražene u brojevi, onda može postojati odnos između ovih brojeva. Odnosno, može postojati odnos između broja minuta u satu i broja koraka u milji.

351. Okrećući se priroda omjera, u sljedećem koraku trebamo uzeti u obzir način na koji će promjena u jednom ili dva termina koji se međusobno upoređuju uticati na sam omjer. Podsjetimo da se direktni odnos izražava kao razlomak gdje antecedet parovi su uvek ovakvi brojilac, A konsekventno - nazivnik. Tada će iz svojstva razlomaka biti lako dobiti da se promjene u omjeru dešavaju variranjem upoređenih veličina. Omjer dvije veličine je isti kao značenje razlomci, od kojih svaki predstavlja privatni: brojilac podijeljen sa nazivnikom. (Čl. 341.) Sada se pokazalo da je množenje brojila razlomka bilo kojom vrijednošću isto što i množenje značenje sa istim iznosom i dijeljenje brojila je isto kao i dijeljenje vrijednosti razlomka. Zbog toga,

352. Množenje prethodnika para bilo kojom vrijednošću znači množenje omjera sa ovom vrijednošću, a dijeljenje antecedenta znači dijeljenje ovog omjera.
Tako je odnos 6:2 jednak 3
A odnos 24:2 je 12.
Ovdje su antecedent i omjer u posljednjem paru 4 puta veći nego u prvom.
Omjer a:b je jednak $\frac(a)(b)$
A omjer na:b je jednak $\frac(na)(b)$.

Resp. S obzirom na poznatu posljedicu, tim više antecedent, više odnos, i obrnuto, što je veći omjer, veći je prethodnik.

353. Množenjem konsekventa para bilo kojom vrijednošću, rezultat je dijeljenje omjera sa ovom vrijednošću, a dijeljenjem konsekventa, množimo omjer. Množenjem nazivnika razlomka dijelimo vrijednost, a dijeljenjem nazivnika vrijednost se množi.
Dakle, odnos 12:2 je 6
A odnos 12:4 je 3.
Evo posljedice drugog para u dvaput više i odnos dvaput manje od prvog.
Omjer a:b je jednak $\frac(a)(b)$
A omjer a:nb je jednak $\frac(a)(nb)$.

Resp. Dat antecedent, što je posljedica veća, to je omjer manji. Obrnuto, što je veći omjer, to je posljedica manja.

354. Iz posljednja dva člana proizilazi da množenje antecedenta parovi za bilo koji iznos će imati isti učinak na omjer kao konsekventna podela za ovaj iznos, i podjela antecedenta, imaće isti efekat kao množenje konsekventnog.
Stoga je odnos 8:4 jednak 2
Množenjem prethodnika sa 2, odnos 16:4 je 4
Ako se prethodnik podijeli sa 2, omjer 8:2 je 4.

Resp. Bilo koji faktor ili razdjelnik može se prenijeti iz antecedenta para u konsekvent ili iz konsekventa u antecedent bez promjene odnosa.

Vrijedi napomenuti da kada se faktor prenosi iz jednog člana u drugi na ovaj način, on postaje djelitelj, a preneseni djelitelj postaje množitelj.
Dakle, odnos je 3,6:9 = 2
Prenoseći faktor 3, $6:\frac(9)(3)=2$
isti odnos.

Odnos $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Pomicanje y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Kretanje m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. Kao što je vidljivo iz čl. 352 i 353, ako se prethodni i konsekventni pomnože ili podijele s istim iznosom, tada se omjer ne mijenja.

Resp. 1. Odnos dva razlomci, koji imaju zajednički imenitelj, isti kao i njihov omjer brojači.
Dakle, omjer a/n:b/n je isti kao a:b.

Resp. 2. Direktno omjer dva razlomka koji imaju zajednički brojnik jednak je obrnutu njihovog omjera imenioci.

356. Iz članka je lako odrediti omjer bilo koja dva razlomka. Ako se svaki član pomnoži sa dva nazivnika, onda će omjer biti dat integralnim izrazima. Dakle, množenjem termina para a/b:c/d sa bd, dobijamo $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, koji postaje ad:bc, smanjenjem ukupne vrijednosti iz brojnika i nazivnika.

