دوران جسم صلب حول محور ثابت. الحركة الدورانية لجسم صلب حول محور ثابت. السرعة الزاوية والتسارع الزاوي حركة دورانية متسارعة حول محور ثابت

و سافيليفا.

أثناء الحركة الأمامية للجسم (الفقرة 60 في الكتاب المدرسي لـ E. M. Nikitin)، تتحرك جميع نقاطه على طول مسارات متطابقة وفي كل لحظة لها سرعات متساوية وتسارعات متساوية.

ولذلك، فإن الحركة الانتقالية للجسم تتحدد من خلال حركة أي نقطة واحدة، وعادة ما تكون حركة مركز الجاذبية.

عند النظر في حركة سيارة (مسألة 147) أو قاطرة ديزل (مسألة 141) في أي مسألة، فإننا في الواقع نأخذ في الاعتبار حركة مراكز ثقلهما.

لا يمكن تحديد الحركة الدورانية للجسم (E. M. Nikitin، § 61) بحركة أي نقطة من نقاطه. محور أي جسم دوار (دولاب الموازنة الديزل، دوار المحرك الكهربائي، مغزل الآلة، شفرات المروحة، إلخ) أثناء الحركة يحتل نفس المكان في الفضاء بالنسبة للأجسام الثابتة المحيطة.

حركة نقطة مادية أو التحرك إلى الأمامتتميز الأجسام حسب الزمن الكميات الخطية s (المسار، المسافة)، v (السرعة)، و a (التسارع) بمكوناته a t و n.

الحركة الدورانيةالهيئات اعتمادا على الوقت ر تميز القيم الزاوية: φ (زاوية الدوران بالراديان)، ω (السرعة الزاوية بالراديان/ثانية) و ε (التسارع الزاوي بالراديان/الثانية 2).

يتم التعبير عن قانون الحركة الدورانية للجسم بالمعادلة
φ = و(ر).

السرعة الزاوية- الكمية التي تميز سرعة دوران الجسم تعرف في الحالة العامة بأنها مشتقة زاوية الدوران بالنسبة للزمن
ω = دφ/دت = و" (ر).

التسارع الزاوي- يتم تعريف الكمية التي تميز معدل تغير السرعة الزاوية على أنها مشتقة من السرعة الزاوية
ε = dω/dt = f"" (ر).

عند البدء في حل المشكلات المتعلقة بالحركة الدورانية للجسم، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أنه في الحسابات والمسائل الفنية، كقاعدة عامة، يتم التعبير عن الإزاحة الزاوية ليس بالراديان φ، ولكن بالثورات φ حول.

لذلك، من الضروري أن تكون قادرًا على الانتقال من عدد الثورات إلى قياس الراديان للإزاحة الزاوية والعكس.

بما أن الثورة الكاملة تقابل 2π راد، إذن
φ = 2πφ حول و φ حول = φ/(2π).

غالبًا ما يتم قياس السرعة الزاوية في الحسابات الفنية بعدد الدورات المنتجة في الدقيقة (rpm)، لذلك من الضروري أن نفهم بوضوح أن ω rad/sec و n rpm يعبران عن نفس المفهوم - سرعة دوران الجسم (السرعة الزاوية)، ولكن بوحدات مختلفة - راد/ثانية أو دورة في الدقيقة.

يتم الانتقال من وحدة للسرعة الزاوية إلى وحدة أخرى وفقًا للصيغ
ω = πn/30 و n = 30ω/π.

أثناء الحركة الدورانية لجسم تتحرك جميع نقاطه في دوائر تقع مراكزها على خط مستقيم واحد ثابت (محور الجسم الدوار). عند حل المسائل الواردة في هذا الفصل، من المهم جدًا أن نفهم بوضوح العلاقة بين الكميات الزاوية φ و ω و ε، التي تميز الحركة الدورانية للجسم، والكميات الخطية s، v، a t و an، التي تميز حركة نقاط مختلفة من هذا الجسم (الشكل 205).

إذا كانت R هي المسافة من المحور الهندسي لجسم دوار إلى أي نقطة A (في الشكل 205 R = OA)، فإن العلاقة بين φ - زاوية دوران الجسم وs - المسافة التي تقطعها نقطة يتم التعبير عن الجسم خلال نفس الوقت على النحو التالي:
الصورة = φR.

يتم التعبير عن العلاقة بين السرعة الزاوية لجسم وسرعة نقطة ما في كل لحظة معينة بالمساواة
الخامس = ωR.

يعتمد التسارع العرضي لنقطة ما على التسارع الزاوي ويتم تحديده بواسطة الصيغة
ر = εR.

يعتمد التسارع الطبيعي لنقطة ما على السرعة الزاوية للجسم ويتم تحديده من خلال العلاقة
أ ن = ω 2 ر.

عند حل المشكلة الواردة في هذا الفصل، من الضروري أن نفهم بوضوح أن الدوران هو الحركة صلب، وليس نقاط. نقطة مادية واحدة لا تدور، بل تتحرك في دائرة - إنها تقوم بحركة منحنية.

§ 33. حركة دورانية موحدة

إذا كانت السرعة الزاوية هي ω=const، فإن الحركة الدورانية تسمى موحدة.

معادلة الدوران الموحدة لها الشكل
φ = φ 0 + ωt.

في الحالة الخاصة عندما تكون زاوية الدوران الأولية φ 0 =0،
φ = ωt.

السرعة الزاوية لجسم يدور بشكل منتظم
ω = φ/ر
يمكن التعبير عنها مثل هذا:
ω = 2π/T،
حيث T هي فترة دوران الجسم؛ φ=2π - زاوية الدوران لفترة واحدة.

§ 34. حركة دورانية موحدة

تسمى الحركة الدورانية ذات السرعة الزاوية المتغيرة بالحركة غير المستوية (انظر أدناه الفقرة 35). إذا كان التسارع الزاوي ε=const، فإن الحركة الدورانية تسمى متغير على قدم المساواة. وبالتالي، فإن الدوران المنتظم للجسم هو حالة خاصةحركة دورانية غير متساوية.

معادلة الدوران المنتظم
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
والمعادلة التي تعبر عن السرعة الزاوية لجسم في أي وقت،
(2) ω = ω 0 + εt
تمثل مجموعة من الصيغ الأساسية للحركة الدورانية المنتظمة للجسم.

تتضمن هذه الصيغ ستة كميات فقط: ثلاثة ثوابت لمسألة معينة φ 0 و ω 0 و ε وثلاثة متغيرات φ و ω و t. وبالتالي، فإن حالة كل مسألة للدوران الموحد يجب أن تحتوي على أربع كميات محددة على الأقل.

ولتسهيل حل بعض المسائل، يمكن الحصول على صيغتين مساعدتين أخريين من المعادلتين (1) و (2).

دعونا نستبعد التسارع الزاوي ε من (1) و (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

دعونا نستبعد الوقت t من (1) و (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

في حالة معينة من الدوران المتسارع بشكل منتظم بدءًا من حالة السكون، φ 0 = 0 و ω 0 = 0. ولذلك فإن الصيغ الأساسية والمساعدة المذكورة أعلاه تأخذ الشكل التالي:
(5) φ = εt 2 /2؛
(6) ω = εt؛
(7) φ = ωt/2؛
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. حركة دورانية غير متساوية

لنفكر في مثال لحل مشكلة يتم فيها تحديد الحركة الدورانية غير المنتظمة لجسم.

جسم جامد تمامًاجسم الترتيب المتبادلوالتي لا تتغير أجزائها أثناء الحركة.

الحركة الانتقالية لجسم صلب - وهي حركتها التي يتحرك فيها أي خط مستقيم متصل بالجسم بشكل ثابت مع بقاءه موازيا لاتجاهه الأصلي.

أثناء الحركة الانتقالية لجسم صلب، تتحرك جميع نقاطه بالتساوي في فترة زمنية قصيرة، ويتغير ناقل نصف القطر لهذه النقاط بنفس المقدار. وبناء على ذلك، ففي كل لحظة من الزمن تكون سرعات جميع نقاطها واحدة ومتساوية. ولذلك، فإن حركيات النظر فيها التحرك إلى الأماميتعلق الأمر بجسم صلب بدراسة حركة أي نقطة من نقاطه. عادة ما نعتبر حركة مركز القصور الذاتي لجسم صلب يتحرك بحرية في الفضاء.

الحركة الدورانية لجسم صلب - وهي حركة تتحرك فيها جميع نقاطها في دوائر تقع مراكزها خارج الجسم . ويسمى الخط المستقيم بمحور دوران الجسم.

السرعة الزاوية- الكمية المتجهة التي تميز سرعة دوران الجسم؛ نسبة زاوية الدوران إلى الوقت الذي حدث فيه هذا الدوران؛ متجه يحدده المشتق الأول لزاوية دوران الجسم بالنسبة للزمن. يتم توجيه ناقل السرعة الزاوية على طول محور الدوران وفقًا لقاعدة اللولب الأيمن. ω=φ/t=2π/T=2πn، حيث T هي فترة الدوران، وn هو تردد الدوران. ω=ليم Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt.

التسارع الزاوي- المتجه الذي يحدده المشتق الأول للسرعة الزاوية بالنسبة للزمن. عندما يدور جسم حول محور ثابت، يتم توجيه متجه التسارع الزاوي على طول محور الدوران نحو متجه الزيادة الأولية للسرعة الزاوية. المشتق الثاني لزاوية الدوران بالنسبة للزمن. عندما يدور جسم حول محور ثابت، يتم توجيه متجه التسارع الزاوي على طول محور الدوران نحو متجه الزيادة الأولية للسرعة الزاوية. عندما تكون الحركة متسارعة، يكون المتجه ε متماثل الاتجاه مع المتجه φ، وعندما يكون بطيئًا، يكون معاكسًا له. ε=دω/دت.

إذا كان dω/dt> 0، فإن εω

إذا دω/دت< 0, то ε ↓ω

4. مبدأ القصور الذاتي (قانون نيوتن الأول). الأنظمة المرجعية بالقصور الذاتي. مبدأ النسبية.

قانون نيوتن الأول (قانون القصور الذاتي): كل ​​نقطة مادية (جسم) تحافظ على حالة من السكون أو الحركة الخطية المنتظمة حتى يضطرها تأثير الأجسام الأخرى إلى تغيير هذه الحالة

تسمى رغبة الجسم في الحفاظ على حالة من الراحة أو الحركة المستقيمة المنتظمة التعطيل. ولذلك فإن قانون نيوتن الأول يسمى قانون القصور الذاتي.

ينص قانون نيوتن الأول على وجود أطر مرجعية بالقصور الذاتي.

الإطار المرجعي بالقصور الذاتي- هذا هو النظام المرجعي الذي تتحرك فيه نقطة مادية حرة، غير متأثرة بالأجسام الأخرى، بشكل منتظم في خط مستقيم؛ هذا هو النظام الذي يكون إما في حالة سكون أو يتحرك بشكل موحد ومستقيم بالنسبة لبعض أنظمة القصور الذاتي الأخرى.

مبدأ النسبية- أساسي القانون الفيزيائي، والتي بموجبها تتم أي عملية بشكل متماثل في نظام مادي معزول في حالة سكون، وفي نفس النظام في حالة حركة مستقيمة موحدة. يتم تعريف حالات الحركة أو السكون فيما يتعلق بإطار مرجعي بالقصور الذاتي تم اختياره بشكل تعسفي. مبدأ النسبية هو الأساس للنظرية النسبية الخاصة لأينشتاين.

5. التحولات الجليلية.

مبدأ النسبية (الجليل): لا توجد تجارب (ميكانيكية أو كهربائية أو بصرية) تم إجراؤها داخل نظام مرجعي بالقصور الذاتي معين تجعل من الممكن اكتشاف ما إذا كان هذا النظام في حالة سكون أو يتحرك بشكل منتظم ومستقيم؛ جميع قوانين الطبيعة ثابتة فيما يتعلق بالانتقال من إطار مرجعي بالقصور الذاتي إلى آخر.

دعونا نفكر في نظامين مرجعيين: الإطار بالقصور الذاتي K (مع الإحداثيات س، ص، ض)، والذي سنعتبره تقليديًا ثابتًا والنظام K' (مع الإحداثيات x',y',z')، يتحرك بالنسبة إلى K بشكل موحد ومستقيم مع سرعة U (U = const). لنجد العلاقة بين إحداثيات النقطة الاختيارية A في كلا النظامين. ص = ص'+ص0=ص'+أوت. (1.)

يمكن كتابة المعادلة (1.) بإسقاطات على محاور الإحداثيات:

y=y’+Uyt; (2.)

z=z’+Uzt; تسمى المعادلتان (1.) و (2.) بتحويلات الإحداثيات الجليلية.

العلاقة بين الطاقة الكامنة والقوة

تتوافق كل نقطة من نقاط المجال المحتمل، من ناحية، مع قيمة معينة لمتجه القوة المؤثرة على الجسم، ومن ناحية أخرى، مع قيمة معينة من الطاقة الكامنة. لذلك لا بد من وجود علاقة معينة بين القوة وطاقة الوضع.

لإنشاء هذا الارتباط، دعونا نحسب العمل الأولي الذي تقوم به قوى المجال أثناء إزاحة صغيرة للجسم تحدث على طول اتجاه تم اختياره بشكل تعسفي في الفضاء، والذي نشير إليه بالحرف . هذا العمل يساوي

أين هو إسقاط القوة على الاتجاه.

وبما أنه في هذه الحالة يتم العمل بسبب احتياطي الطاقة الكامنة، فهو يساوي فقدان الطاقة الكامنة في مقطع المحور:

من التعبيرين الأخيرين نحصل عليها

تحدد هذه الصيغة إسقاط متجه القوة على محاور الإحداثيات. إذا كانت هذه التوقعات معروفة، فسيتم تحديد ناقل القوة نفسه:

في ناقلات الرياضيات ,

حيث a هي دالة عددية لـ x، y، z، تسمى تدرج هذا العدد العددي ويشار إليها بالرمز . وبالتالي، فإن القوة تساوي تدرج الطاقة المحتملة المأخوذ بالإشارة المعاكسة

التناوبيسمون مثل هذه الحركة التي تكون فيها نقطتان مرتبطتان بالجسم، وبالتالي فإن الخط المستقيم الذي يمر عبر هذه النقاط، يظل بلا حراك أثناء الحركة (الشكل 2.16). خط مستقيم ثابت أ بمُسَمًّى محور الدوران.

أرز. 2.1 فولت. نحو تعريف الحركة الدورانية للجسم

يحدد موضع الجسم أثناء الحركة الدورانية زاوية الدوران φ، rad (انظر الشكل 2.16). عند التحرك تتغير زاوية الدوران مع مرور الوقت، أي. يُعرّف قانون الحركة الدورانية لجسم بأنه قانون التغير في الزمن لقيمة الزاوية ثنائية السطوح Ф = Ф(/) بين نصف مستوي ثابت ل () ،تمر عبر محور الدوران، ومنقولة ن 1نصف مستوى متصل بالجسم ويمر أيضًا بمحور الدوران.

مسارات جميع نقاط الجسم أثناء الحركة الدورانية هي دوائر متحدة المركز تقع في مستويات متوازية مع مراكز على محور الدوران.

الخصائص الحركية للحركة الدورانية للجسم. بنفس الطريقة التي تم بها تقديم الخصائص الحركية لنقطة ما، تم تقديم مفهوم حركي يميز معدل تغير الدالة φ(c)، الذي يحدد موضع الجسم أثناء الحركة الدورانية، أي. السرعة الزاوية co = f = s/f/s//، بُعد السرعة الزاوية [co] = rad /مع.

في الحسابات الفنية، غالبًا ما يتم استخدام التعبير عن السرعة الزاوية ذات بعد مختلف - من حيث عدد الدورات في الدقيقة: [i] = دورة في الدقيقة، والعلاقة بين صويمكن تمثيل co على النحو التالي: co = 27w/60 = 7w/30.

بشكل عام، السرعة الزاوية تختلف مع مرور الوقت. مقياس معدل التغير في السرعة الزاوية هو التسارع الزاوي e = c/co/c//= co = f، بُعد التسارع الزاوي [e] = rad/s 2 .

يتم تحديد الخصائص الحركية الزاوية المقدمة بالكامل من خلال تحديد وظيفة واحدة - زاوية الدوران مقابل الوقت.

الخصائص الحركية لنقاط الجسم أثناء الحركة الدورانية. النظر في هذه النقطة مجسم يقع على مسافة p من محور الدوران. تتحرك هذه النقطة على طول دائرة نصف قطرها p (الشكل 2.17).

أرز. 2.17.

نقاط الجسم أثناء دورانه

طول القوس م ق ميتم تعريف دائرة نصف القطر p على أنها س= ptp، حيث f هي زاوية الدوران، rad. إذا تم إعطاء قانون حركة الجسم كـ φ = φ(g)، فإن قانون حركة نقطة ما معلى طول المسار يتم تحديده بواسطة الصيغة س= ص (7).

باستخدام تعبيرات الخصائص الحركية مع الطريقة الطبيعية لتحديد حركة نقطة نحصل على الخصائص الحركية لنقاط جسم دوار: السرعة حسب الصيغة (2.6)

الخامس= 5 = rf = rso; (2.22)

التسارع العرضي حسب التعبير (2.12)

i t = K = sor = er; (2.23)

التسارع الطبيعي حسب الصيغة (2.13)

أ" =و 2 /ص = с 2 н 2 /ص = ogr; (2.24)

التسارع الكلي باستخدام التعبير (2.15)

أ = -]أ + أ] =بكسل/ه 2 + شارك 4. (2.25)

تعتبر خاصية اتجاه التسارع الكلي هي p - زاوية انحراف متجه التسارع الكلي عن نصف قطر الدائرة الموصوفة بالنقطة (الشكل 2.18).

من الشكل. 2.18 نحصل عليها

tgjLi = أجا ن=re/pco 2 =g/(o 2. (2.26)

أرز. 2.18.

لاحظ أن جميع الخصائص الحركية لنقاط الجسم الدوار تتناسب مع المسافات إلى محور الدوران. ه-

يتم تحديد هوياتهم من خلال مشتقات نفس الوظيفة - زاوية الدوران.

التعبيرات المتجهة للخصائص الحركية الزاوية والخطية. للحصول على وصف تحليلي للخصائص الحركية الزاوية لجسم دوار، مع محور الدوران، المفهوم ناقلات زاوية الدوران(الشكل 2.19): φ = φ(/)أ:، أين ل- يأكل

ناقل محور الدوران

1; ل=sop51 .

يتم توجيه المتجه f على طول هذا المحور بحيث يمكن رؤيته من "النهاية"

حدوث دوران عكس اتجاه عقارب الساعة.

أرز. 2.19.

الخصائص في شكل ناقلات

إذا كان المتجه φ(/) معروفًا، فيمكن تمثيل جميع الخصائص الزاوية الأخرى للحركة الدورانية في شكل متجه:

• ناقل السرعة الزاوية co = f = f ل.يحدد اتجاه ناقل السرعة الزاوية علامة مشتق زاوية الدوران؛
• متجه التسارع الزاوي є = сo = f ل.يحدد اتجاه هذا المتجه إشارة مشتقة السرعة الزاوية.

تسمح لنا المتجهات المقدمة с و є بالحصول على تعبيرات متجهة للخصائص الحركية للنقاط (انظر الشكل 2.19).

لاحظ أن معامل متجه السرعة للنقطة يتطابق مع معامل حاصل ضرب المتجه لمتجه السرعة الزاوية ومتجه نصف القطر: |cox ز= sogvipa = القمامة. مع الأخذ في الاعتبار اتجاهات المتجهين с و r وقاعدة اتجاه منتج المتجه، يمكننا كتابة تعبير لمتجه السرعة:

الخامس= شارك ز.

وبالمثل، من السهل إظهار ذلك

• ? X
• - egBіpa= ص = فيو

سوسور = شارك ع = ط.

(بالإضافة إلى ذلك، فإن ناقلات هذه الخصائص الحركية تتطابق في الاتجاه مع منتجات المتجهات المقابلة.

وبالتالي، يمكن تمثيل متجهات التسارع العرضية والعادية كنواتج متجهة:

• (2.28)
• (2.29)

أ س = ز X ز

أ= شارك س الخامس.

زاوية الدوران والسرعة الزاوية والتسارع الزاوي

دوران جسم صلب حول محور ثابتوتسمى هذه الحركة التي تظل فيها نقطتان من الجسم بلا حراك طوال وقت الحركة. وفي هذه الحالة تبقى جميع نقاط الجسم الواقعة على خط مستقيم ماراً بنقاطه الثابتة ثابتة أيضاً. هذا الخط يسمى محور دوران الجسم.

لو أو في- نقاط ثابتة في الجسم (شكل 15 ), فإن محور الدوران هو المحور أوز،والتي يمكن أن يكون لها أي اتجاه في الفضاء، وليس بالضرورة عموديًا. اتجاه محور واحد أوزيؤخذ على أنه إيجابي.

نرسم مستوى ثابتًا عبر محور الدوران بواسطةوالمحمول ف،متصلة بجسم دوار. دع الطائرتين تتزامنان في اللحظة الأولى من الزمن. ثم في لحظة من الزمن ريمكن تحديد موضع المستوى المتحرك والجسم الدوار نفسه من خلال الزاوية ثنائية السطوح بين المستويات والزاوية الخطية المقابلة φ بين الخطوط المستقيمة الواقعة في هذه المستويات والمتعامدة مع محور الدوران. ركن φ مُسَمًّى زاوية دوران الجسم.

يتم تحديد موضع الجسم بالنسبة للنظام المرجعي المختار بالكامل في أي مكان

لحظة من الزمن، إذا أعطيت المعادلة φ =و (ر) (5)

أين و (ر)- أي دالة زمنية قابلة للتمييز مرتين. تسمى هذه المعادلة معادلة دوران جسم صلب حول محور ثابت.

يتمتع الجسم الذي يدور حول محور ثابت بدرجة واحدة من الحرية، حيث يتم تحديد موضعه من خلال تحديد معلمة واحدة فقط - الزاوية φ .

ركن φ يعتبر موجبًا إذا تم رسمه عكس اتجاه عقارب الساعة، وسالبًا في الاتجاه المعاكس عند النظر إليه من الاتجاه الموجب للمحور أوز.مسارات نقاط الجسم أثناء دورانه حول محور ثابت هي دوائر تقع في مستويات متعامدة مع محور الدوران.

لتوصيف الحركة الدورانية لجسم صلب حول محور ثابت، نقدم مفهومي السرعة الزاوية والتسارع الزاوي. السرعة الزاوية الجبرية للجسمفي أي لحظة من الزمن يسمى المشتق الأول بالنسبة إلى زمن زاوية الدوران في هذه اللحظة، أي. دφ/دت = φ.وهي كمية موجبة عندما يدور الجسم عكس اتجاه عقارب الساعة، لأن زاوية الدوران تزداد مع الزمن، وسالبة عندما يدور الجسم في اتجاه عقارب الساعة، لأن زاوية الدوران تقل.

يتم الإشارة إلى وحدة السرعة الزاوية بواسطة ω. ثم ω= ׀دφ/دت׀= ׀φ ׀ (6)

يتم تحديد أبعاد السرعة الزاوية وفقًا للرقم (6)

[ω] = الزاوية/الزمن = rad/s = s -1.

في الهندسة، السرعة الزاوية هي سرعة الدوران معبرًا عنها بعدد الدورات في الدقيقة. في دقيقة واحدة سوف يدور الجسم بزاوية 2πп,لو ص- عدد الدورات في الدقيقة . وبقسمة هذه الزاوية على عدد الثواني في الدقيقة نحصل على: (7)

التسارع الزاوي الجبري للجسمويسمى المشتق الأول بالنسبة إلى زمن السرعة الجبرية، أي. المشتقة الثانية لزاوية الدوران د 2 φ/دت 2 = ω. دعونا نشير إلى وحدة التسارع الزاوي ε ، ثم ε=|φ| (8)

يتم الحصول على بعد التسارع الزاوي من (8):

[ε ] = السرعة الزاوية/الزمن = rad/s 2 = s -2

لو φ’’>0 في φ’>0 ، فإن السرعة الزاوية الجبرية تزداد مع الزمن، وبالتالي يدور الجسم بشكل متسارع في الوقت الحالي في الاتجاه الموجب (عكس اتجاه عقارب الساعة). في φ’’<0 و φ’<0 يدور الجسم بسرعة في الاتجاه السلبي. لو φ’’<0 في φ’>0 ، إذن لدينا دوران بطيء في اتجاه إيجابي. في φ’’>0 و φ’<0 ، أي. يحدث دوران بطيء في الاتجاه السلبي. تم توضيح السرعة الزاوية والتسارع الزاوي في الأشكال بواسطة أسهم قوسية حول محور الدوران. يشير السهم القوسي للسرعة الزاوية إلى اتجاه دوران الأجسام؛

بالنسبة للدوران المتسارع، فإن الأسهم القوسية للسرعة الزاوية والتسارع الزاوي لها نفس الاتجاهات للدوران البطيء، واتجاهاتها معاكسة.

حالات خاصة لدوران جسم صلب

ويقال أن الدوران منتظم إذا ω = ثابت، φ = φ't

سيكون الدوران موحدًا إذا ε=ثابت. φ'= φ' 0 + φ''t و

بشكل عام، إذا φ’’ ليس دائما،

سرعات وتسارع نقاط الجسم

معادلة دوران الجسم الصلب حول محور ثابت معروفة φ= و(ر)(الشكل 16). مسافة سنقاط مفي طائرة متحركة صعلى طول قوس دائري (مسار النقطة)، يقاس من النقطة شهر،تقع في مستوى ثابت، معبرا عنها من خلال الزاوية φ مدمن س=حφ، أين ح- نصف قطر الدائرة التي تتحرك فيها النقطة. وهي أقصر مسافة من نقطة ما مإلى محور الدوران. ويسمى هذا أحيانًا نصف قطر دوران النقطة. عند كل نقطة من الجسم، يبقى نصف قطر الدوران دون تغيير عندما يدور الجسم حول محور ثابت.

السرعة الجبرية لنقطة ما متحددها الصيغة v τ =s'=hφوحدة سرعة النقطة: الخامس=حω(9)

تتناسب سرعات نقاط الجسم عند دورانها حول محور ثابت مع أقصر مسافاتها إلى هذا المحور.معامل التناسب هو السرعة الزاوية. يتم توجيه سرعات النقاط على طول مماسات المسارات، وبالتالي تكون متعامدة مع نصف قطر الدوران. سرعات نقاط الجسم الواقعة على قطعة مستقيمة أوم،وفقا لـ (9) يتم توزيعها وفقا لقانون خطي. وهما متوازيان، ويقع طرفاهما على نفس الخط المستقيم الذي يمر بمحور الدوران. نحن نحلل تسارع نقطة ما إلى مكونات عرضية وطبيعية، أي. أ=أ τ +أ نτيتم حساب التسارع العرضي والعادي باستخدام الصيغ (10)

لأن دائرة نصف قطر الانحناء هو ع = ح(الشكل 17 ). هكذا،

يتم أيضًا توزيع التسارع الظلي والعادي والإجمالي للنقاط، وكذلك السرعات، وفقًا لقانون خطي. أنها تعتمد خطيا على مسافات النقاط إلى محور الدوران. يتم توجيه التسارع الطبيعي على طول نصف قطر الدائرة نحو محور الدوران. يعتمد اتجاه التسارع العرضي على إشارة التسارع الزاوي الجبري. في φ’>0 و φ’’>0 أو φ’<0 و φ’<0 لقد قمنا بتسريع دوران الجسم واتجاهات المتجهات أ τو الخامستطابق. لو φ’ و φ’" لديك علامات مختلفة (دوران بطيء)، ثم أ τو الخامسموجهة عكس بعضها البعض.

وقد عين α الزاوية بين التسارع الكلي لنقطة ما ونصف قطر دورانها، لدينا

tgα = | أ τ |/أ ن = ε/ω 2 (11)

منذ التسارع الطبيعي صدائما إيجابية. ركن أنفس الشيء بالنسبة لجميع نقاط الجسم. وينبغي تأجيله من التسارع إلى نصف قطر الدوران في اتجاه سهم قوس التسارع الزاوي، بغض النظر عن اتجاه دوران الجسم الصلب.

ناقلات السرعة الزاوية والتسارع الزاوي

دعونا نقدم مفاهيم ناقلات السرعة الزاوية والتسارع الزاوي للجسم. لو لهو متجه الوحدة لمحور الدوران الموجه في اتجاهه الموجب، ثم متجهات السرعة الزاوية ώ والتسارع الزاوي ε تحددها التعبيرات (12)

لأن كهو ثابت متجه في المقدار والاتجاه، فمن (12) يتبع ذلك

ε=دώ/دت(13)

في φ’>0 و φ’’>0 اتجاهات المتجهات ώ و ε تطابق. كلاهما موجه نحو الجانب الإيجابي لمحور الدوران أوز(الشكل 18.أ)إذا φ’>0 و φ’’<0 ، ثم يتم توجيههما في اتجاهين متعاكسين (الشكل 18.ب ). يتطابق متجه التسارع الزاوي في الاتجاه مع متجه السرعة الزاوية أثناء الدوران المتسارع ويكون معاكسًا له أثناء الدوران البطيء. ثلاثة أبعاد ώ و ε يمكن تصويرها في أي نقطة على محور الدوران. إنهم ناقلات متحركة. تتبع هذه الخاصية الصيغ المتجهة لسرعات وتسارعات نقاط الجسم.

حركة النقطة المعقدة

مفاهيم أساسية

لدراسة بعض أنواع الحركة الأكثر تعقيدًا لجسم صلب، من المستحسن النظر في أبسط حركة معقدة لنقطة ما. في العديد من المسائل، يجب مراعاة حركة نقطة ما بالنسبة إلى نظامين مرجعيين (أو أكثر) يتحركان بالنسبة لبعضهما البعض. وبالتالي، فإن حركة المركبة الفضائية التي تتحرك نحو القمر يجب أن تؤخذ في الاعتبار في وقت واحد سواء بالنسبة للأرض أو بالنسبة للقمر الذي يتحرك بالنسبة للأرض. يمكن اعتبار أي حركة لنقطة ما معقدة، وتتكون من عدة حركات. على سبيل المثال، يمكن اعتبار حركة السفينة على طول النهر بالنسبة إلى الأرض معقدة، وتتكون من الحركة عبر الماء ومع المياه المتدفقة.

في أبسط الحالات، تتكون الحركة المعقدة لنقطة ما من حركات نسبية وانتقالية. دعونا نحدد هذه الحركات. دعونا يكون لدينا نظامان مرجعيان يتحركان بالنسبة لبعضهما البعض. إذا كان أحد هذه الأنظمة أو ل × 1 ذ 1 ض 1(الشكل 19 ) يؤخذ على أنه النظام الرئيسي أو الثابت (لا تؤخذ في الاعتبار حركته بالنسبة للأنظمة المرجعية الأخرى)، ثم النظام المرجعي الثاني أوكيزسوف تتحرك نسبة إلى الأول. حركة نقطة بالنسبة لإطار مرجعي متحرك أوكيزمُسَمًّى نسبي.وتسمى خصائص هذه الحركة، مثل المسار والسرعة والتسارع نسبي.يتم تحديدها بواسطة الفهرس r؛ للسرعة والتسارع الخامس ص ، ص .حركة نقطة بالنسبة للإطار المرجعي الرئيسي أو الثابت للنظام او1×1ذ1ض1مُسَمًّى مطلق(أو معقدة ). ويطلق عليه أحيانا أيضا مركبحركة. يُطلق على مسار هذه الحركة وسرعتها وتسارعها اسم مطلق. يشار إلى سرعة وتسارع الحركة المطلقة بالحروف الخامس، ألا توجد فهارس.

إن الحركة المحمولة لنقطة ما هي الحركة التي تقوم بها مع إطار مرجعي متحرك، كنقطة مرتبطة بشكل صارم بهذا النظام في اللحظة الزمنية قيد النظر. بسبب الحركة النسبية، تتزامن نقطة متحركة في أوقات مختلفة مع نقاط مختلفة من الجسم س،الذي يرتبط به النظام المرجعي المتحرك. السرعة المحمولة والتسارع المحمول هما سرعة وتسارع تلك النقطة من الجسم س،التي تتزامن معها نقطة الحركة حاليا. تشير السرعة المحمولة والتسارع الخامس ه , ه .

إذا كانت مسارات جميع نقاط الجسم س،متصلة بالنظام المرجعي المتحرك، الموضح في الشكل (الشكل 20)، ثم نحصل على عائلة من الخطوط - عائلة من مسارات الحركة المحمولة لنقطة ما م.بسبب الحركة النسبية للنقطة موفي كل لحظة من الزمن يكون على أحد مسارات الحركة المحمولة. نقطة ميمكن أن تتزامن مع نقطة واحدة فقط في كل مسار من مسارات عائلة مسارات النقل هذه. في هذا الصدد، يُعتقد أحيانًا أنه لا توجد مسارات للحركة المحمولة، لأنه من الضروري اعتبار الخطوط مسارات للحركة المحمولة، حيث تكون نقطة واحدة فقط هي في الواقع نقطة المسار.

في حركيات نقطة ما، تمت دراسة حركة نقطة بالنسبة لأي نظام مرجعي، بغض النظر عما إذا كان هذا النظام المرجعي يتحرك بالنسبة إلى الأنظمة الأخرى أم لا. دعونا نكمل هذه الدراسة من خلال النظر في الحركة المعقدة، والتي تتكون في أبسط الحالات من حركة نسبية وحركة تصويرية. يمكن اعتبار نفس الحركة المطلقة، باختيار أطر مرجعية متحركة مختلفة، تتكون من حركات محمولة مختلفة، وبالتالي نسبية.

اضافة السرعة

دعونا نحدد سرعة الحركة المطلقة لنقطة ما إذا كانت سرعات الحركات النسبية والمحمولة لهذه النقطة معروفة. دع النقطة تقوم بحركة نسبية واحدة فقط فيما يتعلق بالإطار المرجعي المتحرك Oxyz وفي الوقت الحالي تشغل الموضع M على مسار الحركة النسبية (الشكل 20). في الوقت t+ t، بسبب الحركة النسبية، ستكون النقطة في الموضع M 1، بعد أن تحركت MM 1 على طول مسار الحركة النسبية. لنفترض أن هذه النقطة متضمنة أوكيزوبمسار نسبي سوف يتحرك على طول منحنى ما مم 2.إذا شاركت نقطة ما في وقت واحد في كل من الحركات النسبية والمحمولة، ففي الوقت A؛ سوف تنتقل إلى مم"على طول مسار الحركة المطلقة وفي لحظة من الزمن ر + فيسوف تتخذ هذا المنصب م".إذا كان الوقت فيقليلا ثم انتقل إلى الحد الأقصى في في،تميل إلى الصفر، ثم يمكن استبدال الإزاحات الصغيرة على طول المنحنيات بأجزاء من الأوتار واستخدامها كمتجهات إزاحة. بإضافة إزاحات المتجهات، نحصل على

وفي هذا الصدد، يتم التخلص من الكميات الصغيرة ذات الترتيب الأعلى، والتي تميل إلى الصفر عند في،تميل إلى الصفر. وبالوصول إلى الحد الأقصى، لدينا (14)

وبالتالي فإن (14) سوف يأخذ الشكل (15)

تم الحصول على ما يسمى بنظرية إضافة السرعة: سرعة الحركة المطلقة لنقطة ما تساوي المجموع المتجه لسرعات الحركات المحمولة والنسبية لهذه النقطة.بما أنه في الحالة العامة فإن سرعات الحركات المحمولة والنسبية ليست متعامدة، إذن (15')

معلومات ذات صله.

أرز. 6.4

مثل هذه حركة الجسم الذي توجد فيه أي نقطتين من نقاطه (أو فيفي التين. 6.4) تظل ثابتة، وتسمى الدوران حول محور ثابت.

ويمكن إثبات أنه في هذه الحالة فإن أي نقطة من الجسم تقع على الخط المستقيم الذي يربط النقاط تظل ثابتة بلا حراك او ف.

يسمى المحور الذي يمر بهذه النقاط محور الدورانجثث؛ يتم اختيار اتجاهه الإيجابي بشكل تعسفي (الشكل 6.4).

أي نقطة مالجسم الذي لا يقع على محور الدوران يصف دائرة يقع مركزها على محور الدوران (الشكل 6.4).

وضع الجسم مع محور دوران ثابت ض(الشكل 6.5) يمكن وصفه باستخدام معلمة عددية واحدة فقط - زاوية الدوران (ص. هذه هي الزاوية بين مستويين مرسومين عبر محور الدوران: مستوى ثابت نوالجوال - ص،متصل بشكل صارم بالجسم (الشكل 6.5). نحن نأخذ الاتجاه المرجعي للزاوية على أنه إيجابي عكس حركة عقارب الساعة عند النظر إليها من نهاية المحور ض.(يشار إليه بسهم قوسي في الشكل 6.5). وحدة قياس الزاوية في النظام الدولي للوحدات هي 1 راديان «57.3 درجة». الاعتماد الوظيفي لزاوية الدوران على الوقت

يحدد بشكل كامل الحركة الدورانية للجسم حول محور ثابت. ولذلك فإن المساواة (6.3) تسمى معادلة دوران جسم صلب حول محور ثابت.

تتميز سرعة دوران الجسم بالسرعة الزاوية معالجسم، والذي يتم تعريفه على أنه مشتق زاوية الدوران بالنسبة للزمن

ولها البعد rad/s (أو s"").

السمة الحركية الثانية للحركة الدورانية هي التسارع الزاوي - مشتق من السرعة الزاوية للجسم:

بعد التسارع الزاوي هو rad/s 2 (أو مع~ 2).

تعليق.حرف او رمز مع و؟ الخامستم تعيين هذه المحاضرة جبريقيم السرعة الزاوية والتسارع الزاوي. تشير علاماتها إلى اتجاه الدوران وطبيعته (متسارع أو متباطئ). على سبيل المثال، إذا مع = F> 0، ثم الزاوية (ريزداد مع مرور الوقت، وبالتالي يدور الجسم في الاتجاه المرجعي (ر.

يمكن بسهولة ربط سرعة وتسارع كل نقطة في الجسم الدوار بسرعته الزاوية وتسارعه الزاوي. النظر في حركة نقطة تعسفية مالهيئات (الشكل 6.6).

وبما أن مسارها عبارة عن دائرة، فإن إحداثيات القوس 9 للنقطة مبعد تحويل الجسم بزاوية سوف

أين ح- المسافة من النقطة مإلى محور الدوران (الشكل 6.6).

وبتمييز طرفي هذه المساواة بالنسبة للزمن نحصل مع الأخذ في الاعتبار (5.14) و(6.4):

حيث g g هو إسقاط سرعة النقطة على المماس g، الموجه نحو النقطة المرجعية للقوس.v والزاوية

مقدار التسارع الطبيعي لنقطة ما موبحسب (5.20) و(6.6) سيكون

وإسقاط تسارعها العرضي على المماس r حسب (5.19) و (6.5)

وحدة تسريع النقطة الكاملة م

اتجاهات المتجهات v، أ، أ، أ،للحالة عندما و> 0 و و> 0 موضحة في الشكل. 6.7.

مثال 1. تتكون آلية النقل من عجلات/ و2 متصلة عند نقطة ما لبحيث عندما تدور لا يكون هناك انزلاق متبادل. معادلة دوران العجلة 1:

الاتجاه المرجعي للزاوية الإيجابية (ريشار إليه بواسطة سهم قوس في الشكل. 6.8.

أبعاد الآلية معروفة: ز= 4 سم، R2= 6 سم، ز 2 = 2 سم.

أوجد السرعة والتسارع لنقطة ما معجلات 2 للحظة من الزمن /| = 2 ثانية.

حل.عندما تتحرك آلية العجلة 1 و2 يدوران حول محاور ثابتة مروراً بالنقاط 0 و 0 2 عمودي على مستوى الشكل. 6.8. إيجاد السرعة الزاوية والتسارع الزاوي للعجلة أناعند الزمن / = 2 ثانية، باستخدام التعريفين أعلاه (6.4) و (6.5) لهذه الكميات:

علاماتهم السلبية تشير إلى ذلك في تلك اللحظة من الزمن ر-عجلة 2 ق / تدور في اتجاه عقارب الساعة (عكس اتجاه قراءة الزاوية (ر) ويتم تسريع هذا الدوران. بسبب عدم وجود انزلاق العجلة المتبادلة أناو 2 متجهات السرعة لنقاطهم عند نقطة الاتصال ليجب أن تكون متساوية. دعونا نعبر عن مقدار هذه السرعة بدلالة السرعات الزاوية للعجلات باستخدام (6.6):

من المساواة الأخيرة نعبر عن وحدة السرعة الزاوية للعجلة 2 ونجد قيمتها للحظة زمنية محددة 6 = 2 ثانية:

اتجاه السرعة ل(الشكل 6.9) يشير إلى أن العجلة 2 تدور عكس اتجاه عقارب الساعة، وبالتالي، أوه> 0. من (6.10) والمتباينة الأخيرة يتضح أن السرعات الزاوية للعجلات تختلف بعامل سلبي ثابت (- g1g 2): مع 2 =ز (/ ز 2). لكن مشتقات هذه السرعات - التسارع الزاوي للعجلات - يجب أن تختلف بنفس العامل: ه2=؟ ] (-ز ] /ز 1)=-2-(-4/2) = 4s~ 2 .

إيجاد السرعة المتجهة والتسارع لنقطة ما مالعجلة المتدرجة 2 باستخدام الصيغ (6.6) - (6.9):

تظهر اتجاهات المتجهات v وa وd/ في الشكل. 6.9.