Različiti načini dokazivanja Pitagorine teoreme: primjeri, opis i recenzije. Samostalno rješavanje problema
klasa: 8
Ciljevi lekcije:
- edukativni: postići asimilaciju Pitagorine teoreme, usaditi vještine izračunavanja nepoznate stranice pravokutnog trokuta koristeći dva poznata, naučiti kako primijeniti Pitagorinu teoremu na rješavanje jednostavnih problema
- u razvoju: doprinose razvoju sposobnosti upoređivanja, zapažanja, pažnje, razvoju sposobnosti analitičkog i sintetičkog mišljenja, širenju vidika
- edukativni: formiranje potrebe za znanjem, interesovanje za matematiku
Vrsta lekcije: nova lekcija o prezentaciji materijala
Oprema: kompjuter, multimedijalni projektor, prezentacija za nastavu ( Prilog 1)
Plan lekcije:
- Organiziranje vremena
- oralne vježbe
- Istraživački rad, postavljanje hipoteze i testiranje u pojedinim slučajevima
- Objašnjenje novog materijala
a) O Pitagori
b) Iskaz i dokaz teoreme - Konsolidacija gore navedenog kroz rješavanje problema
- Domaći zadatak, sumiranje lekcije.
Tokom nastave
Slajd 2: Radite vežbe
- Proširene zagrade: (3 + x) 2
- Izračunajte 3 2 + x 2 za x = 1, 2, 3, 4
– Postoji li prirodan broj čiji je kvadrat 10, 13, 18, 25? - Nađite površinu kvadrata sa stranicama 11 cm, 50 cm, 7 dm.
Koja je formula za površinu kvadrata?
Kako pronaći površinu pravokutnog trokuta?
Slajd 3: Odgovor na pitanje
– Ugao čija je mjera 90°. (Ravno)
Strana naspram pravog ugla trougla. (hipotenuza)
- Trougao, kvadrat, trapez, krug - to su geometrijski... (oblici)
- Manja stranica pravouglog trougla. (Katet)
- Figura koju čine dvije zrake koje izlaze iz jedne tačke. (ugao)
- Segment okomice povučen iz vrha trougla do prave koja sadrži suprotnu stranu. (visina)
- Trougao sa dve jednake stranice . (jednakokraki)
Slajd 4: Zadatak
Konstruiraj pravougao trokut sa stranicama 3 cm, 4 cm i 6 cm.
Zadatak je podijeljen u redove.
| 1 red | 2 red | 3 red | |
| nogu a | 3 | 3 | |
| nogu b | 4 | 4 | |
| Hipotenuza With | 6 | 6 |
pitanja:
- Da li je neko dobio trougao sa datim stranicama?
- Šta može biti zaključak? (Pravougli trokut se ne može proizvoljno definirati. Između njegovih stranica postoji zavisnost).
- Izmjerite rezultirajuće strane. ( Približan prosječan rezultat iz svakog reda se unosi u tabelu)
| 1 red | 2 red | 3 red | |
| nogu a | 3 | 3 | ~4,5 |
| nogu b | 4 | ~5,2 | 4 |
| Hipotenuza With | ~5 | 6 | 6 |
- Pokušajte uspostaviti odnos između kateta i hipotenuze u svakom od slučajeva.
(Predlaže se prisjetiti se usmenih vježbi i provjeriti isti odnos između ostalih brojeva).
- Skreće se pažnja da tačan rezultat neće raditi, jer. mjerenja se ne mogu smatrati tačnima.
Učitelj traži nagađanja (hipoteze): učenici formulišu.
- Da, zaista, postoji veza između hipotenuze i kateta, a prvi je to dokazao naučnik, čije ćete ime i sami nazvati. Ova teorema je nazvana po njemu.
Slajd 5: Dešifrovati
Slajd 6: Pitagora sa Samosa
Ko će imenovati temu današnje lekcije?