356. b. Ratio veća nejednakost povećava njegov
Neka je omjer veće nejednakosti 1+n:1
I bilo koji omjer kao a:b
Kompleksni odnos će biti (član 347,) a + na:b
Što je veće od odnosa a:b (čl. 351 odn.)
Ali omjer manje nejednakosti, presavijeni u različitim omjerima, smanjuje njegov.
Neka omjer manje razlike bude 1-n:1
Bilo koji dati omjer a:b
Kompleksni odnos a - na:b
Što je manje od a:b.

357. Ako do ili od članova bilo kojeg paradodati ili oduzmite dvije druge količine koje su u istom omjeru, tada će zbrojevi ili ostaci imati isti omjer.
Neka je omjer a:b
Biće isto kao c:d
Zatim omjer iznosi antecedenti zbiru posledica, naime, a + c do b + d, takođe su isti.
To jest, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Dokaz.

1. Prema pretpostavci, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Pomnožite sa b i d, ad = bc
3. Dodajte cd na obje strane, ad + cd = bc + cd
4. Podijelite sa d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Podijelite sa b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Ratio razlike prethodnice razlike u posledicama su takođe iste.

358. Ako su u nekoliko parova omjeri jednaki, onda zbir svih antecedenta povezan je sa zbirom svih konsekventa, baš kao što je svaki antecedent sa svojim konsekventom.
Dakle, odnos
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Dakle, omjer (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358. b. Ratio veća nejednakostsmanjuje se, dodajući isti iznos za oba člana.
Neka je dati omjer a+b:a ili $\frac(a+b)(a)$
Dodavanjem x oba pojma dobijamo a+b+x:a+x ili $\frac(a+b)(a)$.

Prvi postaje $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
A posljednji je $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Pošto je posljednji brojilac očito manji od drugog, onda odnos trebalo bi da bude manje. (član 351 odn.)

Ali omjer manje nejednakosti povećava, dodajući isti iznos na oba pojma.
Neka je dati omjer (a-b):a, ili $\frac(a-b)(a)$.
Dodavanjem x oba pojma postaje (a-b+x):(a+x) ili $\frac(a-b+x)(a+x)$
Dovodeći ih do zajedničkog nazivnika,
Prvi postaje $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
I posljednji, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Pošto je zadnji brojilac veći od drugog, onda odnos više.
Ako umjesto dodavanja iste vrijednosti oduzmi iz dva člana, onda je očigledno da će efekat na odnos biti suprotan.

Primjeri.

1. Što je veće: omjer 11:9 ili omjer 44:35?

2. Što je veće: omjer $(a+3):\frac(a)(6)$, ili omjer $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Ako je antecedent para 65, a omjer 13, koja je posljedica?

4. Ako je konsekvent para 7, a omjer 18, koji je antecedent?

5. Kako izgleda kompleksni omjer sastavljen od 8:7, i 2a:5b, kao i (7x+1):(3y-2)?

6. Kako izgleda složeni odnos sastavljen od (x+y):b, i (x-y):(a + b), kao i (a+b):h? Rep. (x 2 - y 2): bh.

7. Ako relacije (5x+7):(2x-3) i $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ formiraju kompleksnu relaciju, onda koja relacija dobit će se: Manja ili veća nejednakost? Rep. Odnos veće nejednakosti.

8. Koji je omjer sastavljen od (x + y):a i (x - y):b, i $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Rep. Odnos jednakosti.

9. Koliki je omjer 7:5, dvostruki omjer 4:9 i trostruki omjer 3:2?
Rep. 14:15.

10. Koji je omjer napravljen od 3:7, i utrostručiti omjer x:y, i uzeti korijen omjera 49:9?
Rep. x 3:y 3 .

Odnos je određeni odnos između entiteta našeg svijeta. To mogu biti brojevi, fizičke veličine, predmeti, proizvodi, pojave, radnje, pa čak i ljudi.

U svakodnevnom životu, kada su omjeri u pitanju, kažemo "odnos između ovoga i onoga". Na primjer, ako se u vazi nalaze 4 jabuke i 2 kruške, onda kažemo "omjer jabuke i kruške" "odnos kruške i jabuke".

