Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız varsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlərlə bağlı sizinlə əlaqə saxlamağa imkan verir.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlər, məlumatların təhlili və müxtəlif araşdırmalar aparmaq kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü şəxslərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna, məhkəmə proseduruna uyğun olaraq, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlamaq. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil etmə, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varis üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını əməkdaşlarımıza çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Bu yazıda siz üçbucağın bissektrisasının və medianının məsələlərin həllində faydalı ola biləcək xassələrini tapacaqsınız.

Bisektorlar.

1. Üçbucağın bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsi üçbucağın içərisinə daxil edilmiş dairənin mərkəzidir.

Sübut.

Həqiqətən də, bucağın bissektrisasında yerləşən nöqtələr bucağın tərəflərindən bərabər məsafədədir. Nəticə etibarilə, bissektrisaların kəsişmə nöqtəsi üçbucağın bütün tərəflərindən bərabər məsafədədir, yəni o, içə çəkilmiş dairənin mərkəzidir.

2. Üçbucağın bissektrisası qarşı tərəfi bitişik tərəflərə mütənasib seqmentlərə ayırır:

Sübut.

Gəlin əlavə konstruksiyalar edək. Nöqtəyə paralel bir xətt çəkək

Düz xəttin və düz xəttin kəsişmə nöqtəsi:

∠1=∠2, çünki - bissektrisa ∠

∠2=∠3 konstruksiyaya görə çarpaz uzanır.

Buna görə də, ∠1=∠3 və üçbucaq ikitərəflidir və .

deməli,

3. Bisektorun uzunluğu aşağıdakı düsturlarla hesablanır:

İkinci düsturu sübut edək.

Aşağıdakı qeydi təqdim edək:

Üçbucağın sahəsi üçün ifadələri bərabərləşdirək:

4. O dairənin mərkəzi və üçbucağın bucağının bissektrisa olsun:

Sonra əlaqə belə olur:

Sübut:

Üçbucağı nəzərdən keçirək:

Bucağın bissektrisasına görə, üçbucağın bissektrisasının xassəsinə görə

Onda olsun

İfadə edək. Üçbucağın bissektrisasının xüsusiyyətinə görə:

Buradan

Bəzi məsələlərdə üçbucağın bissektrisasını çevrilmiş çevrə ilə kəsişənə qədər uzatmaq rahatdır.

Trefoil haqqında Lemma.

Üçbucaq verilir. Nöqtə - bucaq bissektrisasının üçbucağın dairəsi ilə kəsişmə nöqtəsi. Üçbucağa yazılmış dairənin mərkəzi olsun. Sonra

Sübut.

Bərabər qövsləri əhatə edən yazılı bucaqlar bərabərdir. Bərabər yazılmış bucaqlara diqqət yetirin:

Buradan.

Dairənin mərkəzi, buna görə də bucağın bissektrisasıdır.

Üçbucaqdan

Sonra üçbucaqdan

var .

Yəni üçbucaq ikitərəflidir.

Buradan.

Bunu sübut etdi

3-cü bənddən (1) düsturunu sübut edək:

Sübut:

Bissektrisa çevrə ilə kəsişənə qədər davam edək. Üçbucaqları nəzərdən keçirin və . Gəlin bərabər açıları qeyd edək:

Üçbucaq iki bucaqda üçbucağa bənzəyir. Buradan:

Kesişən akkordların seqmentlərinin xassəsinə görə

Gəlin (3)-ü (2)-də əvəz edək və (4) istifadə edək:

Bisektorun üçbucağın tərəfini ayırdığı seqmentlərin uzunluqlarını üçbucağın tərəflərinin uzunluqları ilə ifadə edək. Aşağıdakı qeydi təqdim edək:

Sistemi əldə edirik:

Medianlar.

1. Üçbucağın medianları təpədən hesablanaraq 2:1 nisbətində kəsişmə nöqtəsinə bölünür:

2. Üçbucağın içərisində elə bir nöqtə olsun ki, aşağıdakı əlaqə baş versin: , onda üçbucağın medianlarının kəsişmə nöqtəsidir.

Sübut.

Köməkçi teoremi sübut edək.

Lemma.

Üçbucaq daxilində ixtiyari bir nöqtə üçün aşağıdakı əlaqə yerinə yetirilir:

Nöqtələrdən və perpendikulyarlardan düşək :

Üçbucaqların oxşarlığından alırıq:

Ümumi əsaslı üçbucaqları nəzərə alsaq , onda əlaqəni alırıq:

Eynilə alırıq

Bu bərabərlikləri əlavə edərək əldə edirik:

2-ci ifadəni sübut etmək üçün bu lemmadan istifadə edirik.

Bərabərlik olarsa (1) , sonra bərabərlik (2) və lemmadan belə çıxır ki, bərabərlikdə (2) hər kəsr -ə bərabərdir.

Bu halda seqmentlərin olduğunu sübut edək medianlardır.

Əgər , onda alırıq . Nöqtəyə paralel və nöqtədən keçən xətlər çəkək və iki cüt oxşar üçbucağı nəzərdən keçirək: və :

Buradan alırıq

Üçbucaqların oxşarlığından alırıq, yəni nöqtə seqmentin ortasıdır. Buradan.

Beləliklə, üçbucağın medianıdır.

3. Kəsişən üçbucağın medianları onu 6 bərabər üçbucağa bölün.

Sübut.

Gəlin bunu sübut edək

çünki,

çünki,

Beləliklə,

Hündürlüklər.

1. Üçbucağın hündürlüklərini ehtiva edən xətlər bir nöqtədə kəsişir. Kəskin üçbucaq vəziyyətində hündürlüklərin özləri bir nöqtədə kəsişir.

2. Üçbucağın hündürlüklərinin kəsişmə nöqtəsi aşağıdakı xüsusiyyətə malikdir: üçbucağın təpəsindən olan məsafənin kvadratının və qarşı tərəfin kvadratının cəmi istənilən təpə üçün eynidir:

Sübut.

Bərabərliyin birinci hissəsini sübut edək:

Bunu formada yenidən yazaq:

Pifaqor teoreminə görə: (üçbucaqlardan və)

(üçbucaqdan)

(üçbucaqdan)

Bu ifadələri (1) ilə əvəz edərək əldə edirik:

Mötərizələri açıb əldə edək:

Şəxsiyyətimiz var. Bərabərliyin ikinci hissəsi də oxşar şəkildə isbat edilir.

3. Bir üçbucağın ətrafında çevrəni təsvir etsək və üçbucağın hündürlüklərini bu dairə ilə kəsişənə qədər uzatsaq,

onda üçbucağın istənilən hündürlüyü üçün hündürlüyün təməlindən hündürlüyün dairə ilə davamının kəsişmə nöqtəsinə qədər olan məsafə hündürlüyün təməlindən hündürlüklərin kəsişmə nöqtəsinə qədər olan məsafəyə bərabərdir:

Və ya bu kimi: Üçbucağın tərəflərinə nisbətən hündürlüklərinin kəsişmə nöqtəsinə simmetrik olan nöqtələr üçbucağın dairəsi üzərində yerləşir.

Sübut.

Bunu sübut edək.

Bunun üçün və üçbucaqlarını nəzərdən keçirin və bunu sübut edin :

Bir tərəf və iki bitişik bucaq boyunca üçbucaqların bərabər olması işarəsindən istifadə edək. - ümumi tərəf. İki bucağın bərabərliyini sübut edək.

∠ ∠ olduğunu sübut edək

∠ olsun, onda üçbucaqdan bunu alırıq

∠. Beləliklə, üçbucaqdan bunu alırıq

Lakin ∠ və ∠ eyni qövs üzərində dayanır, buna görə də ∠ ∠ ∠

Eynilə biz də tapırıq ki, ∠ ∠

4. Üçbucaqda və nöqtələri təpələrdən çəkilmiş yüksəkliklərin əsaslarıdır. Üçbucağın üçbucağa bənzədiyini və oxşarlıq əmsalının -ə bərabər olduğunu sübut edin.

Sübut:

Düzbucaqlı üçbucağın çevrəsinin mərkəzi hipotenuzanın ortasında yerləşir . Məsələ bu dairədədir, çünki - düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası:

Bir qövs əsasında yazılmış bucaqlar kimi.

üçbucaqdan:

Buradan. Bucaq üçbucaqların ümumi bucağıdır və. Buna görə də üçbucaq üçbucağa bənzəyir. Oxşarlıq əmsalı oxşar tərəflərin nisbətinə bərabərdir, yəni bərabər bucaqlar qarşısında yerləşən tərəflər:

Ceva teoremi

Üçbucaqda buraxın

Seqmentlər yalnız və yalnız bir nöqtədə kəsişir

Sübut.

Sübut edək ki, seqmentlər bir nöqtədə kəsişirsə, (1) əlaqəsi təmin edilir.

Bunu yoxlamaq asandır, əgər varsa, onda tutar

Bu nisbət xassəsini tətbiq edək:

Eynilə:

Ceva teoremini aşağıdakı kimi yazmaq olar:

Əgər seqmentlər bir nöqtədə kəsişirsə, onda aşağıdakı əlaqə saxlanılır:

İsbat etmək Ceva teoremi sinuslar şəklində, bərabərliyin ikinci hissəsində (2) hər üçbucağın sahəsi üçün üçbucaqların sahələri əvəzinə düsturla əvəz etmək kifayətdir. .

KPK MIPT Ağaxanov Nəzər Xangeldyeviç və Vladimir Viktoroviç Truşkovun mühazirələrindən.

Üçbucaq üç tərəfi olan çoxbucaqlı və ya üç halqalı qapalı sınıq xətt və ya eyni düz xətt üzərində yatmayan üç nöqtəni birləşdirən üç seqmentdən əmələ gələn fiqurdur (şək. 1-ə baxın).

abc üçbucağının əsas elementləri

Zirvələr – A, B və C nöqtələri;

Tərəflər – təpələri birləşdirən a = BC, b = AC və c = AB seqmentləri;

Bucaqlar – üç cüt tərəfdən əmələ gələn α, β, γ. Bucaqlar çox vaxt təpələrlə eyni şəkildə, A, B və C hərfləri ilə təyin olunur.

Üçbucağın kənarlarının əmələ gətirdiyi və onun daxili sahəsində uzanan bucağa daxili bucaq, ona bitişik olan isə üçbucağın bitişik bucağı adlanır (2, s. 534).

Üçbucağın hündürlükləri, medianları, bissektrisaları və orta xətləri

Üçbucaqdakı əsas elementlərə əlavə olaraq, maraqlı xüsusiyyətlərə malik digər seqmentlər də nəzərə alınır: hündürlüklər, medianlar, bisektorlar və orta xətlər.

Hündürlük

Üçbucaq hündürlükləri- bunlar üçbucağın təpələrindən əks tərəflərə endirilmiş perpendikulyarlardır.

Hündürlüyü çəkmək üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirməlisiniz:

1) üçbucağın tərəflərindən birini ehtiva edən düz xətt çəkin (əgər hündürlük ensiz üçbucaqda iti bucağın təpəsindən çəkilibsə);

2) çəkilmiş xəttin qarşısında uzanan təpədən, nöqtədən bu xəttə bir seqment çəkin, onunla 90 dərəcə bucaq düzəldin.

Hündürlüyün üçbucağın tərəfi ilə kəsişdiyi nöqtə deyilir hündürlüyü baza (şək. 2-ə baxın).

Üçbucağın hündürlüklərinin xassələri

Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucağın təpəsindən çəkilmiş hündürlük onu ilkin üçbucağa bənzər iki üçbucağa bölür.

Kəskin üçbucaqda onun iki hündürlüyü oxşar üçbucaqları ondan kəsir.

Əgər üçbucaq itidirsə, onda hündürlüklərin bütün əsasları üçbucağın tərəflərinə aiddir, küt üçbucaqda isə tərəflərin davamına iki hündürlük düşür.

Kəskin üçbucaqda üç hündürlük bir nöqtədə kəsişir və bu nöqtə deyilir ortosentr üçbucaq.

Median

Medianlar(latınca mediana - "orta") - bunlar üçbucağın təpələrini əks tərəflərin orta nöqtələri ilə birləşdirən seqmentlərdir (bax şək. 3).

Medianı qurmaq üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirməlisiniz:

1) tərəfin ortasını tapın;

2) əks təpə ilə üçbucağın tərəfinin ortası olan nöqtəni seqmentlə birləşdirin.

Üçbucağın medianlarının xassələri

Median üçbucağı bərabər sahəyə malik iki üçbucağa bölür.

Üçbucağın medianları təpə nöqtəsindən hesablanaraq hər birini 2:1 nisbətində bölən bir nöqtədə kəsişir. Bu nöqtə deyilir Qravitasiya mərkəzi üçbucaq.

Bütün üçbucaq medianları ilə altı bərabər üçbucağa bölünür.

bisektor

Bisektorlar(latınca bis - iki dəfə və seko - kəsilmiş) bucaqlarını ikiyə bölən üçbucağın içərisinə daxil edilmiş düz xətt seqmentləridir (bax şək. 4).

Bisektor qurmaq üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirməlisiniz:

1) bucağın təpəsindən çıxan və onu iki bərabər hissəyə (bucağın bissektrisasına) ayıran şüa qurmaq;

2) üçbucağın bucağının bissektrisasının əks tərəfi ilə kəsişmə nöqtəsini tapın;

3) üçbucağın təpəsini əks tərəfdəki kəsişmə nöqtəsi ilə birləşdirən bir seqment seçin.

Üçbucağın bissektrisalarının xassələri

Üçbucağın bucağının bisektoru qarşı tərəfi iki bitişik tərəfin nisbətinə bərabər nisbətdə bölür.

Üçbucağın daxili bucaqlarının bissektrisaları bir nöqtədə kəsişir. Bu nöqtəyə daxil edilmiş dairənin mərkəzi deyilir.

Daxili və xarici bucaqların bissektrisaları perpendikulyardır.

Əgər üçbucağın xarici bucağının bissektrisası qarşı tərəfin uzantısı ilə kəsişirsə, onda ADBD=ACBC olar.

Üçbucağın bir daxili və iki xarici bucağının bissektrisaları bir nöqtədə kəsişir. Bu nöqtə bu üçbucağın üç dairəsindən birinin mərkəzidir.

Xarici bucağın bissektoru üçbucağın əks tərəfinə paralel deyilsə, üçbucağın iki daxili və bir xarici bucağının bissektrisalarının əsasları eyni düz xətt üzərində yerləşir.

Üçbucağın xarici bucaqlarının bissektrisaları əks tərəflərə paralel deyilsə, onların əsasları eyni düz xətt üzərində yerləşir.

Məktəb kursunda hər hansı bir mövzunu öyrənərkən müəyyən minimum problem seçə bilərsiniz və onların həlli üsullarını mənimsədikdən sonra tələbələr öyrənilən mövzu üzrə proqram tələbləri səviyyəsində istənilən problemi həll edə biləcəklər. Məktəbin riyaziyyat kursunda ayrı-ayrı mövzuların qarşılıqlı əlaqəsini görməyə imkan verəcək problemləri nəzərdən keçirməyi təklif edirəm. Buna görə də tərtib edilmiş tapşırıqlar sistemi tələbələrin imtahana hazırlanması zamanı tədris materialının təkrarlanması, ümumiləşdirilməsi və sistemləşdirilməsinin səmərəli vasitəsidir.

İmtahandan keçmək üçün üçbucağın bəzi elementləri haqqında əlavə məlumatın olması faydalı olacaq. Üçbucağın medianın xassələrini və bu xassələrin istifadə oluna biləcəyi məsələləri nəzərdən keçirək. Təklif olunan vəzifələr səviyyə fərqləndirmə prinsipini həyata keçirir. Bütün tapşırıqlar şərti olaraq səviyyələrə bölünür (səviyyə hər tapşırıqdan sonra mötərizədə göstərilir).

Üçbucağın medianın bəzi xassələrini xatırlayaq

Mülk 1. Üçbucağın medianı olduğunu sübut edin ABC, təpədən çəkilmişdir A, tərəflərin cəminin yarısından azdır AB Və A.C..

Sübut

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Əmlak 2. Median üçbucağı iki bərabər sahəyə kəsir.

Sübut

ABC üçbucağının B təpəsindən BD medianı və BE hündürlüyünü çəkək..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

BD seqmenti median olduğundan

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Əmlak 4. Üçbucağın medianları üçbucağı 6 bərabər üçbucağa bölür.

Sübut

ABC üçbucağını medianın böldüyü altı üçbucağın hər birinin sahəsinin ABC üçbucağının sahəsinə bərabər olduğunu sübut edək. Bunu etmək üçün, məsələn, AOF üçbucağını nəzərdən keçirin və A təpəsindən BF xəttinə perpendikulyar AK buraxın.

2-ci əmlaka görə,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Əmlak 6. Düzbucaqlı üçbucağın təpəsindən çəkilmiş median hipotenuzanın yarısına bərabərdir.

Sübut

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Nəticələr:1. Düzbucaqlı üçbucağın ətrafında çəkilmiş dairənin mərkəzi hipotenuzanın ortasında yerləşir.

2. Üçbucaqda medianın uzunluğu onun çəkildiyi tərəfin uzunluğunun yarısına bərabərdirsə, bu üçbucaq düzbucaqlıdır.

VƏZİFƏLƏR

Hər bir sonrakı problemi həll edərkən sübut edilmiş xüsusiyyətlərdən istifadə olunur.

№1 Mövzular: Medianı ikiqat artırmaq. Çətinlik: 2+

Paraleloqramın işarələri və xassələri Qiymətlər: 8,9

Vəziyyət

Medianın davamı haqqında A.M.üçbucaq ABC nöqtə başına M seqment təxirə salındı M.D., bərabərdir A.M.. Dördbucaqlı olduğunu sübut edin ABDC- paraleloqram.

Həll

Gəlin paraleloqramın işarələrindən birini istifadə edək. Dördbucaqlının diaqonalları ABDC bir nöqtədə kəsişir M və onu yarıya bölün, buna görə də dördbucaqlı ABDC- paraleloqram.

Belə bir teorem var Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişir və bu nöqtə hər medianı 2:1 nisbətində bölür., burada 2 medianın çəkildiyi təpədən medianın kəsişmə nöqtəsinə qədər olan seqmentə, 1 isə medianın kəsişmə nöqtəsindən medianın çəkildiyi tərəfin ortasına qədər olan seqmentə uyğundur.

Bu teoremi sübut etmək üçün AE, BF, CD medianları olan ABC üçbucağını nəzərdən keçirək. Yəni D, E, F nöqtələri müvafiq olaraq AB, BC, CA tərəflərini ikiyə bölür.
Bütün medianların bir nöqtədə kəsişdiyini bilmirik (bunu hələ də sübut etmək lazımdır). Bununla belə, istənilən iki median bir nöqtədə kəsişəcək, çünki onlar paralel ola bilməzlər. AE və BF medianları O nöqtəsində kəsilsin.

Median BF median AE-ni AO və EO seqmentlərinə bölür. E nöqtəsi vasitəsilə BF-yə paralel bir xətt çəkək. Bu xətt AC tərəfini müəyyən L nöqtəsində kəsəcək. Biz həmçinin AB seqmentinin ortasından (D nöqtəsi) BF-yə paralel başqa bir xətt çəkəcəyik. AC ilə K nöqtəsində kəsişəcək.

Thales teoreminə görə, əgər bucağın bir tərəfində onun təpəsindən ardıcıl olaraq bərabər seqmentlər düzürsək və bu seqmentlərin digər tərəfini kəsən uclarından paralel xətlər çəkiriksə, onda bu paralel xətlər də bərabər seqmentləri kəsəcək. bucağın ikinci tərəfində.

Bu üçbucağın BCA bucağına baxaq. BE və EC seqmentləri bir-birinə bərabərdir, BF və EL xətləri bir-birinə paraleldir. Onda Thales teoreminə görə CL = LF.
BAC bucağına baxsaq, çünki AD = BD və DK || BF, sonra AK = KF.

AF və CF seqmentləri bir-birinə bərabər olduğundan (ortadan əmələ gəldiyi üçün) və onların hər biri iki bərabər seqmentə bölündüyündən, AC tərəfinin dörd seqmentinin hamısı bir-birinə bərabərdir: AK = KF = FL. = LC.

EAC bucağını nəzərə alın. AC tərəfinin üç bərabər seqmentinin uclarından paralel xətlər çəkilir. Nəticədə, AE tərəfində bərabər seqmentləri kəsdilər. AO seqmentində iki belə seqment, EO isə yalnız bir seqment var. Beləliklə, biz sübut etdik ki, üçbucağın ən azı bir medianı başqa bir media ilə kəsişmə nöqtəsində uzunluqları 2: 1 kimi əlaqəli olan iki seqmentə bölünür.

İndi medianın AE ilə medianın CD-nin kəsişməsini nəzərdən keçirin. Qoy onlar P nöqtəsində kəsişsinlər.

Əvvəlki kimi, FM, CD, EN paralel xətlərinin AB tərəfini bərabər seqmentlərə ayırdığı sübut edilmişdir. Öz növbəsində, AE-ni üç bərabər seqmentə bölürlər. Üstəlik, A təpəsindən medianların kəsişməsinə qədər iki belə seqment var və ondan sonra bir var.

Bir və eyni seqment üç bərabər hissəyə bölünə bilməz ki, bir bölmə seçimi ilə eyni ölçüdə, digəri ilə isə fərqli olsun. Buna görə də O və P nöqtələri üst-üstə düşməlidir. Bu o deməkdir ki, üçbucaqların hər üç medianı bir nöqtədə kəsişir.

Digər iki medianın kəsişmə nöqtəsi ilə 2: 1 nisbətində bölündüyünü sübut etmək üçün, əvvəlki kimi, AB və BC tərəflərinə paralel xətlər çəkə bilərsiniz.