Crafts

Jednačina ravni je udaljenost od tačke do ravni. Udaljenost od tačke do ravni. način. Vektorska metoda

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Određivanje udaljenosti između: 1 - tačke i ravni; 2 - ravno i ravno; 3 - avioni; 4 - ukrštanje pravih linija se razmatraju zajedno, jer je algoritam rješenja za sve ove probleme u suštini isti i sastoji se od geometrijske konstrukcije, koji se mora izvesti da bi se odredila udaljenost između date tačke A i ravni α. Ako i postoji razlika, ona se sastoji samo u tome da u slučajevima 2 i 3, prije nego što počnete rješavati zadatak, označite proizvoljnu tačku A na pravoj m (slučaj 2) ili ravni β (slučaj 3). udaljenosti između pravih koje se seku, prvo ih zatvorimo u paralelne ravni α i β, a zatim odredimo rastojanje između ovih ravnina.

Razmotrimo svaki od navedenih slučajeva rješavanja problema.

1. Određivanje udaljenosti između tačke i ravni.

Udaljenost od tačke do ravni određena je dužinom okomitog segmenta povučenog od tačke do ravni.

Stoga se rješenje ovog problema sastoji od uzastopnog izvođenja sljedećih grafičkih operacija:

1) iz tačke A spuštamo okomicu na ravan α (sl. 269);

2) naći tačku M preseka ove okomice sa ravni M = a ∩ α;

3) odrediti dužinu segmenta.

Ako je ravan α u općem položaju, tada je za spuštanje okomice na ovu ravan potrebno prvo odrediti smjer horizontalne i frontalne projekcije ove ravni. Pronalaženje tačke susreta ove okomice sa ravninom takođe zahteva dodatne geometrijske konstrukcije.

Rješenje problema je pojednostavljeno ako ravan α zauzima određeni položaj u odnosu na ravni projekcije. U ovom slučaju, i projekcija okomice i pronalaženje tačke njenog susreta sa ravninom izvode se bez ikakvih dodatnih pomoćnih konstrukcija.

PRIMJER 1. Odrediti udaljenost od tačke A do frontalno izbačene ravni α (Sl. 270).

RJEŠENJE. Kroz A" povučemo horizontalnu projekciju okomice l" ⊥ h 0α, a kroz A" - njenu frontalnu projekciju l" ⊥ f 0α. Označavamo tačku M" = l" ∩ f 0α . Od AM || π 2, zatim [A" M"] == |AM| = d.

Iz razmotrenog primjera jasno je kako se jednostavno rješava problem kada avion zauzme projekcijski položaj. Stoga, ako je u izvornim podacima specificirana opća poziciona ravnina, tada prije nego što nastavite s rješenjem, ravan treba pomaknuti u položaj okomit na bilo koju ravninu projekcije.

PRIMJER 2. Odrediti udaljenost od tačke K do ravni određene sa ΔAVS (Sl. 271).

1. Prenosimo ravan ΔAVS u poziciju projektovanja *. Da bismo to uradili, prelazimo iz sistema xπ 2 /π 1 na x 1 π 3 /π 1: pravac nove x 1 ose se bira okomito na horizontalnu projekciju horizontalne ravni trougla.

2. Projektovati ΔABC na novu ravan π 3 (ravan ΔABC se projektuje na π 3, u [ C " 1 B " 1 ]).

3. Projektovati tačku K na istu ravan (K" → K" 1).

4. Kroz tačku K" 1 povučemo (K" 1 M" 1)⊥ odsječak [C" 1 B" 1]. Tražena udaljenost d = |K" 1 M" 1 |

Rješenje problema je pojednostavljeno ako je ravan definirana tragovima, budući da nema potrebe za crtanjem projekcija ravnih linija.

PRIMJER 3. Odrediti rastojanje od tačke K do ravni α, određeno tragovima (Sl. 272).

* Najracionalniji način da se ravan trougla prenese u poziciju projektovanja je zamena ravni projekcije, jer je u ovom slučaju dovoljno konstruisati samo jednu pomoćnu projekciju.

RJEŠENJE. Zamijenimo ravan π 1 sa ravninom π 3, za to nacrtamo novu os x 1 ⊥ f 0α. Na h 0α označimo proizvoljnu tačku 1" i odredimo njenu novu horizontalnu projekciju na ravan π 3 (1" 1). Kroz tačke X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) i 1" 1 povlačimo h 0α 1. Određujemo novu horizontalnu projekciju tačke K → K" 1. Iz tačke K" 1 spuštamo okomicu na h 0α 1 i označavamo tačku njenog preseka sa h 0α 1 - M" 1. Dužina segmenta K" 1 M" 1 će pokazati potrebnu udaljenost.

2. Određivanje udaljenosti između prave i ravni.

Udaljenost između prave i ravni je određena dužinom okomitog segmenta ispuštenog iz proizvoljne tačke na pravoj do ravni (vidi sliku 248).

Stoga se rješenje problema određivanja udaljenosti između prave m i ravnine α ne razlikuje od primjera o kojima se govori u paragrafu 1 za određivanje udaljenosti između tačke i ravni (vidi sliku 270 ... 272). Kao tačku možete uzeti bilo koju tačku koja pripada pravoj m.

3. Određivanje udaljenosti između ravnina.

Udaljenost između ravnina određena je veličinom okomitog segmenta ispuštenog iz tačke uzete na jednoj ravni u drugu ravninu.

Iz ove definicije proizilazi da se algoritam za rješavanje problema određivanja udaljenosti između ravni α i β razlikuje od sličnog algoritma za rješavanje problema određivanja udaljenosti između prave m i ravnine α samo po tome što prava m mora pripadati ravni α , tj. da bi se odredila udaljenost između ravnina α i β slijedi:

1) uzeti pravu m u α ravni;

2) izabrati proizvoljnu tačku A na pravoj m;

3) iz tačke A spustiti okomicu l na ravan β;

4) odrediti tačku M - tačka susreta upravnice l sa ravni β;

5) odrediti veličinu segmenta.

U praksi je preporučljivo koristiti drugačiji algoritam rješenja, koji će se razlikovati od onog datog samo po tome što, prije nego što se pređe na prvi korak, ravnine treba prebaciti u poziciju projekcije.

Uključivanje ove dodatne operacije u algoritam pojednostavljuje izvršavanje svih ostalih tačaka bez izuzetka, što u konačnici dovodi do jednostavnijeg rješenja.

PRIMJER 1. Odrediti rastojanje između ravni α i β (slika 273).

RJEŠENJE. Prelazimo sa sistema xπ 2 /π 1 na x 1 π 1 /π 3. U odnosu na novu ravan π 3, ravni α i β zauzimaju projekcijski položaj, stoga je rastojanje između novih frontalnih tragova f 0α 1 i f 0β 1 željeno.

U inženjerskoj praksi često je potrebno riješiti problem konstruiranja ravnine paralelne datoj ravni i udaljene od nje na datoj udaljenosti. Primjer 2 u nastavku ilustruje rješenje takvog problema.

PRIMJER 2. Potrebno je konstruisati projekcije ravni β paralelne datoj ravni α (m || n), ako je poznato da je rastojanje između njih d (Sl. 274).

1. U α ravni nacrtajte proizvoljne horizontalne linije h (1, 3) i prednje linije f (1,2).

2. Iz tačke 1 vraćamo okomicu l na ravan α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Na okomici l označavamo proizvoljnu tačku A.

4. Odrediti dužinu segmenta - (položaj označava na dijagramu metrički neiskrivljeni pravac prave l).

5. Postavite segment = d na pravu liniju (1"A 0) od tačke 1".

6. Označite na projekcijama l" i l" tačke B" i B", koje odgovaraju tački B 0.

7. Kroz tačku B povlačimo ravan β (h 1 ∩ f 1). Do β || α, potrebno je ispuniti uslov h 1 || h i f 1 || f.

4. Određivanje udaljenosti između linija koje se seku.

Udaljenost između pravih koja se sijeku određena je dužinom okomice zatvorene između paralelnih ravnina kojima pripadaju prave koje se sijeku.

Da bi se povukle međusobno paralelne ravni α i β kroz prave m i f koje se seku, dovoljno je da se kroz tačku A (A ∈ m) povuče prava p paralelna sa pravom f, a kroz tačku B (B ∈ f) prava k paralelna sa pravom m . Prave koje se seku m i p, f i k određuju međusobno paralelne ravni α i β (vidi sliku 248, e). Udaljenost između ravnina α i β jednaka je traženoj udaljenosti između linija ukrštanja m i f.

Može se predložiti i drugi način za određivanje udaljenosti između linija koje se ukrštaju, a sastoji se u tome da se nekom metodom transformacije ortogonalnih projekcija jedna od linija koja se seku prebacuje u poziciju projekcije. U ovom slučaju, jedna projekcija prave degeneriše se u tačku. Razmak između novih projekcija linija ukrštanja (tačka A" 2 i segment C" 2 D" 2) je traženi.

Na sl. Na slici 275 prikazano je rješenje zadatka određivanja udaljenosti između linija ukrštanja a i b za date segmente [AB] i [CD]. Rješenje se izvodi sljedećim redoslijedom:

1. Prebaciti jednu od linija ukrštanja (a) u položaj paralelan sa ravninom π 3; Da bi to učinili, oni se kreću iz sistema projekcijskih ravni xπ 2 /π 1 na novi x 1 π 1 /π 3, osa x 1 je paralelna sa horizontalnom projekcijom prave a. Odredite a" 1 [A" 1 B" 1 ] i b" 1.

2. Zamjenom ravni π 1 sa ravninom π 4, translatiramo pravu liniju

i na poziciju a" 2, okomito na ravanπ 4 (nova x 2 osa je nacrtana okomito na "1).

3. Konstruirajte novu horizontalnu projekciju prave b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Udaljenost od tačke A" 2 do prave linije C" 2 D" 2 (odsječak (A" 2 M" 2 ] (je potrebno.

Treba imati na umu da prenošenje jedne od linija ukrštanja u projekcijski položaj nije ništa drugo do prenošenje ravni paralelizma, u koje se mogu ograditi prave a i b, takođe u projekcijski položaj.

Zapravo, pomjeranjem prave a u položaj okomit na ravan π 4, osiguravamo da je bilo koja ravan koja sadrži pravu a okomita na ravan π 4, uključujući ravan α definiranu linijama a i m (a ∩ m, m | |. b ). Ako sada povučemo pravu n, paralelnu sa a i koja se siječe pravu b, onda ćemo dobiti ravan β, koja je druga ravan paralelizma, koja sadrži prave a i b koje se sijeku. Pošto je β || α, zatim β ⊥ π 4 .

Pronalaženje udaljenosti od tačke do ravni je čest problem koji se javlja prilikom rješavanja razne zadatke analitička geometrija, na primjer, ovaj problem se može svesti na pronalaženje udaljenosti između dvije prave linije koje se seku ili između prave i ravni paralelne s njom.

Razmotrimo ravan $β$ i tačku $M_0$ sa koordinatama $(x_0;y_0; z_0)$ koja ne pripada ravni $β$.

Definicija 1

Najkraća udaljenost između tačke i ravni biće okomita povučena iz tačke $M_0$ na ravan $β$.

Slika 1. Udaljenost od tačke do ravni. Avtor24 - online razmjena studentskih radova

U nastavku ćemo raspravljati o tome kako pronaći udaljenost od tačke do ravni koristeći koordinatnu metodu.

Izvođenje formule za koordinatnu metodu određivanja udaljenosti od tačke do ravni u prostoru

Okomita iz tačke $M_0$ koja siječe ravan $β$ u tački $M_1$ sa koordinatama $(x_1;y_1; z_1)$ leži na pravoj liniji čiji je vektor smjera vektor normale ravni $β$. U ovom slučaju, dužina jediničnog vektora $n$ jednaka je jedan. Prema tome, udaljenost od $β$ do tačke $M_0$ će biti:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, gdje je $\vec(M_1M_0)$ normalni vektor ravnine $β$, a $\vec( n)$ je jedinični vektor normale ravnine koja se razmatra.

U slučaju kada je data jednačina ravnine opšti pogled$Ax+ By + Cz + D=0$, koordinate vektora normale ravni su koeficijenti jednačine $$A;B;C$$, a jedinični vektor normale u ovom slučaju ima koordinate izračunate prema sljedeća jednačina:

$\vec(n)= \frac($A;B;C$)(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Sada možemo pronaći koordinate vektora normale $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= $x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1$\left(3\right)$.

Takođe izražavamo koeficijent $D$ koristeći koordinate tačke koja leži u ravnini $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Koordinate vektora jedinične normale iz jednakosti $(2)$ mogu se zamijeniti jednadžbom ravnine $β$, tada imamo:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\levo(4\desno)$

Jednakost $(4)$ je formula za pronalaženje udaljenosti od tačke do ravni u prostoru.

Opšti algoritam za pronalaženje udaljenosti od tačke $M_0$ do ravni

Ako jednadžba ravnine nije data u općem obliku, prvo je trebate svesti na opći oblik.
Nakon ovoga potrebno je izraziti iz opšta jednačina ravan, vektor normale date ravni kroz tačku $M_0$ i tačku koja pripada datoj ravni za to trebamo koristiti jednakost $(3)$.
Sljedeća faza je traženje koordinata vektora jedinične normale ravni pomoću formule $(2)$.
Konačno, možete početi s pronalaženjem udaljenosti od tačke do ravni, to se radi izračunavanjem skalarnog proizvoda vektora $\vec(n)$ i $\vec(M_1M_0)$.

Uslovi paralelizma i okomitosti

1°. Uslov za koplanarnost dvije ravni

Neka su date dvije ravni:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)

Kada su oni komplanarni (tj. paralelni ili podudarni)? Očigledno, to će biti slučaj ako i samo ako su njihovi normalni vektori kolinearni. Primjenom kriterija komplanarnosti dobijamo

Rečenica 1. Dvije ravni su komplanarne ako i samo ako je unakrsni proizvod njihovih normalnih vektora jednak nultom vektoru:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2°. Uslov za podudarnost dvije ravni

Prijedlog 2. Ravnine (1) i (2) se poklapaju ako i samo ako su sva četiri njihova koeficijenta proporcionalna, tj. postoji broj λ takav da

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 , D 2 = λ D 1 . (3)

Dokaz. Neka su ispunjeni uslovi (3). Tada se jednačina druge ravni može napisati na sljedeći način:

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

λ ≠ 0, inače bi bilo A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, što je u suprotnosti sa uslovom n 2 ≠ 0 . Prema tome, posljednja jednačina je ekvivalentna jednačini (1), što znači da se dvije ravni poklapaju.

Hajde sada, naprotiv, da znamo da se ove ravni poklapaju. Tada su njihovi normalni vektori kolinearni, tj. postoji broj λ takav da

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 .

Jednačina (2) se sada može prepisati kao:

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + D 2 = 0.

Množenjem jednačine (1) sa λ, dobijamo ekvivalentnu jednačinu prve ravni (pošto je λ ≠ 0):

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

Hajde da uzmemo nešto ( x 0 , y 0 , z 0) iz prve (a samim tim i druge) ravni i zameniti njene koordinate u poslednje dve jednačine; dobijamo tačne jednakosti:

λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.

Oduzimajući donje od gornjeg, dobijamo D 2 − λ D 1 = 0, tj. D 2 = λ D 1, QED.

3°. Uslov za okomitost dvije ravni

Očigledno, za ovo je neophodno i dovoljno da vektori normale budu okomiti.

Prijedlog 3. Dvije ravni su okomite ako i samo ako je skalarni proizvod normalnih vektora nula:

(n 1 , n 2) = 0 .

Neka je data jednačina ravni

Sjekira + By + Cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0 ,

i tačka M 0 = (x 0 , y 0 , z 0). Izvedemo formulu za udaljenost od tačke do ravni:

Uzmimo proizvoljnu tačku Q = (x 1 , y 1 , z 1), koji leži u ovoj ravni. Njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu ravni:

Sjekira 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0.

Napomenimo sada da je potrebna udaljenost d jednaka apsolutnoj vrijednosti vektorske projekcije u pravcu vektora n (ovdje projekciju uzimamo kao numeričku veličinu, a ne kao vektor). Zatim primjenjujemo formulu za izračunavanje projekcije:

Slična formula vrijedi i za udaljenost d od tačke M 0 = (x 0 , y 0) ravan na pravu liniju datu opštom jednačinom Sjekira + By + C = 0.

Neka bude avion . Hajde da nacrtamo normalnu
kroz ishodište koordinata O. Neka je dato
– uglovi formirani od normale sa koordinatnim osama.
. Neka – dužina normalnog segmenta
dok se ne ukrsti sa ravninom. Pod pretpostavkom da su poznati kosinusi smjera normale , izvodimo jednačinu ravnine .

Neka
) je proizvoljna tačka na ravni. Vektor jedinične normale ima koordinate. Nađimo projekciju vektora
do normalnog.

Od tačke M onda pripada avionu

Ovo je jednačina date ravni, tzv normalno .

Udaljenost od tačke do ravni

Neka se da avion ,M*
– tačka u prostoru, d – njegova udaljenost od aviona.

Definicija. Odstupanje bodova M* iz aviona se zove broj ( + d), Ako M* leži na drugoj strani ravnine gdje je pozitivan smjer normalnih tačaka , i broj (- d), ako se tačka nalazi na drugoj strani ravni:

Teorema. Pustite avion sa jedinicom normalno dato normalnom jednadžbom:

Neka M*
– tačka u prostoru Devijacija t. M* iz ravni je dato izrazom

Dokaz. Projekcija t.
* označavamo normalnim Q. Point Deviation M* iz ravni je jednaka

Pravilo. Naći odstupanje T. M* iz ravni, trebate zamijeniti koordinate t u normalnu jednadžbu ravnine. M* . Udaljenost od tačke do ravni je .

Svođenje opšte ravnine jednačine na normalni oblik

Neka ista ravan bude definisana sa dve jednačine:

Opšta jednačina

Normalna jednačina.

Budući da obje jednačine definiraju istu ravan, njihovi koeficijenti su proporcionalni:

Kvadirajmo prve tri jednakosti i zbrojimo ih:

Odavde ćemo naći – normalizujući faktor:

. (10)

Množenjem opće jednačine ravnine sa normalizujućim faktorom, dobijamo normalnu jednačinu ravnine:

Primjeri zadataka na temu „Avion“.

Primjer 1. Napravite jednačinu ravnine prolazeći kroz datu tačku
(2,1,-1) i paralelno sa ravninom.

Rješenje. Normalno na ravan :
. Pošto su ravni paralelne, onda je normala je takođe normalna na željenu ravan . Koristeći jednačinu ravni koja prolazi kroz datu tačku (3), dobijamo za ravan jednadžba:

odgovor:

Primjer 2. Osnova okomice spuštena iz ishodišta u ravan , je poenta
. Pronađite jednadžbu ravnine .

Rješenje. Vector
je normalno na avion . Dot M 0 pripada avionu. Možete koristiti jednadžbu ravnine koja prolazi kroz datu tačku (3):

odgovor:

Primjer 3. Konstruisati avion , prolazeći kroz tačke

i okomito na ravan :.

Stoga, za neko vrijeme M (x, y, z) pripadao je avionu , potrebno je da tri vektora
bili su komplanarni:

=0.

Ostaje da se otkrije determinanta i dobijeni izraz dovede u formu opšte jednačine (1).

Primjer 4. Avion je dato opštom jednačinom:

Pronađite odstupanje tačke
iz date ravni.

Rješenje. Dovedemo jednačinu ravni u normalni oblik.

Zamenimo koordinate tačke u rezultirajuću normalnu jednačinu M*.

odgovor:
.

Primjer 5. Seče li ravan segment?

Rješenje. Izrezati AB prešao avion, odstupanja I iz aviona mora imati različite znakove:

Primjer 6. Presek tri ravni u jednoj tački.

Sistem ima jedinstveno rešenje, dakle, tri ravni imaju jednu zajedničku tačku.

Primjer 7. Pronalaženje simetrala diedarskog ugla kojeg formiraju dvije date ravni.

Neka I - odstupanje neke tačke
iz prve i druge ravni.

Na jednoj od simetralnih ravni (koja odgovara kutu u kojem leži ishodište koordinata) ova odstupanja su jednaka po veličini i predznaku, a na drugoj su jednaka po veličini i suprotna po predznaku.

Ovo je jednadžba prve simetralne ravni.

Ovo je jednadžba druge simetralne ravni.

Primjer 8. Određivanje položaja dvije date tačke I u odnosu na diedralne uglove formirane ovim ravnima.