U matematici se omjer češće koristi kao "stav tog i tog prema tom i tom". Na primjer, omjer četiri jabuke i dvije kruške, koji smo razmatrali gore, u matematici će glasiti kao "odnos četiri jabuke i dve kruške" ili ako zamijenite jabuke i kruške, onda "odnos dve kruške prema četiri jabuke".

Odnos se izražava kao a To b(gde umesto a I b bilo koje brojeve), ali češće možete pronaći unos koji je sastavljen pomoću dvotočka kao a:b. Ovaj post možete pročitati na različite načine:

a To b
a odnosi se na b
stav a To b

Zapišimo omjer četiri jabuke i dvije kruške koristeći simbol omjera:

4: 2

Ako zamijenimo jabuke i kruške, imat ćemo omjer 2:4. Ovaj odnos se može čitati kao "dva do četiri" ili bilo koje "dve kruške su jednake četiri jabuke" .

U nastavku ćemo odnos zvati omjerom.

Sadržaj lekcije

Šta je stav?

Relacija je, kao što je ranije spomenuto, zapisana u obliku a:b. Može se napisati i kao razlomak. A znamo da takva notacija u matematici znači podjelu. Tada će rezultat relacije biti količnik brojeva a I b.

U matematici, omjer je količnik dva broja.

Omjer vam omogućava da saznate koliko je jednog entiteta po jedinici drugog. Vratimo se omjeru četiri jabuke prema dvije kruške (4:2). Ovaj omjer će nam omogućiti da saznamo koliko jabuka ima po jedinici kruške. Pod jedinicom podrazumijevamo jednu krušku. Prvo, zapišimo omjer 4:2 kao razlomak:

Ovaj omjer predstavlja dijeljenje broja 4 brojem 2. Ako izvršimo ovo dijeljenje, dobićemo odgovor na pitanje koliko jabuka ima po jedinici kruške

Dobili smo 2. Dakle, četiri jabuke i dvije kruške (4:2) su u korelaciji (međusobno povezane) tako da postoje dvije jabuke za jednu krušku

Slika pokazuje kako su četiri jabuke i dvije kruške povezane jedna s drugom. Vidi se da na svaku krušku dolaze dvije jabuke.

Odnos se može obrnuti ako ga napišete kao . Tada dobijamo omjer dvije kruške prema četiri jabuke ili “omjer dvije kruške prema četiri jabuke”. Ovaj omjer će pokazati koliko krušaka ima po jedinici jabuke. Jedinica jabuke znači jedna jabuka.

Da biste pronašli vrijednost razlomka, morate zapamtiti kako podijeliti manji broj većim brojem.

Imamo 0,5. Hajde da prevedemo ovo decimalni do običnog:

Smanjimo rezultirajući zajednički razlomak za 5

Dobili smo odgovor (pola kruške). To znači da su dvije kruške i četiri jabuke (2:4) povezane (međusobno povezane) tako da jedna jabuka čini pola kruške

Slika pokazuje kako su dvije kruške i četiri jabuke međusobno povezane. Vidi se da na svaku jabuku dolazi pola kruške.

Zovu se brojevi koji čine odnos članovi veze. Na primjer, u omjeru 4:2 članovi su 4 i 2.

Pogledajmo druge primjere odnosa. Da bi se nešto pripremilo, sastavlja se recept. Recept je izgrađen iz odnosa između proizvoda. Na primjer, za pripremu zobene kaše obično vam je potrebna čaša žitarica na dvije čaše mlijeka ili vode. Dobijeni omjer je 1:2 („jedan prema dvije“ ili „jedna čaša žitarica na dvije čaše mlijeka“).

Pretvorimo omjer 1:2 u razlomak, dobićemo . Izračunavši ovaj razlomak, dobijamo 0,5. To znači da su jedna čaša žitarica i dvije čaše mlijeka međusobno povezane (međusobno povezane) tako da jedna čaša mlijeka čini pola čaše žitarica.

Ako obrnete odnos 1:2, dobićete omjer 2:1 („dva prema jedan” ili „dve šolje mleka na jednu šolju žitarica”). Pretvarajući omjer 2:1 u razlomak, dobivamo . Računajući ovaj razlomak, dobijamo 2. To znači da su dvije čaše mlijeka i jedna čaša žitarica u korelaciji (međusobno povezane) tako da na jednu čašu žitarica dolaze dvije čaše mlijeka.

Primjer 2. U razredu je 15 učenika. Od toga je 5 dječaka, 10 djevojčica. Možete napisati omjer djevojčica i dječaka kao 10:5 i pretvoriti ovaj omjer u razlomak. Izračunavši ovaj razlomak, dobijamo 2. To jest, djevojčice i dječaci su međusobno povezani na način da na svakog dječaka dolaze dvije djevojčice

Slika pokazuje kako se deset djevojaka i pet dječaka međusobno upoređuju. Vidi se da na svakog dječaka dolaze dvije djevojčice.

Nije uvijek moguće pretvoriti omjer u razlomak i pronaći količnik. U nekim slučajevima ovo će biti kontraintuitivno.

Dakle, ako okrenete stav, ispada, a to je odnos dječaka prema djevojčicama. Ako izračunate ovaj razlomak, ispada da je 0,5. Ispostavilo se da je pet dečaka u srodstvu sa deset devojčica tako da za svaku devojčicu dolazi pola dečaka. Matematički je to svakako tačno, ali sa stanovišta stvarnosti nije sasvim razumno, jer dječak je živa osoba i ne može se jednostavno uzeti i podijeliti, kao kruška ili jabuka.

Sposobnost razvijanja ispravnog stava važna je vještina prilikom rješavanja problema. Dakle, u fizici je omjer prijeđene udaljenosti i vremena brzina kretanja.

Udaljenost je prikazana kroz varijablu S, vrijeme - kroz varijablu t, brzina - kroz varijablu v. Zatim fraza "odnos pređenog puta i vremena je brzina kretanja" biće opisan sledećim izrazom:

Pretpostavimo da je auto prešao 100 kilometara za 2 sata. Tada će omjer od stotinu prijeđenih kilometara i dva sata biti brzina automobila:

Brzinom se obično naziva udaljenost koju tijelo prijeđe u jedinici vremena. Jedinica vremena znači 1 sat, 1 minut ili 1 sekundu. A omjer, kao što je ranije spomenuto, omogućava vam da saznate koliko je jednog entiteta po jedinici drugog. U našem primjeru, odnos od sto kilometara do dva sata pokazuje koliko kilometara ima u jednom satu kretanja. Vidimo da za svaki sat kretanja dolazi 50 kilometara

Stoga se brzina mjeri u km/h, m/min, m/s. Simbol razlomka (/) označava odnos udaljenosti i vremena: kilometara na sat , metara u minuti I metara u sekundi respektivno.

Primjer 2. Omjer cijene proizvoda i njegove količine je cijena jedne jedinice proizvoda

Ako smo uzeli 5 čokoladica iz trgovine i njihova ukupna cijena je bila 100 rubalja, onda možemo odrediti cijenu jedne pločice. Da biste to učinili, morate pronaći omjer od sto rubalja prema broju slatkiša. Onda dobijemo da jedna šipka košta 20 rubalja

Poređenje vrijednosti

Ranije smo saznali da omjer između količina različite prirode formira novu količinu. Dakle, omjer prijeđenog puta i vremena je brzina kretanja. Odnos vrijednosti proizvoda i njegove količine je cijena jedne jedinice proizvoda.

Ali omjer se također može koristiti za poređenje količina. Rezultat takvog odnosa je broj koji pokazuje koliko je puta prva vrijednost veća od druge ili koji je dio prve vrijednosti od druge.

Da biste saznali koliko je puta prva vrijednost veća od druge, trebate upisati veću vrijednost u brojnik omjera, a manju vrijednost u nazivnik.

Da biste saznali koji je dio prve vrijednosti od druge, trebate upisati manju vrijednost u brojnik omjera, a veću vrijednost u nazivnik.

Razmotrimo brojeve 20 i 2. Hajde da saznamo koliko je puta broj 20 više broja 2. Da biste to učinili, pronađite omjer broja 20 i broja 2. U brojiocu omjera upisujemo broj 20, a u nazivnik - broj 2

Vrijednost ovog omjera je deset

Omjer broja 20 i broja 2 je broj 10. Ovaj broj pokazuje koliko je puta broj 20 veći od broja 2. To znači da je broj 20 deset puta veći od broja 2.

Primjer 2. U razredu je 15 učenika. Od toga 5 dječaka, 10 djevojčica. Odredite koliko je puta više djevojčica nego dječaka.

Bilježimo odnos djevojčica prema dječacima. U brojiocu omjera upisujemo broj djevojčica, u nazivnik omjera - broj dječaka:

Vrijednost ovog omjera je 2. To znači da u odeljenju od 15 ljudi ima dvostruko više djevojčica nego dječaka.

Više se ne postavlja pitanje koliko djevojčica ima za jednog dječaka. U ovom slučaju, omjer se koristi za poređenje broja djevojčica sa brojem dječaka.

Primjer 3. Koji dio broja 2 je broj 20?

Pronalazimo odnos broja 2 i broja 20. Broj 2 upisujemo u brojilac omjera, a broj 20 u imenilac

Da biste pronašli značenje ovog odnosa, morate se sjetiti

Vrijednost omjera broja 2 i broja 20 je broj 0,1

U ovom slučaju, decimalni razlomak 0,1 može se pretvoriti u običan razlomak. Ovaj odgovor će biti lakše razumjeti:

To znači da je broj 2 od broja 20 jedna desetina.

Možeš da proveriš. Da bismo to uradili, naći ćemo od broja 20. Ako smo sve uradili ispravno, trebalo bi da dobijemo broj 2

20: 10 = 2

2 × 1 = 2

Dobili smo broj 2. To znači da je jedna desetina broja 20 broj 2. Odavde zaključujemo da je zadatak ispravno riješen.

Primjer 4. U razredu je 15 ljudi. Od toga 5 dječaka, 10 djevojčica. Odredite koliki udio od ukupnog broja školaraca čine dječaci.

Bilježimo odnos dječaka i ukupnog broja školaraca. U brojnik omjera upisujemo pet dječaka, a u nazivnik ukupan broj školaraca. Ukupan broj školaraca je 5 dječaka plus 10 djevojčica, pa u imenilac omjera upisujemo broj 15

Da biste pronašli vrijednost datog omjera, morate zapamtiti kako podijeliti manji broj većim. U ovom slučaju, broj 5 mora biti podijeljen brojem 15

Dijeljenjem 5 sa 15 dobija se periodični razlomak. Pretvorimo ovaj razlomak u običan razlomak

Dobili smo konačan odgovor. Dakle, dječaci čine jednu trećinu cijelog razreda

Na slici se vidi da u odeljenju od 15 učenika trećinu odeljenja čini 5 dečaka.

Ako nađemo 15 školaraca da provjerimo, onda ćemo dobiti 5 dječaka

15: 3 = 5

5 × 1 = 5

Primjer 5. Koliko je puta broj 35 veći od broja 5?

Zapisujemo omjer broja 35 i broja 5. U brojnik omjera treba upisati broj 35, u nazivnik broj 5, ali ne i obrnuto

Vrijednost ovog omjera je 7. To znači da je broj 35 sedam puta veći od broja 5.

Primjer 6. U razredu je 15 ljudi. Od toga 5 dječaka, 10 djevojčica. Odredite koliki je udio od ukupnog broja djevojčica.

Bilježimo odnos djevojčica i ukupnog broja školaraca. U brojnik omjera upisujemo deset djevojčica, a u nazivnik ukupan broj školaraca. Ukupan broj školaraca je 5 dječaka plus 10 djevojčica, pa u imenilac omjera upisujemo broj 15

Da biste pronašli vrijednost datog omjera, morate zapamtiti kako podijeliti manji broj većim. U ovom slučaju, broj 10 se mora podijeliti sa brojem 15

Dijeljenjem 10 sa 15 dobija se periodični razlomak. Pretvorimo ovaj razlomak u običan razlomak

Smanjimo rezultujući razlomak za 3

Dobili smo konačan odgovor. To znači da djevojčice čine dvije trećine cijelog razreda.

Na slici se vidi da u odeljenju od 15 učenika dve trećine odeljenja čini 10 devojčica.

Ako nađemo 15 školaraca za provjeru, dobićemo 10 djevojčica

15: 3 = 5

5 × 2 = 10

Primjer 7. Koji dio od 10 cm je 25 cm?

Zapisujemo omjer deset centimetara prema dvadeset pet centimetara. U brojiocu omjera upisujemo 10 cm, u nazivnik 25 cm

Da biste pronašli vrijednost datog omjera, morate zapamtiti kako podijeliti manji broj većim. U ovom slučaju, broj 10 se mora podijeliti sa brojem 25

Pretvorimo rezultujući decimalni razlomak u običan razlomak

Smanjimo rezultirajući razlomak za 2

Dobili smo konačan odgovor. Dakle, 10 cm je jednako 25 cm.

Primjer 8. Koliko puta je 25 cm veće od 10 cm?

Zapisujemo omjer dvadeset pet centimetara prema deset centimetara. U brojiocu omjera upisujemo 25 cm, u nazivnik 10 cm

Dobili smo odgovor 2.5. To znači da je 25 cm 2,5 puta veće od 10 cm (dva i po puta)

Važna napomena. Prilikom pronalaženja veze istog imena fizičke veličine ove količine moraju biti izražene u jednoj mjernoj jedinici, inače će odgovor biti netačan.

Na primjer, ako imamo posla s dvije dužine i želimo znati koliko je puta prva dužina veća od druge ili koji je dio prve dužine druge, tada se obje dužine prvo moraju izraziti u jednoj mjernoj jedinici.

Primjer 9. Koliko puta je 150 cm veće od 1 metra?

Prvo, uvjerimo se da su obje dužine izražene u istoj jedinici mjerenja. Da biste to učinili, pretvorite 1 metar u centimetre. Jedan metar je sto centimetara

1 m = 100 cm

Sada nalazimo omjer od sto pedeset centimetara prema sto centimetara. U brojiocu omjera pišemo 150 centimetara, u nazivniku - 100 centimetara

Nađimo vrijednost ovog omjera

Dobili smo odgovor od 1,5. To znači da je 150 cm 1,5 puta veće od 100 cm (jedan i po puta).

A da nismo počeli pretvarati metre u centimetre i odmah pokušali pronaći omjer od 150 cm prema jednom metru, onda bismo dobili sljedeće:

Ispostavilo bi se da je 150 cm sto pedeset puta više od jednog metra, ali to je netačno. Stoga je imperativ obratiti pažnju na jedinice mjerenja fizičkih veličina koje su uključene u odnos. Ako su ove količine izražene u različitim mjernim jedinicama, onda da biste pronašli omjer ovih veličina, morate prijeći na jednu mjernu jedinicu.

Primjer 10. Prošlog mjeseca plata osobe iznosila je 25.000 rubalja, a ovog mjeseca plata je porasla na 27.000 rubalja. Odredite koliko se puta povećala plata

Zapisujemo odnos dvadeset sedam hiljada prema dvadeset pet hiljada. Zapisujemo 27000 u brojiocu omjera, 25000 u nazivniku

Nađimo vrijednost ovog omjera

Odgovor smo dobili 1.08. To znači da je plata povećana za 1,08 puta. Ubuduće, kada se upoznamo sa procentima, pokazatelje kao što su plate iskazivaćemo u procentima.

Primjer 11. Širina stambene zgrade je 80 metara, a visina 16 metara. Koliko puta je širina kuće veća od njene visine?

Zapisujemo omjer širine kuće i njene visine:

Vrijednost ovog omjera je 5. To znači da je širina kuće pet puta veća od njene visine.

Relationship property

Omjer se neće promijeniti ako se njegovi članovi pomnože ili podijele istim brojem.

Ovo jedno od najvažnijih svojstava relacije proizlazi iz svojstva posebnog. Znamo da ako se dividenda i djelitelj pomnože ili podijele istim brojem, tada se količnik neće promijeniti. A pošto relacija nije ništa drugo do podjela, svojstvo količnika također radi za nju.

Vratimo se na odnos devojaka prema dečacima (10:5). Ovaj omjer je pokazao da na svakog dječaka dolaze dvije djevojčice. Provjerimo kako funkcionira svojstvo relacije, naime, pokušajmo njegove članove pomnožiti ili podijeliti istim brojem.

U našem primjeru, zgodnije je podijeliti članove relacije njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD).

Gcd članova 10 i 5 je broj 5. Stoga možemo podijeliti članove relacije brojem 5

Imamo novi stav. Ovo je odnos dva prema jedan (2:1). Ovaj odnos, kao i prethodni omjer 10:5, pokazuje da su dvije djevojčice na jednog dječaka.

Na slici je prikazan odnos 2:1 (dva prema jedan). Kao iu prethodnom omjeru 10:5, za jednog dječaka su dvije djevojčice. Drugim riječima, stav se nije promijenio.

Primjer 2. U jednom razredu ima 10 djevojčica i 5 dječaka. U drugom razredu ima 20 djevojčica i 10 dječaka. Koliko puta ima više djevojčica nego dječaka u prvom razredu? Koliko puta ima više djevojčica nego dječaka u drugom razredu?

U oba razreda je dvostruko više djevojčica nego dječaka, budući da su omjeri i jednaki istom broju.

Svojstvo relacije vam omogućava da izgradite različite modele koji imaju slične parametre kao i stvarni objekt. Pretpostavimo da je stambena zgrada široka 30 metara i visoka 10 metara.

Da biste nacrtali sličnu kuću na papiru, morate je nacrtati u istom omjeru 30:10.

Podijelimo oba člana ovog omjera brojem 10. Tada ćemo dobiti omjer 3:1. Ovaj omjer je 3, baš kao i prethodni omjer 3

Pretvorimo metre u centimetre. 3 metra je 300 centimetara, a 1 metar je 100 centimetara

3 m = 300 cm

1 m = 100 cm

Imamo omjer od 300 cm: 100 cm. Podijelimo ovaj omjer sa 100. Dobijamo omjer od 3 cm: 1 cm. Sada možete nacrtati kuću širine 3 cm i visine

Naravno, nacrtana kuća je mnogo manja od prave kuće, ali omjer širine i visine ostaje nepromijenjen. To nam je omogućilo da nacrtamo kuću koja je što sličnija stvarnoj.

Stav se može shvatiti i na drugi način. Prvobitno je rečeno da je prava kuća bila široka 30 metara i visoka 10 metara. Ukupno je 30+10, odnosno 40 metara.

Ovih 40 metara može se shvatiti kao 40 dijelova. Omjer 30:10 znači da je 30 dijelova u širinu i 10 dijelova u visinu.

Zatim su članovi omjera 30:10 podijeljeni sa 10. Rezultat je bio omjer 3:1. Ovaj omjer se može shvatiti kao 4 dijela, od kojih su tri po širini, a jedan po visini. U ovom slučaju obično morate saznati koliko tačno metara ima širine i visine.

Drugim riječima, trebate saznati koliko metara ima 3 dijela, a koliko metara ima 1 dio. Prvo morate saznati koliko metara ima po dijelu. Da biste to učinili, ukupnih 40 metara mora se podijeliti sa 4, jer u omjeru 3:1 postoje samo četiri dijela

Odredimo koliko metara je širina:

10 m × 3 = 30 m

Odredimo koliko metara ima visine:

10 m × 1 = 10 m

Više članova veze

Ako je nekoliko članova dato u odnosu, onda se oni mogu shvatiti kao dijelovi nečega.

Primjer 1. Kupljeno 18 jabuka. Ove jabuke su podijeljene između majke, oca i kćerke u omjeru 2:1:3. Koliko je jabuka dobila svaka osoba?

Omjer 2: 1: 3 znači da je mama dobila 2 dijela, tata - 1 dio, kćerka - 3 dijela. Drugim riječima, svaki pojam u omjeru 2:1:3 je određena porcija od 18 jabuka:

Ako zbrojite uvjete omjera 2: 1: 3, tada možete saznati koliko dijelova ima:

2 + 1 + 3 = 6 (dijelovi)

Saznajte koliko je jabuka u jednom dijelu. Da biste to učinili, podijelite 18 jabuka sa 6

18: 6 = 3 (jabuke po dijelu)

Sada odredimo koliko je jabuka svaka osoba dobila. Množenjem tri jabuke sa svakim članom omjera 2:1:3, možete odrediti koliko je jabuka dobila mama, koliko tata, a koliko kćerka.

