Gumene narukvice

Šta znači proporcija 1 prema 2. Omjer i proporcija. Osnovna svojstva proporcije

Formula proporcija

Proporcija je jednakost dva omjera kada je a:b=c:d

odnos 1 : 10 je jednako omjeru 7 : 70, koji se takođe može napisati kao razlomak: 1 10 = 7 70 glasi: "jedan je do deset kao što je sedam do sedamdeset"

Osnovna svojstva proporcije

Proizvod ekstremnih članova jednak je proizvodu srednjih članova (unakrsno): ako je a:b=c:d , tada je a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Inverzija proporcija: ako je a:b=c:d, onda b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Permutacija srednjih članova: ako je a:b=c:d, onda a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Permutacija ekstremnih članova: ako je a:b=c:d, onda je d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Rješavanje proporcije sa jednom nepoznatom | Jednačina

1 : 10 = x : 70 ili 1 10 = x 70

Da biste pronašli x, trebate pomnožiti dva poznata broja unakrsno i podijeliti sa suprotnom vrijednošću

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Kako izračunati proporciju

zadatak: potrebno je popiti 1 tabletu aktivnog uglja na 10 kilograma težine. Koliko tableta treba uzeti ako osoba ima 70 kg?

Napravimo proporciju: 1 tableta - 10 kg x tablete - 70 kg Da biste pronašli x, trebate pomnožiti dva poznata broja unakrsno i podijeliti sa suprotnom vrijednošću: 1 tableta x tablete✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 odgovor: 7 tableta

zadatak: Vasya napiše dva članka za pet sati. Koliko će članaka napisati za 20 sati?

Napravimo proporciju: 2 članka - 5 sati xčlanci - 20 sati x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 odgovor: 8 članaka

Budućim maturantima mogu reći da mi je sposobnost pravljenja proporcija bila korisna kako za proporcionalno smanjivanje slika, tako i u HTML izgledu web stranice, i u svakodnevnim situacijama.

Omjer (u matematici) je odnos između dva ili više brojeva iste vrste. Omjeri uspoređuju apsolutne vrijednosti ili dijelove cjeline. Omjeri se izračunavaju i pišu na različite načine, ali su osnovni principi isti za sve omjere.

Koraci

Dio 1

Definicija omjera

Koristeći omjere. Omjeri se koriste kako u nauci tako iu svakodnevnom životu za poređenje količina. Najjednostavniji omjeri odnose se na samo dva broja, ali postoje omjeri koji uspoređuju tri ili više vrijednosti. U svakoj situaciji u kojoj je prisutno više od jedne količine, omjer se može napisati. Povezivanjem nekih vrijednosti, omjeri mogu, na primjer, sugerirati kako povećati količinu sastojaka u receptu ili tvari u kemijskoj reakciji.

Definicija omjera. Relacija je odnos između dvije (ili više) vrijednosti iste vrste. Na primjer, ako je za kolač potrebno 2 šolje brašna i 1 šolja šećera, onda je omjer brašna i šećera 2 prema 1.
- Omjeri se također mogu koristiti kada dvije količine nisu povezane jedna s drugom (kao u primjeru kolača). Na primjer, ako u razredu ima 5 djevojčica i 10 dječaka, onda je odnos djevojčica i dječaka 5 prema 10. Ove količine (broj dječaka i broj djevojčica) ne zavise jedna od druge, tj. njihove vrijednosti će se promijeniti ako neko napusti razred ili novi učenik dođe u razred. Omjeri jednostavno uspoređuju vrijednosti količina.
Obratite pažnju na različite načine na koje su omjeri predstavljeni. Odnosi se mogu prikazati riječima ili matematičkim simbolima.
- Vrlo često se omjeri izražavaju riječima (kao što je prikazano gore). Posebno se ovaj oblik predstavljanja omjera koristi u svakodnevnom životu, daleko od nauke.
- Takođe, omjeri se mogu izraziti kroz dvotočku. Kada upoređujete dva broja u omjeru, koristit ćete jednu dvotočku (na primjer, 7:13); kada upoređujete tri ili više vrijednosti, stavite dvotočku između svakog para brojeva (na primjer, 10:2:23). U našem primjeru razreda, omjer djevojčica i dječaka možete izraziti ovako: 5 djevojčica: 10 dječaka. Ili ovako: 5:10.
- Manje uobičajeno, omjeri se izražavaju kosom crtom. U primjeru klase, moglo bi se napisati ovako: 5/10. Ipak, ovo nije razlomak i takav omjer se ne čita kao razlomak; štaviše, zapamtite da u omjeru brojevi nisu dio jedne cjeline.
Dio 2
Korištenje omjera
1. Pojednostavite omjer. Omjer se može pojednostaviti (slično razlomcima) dijeljenjem svakog člana (broja) omjera sa . Međutim, ne gubite iz vida originalne vrijednosti omjera.
  - U našem primjeru u razredu ima 5 djevojčica i 10 dječaka; odnos je 5:10. Najveći zajednički djelitelj članova omjera je 5 (pošto su i 5 i 10 djeljivi sa 5). Podijelite svaki omjer sa 5 da dobijete omjer od 1 djevojčice prema 2 dječaka (ili 1:2). Međutim, kada pojednostavljujete omjer, imajte na umu originalne vrijednosti. U našem primjeru u razredu nisu 3 učenika, već 15. Pojednostavljeni omjer upoređuje broj dječaka i broj djevojčica. Odnosno, na svaku djevojčicu dolaze 2 dječaka, ali u razredu ne postoje 2 dječaka i 1 djevojčica.
  - Neki odnosi nisu pojednostavljeni. Na primjer, omjer 3:56 nije pojednostavljen jer ovi brojevi nemaju zajedničke djelitelje (3 je prost broj, a 56 nije djeljivo sa 3).
2. Koristite množenje ili dijeljenje da povećate ili smanjite omjer. Uobičajeni problem je povećanje ili smanjenje dvije vrijednosti koje su proporcionalne jedna drugoj. Ako vam je dat omjer i trebate pronaći veći ili manji omjer koji mu odgovara, pomnožite ili podijelite originalni omjer nekim datim brojem.
  - Na primjer, pekar treba utrostručiti količinu sastojaka datu u receptu. Ako u receptu piše da je omjer brašna i šećera 2:1 (2:1), pekar će svaki član pomnožiti sa 3 kako bi dobio omjer 6:3 (6 šoljica brašna na 3 šolje šećera).
  - S druge strane, ako pekar treba da prepolovi količinu sastojaka datu u receptu, tada će pekar svaki omjer podijeliti sa 2 i dobiti omjer 1:½ (1 šolja brašna na 1/2 šolje šećera).
3. Tražite nepoznatu vrijednost kada su data dva ekvivalentna omjera. Ovo je problem u kojem morate pronaći nepoznatu varijablu u jednoj relaciji koristeći drugu relaciju koja je ekvivalentna prvoj. Za rješavanje takvih problema koristite . Zapišite svaki omjer kao razlomak, stavite znak jednakosti između njih i pomnožite njihove članove unakrsno.
  - Na primjer, data je grupa učenika, u kojoj su 2 dječaka i 5 djevojčica. Koliki će biti broj dječaka ako se broj djevojčica poveća na 20 (proporcija je sačuvana)? Prvo zapišite dva omjera - 2 dječaka:5 djevojčica i X dječaci: 20 djevojčica. Sada zapišite ove omjere kao razlomke: 2/5 i x/20. Pomnožite članove razlomaka unakrsno i dobijete 5x = 40; dakle x = 40/5 = 8.
dio 3
Uobičajene greške
1. Izbjegavajte sabiranje i oduzimanje u problemima s omjerom teksta. Mnogi problemi sa rečima izgledaju otprilike ovako: „Recept zahteva 4 gomolja krompira i 5 korena šargarepe. Ako želite dodati 8 krompira, koliko šargarepe vam je potrebno da omjer ostane isti?” Prilikom rješavanja takvih zadataka učenici često griješe dodajući istu količinu sastojaka originalnom broju. Međutim, da biste zadržali omjer, morate koristiti množenje. Evo primjera ispravnih i pogrešnih odluka:
  - Netačno: „8 - 4 = 4 - pa smo dodali 4 gomolja krompira. Dakle, trebate uzeti 5 korijena šargarepe i dodati im još 4 ... Stanite! Omjeri ne funkcionišu na taj način. Vrijedi pokušati ponovo."
  - Ispravno: "8 ÷ 4 = 2 - tako da smo pomnožili broj krompira sa 2. U skladu s tim, 5 korena šargarepe takođe treba pomnožiti sa 2. 5 x 2 = 10 - 10 korena šargarepe treba dodati u recept."

osnovu matematičko istraživanje je sposobnost da se stekne znanje o određenim veličinama upoređujući ih s drugim veličinama koje su ili jednaka, ili više ili manje nego one koje su predmet proučavanja. To se obično radi sa serijom jednačine i proporcije. Kada koristimo jednadžbe, odredimo količinu koju tražimo tako što je pronađemo jednakost sa nekom drugom već poznatom količinom ili količinama.

Međutim, često se dešava da upoređujemo nepoznatu količinu sa drugim nije jednako nju, ali manje-više nju. Ovdje nam je potreban drugačiji pristup obradi podataka. Možda ćemo morati znati, npr. koliko jedna vrijednost je veća od druge, ili koliko puta jedno sadrži drugo. Da bismo pronašli odgovore na ova pitanja, saznaćemo šta je odnos dvije veličine. Jedan omjer se zove aritmetika, i drugo geometrijski. Iako je vrijedno napomenuti da oba ova pojma nisu usvojena slučajno ili samo radi razlikovanja. I aritmetički i geometrijski odnosi se primjenjuju i na aritmetiku i na geometriju.

Budući da je sastavni dio velikog i važnog predmeta, proporcija ovisi o omjerima, tako da je neophodno jasno i potpuno razumijevanje ovih pojmova.

338. Aritmetički odnos ovo je razlikaizmeđu dvije količine ili niza količina. Same količine se nazivaju članovi omjeri, odnosno pojmovi između kojih postoji odnos. Dakle, 2 je aritmetički omjer 5 i 3. To se izražava stavljanjem znaka minus između dvije vrijednosti, tj. 5 - 3. Naravno, termin aritmetički omjer i njegova stavka je praktično beskorisna, jer se samo riječ zamjenjuje razlika na znak minus u izrazu.

339. Ako su oba člana aritmetičke relacije umnožiti ili podijeliti za isti iznos, onda omjer,će se na kraju pomnožiti ili podijeliti s tim iznosom.
Dakle, ako imamo a - b = r
Zatim pomnožite obje strane sa h , (Ax. 3.) ha - hb = hr
I dijeljenjem sa h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Ako se članovi aritmetičkog omjera dodaju ili oduzmu od odgovarajućih članova drugog, tada će omjer zbira ili razlike biti jednak zbiru ili razlici dva omjera.
Ako je a - b
I d-h
su dva omjera,
Tada (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Što je u svakom slučaju = a + d - b - h.
I (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Što je u svakom slučaju = a - d - b + h.
Dakle, aritmetički omjer 11 - 4 je 7
A aritmetički omjer 5 - 2 je 3
Omjer zbira članova 16 - 6 je 10, - zbir omjera.
Omjer razlike članova 6 - 2 je 4, - razlika omjera.

341. geometrijski odnos je odnos između količina, koji se izražava PRIVATNO ako se jedna vrijednost podijeli s drugom.
Dakle, omjer 8 prema 4 može se napisati kao 8/4 ili 2. To jest, količnik od 8 podijeljen sa 4. Drugim riječima, pokazuje koliko je puta 4 sadržano u 8.

Na isti način, omjer bilo koje količine prema drugoj može se odrediti dijeljenjem prve sa drugom, ili, što je u osnovi ista stvar, tako što prvi bude brojnik razlomka, a drugi nazivnik.
Dakle, omjer a prema b je $\frac(a)(b)$
Omjer d + h prema b + c je $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Geometrijski omjer se takođe piše tako što se između upoređenih vrijednosti postavljaju dvije tačke jedna iznad druge.
Dakle, a:b je omjer a prema b, a 12:4 je omjer 12 prema 4. Dvije veličine zajedno čine par, u kojem se zove prvi pojam antecedent, a posljednji je posljedično.

343. Ova tačkasta oznaka i druga, u obliku razlomka, zamjenjivi su po potrebi, pri čemu antecedent postaje brojilac razlomka, a konsekvent imenilac.
Dakle, 10:5 je isto što i $\frac(10)(5)$ i b:d je isto što i $\frac(b)(d)$.

344. Ako se bilo kojem od ova tri značenja: antecedent, konsekvent i odnos daju bilo koje dva, onda se može naći i treći.

Neka je a= antecedent, c= konsekvent, r= relacija.
Po definiciji, $r=\frac(a)(c)$, to jest, omjer je jednak antecedentu podijeljenom sa konsekventom.
Množenjem sa c, a = cr, to jest, antecedent je jednak omjeru koji je umnožen.
Podijelite sa r, $c=\frac(a)(r)$, to jest, konsekvent je jednak prethodniku podijeljenom omjerom.

Resp. 1. Ako dva para imaju jednake prethodnike i posljedice, onda su i njihovi omjeri jednaki.

Resp. 2. Ako su omjeri i prethodnici dva para jednaki, onda su posljedice jednake, a ako su omjeri i posljedice jednaki, onda su antecedenti jednaki.

345. Ako se uporede dvije veličine jednaka, tada je njihov omjer jednak jedinstvu ili jednakosti. Omjer 3 * 6:18 jednak je jedan, jer je količnik bilo koje vrijednosti podijeljene sa sobom jednak 1.

Ako je prethodnik para više, od konsekventnog, tada je omjer veći od jedan. Pošto je dividenda veća od djelitelja, količnik je veći od jedan. Dakle, omjer 18:6 je 3. To se zove omjer veća nejednakost.

S druge strane, ako je prethodnik manje od posljedice, tada je omjer manji od jedan, i to se zove omjer manje nejednakosti. Dakle, omjer 2:3 je manji od jedan, jer je dividenda manja od djelitelja.

346. Obrnuto omjer je omjer dvije recipročne vrijednosti.
Dakle, omjer inverznog od 6 prema 3 je do, to jest:.
Direktna relacija a i b je $\frac(a)(b)$, to jest, antecedent podijeljen s posljedicom.
Inverzna relacija je $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ ili $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a)$.
to jest, kosekvencija b podijeljena antecedentom a.

Stoga je izražena inverzna relacija invertovanjem razlomka, koji prikazuje direktnu vezu, ili, kada se notacija vrši pomoću tačaka, obrnuti redosled pisanja članova.
Dakle, a je povezano sa b na suprotan način kao što je b povezano sa a.

347. Kompleksni odnos ovaj odnos radi odgovarajući pojmovi sa dva ili više jednostavnih odnosa.
Dakle, odnos je 6:3, jednak je 2
I omjer 12:4 jednako 3
Odnos koji se sastoji od njih je 72:12 = 6.

Ovdje se kompleksna relacija dobija množenjem dva antecedenta i dvije posljedice jednostavnih relacija.
Dakle, omjer je sastavljen
Iz omjera a:b
I c:d omjeri
i odnos h:y
Ovo je relacija $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Složen odnos se ne razlikuje po svom priroda iz bilo kojeg drugog omjera. Ovaj izraz se koristi da pokaže porijeklo veze u određenim slučajevima.

Resp. Kompleksni omjer jednak je proizvodu jednostavnih omjera.
Omjer a:b je jednak $\frac(a)(b)$
Omjer c:d je jednak $\frac(c)(d)$
Omjer h:y je jednak $\frac(h)(y)$
A omjer koji se dodaje od ova tri bit će ach/bdy, što je proizvod razlomaka koji izražavaju jednostavne omjere.

348. Ako je u nizu relacija u svakom prethodnom paru konsekvent prethodnik u sljedećem, tada omjer prvog antecedenta i posljednje posljedice jednak je onom dobivenom iz međuodnosa.
Dakle u brojnim omjerima
a:b
b:c
c:d
d:h
omjer a:h je jednak omjeru zbrojenom iz omjera a:b i b:c i c:d i d:h. Dakle, kompleksna relacija u posljednjem članku je $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$, ili a:h.

Na isti način, sve količine koje su i antecedentne i posljedične nestati, kada će proizvod razlomaka biti pojednostavljen na svoje niže članove, a u ostatku će kompleksna relacija biti izražena prvim antecedentom i posljednjom konsekventom.

349. Posebna klasa složenih relacija dobija se množenjem jednostavne relacije sa sebe ili drugom jednaka odnos. Ovi omjeri se nazivaju duplo, trostruko, četvorostruko, i tako dalje, prema broju množenja.

Odnos sastavljen od dva jednake proporcije, tj. kvadrat duplo odnos.

Sastavljen od tri, to je, kocka jednostavan omjer se naziva trostruko, i tako dalje.

Slično, omjer kvadratni korijeni dvije veličine nazivamo omjerom kvadratni korijen, i omjer kubni korijeni- odnos kockasti koren, i tako dalje.
Dakle, jednostavan omjer a prema b je a:b
Dvostruki omjer a prema b je a 2:b 2
Trostruki omjer a prema b je a 3:b 3
Omjer kvadratnog korijena a prema b je √a :√b
Omjer kubnog korijena a prema b je 3 √a : 3 √b, i tako dalje.
Uslovi duplo, trostruko, i tako dalje ne treba miješati sa udvostručeno, utrostručio, i tako dalje.
Omjer 6 prema 2 je 6:2 = 3
Ako udvostručimo ovaj omjer, odnosno omjer dvaput, dobićemo 12:2 = 6
Utrostručimo ovaj omjer, odnosno ovaj omjer tri puta, dobijemo 18: 2 = 9
ALI duplo odnos, tj kvadrat omjer je 6 2:2 2 = 9
I trostruko omjer, odnosno kocka omjera je 6 3:2 3 = 27

350. Da bi veličine bile u međusobnoj korelaciji, one moraju biti iste vrste, tako da se sa sigurnošću može utvrditi da li su jedna drugoj jednake, ili je jedna od njih veća ili manja. Stopa je za inč kao 12 prema 1: 12 puta je veća od inča. Ali ne može se, na primjer, reći da je sat duži ili kraći od štapa, ili da je ar veći ili manji od stepena. Međutim, ako su ove vrijednosti izražene u brojevi, tada može postojati odnos između ovih brojeva. Odnosno, može postojati odnos između broja minuta u satu i broja koraka u milji.

351. Okrećući se na priroda omjera, sljedeći korak koji trebamo uzeti u obzir je kako će promjena u jednom ili dva termina koji se međusobno upoređuju uticati na sam omjer. Podsjetimo da se direktni omjer izražava kao razlomak, gdje antecedet parovi su uvek brojilac, a konsekventno - imenilac. Tada će iz svojstva razlomaka biti lako dobiti da se promjene u omjeru dešavaju variranjem upoređenih veličina. Omjer dvije veličine je isti kao značenje razlomci, od kojih svaki predstavlja privatni: brojilac podijeljen sa nazivnikom. (Čl. 341.) Sada se pokazalo da je množenje brojioca razlomka bilo kojom vrijednošću isto što i množenje značenje sa istim iznosom i da je dijeljenje brojnika isto kao i dijeljenje vrijednosti razlomka. Zbog toga,

352. Pomnožiti prethodnik para bilo kojom vrijednošću znači pomnožiti omjere sa ovom vrijednošću, a podijeliti antecedent znači podijeliti ovaj omjer.
Dakle, odnos 6:2 je 3
A odnos 24:2 je 12.
Ovdje su antecedent i omjer u posljednjem paru 4 puta veći nego u prvom.
Relacija a:b je jednaka $\frac(a)(b)$
A relacija na:b je jednaka $\frac(na)(b)$.

Resp. Uz poznatu posljedicu, to više antecedent, više odnos, i obrnuto, što je veći omjer, veći je prethodnik.

353. Množenjem konsekventa para bilo kojom vrijednošću, kao rezultat, dobijamo podjelu omjera sa ovom vrijednošću, a dijeljenjem konsekventa množimo omjer. Množenjem nazivnika razlomka dijelimo vrijednost, a dijeljenjem nazivnika vrijednost se množi.
Dakle, odnos 12:2 je 6
A odnos 12:4 je 3.
Evo posljedice drugog para u dvaput više, ali omjer dvaput manje od prvog.
Omjer a:b je $\frac(a)(b)$
A omjer a:nb je jednak $\frac(a)(nb)$.

Resp. Za dati antecedent, što je posljedica veća, to je omjer manji. Suprotno tome, što je veći omjer, to je posljedica manja.

354. Iz posljednja dva člana proizilazi da prethodnik množenja parovi bilo koje vrijednosti će imati isti učinak na omjer kao podjela posljedice za ovaj iznos, i prethodna podjela, imaće isti efekat kao posljedično množenje.
Dakle, odnos 8:4 je 2
Množenjem prethodnika sa 2, odnos 16:4 je 4
Ako se prethodnik podijeli sa 2, omjer 8:2 je 4.

Resp. Bilo koji faktor ili razdjelnik može se prenijeti sa antecedenta para na konsekvent, ili sa konsekventa na antecedent, bez promjene odnosa.

Vrijedi napomenuti da kada se faktor tako prenese iz jednog člana u drugi, onda on postaje djelitelj, a preneseni djelitelj postaje faktor.
Dakle, odnos je 3,6:9 = 2
Pomjeranje faktora 3, $6:\frac(9)(3)=2$
isti odnos.

Relacija $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Pomicanje y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Kretanje m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. Kao što je vidljivo iz čl. 352 i 353, ako se prethodni i konsekventni pomnože ili podijele s istim iznosom, tada se omjer ne mijenja.

Resp. 1. Omjer dva razlomci, koji imaju zajednički imenitelj, isti kao i njihov omjer brojioci.
Dakle, omjer a/n:b/n je isti kao a:b.

Resp. 2. direktno omjer dva razlomka koji imaju zajednički brojnik jednak je njihovom recipročnom omjeru imenioci.

356. Lako je odrediti omjer bilo koja dva razlomka iz članka. Ako se svaki član pomnoži sa dva nazivnika, onda će omjer biti dat integralnim izrazima. Dakle, množenjem termina para a/b:c/d sa bd, dobijamo $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, koji postaje ad:bc, smanjenjem ukupne vrijednosti iz brojnika i nazivnika.

356 b. Ratio veća nejednakost povećava njegov
Neka je veći omjer nejednakosti 1+n:1
I bilo koji omjer a:b
Kompleksni odnos će biti (čl. 347,) a + na:b
Šta je veće od odnosa a:b (čl. 351 odn.)
Ali omjer manje nejednakosti, dodano s drugim omjerom, smanjuje njegov.
Neka je omjer manje razlike 1-n:1
Bilo koji dati omjer a:b
Kompleksni odnos a - na:b
Šta je manje od a:b.

357. Ako do ili od članova bilo kojeg paradodati ili oduzmite dvije druge količine koje su u istom omjeru, tada će zbrojevi ili ostaci imati isti omjer.
Neka je omjer a:b
Biće isto kao c:d
Zatim odnos iznosi antecedent zbroja posledica, naime, a + c do b + d, takođe je isti.
To jest, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Dokaz.

1. Po pretpostavci, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Pomnožite sa b i d, ad = bc
3. Dodajte cd na obje strane, ad + cd = bc + cd
4. Podijelite sa d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Podijelite sa b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Ratio razlika prethodnice razlike posledica su takođe iste.

358. Ako su omjeri u nekoliko parova jednaki, onda zbir svih antecedenta je zbir svih posljedica kao što je bilo koji antecedent svojoj konsekvenci.
Dakle, omjer
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Dakle, omjer (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358b. Ratio veća nejednakostsmanjuje se, dodajući isti iznos za oba člana.
Neka je data relacija a+b:a ili $\frac(a+b)(a)$
Dodavanjem x na oba člana, dobijamo a+b+x:a+x ili $\frac(a+b)(a)$.

Prvi postaje $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
A posljednji je $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Pošto je posljednji brojilac očito manji od drugog, onda odnos trebalo bi da bude manje. (čl. 351 odn.)

Ali omjer manje nejednakosti povećava, dodajući istu vrijednost za oba pojma.
Neka je data relacija (a-b):a, ili $\frac(a-b)(a)$.
Dodavanjem x oba pojma postaje (a-b+x):(a+x) ili $\frac(a-b+x)(a+x)$
Dovodeći ih do zajedničkog nazivnika,
Prvi postaje $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
I posljednji, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Pošto je zadnji brojilac veći od drugog, onda odnos više.
Ako umjesto dodavanja iste vrijednosti oduzmi iz dva člana, očigledno je da će efekat na odnos biti suprotan.

Primjeri.

1. Što je veće: omjer 11:9 ili omjer 44:35?

2. Što je veće: omjer $(a+3):\frac(a)(6)$, ili omjer $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Ako je antecedent para 65, a omjer 13, koja je posljedica?

4. Ako je konsekvent para 7, a omjer 18, koji je antecedent?

5. Kako izgleda kompleksni odnos sastavljen od 8:7, i 2a:5b, kao i (7x+1):(3y-2)?

6. Kako izgleda kompleksni omjer sastavljen od (x + y): b, i (x-y): (a + b), kao i (a + b): h? Rep. (x 2 - y 2): bh.

7. Ako relacije (5x+7):(2x-3) i $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ formiraju kompleksnu relaciju, onda koja relacija hoćete li dobiti: više ili manje nejednakosti? Rep. Odnos veće nejednakosti.

8. Koji je omjer sastavljen od (x + y):a i (x - y):b, i $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Rep. Odnos jednakosti.

9. Koji je omjer 7:5 i udvostručiti 4:9 i utrostručiti 3:2?
Rep. 14:15.

10. Koji je omjer sastavljen od 3:7, i trostruki omjer x:y, i izdvajanje korijena iz omjera 49:9?
Rep. x3:y3.

Odnos je određeni odnos između entiteta našeg svijeta. To mogu biti brojevi, fizičke veličine, predmeti, proizvodi, pojave, radnje, pa čak i ljudi.

U svakodnevnom životu, kada su omjeri u pitanju, kažemo "odnos ovoga i onoga". Na primjer, ako se u vazi nalaze 4 jabuke i 2 kruške, onda kažemo omjer jabuke i kruške omjer kruške i jabuke.

U matematici se omjer često koristi kao "odnos nečega prema nečemu". Na primjer, omjer četiri jabuke i dvije kruške, koji smo razmatrali gore, u matematici će se čitati kao "odnos četiri jabuke i dve kruške" ili ako zamijenite jabuke i kruške, onda "odnos dve kruške prema četiri jabuke".

Odnos se izražava kao a to b(gde umesto a i b bilo koje brojeve), ali češće možete pronaći unos koji je sastavljen pomoću dvotočka kao a:b. Ovaj unos možete pročitati na različite načine:

a to b
a odnosi se na b
stav a to b

Zapisujemo omjer četiri jabuke i dvije kruške koristeći simbol omjera:

4: 2

Ako zamijenimo jabuke i kruške, onda ćemo imati omjer 2:4. Ovaj omjer se može čitati kao "dva do četiri" ili bilo koje "dve kruške su jednake četiri jabuke" .

U nastavku ćemo relaciju pozvati kao relaciju.

Sadržaj lekcije

Šta je stav?

Relacija se, kao što je ranije spomenuto, piše kao a:b. Može se napisati i kao razlomak. A znamo da takav zapis u matematici znači podjelu. Tada će rezultat relacije biti količnik brojeva a i b.

U matematici, omjer je količnik dva broja.

Omjer vam omogućava da saznate koliko je jednog entiteta po jedinici drugog. Vratimo se omjeru četiri jabuke prema dvije kruške (4:2). Ovaj omjer će nam omogućiti da saznamo koliko jabuka ima po jedinici kruške. Jedinica znači jedna kruška. Prvo, zapišimo omjer 4:2 kao razlomak:

Ovaj omjer je dijeljenje broja 4 sa brojem 2. Ako izvršimo ovo dijeljenje, dobićemo odgovor na pitanje koliko jabuka ima po jedinici kruške

Dobili smo 2. Dakle, četiri jabuke i dvije kruške (4:2) su u korelaciji (međusobno povezane) tako da su dvije jabuke po kruški

Slika pokazuje kako su četiri jabuke i dvije kruške povezane jedna s drugom. Vidi se da su dvije jabuke na svaku krušku.

Odnos se može obrnuti pisanjem kao . Tada dobijamo omjer dvije kruške i četiri jabuke, odnosno "odnos dvije kruške prema četiri jabuke". Ovaj omjer će pokazati koliko je krušaka po jedinici jabuke. Jedinica jabuke znači jedna jabuka.

Da biste pronašli vrijednost razlomka, morate zapamtiti kako podijeliti manji broj većim.

Dobio 0,5. Pretvorimo ovaj decimalni razlomak u običan:

Smanjite rezultirajući obični razlomak za 5

Dobio odgovor (pola kruške). Dakle, dvije kruške i četiri jabuke (2:4) su međusobno povezane (međusobno povezane) tako da jedna jabuka predstavlja pola kruške

Slika pokazuje kako su dvije kruške i četiri jabuke povezane jedna s drugom. Vidi se da na svaku jabuku dolazi pola kruške.

Zovu se brojevi koji čine odnos članovi veze. Na primjer, u odnosu 4:2, članovi su brojevi 4 i 2.

Razmotrite druge primjere odnosa. Recept je napravljen da se nešto pripremi. Recept je izgrađen od omjera između proizvoda. Na primjer, za pravljenje ovsene kaše obično je potrebna čaša žitarica na dvije čaše mlijeka ili vode. Ovo rezultira omjerom 1:2 („jedan prema dva“ ili „jedna čaša žitarica na dvije čaše mlijeka“).

Pretvorimo odnos 1:2 u razlomak, dobijamo. Računajući ovaj razlomak, dobijamo 0,5. Dakle jedna čaša žitarica i dvije čaše mlijeka su u korelaciji (korelaciji) tako da za jednu čašu mlijeka bude pola čaše žitarica.

Ako okrenete odnos 1:2, dobićete omjer 2:1 („dva prema jedan” ili „dve čaše mleka na jednu čašu žitarica”). Pretvarajući omjer 2:1 u razlomak, dobijamo. Računajući ovaj razlomak, dobijamo 2. Dakle, dvije čaše mlijeka i jedna čaša žitarica su povezane (u korelaciji jedna s drugom) tako da postoje dvije čaše mlijeka za jednu čašu žitarica.

Primjer 2 U razredu je 15 učenika. Od toga je 5 dječaka, 10 djevojčica. Moguće je zapisati omjer djevojčica i dječaka od 10:5 i pretvoriti ovaj omjer u razlomak. Računajući ovaj razlomak, dobijamo 2. To jest, djevojčice i dječaci su međusobno povezani tako da na svakog dječaka dolaze dvije djevojčice

Slika pokazuje kako se međusobno odnose deset djevojčica i pet dječaka. Vidi se da na svakog dječaka dolaze dvije djevojčice.

Nije uvijek moguće pretvoriti omjer u razlomak i pronaći količnik. U nekim slučajevima to će biti nelogično.

Dakle, ako okrenete omjer naopačke, i ovo je omjer dječaka i djevojčica. Ako izračunate ovaj razlomak, dobit ćete 0,5. Ispostavilo se da je pet dečaka u srodstvu sa deset devojčica tako da na svaku devojčicu dolazi pola dečaka. Matematički je to naravno tačno, ali sa stanovišta stvarnosti nije sasvim razumno, jer je dječak živa osoba i ne može se samo uzeti i podijeliti kao kruška ili jabuka.

Sposobnost da se izgradi ispravan stav je važna vještina u rješavanju problema. Dakle, u fizici je omjer prijeđene udaljenosti i vremena brzina kretanja.

Udaljenost je označena promjenljivom S, vrijeme - kroz varijablu t, brzina - kroz varijablu v. Zatim fraza "odnos pređenog puta i vremena je brzina kretanja" biće opisan sledećim izrazom:

Pretpostavimo da automobil pređe 100 kilometara za 2 sata. Tada će omjer od 100 prijeđenih kilometara i 2 sata biti brzina automobila:

Brzina je udaljenost koju tijelo pređe u jedinici vremena. Jedinica vremena je 1 sat, 1 minut ili 1 sekunda. A omjer, kao što je ranije spomenuto, omogućava vam da saznate koliki je dio jednog entiteta po jedinici drugog. U našem primjeru, omjer sto kilometara prema dva sata pokazuje koliko kilometara ima za jedan sat kretanja. Vidimo da za svaki sat kretanja dolazi 50 kilometara

Dakle, brzina se mjeri u km/h, m/min, m/s. Simbol razlomka (/) označava omjer udaljenosti i vremena: kilometara na sat , metara u minuti i metara u sekundi respektivno.

Primjer 2. Odnos vrijednosti robe i njene količine je cijena jedne jedinice robe.

Ako smo u trgovini uzeli 5 čokoladica i njihova ukupna cijena je bila 100 rubalja, tada možemo odrediti cijenu jedne pločice. Da biste to učinili, morate pronaći omjer od sto rubalja prema broju šipki. Onda dobijemo da jedna šipka iznosi 20 rubalja

Poređenje vrijednosti

Ranije smo saznali da odnos između količina različite prirode formira novu količinu. Dakle, omjer prijeđene udaljenosti i vremena je brzina kretanja. Odnos vrijednosti robe i njene količine je cijena jedne jedinice robe.

Ali omjer se također može koristiti za poređenje vrijednosti. Rezultat takve relacije je broj koji pokazuje koliko je puta prva vrijednost veća od druge, ili koji dio je prva vrijednost od druge.

Da biste saznali koliko je puta prva vrijednost veća od druge, potrebno je da u brojiocu omjera upišete veću vrijednost, a u nazivnik manju vrijednost.

Da biste saznali koji je dio prve vrijednosti od druge, potrebno je da u brojiocu omjera upišete manju vrijednost, a u nazivnik veću vrijednost.

Razmotrimo brojeve 20 i 2. Hajde da saznamo koliko je puta broj 20 veći od broja 2. Da bismo to uradili, nalazimo omjer broja 20 i broja 2. U brojilac omjera upišimo broj 20 , i broj 2 u nazivniku

Vrijednost ovog omjera je deset

Omjer broja 20 i broja 2 je broj 10. Ovaj broj pokazuje koliko je puta broj 20 veći od broja 2. Dakle, broj 20 je deset puta veći od broja 2.

Primjer 2 U razredu je 15 učenika. Od toga 5 dječaka, 10 djevojčica. Odredite koliko je puta više djevojčica nego dječaka.

Zapišite odnos djevojčica prema dječacima. U brojnik omjera upisujemo broj djevojčica, u nazivnik omjera - broj dječaka:

Vrijednost ovog omjera je 2. To znači da u odeljenju od 15 ima dvostruko više djevojčica nego dječaka.

Više se ne postavlja pitanje koliko djevojčica ima za jednog dječaka. U ovom slučaju, omjer se koristi za poređenje broja djevojčica sa brojem dječaka.

Primjer 3. Koji je dio broja 2 od broja 20.

Pronalazimo odnos broja 2 i broja 20. U brojiocu odnosa upisujemo broj 2, a u nazivnik - broj 20

Da biste pronašli značenje ovog odnosa, morate zapamtiti,

Vrijednost omjera broja 2 i broja 20 je broj 0,1

U ovom slučaju, decimalni razlomak 0,1 može se pretvoriti u običan. Ovaj odgovor će biti lakše razumjeti:

Dakle, broj 2 od broja 20 je jedna desetina.

Možete provjeriti. Da bismo to uradili, naći ćemo od broja 20. Ako smo sve uradili ispravno, trebalo bi da dobijemo broj 2

20: 10 = 2

2 x 1 = 2

Dobili smo broj 2. Dakle, deseti dio broja 20 je broj 2. Iz ovoga zaključujemo da je zadatak točno riješen.

Primjer 4 U razredu je 15 ljudi. Od toga 5 dječaka, 10 djevojčica. Odredite koliki udio od ukupnog broja učenika čine dječaci.

Zapisujemo odnos dječaka prema ukupnom broju učenika. U brojnik omjera upisujemo pet dječaka, a u nazivnik ukupan broj školaraca. Ukupan broj školaraca je 5 dječaka plus 10 djevojčica, pa broj 15 upišemo u nazivnik omjera

Da biste pronašli vrijednost ovog omjera, morate zapamtiti kako podijeliti manji broj većim. U ovom slučaju, broj 5 se mora podijeliti sa brojem 15

Kada podijelite 5 sa 15, dobijete periodični razlomak. Pretvorimo ovaj razlomak u običan

Dobio sam konačan odgovor. Dakle, dječaci čine jednu trećinu cijelog razreda

Slika pokazuje da u odeljenju od 15 učenika trećinu odeljenja čini 5 dečaka.

Ako za provjeru pronađemo od 15 školaraca, onda ćemo dobiti 5 dječaka

15: 3 = 5

5 x 1 = 5

Primjer 5 Koliko je puta broj 35 veći od broja 5?

Pišemo omjer broja 35 i broja 5. U brojiocu omjera potrebno je upisati broj 35, u nazivnik - broj 5, ali ne i obrnuto

Vrijednost ovog omjera je 7. Dakle, broj 35 je sedam puta veći od broja 5.

Primjer 6 U razredu je 15 ljudi. Od toga 5 dječaka, 10 djevojčica. Odredite koliki je udio od ukupnog broja djevojčica.

Zapisujemo odnos djevojaka prema ukupnom broju učenika. U brojnik omjera upisujemo deset djevojčica, a u nazivnik ukupan broj školaraca. Ukupan broj školaraca je 5 dječaka plus 10 djevojčica, pa broj 15 upišemo u nazivnik omjera

Da biste pronašli vrijednost ovog omjera, morate zapamtiti kako podijeliti manji broj većim. U ovom slučaju, broj 10 se mora podijeliti sa brojem 15

Kada podijelite 10 sa 15, dobijete periodični razlomak. Pretvorimo ovaj razlomak u običan

Smanjimo rezultirajući razlomak za 3

Dobio sam konačan odgovor. Dakle, djevojčice čine dvije trećine cijelog razreda

Slika pokazuje da u odeljenju od 15 učenika dve trećine odeljenja čini 10 devojčica.

Ako za provjeru nađemo od 15 školaraca, onda dobijemo 10 djevojčica

15: 3 = 5

5 x 2 = 10

Primjer 7 Koji dio od 10 cm je 25 cm

Zapišite odnos deset centimetara prema dvadeset pet centimetara. U brojnik omjera upisujemo 10 cm, u nazivnik - 25 cm

Da biste pronašli vrijednost ovog omjera, morate zapamtiti kako podijeliti manji broj većim. U ovom slučaju, broj 10 se mora podijeliti sa brojem 25

Pretvorimo rezultujući decimalni razlomak u običan

Smanjimo rezultirajući razlomak za 2

Dobio sam konačan odgovor. Dakle, 10 cm je 25 cm.

Primjer 8 Koliko puta je 25 cm veće od 10 cm

Zapišite odnos dvadeset pet centimetara prema deset centimetara. U brojnik omjera upisujemo 25 cm, u nazivnik - 10 cm

Dobio odgovor 2.5. Dakle, 25 cm je 2,5 puta više od 10 cm (dva i po puta)

Važna napomena. Prilikom pronalaženja odnosa istih fizičkih veličina, te veličine moraju biti izražene u jednoj mjernoj jedinici, inače će odgovor biti netačan.

Na primjer, ako imamo posla s dvije dužine i želimo znati koliko je puta prva dužina veća od druge, ili koji je dio prve dužine od druge, tada se obje dužine prvo moraju izraziti u jednoj mjernoj jedinici.

Primjer 9 Koliko puta je 150 cm više od 1 metra?

Prvo, uvjerimo se da su obje dužine izražene u istoj jedinici. Da biste to učinili, pretvorite 1 metar u centimetre. Jedan metar je sto centimetara

1 m = 100 cm

Sada nalazimo omjer od sto pedeset centimetara prema sto centimetara. U brojiocu omjera pišemo 150 centimetara, u nazivniku - 100 centimetara

Nađimo vrijednost ove relacije

Dobio odgovor 1.5. Dakle, 150 cm je više od 100 cm za 1,5 puta (jedan i po puta).

A ako ne bismo počeli pretvarati metre u centimetre i odmah pokušali pronaći omjer od 150 cm prema jednom metru, onda bismo dobili sljedeće:

Ispostavilo bi se da je 150 cm sto pedeset puta više od jednog metra, ali to nije tačno. Stoga je imperativ obratiti pažnju na mjerne jedinice fizičkih veličina koje su uključene u odnos. Ako su ove količine izražene u različitim mjernim jedinicama, onda da biste pronašli omjer ovih veličina, morate prijeći na jednu mjernu jedinicu.

Primjer 10 Prošlog mjeseca plata je bila 25.000 rubalja, a ovog mjeseca plata je porasla na 27.000 rubalja. Odredite za koliko je povećana plata

Zapisujemo odnos dvadeset sedam hiljada prema dvadeset pet hiljada. U brojiocu omjera pišemo 27000, u nazivniku - 25000

Nađimo vrijednost ove relacije

Dobio odgovor 1.08. Tako je plata povećana za 1,08 puta. Ubuduće, kada se budemo upoznali sa procentima, takve pokazatelje kao što je plata iskazujemo u procentima.

Primjer 11. Zgrada je široka 80 metara i visoka 16 metara. Koliko je puta širina kuće veća od njene visine?

Zapisujemo omjer širine kuće i njene visine:

Vrijednost ovog omjera je 5. To znači da je širina kuće pet puta veća od njene visine.

svojstvo odnosa

Omjer se neće promijeniti ako se njegovi članovi pomnože ili podijele istim brojem.

Ovo jedno od najvažnijih svojstava relacije proizlazi iz svojstva kvocijenta. Znamo da ako se dividenda i djelitelj pomnože ili podijele istim brojem, tada se količnik neće promijeniti. A pošto relacija nije ništa drugo do podjela, svojstvo količnika također radi za nju.

Vratimo se na odnos devojčica prema dečacima (10:5). Ovaj omjer je pokazao da na svakog dječaka dolaze dvije djevojčice. Provjerimo kako funkcionira svojstvo relacije, naime, pokušajmo njegove članove pomnožiti ili podijeliti istim brojem.

U našem primjeru, zgodnije je podijeliti članove relacije njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD).

GCD članova 10 i 5 je broj 5. Dakle, članove relacije možete podijeliti brojem 5

Imam novi stav. Ovo je odnos dva prema jedan (2:1). Ovaj odnos, kao i prethodni omjer 10:5, pokazuje da na svakog dječaka dolaze dvije djevojčice.

Na slici je prikazan odnos 2:1 (dva prema jedan). Kao iu prethodnom omjeru 10:5, po dječaku su dvije djevojčice. Drugim riječima, stav se nije promijenio.

Primjer 2. U jednom razredu ima 10 djevojčica i 5 dječaka. U drugom razredu ima 20 djevojčica i 10 dječaka. Koliko je puta više djevojčica nego dječaka u prvom razredu? Koliko je puta više djevojčica nego dječaka u drugom razredu?

U oba razreda je dvostruko više djevojčica nego dječaka, jer su omjeri i jednaki istom broju.

Svojstvo odnosa vam omogućava da izgradite različite modele koji imaju slične parametre kao i stvarni objekt. Pretpostavimo da je stambena zgrada široka 30 metara i visoka 10 metara.

Da biste nacrtali sličnu kuću na papiru, morate je nacrtati u istom omjeru 30:10.

Podijelite oba člana ovog omjera brojem 10. Tada ćemo dobiti omjer 3:1. Ovaj omjer je 3, kao i prethodni omjer 3

Pretvorite metre u centimetre. 3 metra je 300 centimetara, a 1 metar je 100 centimetara.

3 m = 300 cm

1 m = 100 cm

Imamo omjer 300 cm: 100 cm. Podijelite ovaj omjer sa 100. Dobijamo omjer od 3 cm: 1 cm. Sada možemo nacrtati kuću širine 3 cm i visine 1 cm

Naravno, nacrtana kuća je mnogo manja od prave kuće, ali omjer širine i visine ostaje nepromijenjen. To nam je omogućilo da nacrtamo kuću što je moguće bliže stvarnoj.

Stav se može shvatiti i na drugi način. U početku se govorilo da prava kuća ima širinu od 30 metara i visinu od 10 metara. Ukupno je 30 + 10, odnosno 40 metara.

Ovih 40 metara može se shvatiti kao 40 dijelova. Omjer 30:10 znači 30 dijelova za širinu i 10 dijelova za visinu.

Dalje, članovi omjera 30:10 podijeljeni su sa 10. Rezultat je bio omjer 3:1. Ovaj odnos se može shvatiti kao 4 dijela, od kojih tri padaju na širinu, a jedan na visinu. U ovom slučaju, obično morate saznati koliko tačno metara po širini i visini.

Drugim riječima, trebate saznati koliko metara otpada na 3 dijela, a koliko metara otpada na 1 dio. Prvo morate saznati koliko metara pada na jedan dio. Da biste to učinili, ukupnih 40 metara mora se podijeliti sa 4, jer postoje samo četiri dijela u omjeru 3:1

Odredimo koliko metara je širina:

10 m × 3 = 30 m

Odredimo koliko metara pada na visinu:

10 m × 1 = 10 m

Više članova relacije

Ako je nekoliko članova dato u odnosu, onda se oni mogu shvatiti kao dijelovi nečega.

Primjer 1. Kupljeno 18 jabuka. Ove jabuke podijeljene su između mame, tate i kćeri u omjeru 2:1:3. Koliko je jabuka dobio svaki?

Omjer 2: 1: 3 pokazuje da je majka dobila 2 dijela, otac - 1 dio, kćer - 3 dijela. Drugim riječima, svaki član omjera 2:1:3 je određeni dio od 18 jabuka:

Ako dodate uslove omjera 2: 1: 3, tada možete saznati koliko dijelova ima ukupno:

2 + 1 + 3 = 6 (dijelovi)

Saznajte koliko jabuka padne na jedan dio. Da biste to učinili, podijelite 18 jabuka sa 6

18:6 = 3 (jabuke po dijelu)

Sada odredimo koliko je jabuka svaki dobio. Množenjem tri jabuke sa svakim članom omjera 2:1:3, možete odrediti koliko je jabuka dobila mama, koliko tata, a koliko ćerka.

Saznajte koliko je jabuka mama dobila:

3 × 2 = 6 (jabuke)

Saznajte koliko je tata dobio jabuka:

3 × 1 = 3 (jabuke)

Saznajte koliko je jabuka kćerka dobila:

3 × 3 = 9 (jabuke)

Primjer 2. Novo srebro (alpaka) je legura nikla, cinka i bakra u omjeru 3:4:13. Koliko kilograma svakog metala treba uzeti da bi se dobilo 4 kg novog srebra?

4 kilograma novog srebra sadržavat će 3 dijela nikla, 4 dijela cinka i 13 dijelova bakra. Prvo saznajemo koliko će dijelova biti u četiri kilograma srebra:

3 + 4 + 13 = 20 (dijelovi)

Odredite koliko će kilograma pasti na jedan dio:

4 kg: 20 = 0,2 kg

Odredimo koliko će kilograma nikla biti sadržano u 4 kg novog srebra. U odnosu 3:4:13, za tri dela legure se kaže da sadrže nikl. Dakle, množimo 0,2 sa 3:

0,2 kg × 3 = 0,6 kg nikla

Sada odredimo koliko će kilograma cinka biti sadržano u 4 kg novog srebra. U odnosu 3:4:13, za četiri dijela legure se kaže da sadrže cink. Dakle, množimo 0,2 sa 4:

0,2 kg × 4 = 0,8 kg cinka

Sada odredimo koliko će kilograma bakra biti sadržano u 4 kg novog srebra. U odnosu 3:4:13, za trinaest delova legure se kaže da sadrži bakar. Dakle, množimo 0,2 sa 13:

0,2 kg × 13 = 2,6 kg bakra

Dakle, da biste dobili 4 kg novog srebra, potrebno je uzeti 0,6 kg nikla, 0,8 kg cinka i 2,6 kg bakra.

Primjer 3. Mesing je legura bakra i cinka čije su mase u omjeru 3:2. Za izradu komada mesinga potrebno je 120 g bakra. Koliko je cinka potrebno za izradu ovog komada mesinga?

Odredimo koliko grama legure pada na jedan dio. Uslov kaže da je za izradu komada mesinga potrebno 120 g bakra. Takođe se kaže da tri dela legure sadrže bakar. Ako podijelimo 120 sa 3, saznaćemo koliko grama legure ima u jednom dijelu:

120: 3 = 40 grama po komadu

Sada odredimo koliko je cinka potrebno za izradu komada mesinga. Da bismo to učinili, 40 grama pomnožimo sa 2, jer je u omjeru 3: 2 naznačeno da dva dijela sadrže cink:

40 g × 2 = 80 grama cinka

Primjer 4. Uzeli su dvije legure zlata i srebra. U jednom je odnos ovih metala 1:9, a u drugom 2:3. Koliko od svake legure treba uzeti da se dobije 15 kg nove legure u kojoj bi zlato i srebro bili u odnosu 1:4?

Rješenje

15 kg nove legure treba da bude u omjeru 1:4. Ovaj odnos ukazuje da će jedan dio legure imati zlato, a četiri dijela srebro. Ukupno ima pet dijelova. Šematski, ovo se može predstaviti na sljedeći način

Odredimo masu jednog dijela. Da biste to učinili, prvo dodajte sve dijelove (1 i 4), a zatim podijelite masu legure s brojem ovih dijelova

1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg

Jedan dio legure će imati masu od 3 kg. Tada će 15 kg nove legure sadržavati 3 × 1 = 3 kg zlata i 3 × 4 = 12 kg srebra.

Stoga, da bismo dobili leguru težine 15 kg, potrebno nam je 3 kg zlata i 12 kg srebra.

A sada odgovorimo na pitanje zadatka - " Koliko uzeti svaku leguru? »

Uzet ćemo 10 kg prve legure, pošto su zlato i srebro u njoj u omjeru 1: 9. Odnosno, ova prva legura će nam dati 1 kg zlata i 9 kg srebra.

Uzet ćemo 5 kg druge legure, pošto su zlato i srebro u njoj u omjeru 2: 3. To jest, ova druga legura će nam dati 2 kg zlata i 3 kg srebra.

Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj Vkontakte grupi i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Za rješavanje većine zadataka iz matematike u srednjoj školi potrebno je poznavanje proporcija. Ova jednostavna vještina pomoći će vam ne samo da izvodite složene vježbe iz udžbenika, već i da uđete u samu suštinu matematičke nauke. Kako napraviti proporciju? Hajde sada da shvatimo.

Najjednostavniji primjer je problem gdje su poznata tri parametra, a četvrti se mora pronaći. Proporcije su, naravno, različite, ali često morate pronaći neki broj po procentima. Na primjer, dječak je imao ukupno deset jabuka. Četvrti dio dao je svojoj majci. Koliko je jabuka ostalo dječaku? Ovo je najjednostavniji primjer koji će vam omogućiti da napravite proporciju. Glavna stvar je da to uradite. Prvobitno je bilo deset jabuka. Neka bude 100%. Ovo smo mu označili sve jabuke. Dao je jednu četvrtinu. 1/4=25/100. Dakle, on je otišao: 100% (prvobitno je bilo) - 25% (dao je) = 75%. Ova brojka pokazuje postotak preostalog voća u odnosu na količinu voća koja je prva bila dostupna. Sada imamo tri broja pomoću kojih već možemo riješiti proporciju. 10 jabuka - 100%, X jabuke - 75%, gdje je x željena količina voća. Kako napraviti proporciju? Potrebno je razumjeti šta je to. Matematički to izgleda ovako. Znak jednakosti je za vaše razumijevanje.

10 jabuka = 100%;

x jabuke = 75%.

Ispada da je 10/x = 100%/75. Ovo je glavno svojstvo proporcija. Uostalom, što je više x, to je veći postotak ovog broja od originala. Rješavamo ovu proporciju i dobijamo da je x=7,5 jabuka. Zašto je dječak odlučio dati necijeli iznos, ne znamo. Sada znate kako napraviti proporciju. Glavna stvar je pronaći dva omjera, od kojih jedan sadrži željenu nepoznatu.

Rješavanje proporcije se često svodi na jednostavno množenje, a zatim dijeljenje. Djecu se u školama ne uči zašto je to tako. Iako je važno shvatiti da su proporcionalni odnosi matematički klasici, sama suština nauke. Da biste riješili proporcije, morate znati rukovati razlomcima. Na primjer, često je potrebno pretvoriti procente u obične razlomke. Odnosno, rekord od 95% neće raditi. A ako odmah napišete 95/100, onda možete napraviti solidna smanjenja bez pokretanja glavnog brojanja. Vrijedi odmah reći da ako se vaš omjer ispostavi s dvije nepoznanice, onda se to ne može riješiti. Ovdje vam nijedan profesor ne može pomoći. A vaš zadatak, najvjerovatnije, ima složeniji algoritam za ispravne radnje.

Razmotrimo još jedan primjer gdje nema postotaka. Vozač je kupio 5 litara benzina za 150 rubalja. Razmišljao je koliko će platiti za 30 litara goriva. Da bismo riješili ovaj problem, sa x označavamo potrebnu količinu novca. Ovaj problem možete riješiti sami, a zatim provjerite odgovor. Ako još niste shvatili kako napraviti proporciju, pogledajte. 5 litara benzina je 150 rubalja. Kao u prvom primjeru, napišimo 5l - 150r. Sada pronađimo treći broj. Naravno, to je 30 litara. Slažete se da je par od 30 l - x rubalja prikladan u ovoj situaciji. Pređimo na matematički jezik.

5 litara - 150 rubalja;

30 litara - x rubalja;

Rješavamo ovu proporciju:

x = 900 rubalja.

To smo odlučili. U svom zadatku ne zaboravite provjeriti adekvatnost odgovora. Dešava se da pogrešnom odlukom automobili postižu nerealne brzine od 5000 kilometara na sat i tako dalje. Sada znate kako napraviti proporciju. Takođe možete to riješiti. Kao što vidite, u tome nema ništa komplikovano.