Učenici u sveskama zapisuju temu lekcije: “Pitagorina teorema”
Pitagorina teorema je jedna od glavnih teorema geometrije. Uz nju se dokazuju mnoge druge teoreme i rješavaju problemi iz raznih oblasti: fizike, astronomije, konstrukcije itd. Znalo se mnogo prije nego što je to dokazao Pitagora. Stari Egipćani su ga koristili kada su gradili pravokutni trokut sa stranicama od 3, 4 i 5 jedinica koristeći uže za izgradnju pravih kutova prilikom postavljanja zgrada, piramida. Stoga se takav trougao naziva Egipatski trougao.
Postoji preko tri stotine načina da se dokaže ova teorema. Danas ćemo pogledati jednu od njih.
Slajd 7: Pitagorina teorema
Teorema: U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.
Dato:
pravokutni trokut,
a, b - noge, With- hipotenuza
dokazati:
Dokaz.
1. Nastavljamo katete pravouglog trougla: krak a- za dužinu b, noga b- za dužinu a.
U kom obliku se može izgraditi trougao? Zašto do kvadrata? Koja će biti stranica kvadrata?
2. Dopunjavamo trokut do kvadrata sa stranom a + b.
Kako možete pronaći površinu ovog kvadrata?
3. Površina kvadrata je
- Podijelimo kvadrat na dijelove: 4 trougla i kvadrat sa stranicom c.
Kako drugačije možete pronaći površinu originalnog kvadrata?
Zašto su dobijeni pravougli trouglovi podudarni?
4. S druge strane,
5. Izjednačite rezultirajuće jednakosti:
Teorema je dokazana.
Postoji komična formulacija ove teoreme: "Pitagorine pantalone su jednake u svim smjerovima." Vjerovatno je takva formulacija posljedica činjenice da je ova teorema prvobitno uspostavljena za jednakokraki pravokutni trokut. Štoviše, zvučalo je malo drugačije: "Površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednaka je zbroju površina kvadrata izgrađenih na njegovim kracima."
Slajd 8: Još jedna formulacija Pitagorine teoreme
I dat ću vam još jednu formulaciju ove teoreme u stihu:
Ako nam je dat trougao
I, štaviše, sa pravim uglom,
To je kvadrat hipotenuze
Uvek možemo lako pronaći:
Noge gradimo u kvadratu,
Nalazimo zbir stepeni
I to na tako jednostavan način
Doći ćemo do rezultata.
- Dakle, danas ste se upoznali sa najpoznatijom teoremom planimetrije - Pitagorinom teoremom. Kako je formulisana Pitagorina teorema? Kako se drugačije može formulisati?
Primarna fiksacija materijala
Slajd 9: Rješavanje problema prema gotovim crtežima.
Slajd 10: Rješavanje zadataka u svesci
Tri učenika se istovremeno pozivaju na ploču da rješavaju probleme.
Slajd 11: Problem indijskog matematičara Bhaskare iz 12. stoljeća
Sumiranje lekcije:
Šta ste novo naučili na lekciji danas?
- Formulirajte Pitagorinu teoremu.
- Šta ste naučili da radite na lekciji?
Zadaća:
– Naučite Pitagorinu teoremu s dokazom
- Zadaci iz udžbenika br. 483 c, d; br. 484 u, grad
– Za naprednije učenike: pronađite druge dokaze Pitagorine teoreme, naučite jedan od njih.
Ocenjuje se rad odeljenja u celini, izdvajajući pojedine učenike.
Lekcija na temu: "Pitagorina teorema"
Vrsta časa: čas učenja novog gradiva. (prema udžbeniku „Geometrija, 7–9”, udžbenik za obrazovne ustanove; L.S. Atanasyan i dr. - 12. izd. - M.: Obrazovanje, 2009.).
Cilj:
upoznati studente sa Pitagorinom teoremom i istorijskim informacijama vezanim za ovu teoremu; razviti interesovanje za proučavanje matematike, logičko mišljenje; Pažnja.
Tokom nastave:
1. Organizacioni momenat.
SLAJD 2 Bajka "Kuća".
Tema naše lekcije je "Pitagorina teorema". Danas ćemo se u lekciji upoznati sa Pitagorinom biografijom, proučavaćemo jednu od najpoznatijih geometrijskih teorema antike, nazvanu Pitagorina teorema, jedna od glavnih teorema planimetrije.
