zanati

Vietin teorem za kvadratne i druge jednadžbe. Vietova teorema, inverzna Vietova formula i primjeri s rješenjem za lutke Vietova eliminirajuća teorema

Bilo koja potpuna kvadratna jednadžba ax2 + bx + c = 0 može se sjetiti x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, ako prvo podijelimo svaki član sa koeficijentom a prije x2. A ako uvedemo novu notaciju (b/a) = str i (c/a) = q, tada ćemo imati jednačinu x 2 + px + q = 0, što se u matematici zove redukovana kvadratna jednačina.

Korijeni reducirane kvadratne jednadžbe i koeficijenti str i q međusobno povezani. Potvrđeno je Vietin teorem, nazvan po francuskom matematičaru Fransoa Vijeti, koji je živeo krajem 16. veka.

Teorema. Zbir korijena reducirane kvadratne jednadžbe x 2 + px + q = 0 jednak drugom koeficijentu str, uzet sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena - na slobodni termin q.

Ove omjere zapisujemo u sljedećem obliku:

Neka x 1 i x2 različiti korijeni redukovane jednadžbe x 2 + px + q = 0. Prema Vietinoj teoremi x1 + x2 = -p i x 1 x 2 = q.

Da bismo to dokazali, zamijenimo svaki od korijena x 1 i x 2 u jednadžbu. Dobijamo dvije prave jednakosti:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Oduzmite drugu od prve jednakosti. Dobijamo:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Proširujemo prva dva člana prema formuli razlike kvadrata:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

Prema uslovu, korijeni x 1 i x 2 su različiti. Dakle, možemo smanjiti jednakost za (x 1 - x 2) ≠ 0 i izraziti p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Prva jednakost je dokazana.

Da bismo dokazali drugu jednakost, zamjenjujemo prvu jednačinu

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 umjesto koeficijenta p, njegov jednak broj je (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Transformacijom lijeve strane jednačine dobijamo:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, što je trebalo dokazati.

Vietina teorema je dobra jer, čak i bez poznavanja korijena kvadratne jednadžbe, možemo izračunati njihov zbir i proizvod .

Vietin teorem pomaže u određivanju cjelobrojnih korijena date kvadratne jednadžbe. Ali za mnoge učenike to izaziva poteškoće zbog činjenice da ne znaju jasan algoritam djelovanja, posebno ako korijeni jednadžbe imaju različite predznake.

Dakle, data kvadratna jednadžba ima oblik x 2 + px + q \u003d 0, gdje su x 1 i x 2 njeni korijeni. Prema Vietinoj teoremi x 1 + x 2 = -p i x 1 x 2 = q.

Možemo izvući sljedeći zaključak.

Ako u jednadžbi posljednjem članu prethodi znak minus, tada korijeni x 1 i x 2 imaju različite predznake. Osim toga, predznak manjeg korijena je isti kao i predznak drugog koeficijenta u jednačini.

Na osnovu činjenice da se pri sabiranju brojeva sa različitim predznacima oduzimaju njihovi moduli, a ispred rezultata se stavlja znak većeg broja u modulu, treba postupiti na sljedeći način:

odrediti takve faktore broja q tako da njihova razlika bude jednaka broju p;
staviti predznak drugog koeficijenta jednačine ispred manjeg od dobijenih brojeva; drugi korijen će imati suprotan predznak.

Pogledajmo neke primjere.

Primjer 1.

Riješite jednačinu x 2 - 2x - 15 = 0.

Rješenje.

Pokušajmo riješiti ovu jednačinu koristeći gore predložena pravila. Tada možemo sa sigurnošću reći da će ova jednadžba imati dva različita korijena, jer D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Sada od svih faktora broja 15 (1 i 15, 3 i 5) biramo one čija je razlika jednaka 2. To će biti brojevi 3 i 5. Ispred manjeg broja stavljamo znak minus , tj. predznak drugog koeficijenta jednačine. Dakle, dobivamo korijene jednadžbe x 1 = -3 i x 2 = 5.

Odgovori. x 1 = -3 i x 2 = 5.

Primjer 2.

Riješite jednačinu x 2 + 5x - 6 = 0.

Rješenje.

Provjerimo da li ova jednadžba ima korijen. Da bismo to uradili, nalazimo diskriminanta:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Jednačina ima dva različita korijena.

Mogući faktori broja 6 su 2 i 3, 6 i 1. Razlika je 5 za par 6 i 1. U ovom primjeru, koeficijent drugog člana ima predznak plus, tako da će manji broj imati isti znak. Ali prije drugog broja bit će znak minus.

Odgovor: x 1 = -6 i x 2 = 1.

Vietin teorem se također može napisati za potpunu kvadratnu jednačinu. Dakle, ako je kvadratna jednadžba ax2 + bx + c = 0 ima korijene x 1 i x 2 , onda oni zadovoljavaju jednakosti

x 1 + x 2 = -(b/a) i x 1 x 2 = (c/a). Međutim, primjena ove teoreme u punoj kvadratnoj jednadžbi je prilično problematična, jer ako postoje korijeni, barem jedan od njih je razlomak. A rad s odabirom frakcija je prilično težak. Ali ipak postoji izlaz.

Razmotrimo kompletnu kvadratnu jednačinu ax 2 + bx + c = 0. Pomnožimo njenu lijevu i desnu stranu sa koeficijentom a. Jednačina će imati oblik (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Hajde da sada uvedemo novu varijablu, na primjer t = ax.

U ovom slučaju, rezultirajuća jednačina će se pretvoriti u redukovanu kvadratnu jednadžbu oblika t 2 + bt + ac = 0, čiji se korijeni t 1 i t 2 (ako ih ima) mogu odrediti Vietinim teoremom.

U ovom slučaju, korijeni originalne kvadratne jednadžbe će biti

x 1 = (t 1 / a) i x 2 = (t 2 / a).

Primjer 3.

Riješite jednačinu 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Rješenje.

Napravimo pomoćnu jednačinu. Pomnožimo svaki član jednačine sa 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Napravimo promjenu t = 15x. Imamo:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Prema Vietinoj teoremi, korijeni ove jednadžbe će biti t 1 = 5 i t 2 = 6.

Vraćamo se na zamjenu t = 15x:

5 = 15x ili 6 = 15x. Dakle, x 1 = 5/15 i x 2 = 6/15. Smanjujemo i dobijamo konačan odgovor: x 1 = 1/3 i x 2 = 2/5.

Odgovori. x 1 = 1/3 i x 2 = 2/5.

Da bi savladali rješenje kvadratnih jednadžbi korištenjem Vietine teoreme, učenici trebaju što više vježbati. Upravo je to tajna uspjeha.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Vietina teorema (tačnije, teorema inverzna Vietinoj teoremi) nam omogućava da smanjimo vrijeme za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Samo trebate znati kako ga koristiti. Kako naučiti rješavati kvadratne jednadžbe koristeći Vietin teorem? Lako je ako malo razmislite.

Sada ćemo govoriti samo o rješenju redukovane kvadratne jednadžbe koristeći Vieta teorem.Svedena kvadratna jednačina je jednačina u kojoj je a, odnosno koeficijent ispred x² jednak jedan. Nezadate kvadratne jednadžbe se također mogu riješiti korištenjem Vietine teoreme, ali već barem jedan od korijena nije cijeli broj. Teže ih je pogoditi.

Teorema suprotna Vietinoj teoremi kaže: ako su brojevi x1 i x2 takvi da

tada su x1 i x2 korijeni kvadratne jednadžbe

Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću Vietine teoreme moguće su samo 4 opcije. Ako se sećate toka rezonovanja, možete naučiti da pronađete čitave korene veoma brzo.

I. Ako je q pozitivan broj,

to znači da su korijeni x1 i x2 brojevi istog predznaka (jer se samo množenjem brojeva sa istim predznacima dobije pozitivan broj).

I.a. Ako je -p pozitivan broj, (odnosno, str<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Ako je -p negativan broj, (odnosno, p>0), tada su oba korijena negativni brojevi (dodali su brojeve istog predznaka, dobili su negativan broj).

II. Ako je q negativan broj,

to znači da korijeni x1 i x2 imaju različite predznake (prilikom množenja brojeva, negativan se broj dobije samo kada su predznaci faktora različiti). U ovom slučaju, x1 + x2 više nije zbir, već razlika (na kraju krajeva, kada se zbrajaju brojevi s različitim predznacima, oduzimamo manji od većeg modula). Dakle, x1 + x2 pokazuje koliko se razlikuju korijeni x1 i x2, odnosno koliko je jedan korijen veći od drugog (modulo).

II.a. Ako je -p pozitivan broj, (tj. str<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Ako je -p negativan broj, (p>0), tada je veći (modulo) korijen negativan broj.

Razmotrimo rješenje kvadratnih jednadžbi prema Vietinoj teoremi koristeći primjere.

Riješite datu kvadratnu jednačinu koristeći Vietin teorem:

Ovdje je q=12>0, pa su korijeni x1 i x2 brojevi istog predznaka. Njihov zbir je -p=7>0, tako da su oba korijena pozitivni brojevi. Odabiremo cijele brojeve čiji je proizvod jednak 12. To su 1 i 12, 2 i 6, 3 i 4. Zbir je 7 za par 3 i 4. Dakle, 3 i 4 su korijeni jednadžbe.

U ovom primjeru, q=16>0, što znači da su korijeni x1 i x2 brojevi istog predznaka. Njihov zbir -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Ovdje q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, tada je veći broj pozitivan. Dakle, korijeni su 5 i -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Gotovo svaka kvadratna jednadžba \ može se pretvoriti u oblik \ Međutim, to je moguće ako se svaki član u početku podijeli koeficijentom \ ispred \ Osim toga, može se uvesti nova notacija:

\[(\frac (b)(a))= p\] i \[(\frac (c)(a)) = q\]

Zahvaljujući tome, imaćemo jednačinu \ koja se u matematici naziva redukovana kvadratna jednačina. Korijeni ove jednadžbe i koeficijenti \ su međusobno povezani, što potvrđuje Vieta teorema.

Vietin teorem: Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe \ jednak je drugom koeficijentu \ uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena je slobodni član \

Radi jasnoće rješavamo jednačinu sljedećeg oblika:

Rješavamo ovu kvadratnu jednačinu koristeći napisana pravila. Nakon analize početnih podataka, možemo zaključiti da će jednadžba imati dva različita korijena, jer:

Sada od svih faktora broja 15 (1 i 15, 3 i 5) biramo one čija je razlika jednaka 2. Pod ovaj uslov spadaju brojevi 3 i 5. Ispred manjeg stavljamo znak minus broj. Tako dobijamo korijene jednadžbe \

Odgovor: \[ x_1= -3 i x_2 = 5\]

Gdje mogu riješiti jednačinu koristeći Vietin teorem na mreži?

Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da za nekoliko sekundi riješite online jednadžbu bilo koje složenosti. Sve što treba da uradite je da unesete svoje podatke u rešavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.

Između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe, osim korijenskih formula, postoje i druge korisne veze koje su date Vietin teorem. U ovom članku ćemo dati formulaciju i dokaz Vietinog teorema za kvadratnu jednadžbu. Zatim ćemo razmotriti teoremu suprotnu Vietinoj teoremi. Nakon toga ćemo analizirati rješenja najkarakterističnijih primjera. Konačno, zapisujemo Vietine formule koje definiraju vezu između pravih korijena algebarska jednačina stepen n i njegovi koeficijenti.

Navigacija po stranici.

Vietin teorem, formulacija, dokaz

Iz formula korijena kvadratne jednadžbe a x 2 +b x+c=0 oblika , gdje je D=b 2 −4 a c , relacije x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Ovi rezultati su potvrđeni Vietin teorem:

Teorema.

Ako a x 1 i x 2 su korijeni kvadratne jednadžbe a x 2 +b x+c=0, tada je zbroj korijena jednak omjeru koeficijenata b i a, uzetih sa suprotnim predznakom, i umnošku korijeni su jednaki omjeru koeficijenata c i a, odnosno, .

Dokaz.

Vietinu teoremu ćemo dokazati prema sljedećoj shemi: sastavit ćemo zbir i proizvod korijena kvadratne jednadžbe koristeći poznate korijenske formule, zatim ćemo transformirati rezultirajuće izraze i osigurati da su jednaki −b /a i c/a, respektivno.

Počnimo sa zbirom korijena, sastavimo ga. Sada dovodimo razlomke do zajedničkog imenioca, imamo. U brojniku rezultirajućeg razlomka , nakon čega : . Konačno, nakon 2 , dobijamo . Ovo dokazuje prvu relaciju Vietine teoreme za zbir korijena kvadratne jednadžbe. Pređimo na drugu.

Sastavljamo proizvod korijena kvadratne jednadžbe:. Prema pravilu množenja razlomaka, posljednji proizvod se može napisati kao. Sada izvodimo množenje zagrade sa zagradama u brojiocu, ali je brže skupiti ovaj proizvod za formule razlike kvadrata, Dakle . Zatim, prisjećajući se, izvodimo sljedeći prijelaz. A budući da formula D=b 2 −4 a·c odgovara diskriminantu kvadratne jednačine, tada se b 2 −4·a·c može zamijeniti zadnjim razlomkom umjesto D, dobijamo . Nakon otvaranja zagrada i smanjenja sličnih članova, dolazimo do razlomka , a njegovo smanjenje za 4·a daje . Ovo dokazuje drugu relaciju Vietine teoreme za proizvod korijena.

Ako izostavimo objašnjenja, onda će dokaz Vietine teoreme poprimiti sažet oblik:
,
.

Ostaje samo primijetiti da kada je diskriminanta jednaka nuli, kvadratna jednadžba ima jedan korijen. Međutim, ako pretpostavimo da jednačina u ovom slučaju ima dva identična korijena, onda vrijede i jednakosti iz Vietine teoreme. Zaista, za D=0 korijen kvadratne jednadžbe je , tada i , a pošto je D=0 , odnosno b 2 −4 a c=0 , odakle je b 2 =4 a c , onda .

U praksi se Vietina teorema najčešće koristi u odnosu na redukovanu kvadratnu jednačinu (sa najvećim koeficijentom a jednakim 1) oblika x 2 +p·x+q=0. Ponekad se formuliše za kvadratne jednadžbe upravo ovog tipa, što ne ograničava općenitost, budući da se svaka kvadratna jednačina može zamijeniti ekvivalentnom jednačinom dijeljenjem oba njena dijela brojem a koji nije nula. Evo odgovarajuće formulacije Vietine teoreme:

Teorema.

Zbir korijena reducirane kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q \u003d 0 jednak je koeficijentu na x, uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena je slobodni član, odnosno x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q .

Teorema inverzna Vietinoj teoremi

Druga formulacija Vietine teoreme, data u prethodnom pasusu, pokazuje da ako su x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0, tada su relacije x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. S druge strane, iz zapisanih relacija x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, slijedi da su x 1 i x 2 korijeni kvadratne jednačine x 2 +p x+q=0. Drugim riječima, tvrdnja suprotna Vietinoj teoremi je tačna. Formuliramo ga u obliku teoreme i dokazujemo.

Teorema.

Ako su brojevi x 1 i x 2 takvi da je x 1 +x 2 =−p i x 1 x 2 =q, tada su x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0 .

Dokaz.

Nakon zamjene koeficijenata p i q u jednačini x 2 +p x+q=0 njihovog izraza kroz x 1 i x 2, pretvara se u ekvivalentnu jednačinu.

Zamjenjujemo broj x 1 umjesto x u rezultirajuću jednačinu, imamo jednakost x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, što je za bilo koje x 1 i x 2 ispravna numerička jednakost 0=0, budući da x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Dakle, x 1 je korijen jednadžbe x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, što znači da je x 1 korijen ekvivalentne jednačine x 2 +p x+q=0 .

Ako je u jednadžbi x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 zamijenimo broj x 2 umjesto x, onda ćemo dobiti jednakost x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Ovo je tačna jednačina jer x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Dakle, x 2 je također korijen jednačine x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, a otuda i jednačine x 2 +p x+q=0 .

Ovim je završen dokaz teoreme suprotne Vietinoj teoremi.

Primjeri korištenja Vietine teoreme

Vrijeme je da razgovaramo o praktičnoj primjeni Vietine teoreme i njene inverzne teoreme. U ovom pododjeljku analizirat ćemo rješenja nekoliko najtipičnijih primjera.

Počinjemo primjenom teoreme suprotne Vietinoj teoremi. Zgodno ga je koristiti za provjeru da li su data dva broja korijeni date kvadratne jednadžbe. U tom slučaju se računa njihov zbir i razlika, nakon čega se provjerava valjanost relacija. Ako su oba ova odnosa zadovoljena, onda se, na osnovu teoreme suprotne Vietinoj teoremi, zaključuje da su ovi brojevi korijeni jednadžbe. Ako barem jedan od odnosa nije zadovoljen, onda ovi brojevi nisu korijeni kvadratne jednadžbe. Ovaj pristup se može koristiti pri rješavanju kvadratnih jednadžbi za provjeru pronađenih korijena.

Primjer.

Koji je od parova brojeva 1) x 1 =−5, x 2 =3 ili 2) ili 3) par korijena kvadratne jednačine 4 x 2 −16 x+9=0?

Rješenje.

