Gumene narukvice

Vietin teorem. Primjeri korištenja. Kako riješiti jednadžbe koristeći Vietinu teoremu u matematici Vietina formula za jednadžbu

U matematici postoje posebni trikovi kojima se mnoge kvadratne jednadžbe rješavaju vrlo brzo i bez ikakvih diskriminanata. Štoviše, uz odgovarajuću obuku, mnogi počinju rješavati kvadratne jednadžbe usmeno, doslovno "na prvi pogled".

Nažalost, u savremenom kursu školske matematike takve tehnologije se gotovo i ne proučavaju. I morate znati! A danas ćemo razmotriti jednu od ovih tehnika - Vietin teorem. Prvo, uvedemo novu definiciju.

Kvadratna jednadžba oblika x 2 + bx + c = 0 naziva se redukovana. Imajte na umu da je koeficijent na x 2 jednak 1. Nema drugih ograničenja za koeficijente.

x 2 + 7x + 12 = 0 je redukovana kvadratna jednačina;
x 2 − 5x + 6 = 0 se takođe smanjuje;
2x 2 − 6x + 8 = 0 - ali to uopšte nije dato, pošto je koeficijent na x 2 2.

Naravno, svaka kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0 može se reducirati - dovoljno je podijeliti sve koeficijente brojem a . To uvijek možemo učiniti, jer iz definicije kvadratne jednačine slijedi da je a ≠ 0.

Istina, ove transformacije neće uvijek biti korisne za pronalaženje korijena. Malo niže, pobrinut ćemo se da to treba učiniti samo kada su svi koeficijenti u konačnoj kvadratnoj jednačini cijeli brojevi. Za sada, pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera:

Zadatak. Pretvorite kvadratnu jednačinu u redukovanu:

3x2 − 12x + 18 = 0;

−4x2 + 32x + 16 = 0;

1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;

2x2 + 7x − 11 = 0.

Podijelimo svaku jednačinu koeficijentom varijable x 2 . Dobijamo:

3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - podijeliti sve sa 3;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - podijeljeno sa −4;
1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - podijeljeno sa 1,5, svi koeficijenti su postali cijeli brojevi;
2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 = 0 - podijeljeno sa 2. U ovom slučaju nastali su razlomci.

Kao što vidite, date kvadratne jednadžbe mogu imati cjelobrojne koeficijente čak i ako originalna jednačina sadrži razlomke.

Sada formuliramo glavnu teoremu, za koju je, zapravo, uveden koncept reducirane kvadratne jednadžbe:

Vietin teorem. Razmotrimo redukovanu kvadratnu jednadžbu oblika x 2 + bx + c \u003d 0. Pretpostavimo da ova jednadžba ima realne korijene x 1 i x 2. U ovom slučaju tačne su sljedeće tvrdnje:

x1 + x2 = −b. Drugim riječima, zbir korijena date kvadratne jednačine jednak je koeficijentu varijable x, uzetoj sa suprotnim predznakom;

x 1 x 2 = c. Proizvod korijena kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom koeficijentu.

Primjeri. Radi jednostavnosti, razmotrit ćemo samo date kvadratne jednadžbe koje ne zahtijevaju dodatne transformacije:

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; korijeni: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; korijeni: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; korijeni: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Vietin teorem nam daje dodatne informacije o korijenima kvadratne jednadžbe. Na prvi pogled ovo može izgledati komplicirano, ali čak i uz minimalnu obuku naučit ćete "vidjeti" korijene i doslovno ih pogoditi za nekoliko sekundi.

Zadatak. Riješite kvadratnu jednačinu:

x2 − 9x + 14 = 0;

x 2 - 12x + 27 = 0;

3x2 + 33x + 30 = 0;

−7x2 + 77x − 210 = 0.

Pokušajmo zapisati koeficijente prema Vietinoj teoremi i "pogoditi" korijene:

x 2 − 9x + 14 = 0 je redukovana kvadratna jednačina.
Prema Vietinoj teoremi, imamo: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Lako je vidjeti da su korijeni brojevi 2 i 7;
x 2 − 12x + 27 = 0 je također smanjen.
Po Vietinoj teoremi: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Otuda su korijeni: 3 i 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 - Ova jednačina nije redukovana. Ali to ćemo sada popraviti dijeljenjem obje strane jednadžbe s koeficijentom a = 3. Dobijamo: x 2 + 11x + 10 = 0.
Rješavamo prema Vietinoj teoremi: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ korijena: −10 i −1;
−7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - opet koeficijent pri x 2 nije jednak 1, tj. jednačina nije data. Sve dijelimo brojem a = −7. Dobijamo: x 2 - 11x + 30 = 0.
Prema Vietinoj teoremi: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; iz ovih jednačina lako je pogoditi korijene: 5 i 6.

Iz gornjeg rezoniranja, može se vidjeti kako Vietin teorem pojednostavljuje rješenje kvadratnih jednačina. Bez komplikovanih proračuna, bez aritmetičkih korijena i razlomaka. Pa čak ni diskriminant (vidi lekciju "Rješavanje kvadratnih jednačina") nam nije trebao.

Naravno, u svim svojim promišljanjima polazili smo od dvije važne pretpostavke, koje se, generalno govoreći, ne ispunjavaju uvijek u stvarnim problemima:

Kvadratna jednačina se reducira, tj. koeficijent kod x 2 je 1;
Jednačina ima dva različita korijena. Sa stanovišta algebre, u ovom slučaju diskriminanta D > 0 - u stvari, u početku pretpostavljamo da je ova nejednakost tačna.

Međutim, u tipičnim matematičkim problemima ovi uslovi su ispunjeni. Ako je rezultat izračunavanja "loša" kvadratna jednadžba (koeficijent na x 2 je drugačiji od 1), to je lako popraviti - pogledajte primjere na samom početku lekcije. O korijenima uglavnom šutim: kakav je to zadatak u kojem nema odgovora? Naravno da će biti korijena.

Dakle, opća shema za rješavanje kvadratnih jednadžbi prema Vietinoj teoremi je sljedeća:

Kvadratnu jednačinu svesti na datu, ako to već nije učinjeno u uslovu zadatka;
Ako se koeficijenti u gornjoj kvadratnoj jednadžbi ispostavi da su razlomci, rješavamo preko diskriminanta. Možete se čak vratiti na originalnu jednačinu da biste radili sa "prikladnijim" brojevima;
U slučaju cjelobrojnih koeficijenata, rješavamo jednačinu koristeći Vieta teorem;
Ako u roku od nekoliko sekundi nije bilo moguće pogoditi korijene, bodujemo po Vietinoj teoremi i rješavamo preko diskriminanta.

Zadatak. Riješite jednačinu: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Dakle, imamo jednačinu koja nije redukovana, jer koeficijent a = 5. Podijelite sve sa 5, dobijamo: x 2 - 7x + 10 = 0.

Svi koeficijenti kvadratne jednadžbe su cijeli brojevi - pokušajmo to riješiti korištenjem Vietine teoreme. Imamo: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. U ovom slučaju, korijene je lako pogoditi - to su 2 i 5. Ne morate brojati kroz diskriminant.

Zadatak. Riješite jednačinu: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Gledamo: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - ova jednačina nije redukovana, obje strane dijelimo koeficijentom a = −5. Dobijamo: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - jednadžbu s razlomnim koeficijentima.

Bolje je vratiti se na prvobitnu jednačinu i brojati kroz diskriminant: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.

Zadatak. Riješite jednačinu: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Za početak, podijelimo sve s koeficijentom a = 2. Dobivamo jednadžbu x 2 + 5x - 300 = 0.

Ovo je redukovana jednačina, prema Vietinoj teoremi imamo: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = -300. Teško je pogoditi korijene kvadratne jednačine u ovom slučaju - lično sam se ozbiljno "smrznuo" kada sam riješio ovaj problem.

Morat ćemo tražiti korijene kroz diskriminantu: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Ako se ne sjećate korijena diskriminanta, samo ću napomenuti da je 1225: 25 = 49. Dakle, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Sada kada je poznat korijen diskriminanta, rješavanje jednadžbe nije teško. Dobijamo: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Kada proučavate načine rješavanja jednačina drugog reda u školskom kursu algebre, razmotrite svojstva dobivenih korijena. One su sada poznate kao Vietine teoreme. Primjeri njegove upotrebe dati su u ovom članku.

Kvadratna jednadžba

Jednačina drugog reda je jednakost, koja je prikazana na slici ispod.

Ovdje su simboli a, b, c neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti jednačine koja se razmatra. Da biste riješili jednakost, morate pronaći x vrijednosti koje je čine istinitom.

Imajte na umu da, budući da je maksimalna vrijednost stepena na koji je x podignuta dva, tada je broj korijena u općem slučaju također dva.

Postoji nekoliko načina za rješavanje ove vrste jednakosti. U ovom članku ćemo razmotriti jedan od njih, koji uključuje korištenje takozvane Vietine teoreme.

Izjava Vietine teoreme

Krajem 16. vijeka, poznati matematičar Francois Viet (Francuz) primijetio je, analizirajući svojstva korijena različitih kvadratnih jednačina, da određene njihove kombinacije zadovoljavaju specifične odnose. Konkretno, ove kombinacije su njihov proizvod i zbir.

Vietin teorem utvrđuje sljedeće: korijeni kvadratne jednadžbe, kada se zbroje, daju omjer linearnih i kvadratnih koeficijenata uzetih sa suprotnim predznakom, a kada se pomnože, dovode do omjera slobodnog člana i kvadratnog koeficijenta .

Ako je opći oblik jednadžbe napisan kao što je prikazano na fotografiji u prethodnom dijelu članka, onda se matematički ova teorema može napisati kao dvije jednakosti:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Gdje je r 1 , r 2 vrijednost korijena razmatrane jednačine.

Ove dvije jednakosti mogu se koristiti za rješavanje niza vrlo različitih matematičkih problema. Upotreba Vietine teoreme u primjerima s rješenjem data je u sljedećim odjeljcima članka.

Između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe, osim korijenskih formula, postoje i druge korisne veze koje su date Vietin teorem. U ovom članku ćemo dati formulaciju i dokaz Vietinog teorema za kvadratnu jednadžbu. Zatim ćemo razmotriti teoremu suprotnu Vietinoj teoremi. Nakon toga ćemo analizirati rješenja najkarakterističnijih primjera. Konačno, zapisujemo Vietine formule koje definiraju vezu između pravih korijena algebarska jednačina stepen n i njegovi koeficijenti.

Navigacija po stranici.

Vietin teorem, formulacija, dokaz

Iz formula korijena kvadratne jednadžbe a x 2 +b x+c=0 oblika , gdje je D=b 2 −4 a c , relacije x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Ovi rezultati su potvrđeni Vietin teorem:

Teorema.

Ako a x 1 i x 2 su korijeni kvadratne jednadžbe a x 2 +b x+c=0, tada je zbroj korijena jednak omjeru koeficijenata b i a, uzetih sa suprotnim predznakom, i umnošku korijeni su jednaki omjeru koeficijenata c i a, odnosno, .

Dokaz.

Vietinu teoremu ćemo dokazati prema sljedećoj shemi: sastavit ćemo zbir i proizvod korijena kvadratne jednadžbe koristeći poznate korijenske formule, zatim ćemo transformirati rezultirajuće izraze i osigurati da su jednaki −b /a i c/a, respektivno.

Počnimo sa zbirom korijena, sastavimo ga. Sada dovodimo razlomke do zajedničkog imenioca, imamo. U brojniku rezultirajućeg razlomka , nakon čega : . Konačno, nakon 2 , dobijamo . Ovo dokazuje prvu relaciju Vietine teoreme za zbir korijena kvadratne jednadžbe. Pređimo na drugu.

Sastavljamo proizvod korijena kvadratne jednadžbe:. Prema pravilu množenja razlomaka, posljednji proizvod se može napisati kao. Sada množimo zagradu sa zagradom u brojiocu, ali brže je ovaj proizvod skupiti za formule razlike kvadrata, Dakle . Zatim, prisjećajući se, izvodimo sljedeći prijelaz. A budući da formula D=b 2 −4 a·c odgovara diskriminantu kvadratne jednačine, tada se b 2 −4·a·c može zamijeniti zadnjim razlomkom umjesto D, dobijamo . Nakon otvaranja zagrada i smanjenja sličnih članova, dolazimo do razlomka , a njegovo smanjenje za 4·a daje . Ovo dokazuje drugu relaciju Vietine teoreme za proizvod korijena.

Ako izostavimo objašnjenja, onda će dokaz Vietine teoreme poprimiti sažet oblik:
,
.

Ostaje samo primijetiti da kada je diskriminanta jednaka nuli, kvadratna jednadžba ima jedan korijen. Međutim, ako pretpostavimo da jednačina u ovom slučaju ima dva identična korijena, onda vrijede i jednakosti iz Vietine teoreme. Zaista, za D=0 korijen kvadratne jednadžbe je , tada i , a budući da je D=0 , odnosno b 2 −4·a·c=0 , odakle je b 2 =4·a·c , onda .

U praksi se Vietina teorema najčešće koristi u odnosu na redukovanu kvadratnu jednačinu (sa najvećim koeficijentom a jednakim 1) oblika x 2 +p·x+q=0. Ponekad se formuliše za kvadratne jednadžbe upravo ovog tipa, što ne ograničava općenitost, budući da se svaka kvadratna jednačina može zamijeniti ekvivalentnom jednačinom dijeljenjem oba njena dijela brojem a koji nije nula. Evo odgovarajuće formulacije Vietine teoreme:

Teorema.

Zbir korijena reducirane kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q \u003d 0 jednak je koeficijentu na x, uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena je slobodan član, odnosno x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q .

Teorema inverzna Vietinoj teoremi

Druga formulacija Vietine teoreme, data u prethodnom pasusu, pokazuje da ako su x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0, tada su relacije x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. S druge strane, iz zapisanih relacija x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, slijedi da su x 1 i x 2 korijeni kvadratne jednačine x 2 +p x+q=0. Drugim riječima, tvrdnja suprotna Vietinoj teoremi je tačna. Formuliramo ga u obliku teoreme i dokazujemo.

Teorema.

Ako su brojevi x 1 i x 2 takvi da je x 1 +x 2 =−p i x 1 x 2 =q, tada su x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0 .

Dokaz.

Nakon zamjene koeficijenata p i q u jednačini x 2 +p x+q=0 njihovog izraza kroz x 1 i x 2, pretvara se u ekvivalentnu jednačinu.

Zamjenjujemo broj x 1 umjesto x u rezultirajuću jednačinu, imamo jednakost x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, što je za bilo koje x 1 i x 2 ispravna numerička jednakost 0=0, budući da x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Dakle, x 1 je korijen jednadžbe x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, što znači da je x 1 korijen ekvivalentne jednačine x 2 +p x+q=0 .

Ako je u jednadžbi x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 zamijenimo broj x 2 umjesto x, onda ćemo dobiti jednakost x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Ovo je tačna jednačina jer x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Dakle, x 2 je također korijen jednačine x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, a otuda i jednačine x 2 +p x+q=0 .

Ovim je završen dokaz teoreme suprotne Vietinoj teoremi.

Primjeri korištenja Vietine teoreme

Vrijeme je da razgovaramo o praktičnoj primjeni Vietine teoreme i njene inverzne teoreme. U ovom pododjeljku analizirat ćemo rješenja nekoliko najtipičnijih primjera.

Počinjemo primjenom teoreme suprotne Vietinoj teoremi. Zgodno ga je koristiti za provjeru da li su data dva broja korijeni date kvadratne jednadžbe. U tom slučaju se računa njihov zbir i razlika, nakon čega se provjerava valjanost relacija. Ako su oba ova odnosa zadovoljena, onda se, na osnovu teoreme suprotne Vietinoj teoremi, zaključuje da su ovi brojevi korijeni jednadžbe. Ako barem jedna od relacija nije zadovoljena, onda ovi brojevi nisu korijeni kvadratne jednadžbe. Ovaj pristup se može koristiti pri rješavanju kvadratnih jednadžbi za provjeru pronađenih korijena.

Primjer.

Koji je od parova brojeva 1) x 1 =−5, x 2 =3 ili 2) ili 3) par korijena kvadratne jednačine 4 x 2 −16 x+9=0?

Rješenje.

Koeficijenti date kvadratne jednačine 4 x 2 −16 x+9=0 su a=4 , b=−16 , c=9 . Prema Vietinoj teoremi, zbir korijena kvadratne jednadžbe mora biti jednak −b/a, odnosno 16/4=4, a proizvod korijena mora biti jednak c/a, odnosno 9 /4.

Sada izračunajmo zbir i proizvod brojeva u svakom od tri data para i uporedimo ih sa upravo dobijenim vrijednostima.

U prvom slučaju imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Rezultirajuća vrijednost je drugačija od 4, stoga se daljnja provjera ne može provesti, ali prema teoremi, inverznoj Vietinoj teoremi, možemo odmah zaključiti da prvi par brojeva nije par korijena date kvadratne jednadžbe .

Pređimo na drugi slučaj. Ovdje, odnosno, prvi uslov je zadovoljen. Provjeravamo drugi uvjet: , rezultirajuća vrijednost je drugačija od 9/4 . Dakle, drugi par brojeva nije par korijena kvadratne jednadžbe.

Ostaje posljednji slučaj. Ovdje i . Oba uslova su ispunjena, pa su ovi brojevi x 1 i x 2 koreni date kvadratne jednačine.

odgovor:

Teorema, suprotna Vietinoj teoremi, može se koristiti u praksi za odabir korijena kvadratne jednadžbe. Obično se biraju cjelobrojni korijeni date kvadratne jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima, jer je u drugim slučajevima to prilično teško učiniti. Istovremeno, koriste činjenicu da ako je zbir dva broja jednak drugom koeficijentu kvadratne jednadžbe, uzetoj sa predznakom minus, a proizvod ovih brojeva jednak slobodnom članu, onda su ovi brojevi korijene ove kvadratne jednadžbe. Hajde da se pozabavimo ovim primerom.

Uzmimo kvadratnu jednačinu x 2 −5 x+6=0 . Da bi brojevi x 1 i x 2 bili korijeni ove jednadžbe, moraju biti zadovoljene dvije jednakosti x 1 +x 2 = 5 i x 1 x 2 = 6. Ostaje odabrati takve brojeve. U ovom slučaju, to je prilično jednostavno učiniti: 2 i 3 su takvi brojevi, jer 2+3=5 i 2 3=6 . Dakle, 2 i 3 su korijeni ove kvadratne jednadžbe.

Teorema suprotna Vietinoj teoremi je posebno pogodna za pronalaženje drugog korijena redukovane kvadratne jednadžbe kada je jedan od korijena već poznat ili očigledan. U ovom slučaju, drugi korijen se nalazi iz bilo koje relacije.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu 512 x 2 −509 x−3=0. Ovdje je lako vidjeti da je jedinica korijen jednačine, pošto je zbir koeficijenata ove kvadratne jednačine nula. Dakle, x 1 =1. Drugi korijen x 2 može se naći, na primjer, iz relacije x 1 x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512 , odakle je x 2 =−3/512 . Dakle, definirali smo oba korijena kvadratne jednadžbe: 1 i −3/512.

Jasno je da je odabir korijena svrsishodan samo u najjednostavnijim slučajevima. U drugim slučajevima, da biste pronašli korijene, možete primijeniti formule korijena kvadratne jednadžbe preko diskriminanta.

Druga praktična primjena teoreme, inverzna Vietinoj teoremi, je kompilacija kvadratnih jednadžbi za date korijene x 1 i x 2. Da biste to učinili, dovoljno je izračunati zbir korijena koji daje koeficijent x sa suprotnim predznakom date kvadratne jednadžbe i proizvod korijena koji daje slobodni član.

Primjer.

Napišite kvadratnu jednačinu čiji su korijeni brojevi −11 i 23.

Rješenje.

Označimo x 1 =−11 i x 2 =23 . Izračunavamo zbir i proizvod ovih brojeva: x 1 + x 2 = 12 i x 1 x 2 = −253. Dakle, ovi brojevi su korijeni date kvadratne jednadžbe sa drugim koeficijentom -12 i slobodnim članom -253. To jest, x 2 −12·x−253=0 je željena jednačina.

odgovor:

x 2 −12 x−253=0 .

Vietin teorem se vrlo često koristi u rješavanju zadataka vezanih za predznake korijena kvadratnih jednadžbi. Kako je Vietin teorem povezan sa predznacima korijena redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0 ? Evo dvije relevantne izjave:

Ako je presek q pozitivan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, onda su oba pozitivna ili su oba negativna.
Ako je slobodni član q negativan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, onda su njihovi predznaci različiti, drugim riječima, jedan korijen je pozitivan, a drugi negativan.

Ovi iskazi proizlaze iz formule x 1 x 2 =q, kao i pravila za množenje pozitivnih, negativnih brojeva i brojeva sa različitim predznacima. Razmotrite primjere njihove primjene.

Primjer.

R je pozitivan. Prema diskriminantnoj formuli nalazimo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , vrijednost izraza r 2 +8 je pozitivno za bilo koje realno r, dakle D>0 za bilo koje realno r. Prema tome, originalna kvadratna jednadžba ima dva korijena za bilo koju realnu vrijednost parametra r.

Sada ćemo saznati kada korijeni imaju različite znakove. Ako su predznaci korijena različiti, onda je njihov proizvod negativan, a prema Vietinoj teoremi, proizvod korijena date kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom članu. Stoga nas zanimaju one vrijednosti r za koje je slobodni član r−1 negativan. Dakle, da bismo pronašli vrijednosti r koje nas zanimaju, moramo riješiti linearnu nejednačinu r−1<0 , откуда находим r<1 .

odgovor:

na r<1 .

Vieta formule

Iznad smo govorili o Vietinoj teoremi za kvadratnu jednačinu i analizirali odnose koje ona tvrdi. Ali postoje formule koje povezuju prave korijene i koeficijente ne samo kvadratnih jednadžbi, već i kubnih jednadžbi, četverostrukih jednadžbi i općenito, algebarske jednačine stepen n. Oni se nazivaju Vieta formule.

Pišemo Vietine formule za algebarsku jednadžbu stepena n oblika, dok pretpostavljamo da ona ima n realnih korijena x 1, x 2, ..., x n (među njima može biti i isti):

Nabavite Vieta formule dozvoljava teorema polinomske faktorizacije, kao i definicija jednakih polinoma kroz jednakost svih njihovih odgovarajućih koeficijenata. Dakle, polinom i njegova ekspanzija u linearne faktore oblika su jednaki. Otvarajući zagrade u posljednjem proizvodu i izjednačavajući odgovarajuće koeficijente, dobijamo Vietine formule.

Konkretno, za n=2 već imamo poznate Vietine formule za kvadratnu jednačinu.

Za kubnu jednačinu, Vieta formule imaju oblik

Ostaje samo napomenuti da se na lijevoj strani Vietinih formula nalaze tzv. elementarne simetričnih polinoma.

Bibliografija.

algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije: osnovne i profilne. nivoa / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 2010.- 368 str. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Formulacija i dokaz Vietine teoreme za kvadratne jednadžbe. Inverzna Vieta teorema. Vietin teorem za kubične jednačine i jednačine proizvoljnog reda.

Sadržaj

Vidi također: Korijeni kvadratne jednadžbe

Kvadratne jednadžbe

Vietin teorem

Neka i označimo korijene redukovane kvadratne jednadžbe
(1) .
Tada je zbir korijena jednak koeficijentu na uzetom sa suprotnim predznakom. Umnožak korijena jednak je slobodnom članu:
;
.

Napomena o više korijena

Ako je diskriminanta jednačine (1) nula, onda ova jednačina ima jedan korijen. Ali, kako bi se izbjegle glomazne formulacije, općenito je prihvaćeno da u ovom slučaju jednačina (1) ima dva višestruka ili jednaka korijena:
.

Dokaz jedan

Nađimo korijene jednačine (1). Da biste to učinili, primijenite formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
;
;
.

Pronalaženje zbira korijena:
.

Da bismo pronašli proizvod, primjenjujemo formulu:
.
Onda

.

Teorema je dokazana.

Dokaz dva

Ako su brojevi i korijeni kvadratne jednadžbe (1), onda
.
Otvaramo zagrade.

.
Dakle, jednačina (1) će poprimiti oblik:
.
Upoređujući sa (1) nalazimo:
;
.

Teorema je dokazana.

Inverzna Vieta teorema

Neka postoje proizvoljni brojevi. Tada su i korijeni kvadratne jednadžbe
,
gdje
(2) ;
(3) .

Dokaz Vietine obrnute teoreme

Razmotrimo kvadratnu jednačinu
(1) .
Moramo dokazati da ako i , tada su i korijeni jednadžbe (1).

Zamijenite (2) i (3) u (1):
.
Grupiramo članove lijeve strane jednačine:
;
;
(4) .

Zamjena u (4) :
;
.

Zamjena u (4) :
;
.
Jednačina je ispunjena. To jest, broj je korijen jednačine (1).

Teorema je dokazana.

Vietin teorem za kompletnu kvadratnu jednačinu

Sada razmotrite kompletnu kvadratnu jednačinu
(5) ,
gdje , i su neki brojevi. i .

Jednačinu (5) dijelimo sa:
.
To jest, dobili smo gornju jednačinu
,
gdje ; .

Tada Vieta teorema za kompletnu kvadratnu jednačinu ima sljedeći oblik.

Neka i označimo korijene potpune kvadratne jednadžbe
.
Tada se zbir i proizvod korijena određuju formulama:
;
.

Vietin teorem za kubičnu jednačinu

Slično, možemo uspostaviti veze između korijena kubične jednadžbe. Razmotrimo kubnu jednačinu
(6) ,
gdje su , , , neki brojevi. i .
Podijelimo ovu jednačinu sa:
(7) ,
gdje , , .
Neka su , , korijeni jednadžbe (7) (i jednačine (6)). Onda

.

Upoređujući sa jednačinom (7) nalazimo:
;
;
.

Vietin teorem za jednačinu n-og stepena

Na isti način možete pronaći veze između korijena , , ... , , za jednadžbu n-tog stepena
.

Vietin teorem za jednačinu n-tog stepena ima sljedeći oblik:
;
;
;

.

Da bismo dobili ove formule, zapisujemo jednačinu u sljedećem obliku:
.
Zatim izjednačavamo koeficijente na , , , ... , i poredimo slobodni član.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov i dr., Algebra: udžbenik za 8. razred obrazovnih ustanova, Moskva, Prosveta, 2006.

Vidi također:

Jedna od metoda za rješavanje kvadratne jednadžbe je aplikacija VIETA formule, koji je dobio ime po FRANCOIS VIETE.

Bio je poznati advokat, a služio je u 16. veku kod francuskog kralja. U slobodno vrijeme studirao je astronomiju i matematiku. Uspostavio je vezu između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe.

Prednosti formule:

1 . Primjenom formule možete brzo pronaći rješenje. Zato što ne morate unijeti drugi koeficijent u kvadrat, zatim od njega oduzeti 4ac, pronaći diskriminanta, zamijeniti njegovu vrijednost u formulu za pronalaženje korijena.

2 . Bez rješenja možete odrediti znakove korijena, pokupiti vrijednosti korijena.

3 . Nakon što smo riješili sistem od dva zapisa, nije teško pronaći same korijene. U gornjoj kvadratnoj jednadžbi, zbir korijena je jednak vrijednosti drugog koeficijenta sa predznakom minus. Proizvod korijena u gornjoj kvadratnoj jednadžbi jednak je vrijednosti trećeg koeficijenta.

4 . Prema datim korijenima napišite kvadratnu jednačinu, odnosno riješite inverzni zadatak. Na primjer, ova metoda se koristi u rješavanju problema u teorijskoj mehanici.

5 . Pogodno je primijeniti formulu kada je vodeći koeficijent jednak jedan.

Nedostaci:

1 . Formula nije univerzalna.