sənətkarlıq

Elastiklik nəzəriyyəsində problemlərin növləri. Elastiklik nəzəriyyəsinin əsas tənlikləri. Elastiklik nəzəriyyəsində problemlərin növləri Klassik elastiklik nəzəriyyəsinin öyrənilməsi mövzusu nədir

Rusiya Dövlət Universiteti

onları neft və qaz. İ.M.Qubkina

Texniki Mexanika kafedrası

ÖZET

"Elastiklik nəzəriyyəsi"

Tamamladı: Polyakov A. A.

Yoxlayan: Evdokimov A.P.

Moskva 2011

elastiklik nəzəriyyəsi tənliyi

1. Giriş

Bədənin bir nöqtəsində gərginlik-gərginlik vəziyyəti nəzəriyyəsi

2.1 Stress nəzəriyyəsi

2 Deformasiya nəzəriyyəsi

3 Elastik cisimlər üçün gərginlik və deformasiya halı arasında əlaqə

Elastiklik nəzəriyyəsinin əsas tənlikləri. Elastiklik nəzəriyyəsində problemlərin növləri

1 Elastiklik nəzəriyyəsinin əsas tənlikləri

2 Elastiklik nəzəriyyəsində məsələlərin növləri

4 yerdəyişmələrdə elastiklik nəzəriyyəsinin tənlikləri (Lame tənliklər)

Elastiklik nəzəriyyəsinin variasiya prinsipləri

1 Mümkün yerdəyişmələr prinsipi (Laqranj prinsipi)

2 Mümkün vəziyyətlər prinsipi (Castillano prinsipi)

3 Laqranj və Castigliano prinsipləri əsasında əldə edilən dəqiq həll və həllər arasında əlaqə

İstifadə olunmuş ədəbiyyatın siyahısı

1. Giriş

Gərginliklər və deformasiyalar nəzəriyyələri O. Koşi tərəfindən yaradılmışdır. Onlar 1822-ci ildə Paris Elmlər Akademiyasına təqdim edilmiş, xülasəsi 1823-cü ildə nəşr edilmiş bir işdə və bir sıra sonrakı məqalələrdə öz əksini tapmışdır. O.Koşi elementar tetraedrin tarazlığının üç tənliyini çıxardı, tangensial gərginliklərin qoşalaşması qanununu sübut etdi, baş oxlar və baş gərginliklər anlayışlarını təqdim etdi və diferensial tarazlıq tənliklərini çıxardı (adətən, onlar tənliklərin gücü zamanı alınmır). materiallar). O, həmçinin radius vektorlarının uclarının yerləşdiyi, istiqamətləri normalların sahələrə istiqaməti ilə üst-üstə düşən və dəyəri kvadrat kökə tərs mütənasib olan normal gərginliklərin səthini (Koşi kvadratı) təqdim etdi. bu sahədə normal gərginliyin mütləq qiymətini təyin etmiş və bu səthin başlanğıcda mərkəzləşmiş ikinci dərəcəli səth olduğu sübut edilmişdir. Normal gərginliklərin səthinin əsas oxlara çevrilməsinin mümkünlüyü hər bir nöqtədə üç qarşılıqlı əsas perpendikulyar sahənin mövcudluğunu göstərir.

Bənzər kəsmə gərginliyi səthi rus mexaniki G.V. Kolosov 1933-cü ildə

Kosmosda gərginlik halının gərginliklərin ellipsoidi şəklində həndəsi şərhi Q.Lame və B.Klapeyron tərəfindən 1828-ci ildə Paris Elmlər Akademiyasına təqdim edilmiş və 1833-cü ildə nəşr olunmuş xatirələrində verilmişdir.

Əsas oxdan keçən platformaların bir seriyası üçün müstəvidə gərginlik halının həndəsi şəkildə, gərginliklər dairəsi şəklində təsviri K.Kulman tərəfindən 1866-cı ildə öz kitabında təklif edilmişdir.

Gərginlik vəziyyətinin ümumi halı üçün onun müstəvidə çox aydın həndəsi şərhi 1882-ci ildə O. Mohr (dairəvi Mohr diaqramı adlanır) tərəfindən verilmişdir. Bundan bir sıra mühüm nəticələr çıxarmaq olar. əsas gərginliklərin ekstremallığı, tangensial gərginliklərin maksimum olduğu sahələrin vəziyyəti və bu maksimum kəsmə gərginliklərinin qiymətləri haqqında.

O. Koşi deformasiyaların tərifini vermiş, kiçik deformasiyaların konkret halda yerdəyişmələrdən asılılığını çıxarmışdır (bu asılılıqlar, bir qayda olaraq, materialların müqaviməti prosesində yaranmır), əsas gərginliklər və əsas anlayışları müəyyən etmişdir. gərginlik komponentlərinin izotrop və anizotrop elastik cisim üçün deformasiya komponentlərindən asılılıqları əldə edilmişdir. Materialların müqavimətində adətən izotrop cisim üçün deformasiya komponentlərinin gərginlik komponentlərindən asılılığı müəyyən edilir. Onları ümumiləşdirilmiş Huk qanunu adlandırırlar, baxmayaraq ki, əlbəttə ki, bu ad ixtiyaridir, çünki R. Huk stress anlayışını bilmirdi.

Bu asılılıqlarda Koşi əvvəlcə iki sabiti təqdim etdi və gərginliklərin deformasiyalardan asılılıqlarını formada yazdı.

m, ,

Lakin sonradan O.Koşi L.Navierin konsepsiyasını qəbul etdi. Buna görə elastik cisimlər molekullardan ibarətdir, onların arasında deformasiya zamanı molekulları birləşdirən düz xətlərin istiqamətlərində hərəkət edən və molekullar arasındakı məsafələrin dəyişməsinə mütənasib olan qüvvələr yaranır. Onda anizotrop cismin ümumi halı üçün elastik sabitlərin sayı 15-dir, izotrop cisim üçün isə bir elastik sabiti əldə edirik. S. Puasson bu fərziyyəyə sadiq qaldı və başlanğıcda - Q. Lame və B. Klapeyron. Buna əsasən, Puasson eninə deformasiya əmsalının 1/4 olduğunu müəyyən etdi.

D. Qrin 1839-cu ildə elastik cisimlərin molekulyar quruluşu fərziyyəsindən istifadə etmədən deformasiyalar və gərginliklər arasındakı əlaqəni əldə etmişdir. O, onları enerjinin saxlanması prinsipinə əsaslanaraq, elastik potensial anlayışını təqdim edərək, altı gərginlik komponentindən altı deformasiya komponentinin xətti asılılığından istifadə edərkən, 36 əmsaldan 21-nin müstəqil olduğunu, yəni. anizotrop cisim, elastik sabitlərin sayı 21-dir İzotrop cisim üçün elastik sabitlərin sayı ikiyə endirilir. Anizotrop cisim üçün elastik sabitlərin sayının 15, izotrop cisim üçün isə 1 olduğu nəzəriyyə bəzən “rarik sabit” və ya “uniconstant” adlanırdı və anizotrop cisim üçün elastik sabitlərin sayının olduğu nəzəriyyə 21 və izotrop 2 üçün - "çox sabit" .

Bu nəzəriyyələrin tərəfdarları arasındakı mübahisə fizikləri eksperimental tədqiqatlara sövq etdi.

Q. Wertheim, şüşə və metal boruların eksenel gərginlikdə daxili həcmlərinin ölçülməsinə əsaslanaraq, 1848-ci ildə eninə deformasiya əmsalının 1/4-ə bərabər olmadığını müəyyən etdi. Müxtəlif materiallar üçün fərqli hesab etdi, lakin bir çox materiallar üçün 1/3-ə yaxın idi.

VƏ MƏN. Kupffer, 1853-cü ildə metal çubuqları gərginlik və burulma üçün sınaqdan keçirərək, kəsmə və gərginlikdə modulların nisbətinin 1/4-ə bərabər olan eninə deformasiyaya uyğun olmadığını tapdı.

1855-ci ildə F. Neumann əyilmə üçün düzbucaqlı kəsikli nümunələri sınaqdan keçirdi və şüanın iki üzünün fırlanma bucaqlarını ölçdü (kesiti trapezoidal forma alır). Nəticədə o, eninə deformasiya əmsalının 1/4-ə bərabər olmadığını göstərdi. F.Neumanın tələbəsi Q.Kirxhoff 1859-cu ildə bir ucu möhürlənmiş və digər ucunda konsentrasiya edilmiş qüvvə ilə yüklənmiş dəyirmi mis çubuqların birgə əyilməsi və burulması üçün aparılmış sınaqlar əsasında eyni nəticəyə gəlmişdir. çubuqun burulma bucağının və bölmənin fırlanma bucağının ölçülməsi .

Müxtəlif dərəcəli polad üçün eninə deformasiya əmsallarının böyük eksperimental tədqiqi G. Kirchhoffun tələbələrindən biri M.F. Okatov 1865-1866-cı illərdə Nəticələr onun doktorluq dissertasiyasında verilmişdir.Məkkristallardan kəsilmiş nazik prizmaların burulma və əyilmə sınaqları, eyni zamanda bərabər bərabər sıxılma altında kristalların sıxılma sınaqları V.Foyq tərəfindən aparılıb və sonralar çoxsaylı məqalələrində təsvir edilib. 1910-cu ildə nəşr olunan bir kitabda birləşərək çox sabit nəzəriyyənin doğruluğunu təsdiqlədilər.

Anizotrop cisimlər üçün Huk qanununun riyazi strukturunun dərin tədqiqi 1984-cü ildə mexanik və mühəndis Yan Rıçlevski tərəfindən onun təqdim etdiyi elastik öz halı konsepsiyası əsasında aparılmışdır. Xüsusilə, o, 21 elastik sabitin altı həqiqi sərtlik modulunu, 12 sərtlik paylayıcısını və üç bucağı təmsil etdiyini göstərdi.

2. Bədənin bir nöqtəsində gərginlik-deformasiya vəziyyəti nəzəriyyəsi

1 Stress nəzəriyyəsi

Elastik cismin yüklənməsi zamanı yaranan daxili qüvvə faktorları cismin müəyyən bir hissəsinin vəziyyətini xarakterizə edir, lakin kəsişmənin hansı nöqtəsinin ən çox yüklənməsi və ya necə deyərlər, təhlükəli nöqtə olması sualına cavab vermir. Buna görə də, müəyyən bir nöqtədə bədənin vəziyyətini xarakterizə edən bəzi əlavə kəmiyyətləri nəzərə almaq lazımdır.

Xarici qüvvələrin tətbiq olunduğu cisim tarazlıqdadırsa, onun hər hansı bir hissəsində daxili müqavimət qüvvələri yaranır. Elementar sahəyə təsir edən daxili qüvvə ilə və bu sahəyə normal olan dəyəri ilə işarələyin

tam gərginlik adlanır.

Ümumi vəziyyətdə, ümumi gərginlik elementar sahənin normal istiqaməti ilə üst-üstə düşmür, buna görə də onun komponentləri ilə koordinat oxları boyunca işləmək daha rahatdır -

Xarici normal hər hansı bir koordinat oxu ilə, məsələn, X oxu ilə üst-üstə düşürsə, gərginlik komponentləri forma alacaq, komponent hissəyə perpendikulyar olur və normal gərginlik adlanır və komponentlər kəsik müstəvisi və kəsici gərginliklər adlanır.

Normal və kəsici gərginlikləri asanlıqla ayırd etmək üçün adətən başqa təyinatlardan istifadə olunur: - normal gərginlik, - kəsmə.

Xarici qüvvələrin təsiri altında üzləri koordinat müstəvilərinə paralel olan və kənarları uzunluğa malik sonsuz kiçik paralelepipedi bədəndən ayıraq. Belə elementar paralelepipedin hər bir üzündə koordinat oxlarına paralel olan üç gərginlik komponenti var. Ümumilikdə altı üzdə 18 stress komponenti alırıq.

Normal gərginliklər kimi işarələnir, burada indeks müvafiq üz üçün normalı bildirir (yəni dəyərləri qəbul edə bilər). Kəsmə gərginlikləri formaya malikdir; burada birinci göstərici verilmiş kəsilmə gərginliyinin təsir etdiyi sahənin normalına uyğundur, ikincisi isə bu gərginliyin yönəldildiyi paralel oxu göstərir (şək. 1).

Şəkil 1. Normal və kəsici gərginliklər

Bu gərginliklər üçün aşağıdakı işarə qaydası qəbul edilir. Normal gərginlik gərginlikdə müsbət hesab olunur və ya ekvivalent olaraq, xarici normalın hərəkət etdiyi yerə istiqaməti ilə üst-üstə düşdüyü zaman. Normalı ona paralel olan koordinat oxunun istiqaməti ilə üst-üstə düşən saytda bu gərginliyə uyğun olan müsbət koordinat oxuna doğru yönəldilərsə, tangensial gərginlik müsbət hesab olunur.

Stress komponentləri üç koordinatın funksiyalarıdır. Məsələn, koordinatları olan bir nöqtədəki normal gərginliyi qeyd etmək olar

Nəzərə alınan nöqtədən sonsuz kiçik məsafədə olan bir nöqtədə, birinci dərəcəli sonsuz kiçiklərə qədər olan gərginlik Taylor seriyasında genişləndirilə bilər:

Müstəviyə paralel olan platformalar üçün yalnız x koordinatı dəyişir və artımlar Buna görə də, müstəvi ilə üst-üstə düşən paralelepipedin üzündə normal gərginlik olacaq. Buna görə də, 18 gərginlik komponentindən yalnız doqquzu məlum deyil.

Elastiklik nəzəriyyəsində kəsici gərginliklərin qoşalaşması qanunu sübut edilmişdir ki, ona əsasən iki qarşılıqlı perpendikulyar sahə boyunca bu sahələrin kəsişmə xətlərinə perpendikulyar olan kəsmə gərginliklərinin komponentləri bir-birinə bərabərdir:

Bərabərliklər (2) bədənin bir nöqtəsində stress vəziyyətini xarakterizə edən doqquz stres komponentindən yalnız altısının qalmasına səbəb olur:

Göstərilə bilər ki, gərginliklər (3) yalnız müəyyən bir nöqtədə bədənin gərginlik vəziyyətini xarakterizə etmir, həm də onu unikal şəkildə müəyyənləşdirir. Bu gərginliklərin birləşməsi gərginlik tensoru adlanan simmetrik matris əmələ gətirir:

(4)

Bir tensoru skalyar qiymətə vurduqda bütün komponentləri ilkin tensorun komponentlərindən dəfələrlə böyük olan yeni tensor alınır.

2 Deformasiya nəzəriyyəsi

Xarici yüklərin təsiri altında elastik bədən formasını dəyişir və deformasiyaya uğrayır. Bu vəziyyətdə bədənin nöqtələri bəzi yeni mövqe tutur. Elastik cismin deformasiyasını təyin etmək üçün yükün tətbiqindən əvvəl və sonra cismin nöqtələrinin mövqelərini müqayisə edirik.

Boşalmış cismin bir nöqtəsini və yükün tətbiqindən sonra onun yeni mövqeyini nəzərdən keçirin. Vektor nöqtə yerdəyişmə vektoru adlanır (şəkil 2).

Şəkil 2. Nöqtə hərəkət edən vektor

İki növ yerdəyişmə mümkündür: bütövlükdə cismin deformasiya olmadan yerdəyişməsi - belə yerdəyişmələr nəzəri mexanika tərəfindən tamamilə sərt cismin yerdəyişməsi kimi öyrənilir və cismin deformasiyası ilə əlaqəli yerdəyişmə - belə yerdəyişmələr nəzəriyyə ilə öyrənilir. elastiklikdən.

Nöqtənin yerdəyişmə vektorunun koordinat oxları üzrə proyeksiyalarını müvafiq olaraq təyin edək. Onlar nöqtələrin müvafiq koordinatları arasındakı fərqə bərabərdir və:

və koordinatların funksiyalarıdır:

Bədənin deformasiyası onun müxtəlif nöqtələrinin yerdəyişmələrindəki fərqdən qaynaqlanır. İxtiyari bir nöqtənin yaxınlığında kənarları elastik cisimdən kəsilmiş sonsuz kiçik paralelepiped, nöqtələrinin müxtəlif yerdəyişmələri səbəbindən deformasiyaya uğrayır ki, onun kənarlarının uzunluğu dəyişir və üzlər arasında ilkin düzgün bucaqlar pozulur.

Şəkil 3.3-də bu paralelepipedin iki kənarı göstərilir: və kənarın uzunluğu bərabərdir və kənarı

Deformasiyadan sonra nöqtələr mövqe tuturlar.Bu halda cizgi müstəvisində komponentləri bərabər olan nöqtə yerdəyişmə alacaq və nöqtədən sonsuz kiçik məsafədə ayrılan nöqtə yerdəyişmə alacaq. komponentləri koordinat dəyişikliyinə görə nöqtənin yerdəyişməsinin komponentlərindən sonsuz kiçik qiymətlə fərqlənəcək

şək.3. Xətti və bucaq deformasiyaları

Nöqtə yerdəyişməsinin komponentləri koordinat dəyişikliyinə görə nöqtə yerdəyişməsinin komponentlərindən sonsuz kiçik qiymətlə fərqlənəcək.

Deformasiyadan sonra qabırğanın ox üzrə proyeksiyasının uzunluğu:

Qabırğanın mütləq uzanmasının ox üzrə proyeksiyası

Ox boyunca nisbi uzanma

(6)

ox istiqamətində xətti deformasiya adlanır.

Eynilə, oxların istiqamətləri boyunca xətti deformasiyalar və

(7)

Paralelepipedin kənarları arasındakı bucaqların dəyişməsini nəzərdən keçirək (şək. 3). Qabırğanın müstəvidə fırlanma bucağının tangensi

Deformasiyaların kiçikliyinə görə a, xətti deformasiya vəhdətlə müqayisədə kiçik olduğuna görə diqqətdən kənarda qala bilər və sonra

Eynilə, eyni müstəvidə qabırğanın fırlanma bucağını təyin edə bilərsiniz:

Düz bucağın təhrifinə bucaq deformasiyası deyilir və qabırğaların fırlanma bucaqlarının cəmi kimi müəyyən edilir və:

(8)

Eyni şəkildə, digər iki koordinat müstəvisində bucaq deformasiyaları müəyyən edilir:

(9)

(6)-(9) düsturları yerdəyişmə komponentləri üzrə xətti və bucaq deformasiyaları üçün altı əsas asılılıq verir. Bu asılılıqlara Koşi tənlikləri deyilir:

(10)

Paralelepipedin kənarlarının uzunluqları sıfıra meylli olduqda, Koşi münasibətləri nöqtənin yaxınlığında xətti və bucaq deformasiyalarını təyin edir.

Müsbət xətti deformasiyalar uzanmalara, mənfi olanlar isə qısalmaya uyğundur. Müvafiq koordinat oxlarının müsbət istiqamətləri arasındakı bucaq azaldıqda və mənfi olduqda sürüşmə bucağı müsbət hesab olunur - əks halda.

Gərginlik tensoru kimi, bədənin müəyyən bir nöqtədə deformasiyaya uğramış vəziyyəti gərginlik tensoru ilə təsvir edilir.

(11)

Gərginlik tensoru kimi, gərginlik tensoru da altısı fərqli olan doqquz komponentdən ibarət simmetrik bir matrisdir.

2.3 Elastik cisimlər üçün gərginlik və deformasiya arasında əlaqə

Gərginliklər və gərginliklər arasındakı əlaqələr fiziki xarakter daşıyır. Kiçik deformasiyalarla məhdudlaşaraq, gərginliklər və deformasiyalar arasındakı əlaqə xətti hesab edilə bilər.

Çubuğu gərginlikdə sınaqdan keçirərkən (materialların mexaniki sınağı növbəti hissədə ətraflı müzakirə ediləcək) normal gərginlik və bir istiqamətdə xətti deformasiya arasında mütənasib əlaqə qurulur ki, bu da Huk qanunu adlanır:

burada elastik sabit uzununa elastiklik modulu adlanır.

Eyni eksperimental şəkildə, uzununa və eninə istiqamətlərdə xətti deformasiyalar arasında əlaqə quruldu:

burada - eninə istiqamətdə xətti deformasiya, - ikinci elastik sabit, Puasson nisbəti adlanır.

Təmiz kəsmə üçün mexaniki sınaqlarda bu gərginliyin təsir müstəvisində kəsilmə gərginliyi ilə bucaq deformasiyası arasında birbaşa mütənasib əlaqə quruldu ki, bu da kəsmədə Huk qanunu adlanırdı:

burada qiymət üçüncü elastik sabitdir və kəsmə modulu adlanır. Lakin bu elastik sabit müstəqil deyil, çünki ilk ikisi ilə əlaqələndirilir

Deformasiyalar və gərginliklər arasında əlaqə yaratmaq üçün gövdədən sonsuz kiçik paralelepiped seçirik (şəkil 1) və yalnız normal gərginliklərin təsirini nəzərə alırıq. daha yüksək kiçiklik sırasının deformasiyalarına gətirib çıxarır.

Qabırğanın gərginliyə paralel uzanmasını təyin edək Bu gərginliyin təsiri altında Huk qanununa (3.12) əsasən qabırğanın nisbi uzanması baş verəcək.

Stress, qabırğaya perpendikulyar istiqamətdə oxşar uzanmaya səbəb olur

və qabırğa istiqamətində - qısaltma, (13) uyğun olaraq

və ya deformasiya ifadəsini nəzərə alaraq

Eynilə, stressin təsiri altında qabırğanın nisbi qısalması müəyyən edilir

Qüvvələrin təsirinin müstəqilliyi prinsipinə əsaslanaraq, qabırğanın ümumi nisbi uzanması hər bir gərginliyin təsirindən yaranan uzanmaların cəmi kimi müəyyən edilə bilər:

Eynilə, digər iki oxun istiqamətləri boyunca xətti deformasiyaları təyin etmək olar:

Kəsmədə Huk qanununa (14) uyğun olaraq, bucaq deformasiyaları və kəsmə gərginlikləri arasındakı əlaqə koordinat müstəvilərinə paralel üç müstəvidən hər biri üçün müstəqil şəkildə göstərilə bilər:

Beləliklə, izotrop elastik cisimdə deformasiya və gərginlik komponentləri arasında xətti əlaqəni ifadə edən və ümumiləşdirilmiş Huk qanunu adlanan altı düstur alınmışdır:

(16)

3. Elastiklik nəzəriyyəsinin əsas tənlikləri. Elastiklik nəzəriyyəsində problemlərin növləri

Elastiklik nəzəriyyəsinin əsas vəzifəsi gövdənin yüklənməsi və bərkidilməsinin verilmiş şərtlərinə uyğun olaraq gərginlik-deformasiya vəziyyətinin təyin edilməsidir.

Gərginlik-deformasiya vəziyyəti, gərginlik tensorunun (s) komponentləri və yerdəyişmə vektoru, doqquz funksiya tapıldıqda müəyyən edilir.

3.1 Elastiklik nəzəriyyəsinin əsas tənlikləri

Bu doqquz funksiyanı tapmaq üçün elastiklik nəzəriyyəsinin əsas tənliklərini yazmaq lazımdır və ya:

Diferensial Cauchies

(17)

Koşi deformasiyalarının xətti hissəsinin tenzorunun komponentləri haradadır;

radius boyu yerdəyişmə törəməsinin tenzorunun komponentləri.

Diferensial tarazlıq tənlikləri

stress tensor komponentləri haradadır; bədən qüvvəsinin j oxuna proyeksiyasıdır.

Xətti elastik izotrop cisim üçün Huk qanunu

Lame sabitləri haradadır; izotrop bədən üçün. Budur normal və kəsmə gərginlikləri; deformasiya və kəsmə bucaqları müvafiq olaraq.

Yuxarıdakı tənliklər Saint-Venant asılılıqlarını təmin etməlidir

Elastiklik nəzəriyyəsində bütün əsas tənliklər təmin olunarsa, problem həll olunur.

2 Elastiklik nəzəriyyəsində məsələlərin növləri

Bədənin səthində sərhəd şərtləri təmin edilməlidir və sərhəd şərtlərinin növündən asılı olaraq elastiklik nəzəriyyəsində üç növ problem mövcuddur.

Birinci növ. Bədənin səthinə qüvvələr verilir. Sərhəd şərtləri

İkinci növ. Bədən səthində yerdəyişmənin təyin olunduğu problemlər. Sərhəd şərtləri

Üçüncü növ. Elastiklik nəzəriyyəsinin qarışıq problemləri. Bədən səthinin bir hissəsinə qüvvələr verilir, yerdəyişmə bədən səthinin bir hissəsinə verilir. Sərhəd şərtləri

Bədənin səthində qüvvələrin və ya yerdəyişmələrin təyin olunduğu, lakin cismin daxilindəki gərginlik-deformasiya vəziyyətinin tapılması tələb olunan və səthdə göstərilməyən məsələlərə birbaşa problemlər deyilir. Bununla belə, gövdənin daxilində gərginliklər, deformasiyalar, yerdəyişmələr və s. göstərilibsə və cismin daxilində göstərilməyənləri, həmçinin cismin səthindəki yerdəyişmələri və gərginlikləri müəyyən etmək tələb olunursa (yəni tapmaq üçün belə gərginlik-deformasiya vəziyyətinə səbəb olan səbəblər)), onda belə problemlər tərs adlanır.

4 yerdəyişmələrdə elastiklik nəzəriyyəsinin tənlikləri (Lame tənliklər)

yerdəyişmələrdə elastiklik nəzəriyyəsinin tənliklərini təyin etmək üçün yazırıq: diferensial tarazlıq tənlikləri (18) Xətti elastik izotrop cisim üçün Huk qanunu (19)

Deformasiyaların yerdəyişmələrlə ifadə edildiyini nəzərə alsaq (17), yazırıq:

Onu da xatırlamaq lazımdır ki, kəsmə bucağı yerdəyişmələrlə aşağıdakı əlaqə ilə bağlıdır (17):

(23)

(22) ifadəsini bərabərliklərin birinci tənliyində (19) əvəz edərək, normal gərginliklərin

(24)

Qeyd edək ki, bu halda u qeydi i üzərində cəmləmə demək deyil.

(23) ifadəsini (19) ikinci bərabərlik tənliyində əvəz edərək, kəsmə gərginliklərini əldə edirik.

(25)

(18) tarazlıq tənliklərini j = 1 üçün genişləndirilmiş formada yazaq

(26)

Normal (24) və tangensial (25) gərginliklər üçün ifadələri (26) tənliyinə əvəz edərək, əldə edirik.

burada λ ifadə ilə təyin olunan Lame sabitidir:

(28) ifadəsini (27) tənliyində əvəz edirik və yazırıq,

burada (22) ifadəsi ilə və ya genişləndirilmiş formada müəyyən edilir

(29) ifadəsini G-yə bölürük və oxşar şərtləri əlavə edirik və ilk Lame tənliyini alırıq:

(30)

kimi təyin olunan Laplas operatoru (harmonik operator) haradadır

(31)

Eynilə, əldə edə bilərsiniz:

(32)

(30) və (32) tənlikləri aşağıdakı kimi yazıla bilər:

(33)

(33) və ya (30) və (32) tənlikləri Lame tənlikləridir. Bədən qüvvələri sıfır və ya sabitdirsə, o zaman

(34)

üstəlik, bu halda qeyd i üzərində cəmləməni nəzərdə tutmur. Budur

Göstərilə bilər ki, yerdəyişmələrin harmonik funksiya baxımından belə təsviri Lame tənliklərini (33) eyniliyə çevirir. Çox vaxt onlara Popkoviç-Qrodski şərtləri deyilir. Dörd harmonik funksiya lazım deyil, çünki φ0 sıfıra bərabər ola bilər.

4. Elastiklik nəzəriyyəsinin variasiya prinsipləri.

1 Mümkün yerdəyişmələr prinsipi (Laqranj prinsipi)

Laqranj prinsipi. Tarazlıq vəziyyətində olan cisim üçün hər hansı sonsuz kiçik yerdəyişmə artımları üzərində xarici və daxili qüvvələrin işi sıfırdır.

Klapeyron teoremindən istifadə edərək, elastik deformasiyaya uğramış cisim üçün yerdəyişməni dəyişdirərək, Laqranj prinsipini əldə edirik.

Deformasiya olunan cisimlərin mexanikasında bədənə qoyulan xarici və daxili məhdudiyyətləri ödəyən belə yerdəyişmələr mümkündür.

Xarici əlaqələr fiksasiya şərtləri, daxili əlaqələr isə davamlılıq şərtidir.

Daxili məhdudiyyətləri təmin etmək üçün yerdəyişmə artımlarının koordinatların davamlı təkqiymətli funksiyaları olması lazımdır.

Bu formada Laqranj prinsipi istənilən deformasiyaya uğrayan cisimlər üçün etibarlıdır.

Elastik cisimlər üçün belə alındı

(41)

Onda (41) nəzərə alınmaqla (40) kimi yazmaq olar

(42)

burada W xüsusi gərginlikdir və

Burada U bədənin bütün potensial enerjisinin dəyişməsidir.

(43) ifadəsini (42) əvəz edirik və qüvvələr dəyişmədiyi üçün yazırıq ki,

(44)

Tənlik (44) variasiyalı Laqranj tənliyidir.

Qüvvələr mühafizəkardırsa, ilk iki inteqral deformasiya olunmamış vəziyyətdən deformasiyaya uğramış vəziyyətə keçid zamanı xarici qüvvələrin potensialının dəyişməsini təmsil edir.

Xarici qüvvələrin potensialı

(45)

burada - deformasiya edilməmiş vəziyyətdən deformasiya olunmuş vəziyyətə keçid zamanı xarici qüvvələrin mümkün işi xarici qüvvələrin dəyişməz qalması fərziyyəsi ilə hesablanır. Sistemin ümumi enerjisi

Sonra (44) - (46) ifadələrini nəzərə alaraq Laqranj prinsipi yazılacaq:

yəni tarazlıq vəziyyətində sistemin ümumi enerjisinin mümkün yerdəyişmələr üzrə dəyişməsi sıfıra bərabərdir. İfadə (47) yalnız mühafizəkar qüvvələrin təsiri vəziyyətində variasiyalı Laqranj tənliyidir.

Sabit tarazlıq vəziyyətində ümumi enerji P minimaldır,

Laqranj prinsipi minimum enerji prinsipidir.

2 Mümkün vəziyyətlər prinsipi (Castillano prinsipi)

Xarici və daxili qüvvələrə uyğun olan, yəni tarazlıq tənliklərini ödəyənləri mümkün vəziyyətlər adlandıracağıq.

Tənlik (57) Castigliano Prinsipini yazır. Bədənin gərginlik vəziyyətində mümkün dəyişikliklərlə, dəyişiklik mümkün səth qüvvələrinin və yerdəyişmələrin məhsullarından yerdəyişmələrin verildiyi bədən səthinin həmin hissəsi üzərindəki inteqrala bərabərdir.

3 Laqranj və Castigliano prinsipləri əsasında əldə edilən dəqiq həll və həllər arasında əlaqə

Laqranj prinsipinə əsaslanaraq bəzi funksiyaları və ya onların toplusunu seçməklə və funksiyalar toplusu məhdud olduğundan sistemin daha az sayda sərbəstlik dərəcələrini alırıq, bununla da strukturun sərbəstlik dərəcələrini azaldır. Yəni, enerji mənasında həll dəqiq olandan daha sərt olur.

İnteqral xüsusiyyətləri götürsək, təxmini həll daha sərt inteqraldır.

Aralığın ortasında eninə qüvvə ilə menteşəli şüanın yüklənməsi məsələsini həll edərkən (şəkil 1), təxmini həll dəqiq həll ilə müqayisədə güc altında daha kiçik yerdəyişmə verəcəkdir.

dəqiq həll

Castigliano variasiya prinsipindən istifadə edərək eyni problemi həll edərkən, davamlılıq şərti təmin edilmədiyi üçün sistem reallıqdan daha çox sərbəstlik əldə edir.

Dəqiq həll bu iki təxmini üsul arasındadır (Lagrange və Castigliano). Bəzən alınan məhlullar arasında fərq kiçik olur.

5. İstifadə olunmuş ədəbiyyatların siyahısı

1. Aleksandrov A.V., Potapov V.D. Elastiklik və plastiklik nəzəriyyəsinin əsasları. 400 səh.Ali məktəb.1990.

2. Veretimus D.K. Elastiklik nəzəriyyəsinin əsasları I hissə Gərginlik nəzəriyyəsi “Elastiklik və plastiklik nəzəriyyəsinin əsasları” kursu üçün metodiki vəsait. 2005.-37s.

Veretimus D.K. Elastiklik nəzəriyyəsinin əsasları II hissə Deformasiyalar nəzəriyyəsi. Gərginlik və deformasiya halının əlaqəsi."Elastiklik və plastiklik nəzəriyyəsinin əsasları" kursu üzrə metodiki vəsait, 2005.-53s.

Veretimus D.K. Elastiklik nəzəriyyəsinin əsasları III hissə.Elastiklik nəzəriyyəsinin əsas tənlikləri.Elastiklik nəzəriyyəsində məsələlərin növləri."Elastiklik və plastiklik nəzəriyyəsinin əsasları" kursu üçün metodiki vəsait, 2005.-45s.

İstirahət və ya yüklərin təsiri altında hərəkət edən bədənlərdə.

1. Elastiklik nəzəriyyəsi problemi

Bu nəzəriyyənin vəzifəsi həlli aşağıdakı suallara cavab verməyə imkan verən riyazi tənlikləri yazmaqdır:

Müəyyən bir cismə məlum yerlərdə ona müəyyən bir dəyərdə yüklər tətbiq edilərsə, onun deformasiyaları necə olacaq?
bədəndə gərginlik nə olacaq?

Məsələ ondadır ki, bədən çökəcək, bu yüklərə tab gətirəcək, elastiklik nəzəriyyəsi ilə sıx əlaqəlidir, lakin ciddi şəkildə desək, onun səlahiyyətində deyil.

Çoxlu nümunələr var - dayaqlar üzərində yüklənmiş şüada deformasiyaların və gərginliklərin təyin edilməsindən tutmuş təyyarənin, raketin, sualtı qayığın gövdəsində, avtomobilin təkərində tankın zirehində eyni parametrlərin hesablanmasına qədər. mərmi, adit çəkərkən dağ silsiləsində, hündürmərtəbəli binanın çərçivəsinə və s.

Mühəndislik problemləri üçün strukturlarda gərginliklər və deformasiyalar məntiqi olaraq elastiklik nəzəriyyəsinə əsaslanan sadələşdirilmiş nəzəriyyələrə əsasən hesablanır. Bu nəzəriyyələrə aşağıdakılar daxildir: materialların gücü, vəzifəsi çubuqların və şüaların hesablanması, habelə bərk cisimlərin təmasda qarşılıqlı təsir zonalarında yaranan gərginliklərin qiymətləndirilməsidir; struktur mexanika- bar sistemlərinin dizaynı (məsələn, körpülər) və qabıq nəzəriyyəsi- deformasiya və gərginlik elminin müstəqil və yaxşı inkişaf etmiş bir sahəsi, mövzusu nazik divarlı qabıqlar - silindrik, konusvari, sferik və mürəkkəb formalardır.

2. Elastiklik nəzəriyyəsinin əsas anlayışları

Elastiklik nəzəriyyəsinin əsas anlayışları verilmiş P nöqtəsi vasitəsilə bədəndə əqli şəkildə çəkilə bilən kiçik müstəvilərə təsir edən gərginlik, P nöqtəsinin kiçik qonşuluğunun deformasiyası və P nöqtəsinin özünün yerdəyişməsidir. dəqiq olaraq, mexaniki gərginlik tensoru, kiçik deformasiya tensoru və yerdəyişmə vektoru təqdim olunur. u i. Qısa notation , Harada indekslər i, j 1, 2, 3 dəyərlərini götürün (və ya x, y, z)şəklində bir matris kimi başa düşülməlidir:

Tensorun qısa notasiyası da eyni şəkildə başa düşülməlidir.

Əgər deformasiyaya görə M bədəninin fiziki nöqtəsi P fəzasında yeni mövqe tutmuşdursa, onda yerdəyişmə vektoru komponentləri olan bir vektordur. (u x, u y, u z), və ya qısaca u i. Kiçik deformasiyalar nəzəriyyəsində komponentlər u i və kiçik miqdarlar hesab olunurlar (doğru desək, sonsuz kiçik). Tenzorun komponentləri, buna da deyilir gərginlik tensoru Cauchy və ya xətti gərginlik tensoru və vektor u iəlaqəli asılılıqlar:

Son qeyddən görünür ki, , Buna görə deformasiya tensoru tərifinə görə simmetrikdir.

Xarici qüvvələrin təsiri altında olan elastik bir cisim tarazlıqdadırsa (yəni bütün nöqtələrinin sürətləri sıfıra bərabərdir), onda bədənin ondan əqli olaraq ayrıla bilən hər hansı bir hissəsi də tarazlıqdadır. Üzləri Kartezyen sisteminin koordinat müstəvilərinə paralel olan bədəndən sonsuz kiçik düzbucaqlı paralelepiped çıxarılır. Kənar ölçüləri olan paralelepiped üçün tarazlıq şərtindən dx, dy, dz, Proqnozlarda qüvvələr balansının şərtlərini nəzərə alaraq, əldə edə bilərik:

Eynilə, paralelepipeddə hərəkət edən bütün qüvvələrin əsas anının sıfıra bərabərliyini ifadə edən tarazlıq tənlikləri əldə edilir, formaya salınır:

Bu bərabərlik o deməkdir ki, gərginlik tensoru simmetrik tensordur və gərginlik tensorunun naməlum komponentlərinin sayı 6-a qədər azalır. Yalnız üç tarazlıq tənliyi var, yəni. statik tənliklər problemi həll etmək üçün kifayət deyil. Çıxış yolu Hooke qanunu tənliklərindən istifadə edərək gərginlikləri deformasiyalar baxımından ifadə etmək və sonra deformasiyaları yerdəyişmələrlə ifadə etməkdir. u i Koşi düsturlarından istifadə edərək nəticəni tarazlıq tənliyinə əvəz edin. Bu halda üç naməlum funksiyaya münasibətdə üç diferensial tarazlıq tənliyi alınır u x u y u z, olanlar. naməlumların sayı tənliklərin sayına uyğun olacaq. Bu tənliklər Navier-Koşi tənlikləri adlanır.

3. Sərhəd şərtləri

Elastiklik nəzəriyyəsində problemlərin həlli elastik cismin daxili nöqtələrdə davranışını təyin edən qismən törəmələrdə diferensial tənliklər sisteminin inteqrasiyasına qədər azaldılır. Bu tənliklər bədəni bağlayan səthdəki şərtlərlə tamamlanır. Bu şərtlər ya xarici səth qüvvələrinin vəzifələrini, ya da bədənin səthindəki nöqtələrin yerdəyişmələrini müəyyənləşdirir. Bundan asılı olaraq adətən üç növ sərhəd problemindən biri tərtib edilir.

Birinci sərhəd problemi- kinematik. Bədənin həcmində yerdəyişmə komponentləri tapılır, onlar səthdə müəyyən dəyərlər əldə edirlər. Bədənin səthindəki vəziyyətdə, səthin tənlikləri və onun üzərindəki yerdəyişmə komponentlərinin qiymətləri belə qurulur.

İkinci sərhəd problemi- statik. Bu vəziyyətdə, bədənin səthində hərəkətə heç bir məhdudiyyət qoyulmur və normalın kosinuslarını səthə və səth yükünün komponentlərinin qiymətlərinə yönəldən səth tənlikləri qurulur.

Bədənin səthi koordinat müstəviləri ilə üst-üstə düşdüyü təqdirdə, sərhəd şərtləri birbaşa gərginliklər baxımından tərtib edilə bilər. Sonra səthin tənliyini göstərmək və üzərində gərginlik komponentlərinin dəyərlərini təyin etmək kifayətdir.

Üçüncü sərhəd problemi- qarışıq. Bu zaman cismin səthinin bir hissəsində kinematik şərait, digər tərəfində isə statik şərtlər qoyulur.

Bu üç problem sərhəd şərtlərinin bütün müxtəlifliyini tükəndirmir. Məsələn, səthin bəzi sahələrində hər üç yerdəyişmə komponenti və ya səth yükü komponenti göstərilə bilməz.

4. Həmçinin baxın

Mənbələr

Timoşenko S. P., Goodyear J. Elastiklik nəzəriyyəsi. M.: Nauka, 1979. 560 s.

Elastiklik NƏZƏRİYYƏSİ- yüklərin təsiri altında istirahət edən və ya hərəkət edən cisimlərin yerdəyişmələrini, deformasiyalarını və gərginliklərini öyrənən kontinuum mexanikasının bir sahəsi. Bu nəzəriyyənin məqsədi həlli aşağıdakı suallara cavab verməyə imkan verən riyazi tənliklərin əldə edilməsidir: məlum yerlərdə ona müəyyən bir dəyərdə yüklər tətbiq edilərsə, bu xüsusi cismin deformasiyası nə olacaq? Bədəndə gərginlik necə olacaq? Bədənin yıxılacağı və ya bu yüklərə tab gətirəcəyi sualı elastiklik nəzəriyyəsi ilə sıx bağlıdır, lakin ciddi şəkildə desək, bu nəzəriyyənin səlahiyyətində deyil.

Mümkün nümunələrin sayı sonsuzdur - dayaqlar üzərində uzanan və qüvvələrlə yüklənmiş şüada deformasiyaların və gərginliklərin müəyyən edilməsindən tutmuş təyyarənin, gəminin, sualtı qayığın strukturunda, vaqonun təkərində eyni dəyərlərin hesablanmasına qədər, mərmi dəyəndə zirehdə, aditdən keçərkən dağ silsiləsində, hündürmərtəbəli binanın çərçivəsində və s. Burada qeyd-şərt etmək lazımdır: nazik divarlı elementlərdən ibarət strukturlar məntiqi olaraq elastiklik nəzəriyyəsinə əsaslanaraq sadələşdirilmiş nəzəriyyələrə əsasən hesablanır; belə nəzəriyyələrə aşağıdakılar daxildir: materialların yüklərin təsirinə qarşı müqavimət nəzəriyyəsi (məşhur "sopromat"), onun vəzifəsi əsasən çubuqları və şüaları hesablamaqdır; struktur mexanika - bar sistemlərinin hesablanması (məsələn, körpülər); və nəhayət, qabıqlar nəzəriyyəsi, əslində, deformasiyalar və gərginliklər haqqında müstəqil və çox yüksək inkişaf etmiş bir elm sahəsidir, mövzusu ən vacib struktur elementləri - nazik divarlı qabıqlar - silindrik, konusvari, sferoiddir. , və daha mürəkkəb formalara malikdir. Buna görə də elastiklik nəzəriyyəsində adətən əsas ölçüləri çox da fərqlənməyən cisimlər nəzərə alınır. Beləliklə, məlum qüvvələrin təsir etdiyi verilmiş formalı elastik bir cisim nəzərə alınır.

Elastiklik nəzəriyyəsinin əsas anlayışları müəyyən bir nöqtə vasitəsilə bədəndə zehni olaraq həyata keçirilə bilən kiçik sahələrə təsir edən gərginliklərdir. M, nöqtənin kiçik bir qonşuluğunun deformasiyaları M və nöqtənin özünü hərəkət etdirir M. Daha doğrusu, stress tensorları s ij, kiçik gərginlik tensoru e ij və yerdəyişmə vektoru u i.

Qısa təyinat s ij, burada indekslər i, j 1, 2, 3 dəyərlərini almaq formanın matrisi kimi başa düşülməlidir:

Tensorun qısa notasiyası e ij.

Bədənin fiziki nöqtəsi varsa M deformasiyaya görə kosmosda yeni mövqe tutdu M´, onda yerdəyişmə vektoru komponentləri olan vektordur ( u x u y u z) və ya qısaca, u i. Kiçik deformasiyalar nəzəriyyəsində komponentlər u i və e i kiçik miqdarlar hesab olunur (doğru desək, sonsuz kiçik). E tensorun komponentləri ij və vektor u ij forması olan Koşi düsturları ilə əlaqələndirilir:

Görünür ki, e xy=e yx, və ümumiyyətlə desək, e ij=e ji, beləliklə deformasiya tensoru tərifinə görə simmetrikdir.

Xarici qüvvələrin təsiri altında olan elastik bir cisim tarazlıqdadırsa (yəni bütün nöqtələrinin sürətləri sıfıra bərabərdir), onda bədənin ondan əqli olaraq ayrıla bilən hər hansı bir hissəsi də tarazlıqdadır. Üzləri Dekart sisteminin koordinat müstəvilərinə paralel olan kiçik (dəqiq desək, sonsuz kiçik) düzbucaqlı paralelepiped bədəndən fərqlənir. Oxyz(şək. 1).

Paralelepipedin kənarlarının uzunluqları olsun dx, dy, dz müvafiq olaraq (burada, həmişə olduğu kimi dx diferensial var x və s.). Stress nəzəriyyəsinə görə, gərginlik tensorunun komponentləri paralelepipedin üzlərində hərəkət edir, bunlar işarələnir:

kənarında OADG:s xx, s xy, s xz

kənarında OABC:s yx, s yy, s yz

kənarında DABE:s zx, s zy, s zz

eyni indekslərə malik komponentlər isə (məsələn, s xx) üzə perpendikulyar hərəkət edir, müxtəlif indekslərə malik olanlar isə sahə müstəvisində hərəkət edirlər.

Qarşı tərəflərdə, eyni adlı gərginlik tensor komponentlərinin dəyərləri bir qədər fərqlidir, bu, onların koordinat funksiyaları olması və nöqtədən nöqtəyə dəyişməsi ilə əlaqədardır (məlum olan ən sadə hallar istisna olmaqla, həmişə), və dəyişikliyin kiçikliyi paralelepipedin kiçik ölçüləri ilə əlaqələndirilir, ona görə də güman edə bilərik ki, əgər ərəfəsindədirsə OABC gərginlik s yy, sonra astanasında GDEF gərginlik s yy+ds yy, və kiçik dəyər ds yy kiçikliyinə görə, Taylor seriyasındakı genişlənmədən istifadə edərək müəyyən edilə bilər:

(burada qismən törəmələr istifadə olunur, çünki gərginlik tensorunun komponentləri asılıdır x, y, z).

Eynilə, bütün üzlərdə olan stresslər s ilə ifadə edilə bilər ij və ds ij. Bundan əlavə, gərginliklərdən qüvvələrə keçmək üçün gərginliyin böyüklüyünü onun hərəkət etdiyi sahənin sahəsinə vurmaq lazımdır (məsələn, s. yy+ds yy ilə çoxaltmaq dx dz). Paralelepipedə təsir edən bütün qüvvələr müəyyən edildikdə, statikada olduğu kimi, bədənin tarazlıq tənliyini yazmaq mümkündür, halbuki əsas vektor üçün bütün tənliklərdə yalnız törəmələri olan şərtlər qalacaq, çünki gərginliklər özləridir. bir-birini və amilləri ləğv edir dx dy dz azalır və nəticədə

Eynilə, paralelepipeddə hərəkət edən bütün qüvvələrin əsas anının sıfıra bərabərliyini ifadə edən tarazlıq tənlikləri əldə edilir və bu formaya endirilir:

Bu bərabərliklər stress tensorunun simmetrik tensor olduğunu bildirir. Beləliklə, 6 naməlum komponent üçün s ijüç tarazlıq tənliyi var, yəni. statik tənliklər problemi həll etmək üçün kifayət deyil. Çıxış yolu stressləri ifadə etməkdir s ij deformasiyalar vasitəsilə e ij Huk qanununun tənliklərindən istifadə edərək, sonra deformasiya e ij yerdəyişmə ilə ifadə edin u i Koşi düsturlarından istifadə edin və nəticəni tarazlıq tənliklərində əvəz edin. Bu halda üç naməlum funksiyaya münasibətdə üç diferensial tarazlıq tənliyi alınır u x u y u z, yəni. naməlumların sayı tənliklərin sayına bərabərdir. Bu tənliklərə Lame tənlikləri deyilir

bədən qüvvələri (çəki və s.) nəzərə alınmır

D Laplas operatorudur, yəni.

İndi bədənin səthində sərhəd şərtlərini təyin etməliyik;

Bu şərtlərin əsas növləri aşağıdakılardır:

1. Yerdəyişmələr bədənin S 1 səthinin məlum hissəsində verilir, yəni. yerdəyişmə vektoru komponentləri olan məlum vektora bərabərdir ( fx; f y; f z ):

u x = f(xyz)

u y= f(xyz)

u z= f(xyz)

(fx, f y, fz məlum koordinat funksiyalarıdır)

2. Səthin qalan hissəsində S 2-yə səth qüvvələri verilmişdir. Bu o deməkdir ki, bədən daxilində gərginliyin paylanması elədir ki, səthin bilavasitə yaxınlığında və həddə - səthdə hər bir elementar sahədəki gərginlik dəyərləri komponentləri olan məlum xarici yük vektoruna bərabər bir gərginlik vektoru yaradır. ( F x ;Fy ; Fz) səth qüvvələri. Riyazi olaraq bu belə yazılır: əgər bir nöqtədə A səthi, bu səthin vahid normal vektoru komponentlərə malikdir n x, n y, nz onda bu nöqtədə (naməlum) komponentlərə münasibətdə bərabərliklər s ij:e ij, onda üç naməlum üçün altı tənlik, yəni artıq təyin edilmiş sistem alırıq. Bu sistemin həlli yalnız e üçün əlavə şərtlər yerinə yetirildikdə olacaq ij. Bu şərtlər uyğunluq tənlikləridir.

Bu tənliklər tez-tez davamlılıq şərtləri adlanır və deformasiyadan sonra cismin davamlılığını təmin etdiklərini ifadə edir. Bu ifadə məcazidir, lakin qeyri-dəqiqdir: bu şərtlər, deformasiyaların (və ya gərginliklərin) komponentləri naməlum kimi qəbul edilərsə, davamlı yerdəyişmə sahəsinin mövcudluğunu təmin edir. Bu şərtlərin yerinə yetirilməməsi davamlılığın pozulmasına deyil, problemin həllinin olmamasına səbəb olur.

Beləliklə, elastiklik nəzəriyyəsi sərhəd məsələlərini formalaşdırmağa imkan verən diferensial tənliklər və sərhəd şərtlərini təmin edir, onların həlli nəzərdən keçirilən cisimlərdə gərginliklərin, deformasiyaların və yerdəyişmələrin paylanması haqqında tam məlumat verir. Belə məsələlərin həlli üsulları çox mürəkkəbdir və ən yaxşı nəticələr güclü kompüterlərdən istifadə etməklə analitik üsulları ədədi üsullarla birləşdirməklə əldə edilir.

Vladimir Kuznetsov

Elastiklik NƏZƏRİYYƏSİNİN ƏSASLARI

Elastiklik NƏZƏRİYYƏSİNİN AXISIMMETRİK MƏSƏLƏLƏRİ

Elastiklik NƏZƏRİYYƏSİNİN ƏSASLARI

Əsas müddəalar, fərziyyələr və qeydlər Elementar paralelepiped və elementar tetraedr üçün tarazlıq tənlikləri. Maili platforma boyunca normal və kəsici gərginliklər

Bir nöqtədə əsas gərginliklərin və ən böyük kəsmə gərginliklərinin təyini. Oktaedral sahələr üzrə gərginliklər Yer dəyişdirmə anlayışı. Deformasiyalar və yerdəyişmələr arasında əlaqələr. qohum

ixtiyari istiqamətdə xətti deformasiya Deformasiya uyğunluğu tənlikləri. İzotrop cisim üçün Huk qanunu Düzbucaqlı koordinatlarda müstəvi problemi Qütb koordinatlarında müstəvi məsələsi

Elastiklik nəzəriyyəsində problemlərin mümkün həlli yolları. Yerdəyişmələrdə və gərginliklərdə məsələlərin həlli Temperatur sahəsinin olması. Bölmə üzrə qısa nəticələr SADƏ EKSİMMETRİK MƏSƏLƏLƏR Silindrik koordinatlarda tənliklər Silindrik koordinatlarda tənliklər (davamı)

Qalın divarlı sferik qabın deformasiyası Müstəviyə təsir edən cəmlənmiş qüvvə

Elastik yarım fəzanın yüklənməsinin xüsusi halları: bir dairənin sahəsi üzərində vahid yükləmə, "yarımkürə" boyunca dairənin sahəsinə yükləmə, tərs problem Mütləq sərt bir topun elastik yarıya girintisi. boşluq. Topların elastik çökməsi problemi QALIN DİVARLI BORULAR

Ümumi məlumat. Boru elementinin tarazlıq tənliyi Dövrələrdən birində təzyiq altında olan gərginliklərin tədqiqi. Elastik deformasiya üçün möhkəmlik şərtləri Kompozit borularda gərginliklər. Çox qatlı boruların hesablanması anlayışı Hesablama nümunələri

LÖVTƏLƏR, MEMBRANLAR Əsas təriflər və fərziyyələr

Düzbucaqlı koordinatlarda lövhənin əyri orta səthinin diferensial tənliyi Plitənin silindrik və sferik əyilməsi

Dəyirmi plitənin eksenimmetrik əyilməsi üçün əyilmə momentləri. Dairəvi lövhənin əyri orta səthinin diferensial tənliyi Dairəvi lövhələrdə sərhəd şərtləri. Ən böyük gərginliklər və əyilmələr. güc şərtləri. Plitələrdə istilik gərginliyi

Membranlarda qüvvələrin təyini. Zəncirvari qüvvələr və gərginliklər. Dairəvi diafraqmalarda əyilmələrin və gərginliklərin təxmini təyini Hesablama nümunələri Hesablama nümunələri (davamı var)

1.1 Əsas müddəalar, fərziyyələr və simvollar

Elastiklik nəzəriyyəsi elastik cismin gərginlik-deformasiya vəziyyətinin analitik öyrənilməsinə yönəlmişdir. Elastiklik nəzəriyyəsinin köməyi ilə müqavimət fərziyyələrindən istifadə etməklə alınan həllər yoxlanıla bilər

materiallar və bu məhlulların tətbiqi hədləri müəyyən edilir. Bəzən elastiklik nəzəriyyəsinin bölmələri, burada materialların müqavimətində olduğu kimi, bir hissənin uyğunluğu məsələsi nəzərdən keçirilir, lakin kifayət qədər mürəkkəb riyazi aparatdan (plitələr, qabıqlar, massivlərin hesablanması) istifadə olunur. elastikliyin tətbiqi nəzəriyyəsi kimi.

Bu fəsil elastikliyin riyazi xətti nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarını əks etdirir. Fiziki hadisələrin təsvirinə riyaziyyatın tətbiqi onların sxematikləşdirilməsini tələb edir. Elastikliyin riyazi nəzəriyyəsində problemlər mümkün olan ən az sayda fərziyyə ilə həll edilir ki, bu da həll üçün istifadə olunan riyazi metodları çətinləşdirir. Elastikliyin xətti nəzəriyyəsi komponentlərin gərginlikləri və deformasiyaları arasında xətti əlaqənin mövcudluğunu nəzərdə tutur. Bir sıra materiallar (rezin, bəzi çuqun növləri) üçün belə bir asılılıq, hətta kiçik deformasiyalar olsa da, qəbul edilə bilməz: elastiklik həddində σ - ε diaqramı həm yükləmə, həm də boşaltma zamanı eyni formaya malikdir, lakin hər iki halda əyri xəttlidir. Belə materialları öyrənərkən qeyri-xətti elastiklik nəzəriyyəsinin asılılıqlarından istifadə etmək lazımdır.

IN Elastikliyin riyazi xətti nəzəriyyəsi aşağıdakı fərziyyələrə əsaslanır:

1. Mühitin davamlılığı (davamlılığı) haqqında. Bu vəziyyətdə bir maddənin atomistik quruluşu və ya varlığı heç bir boşluq nəzərə alınmır.

2. Qüvvət hərəkətlərinin tətbiqindən əvvəl yaranan cismin ilkin gərginliyi (deformasiya edilmiş) vəziyyəti nəzərə alınmayan təbii vəziyyətə görə, yəni cismin yüklənməsi anında deformasiyaların olduğu güman edilir. və onun istənilən nöqtəsindəki gərginliklər sıfıra bərabərdir. İlkin gərginliklər olduqda, bu fərziyyə, yalnız xətti elastiklik nəzəriyyəsinin asılılıqlarını yaranan gərginliklərə (ilkin və təsirlərdən yarananların cəmi) tətbiq etmək mümkün olarsa, etibarlı olacaqdır.

3. Homojenlik haqqında, bunun əsasında bədənin tərkibinin bütün nöqtələrdə eyni olduğu qəbul edilir. Metallar üçün bu fərziyyə böyük səhvlər verməsə də, beton üçün kiçik həcmləri nəzərə aldıqda əhəmiyyətli səhvlərə səbəb ola bilər.

4. Sferik izotropiya haqqında, bunun əsasında inanılır materialın mexaniki xassələri bütün istiqamətlərdə eynidir. Metal kristallarında bu xüsusiyyət yoxdur, lakin çoxlu sayda kiçik kristallardan ibarət olan bütövlükdə metal üçün bu fərziyyənin etibarlı olduğunu güman etmək olar. Müxtəlif istiqamətlərdə müxtəlif mexaniki xassələrə malik materiallar üçün, məsələn, laminatlanmış plastiklər üçün ortotrop və anizotrop materialların elastiklik nəzəriyyəsi işlənib hazırlanmışdır.

5. İdeal elastiklik haqqında, bunun əsasında yükün çıxarılmasından sonra deformasiyanın tamamilə yox olması nəzərdə tutulur. Məlum olduğu kimi, real cisimlərdə istənilən yük altında qalıq deformasiya baş verir. Buna görə də fərziyyə

6. Komponent deformasiyaları və arasında xətti əlaqə haqqında stresslər.

7. Deformasiyaların kiçikliyi haqqında, bunun əsasında nisbi xətti və bucaq deformasiyalarının vəhdətlə müqayisədə kiçik olduğu qəbul edilir. Kauçuk kimi materiallar və ya yaylar kimi elementlər üçün böyük elastik deformasiyalar nəzəriyyəsi işlənib hazırlanmışdır.

Elastiklik nəzəriyyəsi məsələlərini həll edərkən həllin unikallığı haqqında teoremdən istifadə edirlər: verilmiş xarici səth və həcm qüvvələri tarazlıq vəziyyətindədirsə, onlar vahid gərginliklər və yerdəyişmələr sisteminə uyğun gəlir. Məhlulun unikallığının mövqeyi yalnız cismin təbii vəziyyəti haqqında fərziyyə etibarlı olduqda (əks halda sonsuz sayda həll mümkündür) və deformasiyalar və xarici qüvvələr arasında xətti əlaqənin fərziyyəsi etibarlıdır.

Elastiklik nəzəriyyəsində problemləri həll edərkən tez-tez Saint-Venant prinsipindən istifadə olunur: elastik cismin kiçik bir hissəsinə tətbiq olunan xarici qüvvələr eyni hissəyə təsir edən (eyni əsas vektora və eyni əsas momentə malik olan) statik ekvivalent qüvvələr sistemi ilə əvəz edilərsə, bu əvəzetmə yalnız yerli deformasiyaların dəyişməsinə səbəb olacaqdır. .

Xarici yüklərin tətbiq olunduğu yerlərdən kifayət qədər uzaqda olan nöqtələrdə gərginliklər onların tətbiqi üsulundan çox az asılıdır. Materialların müqaviməti zamanı Sent-Venant prinsipi əsasında bir qüvvə və ya cəmlənmiş moment şəklində sxematik şəkildə ifadə edilən yük, əslində normal və kəsici gərginliklər üzərində bu və ya digər şəkildə paylanmışdır. bədən səthinin müəyyən bir sahəsi. Bu halda, müxtəlif gərginlik paylamaları eyni qüvvəyə və ya qüvvələr cütünə uyğun ola bilər. Saint-Venant prinsipinə əsasən hesab etmək olar ki, bədən səthinin bir hissəsindəki qüvvələrin dəyişməsi bu qüvvələrin tətbiq olunduğu yerdən kifayət qədər böyük məsafədə yerləşən nöqtələrdəki gərginliyə demək olar ki, heç bir təsir göstərmir. yüklənmiş sahənin xətti ölçüləri).

Tədqiq olunan sahənin gövdədə seçilmiş mövqeyi (şəkil 1) düzbucaqlı x, y və z koordinat oxlarının seçilmiş sistemində normal N-nin sahəyə istiqamət kosinusları ilə müəyyən edilir.

Əgər P, A nöqtəsində seçilmiş elementar sahəyə təsir edən daxili qüvvələrin nəticəsidirsə, normal N olan sahə boyunca bu nöqtədə ümumi gərginlik p N -dəki nisbətin həddi kimi müəyyən edilir.

aşağıdakı forma:

p N vektoru fəzada üç qarşılıqlı perpendikulyar komponentə parçalana bilər.

2. Komponentlərə σ N , τ N s və τ N t sahəyə normal istiqamətlərdə (normal gərginlik) və sahənin müstəvisində uzanan iki qarşılıqlı perpendikulyar ox s və t (şəkil 1b) (tangensial) stresslər). Şəkil 1-ə əsasən, b

Əgər cismin və ya sahənin kəsişməsi koordinat müstəvilərindən birinə paraleldirsə, məsələn y0z (şəkil 2), onda üçüncü koordinat oxu x bu sahəyə normal olacaq və gərginlik komponentləri təyinatlarına malik olacaq σ x , τ xy və τ xz.

Normal gərginlik gərilmədirsə müsbət, sıxıcıdırsa mənfi olur. Kəsmə gərginliyinin əlaməti aşağıdakı qayda ilə müəyyən edilir: sahə boyunca müsbət (dartılma) normal gərginlik müsbət proyeksiya verirsə, onda tangensial

eyni sahə üzrə gərginlik müsbət hesab edilir, bu şərtlə ki, o, həm də müvafiq ox üzrə müsbət proyeksiya verir; dartılmanın normal gərginliyi mənfi proyeksiya verirsə, müsbət kəsmə gərginliyi də müvafiq oxda mənfi proyeksiya verməlidir.

Əncirdə. 3, məsələn, elementar paralelepipedin üzlərində hərəkət edən, koordinat müstəviləri ilə üst-üstə düşən bütün gərginlik komponentləri müsbətdir.

Elastik cismin bir nöqtəsində gərginlik vəziyyətini təyin etmək üçün bu nöqtədən keçən üç qarşılıqlı perpendikulyar sahə üçün ümumi gərginlikləri p N bilmək lazımdır. Hər bir ümumi gərginlik üç komponentə parçalana bildiyindən, doqquz stres komponenti məlumdursa, gərginlik vəziyyəti müəyyən ediləcək. Bu komponentlər matris şəklində yazıla bilər

nöqtədə gərginlik tenzor komponentlərinin matrisi adlanır.

Matrisin hər bir üfüqi xətti eyni sahədə fəaliyyət göstərən üç stress komponentini ehtiva edir, çünki ilk nişanlar (normalın adı) onlar üçün eynidir. Tensorun hər bir şaquli sütununda eyni oxa paralel üç gərginlik var, çünki ikinci işarələr (gərginliyin təsir etdiyi oxun paralel adı) eynidir.

1.2 Elementar paralelepiped üçün tarazlıq tənlikləri

və elementar tetraedr

Gərgin elastik cismin tədqiq olunan A nöqtəsində (x, y və z koordinatları ilə) kənar ölçüləri dx, dy və dz olan elementar paralelepipedi üç qarşılıqlı perpendikulyar müstəvi cütü ilə ayıraq (şək. 2). A nöqtəsinə bitişik üç qarşılıqlı perpendikulyar üzün hər birində (koordinat müstəvilərinə ən yaxın) üç gərginlik komponenti fəaliyyət göstərəcək - normal və iki tangensial. Güman edirik ki, onlar A nöqtəsinə bitişik üzlər boyunca müsbətdir.

A nöqtəsindən keçən üzdən paralel üzə keçərkən gərginliklər dəyişir və artımlar alır. Məsələn, gərginlik komponentləri σ x \u003d f 1 (x, y, z), τ xy \u003d f 2 (x, y, z,), τ xz \u003d f 3 (x, y, z,) , sonra paralel üz boyunca, bir üzdən digərinə keçid zamanı yalnız bir x koordinatının artması səbəbindən,

gərginlik komponentləri Şəkildə göstərildiyi kimi elementar paralelepipedin bütün üzlərində gərginlikləri təyin etmək mümkündür. 3.

Elementar paralelepipedin üzlərinə tətbiq olunan gərginliklərə əlavə olaraq, bədən qüvvələri ona təsir göstərir: çəki qüvvələri, ətalət qüvvələri. Bu qüvvələrin koordinat oxları üzrə vahid həcmə proyeksiyalarını X, Y və Z ilə işarə edək. Bütün normal, tangensial və həcmli qüvvələrin x oxuna proyeksiyalarının cəmini sıfıra bərabər tutsaq,

elementar paralelepiped üzərində hərəkət edərək, dxdydz hasilinə görə reduksiya etdikdən sonra tənliyi alırıq.

Qüvvələrin y və z oxlarındakı proyeksiyaları üçün oxşar tənliklər tərtib edərək, Cauchy tərəfindən alınan elementar paralelepipedin tarazlığı üçün üç diferensial tənlik yazırıq,

Paralelepipedin ölçüləri sıfıra endirildikdə o, nöqtəyə çevrilir və σ və τ A nöqtəsindən keçən üç qarşılıqlı perpendikulyar sahə boyunca gərginlik komponentləridir.

Elementar paralelepipeddə x c oxuna nisbətən x oxuna paralel və onun ağırlıq mərkəzindən keçən bütün qüvvələrin momentlərinin cəmini sıfıra bərabər tutsaq, tənliyi əldə edirik.

və ya tənliyin ikinci və dördüncü hədlərinin qalanlarına nisbətən daha yüksək kiçiklik sırasına malik olmasını nəzərə alaraq, dxdydz azaldılmasından sonra

τ yz - τ zy = 0 və ya τ yz = τ zy.

y c və z c mərkəzi oxları haqqında oxşar moment tənliklərini tərtib edərək, kəsici gərginliklərin cütləşməsi qanununun üç tənliyini alırıq.

τ xy = τ yx, τ yx = τ xy , τ zx = τ xz . (1.3)

Bu qanun aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: Qarşılıqlı perpendikulyar sahələrə təsir edən və sahələrin kəsişmə xəttinə perpendikulyar yönəldilmiş tangensial gərginliklər böyüklüyünə görə bərabər və işarəsi ilə eynidir.

Beləliklə, T σ tensorunun matrisasının doqquz gərginlik komponentindən altısı bir-birinə cüt-cüt bərabərdir və bir nöqtədə gərginlik vəziyyətini təyin etmək üçün yalnız aşağıdakı altı gərginlik komponentini tapmaq kifayətdir:

Lakin qurulmuş tarazlıq şərtləri bizə yalnız üç tənlik (1.2) verdi, onlardan altı naməlum tapıla bilməz. Beləliklə, bir nöqtədə gərginlik vəziyyətini təyin etmək üçün birbaşa problem, ümumi halda, statik olaraq qeyri-müəyyəndir. Bu statik qeyri-müəyyənliyi aşkar etmək üçün əlavə həndəsi və fiziki asılılıqlara ehtiyac var.

A nöqtəsindəki elementar paralelepipedi üzlərinə meylli müstəvi ilə kəsək; bu müstəviyə normal N-nin l, m və n istiqamət kosinusları olsun.Nəticədə həndəsi fiqur (şəkil 4) üçbucaqlı əsaslı piramida - elementar tetraedrdir. Fərz edək ki, A nöqtəsi koordinatların başlanğıcı ilə üst-üstə düşür və tetraedrin üç qarşılıqlı perpendikulyar üzü koordinat müstəviləri ilə üst-üstə düşür.

Tetraedrin bu üzlərinə təsir edən gərginlik komponentləri nəzərdən keçiriləcək

müsbət. Onlar əncirdə göstərilmişdir. 4. BCD tetraedrinin x, y və z oxlarında maili üzünə təsir edən ümumi gərginliyin p N proyeksiyalarını ilə işarələyin. BCD meylli üzün sahəsi dF ilə işarələnir. Sonra ABC üzünün sahəsi dFp, üz ACD - dFl və üz ADB - dFt olacaqdır.

Üzlərinə təsir edən bütün qüvvələri x oxuna proyeksiya edərək tetraedrin tarazlıq tənliyini quraq; bədən qüvvəsinin proyeksiyası proyeksiya tənliyinə daxil edilmir, belə ki

Səth qüvvələrinin proyeksiyaları ilə müqayisədə daha yüksək kiçiklik sırasının dəyəri necədir:

y və z oxlarında tetraedra təsir edən qüvvələr üçün proyeksiya tənliklərini tərtib edərək daha iki oxşar tənlik əldə edirik. Nəticədə elementar tetraedr üçün üç tarazlıq tənliyi əldə edəcəyik

Qarşılıqlı perpendikulyar xОу, yОz və хОz müstəvilər sistemi ilə ixtiyari formalı fəza cismini bir sıra elementar paralelepipedlərə bölək (şək. 5). Bədənin səthində, elementar

tetraedra, (səthin əyri xətləri, kiçikliyinə görə, təyyarələrlə əvəz edilə bilər). Bu halda p N səthdəki yükü, tənliklər (1.4) isə bu yükü cisimdəki σ və τ gərginlikləri ilə əlaqələndirəcək, yəni elastiklik nəzəriyyəsi məsələsinin sərhəd şərtlərini təmsil edəcək. Bu tənliklərlə müəyyən edilən şərtlərə deyilir səth şəraiti.

Qeyd etmək lazımdır ki, elastiklik nəzəriyyəsində xarici yüklər cismin səthi ilə üst-üstə düşən sahələrə hansısa qanuna uyğun olaraq tətbiq edilən normal və tangensial gərginliklərlə təmsil olunur.

1.3 Yamac boyunca normal və kəsici gərginliklər

Sayt

Üç üzü koordinat müstəvilərinə paralel olan elementar ABCD tetraedrini nəzərdən keçirək və normal N-dən dördüncü üzü koordinat oxları ilə bucaqlar düzəldir, kosinusları l, m və n-ə bərabərdir (şək. 6). . Fərz edək ki, koordinat müstəvilərində yatan sahələrə təsir edən normal və kəsici gərginliklərin komponentləri verilmişdir və BCD sahəsinə düşən gərginlikləri təyin edəcəyik. X 1, y 1 və z 1 düzbucaqlı koordinat oxlarının yeni sistemini seçirik ki, x 1 oxu normal N ilə üst-üstə düşsün,

Elastiklik nəzəriyyəsinin əsas vəzifəsi gövdənin yüklənməsi və bərkidilməsinin verilmiş şərtlərinə uyğun olaraq gərginlik-deformasiya vəziyyətinin təyin edilməsidir.

Gərginlik-deformasiya vəziyyəti gərginlik tensorunun () komponentləri və yerdəyişmə vektoru, doqquz funksiya tapıldıqda müəyyən edilir.

Elastiklik nəzəriyyəsinin əsas tənlikləri

Bu doqquz funksiyanı tapmaq üçün elastiklik nəzəriyyəsinin əsas tənliklərini yazmaq lazımdır və ya:

Diferensial Cauchies

Koşi deformasiyalarının xətti hissəsinin tenzorunun komponentləri haradadır;

Radius boyu yerdəyişmə törəməsinin tenzorunun komponentləri.

Diferensial tarazlıq tənlikləri

stress tensor komponentləri haradadır; bədən qüvvəsinin j oxuna proyeksiyasıdır.

Xətti elastik izotrop cisim üçün Huk qanunu

Lame sabitləri haradadır; izotrop bədən üçün. Budur normal və kəsmə gərginlikləri; deformasiya və kəsmə bucaqları müvafiq olaraq.

Yuxarıdakı tənliklər Saint-Venant asılılıqlarını təmin etməlidir

Elastiklik nəzəriyyəsində bütün əsas tənliklər təmin olunarsa, problem həll olunur.

Elastiklik nəzəriyyəsində problemlərin növləri

Bədənin səthində sərhəd şərtləri təmin edilməlidir və sərhəd şərtlərinin növündən asılı olaraq elastiklik nəzəriyyəsində üç növ problem mövcuddur.

Birinci növ. Bədənin səthinə qüvvələr verilir. Sərhəd şərtləri

İkinci növ. Bədən səthində yerdəyişmənin təyin olunduğu problemlər. Sərhəd şərtləri

Elastiklik nəzəriyyəsinin birbaşa və tərs problemləri

yerdəyişmələrdə elastiklik nəzəriyyəsi tənlikləri (Lame tənlikləri)

Yer dəyişmələrində elastiklik nəzəriyyəsinin tənliklərini təyin etmək üçün yazırıq: diferensial tarazlıq tənlikləri (18) Xətti elastik izotrop cisim üçün Huk qanunu (19)

Deformasiyaların yerdəyişmələrlə ifadə edildiyini nəzərə alsaq (17), yazırıq:

Onu da xatırlamaq lazımdır ki, kəsmə bucağı yerdəyişmələrlə aşağıdakı əlaqə ilə bağlıdır (17):

(22) ifadəsini bərabərliklərin birinci tənliyində (19) əvəz edərək, normal gərginliklərin

Qeyd edək ki, bu halda u qeydi i üzərində cəmləmə demək deyil.

(23) ifadəsini (19) ikinci bərabərlik tənliyində əvəz edərək, kəsmə gərginliklərini əldə edirik.

(18) tarazlıq tənliklərini j = 1 üçün genişləndirilmiş formada yazaq

Normal (24) və tangensial (25) gərginliklər üçün ifadələri (26) tənliyinə əvəz edərək, əldə edirik.

burada l ifadə ilə təyin olunan Lame sabitidir:

(28) ifadəsini (27) tənliyində əvəz edirik və yazırıq,

burada (22) ifadəsi ilə və ya genişləndirilmiş formada müəyyən edilir

(29) ifadəsini G-yə bölürük və oxşar şərtləri əlavə edirik və ilk Lame tənliyini alırıq:

kimi təyin olunan Laplas operatoru (harmonik operator) haradadır

Eynilə, əldə edə bilərsiniz:

(30) və (32) tənlikləri aşağıdakı kimi yazıla bilər:

(33) və ya (30) və (32) tənlikləri Lame tənlikləridir. Bədən qüvvələri sıfır və ya sabitdirsə, o zaman

üstəlik, bu halda qeyd i üzərində cəmləməni nəzərdə tutmur. Budur

və ya (31) nəzərə alınmaqla

(22)-ni (34)-ə əvəz etməklə və çevrilmələri yerinə yetirərək əldə edirik

və nəticədə

bu bərabərliyi təmin edən funksiya haradadır. Əgər

deməli f harmonik funksiyadır. Bu o deməkdir ki, həcmli deformasiya həm də harmonik funksiyadır.

Əvvəlki fərziyyəni düzgün hesab edərək, Lame tənliyinin i-ci sətirindən harmonik operatoru götürürük.

Bədən qüvvələri sıfır və ya sabitdirsə, yerdəyişmə komponentləri biharmonik funksiyalardır.

Biharmonik funksiyaların harmoniklər baxımından (Lame tənliklərini təmin edən) müxtəlif təsvir formaları mövcuddur.

burada k = 1,2,3. Və