Фигури с ограничени линии. Изчислете площта на примери за фигура. Обем на въртеливото тяло

В тази статия ще научите как да намерите площта на фигура, ограничена от линии, като използвате интегрални изчисления. За първи път се сблъскваме с формулирането на такъв проблем в гимназията, когато току-що сме завършили изучаването на определени интеграли и е време да започнем геометрична интерпретацияпридобити знания на практика.

И така, какво е необходимо за успешно решаване на проблема с намирането на площта на фигура с помощта на интеграли:

• Способност да прави компетентни чертежи;
• Способност за решаване на определен интеграл с помощта на добре познатата формула на Нютон-Лайбниц;
• Способността да „видите“ по-изгодна опция за решение - т.е. разберете как ще бъде по-удобно да се извърши интеграция в един или друг случай? По оста x (OX) или по оста y (OY)?
• Е, къде щяхме да бъдем без правилни изчисления?) Това включва разбиране как да се решава този друг тип интеграли и правилни числени изчисления.

Алгоритъм за решаване на проблема за изчисляване на площта на фигура, ограничена от линии:

1. Изграждаме чертеж. Препоръчително е да направите това на кариран лист хартия, в голям мащаб. Подписваме името на тази функция с молив над всяка графика. Подписването на графиките се извършва единствено за удобство на по-нататъшни изчисления. След като получите графика на желаната фигура, в повечето случаи веднага ще стане ясно кои граници на интегриране ще се използват. Така решаваме задачата графично. Случва се обаче стойностите на границите да са дробни или ирационални. Следователно можете да направите допълнителни изчисления, преминете към втора стъпка.

2. Ако границите на интегриране не са изрично посочени, тогава намираме точките на пресичане на графиките една с друга и виждаме дали нашето графично решение съвпада с аналитичното.

3. След това трябва да анализирате чертежа. В зависимост от това как са подредени графиките на функциите има различни подходиза намиране на площта на фигура. Нека помислим различни примериза намиране на площта на фигура с помощта на интеграли.

3.1. Най-класическата и най-проста версия на проблема е, когато трябва да намерите площта на извит трапец. Какво е извит трапец? Това е плоска фигура, ограничена от оста x (y = 0), направо x = a, x = bи всяка крива, непрекъсната на интервала от апреди b. Освен това тази цифра е неотрицателна и не се намира под оста x. В този случай площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл, изчислен по формулата на Нютон-Лайбниц:

Пример 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

С какви линии е ограничена фигурата? Имаме парабола y = x2 – 3x + 3, който се намира над ос ОХ, то е неотрицателно, защото всички точки на тази парабола имат положителни стойности. На следващо място, дадени прави линии х = 1И х = 3, които вървят успоредно на оста OU, са граничните линии на фигурата отляво и отдясно. добре y = 0, това е и оста x, която ограничава фигурата отдолу. Получената фигура е защрихована, както се вижда от фигурата вляво. В този случай можете веднага да започнете да решавате проблема. Пред нас е прост пример за извит трапец, който след това решаваме с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.

3.2. В предишния параграф 3.1 разгледахме случая, когато извит трапец е разположен над оста x. Сега разгледайте случая, когато условията на проблема са същите, с изключение на това, че функцията лежи под оста x. Към стандартната формула на Нютон-Лайбниц се добавя минус. Ще разгледаме как да разрешим такъв проблем по-долу.

Пример 2 . Изчислете площта на фигура, ограничена от линии y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

В този пример имаме парабола y = x2 + 6x + 2, която произхожда от ос ОХ, направо x = -4, x = -1, y = 0. Тук y = 0ограничава желаната фигура отгоре. Директен х = -4И х = -1това са границите, в които ще бъде изчислен определеният интеграл. Принципът на решаване на проблема за намиране на площта на фигура почти напълно съвпада с пример номер 1. Единствената разлика е, че дадената функция не е положителна, а също така е непрекъсната на интервала [-4; -1] . Какво искаш да кажеш не положително? Както може да се види от фигурата, фигурата, която лежи в рамките на дадените x, има изключително „отрицателни“ координати, което трябва да видим и запомним, когато решаваме задачата. Търсим площта на фигурата, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, само със знак минус в началото.

Статията не е завършена.

всеки определен интеграл(който съществува) има много добро геометрично значение. В клас казах, че определен интеграл е число. И сега е време да посочим още един полезен факт. От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩ.

