بطاقات

عزم القوة حول المحور . لحظة القوة ما هي لحظة القوة حول نقطة ما

تعريف

يُطلق على المنتج المتجه لنصف القطر - المتجه () ، والذي يتم رسمه من النقطة O (الشكل 1) إلى النقطة التي يتم تطبيق القوة عليها على المتجه نفسه ، لحظة القوة () فيما يتعلق بالنقطة O:

في الشكل 1، النقطة O ومتجه القوة () ومتجه نصف القطر موجودان في مستوى الشكل. في هذه الحالة، يكون متجه عزم القوة () عموديًا على مستوى الرسم وله اتجاه بعيدًا عنا. متجه لحظة القوة محوري. يتم اختيار اتجاه متجه عزم القوة بحيث يؤدي الدوران حول النقطة O في اتجاه القوة والمتجه إلى إنشاء نظام أيمن. يتزامن اتجاه لحظة القوى والتسارع الزاوي.

حجم المتجه هو:

أين هي الزاوية بين نصف القطر واتجاهات متجه القوة، هي ذراع القوة بالنسبة للنقطة O.

عزم القوة حول المحور

عزم القوة بالنسبة للمحور هو الكمية المادية، يساوي إسقاط متجه لحظة القوة بالنسبة لنقطة المحور المحدد على هذا المحور. في هذه الحالة، لا يهم اختيار النقطة.

اللحظة الرئيسية للقوة

تسمى اللحظة الرئيسية لمجموعة القوى المتعلقة بالنقطة O بالمتجه (لحظة القوة) ، وهي تساوي مجموع لحظات جميع القوى المؤثرة في النظام فيما يتعلق بنفس النقطة:

في هذه الحالة، تسمى النقطة O مركز اختزال نظام القوى.

إذا كان هناك لحظتين رئيسيتين ( و ) لنظام قوى واحد لمركزين مختلفين لجلب القوى (O و O)، فإنهما مرتبطان بالتعبير:

حيث يكون متجه نصف القطر، الذي يتم رسمه من النقطة O إلى النقطة O'، هو المتجه الرئيسي لنظام القوة.

بشكل عام، نتيجة الإجراء صلبالنظام التعسفي للقوى هو نفس العمل على جسم اللحظة الرئيسية لنظام القوى والناقل الرئيسي لنظام القوى، والذي يتم تطبيقه في مركز التخفيض (النقطة O).

القانون الأساسي لديناميات الحركة الدورانية

أين هو الزخم الزاوي لجسم في الدوران.

بالنسبة لجسم صلب، يمكن تمثيل هذا القانون على النحو التالي:

حيث I هي لحظة القصور الذاتي للجسم، وهي التسارع الزاوي.

وحدات عزم الدوران

الوحدة الأساسية لقياس عزم القوة في نظام SI هي: [M]=N m

في GHS: [M] = din cm

أمثلة على حل المشكلات

مثال

يمارس.يوضح الشكل 1 جسمًا له محور دوران OO". لحظة القوة المطبقة على الجسم بالنسبة لمحور معين ستكون مساوية للصفر؟ يقع المحور ومتجه القوة في مستوى الشكل.

حل.كأساس لحل المشكلة سنأخذ الصيغة التي تحدد عزم القوة:

في المنتج المتجه (يمكن رؤيته من الشكل). ستكون الزاوية بين متجه القوة ومتجه نصف القطر مختلفة أيضًا عن الصفر (أو)، وبالتالي فإن منتج المتجه (1.1) لا يساوي الصفر. وهذا يعني أن عزم القوة يختلف عن الصفر.

إجابة.

مثال

يمارس. السرعة الزاويةيتغير جسم صلب دوار وفقًا للرسم البياني الموضح في الشكل 2. في أي النقاط المبينة على الرسم البياني يكون عزم القوى المؤثرة على الجسم يساوي صفرًا؟

إن دراسة خصائص زوج من القوى، والتي تعد أحد العناصر الرئيسية للإحصائيات، تتطلب إدخال المفهوم المهم لعزم القوة بالنسبة إلى نقطة ما.

دع القوة تطبق على الجسم عند النقطة أ (الشكل 89). دعنا نختار أي نقطة في الفضاء O (عادةً ما يتم اختيار أصل الإحداثيات على أنها هذه النقطة) ونرسم منها متجه نصف قطر يصل إلى نقطة تطبيق هذه القوة.

إن العزم المتجه للقوة بالنسبة إلى النقطة O هو المتجه الحر المحدد بواسطة المنتج المتجه لـ

تدل عليه لدينا

القيمة المطلقة للمتجه تساوي ضعف مساحة المثلث المبني على المتجهات ويتم توجيه المتجه بشكل عمودي على المستوى الذي تحدده المتجهات بحيث إذا نظرت إلى هذا المستوى من نهايته ستميل القوة لتدوير الجسم حول النقطة O عكس اتجاه عقارب الساعة. عادةً ما يتم اعتبار المتجه مطبقًا عند نقطة ما. إذا كانت القوة مختلفة عن الصفر، فإن عزم المتجه يساوي الصفر فقط عندما تقع النقطة O على خط عمل القوة. في نظام الوحدات الدولي SI، يكون بُعد لحظة القوة بالنسبة لنقطة ما مساويًا لـ

ويترتب على تعريف عزم الدوران المتجه أنه لا يتغير إذا تحركت القوة على طول خط عملها. في الواقع، في هذه الحالة، لا يتغير المستوى الذي تحدده المتجهات

موقعها في الفضاء، ولا تتغير مساحة المثلث المبني على هذه المتجهات (شكل 89).

يترتب على هذه الخاصية أن مفهوم عزم المتجه بالنسبة إلى نقطة ما يرتبط ارتباطًا وثيقًا بمفهوم المتجه المنزلق.

لحظة القوة الجبرية

إذا تم النظر في نظام مسطح للقوى أو القوى الموجودة في مستوى واحد، فمن المستحسن تقديم مفهوم لحظة القوة الجبرية.

معامل عزم المتجه كما هو مبين يساوي ضعف مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا كانت الزاوية بين المتجهات تساوي أ

لكن العمل

يمثل طول العمود العمودي المتجه من النقطة O إلى خط عمل القوة. تسمى الكمية ذراع القوة بالنسبة إلى النقطة O. فلنضعها في المستوى الذي تحدده المتجهات ومحاور الإحداثيات، بينما سيكون المحور z متعامدًا مع هذا المستوى (الشكل 90). لحظة القوة الجبرية هي حاصل ضرب ذراع القوة ومعامل القوة

ستكون علامة اللحظة الجبرية موجبة إذا كانت القوة تميل إلى الدوران حول النقطة O عكس اتجاه عقارب الساعة بالنسبة لراصد يقع على طول الاتجاه الموجب للمحور z. وإلا فإن إشارة العزم الجبرية ستكون سالبة.

عزم القوة حول المحور

يرتبط مفهوم عزم القوة حول نقطة ارتباطًا وثيقًا بمفهوم عزم القوة حول المحور.

عزم القوة حول محور ما هو إسقاط عزم القوة حول نقطة عشوائية على المحور على المحور.

لكي يكون هذا التعريف منطقيًا، من الضروري إثبات أن الإسقاطات على محور لحظات القوة بالنسبة إلى نقطتين عشوائيتين على المحور متساوية.

لإثبات ذلك، دعونا نرسم مستوى عموديًا على المحور (الشكل 91) ونسقط متجهًا على هذا المستوى.

دعونا نشير إلى الزاوية التي يشكلها المتجه مع المحور ثم يتم تحديد عزم المتجه بالنسبة للمحور بالصيغة:

وبالتالي، بما أن القيمة لا تعتمد على موضع النقطة O على المحور (الشكل 92)، إذن

تتيح لك الصيغة التي تحدد اللحظة المحورية إنشاء قاعدة هندسية لحسابها. هذه القاعدة هي كما يلي: ارسم مستوى عموديًا على المحور، ثم قم بإسقاط المتجه عليه

المساحة المزدوجة للمثلث التي يتكونها هذا الإسقاط ونقطة تقاطع المحور مع المستوى تحدد حجم العزم المحوري.

ستكون علامة اللحظة إيجابية إذا كان إسقاط المتجه، بالنسبة لمراقب يقع على طول الاتجاه الموجب للمحور، يميل إلى الدوران حول نقطة تقاطع المحور مع المستوى عكس اتجاه عقارب الساعة؛ إذا كان الإسقاط يميل إلى الدوران في اتجاه عقارب الساعة، فإن علامة اللحظة ستكون سلبية.

صيغ لتحديد اللحظات من خلال الإسقاطات

عادةً ما يتم اختيار أصل الإحداثيات على أنه النقطة O، التي يتم من خلالها حساب عزم المتجه المنزلق. ثم سيتم تطبيق عزم القوة عند أصل الإحداثيات وستكون إسقاطاتها على المحور هي اللحظات المحورية المقابلة. ويترتب على التعريف والقاعدة الهندسية لحساب العزم المحوري أنه سيكون مساوياً للصفر إذا كان المتجه موازياً للمحور، أو كان خط عمله يتقاطع مع المحور. إذا تم إعطاء القوة من خلال إسقاطاتها وكانت إسقاطات متجه نصف القطر التي تحدد نقطة تطبيق القوة (أو ببساطة إحداثيات هذه النقطة) معروفة، فإن عزم المتجه بالنسبة إلى النقطة O واللحظات

بالنسبة إلى محاور الإحداثيات، على النحو التالي من المحور السابق، يتم تحديدها بواسطة الصيغة:

عزم القوة حول المحورهي لحظة إسقاط القوة على مستوى عمودي على محور، بالنسبة إلى نقطة تقاطع المحور مع هذا المستوى

يكون العزم حول المحور موجبًا إذا كانت القوة تميل إلى تدوير المستوى بشكل عمودي على المحور عكس اتجاه عقارب الساعة عند النظر نحو المحور.

عزم القوة حول المحور هو 0 في حالتين:

إذا كانت القوة موازية للمحور

إذا كانت القوة تعبر المحور

إذا كان خط العمل والمحور يقعان في نفس المستوى، فإن عزم القوة حول المحور يساوي 0.

27. العلاقة بين عزم القوة حول محور وعزم القوة المتجه حول نقطة ما.

Mz(F)=Mo(F)*cosαلحظة القوة بالنسبة للمحور تساوي إسقاط متجه لحظة القوة بالنسبة لنقطة المحور على هذا المحور.

28. النظرية الرئيسية للإحصائيات حول جلب نظام القوى إلى مركز معين (نظرية بوانسوت). المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية لنظام القوى.

في الحالة العامة، يمكن استبدال أي نظام مكاني للقوى بنظام مكافئ يتكون من قوة واحدة مطبقة على نقطة ما من الجسم (مركز الاختزال) وتساوي المتجه الرئيسي لنظام القوى هذا، وزوج واحد من القوى ، اللحظة التي تساوي اللحظة الرئيسية لجميع القوى المتعلقة بمركز التقريب المحدد.

الناقل الرئيسي لنظام القوةيسمى ناقل ر، يساوي المجموع المتجه لهذه القوى:

ر = F 1 + F 2 + ... + Fن = Fأنا.

بالنسبة لنظام القوى المستوي، يكمن ناقله الرئيسي في مستوى عمل هذه القوى.

النقطة الرئيسية لنظام القواتنسبة إلى المركز O يسمى المتجه ل O يساوي مجموع العزوم المتجهة لهذه القوى بالنسبة للنقطة O:

لس= ميا( F 1) + ميا( F 2) + ... + ميا( Fن) = ميا( Fأنا).

المتجه رلا يعتمد على اختيار المركز O والمتجه لعندما يتغير موضع المركز، يمكن أن يتغير O بشكل عام.

نظرية بوينسو: يمكن استبدال نظام مكاني تعسفي للقوى بقوة واحدة ذات المتجه الرئيسي لنظام القوة وزوج من القوى ذات العزم الرئيسي دون الإخلال بحالة الجسم الصلب. يمثل المتجه الرئيسي مجموع هندسيجميع القوى المؤثرة على جسم صلب وتقع في مستوى عمل القوى. يتم النظر إلى المتجه الرئيسي من خلال إسقاطاته على محاور الإحداثيات.

لجلب القوى إلى مركز معين مطبقة عند نقطة ما من جسم صلب، من الضروري: 1) نقل القوة الموازية لنفسها إلى مركز معين دون تغيير معامل القوة؛ 2) في مركز معين، قم بتطبيق زوج من القوى، التي تساوي لحظة المتجه للقوة المنقولة بالنسبة إلى المركز الجديد؛

اعتماد اللحظة الرئيسية على اختيار مركز التخفيض. اللحظة الرئيسية حول مركز الاختزال الجديد تساوي المجموع الهندسي للحظة الرئيسية حول مركز الاختزال القديم والمنتج المتجه لمتجه نصف القطر الذي يربط مركز الاختزال الجديد بالمركز القديم بواسطة المتجه الرئيسي.

29 حالات خاصة لتخفيض النظام المكاني للقوات

	المتجهات الرئيسية وقيم اللحظة الرئيسية	نتيجة الصب
		يتم تقليل نظام القوى إلى زوج من القوى، لحظة تساوي اللحظة الرئيسية (اللحظة الرئيسية لنظام القوى لا تعتمد على اختيار مركز التخفيض O).
		يتم تقليل نظام القوى إلى نتيجة تساوي المرور عبر المركز O.
		يتم تقليل نظام القوى إلى نتيجة تساوي المتجه الرئيسي وموازية له وتقع على مسافة منه. يجب أن يكون موضع خط عمل المحصلة بحيث يتزامن اتجاه عزمها بالنسبة إلى مركز التخفيض O مع الاتجاه بالنسبة إلى المركز O.
	، والمتجهات ليست متعامدة	يتم تقليل نظام القوى إلى داينا (المسمار الكهربائي) - مزيج من القوة وزوج من القوى يقعان في مستوى متعامد مع هذه القوة.
		نظام القوى المؤثرة على الجسم الصلب متوازن.

30. الحد من الديناميكية.في الميكانيكا، تسمى الديناميكيات مثل هذه المجموعة من القوى وأزواج القوى () المؤثرة على جسم صلب، حيث تكون القوة متعامدة مع مستوى عمل زوج القوى. باستخدام العزم المتجه لزوج من القوى، يمكننا أيضًا تعريف الديناميكية على أنها مزيج من القوة والازدواج الذي تكون قوته موازية للعزم المتجه لزوج القوى.

معادلة المحور الحلزوني المركزيلنفترض أنه في مركز التخفيض، الذي يعتبر أصل الإحداثيات، يتم الحصول على المتجه الرئيسي مع الإسقاطات على محاور الإحداثيات واللحظة الرئيسية مع الإسقاطات عند إحضار نظام القوى إلى مركز التخفيض O 1 (الشكل 1). 30)، يتم الحصول على داينا مع المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية، والمتجهات وتشكيل ليناما. متوازيان وبالتالي يمكن أن يختلفا فقط في العامل العددي k 0. لدينا، منذ اللحظات الرئيسية ونحقق العلاقة

لحظة زوجين من القوى

إن عزم القوة بالنسبة لأي نقطة (مركز) هو متجه يساوي عدديًا حاصل ضرب معامل القوة والذراع، أي. إلى أقصر مسافة من النقطة المحددة إلى خط عمل القوة، وموجهة بشكل عمودي على المستوى الذي يمر عبر النقطة المحددة وخط عمل القوة في الاتجاه الذي منه "الدوران" الذي تقوم به القوة المحيطة يبدو أن النقطة تحدث عكس اتجاه عقارب الساعة. لحظة القوة تميز عملها الدوراني.

لو عن– النقطة التي يقع عندها عزم القوة F، ثم يتم الإشارة إلى لحظة القوة بالرمز م س (و). دعونا نبين أنه إذا كانت نقطة تطبيق القوة Fيحددها ناقل نصف القطر ص، فالعلاقة صحيحة

م س (F)=ص×F. (3.6)

وفقا لهذه النسبة لحظة القوة تساوي حاصل ضرب المتجهص بواسطة المتجه F.

في الواقع، معامل المنتج المتجه يساوي

شهر ( F)=الترددات اللاسلكيةالخطيئة= ف, (3.7)

أين ح- كتف القوة. لاحظ أيضًا أن المتجه م س (و)موجهة بشكل عمودي على المستوى الذي يمر عبر المتجهات صو F، في الاتجاه الذي منه أقصر دورة للناقل صإلى اتجاه المتجه Fيبدو أنه يحدث عكس اتجاه عقارب الساعة. وهكذا فإن الصيغة (3.6) تحدد بشكل كامل معامل واتجاه عزم القوة F.

في بعض الأحيان يكون من المفيد كتابة الصيغة (3.7) في النموذج

شهر ( F)=2س, (3.8)

أين س- مساحة المثلث أواف.

يترك س, ذ, ضهي إحداثيات نقطة تطبيق القوة، و الفوركس, السنة المالية, Fz- إسقاطات القوة على محاور الإحداثيات. ثم إذا كانت النقطة عنيقع عند نقطة الأصل، ويتم التعبير عن لحظة القوة على النحو التالي:

ويترتب على ذلك أن إسقاطات لحظة القوة على محاور الإحداثيات يتم تحديدها بواسطة الصيغ:

م الثور(F)=ذ.ض ض -zF ذ,

م أوي(F)=ضF س -xF ض ,

م أوي(F)=xF ذ -yF س. (3.10)

دعونا الآن نقدم مفهوم إسقاط القوة على المستوى.

دع القوة تعطى Fوبعض الطائرة. دعونا نسقط الخطوط المتعامدة من بداية ونهاية متجه القوة على هذا المستوى.

إسقاط القوة على الطائرةمُسَمًّى المتجه التي تتزامن بدايتها ونهايتها مع إسقاط البداية وإسقاط القوة على هذا المستوى.

إذا أخذنا الطائرة كالطائرة قيد النظر xOy، ثم إسقاط القوة Fسيكون هناك ناقل على هذه الطائرة Fxy.

لحظة القوة Fxyنسبة إلى النقطة عن(نقاط تقاطع المحاور ضمع الطائرة xOy) يمكن حسابها باستخدام الصيغة (3.9)، إذا أخذناها ض=0, Fz=0. نحن نحصل

ميا(Fxy)=(xF ذ -yF س)ك.

وبالتالي، يتم توجيه اللحظة على طول المحور ض، وإسقاطه على المحور ضيتزامن تمامًا مع الإسقاط على نفس المحور لعزم القوة Fنسبة إلى النقطة عن. بعبارة أخرى،

م أوز(F)=م أوز(Fxy)= xF ذ -yF س. (3.11)

ومن الواضح أنه يمكن الحصول على نفس النتيجة إذا قمنا بإسقاط القوة Fإلى أي مستوى آخر موازي xOy. في هذه الحالة، نقطة تقاطع المحور ضمع المستوى سيكون مختلفًا (نشير إلى نقطة التقاطع الجديدة بواسطة عن 1). ومع ذلك، الجميع المدرجة في الجانب الأيمنالمساواة (3.11) في الكمية X, في, ف س, واو ذسوف تبقى دون تغيير، وبالتالي يمكن كتابتها

م أوز(F)=م يا 1 ض ( Fxy).

بعبارة أخرى، إن إسقاط عزم القوة بالنسبة لنقطة على محور يمر بهذه النقطة لا يعتمد على اختيار النقطة على المحور . لذلك، في ما يلي، بدلا من الرمز م أوز(F) سوف نستخدم الرمز مز(F). تسمى هذه اللحظة الإسقاط عزم القوة حول المحور ض. غالبًا ما يكون من الأسهل حساب عزم القوة حول المحور من خلال إسقاط القوة Fعلى مستوى عمودي على المحور وحساب القيمة مز(Fxy).

ووفقاً للصيغة (3.7) ومع مراعاة إشارة الإسقاط نحصل على:

مز(F)=مز(Fxy)=± ف ص ص ح*. (3.12)

هنا ح*- كتف القوة Fxyنسبة إلى النقطة عن. إذا رأى المراقب من الاتجاه الموجب للمحور z أن القوة Fxyيميل إلى دوران الجسم حول محور ضعكس اتجاه عقارب الساعة، فتؤخذ علامة "+"، وبخلاف ذلك علامة "-".

تتيح الصيغة (3.12) صياغة القاعدة التالية لحساب عزم القوة حول المحور. للقيام بذلك تحتاج:

· تحديد نقطة عشوائية على المحور وبناء مستوى عمودي على المحور.

· إسقاط قوة على هذا المستوى؛

· تحديد ذراع إسقاط القوة ح*.

لحظة القوة بالنسبة للمحور تساوي ناتج معامل إسقاط القوة على كتفها، مأخوذة بالعلامة المناسبة (انظر القاعدة المذكورة أعلاه).

ومن الصيغة (3.12) يتبع ذلك يكون عزم القوة حول المحور صفراً في حالتين:

· عندما يكون إسقاط القوة على المستوى المتعامد على المحور صفراً، أي. عندما تكون القوة والمحور متوازيين ;

عند إسقاط الكتف ح*يساوي الصفر، أي. عندما يتقاطع خط العمل مع المحور .

ويمكن الجمع بين هاتين الحالتين في حالة واحدة: يكون عزم القوة حول المحور صفراً إذا وفقط إذا كان خط عمل القوة والمحور في نفس المستوى .

المهمة 3.1.حساب نسبة إلى نقطة عنلحظة القوة F، مطبق على هذه النقطة أووجه مكعب موجه قطريًا مع الجانب أ.

عند حل مثل هذه المسائل، فمن المستحسن أن نحسب أولا لحظات القوة Fنسبة إلى محاور الإحداثيات س, ذ, ض. إحداثيات النقطة أتطبيق القوة Fسوف

إسقاطات القوة Fعلى محاور الإحداثيات:

بتعويض هذه القيم في المتساويات (3.10) نجد

, , .

نفس التعبيرات لحظات القوة Fبالنسبة إلى محاور الإحداثيات يمكن الحصول عليها باستخدام الصيغة (3.12). للقيام بذلك، نقوم بتصميم القوة Fعلى مستوى عمودي على المحور Xو في. من الواضح أن . وبتطبيق القاعدة المذكورة أعلاه، نحصل، كما هو متوقع، على نفس التعبيرات:

, , .

يتم تحديد معامل اللحظة بالمساواة

دعونا الآن نقدم مفهوم لحظة الزوجين. دعونا أولًا نكتشف ما يساوي مجموع عزوم القوى التي يتكون منها الزوج بالنسبة إلى نقطة اختيارية. يترك عنهي نقطة تعسفية في الفضاء، و Fو F" -القوى التي تشكل زوجين.

ثم م س (و)= الزراعة العضوية × F, م س (و")= أوب × F",

م س (F)+ م س (F")= الزراعة العضوية × F+ أوب × F",

لكن منذ و = -F"، الذي - التي

م س (F)+ م س (F")= الزراعة العضوية × F- أوب × F=(الزراعة العضوية-أوب)× F.

مع مراعاة المساواة الزراعة العضوية-OB=BA ، نجد أخيرًا:

م س (F)+ م س (F")= فرجينيا × F.

لذلك، مجموع عزوم القوى التي يتكون منها الزوج لا يعتمد على موضع النقطة بالنسبة لها والتي تم أخذ العزوم منها .

ناقلات العمل الفني فرجينيا × Fويسمى لحظة زوجين . تتم الإشارة إلى لحظة الزوجين بالرمز م(و، و")، و

م(و، و")=فرجينيا × و= أ.ب × F",

أو باختصار،

م=فرجينيا × و= أ.ب × F". (3.13)

وبالنظر إلى الجانب الصحيح من هذه المساواة، نلاحظ ذلك لحظة الزوجين هي ناقل، عمودي على الطائرةزوج، يساوي في معامله منتج معامل قوة واحدة للزوج بذراع الزوج (أي أقصر مسافة بين خطوط عمل القوى المكونة للزوج) وموجهة في الاتجاه الذي منه يُرى أن "دوران" الزوج يحدث عكس اتجاه عقارب الساعة . لو ح– كتف الزوج إذن م(و، و")=ح × واو.

يتضح من التعريف نفسه أن عزم زوج من القوى هو متجه حر، لم يتم تحديد خط عمله (يتبع التبرير الإضافي لهذه الملاحظة من النظريتين 2 و 3 من هذا الفصل).

لكي يشكل زوج من القوى نظامًا متوازنًا (نظام قوى مكافئ للصفر)، من الضروري والكافي أن يكون عزم الزوج مساويًا للصفر. في الواقع، إذا كان عزم الزوجين صفرًا، م=ح × واو، ثم إما F=0، أي لا قوة، أو كتف الزوجين حيساوي الصفر. لكن في هذه الحالة، ستعمل قوى الزوج في خط مستقيم واحد؛ نظرًا لأنهما متساويان في المعامل وموجهان في اتجاهين متعاكسين، فبناءً على البديهية 1، سيشكلان نظامًا متوازنًا. وعلى العكس من ذلك، إذا كانت هناك قوتان ف 1و ف 2، تكوين زوج، متوازن، ثم، بناءً على نفس البديهية 1، يتصرفون في خط مستقيم واحد. ولكن في هذه الحالة الرافعة المالية للزوج حيساوي الصفر وبالتالي م=ح × واو=0.

نظريات الزوج

دعونا نثبت ثلاث نظريات التي من خلالها تصبح التحويلات المكافئة للأزواج ممكنة. وفي جميع الاعتبارات يجب أن نتذكر أنها تشير إلى الأزواج الذين يتصرفون على أي جسم صلب واحد.

النظرية 1. يمكن استبدال زوجين يقعان في نفس المستوى بزوج واحد يقع في نفس المستوى، مع لحظة تساوي مجموع لحظات هذين الزوجين.

لإثبات هذه النظرية، فكر في زوجين ( ف 1,ف" 1) و ( ف 2,ف" 2) ونقل نقاط تطبيق جميع القوى على طول خطوط عملها إلى نقاط أو فيعلى التوالى. بإضافة القوى وفقا للبديهية 3، نحصل على

ص = و 1+ف 2و ص"=ف" 1+ف" 2,

لكن ف 1=-ف" 1و ف 2=-ف" 2.

لذلك، ص=- ص"، أي. قوة رو ص"تشكيل زوج. لنجد عزم هذا الزوج باستخدام الصيغة (3.13):

م = م(ر, ص")=فا×ص = فا× (ف 1+ف 2)=فا×ف 1+فا×ف 2. (3.14)

عندما يتم نقل القوى التي يتكون منها الزوج على طول خطوط عملها، لا يتغير كتف أو اتجاه دوران الزوج، وبالتالي، لا يتغير عزم الزوج أيضًا. وسائل،

با × ف 1 = م(ف 1,ف" 1)=م 1, فا×ف 2 = م(ف 2,ف" 2)=م 2

والصيغة (3.14) تأخذ الشكل

م=م1+م2, (3.15)

مما يثبت صحة النظرية المذكورة أعلاه.

دعونا نبدي ملاحظتين على هذه النظرية.

1. قد يتبين أن خطوط عمل القوى التي تشكل الأزواج متوازية. تظل النظرية صالحة في هذه الحالة، ولكن لإثباتها يجب عليك استخدام قاعدة الجمع قوى متوازية.

2. بعد الإضافة قد يتبين ذلك م(ر, ص")=0; وبناء على الملاحظة السابقة يترتب على ذلك أن جمع الزوجين ( ف 1,ف" 1, ف 2,ف" 2)=0.

النظرية 2. الزوجان اللذان لهما لحظات متساوية هندسيًا متكافئان.

السماح على الجسم في الطائرة أنازوج ( ف 1,ف" 1) مع لحظة م 1. دعونا نبين أنه يمكن استبدال هذا الزوج بزوج آخر ( ف 2,ف" 2)، الموجود في الطائرة ثانيا، لو كانت لحظتها فقط م 2يساوي م 1(وفقًا للتعريف (انظر 1.1) فهذا يعني أن الأزواج ( ف 1,ف" 1) و ( ف 2,ف" 2) متكافئة). بادئ ذي بدء، نلاحظ أن الطائرات أناو ثانيايجب أن تكون متوازية، وعلى وجه الخصوص أنها يمكن أن تتزامن. وبالفعل من توازي اللحظات م 1و م 2(في حالتنا هذه م 1=م 2) ويترتب على ذلك أن مستويات عمل الأزواج المتعامدة مع اللحظات تكون متوازية أيضًا.

دعونا نقدم زوجًا جديدًا ( ف 3,ف" 3) وإرفاقها مع زوج ( ف 2,ف" 2) إلى الجسم، ووضع كلا الزوجين في الطائرة ثانيا. للقيام بذلك، وفقا للبديهية 2، تحتاج إلى تحديد زوج ( ف 3,ف" 3) مع لحظة م 3بحيث يكون نظام القوى المطبق ( ف 2,ف" 2, ف 3,ف" 3) كان متوازنا. ويمكن القيام بذلك، على سبيل المثال، على النحو التالي: ضع ف 3=-ف" 1و ف"3=-ف 1ودمج نقاط تطبيق هذه القوى مع الإسقاطات أ 1 و في 1 نقطة أو فيالى الطائرة ثانيا. وفقا للبناء، سيكون لدينا: م 3 = -م 1أو بالنظر إلى ذلك م 1 = م 2,

م2 + م3 = 0.

ومع مراعاة الملاحظة الثانية للنظرية السابقة نحصل على ( ف 2,ف" 2, ف 3,ف" 3)=0. وهكذا أزواج ( ف 2,ف" 2) و ( ف 3,ف" 3) متوازنان بشكل متبادل وارتباطهما بالجسد لا يخل بحالته (البديهية 2)، لذلك

(ف 1,ف" 1)= (ف 1,ف" 1, ف 2,ف" 2, ف 3,ف" 3). (3.16)

ومن جهة أخرى القوات ف 1و ف 3، و ف" 1و ف" 3يمكن إضافتها وفقا لقاعدة جمع القوى المتوازية الموجهة في اتجاه واحد. في المقياس، كل هذه القوى متساوية مع بعضها البعض، وبالتالي محصلتها رو ص"يجب أن يتم تطبيقه عند نقطة تقاطع أقطار المستطيل ايه بي بي 1 أ 1 ؛ بالإضافة إلى أنها متساوية في الحجم وموجهة في اتجاهين متعاكسين. وهذا يعني أنها تشكل نظاما يعادل الصفر. لذا،

(ف 1,ف" 1, ف 3,ف" 3)=(ر, ص")=0.

الآن يمكننا أن نكتب

(ف 1,ف" 1, ف 2,ف" 2, ف 3,ف" 3)=(ف 3,ف" 3). (3.17)

بمقارنة العلاقات (3.16) و (3.17) نحصل على ( ف 1,ف" 1)=(ف 2,ف" 2) وهو ما يحتاج إلى إثبات.

ويترتب على هذه النظرية أنه يمكن نقل زوج من القوى في مستوى تأثيره، ونقله إلى مستوى موازٍ؛ أخيرًا، في الزوج، يمكنك تغيير القوى والرافعة المالية في نفس الوقت، مع الحفاظ فقط على اتجاه دوران الزوج ومعامل عزمه ( F 1 ح 1 =F 2 ح 2).

في ما يلي، سوف نستخدم على نطاق واسع مثل هذه التحويلات الزوجية المكافئة.

النظرية 3. زوجان يقعان في مستويين متقاطعين يعادلان زوجًا واحدًا يساوي مجموع عزم الزوجين المعينين.

دع الأزواج ( ف 1,ف" 1) و ( ف 2,ف" 2) تقع في مستويات متقاطعة أناو ثانياعلى التوالى. باستخدام النتيجة الطبيعية للنظرية 2، نقوم بتقليل كلا الزوجين إلى الكتف أ.ب، وتقع على خط تقاطع الطائرات أناو ثانيا. دعونا نشير إلى الأزواج المحولة بواسطة ( س 1,س" 1) و ( س 2,س"2). وفي هذه الحالة، يجب تحقيق المساواة

م 1 = م(س 1,س" 1)=م(ف 1,ف" 1) و م 2 = م(س 2,س"2)=م(ف 2,ف" 2).

دعونا نضيف، وفقا لهذه البديهية، 3 قوى تطبق على نقاط أو فيعلى التوالى. ثم نحصل ص=س 1 + س 2و ر"=س" 1 +س" 2. معتبرا أن س" 1 = -س 1و س" 2 = -س 2، نحن نحصل ص=-ر". وبذلك أثبتنا أن النظام المكون من زوجين يعادل زوجًا واحدًا ( ر,ص").

دعونا نجد اللحظة مهذا الزوجين. بناء على الصيغة (3.13) لدينا

م(ر,ص")=فا× (س1+س2)=فا×س1+ فا×س 2=

=م(س 1,س" 1)+م(س 2,س"2)=م(ف 1,ف" 1)+م(ف 2,ف" 2)

م=م1+م2,

أولئك. تم إثبات النظرية.

لاحظ أن النتيجة التي تم الحصول عليها صالحة أيضًا للأزواج الموجودة في مستويات متوازية. من خلال النظرية 2، يمكن اختزال هذه الأزواج إلى مستوى واحد، ومن خلال النظرية 1 يمكن استبدالها بزوج واحد، لحظة تساوي مجموع لحظات الأزواج المكونة.

تسمح لنا النظريات الزوجية المثبتة أعلاه باستخلاص نتيجة مهمة: لحظة الزوجين هي ناقل حر وتحدد بشكل كامل عمل الزوجين على جسم صلب تمامًا . في الواقع، لقد أثبتنا بالفعل أنه إذا كان لزوجين نفس اللحظات (وبالتالي، يقعان في نفس المستوى أو في مستويات متوازية)، فإنهما مكافئان لبعضهما البعض (النظرية 2). ومن ناحية أخرى، فإن الزوجين الواقعين في مستويين متقاطعين لا يمكن أن يكونا متكافئين، لأن هذا يعني أن أحدهما والزوج المقابل للآخر يساويان الصفر، وهو أمر مستحيل، لأن مجموع لحظات هذه الأزواج غير صفر.

وبالتالي، فإن المفهوم المقدم للحظة الزوجين مفيد للغاية، لأنه يعكس تماما العمل الميكانيكي للزوجين على الجسم. وبهذا المعنى، يمكننا القول أن اللحظة تمثل بشكل شامل حركة الزوجين على جسم صلب.

بالنسبة للأجسام المشوهة، لا تنطبق نظرية الأزواج الموضحة أعلاه. زوجان متقابلان، يعملان، على سبيل المثال، في نهايات قضيب، يعادلان الصفر من وجهة نظر إحصائيات الجسم الصلب. وفي الوقت نفسه، فإن تأثيرها على القضيب القابل للتشوه يؤدي إلى التواءه، وكلما زادت معاملات العزم.

دعنا ننتقل إلى حل المشكلات الأولى والثانية للإحصائيات، عندما تعمل أزواج القوى فقط على الجسم.

عزم القوة حول المحور هو 0 في حالتين:

إذا كانت القوة موازية للمحور

إذا كانت القوة تعبر المحور

إذا كان خط العمل والمحور يقعان في نفس المستوى، فإن عزم القوة حول المحور يساوي 0.

27. العلاقة بين عزم القوة حول محور وعزم القوة المتجه حول نقطة ما.

Mz(F)=Mo(F)*cosαلحظة القوة بالنسبة للمحور تساوي إسقاط متجه لحظة القوة بالنسبة لنقطة المحور على هذا المحور.

28. النظرية الرئيسية للإحصائيات حول جلب نظام القوى إلى مركز معين (نظرية بوانسوت). المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية لنظام القوى.

الناقل الرئيسي لنظام القوةيسمى ناقل ر، يساوي المجموع المتجه لهذه القوى:

ر = F 1 + F 2 + ... + Fن = Fأنا.

بالنسبة لنظام القوى المستوي، يكمن ناقله الرئيسي في مستوى عمل هذه القوى.

لس= ميا( F 1) + ميا( F 2) + ... + ميا( Fن) = ميا( Fأنا).

المتجه رلا يعتمد على اختيار المركز O والمتجه لعندما يتغير موضع المركز، يمكن أن يتغير O بشكل عام.

نظرية بوينسو: يمكن استبدال نظام مكاني تعسفي للقوى بقوة واحدة ذات المتجه الرئيسي لنظام القوة وزوج من القوى ذات العزم الرئيسي دون الإخلال بحالة الجسم الصلب. المتجه الرئيسي هو المجموع الهندسي لجميع القوى المؤثرة على جسم صلب ويقع في مستوى عمل القوى. يتم النظر إلى المتجه الرئيسي من خلال إسقاطاته على محاور الإحداثيات.

29 حالات خاصة لتخفيض النظام المكاني للقوات

	المتجهات الرئيسية وقيم اللحظة الرئيسية	نتيجة الصب
		يتم تقليل نظام القوى إلى زوج من القوى، لحظة تساوي اللحظة الرئيسية (اللحظة الرئيسية لنظام القوى لا تعتمد على اختيار مركز التخفيض O).
		يتم تقليل نظام القوى إلى نتيجة تساوي المرور عبر المركز O.
		يتم تقليل نظام القوى إلى نتيجة تساوي المتجه الرئيسي وموازية له وتقع على مسافة منه. يجب أن يكون موضع خط عمل المحصلة بحيث يتزامن اتجاه عزمها بالنسبة إلى مركز التخفيض O مع الاتجاه بالنسبة إلى المركز O.
	، والمتجهات ليست متعامدة	يتم تقليل نظام القوى إلى داينا (المسمار الكهربائي) - مزيج من القوة وزوج من القوى يقعان في مستوى متعامد مع هذه القوة.
		نظام القوى المؤثرة على الجسم الصلب متوازن.

استبدال، نحصل على

دعونا نشير إلى إحداثيات النقطة O 1 التي يتم عندها الحصول على الديناميكيات كـ x، y، z. ثم تكون إسقاطات المتجه على محاور الإحداثيات مساوية للإحداثيات x، y، z. وبناءً على ذلك، يمكن التعبير عن (*) بالشكل

حيث أنا. j ,k هي متجهات الوحدة للمحاور الإحداثية، ويتم تمثيل منتج المتجه * بواسطة المحدد. معادلة المتجهات(**) يعادل ثلاثة كميات قياسية، والتي يمكن تمثيلها بعد التخلص منها على أنها

المعادلات الخطية الناتجة للإحداثيات x، y، z هي معادلات الخط المستقيم - المحور الحلزوني المركزي. وبالتالي، هناك خط مستقيم عند النقاط التي يتحول فيها نظام القوى إلى الديناميكية.