2. Aktuelizacija znanja.(Priprema za proučavanje novog gradiva, materijal koji će biti potreban za dokaz teoreme se ponavlja)
1) Pitanja:
Koji se četverougao naziva kvadrat?
Kako pronaći površinu kvadrata?
Koji trougao se naziva pravougli trougao?
Kako se zovu stranice pravouglog trougla?
Kako pronaći površinu pravokutnog trokuta?
3. Učenje novog gradiva.
1) Istorijat.
SLAJD 3 i 4.
Veliki naučnik Pitagora rođen je oko 570. godine prije nove ere. na ostrvu Samos. Pitagorin otac bio je Mnesarchus, rezbar dragulja. Ime Pitagorine majke nije poznato. Prema mnogim drevnim svjedočanstvima, rođeni dječak je bio fantastično zgodan i ubrzo je pokazao svoje izvanredne sposobnosti. Kao i svaki otac, Mnesarchus je sanjao da će njegov sin nastaviti njegov posao - zlatarski zanat. Život je presudio drugačije. Budući veliki matematičar i filozof već je u detinjstvu pokazao velike sposobnosti za nauke.
Pitagora je zaslužan za proučavanje svojstava cijelih brojeva i proporcija, dokazivanje Pitagorine teoreme itd. Pitagora nije ime, već nadimak koji je filozof dobio zato što je uvijek govorio ispravno i uvjerljivo, poput grčkog proročišta. (Pitagora - "uvjerljivi govor".)
Svojim govorima stekao je 2.000 učenika, koji su zajedno sa svojim porodicama formirali školsku državu u kojoj su važili Pitagorini zakoni i pravila. Pitagorina škola, ili, kako je još nazivaju, Pitagorina unija, bila je u isto vrijeme i filozofska škola, i politička partija i vjersko bratstvo.
Omiljena geometrijska figura Pitagorejaca bio je pentagram, koji se naziva i pitagorejska zvijezda. Pitagorejci su koristili ovu figuru, crtajući je u pijesku, da se pozdrave i prepoznaju. Pentagram im je služio kao lozinka i bio je simbol zdravlja i sreće.
Tradicija kaže da je Pitagora, kada je došao do teoreme koja nosi njegovo ime, donio bogovima 100 bikova. 500. godine prije Krista Pitagora je ubijen u uličnoj borbi tokom narodnog ustanka. Trenutno postoji oko 200 dokaza Pitagorine teoreme.
Izjava teoreme
2) Dokaz teoreme.
Napravimo pravougaonik na kvadrat sa stranicom a + b.
Djeca uz pomoć nastavnika dokazuju teoremu prema crtežu, a zatim dokaz zapisuju u bilježnicu.
dokaz:
kvadratna površina
- teorema je dokazana.
4. Primarna konsolidacija znanja.
Rad iz udžbenika (Primjena Pitagorine teoreme na rješavanje problema).
Zadaci se rješavaju na tabli i u sveskama.
Zaključak: pomoću Pitagorine teoreme možete riješiti dvije vrste problema:
1. Nađi hipotenuzu pravouglog trougla ako su katete poznate.
2. Nađi katet ako su hipotenuza i drugi krak poznati.
.
5. Samostalno rješavanje problema.
br. 483 (b), 484 (b)
6. Domaći zadatak: P 54, br. 483 (d), 484 (d).
7. Rezultat lekcije.
Šta ste novo naučili na lekciji danas?
Za koje trouglove vrijedi Pitagorina teorema?
Završite lekciju pjesmom.
Mnogi ljudi znaju Chamissoov sonet:
Istina će ostati vječna, koliko brzo
Slaba osoba će to znati!
A sada Pitagorina teorema
Verna, kao u svom dalekom dobu.
Žrtva je bila obilna
Bogovi iz Pitagore. Sto bikova
Dao je na klanje i spaljivanje
Iza svjetlosti je zrak koji je došao iz oblaka.
Stoga, od tada
Malo istine se rađa na svetu,
Bikovi urlaju, osjećajući je kako slijedi.
Ne mogu zaustaviti svjetlo
I mogu samo zatvoriti oči da zadrhte
Od straha koji im je ulio Pitagora.
Pitanje - odgovor Ugao čija je mera 90° DIREKTNO Stranica koja leži nasuprot pravog ugla trougla HIPOTENUZA Trougao, kvadrat, trapez, krug su geometrijski... FIGURE Manja stranica pravouglog trougla KATET Lik formiran od dve zrake koje izlaze iz jedna tačka UGAO Okomit odsječak povučen iz vrha trougla na pravu koja sadrži suprotnu stranicu VISINA Trokut čije su dvije stranice jednake jednakokračne
Pitagora sa Samosa (oko 580 - oko 500 pne) starogrčki matematičar i filozof. Rođen na ostrvu Samos. Organizovao je svoju školu - Pitagorinu školu (Pitagorina unija), koja je istovremeno bila i filozofska škola, i politička partija, i versko bratstvo. On je prvi dokazao vezu između hipotenuze i kateta pravokutnog trokuta.
Problem indijskog matematičara iz XII vijeka Bhaskare Na obali rijeke rasla je usamljena topola. Odjednom mu je nalet vjetra slomio deblo. Jadna topola je pala. I ugao prave linije Sa tokom rijeke, njeno deblo je bilo. Sjetite se sada da je na ovom mjestu rijeka B bila široka samo četiri stope. Glava se nagnula na ivicu rijeke. Ostalo je samo tri stope od debla, molim te, reci mi uskoro: Koliko je visoka topola?
Shapovalova L.A. (stanica Egorlykskaya, MBOU ESOSH br. 11)
1. Glazer G.I. Istorija matematike u školi VII - VIII razred, priručnik za nastavnike, - M: Prosveta, 1982.
2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. "Iza stranica udžbenika matematike" Priručnik za učenike 5-6 razreda. – M.: Prosvjeta, 1989.
3. Zenkevič I.G. "Estetika časa matematike". – M.: Prosvjeta, 1981.
4. Litzman V. Pitagorina teorema. - M., 1960.
5. Voloshinov A.V. "Pythagoras". - M., 1993.
6. Pichurin L.F. "Izvan stranica udžbenika algebre". - M., 1990.
7. Zemlyakov A.N. "Geometrija u 10. razredu." - M., 1986.
8. List "Matematika" 17/1996.
9. List "Matematika" 3/1997.
10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Zbirka zadataka iz osnovne matematike". - M., 1963.
11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Matematički priručnik". - M., 1973.
12. Shchetnikov A.I. "Pitagorejska doktrina o broju i veličini". - Novosibirsk, 1997.
13. “Pravi brojevi. Iracionalni izrazi» 8. razred. Tomsk University Press. – Tomsk, 1997.
14. Atanasyan M.S. "Geometrija" razred 7-9. – M.: Prosvjeta, 1991.
15. URL: www.moypifagor.narod.ru/
16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.
Ove akademske godine upoznao sam se sa zanimljivom teoremom, poznatom, kako se pokazalo, od davnina:
"Kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na katetama."
Obično se otkriće ove izjave pripisuje starogrčkom filozofu i matematičaru Pitagori (VI vek pne). Ali proučavanje drevnih rukopisa pokazalo je da je ova izjava bila poznata mnogo prije Pitagorinog rođenja.
Pitao sam se zašto se u ovom slučaju povezuje s Pitagorinim imenom.
Relevantnost teme: Pitagorina teorema je od velike važnosti: koristi se u geometriji doslovno na svakom koraku. Verujem da su Pitagorina dela i dalje aktuelna, jer gde god da pogledamo, svuda možemo videti plodove njegovih velikih ideja, oličenih u raznim granama modernog života.
Svrha mog istraživanja bila je: da saznam ko je bio Pitagora i kakvu on vezu ima sa ovom teoremom.
Proučavajući istoriju teoreme, odlučio sam da saznam:
Postoje li drugi dokazi ove teoreme?