Hajde da saznamo koliko je jabuka mama dobila:

3 × 2 = 6 (jabuke)

Hajde da saznamo koliko je tata dobio jabuka:

3 × 1 = 3 (jabuke)

Hajde da saznamo koliko je jabuka dobila moja ćerka:

3 × 3 = 9 (jabuke)

Primjer 2. Novo srebro (alpaka) je legura nikla, cinka i bakra u omjeru 3:4:13. Koliko kilograma svakog metala treba uzeti da se dobije 4 kg novog srebra?

4 kilograma novog srebra sadržavat će 3 dijela nikla, 4 dijela cinka i 13 dijelova bakra. Prvo, saznajmo koliko će dijelova biti u četiri kilograma srebra:

3 + 4 + 13 = 20 (dijelovi)

Odredimo koliko će kilograma biti po dijelu:

4 kg: 20 = 0,2 kg

Odredimo koliko će kilograma nikla biti sadržano u 4 kg novog srebra. Omjer 3:4:13 pokazuje da tri dijela legure sadrže nikl. Dakle, množimo 0,2 sa 3:

0,2 kg × 3 = 0,6 kg nikla

Sada odredimo koliko će kilograma cinka biti sadržano u 4 kg novog srebra. Omjer 3:4:13 pokazuje da četiri dijela legure sadrže cink. Dakle, množimo 0,2 sa 4:

0,2 kg × 4 = 0,8 kg cinka

Sada odredimo koliko će kilograma bakra biti sadržano u 4 kg novog srebra. Odnos 3:4:13 pokazuje da trinaest delova legure sadrži bakar. Dakle, množimo 0,2 sa 13:

0,2 kg × 13 = 2,6 kg bakra

To znači da da biste dobili 4 kg novog srebra, trebate uzeti 0,6 kg nikla, 0,8 kg cinka i 2,6 kg bakra.

Primjer 3. Mesing je legura bakra i cinka, čije su mase u omjeru 3:2. Za izradu komada mesinga potrebno je 120 g bakra. Koliko je cinka potrebno za izradu ovog komada mesinga?

Odredimo koliko je grama legure u jednom dijelu. Uslov kaže da je za izradu komada mesinga potrebno 120 g bakra. Takođe se kaže da tri dela legure sadrže bakar. Ako podijelimo 120 sa 3, saznaćemo koliko grama legure ima po jednom dijelu:

120:3 = 40 grama po delu

Sada odredimo koliko je cinka potrebno za izradu komada mesinga. Da biste to učinili, pomnožite 40 grama sa 2, jer je u omjeru 3:2 naznačeno da dva dijela sadrže cink:

40 g × 2 = 80 grama cinka

Primjer 4. Uzeli smo dvije legure zlata i srebra. U jednom je količina ovih metala u omjeru 1:9, a u drugom 2:3. Koliko od svake legure treba uzeti da bi se dobilo 15 kg nove legure u kojoj bi zlato i srebro bili u omjeru 1 : 4?

Rješenje

15 kg nove legure trebalo bi da se sastoji od omjera 1:4. Ovaj odnos označava da će jedan dio legure biti zlato, a četiri dijela srebro. Ukupno ima pet dijelova. Šematski se to može predstaviti na sljedeći način

Odredimo masu jednog dijela. Da biste to učinili, prvo zbrojite sve dijelove (1 i 4), a zatim podijelite masu legure s brojem ovih dijelova

1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg

Jedan komad legure će imati masu od 3 kg. Tada će 15 kg nove legure sadržavati 3 × 1 = 3 kg zlata i 3 × 4 = 12 kg srebra.

Dakle, za dobivanje legure težine 15 kg potrebno nam je 3 kg zlata i 12 kg srebra.

A sada da odgovorimo na pitanje problema - “ Koliko od svake legure treba da uzmete? »

Uzet ćemo 10 kg prve legure, jer su zlato i srebro u njoj u omjeru 1: 9. Odnosno, ova prva legura će nam dati 1 kg zlata i 9 kg srebra.

Uzet ćemo 5 kg druge legure, jer su zlato i srebro u njoj u omjeru 2: 3. To jest, ova druga legura će nam dati 2 kg zlata i 3 kg srebra.

Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama