Portalda reklama

Kompleks sonning barcha darajalarini toping. Kompleks sonlar. Kompleks sonning algebraik shakli. Kompleks son tushunchasi bilan tanishtirish

Kompleks sonlar

Xayoliy Va murakkab sonlar. Abscissa va ordinata

murakkab son. Murakkab sonlarni birlashtirish.

Kompleks sonlar bilan amallar. Geometrik

kompleks sonlarni ifodalash. Murakkab samolyot.

Kompleks sonning moduli va argumenti. Trigonometrik

murakkab son shakli. Kompleks bilan operatsiyalar

trigonometrik shakldagi raqamlar. Moivre formulasi.

Haqida asosiy ma'lumotlar xayoliy Va murakkab sonlar “Hayoliy va murakkab sonlar” bo‘limida berilgan. Ish uchun kvadrat tenglamalarni echishda yangi turdagi bu raqamlarga ehtiyoj paydo bo'ldiD< 0 (здесь D- diskriminant kvadrat tenglama). Uzoq vaqt davomida bu raqamlar jismoniy dasturni topa olmadi, shuning uchun ular "xayoliy" raqamlar deb ataldi. Biroq, hozir ular fizikaning turli sohalarida juda keng qo'llaniladi.

va texnologiya: elektrotexnika, gidro- va aerodinamika, elastiklik nazariyasi va boshqalar.

Kompleks sonlar shaklida yoziladi:a+bi. Bu yerga a Va b – haqiqiy raqamlar , A i – xayoliy birlik, ya'ni. e. i 2 = –1. Raqam a chaqirdi abscissa, a b - ordinatamurakkab sona + bi.Ikkita murakkab raqama+bi Va a-bi chaqiriladi konjugat murakkab sonlar.

Asosiy shartnomalar:

1. Haqiqiy raqamAshaklida ham yozilishi mumkinmurakkab raqam:a+ 0 i yoki a - 0 i. Masalan, 5 + 0 yozuvlarii va 5-0 ibir xil raqamni bildiradi 5 .

2. Kompleks son 0 + bichaqirdi sof xayoliy raqam. Yozib olishbi0 bilan bir xil degan ma'noni anglatadi + bi.

3. Ikkita kompleks sona+bi Vac + diteng deb hisoblanadi, agara = c Va b = d. Aks holda murakkab sonlar teng emas.

Qo'shish. Kompleks sonlar yig'indisia+bi Va c + dikompleks son deyiladi (a+c ) + (b+d ) i.Shunday qilib, qo'shganda kompleks sonlar, ularning abscissalari va ordinatalari alohida qo'shiladi.

Bu ta'rif oddiy ko'phadlar bilan amal qilish qoidalariga mos keladi.

Ayirish. Ikki kompleks sonning farqia+bi(kamaytirilgan) va c + di(aymoq) kompleks son deyiladi (a–c ) + (b-d ) i.

Shunday qilib, Ikkita kompleks sonni ayirishda ularning abstsissalari va ordinatalari alohida ayiriladi.

Ko'paytirish. Kompleks sonlar mahsulotia+bi Va c + di kompleks son deyiladi:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Ushbu ta'rif ikkita talabdan kelib chiqadi:

1) raqamlar a+bi Va c + dialgebraik kabi ko'paytirilishi kerak binomlar,

2) raqam iasosiy xususiyatga ega:i 2 = – 1.

MISOL ( a+ bi )(a-bi) = a 2 + b 2 . Demak, ish

ikkita konjugatli kompleks son haqiqiyga teng

ijobiy raqam.

Bo'lim. Kompleks sonni ajratinga+bi (bo'linadigan) boshqasigac + di(bo'luvchi) - uchinchi raqamni topishni bildiradie + f i(chat), bo'luvchiga ko'paytirilgandac + di, natijada dividendlar olinadia + bi.

Agar bo'linuvchi nolga teng bo'lmasa, bo'linish har doim ham mumkin.

MISOL Toping (8+i ) : (2 – 3 i) .

Yechim.Bu nisbatni kasr shaklida qayta yozamiz:

Uning soni va maxrajini 2 + 3 ga ko'paytirishi

VA Barcha o'zgarishlarni amalga oshirib, biz quyidagilarni olamiz:

Kompleks sonlarning geometrik tasviri. Haqiqiy sonlar sonlar qatoridagi nuqtalar bilan ifodalanadi:

Gap shundaki A–3 sonini, nuqtani bildiradiB- 2 raqami va O- nol. Aksincha, kompleks sonlar koordinata tekisligidagi nuqtalar bilan ifodalanadi. Buning uchun ikkala o'qda bir xil masshtabli to'rtburchaklar (kartezian) koordinatalarni tanlaymiz. Keyin kompleks raqama+bi nuqta bilan ifodalanadi Abtsissa bilan P a va ordinata b (rasmga qarang). Ushbu koordinatalar tizimi deyiladi murakkab tekislik .

Modul kompleks son vektor uzunligiOP, koordinatada kompleks sonni ifodalovchi ( keng qamrovli) tekislik. Kompleks sonning modulia+bi belgilangan | a+bi| yoki xat r

Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing.

Keling, uning ildizlarini aniqlaylik.

Kvadrati -1 bo'lgan haqiqiy son yo'q. Ammo operatorni formula bilan aniqlasak i xayoliy birlik sifatida, u holda bu tenglamaning yechimini quyidagicha yozish mumkin . Qayerda Va - kompleks sonlar, bunda -1 haqiqiy qism, 2 yoki ikkinchi holatda -2 xayoliy qismdir. Xayoliy qism ham haqiqiy sondir. Xayoliy qismning xayoliy birlikka ko'paytirilishi allaqachon degan ma'noni anglatadi xayoliy raqam.

Umuman olganda, kompleks son shaklga ega

z = x + iy ,

Qayerda x, y– haqiqiy sonlar, – xayoliy birlik. Bir qator amaliy fanlarda, masalan, elektrotexnika, elektronika, signallar nazariyasida xayoliy birlik quyidagicha belgilanadi. j. Haqiqiy raqamlar x = Re(z) Va y =men(z) chaqiriladi haqiqiy va xayoliy qismlar raqamlar z. ifoda deyiladi algebraik shakl murakkab sonni yozish.

Har qanday haqiqiy raqam maxsus holat shakldagi murakkab son . Xayoliy son ham kompleks sonning alohida holidir .

Kompleks sonlar to'plamining ta'rifi C

Bu ibora quyidagicha o'qiladi: set BILAN, shunday elementlardan iborat x Va y haqiqiy sonlar to‘plamiga tegishli R va xayoliy birlikdir. E'tibor bering, va hokazo.

Ikkita murakkab raqam Va ularning haqiqiy va xayoliy qismlari teng bo'lgan taqdirdagina teng bo'ladi, ya'ni. Va .

Murakkab sonlar va funktsiyalar fan va texnikada, xususan, mexanika, elektron tahlil va dizaynda keng qo'llaniladi. o'zgaruvchan tok, analog elektronika, nazariya va signallarni qayta ishlash, avtomatik boshqaruv nazariyasi va boshqa amaliy fanlar.

  1. Kompleks sonlar arifmetikasi

Ikkita murakkab sonni qo'shish ularning haqiqiy va xayoliy qismlarini qo'shishdan iborat, ya'ni.

Shunga ko'ra, ikkita kompleks sonning farqi

Kompleks raqam chaqirdi har tomonlama konjugat raqam z =x+iy.

z va z * murakkab konjugat raqamlari xayoliy qismning belgilarida farqlanadi. Bu aniq

.

Murakkab iboralar orasidagi har qanday tenglik, agar bu tenglikning hamma joyida bo'lsa, o'z kuchida qoladi i bilan almashtirildi - i, ya'ni. konjugat sonlarning tengligiga o'ting. Raqamlar i Va – i chunki algebraik jihatdan farqlanmaydi .

Ikkita kompleks sonning mahsulotini (ko'paytirish) quyidagicha hisoblash mumkin:

Ikki kompleks sonning bo'linishi:

Misol:

  1. Murakkab samolyot

Kompleks sonni to‘g‘ri to‘rtburchak koordinatalar tizimida grafik ko‘rinishda ifodalash mumkin. Keling, tekislikda to'rtburchaklar koordinatalar tizimini aniqlaylik (x, y).

Eksa bo'yicha ho'kiz biz haqiqiy qismlarni joylashtiramiz x, deyiladi haqiqiy (haqiqiy) o'q, o'qda Oy- xayoliy qismlar y murakkab sonlar. Bu deyiladi xayoliy o'q. Bunday holda, har bir kompleks son tekislikning ma'lum bir nuqtasiga to'g'ri keladi va bunday tekislik deyiladi murakkab tekislik. Nuqta A murakkab tekislik vektorga mos keladi O.A.

Raqam x chaqirdi abscissa kompleks son, son y – ordinata.

Murakkab konjugat sonlar juftligi haqiqiy o'q atrofida nosimmetrik joylashgan nuqtalar bilan ifodalanadi.

Agar samolyotda bo'lsak qutbli koordinatalar tizimi, keyin har bir kompleks son z qutb koordinatalari bilan aniqlanadi. Qayerda modul raqamlar nuqtaning qutb radiusi va burchakdir - uning qutb burchagi yoki kompleks son argumenti z.

Kompleks sonning moduli har doim salbiy emas. Kompleks sonning argumenti yagona aniqlanmaydi. Argumentning asosiy qiymati shartni qondirishi kerak . Kompleks tekislikning har bir nuqtasi argumentning umumiy qiymatiga ham mos keladi. 2p ning karrali bilan farq qiladigan argumentlar teng hisoblanadi. Nol soni argumenti aniqlanmagan.

Argumentning asosiy qiymati quyidagi iboralar bilan aniqlanadi:

Bu aniq

Qayerda
, .

Kompleks sonlarni ifodalash z sifatida

chaqirdi trigonometrik shakl murakkab son.

Misol.

  1. Kompleks sonlarning ko'rsatkichli shakli

Ichida parchalanish Maklaurin seriyasi haqiqiy argument funktsiyalari uchun shaklga ega:

Murakkab argumentli eksponensial funksiya uchun z parchalanish shunga o'xshash

.

Xayoliy argumentning eksponensial funktsiyasi uchun Maklaurin seriyasining kengayishi quyidagicha ifodalanishi mumkin.

Olingan identifikatsiya deyiladi Eyler formulasi.

Salbiy dalil uchun u shaklga ega

Ushbu ifodalarni birlashtirib, siz sinus va kosinus uchun quyidagi iboralarni belgilashingiz mumkin

.

Eyler formulasidan foydalanib, kompleks sonlarni ifodalashning trigonometrik shaklidan

mavjud indikativ Kompleks sonning (eksponensial, qutbli) shakli, ya'ni. shaklda uning ifodalanishi

,

Qayerda - bilan nuqtaning qutb koordinatalari to'rtburchaklar koordinatalari (x,y).

Kompleks sonning konjugati ko'rsatkichli shaklda quyidagicha yoziladi.

Ko'rsatkichli shakl uchun kompleks sonlarni ko'paytirish va bo'lish uchun quyidagi formulalarni aniqlash oson

Ya'ni, ko'rsatkichli shaklda kompleks sonlarning ko'paytmasi va bo'linishi algebraik shaklga qaraganda oddiyroqdir. Ko'paytirishda omillarning modullari ko'paytiriladi va argumentlar qo'shiladi. Ushbu qoida har qanday omillar uchun amal qiladi. Xususan, murakkab sonni ko'paytirishda z yoqilgan i vektor z soat miliga teskari 90 aylanadi

Bo'lishda payning moduli maxrajning moduliga bo'linadi va sonning argumentidan maxrajning argumenti ayiriladi.

Kompleks sonlarning eksponensial shaklidan foydalanib, biz taniqli trigonometrik identifikatsiyalar uchun ifodalarni olishimiz mumkin. Masalan, shaxsdan

Eyler formulasidan foydalanib yozishimiz mumkin

Bu ifodadagi haqiqiy va xayoliy qismlarni tenglashtirib, burchaklar yig‘indisining kosinus va sinusi uchun ifodalarni olamiz.

  1. Kompleks sonlarning darajalari, ildizlari va logarifmlari

Kompleks sonni tabiiy darajaga ko'tarish n formula bo'yicha ishlab chiqariladi

Misol. Keling, hisoblaylik .

Keling, bir raqamni tasavvur qilaylik trigonometrik shaklda

’

Eksponentsiya formulasini qo'llash orqali biz olamiz

Qiymatni ifodaga qo'yish orqali r= 1, biz shunday deb ataladigan narsani olamiz Moivre formulasi, uning yordamida siz bir nechta burchaklarning sinuslari va kosinuslari uchun ifodalarni aniqlashingiz mumkin.

Ildiz n-kompleks sonning darajasi z Unda bor n ifoda bilan belgilanadigan turli qiymatlar

Misol. Keling, topamiz.

Buning uchun kompleks sonni () trigonometrik shaklda ifodalaymiz

.

Kompleks sonning ildizini hisoblash formulasidan foydalanib, biz olamiz

Kompleks sonning logarifmi z- bu raqam w, buning uchun. Tabiiy logarifm kompleks raqam cheksiz sonli qiymatlarga ega va formula bo'yicha hisoblanadi

Haqiqiy (kosinus) va xayoliy (sinus) qismdan iborat. Bu kuchlanish uzunlik vektori sifatida ifodalanishi mumkin U m, boshlang'ich faza (burchak), burchak tezligi bilan aylanadi ω .

Bundan tashqari, agar murakkab funktsiyalar qo'shilsa, ularning haqiqiy va xayoliy qismlari qo'shiladi. Agar murakkab funktsiya doimiy yoki haqiqiy funktsiyaga ko'paytirilsa, uning haqiqiy va xayoliy qismlari bir xil ko'rsatkichga ko'paytiriladi. Bunday murakkab funktsiyani differentsiallash/integratsiyalash haqiqiy va xayoliy qismlarning differentsiatsiyasi/integratsiyasiga to'g'ri keladi.

Masalan, murakkab stress ifodasini farqlash

ga ko'paytirishdir iō f(z) funksiyaning haqiqiy qismi va – funksiyaning xayoliy qismi. Misollar: .

Ma'nosi z kompleks z tekisligidagi nuqta va unga mos qiymat bilan ifodalanadi w- murakkab tekislikdagi nuqta w. Ko'rsatilganda w = f(z) tekis chiziqlar z tekis chiziqlarga aylantiriladi w, bir tekislikning raqamlarini boshqasining raqamlariga aylantiradi, lekin chiziqlar yoki raqamlarning shakllari sezilarli darajada o'zgarishi mumkin.

Kompleks sonni yozishning algebraik shakli...................................... ......... ...................

Kompleks sonlar tekisligi................................................. ................................................................ ..........................................

Murakkab konjugat sonlar................................................. ................................................................ ..........................

Kompleks sonlar bilan algebraik shakldagi amallar...................................... ......... ....

Kompleks sonlarni qo‘shish................................................. ...................... ................................................. .................

Kompleks sonlarni ayirish................................................. ................................................................ ......................

Kompleks sonlarni ko'paytirish................................................. ................................................................ ...................

Kompleks sonlarni bo'lish................................................. ...................... ................................................. ................ ...

Trigonometrik shakl kompleks sonni yozish................................................. ............... .........

Trigonometrik ko'rinishdagi kompleks sonlar bilan amallar....................................... .........

Kompleks sonlarni trigonometrik ko'rinishda ko'paytirish...................................... .........

Kompleks sonlarni trigonometrik ko'rinishda bo'lish....................................... ......... ...

Kompleks sonni musbat butun son darajasiga ko'tarish...................................... ............

Kompleks sondan musbat butun darajaning ildizini ajratib olish...................................

Kompleks sonni ratsional darajaga ko‘tarish...................................... ......................

Murakkab qatorlar................................................. ... ................................................... ......... .........................

Kompleks sonlar qatori.............................................. ................................................................ ..........................

Murakkab tekislikdagi quvvat qatorlari................................................. ........ ...................................

Ikki tomonlama quvvat seriyasi murakkab tekislikda.................................................. ......

Kompleks o‘zgaruvchining funksiyalari................................................. ....... ...................................................

Asosiy elementar funksiyalar.............................................. ...................... ................................................. .

Eyler formulalari................................................. ... ................................................... ......... .........................

Kompleks sonni ifodalashning eksponensial shakli...................................................... ...................... .

Trigonometrik va giperbolik funktsiyalar o'rtasidagi bog'liqlik......................................

Logarifmik funktsiya................................................. ... ................................................... ......... ...

Umumiy ko‘rsatkichli va umumiy quvvat funksiyalari...................................... ........ ...................

Kompleks o‘zgaruvchining funksiyalarini differensiallash...................................... ......... ...

Koshi-Riman shartlari................................................. ...... ................................................ ............ ............

Hosilni hisoblash formulalari...................................... ....... ...................................

Differensiallash operatsiyasining xossalari................................................. ................................................................ ...

Analitik funksiyaning haqiqiy va xayoliy qismlarining xossalari......................................

Murakkab o‘zgaruvchining funksiyasini uning haqiqiy yoki xayolidan qayta qurish

Usul raqami 1. Egri chiziqli integralidan foydalanish................................................. ...... .........

2-usul raqami. Koshi-Riman shartlarini to'g'ridan-to'g'ri qo'llash......................................

№ 3 usul. Izlangan funksiyaning hosilasi orqali...................................... ......... .........

Kompleks o‘zgaruvchining funksiyalarini integrallash...................................... ......... .........

Integral Koshi formulasi.............................................. ...... ................................................ ............ ...

Teylor va Loran qatorlarida funksiyalarning kengayishi...................................... ...................... ...........................

Kompleks o‘zgaruvchi funksiyaning nol va birlik nuqtalari...................................... ............. ......

Kompleks o‘zgaruvchining funksiyasining nollari...................................... ...................... .......................

Kompleks o‘zgaruvchi funksiyaning ajratilgan birlik nuqtalari......................................

14.3 Murakkab o'zgaruvchining funksiyasining yagona nuqtasi sifatida cheksizlikdagi nuqta

Chegirmalar.................................................. ....... ................................................. ............. ................................................ ...

Yakuniy nuqtada chegirma................................................. ...... ................................................... ............ ......

Funktsiyaning cheksizlikdagi nuqtadagi qoldig'i...................................... ............ ...............

Qoldiqlar yordamida integrallarni hisoblash...................................... ....... ...........................

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar................................................. ................................................................ .......................... .......

Adabiyot.................................................. ................................................................ ...... ...................................

Mavzu indeksi................................................. ................................................................ ...... ..............

Muqaddima

Imtihon yoki modulni sertifikatlashning nazariy va amaliy qismlariga tayyorgarlik ko'rishda vaqt va kuchni to'g'ri taqsimlash juda qiyin, ayniqsa sessiya davomida har doim etarli vaqt bo'lmaydi. Va amaliyot shuni ko'rsatadiki, hamma ham bunga dosh bera olmaydi. Natijada, imtihon vaqtida ba'zi talabalar masalalarni to'g'ri yechadi, lekin eng oddiy nazariy savollarga javob berishga qiynaladi, boshqalari teoremani shakllantirishi mumkin, lekin uni qo'llay olmaydi.

"Murakkab o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi" (TFCP) kursida imtihonga tayyorgarlik ko'rish bo'yicha ushbu ko'rsatmalar ushbu qarama-qarshilikni bartaraf etishga va kursning nazariy va amaliy materiallarini bir vaqtning o'zida takrorlashni ta'minlashga urinishdir. "Amaliyasiz nazariya o'lik, nazariyasiz amaliyot ko'r" tamoyiliga asoslanib, ular ta'riflar va formulalar darajasidagi kursning nazariy qoidalarini, shuningdek, har bir nazariy pozitsiyani qo'llashni ko'rsatadigan misollarni o'z ichiga oladi va shu bilan uni yodlash va tushunish.

Taklif etilayotgan maqsad uslubiy tavsiyalar- talabaga imtihonga tayyorlanishiga yordam berish asosiy daraja. Boshqacha qilib aytganda, TFKP kursi bo'yicha mashg'ulotlarda qo'llaniladigan va bajarishda zarur bo'lgan asosiy fikrlarni o'z ichiga olgan kengaytirilgan ishchi ma'lumotnoma tuzilgan. uy vazifasi va nazorat tadbirlariga tayyorgarlik. Bundan tashqari mustaqil ish Talabalar uchun ushbu elektron ta'lim nashri darslarni elektron doskadan foydalangan holda interfaol shaklda o'tkazishda yoki masofaviy ta'lim tizimiga joylashtirishda foydalanish mumkin.

E'tibor bering, bu ish darslik yoki ma'ruza matnini almashtirmaydi. Materialni chuqur o'rganish uchun MSTU tomonidan nashr etilgan tegishli bo'limlarga murojaat qilish tavsiya etiladi. N.E. Bauman asosiy darslik.

Qo'llanmaning oxirida tavsiya etilgan adabiyotlar ro'yxati va matnda ta'kidlangan barcha narsalarni o'z ichiga olgan mavzu ko'rsatkichi mavjud. qalin kursiv shartlari. Indeks ushbu atamalar qat'iy belgilangan yoki tavsiflangan va ulardan foydalanishni ko'rsatish uchun misollar keltirilgan bo'limlarga giperhavolalardan iborat.

Qo‘llanma MSTU barcha fakultetlarining 2-kurs talabalari uchun mo‘ljallangan. N.E. Bauman.

1. Kompleks sonni yozishning algebraik shakli

z = x + iy ko'rinishdagi yozuv, bu erda x, y - haqiqiy sonlar, i - xayoliy birlik (ya'ni, i 2 = - 1)

z kompleks sonini yozishning algebraik shakli deyiladi. Bunda x kompleks sonning haqiqiy qismi deyiladi va Re z (x = Re z), y kompleks sonning xayoliy qismi deyiladi va Im z (y = Im z) bilan belgilanadi.

Misol. z = 4 - 3i kompleks soni Re z = 4 haqiqiy qismga va Im z = - 3 xayoliy qismga ega.

2. Kompleks sonlar tekisligi

IN kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyalari ko'rib chiqiladikompleks sonlar tekisligi, z, w va hokazo murakkab sonlarni bildiruvchi harflar yordamida yoki yordamida belgilanadi.

Murakkab tekislikning gorizontal o'qi deyiladi haqiqiy o'q, unga z = x + 0 i = x haqiqiy sonlar joylashtirilgan.

Murakkab tekislikning vertikal o'qi xayoliy o'q deb ataladi;

3. Murakkab qo‘shma sonlar

z = x + iy va z = x - iy raqamlari deyiladi murakkab konjugat. Murakkab tekislikda ular haqiqiy o'qga nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtalarga mos keladi.

4. Algebraik shaklda kompleks sonlar bilan amallar

4.1 Kompleks sonlarni qo‘shish

Ikki kompleks sonning yig'indisi

z 1 = x 1 + iy 1

va z 2 = x 2 + iy 2 kompleks son deyiladi

z 1 + z 2

= (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) .

operatsiya

qo'shimcha

kompleks sonlar algebraik binomlarni qo'shish amaliga o'xshaydi.

Misol. Ikkita kompleks sonlar yig‘indisi z 1 = 3 + 7i va z 2

= −1 +2 i

kompleks son bo'ladi

z 1 + z 2 = (3 +7 i ) +(−1 +2 i ) = (3 −1 ) +(7 +2 ) i = 2 +9 i .

Shubhasiz,

Umumiy hisob

konjugat

hisoblanadi

haqiqiy

z + z = (x + iy) + (x - iy) = 2 x = 2 Re z .

4.2 Kompleks sonlarni ayirish

Ikki kompleks sonning ayirmasi z 1 = x 1 + iy 1

X 2 +iy 2

chaqirdi

keng qamrovli

soni z 1 - z 2 = (x 1 + iy 1 ) - (x 2 + iy 2 ) = (x 1 - x 2 ) + i (y 1 - y 2 ) .

Misol. Ikki kompleks sonning farqi

z 1 = 3 −4 i

va z 2

= −1 +2 i

keng qamrovli bo'ladi

soni z 1 - z 2 = (3 - 4i ) - (- 1+ 2i ) = (3 - (- 1) ) + (- 4 - 2) i = 4 - 6i.

Farqi bo'yicha

murakkab konjugat

hisoblanadi

z - z = (x + iy) - (x - iy) = 2 iy = 2 i Im z .

4.3 Kompleks sonlarni ko`paytirish

Ikki kompleks sonning mahsuloti

z 1 = x 1 + iy 1

va z 2 = x 2 + iy 2

kompleks deb ataladi

z 1z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2

= (x 1x 2 - y 1 y 2 ) + i (y 1x 2 + y 2 x ) .

Shunday qilib, kompleks sonlarni ko'paytirish amali i 2 = - 1 ekanligini hisobga olgan holda algebraik binomilarni ko'paytirish amaliga o'xshaydi.

TA'RIF

Kompleks sonning algebraik shakli \(\z\) kompleks sonni \(\z=x+i y\) ko'rinishida yozishdan iborat bo'lib, bu erda \(\x\) va \(\y\) haqiqiy sonlardir. , \(\i\ ) - \(\i^(2)=-1\) munosabatini qanoatlantiruvchi xayoliy birlik.

\(\ x \) soni \(\ z \) kompleks sonning haqiqiy qismi deyiladi va \(\ x=\operatorname(Re) z \) bilan belgilanadi.

\(\y\) soni \(\z\) kompleks sonning xayoliy qismi deyiladi va \(\y=\operator nomi(Im) z\) bilan belgilanadi.

Masalan:

Kompleks son \(\ z=3-2 i \) va uning qoʻshma soni \(\ \overline(z)=3+2 i \) algebraik shaklda yoziladi.

Xayoliy miqdor \(\ z=5 i \) algebraik shaklda yoziladi.

Bundan tashqari, siz hal qilayotgan masalaga qarab, murakkab sonni trigonometrik yoki eksponensial songa aylantirishingiz mumkin.

  • Vazifa

    \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) sonni algebraik shaklda yozing, uning haqiqiy va xayoliy qismlarini, shuningdek konjugat sonini toping.

  • Yechim.

    Kasrlarni bo'lish atamasi va kasrlarni qo'shish qoidasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

    \(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)i\)

    Demak, \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) kompleks sonning haqiqiy qismi \(\ x=\operatorname(Re) z= sondir. \frac(59) (4) \) , xayoliy qism soni \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)

    Konjugat raqami: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

  • Javob

    \(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operator nomi(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

    Kompleks sonlarning algebraik shakldagi harakatlari taqqoslash

    Ikkita kompleks son \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) teng deyiladi, agar \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1) boʻlsa )= y_(2) \) ya'ni. Ularning haqiqiy va xayoliy qismlari tengdir.

  • Vazifa

    \(\ z_(1)=13+y i \) va \(\ z_(2)=x+5 i \) ikkita kompleks sonlar qaysi x va y uchun teng ekanligini aniqlang.

  • Yechim

    Ta'rifga ko'ra, ikkita murakkab son, agar ularning haqiqiy va xayoliy qismlari teng bo'lsa, ya'ni. \(\x=13\), \(\y=5\).

  • Javob \(\x=13\), \(\y=5\)

    qo'shimcha

    Kompleks sonlarni qo‘shish \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) haqiqiy va xayoliy qismlarni to‘g‘ridan-to‘g‘ri yig‘ish orqali amalga oshiriladi:

    \(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\chap(x_(1)+x_(2)\o‘ng) +i\chap(y_(1)+y_(2)\o'ng) \)

  • Vazifa

    \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \) kompleks sonlar yigʻindisini toping.

  • Yechim.

    Kompleks sonning haqiqiy qismi \(\ z_(1)=-7+5 i \) sondir \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \) , xayoliy son. qismi soni \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . \(\ z_(2)=13-4 i \) kompleks sonning haqiqiy va xayoliy qismlari \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) va \( ga teng. \ y_(2) mos ravishda )=\operator nomi(Im) z_(2)=-4 \) .

    Shunday qilib, kompleks sonlar yig'indisi:

    \(\ z_(1)+z_(2)=\chap(x_(1)+x_(2)\o‘ng)+i\chap(y_(1)+y_(2)\o‘ng)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)

  • Javob

    \(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)

    Murakkab raqamlarni qo'shish haqida batafsil ma'lumotni alohida maqolada o'qing: Kompleks sonlarni qo'shish.

    Ayirish

    \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) va \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) kompleks sonlarni ayirish toʻgʻridan-toʻgʻri ayirish yoʻli bilan bajariladi. Haqiqiy va xayoliy qismlar:

    \(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\chap(x_(2)+i y_(2)\oʻng)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\o'ng)=\left(x_(1)-x_(2)\o'ng)+i\left(y_(1)-y_(2)\o'ng ) \)

  • Vazifa

    kompleks sonlar ayirmasini toping \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

  • Yechim.

    Kompleks sonlarning haqiqiy va xayoliy qismlarini toping \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

    \(\ x_(1)=\operator nomi(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operator nomi(Re) z_(2)=15 \)

    \(\ y_(1)=\operator nomi(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operator nomi(Im) z_(2)=5 \)

    Shunday qilib, kompleks sonlarning farqi:

    \(\ z_(1)-z_(2)=\chap(x_(1)-x_(2)\o'ng)+i\chap(y_(1)-y_(2)\o'ng)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)

  • Javob

    \(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) koʻpaytirish

    \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) va \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) kompleks sonlarni koʻpaytirish toʻgʻridan-toʻgʻri hosil qilish orqali bajariladi. Xayoliy birlikning xususiyatini hisobga olgan holda algebraik shakldagi raqamlar \(\i^(2)=-1\) :

    \(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\o‘ng) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\o‘ng)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\o'ng)=\)

    \(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\o'ng) \)

  • Vazifa

    Kompleks sonlar koʻpaytmasini toping \(\ z_(1)=1-5 i \)

  • Yechim.

    Kompleks sonlar majmuasi:

    \(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\o'ng)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i\)

  • Javob

    \(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) boʻlinish

    Kompleks sonlarning koeffitsienti \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) va \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) koʻpaytirish yoʻli bilan aniqlanadi. ayiruvchi va maxrajni maxrajli qo‘shma songa:

    \(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\chap) (x_(1)+i y_(1)\o'ng)\left(x_(2)-i y_(2)\o'ng))(\left(x_(2)+i y_(2)\o'ng)\chap (x_(2)-i y_(2)\o'ng))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2) )^(2)) \)

  • Vazifa

    1 sonni kompleks songa bo'lish uchun \(\z=1+2 i\).

  • Yechim.

    Haqiqiy 1 raqamining xayoliy qismi nolga teng bo'lgani uchun omil:

    \(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)

  • Javob

    \(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

    • Dars rejasi.

    1. Tashkiliy moment.

    2. Materialni taqdim etish.

    3. Uyga vazifa.

    4. Darsni yakunlash.

    Darslar davomida

    I. Tashkiliy moment.

    II. Materialning taqdimoti.

    Motivatsiya.

    Haqiqiy sonlar to'plamining kengayishi haqiqiy sonlarga yangi raqamlarni (xayoliy) qo'shishdan iborat. Ushbu raqamlarning kiritilishi haqiqiy sonlar to'plamida manfiy sonning ildizini ajratib olishning iloji yo'qligi bilan bog'liq.

    Kompleks son tushunchasi bilan tanishtirish.

    Haqiqiy sonlarni to'ldiruvchi xayoliy sonlar shaklda yoziladi bi, Qayerda i xayoliy birlikdir va i 2 = - 1.

    Bunga asoslanib, kompleks sonning quyidagi ta’rifini olamiz.

    Ta'rif. Kompleks son shaklning ifodasidir a+bi, Qayerda a Va b- haqiqiy raqamlar. Bunday holda, quyidagi shartlar bajariladi:

    a) ikkita kompleks son a 1 + b 1 i Va a 2 + b 2 i faqat va faqat agar teng bo'lsa a 1 = a 2, b 1 = b 2.

    b) Kompleks sonlarning qo‘shilishi quyidagi qoida bilan aniqlanadi:

    (a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

    c) Kompleks sonlarni ko'paytirish qoida bilan aniqlanadi:

    (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

    Kompleks sonning algebraik shakli.

    Kompleks sonni shaklda yozish a+bi kompleks sonning algebraik shakli deyiladi, bu erda A- haqiqiy qism, bi xayoliy qismdir va b- haqiqiy raqam.

    Kompleks raqam a+bi Agar uning haqiqiy va xayoliy qismlari nolga teng bo'lsa, nolga teng deb hisoblanadi: a = b = 0

    Kompleks raqam a+bi da b = 0 haqiqiy son bilan bir xil deb hisoblanadi a: a + 0i = a.

    Kompleks raqam a+bi da a = 0 sof xayoliy deyiladi va belgilanadi bi: 0 + bi = bi.

    Ikkita murakkab raqam z = a + bi Va = a - bi, faqat xayoliy qismning belgisi bilan farqlanadi, konjugat deyiladi.

    Algebraik shaklda kompleks sonlar ustida amallar.

    Kompleks sonlar ustida quyidagi amallarni algebraik shaklda bajarish mumkin.

    1) qo'shimcha.

    Ta'rif. Kompleks sonlar yig'indisi z 1 = a 1 + b 1 i Va z 2 = a 2 + b 2 i kompleks son deyiladi z, uning haqiqiy qismi haqiqiy qismlar yig'indisiga teng z 1 Va z 2, va xayoliy qism sonlarning xayoliy qismlari yig'indisidir z 1 Va z 2, ya'ni z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

    Raqamlar z 1 Va z 2 atamalar deb ataladi.

    Kompleks sonlarni qo'shish quyidagi xususiyatlarga ega:

    1º. Kommutativlik: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

    2º. Assotsiativlik: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

    3º. Kompleks raqam –a –bi kompleks sonning teskarisi deyiladi z = a + bi. Kompleks son, kompleks songa qarama-qarshi z, belgilangan -z. Kompleks sonlar yig'indisi z Va -z nolga teng: z + (-z) = 0



    1-misol: Qo'shishni bajaring (3 – i) + (-1 + 2i).

    (3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

    2) ayirish.

    Ta'rif. Kompleks sondan ayirish z 1 murakkab son z 2 z, Nima z + z 2 = z 1.

    Teorema. Kompleks sonlar orasidagi farq mavjud va noyobdir.

    2-misol: ayirish amalini bajaring (4 – 2i) - (-3 + 2i).

    (4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

    3) ko'paytirish.

    Ta'rif. Kompleks sonlar mahsuloti z 1 =a 1 +b 1 i Va z 2 =a 2 +b 2 i kompleks son deyiladi z, tenglik bilan belgilanadi: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

    Raqamlar z 1 Va z 2 omillar deyiladi.

    Kompleks sonlarni ko'paytirish quyidagi xususiyatlarga ega:

    1º. Kommutativlik: z 1 z 2 = z 2 z 1.

    2º. Assotsiativlik: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

    3º. Ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanishi:

    (z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

    4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- haqiqiy raqam.

    Amalda kompleks sonlarni ko'paytirish yig'indini yig'indiga ko'paytirish va haqiqiy va xayoliy qismlarni ajratish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi.

    Quyidagi misolda murakkab sonlarni ikki usulda ko‘paytirishni ko‘rib chiqamiz: qoida bo‘yicha va yig‘indini yig‘indiga ko‘paytirish.

    3-misol: Ko'paytirishni bajaring (2 + 3i) (5 – 7i).

    1 yo'l. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

    2-usul. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

    4) Bo'lim.

    Ta'rif. Kompleks sonni ajrating z 1 murakkab songa z 2, shunday kompleks sonni topishni bildiradi z, Nima z · z 2 = z 1.

    Teorema. Kompleks sonlar bo'limi mavjud va yagona bo'lsa z 2 ≠ 0 + 0i.

    Amalda kompleks sonlarning bo‘linmasi ayiruvchi va maxrajni maxrajning konjugatiga ko‘paytirish yo‘li bilan topiladi.

    Mayli z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Keyin


    .

    Quyidagi misolda biz sonning maxrajga konjugati bilan ko'paytirish formulasi va qoidasi yordamida bo'linishni bajaramiz.

    4-misol. Ko‘rsatkichni toping .

    5) Ijobiy butun kuchga ko'tarilish.

    a) Xayoliy birlikning kuchlari.

    Tenglikdan foydalanish i 2 = -1, xayoliy birlikning istalgan musbat butun kuchini aniqlash oson. Bizda ... bor:

    i 3 = i 2 i = -i,

    i 4 = i 2 i 2 = 1,

    i 5 = i 4 i = i,

    i 6 = i 4 i 2 = -1,

    i 7 = i 5 i 2 = -i,

    i 8 = i 6 i 2 = 1 va hokazo.

    Bu daraja qiymatlarini ko'rsatadi men n, Qayerda n- butun ijobiy raqam, vaqti-vaqti bilan takrorlanadi, chunki ko'rsatkich oshadi 4 .

    Shuning uchun, raqamni oshirish uchun i musbat butun kuchga, biz ko'rsatkichni ga bo'lishimiz kerak 4 va qurish i ko'rsatkichi bo'linishning qolgan qismiga teng bo'lgan darajaga.

    5-misol: Hisoblang: (i 36 + i 17) i 23.

    i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

    i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

    i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

    (i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

    b) Kompleks sonni musbat butun darajaga ko'tarish binomialni mos darajaga ko'tarish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi, chunki bu bir xil kompleks omillarni ko'paytirishning maxsus holatidir.

    6-misol: Hisoblang: (4 + 2i) 3

    (4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.