Koeficijenti date kvadratne jednačine 4 x 2 −16 x+9=0 su a=4 , b=−16 , c=9 . Prema Vietinoj teoremi, zbir korijena kvadratne jednadžbe mora biti jednak −b/a, odnosno 16/4=4, a proizvod korijena mora biti jednak c/a, odnosno 9 /4.

Sada izračunajmo zbir i proizvod brojeva u svakom od tri data para i uporedimo ih sa upravo dobijenim vrijednostima.

U prvom slučaju imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Rezultirajuća vrijednost je drugačija od 4, stoga se daljnja provjera ne može provesti, ali prema teoremi, inverznoj Vietinoj teoremi, možemo odmah zaključiti da prvi par brojeva nije par korijena date kvadratne jednadžbe .

Pređimo na drugi slučaj. Ovdje, odnosno, prvi uslov je zadovoljen. Provjeravamo drugi uvjet: , rezultirajuća vrijednost je drugačija od 9/4 . Dakle, drugi par brojeva nije par korijena kvadratne jednadžbe.

Ostaje posljednji slučaj. Ovdje i . Oba uslova su ispunjena, pa su ovi brojevi x 1 i x 2 koreni date kvadratne jednačine.

odgovor:

Teorema, suprotna Vietinoj teoremi, može se koristiti u praksi za odabir korijena kvadratne jednadžbe. Obično se biraju cjelobrojni korijeni date kvadratne jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima, jer je u drugim slučajevima to prilično teško učiniti. Istovremeno, koriste činjenicu da ako je zbir dva broja jednak drugom koeficijentu kvadratne jednadžbe, uzetoj sa predznakom minus, a proizvod ovih brojeva jednak slobodnom članu, onda su ovi brojevi korijene ove kvadratne jednadžbe. Hajde da se pozabavimo ovim primerom.

Uzmimo kvadratnu jednačinu x 2 −5 x+6=0 . Da bi brojevi x 1 i x 2 bili korijeni ove jednadžbe, moraju biti zadovoljene dvije jednakosti x 1 +x 2 = 5 i x 1 x 2 = 6. Ostaje odabrati takve brojeve. U ovom slučaju, to je prilično jednostavno za napraviti: takvi brojevi su 2 i 3, budući da je 2+3=5 i 2 3=6 . Dakle, 2 i 3 su korijeni ove kvadratne jednadžbe.

Teorema suprotna Vietinoj teoremi je posebno pogodna za pronalaženje drugog korijena redukovane kvadratne jednadžbe kada je jedan od korijena već poznat ili očigledan. U ovom slučaju, drugi korijen se nalazi iz bilo koje relacije.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu 512 x 2 −509 x−3=0. Ovdje je lako vidjeti da je jedinica korijen jednačine, jer je zbir koeficijenata ove kvadratne jednačine nula. Dakle, x 1 =1. Drugi korijen x 2 može se naći, na primjer, iz relacije x 1 x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512 , odakle je x 2 =−3/512 . Dakle, definirali smo oba korijena kvadratne jednadžbe: 1 i −3/512.

Jasno je da je odabir korijena svrsishodan samo u najjednostavnijim slučajevima. U drugim slučajevima, da biste pronašli korijene, možete primijeniti formule korijena kvadratne jednadžbe preko diskriminanta.

Druga praktična primjena teoreme, inverzna Vietinoj teoremi, je kompilacija kvadratnih jednačina za date korijene x 1 i x 2. Da biste to učinili, dovoljno je izračunati zbir korijena koji daje koeficijent x sa suprotnim predznakom date kvadratne jednadžbe i proizvod korijena koji daje slobodni član.

Primjer.

Napišite kvadratnu jednačinu čiji su korijeni brojevi −11 i 23.

Rješenje.

Označimo x 1 =−11 i x 2 =23 . Izračunavamo zbir i proizvod ovih brojeva: x 1 + x 2 = 12 i x 1 x 2 = −253. Dakle, ovi brojevi su korijeni date kvadratne jednadžbe sa drugim koeficijentom -12 i slobodnim članom -253. To jest, x 2 −12·x−253=0 je željena jednačina.

odgovor:

x 2 −12 x−253=0 .

Vietin teorem se vrlo često koristi u rješavanju zadataka vezanih za predznake korijena kvadratnih jednadžbi. Kako je Vietin teorem povezan sa predznacima korijena redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0 ? Evo dvije relevantne izjave:

Ako je slobodni član q pozitivan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, onda su oba pozitivna ili su oba negativna.
Ako je slobodni član q negativan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, onda su njihovi predznaci različiti, drugim riječima, jedan korijen je pozitivan, a drugi negativan.

Ovi iskazi proizlaze iz formule x 1 x 2 =q, kao i pravila za množenje pozitivnih, negativnih brojeva i brojeva sa različitim predznacima. Razmotrite primjere njihove primjene.

Primjer.

R je pozitivan. Prema diskriminantnoj formuli nalazimo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , vrijednost izraza r 2 +8 je pozitivno za bilo koje realno r, dakle D>0 za bilo koje realno r. Prema tome, originalna kvadratna jednadžba ima dva korijena za bilo koju realnu vrijednost parametra r.

Sada ćemo saznati kada korijeni imaju različite znakove. Ako su predznaci korijena različiti, onda je njihov proizvod negativan, a prema Vietinoj teoremi, proizvod korijena date kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom članu. Stoga nas zanimaju one vrijednosti r za koje je slobodni član r−1 negativan. Dakle, da bismo pronašli vrijednosti r koje nas zanimaju, moramo riješiti linearnu nejednačinu r−1<0 , откуда находим r<1 .

odgovor:

na r<1 .

Vieta formule

Iznad smo govorili o Vietinoj teoremi za kvadratnu jednačinu i analizirali odnose koje ona tvrdi. Ali postoje formule koje povezuju prave korijene i koeficijente ne samo kvadratnih jednadžbi, već i kubnih jednadžbi, četverostrukih jednadžbi i općenito, algebarske jednačine stepen n. Oni se nazivaju Vieta formule.

Pišemo Vietine formule za algebarsku jednadžbu stepena n oblika, dok pretpostavljamo da ima n realnih korijena x 1, x 2, ..., x n (među njima može biti i isti):

Nabavite Vieta formule dozvoljava teorema polinomske faktorizacije, kao i definicija jednakih polinoma kroz jednakost svih njihovih odgovarajućih koeficijenata. Dakle, polinom i njegova ekspanzija u linearne faktore oblika su jednaki. Otvarajući zagrade u posljednjem proizvodu i izjednačavajući odgovarajuće koeficijente, dobijamo Vietine formule.

Konkretno, za n=2 već imamo poznate Vietine formule za kvadratnu jednačinu.

Za kubnu jednačinu, Vieta formule imaju oblik

Ostaje samo napomenuti da se na lijevoj strani Vietinih formula nalaze tzv. elementarne simetričnih polinoma.

Bibliografija.

algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije: osnovne i profilne. nivoa / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 2010.- 368 str. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Kada proučavate načine rješavanja jednačina drugog reda u školskom kursu algebre, razmotrite svojstva dobivenih korijena. One su sada poznate kao Vietine teoreme. Primjeri njegove upotrebe dati su u ovom članku.

Kvadratna jednadžba

Jednačina drugog reda je jednakost, koja je prikazana na slici ispod.

Ovdje su simboli a, b, c neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti jednačine koja se razmatra. Da biste riješili jednakost, morate pronaći x vrijednosti koje je čine istinitom.

Imajte na umu da, budući da je maksimalna vrijednost stepena na koji je x podignuta dva, tada je broj korijena u općem slučaju također dva.

Postoji nekoliko načina za rješavanje ove vrste jednakosti. U ovom članku ćemo razmotriti jedan od njih, koji uključuje korištenje takozvane Vietine teoreme.

Izjava Vietine teoreme

Krajem 16. vijeka, poznati matematičar Francois Viet (Francuz) primijetio je, analizirajući svojstva korijena različitih kvadratnih jednačina, da određene njihove kombinacije zadovoljavaju specifične odnose. Konkretno, ove kombinacije su njihov proizvod i zbir.

Vietin teorem utvrđuje sljedeće: korijeni kvadratne jednadžbe, kada se zbroje, daju omjer linearnih i kvadratnih koeficijenata uzetih sa suprotnim predznakom, a kada se pomnože, dovode do omjera slobodnog člana i kvadratnog koeficijenta .

Ako je opći oblik jednadžbe napisan kao što je prikazano na fotografiji u prethodnom dijelu članka, onda se matematički ova teorema može napisati kao dvije jednakosti:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Gdje je r 1 , r 2 vrijednost korijena razmatrane jednačine.

Ove dvije jednakosti mogu se koristiti za rješavanje niza vrlo različitih matematičkih problema. Upotreba Vietine teoreme u primjerima s rješenjem data je u sljedećim odjeljcima članka.