Това е, определеният интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на определена фигура. Например, разгледайте определения интеграл. Интеграндът определя определена крива на равнината (винаги може да бъде начертана, ако желаете), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

Това е типично изявление за присвояване. Първата и най-важна точка в решението е изграждането на чертеж. Освен това чертежът трябва да бъде конструиран ДЯСНО.

Когато конструирате чертеж, препоръчвам следния ред: първопо-добре е да се конструират всички прави линии (ако съществуват) и само Тогава– параболи, хиперболи, графики на други функции. По-изгодно е да се изграждат графики на функции точка по точка, техниката на изграждане точка по точка можете да намерите в референтния материал.

Там можете да намерите и много полезен материал за нашия урок - как бързо да построим парабола.

В този проблем решението може да изглежда така.
Нека начертаем чертежа (обърнете внимание, че уравнението дефинира оста):

Няма да засенчвам извития трапец, тук е очевидно за каква област говорим. Решението продължава така:

На сегмента е разположена графиката на функцията над оста, Ето защо:

Отговор:

Който има затруднения с изчисляването на определения интеграл и прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц, моля, вижте лекцията Определен интеграл. Примери за решения.

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай ние броим броя на клетките в чертежа „на око“ - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Напълно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то явно някъде е допусната грешка - 20 клетки явно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Пример 2

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии , и ос

Това е пример за независимо решение. Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Какво да направите, ако се намира извитият трапец под оста?

Пример 3

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Да направим чертеж:

Ако извит трапец напълно разположен под оста, то неговата площ може да се намери с помощта на формулата:
В такъв случай:

внимание! Не трябва да се бъркат двата вида задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакъв геометричен смисъл, тогава може да бъде отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и следователно от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линии, .

Решение: Първо трябва да направите чертеж. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и правата. Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен. Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интегриране е , а горната граница на интегриране е .
По-добре е да не използвате този метод, ако е възможно.

Много по-изгодно и по-бързо е да се изграждат линии точка по точка, а границите на интеграция стават ясни „от само себе си“. Техниката за конструиране точка по точка за различни графики е разгледана подробно в помощта Графики и свойства на елементарни функции. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Нека се върнем към нашата задача: по-рационално е първо да построим права линия и едва след това парабола. Да направим чертежа:

Повтарям, че при поточковото конструиране границите на интеграция най-често се откриват „автоматично“.

А сега работната формула:Ако на сегмент има някаква непрекъсната функция по-голямо или равно нанякои непрекъсната функция, тогава площта на съответната фигура може да се намери по формулата:

Тук вече не е нужно да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, и, грубо казано, има значение коя графика е ПО-ВИСОКА(спрямо друга графика), и кое е ПО-ДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Завършеното решение може да изглежда така:

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.

Отговор:

Всъщност училищната формула за площта на криволинейния трапец в долната полуравнина (вижте прост пример № 3) е специален случайформули Тъй като оста е зададена от уравнението и графиката на функцията е разположена под оста, тогава

А сега няколко примера за вашето собствено решение

Пример 5

Пример 6

Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите , .

При решаване на задачи, включващи изчисляване на площ с помощта на определен интеграл, понякога се случва забавна случка. Чертежът е направен правилно, изчисленията са правилни, но поради невнимание... беше открита зоната на грешната фигура, точно така твоят смирен слуга се прецака няколко пъти. Ето един случай от реалния живот:

Пример 7

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , , .

Първо нека направим чертеж:

Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е оцветена в синьо(погледнете внимателно състоянието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често се случва, че трябва да намерите областта на фигура, която е засенчена зелено!

Този пример е полезен и с това, че изчислява площта на фигура с помощта на два определени интеграла. Наистина ли:

1) На сегмента над оста има графика на права линия;

2) На сегмента над оста има графика на хипербола.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно:

Отговор:

Пример 8

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии,
Нека представим уравненията в "училищна" форма и да направим чертеж точка по точка:

От чертежа става ясно, че нашата горна граница е „добра“: .
Но каква е долната граница?! Ясно е, че това не е цяло число, но какво е? Може би ? Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може да се окаже, че... Или корена. Ами ако построим графиката неправилно?

В такива случаи трябва да отделите допълнително време и да изясните аналитично границите на интеграцията.

Нека намерим пресечните точки на права линия и парабола.
За да направим това, решаваме уравнението:

Следователно, .

По-нататъшното решение е тривиално, основното е да не се бъркате в заместванията и знаците, изчисленията тук не са най-простите.

На сегмента, съгласно съответната формула:

Е, за да завършим урока, нека разгледаме още две трудни задачи.

Пример 9

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , ,

Решение: Нека изобразим тази фигура на чертежа.

За да конструирате чертеж точка по точка, трябва да знаете външния вид на синусоида (и като цяло е полезно да знаете графики на всички елементарни функции), както и някои синусови стойности, те могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. В някои случаи (както в този случай) е възможно да се изгради схематичен чертеж, на който графиките и границите на интегриране трябва да бъдат фундаментално правилно показани.

Тук няма проблеми с границите на интегриране, те следват директно от условието: „x“ се променя от нула на „pi“. Нека вземем още едно решение:

На сегмента графиката на функцията е разположена над оста, следователно:

(1) Как синусите и косинусите се интегрират в нечетни степени може да се види в урока Интеграли от тригонометрични функции . Това е типична техника, прищипваме единия синус.

(2) Използваме основната тригонометрична идентичност във формуляра

(3) Нека променим променливата, след което:

Нови области на интеграция:

Моля, всеки, който е наистина зле със замените, да си вземе поука. Метод на заместване в неопределен интеграл. За тези, които не разбират напълно алгоритъма за заместване в определен интеграл, посетете страницата Определен интеграл. Примери за решения. Пример 5: Решение: , следователно:

Отговор:

Забележка:забележете как тук се използва интегралът на допирателната в куб;

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Ключови думи:цялостен, криволинеен трапец, площ от фигури, ограничена от лилии

Оборудване: маркерна дъска, компютър, мултимедиен проектор

Тип урок: урок-лекция

Цели на урока:

• образователен:създаване на култура на умствен труд, създаване на ситуация на успех за всеки ученик и създаване на положителна мотивация за учене; развийте способността да говорите и да слушате другите.
• развитие:формиране на независимо мислене на ученика при прилагане на знания в различни ситуации, способност за анализ и изводи, развитие на логиката, развитие на способността за правилно поставяне на въпроси и намиране на отговори на тях. Подобряване на формирането на изчислителни умения, развиване на мисленето на учениците в хода на изпълнение на предложените задачи, развиване на алгоритмична култура.
• образователен: да се формират понятия за криволинеен трапец, за интеграл, да се овладеят умения за изчисляване на площите на равнинни фигури.

Метод на обучение:обяснителни и илюстративни.

По време на часовете

В предишните класове се научихме да изчисляваме площите на фигури, чиито граници са начупени линии. В математиката има методи, които ви позволяват да изчислявате площите на фигури, ограничени от криви. Такива фигури се наричат ​​криволинейни трапеци и тяхната площ се изчислява с помощта на антипроизводни.

Криволинеен трапец ( слайд 1)

Извит трапец е фигура, ограничена от графиката на функция, ( ш.м.), прав х = аИ x = bи оста x

Различни видове извити трапеци ( слайд 2)

Разглеждаме различни видове криволинейни трапеци и забелязваме: една от правите е изродена в точка, ролята на ограничаваща функция се играе от правата

Площ на извит трапец (слайд 3)

Фиксирайте левия край на интервала а,и дясната хще променим, т.е. преместваме дясната стена на криволинейния трапец и получаваме променяща се фигура. Площта на променлив криволинеен трапец, ограничен от графиката на функцията, е първоизводна Еза функция f

И на сегмента [ а; b] площ на криволинеен трапец, образуван от функцията е,е равно на нарастването на първоизводната на тази функция:

Упражнение 1:

Намерете площта на криволинейния трапец, ограничен от графиката на функцията: f(x) = x 2и прав y = 0, x = 1, x = 2.

Решение: ( според алгоритъма слайд 3)

Нека начертаем графика на функцията и линии

Нека намерим една от първоизводните на функцията f(x) = x 2 :

Слайд самопроверка

Интеграл

Да разгледаме криволинейния трапец, определен от функцията fна сегмента [ а; b]. Нека разделим този сегмент на няколко части. Площта на целия трапец ще бъде разделена на сумата от площите на по-малките извити трапеци. ( слайд 5). Всеки такъв трапец може приблизително да се счита за правоъгълник. Сумата от площите на тези правоъгълници дава приблизителна представа за цялата площ на извития трапец. Колкото по-малко разделяме сегмента [ а; b], толкова по-точно изчисляваме площта.

Нека запишем тези аргументи под формата на формули.

Разделете сегмента [ а; b] на n части по точки x 0 = a, x1,…, xn = b.Дължина к- th означават с xk = xk – xk-1. Да направим сума

Геометрично тази сума представлява площта на фигурата, защрихована на фигурата ( ш.м.)

Сумите от формата се наричат ​​интегрални суми за функцията f. (ш.м.)

Интегралните суми дават приблизителна стойност на площта. Точната стойност се получава чрез преминаване към границата. Нека си представим, че прецизираме разделянето на сегмента [ а; b], така че дължините на всички малки сегменти да клонят към нула. Тогава площта на съставената фигура ще се доближи до площта на извития трапец. Можем да кажем, че площта на извит трапец е равна на границата на интегралните суми, наук. (ш.м.)или интегрална, т.е.

определение:

Интеграл на функция f(x)от апреди bнаречена граница на интегралните суми

= (ш.м.)

Формула на Нютон-Лайбниц.

Спомняме си, че границата на интегралните суми е равна на площта на криволинейния трапец, което означава, че можем да напишем:

наук. = (ш.м.)

От друга страна, площта на извит трапец се изчислява по формулата

С к.т. (ш.м.)

Сравнявайки тези формули, получаваме:

= (ш.м.)

Това равенство се нарича формула на Нютон-Лайбниц.

За по-лесно изчисление формулата се записва така:

= = (ш.м.)

Задачи: (ш.м.)

1. Изчислете интеграла, като използвате формулата на Нютон-Лайбниц: ( проверете на слайд 5)

2. Съставете интеграли според чертежа ( проверете на слайд 6)

3. Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Слайд 7)

Намиране на площите на равнинни фигури ( слайд 8)

Как да намерите площта на фигури, които не са извити трапеци?

Нека са дадени две функции, чиито графики виждате на слайда . (ш.м.)Намерете площта на защрихованата фигура . (ш.м.). Въпросната фигура извит трапец ли е? Как можете да намерите неговата площ, като използвате свойството за адитивност на площта? Помислете за два извити трапеца и извадете площта на другия от площта на единия от тях ( ш.м.)

Нека създадем алгоритъм за намиране на областта с помощта на анимация на слайд:

1. Графични функции
2. Проектирайте пресечните точки на графиките върху оста x
3. Засенчете фигурата, получена при пресичането на графиките
4. Намерете криволинейни трапеци, чиято пресечна точка или обединение е дадената фигура.
5. Изчислете площта на всеки от тях
6. Намерете разликата или сбора на площите

Устна задача: Как да се получи площта на защрихована фигура (разкажете с помощта на анимация, слайд 8 и 9)

Домашна работа:Разработете бележките, № 353 (а), № 364 (а).

Библиография

1. Алгебра и началото на анализа: учебник за 9-11 клас на вечерно (сменно) училище / изд. Г.Д. Глейзър. - М: Просвещение, 1983.
2. Башмаков M.I. Алгебра и началото на анализа: учебник за 10-11 клас на средното училище / Башмаков M.I. - М: Просвещение, 1991.
3. Башмаков M.I. Математика: учебник за институции нач. и сряда проф. образование / M.I. Башмаков. - М: Академия, 2010.
4. Колмогоров A.N. Алгебра и начало на анализа: учебник за 10-11 клас. образователни институции / A.N. Kolmogorov. - М: Образование, 2010.
5. Островски С.Л. Как да направим презентация за урок?/ S.L. Островски. – М.: 1 септември 2010 г.

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии.

Решение.

Намиране на пресечни точки дадени линии. За целта решаваме системата от уравнения:

За да намерим абсцисата на пресечните точки на дадени прави, решаваме уравнението:

Намираме: х 1 = -2, х 2 = 4.

И така, тези прави, които са парабола и права линия, се пресичат в точки А(-2; 0), б(4; 6).

Тези линии образуват затворена фигура, чиято площ се изчислява по горната формула:

Използвайки формулата на Нютон-Лайбниц намираме:

Намерете областта на областта, ограничена от елипсата.

Решение.

От уравнението на елипсата за първия квадрант имаме. От тук, използвайки формулата, получаваме

Нека приложим заместване х = агрях T, dx = а cos T дт. Нови граници на интеграция T = α И T = β се определят от уравненията 0 = агрях T, а = агрях T. Може да се постави α = 0 и β = π /2.

Намерете една четвърт от необходимата площ

Оттук С = πab.

Намерете площта на фигура, ограничена от линииг = - х 2 + х + 4 иг = - х + 1.

Решение.

Нека намерим пресечните точки на правите г = -х 2 + х + 4, г = -х+ 1, приравнявайки ординатите на линиите: - х 2 + х + 4 = -х+ 1 или х 2 - 2х- 3 = 0. Намиране на корените х 1 = -1, х 2 = 3 и съответните им ординати г 1 = 2, г 2 = -2.

Използвайки формулата за площта на фигурата, която получаваме

Определете площта, оградена от параболаг = х 2 + 1 и правх + г = 3.

Решение.

Решаване на система от уравнения

намерете абсцисата на пресечните точки х 1 = -2 и х 2 = 1.

Вярвайки г 2 = 3 - хИ г 1 = х 2 + 1, въз основа на формулата, която получаваме

Изчислете площта, съдържаща се в лемниската на Бернулиr 2 = а 2 cos 2 φ .

Решение.

В полярната координатна система, площта на фигура, ограничена от дъга на крива r = f(φ ) и два полярни радиуса φ 1 = ʅ И φ 2 = ʆ , ще се изрази чрез интеграла

Поради симетрията на кривата, първо определяме една четвърт от необходимата площ

Следователно цялата площ е равна на С = а 2 .

Изчислете дължината на дъгата на астроидах 2/3 + г 2/3 = а 2/3 .

Решение.

Нека напишем уравнението на астроида във формата

(х 1/3) 2 + (г 1/3) 2 = (а 1/3) 2 .

Да сложим х 1/3 = а 1/3 cos T, г 1/3 = а 1/3 грях T.

От тук получаваме параметричните уравнения на астроида

х = азащото 3 T, г = агрях 3 T, (*)

където 0 ≤ T ≤ 2π .

Поради симетрията на кривата (*) е достатъчно да се намери една четвърт от дължината на дъгата Л, съответстващ на промяната на параметъра Tот 0 до π /2.

Получаваме

dx = -3азащото 2 Tгрях t dt, dy = 3агрях 2 T cos t dt.

От тук намираме

Интегриране на получения израз от 0 до π /2, получаваме

Оттук Л = 6а.

Намерете областта, оградена от спиралата на Архимедr = aφ и два радиус вектора, които съответстват на полярните ъглиφ 1 Иφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Решение.

Площ, оградена от крива r = f(φ ) се изчислява по формулата, където α И β - граници на промяна на полярния ъгъл.

Така получаваме

(*)

От (*) следва, че площта, ограничена от полярната ос и първия завой на спиралата на Архимед ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

По същия начин намираме областта, ограничена от полярната ос и втория завой на спиралата на Архимед ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Търсената площ е равна на разликата на тези площи

Да се ​​изчисли обемът на тяло, получено при въртене около освол фигури, ограничени с параболиг = х 2 Их = г 2 .

Решение.

Нека решим системата от уравнения

и получаваме х 1 = 0, х 2 = 1, г 1 = 0, г 2 = 1, откъдето пресечните точки на кривите О(0; 0), б(единадесет). Както може да се види на фигурата, необходимият обем на въртеливо тяло е равен на разликата между два обема, образувани от въртене около ос волкриволинейни трапеци O.C.B.A.И ОДБА:

Изчислете площта, оградена от освол и синусоидаг = гряхх на отсечки: а) ; б) .

Решение.

а) На отсечката функцията sin хзапазва знака и следователно според формулата, приемайки г= грях х, намираме

б) На сегмента функция sin хсменя знака. За правилното решаване на задачата е необходимо отсечката да се раздели на две и [ π , 2π ], във всяка от които функцията запазва своя знак.

Според правилото на знаците, на сегмента [ π , 2π ] площта е взета със знак минус.

В резултат на това необходимата площ е равна на

Определете обема на тяло, ограничено от повърхност, получена от въртенето на елипсаоколо голямата оса .

Решение.

Като се има предвид, че елипсата е симетрична спрямо координатните оси, достатъчно е да се намери обемът, образуван от въртене около оста вол■ площ OAB, равно на една четвърт от площта на елипсата, и удвоете резултата.

Нека обозначим обема на ротационното тяло с V х; тогава въз основа на формулата имаме , където 0 и а- абсцисите на точките бИ А. От уравнението на елипсата намираме . Оттук

Така необходимият обем е равен на . (Когато елипсата се върти около малката ос b, обемът на тялото е равен на )

Намерете областта, ограничена от параболиг 2 = 2 px Их 2 = 2 py .

Решение.

Първо, нека намерим координатите на точките на пресичане на параболите, за да определим сегмента на интегриране. Преобразувайки оригиналните уравнения, получаваме и . Приравнявайки тези стойности, получаваме или х 4 - 8стр 3 х = 0.

х 4 - 8стр 3 х = х(х 3 - 8стр 3) = х(х - 2стр)(х 2 + 2px + 4стр 2) = 0.

Намиране на корените на уравненията:

Имайки предвид факта, че точката Апресичането на параболите е в първата четвърт, след това границите на интегриране х= 0 и х = 2стр.

Намираме необходимата площ с помощта на формулата

Пример1 . Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 и x = 2

Нека построим фигура (вижте фигурата) Построяваме права линия x + 2y – 4 = 0, използвайки две точки A(4;0) и B(0;2). Изразявайки y през x, получаваме y = -0,5x + 2. Използвайки формула (1), където f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, намираме

S = = [-0,25=11,25 кв. единици

Пример 2. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 и y = 0.

Решение. Да построим фигурата.

Нека построим права линия x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Нека построим права линия x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Нека намерим пресечната точка на правите, като решим системата от уравнения:

x = 2, y = 3; М(2; 3).

За да изчислим необходимата площ, разделяме триъгълника AMC на два триъгълника AMN и NMC, тъй като когато x се променя от A на N, площта е ограничена от права линия, а когато x се променя от N на C - с права линия

За триъгълник AMN имаме: ; y = 0,5x + 2, т.е. f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

За триъгълник NMC имаме: y = - x + 5, т.е. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Чрез изчисляване на площта на всеки триъгълник и добавяне на резултатите, намираме:

кв. единици

кв. единици

9 + 4, 5 = 13,5 кв. единици Проверка: = 0.5AC = 0.5 кв. единици

Пример 3. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

В този случай трябва да изчислите площта на извит трапец, ограничен от параболата y = x 2 , прави x = 2 и x = 3 и оста Ox (вижте фигурата) Използвайки формула (1), намираме площта на криволинейния трапец

= = 6 кв. единици

Пример 4. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = - x 2 + 4 и y = 0

Да построим фигурата. Търсената площ е затворена между параболата y = - x 2 + 4 и оста Ox.

Нека намерим пресечните точки на параболата с оста Ox. Ако приемем y = 0, намираме x = Тъй като тази фигура е симетрична спрямо оста Oy, изчисляваме площта на фигурата, разположена вдясно от оста Oy, и удвояваме получения резултат: = +4x]sq. единици 2 = 2 кв. единици

Пример 5. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Тук трябва да изчислите площта на криволинейния трапец, ограничен от горния клон на параболата 2 = x, ос Ox и прави x = 1 и x = 4 (виж фигурата)

Съгласно формула (1), където f(x) = a = 1 и b = 4, имаме = (= кв. единици.

Пример 6 . Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Необходимата площ е ограничена от полувълната на синусоидата и оста Ox (виж фигурата).

Имаме - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 кв. единици

Пример 7. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = - 6x, y = 0 и x = 4.

Фигурата се намира под оста Ox (виж фигурата).

Следователно намираме неговата площ, използвайки формула (3)

= =

Пример 8. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = и x = 2. Изградете кривата y = от точките (вижте фигурата). Така намираме площта на фигурата, използвайки формула (4)

Пример 9 .

х 2 + y 2 = r 2 .

Тук трябва да изчислите площта, оградена от кръга x 2 + y 2 = r 2 , т.е. площта на кръг с радиус r с център в началото. Нека намерим четвъртата част от тази област, като вземем границите на интегриране от 0

преди; ние имаме: 1 = = [

следователно 1 =

Пример 10. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y= x 2 и y = 2x

Тази фигура е ограничена от параболата y = x 2 и правата y = 2x (вижте фигурата) За да определим пресечните точки на дадените прави, решаваме системата от уравнения: x 2 – 2x = 0 x = 0 и x = 2

Използвайки формула (5), за да намерим площта, получаваме

= }