Sənətkarlıq

Sinifdənkənar dərs - nömrə modulu. Ədədin mütləq dəyəri. Tam dərslər - Bilik Hipermarketi Mənfi olmayan ədədin modulu mənfi olmayan ədəddir

Dərsin Məqsədləri

Məktəbliləri ədədin modulu kimi riyazi anlayışla tanış etmək;
Məktəblilərə ədədlərin modullarını tapmaq bacarıqlarını öyrətmək;
Müxtəlif tapşırıqları yerinə yetirərək öyrənilən materialı möhkəmləndirmək;

Tapşırıqlar

Uşaqların ədədlərin modulu haqqında biliklərini möhkəmləndirmək;
Test tapşırıqlarını həll etməklə tələbələrin öyrənilən materialı necə mənimsədiyini yoxlamaq;
Riyaziyyat dərslərinə maraq aşılamaqda davam etmək;
Məktəblilərdə məntiqi təfəkkür, maraq və əzmkarlıq inkişaf etdirmək.

Dərs planı

1. Ədədin modulunun ümumi anlayışları və tərifi.
2. Modulun həndəsi mənası.
3. Ədədin modulu və onun xassələri.
4. Ədədin modulu olan tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli.
5. “Ədədin modulu” termini haqqında tarixi məlumat.
6. Keçirilən mövzu üzrə biliklərin möhkəmləndirilməsi üçün tapşırıq.
7. Ev tapşırığı.

Ədədin modulu haqqında ümumi anlayışlar

Ədədin modulu, adətən, əgər onun mənfi dəyəri yoxdursa və ya eyni ədəd mənfidirsə, lakin əks işarə ilə ədədin özü adlanır.

Yəni, mənfi olmayan həqiqi a ədədinin modulu ədədin özüdür:

Və mənfi həqiqi x ədədinin modulu əks ədəddir:

Qeyddə bu belə görünəcək:

Daha asan başa düşmək üçün bir misal verək. Beləliklə, məsələn, 3 rəqəminin modulu 3-dür, həmçinin -3 rəqəminin modulu 3-dür.

Buradan belə nəticə çıxır ki, ədədin modulu onun işarəsini nəzərə almadan mütləq qiymətini, yəni mütləq qiymətini bildirir. Daha sadə desək, nömrədən işarəni silmək lazımdır.

Ədədin modulu təyin oluna və belə görünə bilər: |3|, |x|, |a| və s.

Beləliklə, məsələn, 3 rəqəminin modulu |3| ilə işarələnir.

Həmçinin, yadda saxlamaq lazımdır ki, ədədin modulu heç vaxt mənfi olmur: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12.45 və s.

Modulun həndəsi mənası

Ədədin modulu başlanğıcdan nöqtəyə qədər vahid seqmentlərdə ölçülən məsafədir. Bu tərif modulu həndəsi baxımdan ortaya qoyur.

Bir koordinat xətti götürək və üzərində iki nöqtə təyin edək. Bu nöqtələr −4 və 2 kimi ədədlərə uyğun gəlsin.

İndi bu rəqəmə diqqət yetirək. Biz görürük ki, koordinat xəttində göstərilən A nöqtəsi -4 rəqəminə uyğundur və diqqətlə baxsanız, bu nöqtənin 0 istinad nöqtəsindən 4 vahid seqment məsafəsində yerləşdiyini görərsiniz. Buradan belə çıxır ki, OA seqmentinin uzunluğu dörd vahidə bərabərdir. Bu halda OA seqmentinin uzunluğu, yəni 4 rəqəmi -4 rəqəminin modulu olacaqdır.

Bu zaman ədədin modulu belə işarələnir və yazılır: |−4| = 4.

İndi koordinat xəttində B nöqtəsini götürək və təyin edək.

Bu B nöqtəsi +2 rəqəminə uyğun olacaq və gördüyümüz kimi o, başlanğıcdan iki vahid seqment məsafəsində yerləşir. Buradan belə nəticə çıxır ki, OB seqmentinin uzunluğu iki vahidə bərabərdir. Bu halda 2 rəqəmi +2 rəqəminin modulu olacaq.

Qeyddə bu belə görünəcək: |+2| = 2 və ya |2| = 2.

İndi ümumiləşdirək. Əgər hansısa naməlum a ədədini götürsək və onu koordinat xəttində A nöqtəsi kimi təyin etsək, bu halda A nöqtəsindən başlanğıca qədər olan məsafə, yəni OA seqmentinin uzunluğu dəqiq olaraq “a” ədədinin moduludur. ”.

Yazıda belə görünəcək: |a| = OA.

Ədədin modulu və onun xassələri

İndi modulun xüsusiyyətlərini vurğulamağa çalışaq, bütün mümkün halları nəzərdən keçirək və onları hərfi ifadələrdən istifadə edərək yazaq:

Birincisi, ədədin modulu qeyri-mənfi ədəddir, yəni müsbət ədədin modulu ədədin özünə bərabərdir: |a| = a, əgər a > 0;

İkincisi, əks ədədlərdən ibarət modullar bərabərdir: |a| = |–a|. Yəni, bu xüsusiyyət bizə əks ədədlərin həmişə bərabər modullara malik olduğunu bildirir, eynilə koordinat xəttində olduğu kimi, əks ədədlərə malik olsalar da, istinad nöqtəsindən eyni məsafədədirlər. Buradan belə çıxır ki, bu əks ədədlərin modulları bərabərdir.

Üçüncüsü, bu ədəd sıfır olarsa, sıfırın modulu sıfıra bərabərdir: |0| a = 0 olarsa = 0. Burada əminliklə deyə bilərik ki, sıfırın modulu koordinat xəttinin başlanğıcına uyğun gəldiyi üçün tərifinə görə sıfırdır.

Modulun dördüncü xüsusiyyəti iki ədədin hasilinin modulunun bu ədədlərin modullarının hasilinə bərabər olmasıdır. İndi bunun nə demək olduğuna daha yaxından nəzər salaq. Əgər tərifə əməl etsək, onda siz və mən bilirik ki, a və b ədədlərinin hasilinin modulu a b-ə bərabər olacaq və ya a b ≥ 0 olarsa −(a b) və ya a b-dən böyükdürsə – (a b) olacaq. 0. B qeydi belə görünəcək: |a b| = |a| |b|.

Beşinci xassə ondan ibarətdir ki, ədədlərin bölməsinin modulu bu ədədlərin modullarının nisbətinə bərabərdir: |a: b| = |a| : |b|.

Və nömrə modulunun aşağıdakı xüsusiyyətləri:

Ədədin modulunu əhatə edən tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli

Nömrə modulu olan məsələlərin həllinə başlayarkən yadda saxlamalısınız ki, belə bir tapşırığı həll etmək üçün bu problemin uyğun olduğu xassələrin biliklərindən istifadə edərək modulun işarəsini açmaq lazımdır.

Məşq 1

Beləliklə, məsələn, modul işarəsi altında dəyişəndən asılı olan bir ifadə varsa, o zaman modul tərifə uyğun olaraq genişləndirilməlidir:

Əlbəttə ki, problemləri həll edərkən modulun unikal şəkildə ortaya çıxdığı hallar var. Məsələn, götürsək

, burada modul işarəsi altında belə bir ifadənin x və y-nin hər hansı bir dəyəri üçün mənfi olmadığını görürük.

Və ya, məsələn, götürək

, bu modul ifadəsinin z-nin heç bir dəyəri üçün müsbət olmadığını görürük.

Tapşırıq 2

Qarşınızda bir koordinat xətti göstərilir. Bu sətirdə modulu 2-yə bərabər olacaq ədədləri qeyd etmək lazımdır.

Həll

Əvvəlcə koordinat xəttini çəkməliyik. Artıq bilirsiniz ki, bunu etmək üçün əvvəlcə düz xəttdə mənşəyi, istiqaməti və vahid seqmentini seçmək lazımdır. Sonra, başlanğıcdan iki vahid seqmentin məsafəsinə bərabər olan nöqtələri yerləşdirməliyik.

Gördüyünüz kimi, koordinat xəttində iki belə nöqtə var, onlardan biri -2, digəri isə 2 rəqəminə uyğundur.

Rəqəmlərin modulu haqqında tarixi məlumatlar

“Modul” termini latınca modulus adından gəlir və “ölçü” deməkdir. Bu termini ingilis riyaziyyatçısı Rocer Kotes təklif etmişdir. Lakin modul işarəsi alman riyaziyyatçısı Karl Weierstrass sayəsində təqdim edildi. Yazılan zaman modul aşağıdakı simvolla işarələnir: | |.

Material haqqında bilikləri möhkəmləndirmək üçün suallar

Bugünkü dərsimizdə ədədin modulu kimi bir anlayışla tanış olduq və indi verilən suallara cavab verərək bu mövzunu necə mənimsədiyinizi yoxlayaq:

1. Müsbət ədədin əksi olan ədədin adı nədir?
2. Mənfi ədədin əksi olan ədədin adı nədir?
3. Sıfırın əksi olan ədədi adlandırın. Belə bir nömrə varmı?
4. Ədədin modulu ola bilməyən ədədi adlandırın.
5. Ədədin modulunu təyin edin.

Ev tapşırığı

1. Qarşınızda modulların azalma ardıcıllığı ilə düzülməli olduğunuz nömrələr var. Tapşırığı düzgün yerinə yetirsəniz, "modul" terminini riyaziyyata ilk daxil edən şəxsin adını öyrənəcəksiniz.

2. Koordinat xəttini çəkin və M (-5) və K (8) nöqtələrindən başlanğıc nöqtəsinə qədər olan məsafəni tapın.

Mövzular > Riyaziyyat > Riyaziyyat 6-cı sinif

Bu gün, dostlar, heç bir snook və sentimentallıq olmayacaq. Əvəzində mən sizi heç bir sual vermədən 8-9-cu sinif cəbr kursunda ən güclü rəqiblərdən biri ilə döyüşə göndərəcəyəm.

Bəli, siz hər şeyi düzgün başa düşdünüz: modullu bərabərsizliklərdən danışırıq. Bu cür problemlərin təxminən 90% -ni həll etməyi öyrənəcəyiniz dörd əsas texnikaya baxacağıq. Bəs qalan 10%? Yaxşı, onlar haqqında ayrı bir dərsdə danışacağıq. :)

Bununla belə, hər hansı bir texnikanı təhlil etməzdən əvvəl sizə artıq bilməli olduğunuz iki faktı xatırlatmaq istərdim. Əks təqdirdə, bugünkü dərsin materialını ümumiyyətlə başa düşməmək riski daşıyırsınız.

Artıq bilməli olduğunuz şey

Captain Obviousness, modul ilə bərabərsizlikləri həll etmək üçün iki şeyi bilmək lazım olduğuna işarə edir:

Bərabərsizliklər necə həll olunur;
Modul nədir?

İkinci nöqtədən başlayaq.

Modul Tərifi

Burada hər şey sadədir. İki tərif var: cəbri və qrafiki. Başlamaq üçün - cəbri:

Tərif. $x$ ədədinin modulu ya mənfi deyilsə, ədədin özüdür, ya da orijinal $x$ hələ də mənfidirsə, onun əksi ədəddir.

Belə yazılıb:

\[\sol| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Sadə dillə desək, modul “mənfisiz ədəddir”. Məhz bu ikilikdə (bəzi yerlərdə orijinal nömrə ilə heç bir şey etmək lazım deyil, digərlərində bir növ mənfi cəhətləri aradan qaldırmalı olacaqsınız) yeni başlayan tələbələr üçün bütün çətinlik buradadır.

Həndəsi tərif də var. Bunu bilmək də faydalıdır, lakin biz ona yalnız mürəkkəb və bəzi xüsusi hallarda müraciət edəcəyik, burada həndəsi yanaşma cəbri yanaşmadan daha əlverişlidir (spoiler: bu gün deyil).

Tərif. Nömrə xəttində $a$ nöqtəsi qeyd olunsun. Sonra modul $\left| x-a \right|$ bu xəttdə $x$ nöqtəsindən $a$ nöqtəsinə qədər olan məsafədir.

Bir şəkil çəksəniz, belə bir şey alacaqsınız:

Qrafik modulun tərifi

Bu və ya digər şəkildə, modulun tərifindən onun əsas xassələri dərhal aşağıdakılardır: ədədin modulu həmişə qeyri-mənfi kəmiyyətdir. Bu fakt bugünkü bütün hekayəmizdən keçən qırmızı iplik olacaq.

Bərabərsizliklərin həlli. İnterval üsulu

İndi bərabərsizliklərə baxaq. Onların çoxu var, amma indi bizim vəzifəmiz ən azı onlardan ən sadəini həll etməkdir. Xətti bərabərsizliklərə, eləcə də interval metoduna endirənlər.

Bu mövzuda iki böyük dərsim var (yeri gəlmişkən, çox, çox faydalıdır - onları öyrənməyi məsləhət görürəm):

Bərabərsizliklər üçün interval üsulu (xüsusilə videoya baxın);
Fraksiyalı rasional bərabərsizliklər çox geniş bir dərsdir, lakin ondan sonra heç bir sualınız olmayacaq.

Bütün bunları bilirsinizsə, əgər “bərabərsizlikdən tənliyə keçək” ifadəsi sizdə özünüzü divara vurmaq üçün qeyri-müəyyən bir istək yaratmırsa, o zaman hazırsınız: dərsin əsas mövzusuna cəhənnəmə xoş gəldiniz :).

1. “Modulu funksiyadan kiçikdir” formasının bərabərsizlikləri

Bu modullarla bağlı ən çox rast gəlinən problemlərdən biridir. Formanın bərabərsizliyini həll etmək tələb olunur:

\[\sol| f\sağ| \ltg\]

$f$ və $g$ funksiyaları istənilən ola bilər, lakin adətən onlar çoxhədlidirlər. Belə bərabərsizliklərə misallar:

Hamısı aşağıdakı sxemə uyğun olaraq bir sətirdə sözün həqiqi mənasında həll edilə bilər:

\[\sol| f\sağ| \lt g\Sağ ox -g \lt f \lt g\dörd \sol(\Sağ ox \sol\( \başla(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(düzləşdir) \sağ.\sağ)\]

Moduldan xilas olduğumuzu görmək asandır, lakin bunun müqabilində ikiqat bərabərsizlik (yaxud, eyni şeydir, iki bərabərsizlik sistemi) alırıq. Ancaq bu keçid tamamilə bütün mümkün problemləri nəzərə alır: modulun altındakı rəqəm müsbət olarsa, metod işləyir; mənfi olarsa, yenə də işləyir; və hətta $f$ və ya $g$ əvəzinə ən qeyri-adekvat funksiya ilə belə metod yenə də işləyəcək.

Təbii ki, sual yaranır: daha sadə ola bilməzmi? Təəssüf ki, bu mümkün deyil. Bu modulun bütün nöqtəsidir.

Ancaq fəlsəfə ilə kifayətlənir. Gəlin bir neçə problemi həll edək:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\]

Həll. Beləliklə, qarşımızda "modul azdır" şəklində klassik bir bərabərsizlik var - hətta çevriləcək bir şey yoxdur. Alqoritmə uyğun işləyirik:

\[\begin(align) & \left| f\sağ| \lt g\Sağ ox -g \lt f \lt g; \\ & \sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\Sağ ox -\sol(x+7 \sağ) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Öncə "mənfi" olan mötərizələri açmağa tələsməyin: tələsdiyiniz zaman təhqiramiz bir səhv edə bilərsiniz.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \sağa.\]

\[\sol\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \sağa.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \sağ.\]

Problem iki elementar bərabərsizliyə endirildi. Onların həllərini paralel say xətləri üzərində qeyd edək:
Çoxlarının kəsişməsi
Bu dəstlərin kəsişməsi cavab olacaq.

Cavab: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ|+3\sol(x+1 \sağ) \lt 0\]

Həll. Bu iş bir az daha çətindir. Əvvəlcə ikinci termini sağa köçürərək modulu təcrid edək:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]

Aydındır ki, biz yenə də “modul daha kiçikdir” şəklində bərabərsizliyə sahibik, ona görə də artıq məlum olan alqoritmdən istifadə edərək moduldan qurturuq:

\[-\sol(-3\sol(x+1 \sağ) \sağ) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]

İndi diqqət edin: kimsə deyəcək ki, mən bütün bu mötərizələrlə bir az pozğunam. Ancaq bir daha xatırlatmaq istərdim ki, bizim əsas məqsədimiz budur bərabərsizliyi düzgün həll edin və cavabını alın. Daha sonra, bu dərsdə təsvir olunan hər şeyi mükəmməl mənimsədikdən sonra, onu özünüz istədiyiniz kimi təhrif edə bilərsiniz: mötərizələr açın, mənfi cəhətlər əlavə edin və s.

Başlamaq üçün sol tərəfdəki ikiqat mənfidən xilas olacağıq:

\[-\sol(-3\sol(x+1 \sağ) \sağ)=\sol(-1 \sağ)\cdot \left(-3 \sağ)\cdot \sol(x+1 \sağ) =3\sol(x+1 \sağ)\]

İndi ikiqat bərabərsizlikdə bütün mötərizələri açaq:

Gəlin ikiqat bərabərsizliyə keçək. Bu dəfə hesablamalar daha ciddi olacaq:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(hizalayın) \sağa.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( düzləşdirin)\sağa.\]

Hər iki bərabərsizlik kvadratdır və interval üsulu ilə həll edilə bilər (buna görə deyirəm: bunun nə olduğunu bilmirsinizsə, hələ modulları götürməmək daha yaxşıdır). Birinci bərabərsizlikdəki tənliyə keçək:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \sağ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(hizalayın)\]

Göründüyü kimi, çıxış elementar şəkildə həll edilə bilən natamam kvadratik tənlikdir. İndi sistemin ikinci bərabərsizliyinə baxaq. Orada Vyeta teoremini tətbiq etməli olacaqsınız:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \sol(x-3 \sağ)\sol(x+2 \sağ)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(hizalayın)\]

Yaranan ədədləri iki paralel xətt üzərində qeyd edirik (birinci bərabərsizlik üçün ayrı, ikincisi üçün ayrı):
Yenə bərabərsizliklər sistemini həll etdiyimiz üçün bizi kölgəli çoxluqların kəsişməsi maraqlandırır: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Bu cavabdır.
Cavab: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Düşünürəm ki, bu nümunələrdən sonra həll sxemi son dərəcə aydındır:

Bütün digər şərtləri bərabərsizliyin əks tərəfinə keçirərək modulu təcrid edin. Beləliklə, $\left| formasının bərabərsizliyini alırıq f\sağ| \ltg$.
Yuxarıda təsvir olunan sxemə uyğun olaraq moduldan qurtulmaqla bu bərabərsizliyi həll edin. Nə vaxtsa ikiqat bərabərsizlikdən hər biri artıq ayrıca həll oluna bilən iki müstəqil ifadələr sisteminə keçmək lazım gələcək.
Nəhayət, qalan yalnız bu iki müstəqil ifadənin həllərini kəsməkdir - və budur, son cavabı alacağıq.

Oxşar alqoritm modul funksiyadan böyük olduqda aşağıdakı növ bərabərsizliklər üçün mövcuddur. Bununla belə, bir neçə ciddi “amma” var. İndi bu "amma"lar haqqında danışacağıq.

2. “Modul funksiyadan böyükdür” formasının bərabərsizlikləri

Onlar belə görünür:

\[\sol| f\sağ| \gtg\]

Əvvəlki ilə oxşar? Görünür. Və hələ də bu cür problemlər tamamilə fərqli şəkildə həll olunur. Formal olaraq, sxem aşağıdakı kimidir:

\[\sol| f\sağ| \gt g\Sağ ox \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Başqa sözlə, biz iki halı nəzərdən keçiririk:

Birincisi, biz sadəcə modula məhəl qoymuruq və adi bərabərsizliyi həll edirik;
Sonra, mahiyyət etibarilə, modulu mənfi işarəsi ilə genişləndiririk və sonra bərabərsizliyin hər iki tərəfini -1-ə vururuq, məndə işarə var.

Bu halda, variantlar kvadrat mötərizə ilə birləşdirilir, yəni. Qarşımızda iki tələbin birləşməsi var.

Xahiş edirik bir daha qeyd edin: bu, sistem deyil, buna görə də məcmuədir cavabda çoxluqlar kəsişmək əvəzinə birləşir. Bu, əvvəlki nöqtədən əsaslı fərqdir!

Ümumiyyətlə, bir çox tələbələr həmkarlar ittifaqları və kəsişmələrlə tamamilə qarışıqdırlar, buna görə də bu məsələni birdəfəlik həll edək:

"∪" birlik işarəsidir. Əslində, bu, bizə ingilis dilindən gələn və "Union" üçün qısaldılmış stilizə edilmiş "U" hərfidir, yəni. "Birliklər".
"∩" kəsişmə işarəsidir. Bu cəfəngiyat heç bir yerdən gəlməyib, sadəcə olaraq “∪” ilə əks nöqtə kimi ortaya çıxdı.

Yadda saxlamağı daha da asanlaşdırmaq üçün eynək hazırlamaq üçün ayaqlarınızı bu işarələrə çəkin (yalnız indi məni narkomaniya və alkoqolizmi təbliğ etməkdə günahlandırmayın: əgər bu dərsi ciddi şəkildə öyrənirsinizsə, deməli, artıq narkotik aludəçisisiniz):

Çoxluqların kəsişməsi və birləşməsi arasındakı fərq

Rus dilinə tərcümə edilərsə, bu, aşağıdakıları ifadə edir: birlik (total) hər iki çoxluqdan elementləri ehtiva edir, buna görə də onların hər birindən heç bir şəkildə az deyil; lakin kəsişmə (sistem) yalnız həm birinci çoxluqda, həm də ikincidə eyni vaxtda olan elementləri ehtiva edir. Buna görə də çoxluqların kəsişməsi heç vaxt mənbə çoxluqlarından böyük deyil.

Yəni daha aydın oldu? Əladır. Gəlin məşqə keçək.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\]

Həll. Sxemə uyğun olaraq davam edirik:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\Sağ ox \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \sağ) \\\end(align) \ sağ.\]

Əhalidəki hər bərabərsizliyi həll edirik:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \sağa.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \sağa.\]

Hər bir nəticə dəsti rəqəm xəttində qeyd edirik və sonra onları birləşdiririk:
Dəstlər birliyi
Cavabın $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ olacağı aydındır.

Cavab: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\]

Həll. Yaxşı? Heç nə - hər şey eynidir. Modulu olan bərabərsizlikdən iki bərabərsizlik dəstinə keçirik:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\Sağ ox \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\sonu(düzləşdirin) \sağa.\]

Hər bərabərsizliyi həll edirik. Təəssüf ki, oradakı köklər çox yaxşı olmayacaq:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(hizalayın)\]

İkinci bərabərsizlik də bir qədər vəhşidir:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(hizalayın)\]

İndi bu nömrələri iki oxda qeyd etməlisiniz - hər bərabərsizlik üçün bir ox. Bununla belə, nöqtələri düzgün ardıcıllıqla qeyd etməlisiniz: nömrə nə qədər böyükdürsə, nöqtə bir o qədər sağa doğru hərəkət edir.

Və burada bizi bir quraşdırma gözləyir. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ rəqəmləri ilə hər şey aydındırsa (birincinin payındakı şərtlər kəsr ikincinin payındakı şərtlərdən kiçikdir, ona görə də cəmi də azdır), rəqəmləri ilə $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ da heç bir çətinlik olmayacaq (müsbət nömrə açıq-aydın daha mənfi), onda sonuncu cütlükdə hər şey o qədər də aydın deyil. Hansı daha böyükdür: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ və ya $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Nöqtələrin say xətlərində yerləşdirilməsi və əslində cavab bu sualın cavabından asılı olacaq.

Beləliklə, müqayisə edək:

\[\begin(matris) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matris)\]

Kökü təcrid etdik, bərabərsizliyin hər iki tərəfində mənfi olmayan ədədlər aldıq, ona görə də hər iki tərəfi kvadrat etmək hüququmuz var:

\[\begin(matris) ((\left(2+\sqrt(13) \sağ))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \sağ))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matris)\]

Düşünürəm ki, $4\sqrt(13) \gt 3$, buna görə də $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, baltalardakı son nöqtələr belə yerləşdiriləcək:
Çirkin köklər hadisəsi
Xatırladıram ki, biz bir kolleksiya həll edirik, buna görə cavab kölgəli dəstlərin kəsişməsi deyil, birlik olacaq.

Cavab: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty \sağ)$

Gördüyünüz kimi, sxemimiz həm sadə, həm də çox çətin problemlər üçün əla işləyir. Bu yanaşmada yeganə "zəif nöqtə" odur ki, irrasional ədədləri düzgün müqayisə etməlisiniz (və inanın: bunlar təkcə köklər deyil). Ancaq müqayisə məsələlərinə ayrıca (və çox ciddi) bir dərs həsr olunacaq. Və davam edirik.

3. Mənfi olmayan “quyruqları” olan bərabərsizliklər

İndi ən maraqlı hissəyə keçirik. Bunlar formanın bərabərsizlikləridir:

\[\sol| f\sağ| \gt \sol| g\right|\]

Ümumiyyətlə, indi danışacağımız alqoritm yalnız modul üçün düzgündür. Sol və sağda mənfi olmayan ifadələrin zəmanətli olduğu bütün bərabərsizliklərdə işləyir:

Bu vəzifələrlə nə etməli? Sadəcə unutmayın:

Mənfi olmayan “quyruqları” olan bərabərsizliklərdə hər iki tərəf istənilən təbii gücə qaldırıla bilər. Əlavə məhdudiyyətlər olmayacaq.

Əvvəla, kvadratlaşdırma ilə maraqlanacağıq - modulları və kökləri yandırır:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\sol(\sqrt(f) \sağ))^(2))=f. \\\end(hizalayın)\]

Sadəcə bunu kvadratın kökü ilə qarışdırmayın:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\sol| f \right|\ne f\]

Tələbə modul quraşdırmağı unutduqda saysız-hesabsız səhvlər edildi! Ancaq bu, tamamilə fərqli bir hekayədir (bunlar, sanki, irrasional tənliklərdir), ona görə də indi bu mövzuya girməyəcəyik. Gəlin bir neçə problemi daha yaxşı həll edək:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| x+2 \sağ|\ge \sol| 1-2x \sağ|\]

Həll. Gəlin dərhal iki şeyə diqqət yetirək:

Bu ciddi bərabərsizlik deyil. Nömrə xəttindəki nöqtələr deşiləcək.

Bərabərsizliyin hər iki tərəfi açıq şəkildə mənfi deyildir (bu modulun xüsusiyyətidir: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Beləliklə, moduldan xilas olmaq və problemi adi interval metodundan istifadə edərək həll etmək üçün bərabərsizliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdıra bilərik:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \sağ)) )^(2)); \\ & ((\sol(x+2 \sağ))^(2))\ge ((\left(2x-1 \sağ))^(2)). \\\end(hizalayın)\]

Sonuncu mərhələdə bir az aldatdım: modulun bərabərliyindən istifadə edərək terminlərin ardıcıllığını dəyişdim (əslində $1-2x$ ifadəsini −1-ə vurdum).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \sağ))^(2))\le 0; \\ & \left(\sol(2x-1 \sağ)-\left(x+2 \sağ) \sağ)\cdot \left(\left(2x-1 \sağ)+\left(x+2 \ sağ)\sağ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \sağ)\cdot \left(2x-1+x+2 \sağ)\le 0; \\ & \left(x-3 \sağ)\cdot \left(3x+1 \sağ)\le 0. \\\end(align)\]

Interval metodundan istifadə edərək həll edirik. Gəlin bərabərsizlikdən tənliyə keçək:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(hizalayın)\]

Tapılan kökləri say xəttində qeyd edirik. Bir daha: bütün nöqtələr kölgədədir, çünki orijinal bərabərsizlik ciddi deyil!
Modul işarəsindən qurtulmaq
Xüsusilə inadkar olanlar üçün xatırlatmaq istəyirəm: biz tənliyə keçməzdən əvvəl yazılmış sonuncu bərabərsizlikdən işarələri götürürük. Və eyni bərabərsizlikdə tələb olunan sahələri boyayırıq. Bizim vəziyyətimizdə $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$-dır.

Tamam, indi hər şey bitdi. Problem həll olunur.

Cavab: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \sağ|\]

Həll. Biz hər şeyi eyni edirik. Mən şərh verməyəcəyəm - sadəcə hərəkətlərin ardıcıllığına baxın.

Kvadrat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \sağ| \sağ))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ sağa))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \sağ)\times \\ & \times \sol(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \sağ)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \sağ)\le 0. \\\end(align)\]

Interval metodu:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Sağ ox x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(hizalayın)\]

Say xəttində yalnız bir kök var:
Cavab bütöv bir intervaldır
Cavab: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Son tapşırıq haqqında kiçik bir qeyd. Tələbələrimdən birinin dəqiq qeyd etdiyi kimi, bu bərabərsizlikdəki hər iki submodul ifadəsi açıq şəkildə müsbətdir, ona görə də modul işarəsi sağlamlığa zərər vermədən buraxıla bilər.

Ancaq bu, tamamilə fərqli düşüncə səviyyəsi və fərqli yanaşmadır - onu şərti olaraq nəticələr metodu adlandırmaq olar. Bu barədə - ayrı bir dərsdə. İndi bugünkü dərsin yekun hissəsinə keçək və həmişə işləyən universal alqoritmə baxaq. Bütün əvvəlki yanaşmalar gücsüz olduqda belə.

4. Variantların sadalanması üsulu

Bəs bütün bu üsullar kömək etmirsə? Bərabərsizliyi mənfi olmayan quyruqlara endirmək mümkün deyilsə, modulu təcrid etmək mümkün deyilsə, ümumiyyətlə ağrı, kədər, melankoliya varsa?

Sonra bütün riyaziyyatın "ağır artilleriyası" səhnəyə çıxır - kobud qüvvə üsulu. Modulu olan bərabərsizliklərə münasibətdə belə görünür:

Bütün submodul ifadələri yazın və onları sıfıra bərabər qoyun;
Alınan tənlikləri həll edin və bir ədəd xəttində tapılan kökləri qeyd edin;
Düz xətt bir neçə hissəyə bölünəcək, onların daxilində hər bir modul sabit işarəyə malikdir və buna görə də unikal şəkildə aşkarlanır;
Hər bir belə bölmə üzrə bərabərsizliyi həll edin (2-ci addımda əldə edilən kök-sərhədləri ayrıca nəzərdən keçirə bilərsiniz - etibarlılıq üçün). Nəticələri birləşdirin - bu cavab olacaq. :)

Belə ki, necə? Zəif? Asanlıqla! Yalnız uzun müddətdir. Gəlin praktikada baxaq:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| x+2 \sağ| \lt \sol| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Həll. Bu cəfəngiyat $\left| kimi bərabərsizliklərə köklənmir f\sağ| \lt g$, $\sol| f\sağ| \gt g$ və ya $\left| f\sağ| \lt \sol| g \right|$, buna görə də irəlidə hərəkət edirik.

Submodul ifadələri yazırıq, onları sıfıra bərabərləşdiririk və kökləri tapırıq:

\[\begin(align) & x+2=0\Sağ ox x=-2; \\ & x-1=0\Sağ ox x=1. \\\end(hizalayın)\]

Ümumilikdə, say xəttini üç hissəyə bölən iki kökümüz var, onların içərisində hər modul unikal şəkildə aşkar edilir:
Submodul funksiyaların ədəd xəttinin sıfırlara bölünməsi
Hər bölməyə ayrıca baxaq.

1. $x \lt -2$ olsun. Onda hər iki submodul ifadə mənfi olur və orijinal bərabərsizlik aşağıdakı kimi yenidən yazılacaq:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(hizalayın)\]

Kifayət qədər sadə bir məhdudiyyətimiz var. $x \lt -2$ olan ilkin fərziyyə ilə kəsişək:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Sağ ox x\in \varnothing \]

Aydındır ki, $x$ dəyişəni eyni vaxtda −2-dən kiçik və 1,5-dən böyük ola bilməz. Bu sahədə heç bir həll yolu yoxdur.

1.1. Sərhəd halını ayrıca nəzərdən keçirək: $x=-2$. Gəlin bu rəqəmi ilkin bərabərsizliklə əvəz edək və yoxlayaq: doğrudurmu?

\[\begin(align) & ((\sol. \left| x+2 \sağ| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \sağ|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \sol| -3\right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Sağ ox \varnothing . \\\end(hizalayın)\]

Aydındır ki, hesablamalar zənciri bizi düzgün olmayan bərabərsizliyə gətirib çıxarıb. Buna görə də ilkin bərabərsizlik də yanlışdır və $x=-2$ cavaba daxil edilmir.

2. İndi $-2 \lt x \lt 1$ olsun. Sol modul artıq "artı" ilə açılacaq, lakin sağ modul hələ də "minus" ilə açılacaq. Bizdə:

\[\başla(align) & x+2 \lt -\sol(x-1 \sağ)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\sonu(hizalayın)\]

Yenə orijinal tələblə kəsişir:

\[\sol\( \başlamaq(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(hizalamaq) \sağa.\Sağ ox x\in \varheç bir şey \]

Və yenə də həllər çoxluğu boşdur, çünki həm −2,5-dən kiçik, həm də −2-dən böyük olan heç bir ədəd yoxdur.

2.1. Və yenə də xüsusi hal: $x=1$. Orijinal bərabərsizliyi əvəz edirik:

\[\begin(align) & ((\sol. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \sağ|)_(x=1)) \\ & \sol| 3\sağ| \lt \sol| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Sağ ox \varnothing . \\\end(hizalayın)\]

Əvvəlki “xüsusi hal” kimi, $x=1$ rəqəmi açıq şəkildə cavaba daxil edilmir.

3. Xəttin sonuncu hissəsi: $x \gt 1$. Burada bütün modullar artı işarəsi ilə açılır:

\[\başla(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Və yenə tapılan çoxluğu orijinal məhdudiyyətlə kəsirik:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \sağa.\Sağ ox x\in \left(4.5;+\infty \sağ)\ ]

Nəhayət! Cavab olacaq bir interval tapdıq.

Cavab: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Nəhayət, real problemləri həll edərkən sizi axmaq səhvlərdən xilas edə biləcək bir qeyd:

Modullu bərabərsizliklərin həlli adətən say xəttində fasiləsiz çoxluqları - intervalları və seqmentləri təmsil edir. Təcrid olunmuş nöqtələr daha az yayılmışdır. Və hətta daha az hallarda, həllin sərhədi (seqmentin sonu) nəzərdən keçirilən diapazonun sərhədi ilə üst-üstə düşür.

Nəticə etibarilə, əgər sərhədlər (eyni “xüsusi hallar”) cavaba daxil edilmirsə, bu sərhədlərin solunda və sağında olan sahələr demək olar ki, cavaba daxil edilməyəcək. Və əksinə: sərhəd cavaba girdi, bu o deməkdir ki, onun ətrafındakı bəzi ərazilər də cavablar olacaq.

Həlllərinizi nəzərdən keçirərkən bunu nəzərə alın.

Bu dərs həqiqi ədədin modulu anlayışını nəzərdən keçirəcək və onun bəzi əsas təriflərini təqdim edəcək, ardınca bu təriflərdən müxtəlif istifadəni nümayiş etdirən nümunələr təqdim olunacaq.

Mövzu:Həqiqi ədədlər

Dərs:Həqiqi ədədin modulu

1. Modul Tərifləri

Belə bir anlayışı həqiqi ədədin modulu kimi nəzərdən keçirək, onun bir neçə tərifi var;

Tərif 1. Koordinat xəttinin nöqtəsindən sıfıra qədər olan məsafə deyilir modul nömrəsi, bu nöqtənin koordinatıdır (şək. 1).

Misal 1. . Qeyd edək ki, əks ədədlərin modulları bərabərdir və mənfi deyil, çünki bu məsafədir, lakin mənfi ola bilməz və sıfıra yaxın simmetrik ədədlərdən başlanğıc nöqtəsinə qədər olan məsafə bərabərdir.

Tərif 2. .

Nümunə 2. Tətbiq olunan təriflərin ekvivalentliyini nümayiş etdirmək üçün əvvəlki nümunədə qoyulan problemlərdən birini nəzərdən keçirək. , gördüyümüz kimi modul işarəsinin altında mənfi ədədlə onun qarşısına başqa bir mənfi əlavə etmək modulun tərifindən aşağıdakı kimi qeyri-mənfi nəticə verir.

Nəticə. Koordinat xəttində koordinatları olan iki nöqtə arasındakı məsafəni aşağıdakı kimi tapmaq olar nöqtələrin nisbi mövqeyindən asılı olmayaraq (şək. 2).

2. Modulun əsas xassələri

1. İstənilən ədədin modulu mənfi deyil

2. Məhsulun modulu modulların məhsuludur

3. Kəmiyyət modulu modulların bölünməsidir

3. Problemin həlli

Misal 3. Tənliyi həll edin.

Həll. İkinci modul tərifindən istifadə edək: və tənliyimizi modulun açılması üçün müxtəlif variantlar üçün tənliklər sistemi şəklində yazın.

Misal 4. Tənliyi həll edin.

Həll. Əvvəlki nümunənin həlli kimi, biz bunu əldə edirik.

Misal 5. Tənliyi həll edin.

Həll. Modulun ilk tərifindən nəticə çıxararaq həll edək: . İstədiyiniz kökün 3-cü nöqtədən 2 məsafədə olacağını nəzərə alaraq, bunu ədəd oxunda təsvir edək (şəkil 3).

Şəkilə əsasən, tənliyin köklərini alırıq: , çünki belə koordinatları olan nöqtələr tənlikdə tələb olunduğu kimi 3-cü nöqtədən 2 məsafədədir.

Cavab verin. .

Misal 6. Tənliyi həll edin.

Həll. Əvvəlki problemlə müqayisədə yalnız bir mürəkkəblik var - bu, koordinat oxundakı ədədlər arasındakı məsafə haqqında nəticənin tərtibi ilə tam oxşarlığın olmamasıdır, çünki modul işarəsi altında mənfi deyil, artı işarəsi var. işarəsi. Ancaq onu lazımi formaya gətirmək çətin deyil, biz bunu edəcəyik:

Bunu əvvəlki həllə bənzər şəkildə ədəd oxunda təsvir edək (şək. 4).

Tənliyin kökləri .

Cavab verin. .

Misal 7. Tənliyi həll edin.

Həll. Bu tənlik əvvəlkindən bir az daha mürəkkəbdir, çünki naməlum ikinci yerdədir və mənfi işarəyə malikdir, əlavə olaraq, onun ədədi çarpanı da var. Birinci problemi həll etmək üçün modul xüsusiyyətlərindən birini istifadə edirik və əldə edirik:

İkinci məsələni həll etmək üçün dəyişənlərin dəyişməsini həyata keçirək: , bu bizi ən sadə tənliyə aparacaq . Modulun ikinci tərifi ilə . Bu kökləri əvəzedici tənliyə əvəz edin və iki xətti tənlik alın:

Cavab verin. .

4. Kvadrat kök və modul

Çox vaxt köklərlə bağlı problemləri həll edərkən modullar yaranır və onların yarandığı vəziyyətlərə diqqət yetirməlisiniz.

Bu şəxsiyyətə ilk baxışda suallar yarana bilər: “Niyə orada modul var?” və "şəxsiyyət niyə yanlışdır?" Belə çıxır ki, biz ikinci suala sadə əks-nümunə verə bilərik: əgər bu doğru olmalıdırsa, bu, ekvivalentdir, lakin bu, yanlış şəxsiyyətdir.

Bundan sonra sual yarana bilər: “Belə bir şəxsiyyət problemi həll etmirmi?”, lakin bu təklifin əks nümunəsi də var. Əgər bu doğru olmalıdırsa, bu, ekvivalentdir, lakin bu yanlış şəxsiyyətdir.

Müvafiq olaraq, əgər mənfi olmayan ədədin kvadrat kökünün mənfi olmayan ədəd olduğunu və modul dəyərinin mənfi olmadığını xatırlasaq, yuxarıdakı ifadənin niyə doğru olduğu aydın olar:

Misal 8. İfadənin qiymətini hesablayın.

Həll. Bu cür tapşırıqlarda dərhal kökdən düşünmədən xilas olmaq deyil, yuxarıda qeyd olunan şəxsiyyətdən istifadə etmək vacibdir, çünki .

Müsbət (təbii) ədədlərdən, mənfi ədədlərdən və sıfırdan ibarətdir.

Bütün mənfi ədədlər və yalnız onlar sıfırdan kiçikdir. Say xəttində mənfi ədədlər sıfırın solunda yerləşir. Onlar üçün, müsbət ədədlərə gəldikdə, bir tam ədədi digəri ilə müqayisə etməyə imkan verən bir sıra əlaqəsi müəyyən edilir.

Hər natural ədəd üçün n işarələnmiş bir və yalnız bir mənfi ədəd var -n, tamamlayır n sıfıra: n + (− n) = 0 . Hər iki nömrə çağırılır əks bir-birimiz üçün. Tam ədədin çıxarılması a onun əksi ilə əlavə etməyə bərabərdir: -a.

Mənfi ədədlərin xassələri

Mənfi ədədlər natural ədədlərlə demək olar ki, eyni qaydalara əməl edir, lakin bəzi xüsusi xüsusiyyətlərə malikdir.

Tarixi eskiz

Ədəbiyyat

Vygodsky M. Ya.İbtidai Riyaziyyat Təlimatı. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
Glazer G.I. Məktəbdə riyaziyyatın tarixi. - M.: Təhsil, 1964. - 376 s.

Bağlantılar

Wikimedia Fondu. 2010.

Ehtiyatsız zərər vurmaq
Neotropiklər

Digər lüğətlərdə "Qeyri-mənfi nömrə"nin nə olduğuna baxın:

Həqiqi nömrə- Həqiqi və ya həqiqi ədəd, ətraf aləmin həndəsi və fiziki kəmiyyətlərini ölçmək, həmçinin kökləri çıxarmaq, loqarifmləri hesablamaq, həll etmək kimi əməliyyatları yerinə yetirmək zərurətindən yaranan riyazi abstraksiyadır... ... Vikipediya.

adətən kiçik qeyri-mənfi tam ədəddir- Məhdudiyyətsiz qeyri-mənfi tam ədədin dəyərlərini təmsil edən, lakin kiçik dəyərlərin daha tez-tez baş vermə ehtimalı yüksək olan kodlaşdırmanın bir hissəsi (ITU T X.691). Mövzular...... Texniki Tərcüməçi Bələdçisi

REAL NÖMRƏ- həqiqi ədəd, müsbət ədəd, mənfi ədəd və ya sıfır. Ədəd anlayışı rasional ədəd anlayışını genişləndirməklə yaranmışdır. Bu genişlənmə ehtiyacı həm ifadədə riyaziyyatın praktiki istifadəsi ilə əlaqədardır... ... Riyaziyyat ensiklopediyası

Baş nömrə- Sadə ədəd tam olaraq iki fərqli təbii bölən olan natural ədəddir: bir və özü. Birindən başqa bütün digər natural ədədlər mürəkkəb adlanır. Beləliklə, bütün natural ədədlər birdən böyükdür... ... Vikipediya

natural ədəd- ▲ tam ifadəli, həqiqi, ədəd natural ədədi qeyri-mənfi tam ədəd; ayrı-ayrı bütöv obyektlərin sayını nə ilə ifadə edir l. aqreqatlar; həqiqi bütöv obyektlərin sayını işarələyin; ədədlərin ifadəsi. dörd... Rus dilinin ideoqrafik lüğəti

Ondalık- Onluq, həqiqi ədədləri kəsrin işarəsinin olduğu formada təmsil edən kəsr növüdür: ya, ya da, tam ədəd və ədədin kəsr hissəsi arasında ayırıcı rolunu oynayan onluq nöqtə. .. ... Vikipediya Vikipediya

SHMO rəhbəri
riyaziyyat müəllimləri _______Kalaşnikova Zh.YuBələdiyyə büdcə təhsil müəssisəsi
“89 nömrəli tam orta məktəb”
Riyaziyyatdan tematik testlər 6-cı siniflər üçün
I.I.-nin dərsliyinə görə. Zubareva və A.G. Mordkoviç
Tərtib edənlər: riyaziyyat müəllimləri:
Kalaşnikova Janna Yurievna
Stolbova Lyudmila Antonovna
ZATO Seversk
2016
Məzmun
Test №1………………………………………………………………………………….3-6
Test № 2……………………………………………………………………………………….7-10
Test № 3………………………………………………………………………………………………………….11-14
Cavablar……………………………………………………………………………………………………..15
Test №1 “Müsbət və mənfi ədədlər”
Seçim 1
Mənfi kəsr ədədi daxil edin:
-165
38
-7.92
67 “Koordinat şüasında -5,5 rəqəmi qeyd olunub” hadisəsini təsvir edin.
Etibarlı
Mümkün deyil
Təsadüfi

Dörd ədəddən hansı ən böyükdür?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Hansı nöqtə koordinat xəttində O (0) nöqtəsindən sağda yerləşir?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D(-1,2)
Gecələr havanın temperaturu -5°C olub. Gün ərzində termometr artıq +3 °C idi. Havanın temperaturu necə dəyişdi?
8o artdı
2o azaldı
2o artdı
8o azaldı
X(-2) nöqtəsi koordinat xəttində - simmetriyanın mərkəzi ilə işarələnmişdir. Bu xəttdə yerləşən nöqtələrin koordinatlarını x nöqtəsinə simmetrik olaraq göstərin.

(-1) və (1)
(-1) və (1)
(3) və (-3)
(0) və (-4)
Koordinat xəttində hansı nöqtələr başlanğıca görə simmetrik deyil - O nöqtəsi (0).
B(-5) və C(5)
D(0,5) və E(-0,5)
M(-3) və K(13)
A(18) və X(-18)
0,316+0,4 ədədlərinin cəmi neçəyə bərabərdir?
0,356
0,716
4,316
0,32
0,4-ün 25%-ni hesablayın.
0,1
0,001
10
100
9100 və 0.03 fərqini hesablayın
0,05
0,6
9,03
350 Seçim 2
Mənfi kəsr ədədi daxil edin.
8,63
-1045
913-0,2
“Koordinat şüasında 7 rəqəmi qeyd olunub” hadisəsini təsvir edin.
Təsadüfi
Mümkün deyil
Etibarlı
Hansı ədəd ən kiçikdir?
15,49
154,9
1,549
1549
Nöqtələrdən hansı O(0) nöqtəsinin solunda koordinat xəttində yerləşir.
A(-0,5)
AT 6)
M(0,5)
K(38)
Gündüz termometr +5 ° C, axşam isə -2 ° C göstərdi. Havanın temperaturu necə dəyişdi?
3o artdı
7o azaldı
3o azaldı
7o artdı
Simmetriyanın mərkəzi koordinat xəttində – A(-3) nöqtəsi üzərində işarələnmişdir. Bu xəttdə yerləşən nöqtələrin koordinatlarını A nöqtəsinə simmetrik olaraq göstərin.

(-2) və (2)
(0) və (-5)
(-6) və (1)
(-1) və (-5)
Koordinat xəttinin hansı nöqtələri başlanğıca görə simmetrik deyil - O(0) nöqtəsi.
A(6) və B(-6)
C(12) və D(-2)
M(-1) və K(1)
X (-9) və Y (9)
0,237 və 0,3 ədədlərinin cəmi neçədir?
0,24
3,237
0,537
0,267
0,5-in 20%-ni hesablayın
10
0,1
0,2
0,01
0,07 və 31001250 fərqini hesablayın.5
1
425 Sınaq № 2. Ədədin mütləq dəyəri. Əks nömrələr.
Seçim 1
Verilmiş ədədlərdən hansının modulu ən kiçikdir
-11
1013-4,196
-4,2
Yanlış tənliyi təyin edin
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 Mənfi olmayan ədədin modulu qeyri-mənfi ədəddir. Bu ifadə doğrudurmu?
Bəli
Yox
Bu ədədlərdən hansı -34 rəqəminin əksidir?43-43-3434 m = -15 olarsa -(-m) ifadəsinin qiyməti neçəyə bərabərdir?
+15
-15
İfadənin qiymətini hesablayın: -2,5∙4--919
-10
1
-1
Tənliyi həll edin: x=40-40
40
40 və ya -40
2.75 və 3.9 ədədləri arasındakı koordinat xəttində hansı tam ədədlər yerləşir?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
-30>-50 bərabərsizliyi doğrudurmu?
Yox
X≤30, 1, 2 olduqda bütün x tam ədədlərini sadalayın
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Seçim 2
Hansı ədədin modulu ən böyükdür?
-0,6
-50,603
493550,530
Yanlış tənliyi təyin edin
-1,5=1,512=12-117=117-325=-325Mənfi ədədin modulu mənfi ədəd ola bilərmi?
Bəli
Yox

Bu ədədlərdən hansı 124-ün əksidir?
-24
24
-124124K = -9 olarsa –(-k) ifadəsinin qiyməti neçədir
-9
+9
İfadənin qiymətini hesablayın: 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
x=100100 tənliyini həll edin
-100
100 və ya -100
1 və - 4.5 ədədləri arasındakı koordinat xəttində hansı tam ədədlər yerləşir
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
-25 bərabərsizliyi doğrudurmu?<-10?
Bəli
Yox
X≤44, 3, 2 olduqda bütün x tam ədədlərini sadalayın
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Test № 3. Rəqəmlərin müqayisəsi
Seçim 1
Bərabərsizliklərdən hansı yanlışdır?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
0 rəqəminin istənilən mənfi ədəddən böyük olması doğrudurmu?
Bəli
Yox
a rəqəmi mənfi deyil. Bu ifadəni bərabərsizlik kimi necə yaza bilərik?
a<0a≤0a≥0a>0Verilmiş ədədlərin ən böyüyünü göstərin.
0,16
-3018-0,4
0,01
x-in hansı təbii qiymətləri üçün x≤44, 3, 2 bərabərsizliyi doğrudur?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
y-nin hansı tam qiymətləri üçün y bərabərsizliyi doğrudur?<-2?0
-1
0, -1, 1
Belə dəyərlər yoxdur
Rəqəmlər -6; -3,8; -115; 0.8 yerləşir:
Azalan qaydada
Artan qaydada
Dağınıq
Hava proqnozu radioda yayımlanıb: temperaturun -20 °C-ə enəcəyi gözlənilir. Bu hadisəni təsvir edin:
Mümkün deyil
Etibarlı
Təsadüfi
Seçim 2
Bərabərsizliklərdən hansı doğrudur?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Bərabərsizliyin doğru olması üçün bu kəsrlər arasında hansı işarə yazılmalıdır?
-1315 -715<
>
=
0 rəqəminin hər hansı mənfi ədəddən kiçik olduğu doğrudurmu?
Bəli
Yox
x ədədi sıfırdan böyük deyil. Bu ifadəni bərabərsizlik kimi necə yaza bilərik?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35 a≤3 bərabərsizliyi a-nın hansı təbii qiymətləri doğrudur?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
m-nin hansı tam qiymətləri üçün m bərabərsizliyi doğrudur?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Belə dəyərlər yoxdur
Rəqəmlər 1,2; -1,2; -427; -100 yerləşir:
Dağınıq
Artan qaydada
Azalan qaydada
Koordinat xəttində A(5) nöqtəsi qeyd olunur. Bu xəttdə təsadüfi olaraq başqa bir B nöqtəsi qeyd edildi. Onun koordinatı 5-in əksi oldu. Bu hadisəni təsvir edin.
Təsadüfi
Etibarlı
Mümkün deyil
Cavablar
Test No 1 Test No 2
№ 1 Variant 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
№ 1 Variant 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

Test № 3
№ 1 Variant 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3