Kakav je značaj ove teoreme u životima ljudi?
Kakvu je ulogu Pitagora imao u razvoju matematike?
Iz Pitagorine biografije
Pitagora sa Samosa je veliki grčki naučnik. Njegova slava povezana je s imenom Pitagorine teoreme. Iako sada već znamo da je ova teorema bila poznata u starom Babilonu 1200 godina prije Pitagore, a u Egiptu 2000 godina prije njega bio je poznat pravokutni trougao sa stranicama 3, 4, 5, još uvijek je zovemo imenom ovog drevnog naučnik.
Gotovo se ništa pouzdano ne zna o Pitagorinom životu, ali uz njegovo ime se veže veliki broj legendi.
Pitagora je rođen 570. godine prije Krista na ostrvu Samos.
Pitagora je imao zgodan izgled, nosio je dugu bradu i zlatnu dijademu na glavi. Pitagora nije ime, već nadimak koji je filozof dobio zato što je uvijek govorio ispravno i uvjerljivo, poput grčkog proročišta. (Pitagora - "uvjerljivi govor").
Godine 550. pne Pitagora donosi odluku i odlazi u Egipat. Dakle, pred Pitagorom se otvara nepoznata zemlja i nepoznata kultura. Mnogo zadivljen i iznenađen Pitagora u ovoj zemlji, a nakon nekih zapažanja o životu Egipćana, Pitagora je shvatio da put do znanja, zaštićen kastom sveštenika, leži kroz religiju.
Nakon jedanaest godina studija u Egiptu, Pitagora odlazi u svoju domovinu, gdje usput pada u vavilonsko ropstvo. Tamo se upoznaje sa babilonskom naukom, koja je bila razvijenija od egipatske. Babilonci su znali riješiti linearne, kvadratne i neke vrste kubnih jednačina. Pošto je pobjegao iz zatočeništva, nije mogao dugo ostati u svojoj domovini zbog atmosfere nasilja i tiranije koja je tamo vladala. Odlučio je da se preseli u Croton (grčku koloniju u sjevernoj Italiji).
U Krotonu počinje najslavniji period u Pitagorinom životu. Tamo je osnovao nešto poput vjersko-etičkog bratstva ili tajnog monaškog reda, čiji su članovi bili dužni voditi takozvani pitagorejski način života.
Pitagora i pitagorejci
Pitagora je u grčkoj koloniji na jugu Apeninskog poluostrva organizirao vjersko i etičko bratstvo, poput monaškog reda, koje će kasnije nazvati Pitagorejska unija. Članovi sindikata morali su se pridržavati određenih principa: prvo, težiti lijepom i slavnom, drugo, biti korisni, i treće, težiti visokom zadovoljstvu.
Sistem moralnih i etičkih pravila, koje je Pitagora zaveštao svojim učenicima, sastavljen je u svojevrsni moralni kodeks pitagorejaca „Zlatni stihovi“, koji su bili veoma popularni u doba antike, srednjeg veka i renesanse.
Pitagorejski sistem studija sastojao se od tri sekcije:
Učenje o brojevima - aritmetika,
Nastava o figurama - geometrija,
Učenje o strukturi svemira – astronomija.
Obrazovni sistem koji je postavio Pitagora trajao je mnogo vekova.
Pitagorina škola učinila je mnogo da geometriji da karakter nauke. Glavna karakteristika Pitagorine metode bila je kombinacija geometrije i aritmetike.
Pitagora se dosta bavio proporcijama i progresijama i, vjerovatno, sličnošću figura, budući da je zaslužan za rješavanje problema: „Konstruiraj treći, jednak po veličini jednom od podataka i sličan drugom, na osnovu date dvije brojke.”
Pitagora i njegovi učenici uveli su koncept poligonalnih, prijateljskih, savršenih brojeva i proučavali njihova svojstva. Aritmetika, kao praksa računanja, nije zanimala Pitagoru i on je ponosno izjavio da je „aritmetiku stavio iznad interesa trgovca“.
Članovi Pitagorejske unije bili su stanovnici mnogih gradova u Grčkoj.
Pitagorejci su takođe primali žene u svoje društvo. Sindikat je cvjetao više od dvadeset godina, a onda je počeo progon njenih članova, mnogi studenti su ubijeni.
Bilo je mnogo različitih legendi o smrti samog Pitagore. Ali Pitagorina učenja i njegovih učenika su nastavili da žive.
Iz istorije stvaranja Pitagorine teoreme
Trenutno je poznato da ovu teoremu nije otkrio Pitagora. Međutim, neki vjeruju da je Pitagora prvi dao svoj puni dokaz, dok mu drugi poriču tu zaslugu. Neki pripisuju Pitagori dokaz koji Euklid daje u prvoj knjizi svojih Elementa. S druge strane, Proklo tvrdi da je za dokaz u Elementima zaslužan sam Euklid. Kao što vidimo, istorija matematike nema gotovo nikakvih pouzdanih konkretnih podataka o Pitagorinom životu i njegovoj matematičkoj aktivnosti.
Počnimo naš istorijski pregled Pitagorine teoreme sa drevnom Kinom. Ovdje posebnu pažnju privlači matematička knjiga Chu-peija. Ovaj esej govori ovo o Pitagorinom trouglu sa stranicama 3, 4 i 5:
"Ako se pravi ugao razloži na njegove sastavne dijelove, tada će linija koja povezuje krajeve njegovih stranica biti 5 kada je osnova 3, a visina 4."
Vrlo je lako reproducirati njihov način izgradnje. Uzmite uže dužine 12 m i zavežite ga uzduž trake u boji na udaljenosti od 3 m. sa jednog kraja i 4 metra od drugog. Pravi ugao će biti zatvoren između stranica dužine 3 i 4 metra.
Geometrija kod Hindusa bila je usko povezana sa kultom. Vrlo je vjerovatno da je teorema o kvadratu hipotenuze već bila poznata u Indiji oko 8. stoljeća prije nove ere. Uz čisto ritualne recepte, tu su i djela geometrijski teološke prirode. U ovim spisima, koji datiraju iz 4. ili 5. stoljeća prije nove ere, susrećemo se sa konstrukcijom pravog ugla pomoću trougla sa stranicama 15, 36, 39.
Pitagorina teorema je u srednjem vijeku definirala granicu, ako ne najvećeg mogućeg, onda barem dobrog matematičkog znanja. Karakterističan crtež Pitagorine teoreme, koji sada školarci ponekad pretvaraju, na primjer, u cilindar obučen u ogrtač profesora ili muškarca, često se koristio tih dana kao simbol matematike.
U zaključku predstavljamo različite formulacije Pitagorine teoreme prevedene s grčkog, latinskog i njemačkog.
Euklidov teorem glasi (doslovan prijevod):
"U pravokutnom trokutu kvadrat stranice koja proteže pravi ugao jednak je kvadratima na stranicama koje zatvaraju pravi ugao."
Kao što vidite, u različitim zemljama i na različitim jezicima postoje različite verzije formulacije poznate teoreme. Nastali u različito vrijeme i na različitim jezicima, odražavaju suštinu jednog matematičkog uzorka, čiji dokaz također ima nekoliko opcija.
Pet načina da se dokaže Pitagorina teorema
drevni kineski dokazi
Na drevnom kineskom crtežu četiri jednaka pravokutna trokuta s kracima a, b i hipotenuzom c su naslagana tako da njihova vanjska kontura tvori kvadrat sa stranicom a + b, a unutrašnja kvadrat sa stranom c, izgrađen na hipotenuza
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
Dokaz J. Gardfielda (1882)
Postavimo dva jednaka pravougla trougla tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog.
Površina trapeza koji se razmatra nalazi se kao proizvod polovine zbira osnovica i visine
S druge strane, površina trapeza jednaka je zbroju površina rezultirajućih trokuta:
Izjednačavajući ove izraze, dobijamo:
Dokaz je jednostavan
Ovaj dokaz se dobija u najjednostavnijem slučaju jednakokračnog pravokutnog trokuta.
Vjerovatno je teorema počela s njim.
Zaista, dovoljno je samo pogledati popločavanje jednakokrakih pravokutnih trouglova da vidimo da je teorema tačna.
Na primjer, za trokut ABC: kvadrat izgrađen na hipotenuzi AC sadrži 4 početna trokuta, a kvadrati izgrađeni na katetama sadrže dva. Teorema je dokazana.
Dokaz drevnih Hindusa
Kvadrat sa stranicom (a + b), može se podijeliti na dijelove kao na sl. 12. a, ili kao na sl. 12b. Jasno je da su dijelovi 1, 2, 3, 4 isti na obje slike. A ako se jednaki oduzmu od jednakih (površina), onda će ostati jednaki, tj. c2 = a2 + b2.
Euklidov dokaz
Dva milenijuma najčešći je bio dokaz Pitagorine teoreme, koju je izmislio Euklid. Nalazi se u njegovoj čuvenoj knjizi "Počeci".
Euklid je spustio visinu BH iz vrha pravog ugla na hipotenuzu i dokazao da njeno produženje dijeli kvadrat završen na hipotenuzi na dva pravougaonika čije su površine jednake površinama odgovarajućih kvadrata izgrađenih na katetama.
Crtež koji se koristi u dokazu ove teoreme u šali se naziva "pitagorine pantalone". Dugo se smatrao jednim od simbola matematičke nauke.
Primjena Pitagorine teoreme
Značaj Pitagorine teoreme je u tome što se iz nje ili uz njenu pomoć može izvesti većina teorema geometrije i riješiti mnogi problemi. Osim toga, praktični značaj Pitagorine teoreme i njene inverzne teoreme je da se oni mogu koristiti za pronalaženje dužina segmenata bez mjerenja samih segmenata. Ovo, takoreći, otvara put od prave do ravni, od ravni do volumetrijskog prostora i dalje. Iz tog razloga je Pitagorina teorema toliko važna za čovječanstvo, koje nastoji otkriti više dimenzija i stvoriti tehnologije u tim dimenzijama.
Zaključak
Pitagorina teorema je toliko poznata da je teško zamisliti osobu koja nije čula za nju. Naučio sam da postoji nekoliko načina da se dokaže Pitagorina teorema. Proučavao sam brojne istorijske i matematičke izvore, uključujući informacije na internetu, i shvatio da je Pitagorina teorema zanimljiva ne samo zbog svoje istorije, već i zbog toga što zauzima važno mjesto u životu i nauci. O tome svjedoče različita tumačenja teksta ove teoreme koja sam dala u ovom radu i načini njenog dokaza.
Dakle, Pitagorina teorema je jedna od glavnih i, moglo bi se reći, najvažnija teorema geometrije. Njegov značaj leži u činjenici da se iz njega ili uz njegovu pomoć može izvesti većina teorema geometrije. Pitagorina teorema je također izvanredna po tome što sama po sebi nije nimalo očigledna. Na primjer, svojstva jednakokračnog trougla mogu se vidjeti direktno na crtežu. Ali koliko god da gledate u pravougao trokut, nikada nećete vidjeti da postoji jednostavan odnos između njegovih stranica: c2 = a2 + b2. Stoga se vizualizacija često koristi za dokazivanje. Pitagorina zasluga je bila što je dao potpuni naučni dokaz ove teoreme. Zanimljiva je ličnost samog naučnika, čije sjećanje nije slučajno sačuvano ovom teoremom. Pitagora je divan govornik, učitelj i vaspitač, organizator svoje škole, fokusiran na harmoniju muzike i brojeva, dobrote i pravde, znanja i zdravog načina života. On može poslužiti kao primjer za nas, daleke potomke.
Bibliografska veza
Tumanova S.V. NEKOLIKO NAČINA ZA DOKAZIVANJE PITAGOROVE TEOREME // Početak u nauci. - 2016. - br. 2. - str. 91-95;URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (datum pristupa: 10.01.2020.).
Pitagorina teorema- jedna od osnovnih teorema euklidske geometrije, koja uspostavlja relaciju
između stranica pravokutnog trougla.
Vjeruje se da je to dokazao grčki matematičar Pitagora, po kome je i dobio ime.
Geometrijska formulacija Pitagorine teoreme.
Teorema je prvobitno bila formulirana na sljedeći način:
U pravokutnom trokutu, površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbroju površina kvadrata,
izgrađen na kateterima.
Algebarska formulacija Pitagorine teoreme.
U pravokutnom trokutu kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbiru kvadrata dužina kateta.
To jest, označava dužinu hipotenuze trougla kroz c, i dužine nogu kroz a i b:
Obe formulacije pitagorine teoreme su ekvivalentne, ali druga formulacija je elementarnija, nije
zahtijeva koncept područja. Odnosno, druga tvrdnja se može provjeriti bez znanja o tom području i
mjerenjem samo dužina stranica pravokutnog trougla.
Inverzna Pitagorina teorema.
Ako je kvadrat jedne stranice trokuta jednak zbiru kvadrata druge dvije stranice, tada
trougao je pravougaonog oblika.
Ili, drugim riječima:
Za bilo koju trojku pozitivnih brojeva a, b i c, takav da
postoji pravougli trougao sa katetama a i b i hipotenuzu c.
Pitagorina teorema za jednakokraki trougao.
Pitagorina teorema za jednakostranični trougao.
Dokazi Pitagorine teoreme.
Trenutno je u naučnoj literaturi zabilježeno 367 dokaza ove teoreme. Vjerovatno teorema
Pitagora je jedina teorema sa tako impresivnim brojem dokaza. Takva raznolikost
može se objasniti samo fundamentalnim značajem teoreme za geometriju.
Naravno, konceptualno, sve se mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatije od njih:
dokaz o metoda područja, aksiomatski i egzotični dokazi(na primjer,
korišćenjem diferencijalne jednadžbe).
1. Dokaz Pitagorine teoreme u terminima sličnih trouglova.
Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji od konstruiranih dokaza
direktno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure.
Neka ABC postoji pravougli trougao C. Nacrtajmo visinu iz C i označiti
njegov temelj kroz H.
Trougao ACH slično trokutu AB C na dva ugla. Isto tako, trougao CBH slično ABC.
Uvođenjem notacije:
dobijamo:
,
koji odgovara -
Having fold a 2 i b 2, dobijamo:
ili , što je trebalo dokazati.
2. Dokaz Pitagorine teoreme metodom površine.
Sljedeći dokazi, uprkos njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopće nisu tako jednostavni. Svi oni
koristiti svojstva površine, čiji je dokaz složeniji od dokaza same Pitagorine teoreme.
- Dokaz kroz ekvikomplementaciju.
Rasporedite četiri jednaka pravougaonika
trougao kao što je prikazano na slici
desno.
Četvorougao sa stranicama c- kvadrat,
pošto je zbir dva oštra ugla 90°, i
razvijeni ugao je 180°.
Površina cijele figure je, s jedne strane,
površina kvadrata sa stranom ( a+b), a s druge strane, zbir površina četiri trougla i
Q.E.D.
3. Dokaz Pitagorine teoreme infinitezimalnom metodom.
S obzirom na crtež prikazan na slici, i
gledajući kako se strana mijenjaa, možemo
napišite sljedeću relaciju za beskonačno
mala bočni prirastWith i a(koristeći sličnost
trokuti):
Koristeći metodu razdvajanja varijabli, nalazimo:
Općenitiji izraz za promjenu hipotenuze u slučaju povećanja oba kraka:
Integracijom ove jednačine i korištenjem početnih uslova dobijamo:
Tako dolazimo do željenog odgovora:
Kao što je lako vidjeti, kvadratna ovisnost u konačnoj formuli se pojavljuje zbog linearne
proporcionalnost između stranica trokuta i priraštaja, dok je zbir povezan sa nezavisnom
doprinose prirasta različitih nogu.
Jednostavniji dokaz se može dobiti ako pretpostavimo da jedan od krakova ne doživljava prirast
(u ovom slučaju noga b). Tada za integracijsku konstantu dobijamo:
