بطاقات

ما هي علامة عمودي طائرتين؟ محاضرة في الرياضيات حول موضوع "علامة عمودية طائرتين". عندما تكون الطائرات متعامدة

إذا مرت إحدى المستويين عبر خط عمودي على المستوى الآخر، فإن المستويين المعطاين يكونان متعامدين () (الشكل 28)

α - الطائرة، الخامس- خط مستقيم متعامد عليه، β - مستوى يمر عبر الخط المستقيم الخامس، و مع- الخط المستقيم الذي تتقاطع فيه المستويتان α و β.

عاقبة.إذا كان المستوى عموديًا على خط تقاطع مستويين معينين، فإنه يكون عموديًا على كل من هذه المستويات

المشكلة 1. أثبت أنه من خلال أي نقطة على خط في الفضاء يمكن رسم خطين مختلفين متعامدين عليها.

دليل:

وفقا للبديهية أناهناك نقطة ليست على السطر أ.بواسطة النظرية 2.1، من خلال هذه النقطة فيومباشرة أيمكننا رسم المستوى α. (الشكل 29) حسب النظرية 2.3 من خلال النقطة أفي المستوى α يمكننا رسم خط مستقيم أ.وفقا للبديهية C 1، هناك نقطة مع، لا ينتمي إلى α. بواسطة نظرية 15.1 من خلال هذه النقطة معومباشرة أيمكننا رسم المستوى β. في المستوى β، وفقًا للنظرية 2.3، من خلال النقطة أ يمكننا رسم خط مستقيم بها أ.من خلال البناء، يحتوي الخطان b وc على نقطة مشتركة واحدة فقط أوكلاهما متعامد

المهمة 2.ترتبط الأطراف العلوية لعمودين قائمين رأسياً، وتفصل بينهما مسافة 3.4 متر، بعارضة. ارتفاع أحد القائمين 5.8 م والآخر 3.9 م أوجد طول العارضة.

تكييف= 5.8 م، في دي= 3.9 م، أ.ب- ؟ (الشكل 30)

AE = AC – CE = AC – BD= 5.8 - 3.9 = 1.9 (م)

بواسطة نظرية فيثاغورس من ∆ اي فينحن نحصل:

أ ب 2 = أ 2 + إ ب 2 = أ 2 + أ س 2 = ( 1.9) 2 + (3.4) 2 = 15.17 (م2)

أ.ب= = 3.9 (م)

مهام

هدف. تعلم كيفية التحليل في أبسط الحالات الترتيب المتبادلالأجسام الموجودة في الفضاء، واستخدام الحقائق والأساليب المستوية عند حل المسائل المجسمة.

1. أثبت أنه من خلال أي نقطة على خط في الفضاء يمكنك رسم خط عمودي عليها.

2. الخطوط AB وAC وAD متعامدة في أزواج. ابحث عن القرص المضغوط للمقطع إذا:

1) أ ب = 3 سم ، شمس= 7 سم، إعلان= 1.5 سم؛

2) VD= 9 سم، إعلان= 5 سم، شمس= 16 سم؛

3) أ ب = ب، ق = أ، م = د؛

4) ВD = с، ВС = а، АD = d

3. النقطة أ على مسافة أمن القمم مثلث متساوي الاضلاعمع الجانب أ.أوجد المسافة من النقطة أ إلى مستوى المثلث.

4. أثبت أنه إذا كان المستقيم موازيا لمستوى فإن جميع نقاطه تقع على نفس المسافة من المستوى.

5. تمديد سلك هاتف طوله 15 م من عامود الهاتف على ارتفاع 8 م من سطح الأرض إلى منزل حيث هو على ارتفاع 20 م أوجد المسافة بين المنزل والقطب، على افتراض أن السلك لا يتدلى.

6. رسم ميلان من نقطة إلى مستوى يساوي 10 سم و 17 سم والفرق في إسقاطات هذين المائلين 9 سم أوجد إسقاطات المائلين.

7. يتم رسم خطين مائلين من نقطة إلى مستوى يكون أحدهما أكبر من الآخر بـ 26 سم. النتوءات المائلة 12 سم و 40 سم أوجد النتوءات المائلة.

8. يتم رسم خطين مائلين من نقطة إلى مستوى. أوجد أطوال المائلة إذا كانت النسبة 1:2 ومسقطات المائلة هي 1 سم و7 سم.

9. تم رسم ميلين مائلين طولهما 23 سم و 33 سم من نقطة إلى مستوى.

المسافة من هذه النقطة إلى المستوى إذا كانت الإسقاطات المائلة بنسبة 2:3.

10. أوجد المسافة من منتصف القطعة AB إلى المستوى الذي لا يتقاطع مع هذا القطعة إذا كانت المسافات من النقطتين a و B إلى المستوى هي: 1) 3.2 سم و 5.3 سم، 7.4 سم و 6.1 سم؛ 3) أ و ج.

11. حل المسألة السابقة بشرط تقاطع القطعة AB مع المستوى.

12. قطعة طولها 1 م تتقاطع مع مستوى، وتبعد طرفيها عن المستوى بمسافة 0.5 م و 0.3 م، أوجد طول سقوط القطعة على المستوى.

13. من النقطتين A وB، يتم إسقاط الخطوط المتعامدة على المستوى. أوجد المسافة بين النقطتين A، B إذا كان المتعامدان 3 m و 2 m، والمسافة بين قاعدتيهما 2.4 m، والقطعة AB لا تتقاطع مع المستوى.

14. من النقطتين A و B، الواقعتين في مستويين متعامدين، يسقط العمودان AC و BD على خط تقاطع المستويين. أوجد طول المقطع AB إذا: 1) AC = 6 م، BD = 7 م، CD = 6 م؛ 2) AC = 3 م، ВD = 4 م، CD = 12 م؛ 3) AD = 4 م، BC = 7 م، CD = 1 م؛ 4) AD = BC = 5 م، CD = 1 م؛ 4) أس = أ، دينار بحريني = ب، سد = ج؛ 5) AD = أ، BC = ب، CD = ج.

15. من الرؤوس A و B للمثلث متساوي الأضلاع ABC، يتم استعادة العمودين AA 1 و BB 1 على مستوى المثلث. أوجد المسافة من الرأس C إلى منتصف القطعة A 1 B 1 إذا كانت AB = 2 m، CA 1 = 3 m، CB 1 = 7 m والقطعة A 1 B 1 لا تتقاطع مع مستوى المثلث

16. من الرؤوس A و B للزوايا الحادة للمثلث القائم ABC، يتم نصب عمودي AA 1 و BB 1 على مستوى المثلث. أوجد المسافة من الرأس C إلى منتصف القطعة A 1 B 1، إذا كان A 1 C = 4 m، AA 1 = 3 m، CB 1 = 6 m، BB 1 = 2 m والقطعة A 1 B 1 لا تتقاطع مستوى المثلث.

مفهوم الطائرات المتعامدة

عندما يتقاطع مستويان، نحصل على زاوية ثنائية السطوح بقيمة 4$. الزاويتان تساويان $\varphi $، والزاويتان الأخريان تساويان $(180)^0-\varphi $.

التعريف 1

الزاوية بين الطائرات هي الحد الأدنى من زوايا ثنائي السطوح التي تشكلها هذه الطائرات.

التعريف 2

يسمى المستويان المتقاطعان متعامدين إذا كانت الزاوية بين هاتين المستويتين تساوي $90^\circ$ (الشكل 1).

الشكل 1. الطائرات المتعامدة

علامة عمودي طائرتين

النظرية 1

إذا كان الخط المستقيم لمستوى ما عموديًا على مستوى آخر، فإن هذه المستويات تكون متعامدة مع بعضها البعض.

دليل.

دعونا نحصل على المستويين $\alpha $ و $\beta $، اللذين يتقاطعان على طول الخط المستقيم $AC$. اجعل الخط المستقيم $AB$ الواقع في المستوى $\alpha $ متعامدًا مع المستوى $\beta $ (الشكل 2).

الشكل 2.

بما أن الخط $AB$ عمودي على المستوى $\beta$، فهو أيضًا عمودي على الخط $AC$. دعونا أيضًا نرسم خطًا $AD$ في المستوى $\beta$، عموديًا على الخط $AC$.

نجد أن الزاوية $BAD$ هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح، وتساوي $90^\circ$. وهذا يعني، حسب التعريف 1، أن الزاوية بين المستويات هي $90^\circ$، مما يعني أن هذه المستويات متعامدة.

لقد تم إثبات النظرية.

النظرية التالية تتبع من هذه النظرية.

النظرية 2

إذا كان المستوى عموديًا على الخط الذي يتقاطع معه مستويان آخران، فإنه يكون أيضًا عموديًا على هذه المستويات.

دليل.

دعونا نحصل على طائرتين $\alpha $ و $\beta $ متقاطعتين على طول الخط المستقيم $c$. المستوى $\gamma $ عمودي على الخط المستقيم $c$ (الشكل 3)

الشكل 3.

بما أن الخط $c$ ينتمي إلى المستوى $\alpha $ والمستوى $\gamma $ عمودي على الخط $c$، إذن، وفقًا للنظرية 1، يكون المستويان $\alpha $ و $\gamma $ متعامدين.

نظرًا لأن الخط $c$ ينتمي إلى المستوى $\beta $ والمستوى $\gamma $ متعامد مع الخط $c$، إذن، وفقًا للنظرية 1، يكون المستويان $\beta $ و $\gamma $ متعامدين.

لقد تم إثبات النظرية.

ولكل من هذه النظريات، تكون العبارات العكسية صحيحة أيضًا.

مشاكل العينة

مثال 1

دعونا نحصل على متوازي مستطيلات $ABCDA_1B_1C_1D_1$. أوجد جميع أزواج المستويات المتعامدة (الشكل 5).

الشكل 4.

حل.

من خلال تعريف المستطيلات المتوازية والمتعامدة، نرى الأزواج الثمانية التالية من المستويات المتعامدة مع بعضها البعض: $(ABB_1)$ و$(ADD_1)$، $(ABB_1)$ و$(A_1B_1C_1)$، $( ABB_1)$ و$(BCC_1) $ و$(ABB_1)$ و$(ABC)$ و$(DCC_1)$ و$(ADD_1)$ و$(DCC_1)$ و$(A_1B_1C_1)$ و$(DCC_1) $ و$(BCC_1)$، و$(DCC_1)$، و$(ABC)$.

مثال 2

دعونا نحصل على طائرتين متعامدين بشكل متبادل. من نقطة على أحد المستويين يرسم عمودي على مستوي آخر. أثبت أن هذا الخط يقع في المستوى المعطى.

دليل.

دعونا نحصل على مستويين متعامدين $\alpha $ و $\beta $ يتقاطعان على طول الخط المستقيم $c$. من النقطة $A$ للمستوى $\beta $، يتم رسم $AC$ عموديًا على المستوى $\alpha $. لنفترض أن $AC$ لا يقع في المستوى $\beta$ (الشكل 6).

الشكل 5.

خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$. إنه مستطيل بزاوية قائمة $ACB$. ولذلك، $\angle ABC\ne (90)^0$.

لكن من ناحية أخرى، $\angle ABC$ هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح التي تشكلها هذه المستويات. أي أن زاوية ثنائي السطوح التي تشكلها هذه المستويات لا تساوي 90 درجة. نجد أن الزاوية بين الطائرات لا تساوي $90^\circ$. تناقض. لذلك، يقع $AC$ في المستوى $\beta$.

بناء طائرتين متعامدين بشكل متبادل.وكما هو معروف، تكون المستويات متعامدة إذا كان المستقيم الذي ينتمي إلى مستوى ما متعامدًا مع مستوى آخر.ولذلك، يمكن رسم مستوى عمودي على مستوى معين من خلال خط عمودي على مستوى معين، أو عمودي على خط يقع في مستوى معين.

يظهر في الشكل. 4.12 المستويان (مستوى المثلث ABC والمستوى P) متعامدان بشكل متبادل، لأن المستوى P عمودي على الخط المستقيم A1 الواقع في مستوى المثلث. إسقاط المستوى P الذي يمر عبر الخط مع الإسقاطات m 2 n 2، m 1 n 1 وعمودي على المستوى المحدد بالإسقاطات a 2 b 2 c 2، a 1 b 1 c 1 للمثلث يظهر في تين. 4.12.

البناء: 1. ارسم الخطوط الرئيسية للمستوى، C1 - أفقي، C2 - أمامي.

2. من خلال نقطة عشوائية E (تقع خارج المثلث ABC)، ارسم خطًا مستقيمًا EF عموديًا على الخطوط الرئيسية للمستوى (c 2 f 2 عمودي على c 2 2 2 و c 1 f 1 عمودي على 1 1 1).

3. من خلال النقطة N، نرسم خطًا مستقيمًا عشوائيًا EM يتقاطع مع EF، نحصل على مستوى P محدد بخطين مستقيمين متقاطعين (EM X EF).

وبالتالي، فإن المستوى P(ME X EF) متعامد مع المستوى Q(المثلث ABC).

تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة للمستويات المتعامدة في الوضع العام، فإن آثارها التي تحمل الاسم نفسه لا تكون متعامدة أبدًا. لكن إذا كان أحد المستويين المعينين (أو كليهما) مستويًا عامًا، فإن التعامد المتبادل على مخطط زوج واحد من آثارهما يشير إلى تعامد المستويين في الفضاء.

18) يمكن تحديد الخط المستقيم لتقاطع مستويين من خلال النقطتين المشتركتين بينهما. وللقيام بذلك حدد نقاط تقاطع أي خطين مستقيمين لمستوى ما مع مستوى آخر أو نقاط تقاطع خط مستقيم على كل مستوى مع مستوى آخر

تسلسل البناء:

يمكن إيجاد خط تقاطع مستويين باستخدام مستويات القطع المساعدة عند الحل. عادة ما يتم اختيار مستويات الإسقاط (غالبًا أفقية أو أمامية)

حدد مستوى أفقيًا مساعدًا قاطعًا عشوائيًا Ф1؛ فهو يتقاطع مع المستويات المحددة على طول الخطوط المستقيمة (12 و 34) والتي (على p1 تتقاطع عند النقطة k)

المستوى الأفقي القاطع الثاني يتقاطع مع المستويات المعطاة أيضًا على طول الخطوط الأفقية، وهي بدورها تتقاطع عند النقطة E

المستقيم KE هو خط تقاطع مستويات معينة.

دعونا نفكر في حل هذه المشكلة على رسم مسطح.

المرحلة الأولى من الحل لبناء النقطة M، يتم استخدام مستوى إسقاط أفقي - الوسيط (")، والذي يحيط بالجانب AB من المثلث ABC.

المرحلة الثانية من الحل نقوم ببناء خط التقاطع (في الرسم يتم تحديده بالنقطتين 1 و 2) للمستوى الوسيط (") والمستوى DEK.

المرحلة الثالثة من الحل أوجد النقطة M تقاطع الخط 1 - 2 مع الخط AB.

تم العثور على نقطة واحدة M من خط التقاطع المطلوب.

لبناء النقطة N، يتم استخدام مستوى إسقاط أفقي  (")، والذي يحيط بالضلع AC للمثلث ABC.

الإنشاءات مشابهة لتلك السابقة.

يتم تحديد الرؤية على المستوى H باستخدام النقطتين المتنافستين أفقياً 4 و 8

تقع النقطة 4 فوق النقطة 8 (4 "و 8")، لذلك على المستوى H، يغطي جزء المثلث DEK، الواقع باتجاه النقطة 4، جزء المثلث ABC، الواقع من خط التقاطع باتجاه النقطة 8. بمساعدة يتم تحديد زوج من النقطتين المتنافستين أماميًا 6 و7 من حيث الرؤية على المستوى V.

تقاطع طائرتين بارزتين أماميًا (؟)

تقاطع مستويين بارزين أفقيا (؟)

19) القطع هو صورة كائن تم تشريحه عقلياً بمستوى أو أكثر، أما التشريح العقلي لجسم فهو يتعلق فقط بهذا القطع ولا يترتب عليه تغيير في صور أخرى لنفس الشيء. يظهر القسم ما يقع في مستوى القطع وما يقع خلفه.

اعتمادًا على عدد المستويات القاطعة، يتم تقسيم القسم إلى:

بسيطة (مع طائرة قطع واحدة)

مجمع (مع عدة طائرات قطع)

اعتمادًا على موضع مستوى القطع بالنسبة لمستوى الإسقاط الأفقي، يتم تقسيم المقاطع إلى:

أفقي - مستوى القطع موازي لمستوى الإسقاط الأفقي

عمودي - مستوى القطع متعامد مع مستوى الإسقاط الأفقي

مائل - مستوى القطع هو زاوية غير مباشرة مع مستوى أفقي =) يسمى القسم الرأسي أماميإذا كان مستوى القطع موازيًا للمستوى الأمامي للإسقاطات. و حساب تعريفيإذا كان مستوى القطع موازيًا للمستوى الجانبي للإسقاطات.

تكون القطع المعقدة طولية إذا تم توجيه مستويات القطع على طول الجسم أو ارتفاعه. والعرضية إذا تم توجيه مستويات القطع بشكل عمودي على طول أو ارتفاع الجسم.

الخطوة - إذا كانت الطائرات القاطعة متوازية مع بعضها البعض

مكسور - إذا تقاطعت مستويات القطع مع بعضها البعض.

تعمل القطع المحلية على الكشف عن البنية الداخلية لجسم ما في مكان منفصل ومحدود. يتم إبراز القسم المحلي في العرض بخط متين ومتموج ورفيع.

تعيين القطع - تتم الإشارة إلى موضع مستوى القطع بخط مقطع مفتوح. يجب ألا تتقاطع حدود البداية والنهاية لخط القسم مع محيط الصورة المقابلة. يجب وضع الأسهم على الخطوط الأولية والنهائية للإشارة إلى اتجاه الرؤية، ويجب وضع الأسهم على مسافة 2...3 ملم من الطرف الخارجي للخط.

بالنسبة للقطع المعقد، يتم أيضًا رسم حدود خط القسم المفتوح عند انحناءات خط القسم.

بالقرب من الأسهم التي تشير إلى اتجاه الرؤية، يتم تطبيق الحروف الكبيرة من الأبجدية الروسية على الجانب الخارجي من الزاوية. يتم تعيين تسميات الحروف بالترتيب الأبجدي دون تكرار أو حذف.

يجب أن يتم وضع علامة على الشق نفسه بنقش مثل A-A

إذا كان المستوى القاطع يتزامن مع مستوى تماثل الكائن، وتم عمل القسم بدلاً من العرض المقابل في اتصال الإسقاط، فبالنسبة للأقسام الأفقية والأمامية والملف الشخصي ليست هناك حاجة لتحديد موضع المستوى القاطع والقطع غير مصحوب بنقش.

إذا كان الخط المحيطي لكائن ما يتزامن مع محور التماثل، تتم الإشارة إلى الحد بين العرض والقسم بخط متموج، يتم رسمه بحيث يتم الحفاظ على صورة الحافة.

سيساعد هذا الدرس أولئك الذين يرغبون في فهم موضوع "علامة تعامد المستويين". في البداية، سنكرر تعريف الزوايا ثنائية السطوح والزوايا الخطية. ثم سنفكر في أي المستويات تسمى متعامدة، ونثبت إشارة عمودية طائرتين.

الموضوع: عمودي الخطوط والمستويات

درس: إشارة عمودية مستويين

تعريف. الزاوية ثنائية السطوح هي شكل مكون من نصفي مستويين لا ينتميان إلى نفس المستوى وخطهما المستقيم المشترك أ (أ هي الحافة).

أرز. 1

لنفكر في طائرتين نصفيتين α و β (الشكل 1). حدودهم المشتركة هي l. ويسمى هذا الشكل زاوية ثنائي السطوح. تشكل طائرتان متقاطعتان أربع زوايا ثنائية السطوح ذات حافة مشتركة.

يتم قياس الزاوية ثنائية السطوح بزاويتها الخطية. نختار نقطة تعسفية على الحافة المشتركة l لزاوية ثنائي السطوح. في نصفي المستويين α و β، من هذه النقطة نرسم عموديين a و b على الخط المستقيم l ونحصل على الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.

الخطوط المستقيمة أ و ب تشكل أربع زوايا تساوي φ، 180° - φ، φ، 180° - φ. تذكر أن الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة هي الأصغر بين هذه الزوايا.

تعريف. الزاوية بين المستويات هي أصغر الزوايا ثنائية السطوح التي تشكلها هذه المستويات. φ هي الزاوية بين المستويين α و β، إذا

تعريف. يُطلق على المستويين المتقاطعين اسم عمودي (متعامد متبادل) إذا كانت الزاوية بينهما 90 درجة.

أرز. 2

يتم تحديد نقطة تعسفية M على الحافة l (الشكل 2). دعونا نرسم خطين مستقيمين متعامدين MA = a و MB = b على الحافة l في المستوى α وفي المستوى β على التوالي. لقد حصلنا على الزاوية AMB. الزاوية AMB هي الزاوية الخطية لزاوية ثنائي السطوح. إذا كانت الزاوية AMB تساوي 90 درجة، فإن المستويين α و β يسمىان متعامدين.

الخط b عمودي على الخط l بالبناء. الخط b عمودي على الخط a، لأن الزاوية بين المستويين α و β هي 90 درجة. نجد أن الخط b عمودي على خطين متقاطعين a و l من المستوى α. وهذا يعني أن الخط المستقيم b عمودي على المستوى α.

وبالمثل، يمكننا إثبات أن الخط المستقيم a عمودي على المستوى β. الخط a عمودي على الخط l بالبناء. الخط أ عمودي على الخط ب، لأن الزاوية بين المستويين α و β هي 90 درجة. نجد أن الخط a عمودي على خطين متقاطعين b و l من المستوى β. وهذا يعني أن الخط المستقيم a عمودي على المستوى β.

إذا مر أحد المستويين بخط عمودي على المستوى الآخر، فإن هذين المستويين يكونان متعامدين.

يثبت:

أرز. 3

دليل:

دع المستويين α و β يتقاطعان على طول الخط المستقيم AC (الشكل 3). لإثبات أن المستويين متعامدان بشكل متبادل، عليك إنشاء زاوية خطية بينهما وإظهار أن هذه الزاوية تساوي 90 درجة.

الخط المستقيم AB عمودي على المستوى β، وبالتالي على الخط المستقيم AC الواقع في المستوى β.

دعونا نرسم خطًا مستقيمًا AD عموديًا على الخط المستقيم AC في المستوى β. ثم BAD هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.

الخط المستقيم AB عمودي على المستوى β، وبالتالي على الخط المستقيم AD الواقع في المستوى β. وهذا يعني أن الزاوية الخطية BAD هي 90 درجة. هذا يعني أن المستويين α و β متعامدان، وهو ما يجب إثباته.

المستوى المتعامد مع الخط الذي تتقاطع فيه طائرتان معينتان يكون عموديًا على كل من هذه المستويات (الشكل 4).

يثبت: