Сущность явления продольного изгиба. Продольный изгиб. Учебно -ознакомительная практика в КамчатГТУ

в сопротивлении материалов, Изгиб первоначально прямолинейного стержня под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил вследствие потери им устойчивости. В упругом стержне постоянного сечения различным формам потери устойчивости соответствуют критические значения сжимающих сил где Е - модуль упругости материала стержня, I - минимальное значение осевого момента инерции поперечного сечения стержня, l - длина стержня, - - коэффициент приведённой длины, зависящий от условий закрепления концов стержня, n - целое число. Практический интерес обычно представляет минимальное значение критической силы. В случае шарнирно опёртого стержня (? = 1) такая сила вызывает изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной (n = 1); она определяется формулой Эйлера (F - площадь поперечного сечения стержня), соответствующее критической силе, называется критическим. Если величина критического напряжения превышает предел пропорциональности материала стержня, то потеря устойчивости происходит в зоне пластических деформаций. Тогда наименьшая критическая сила определяется формулой Т - модуль Энгессера - Кармана, характеризующий зависимость между деформациями и напряжениями за пределами упругих деформаций.

При расчёте конструкций учёт П. и. сводится к снижению для сжатых стержней величин расчётных напряжений.

Лит. см. при ст. Сопротивление материалов.

Л. В. Касабьян.

Ссылки на страницу

• Прямая ссылка: http://сайт/bse/63427/;
• HTML-код ссылки: Что означает Продольный изгиб в Большой Советской Энциклопедии;
• BB-код ссылки: Определение понятия Продольный изгиб в Большой Советской Энциклопедии.

Искривление длинного бруса прямолинейной формы, сжимаемого силой, направленной вдоль оси, вследствие потери устойчивости равновесия (см. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ). Пока действующая сила Р невелика, брус только сжимается. При превышении нек-рого значения, наз. критической силой, брус самопроизвольно выпучивается. Это нередко приводит к разрушению или недопустимым деформациям стержневых конструкций.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия .Главный редактор А. М. Прохоров .1983 .

ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ

Деформация изгиба прямого стержня при действии продольных (направленных по оси) сжимающих сил. При квазистатич. возрастании нагрузки прямолинейная форма стержня остаётся устойчивой до достижения нек-рого критич. значения нагрузки, после чего устойчивой становится искривлённая форма, причём при дальнейшем возрастании нагрузки прогибы быстро увеличиваются.

Для призматич. стержня из линейно-упругого материала, сжатого силой Р, критич. значение даётся ф-лой Эйлера где E - модуль упругости материала, I - момент инерции поперечного сечения относительно оси, соответствующей изгибу, l - длина стержня, - коэф., зависящий от способа закрепления.Для стержня, опирающегося своими концами на опору,=1. При малых P -> 0 изогнутая ось близка по форме к где x - координата, отсчитываемая от одного из концов стержня. Для стержня, жёстко закреплённого на обоих концах, = 1/4; для стержня, к-рый одним концом закреплён, а другой (загруженный) его конец свободен, = 2. Критич. сила для упругого стержня отвечает точке бифуркации на диаграмме сжимающая сила - характерный прогиб. П. и.- частный случай более широкого понятия - потери устойчивости упругих систем.

В случае неупругого материала критич. сила зависит от соотношения между напряжением а и относит, деформацией при одноосном сжатии. Простейшие модели упругопластич. П. и. приводят к ф-лам типа Эйлера с заменой модуля упругости E либо на касательный модуль , либо на приведённый модуль . Для стержня прямоуг. сечения =В реальных задачах оси стержней имеют нач. искривления, а нагрузки приложены с эксцентриситетом. Деформация изгиба в сочетании со сжатием происходит с самого начала нагружения. Это явление наз. продольно-поперечным изгибом. Результаты теории П. и. используют для приближённой оценки деформации и несущей способности стержней с малыми нач. возмущениями.

При динамич. нагрузках формы П. и. и продольно-поперечного изгиба могут существенно отличаться от форм потери устойчивости при квазистатич. нагруже-нии. Так, при очень быстром нагружении стержня, опирающегося своими концами, реализуются формы П. и., имеющие две и более полуволны изгиба. При продольной силе, к-рая периодически изменяется во времени, возникает параметрический резонанс поперечных колебаний, если частота нагрузки , где - собств. частоты поперечных колебаний стержня, h - натуральное число. В нек-рых случаях параметрич. резонанс возбуждается также при

29 ноября 2011

Проф. С. П. Тимошенко, Устойчивость упругих систем, Техтеоретиздат, 1955; проф. И. П. Прокофьев и А. Ф. Смирнов, Теория сооружений, ч. III, Трансжелдориздат, 1948; проф. И. Я. Штаерман и А. А. Пиковский, Основы теории устойчивости строительных конструкций, Госстройиздат, 1939.

В стальных конструкциях проблема устойчивости имеет очень большое значение. Недооценка ее может привести к катастрофическим последствиям.

Если прямой стержень сжимать центрально приложенной силой Р, то вначале стержень будет оставаться прямым и это состояние равновесия его будет устойчивым. Устойчивое состояние равновесия упругого стержня характеризуется тем, что стержень, нагруженный и затем получивший незначительное возможное отклонение вследствие какой-либо причины (малое возмущение), после прекращения действия этой причины возвращается в свое первоначальное состояние, совершив незначительные затухающие колебания.

Это происходит потому, что внешняя сжимающая сила не в состоянии преодолеть сопротивляемость стержня тому незначительному изгибу, которому он подвергся при отклонении оси, т. е. потому, что внутренняя упругая работа деформации изгиба стержня, полученная вследствие отклонения оси (потенциальная энергия изгиба ΔV), больше внешней работы (ΔТ), которую совершила сжимающая сила в результате сближения концов стержня при его изгибе: ΔV > ΔТ.

а — основной случай;
б — кривые критических напряжений для стали марки Ст. 3 и коэффициента продольного изгиба:

1 — кривая Эйлера;
2 — кривая критических напряжений с учетом пластической работы материала;
3 — кривая коэффициента φ.

При дальнейшем увеличении сжимающая сила может достигнуть такого значения, что ее работа будет равна работе деформации изгиба, вызванного любым достаточно малым возмущающим фактором.

В этом случае = ΔV и сжимающая сила достигает своего критического значения Р кр. Таким образом, прямой стержень при нагрузке его силой до критического состояния имеет прямолинейную форму устойчивого состояния равновесия. При достижении силой критического значения его прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой, стержень может изогнуться в плоскости наименьшей жесткости и устойчивым равновесием у него будет уже новая криволинейная форма.

То значение силы, при котором первоначальная устойчивая форма равновесия стержня переходит в неустойчивую, называется критической силой.

При наличии небольшой первоначальной кривизны стержня (или незначительной внецентренности сжимающей силы) стержень с возрастанием нагрузки с самого начала отклоняется от прямой. Но это отклонение вначале мало, и только тогда, когда сжимающая сила приближается к критической (отличаясь от нее в пределах 1%), отклонения становятся значительными, что и означает переход в неустойчивое состояние.

Таким образом, неустойчивое состояние равновесия характеризуется тем, что уже при малом увеличении сил происходят большие перемещения. Дальнейшее увеличение сжимающей силы Р > Р кр вызывает все возрастающие отклонения, и стержень теряет свою несущую способность.

При этом различным видам закреплений стержня соответствуют различные значения критической силы. Для показанного на фигуре, а центрально сжатого стержня, имеющего по концам шарнирные закрепления (основной случай), критическая сила определена великим математиком Л. Эйлером в 1744 г. в следующем виде:

Напряжение, которое возникает в стержне от критической силы, называется критическим напряжением:

— минимальный радиус инерции;

F 6р — площадь брутто поперечного сечения стержня;

— гибкость стержня, равная отношению расчетной длины стержня к радиусу инерции сечения его.

Из формулы видно, что критическое напряжение зависит от гибкости стержня (так как числитель — величина постоянная), а гибкость — величина, зависящая лишь от геометрических размеров стержня. Следовательно, возможность повышения значения критического напряжения путем изменения гибкости стержня (главным образом за счет увеличения радиуса инерции сечения) находится в руках конструктора и должна быть им рационально использована.

Графически формула Эйлера изображается в виде гиперболы.

Критические напряжения, определенные по формуле Эйлера, справедливы лишь при постоянном модуле упругости Е, т. е. в пределах упругости (точнее, в пределах пропорциональности), а это может иметь место лишь при больших гибкостях (Х > 105), что следует из уравнения:

Здесь σ пц = 2000 кг/см 2 — предел пропорциональности для стали марки Ст. 3.

«Проектирование стальных конструкций»,
К.К.Муханов

Критические напряжения для стержней малых (X > 30) и средних (30 < Х < 100) гибкостей получаются выше предела пропорциональности, но, понятно, ниже предела текучести. Теоретическое определение критических напряжений для таких стержней значительно усложняется вследствие того, что явление потери устойчивости происходит при частичном развитии пластических деформаций и переменном модуле упругости. В результате многочисленных опытов, подтвердивших…

Потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия центрально сжатого прямого стержня называется продольным изгибом; это наиболее простая и в то же время одна из наиболее важных инженерных задач, связанных с проблемой устойчивости.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения с шарнирно закрепленными концами, нагруженный на верхнем конце центрально приложенной сжимающей силой Р (рис. 3.13).

Наименьшее значение центрально приложенной сжимающей силы Р, при котором прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой. Для ее определения отклоним стержень в положение, показанное пунктиром, и установим, при каком наименьшем значении силы Р стержень может не вернуться в прежнее положение.

Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид [см. формулу (68.7)]

Начало координат считаем расположенным у нижнего конца стержня, а ось - направленной вверх.

Изгибающий момент в сечении с абсциссой равен

Подставим выражение М в уравнение (1.13):

Интеграл дифференциального уравнения (2.13) имеет вид

Произвольные постоянные А и В можно определить из граничных условий:

а) при и и, следовательно, на основании уравнения (4.13)

б) при и, следовательно, на основании уравнения (4.13)

Условие (5.13) выполняется при или При подстановке значения и найденного значения в уравнение (4.13) получаем выражение , не соответствующее условию задачи, целью которой является определение такого значения силы Р, при котором величины у могут быть не равными нулю.

Таким образом, для того чтобы удовлетворить условию задачи и условию (5.13), необходимо принять или [на основании выражения (3.13)]

Условие (6.13) удовлетворяется и при однако при этом из выражения (7.13) следует , что не удовлетворяет условию задачи. Наименьшее значение отличное от нуля, можно получить из выражения (7.13) при Тогда

Формула (8.13) впервые была получена Эйлером, поэтому критическая сила называется также эйлеровой критической силой.

Если сжимающая сила меньше критической, то возможна только прямолинейная форма равновесия, которая в этом случае является устойчивой.

Формула (8.13) дает значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами. Определим теперь значение критической силы при других видах закрепления концов стержня.

Рассмотрим центрально сжатый стержень длиной защемленный (заделанный) одним концом. Возможная форма равновесия такого стержня при критическом значении силы Р имеет вид, показанный на рис. 4.13.

Сравнивая рис. 4.13 и рис. 3.13, устанавливаем, что стержень длиной с одним защемленным концом можно рассматривать как стержень длиной 21 с шарнирно закрепленными концами, изогнутая ось которого показана на рис. 4.13 пунктиром.

Следовательно, значение критической силы для стержня с одним защемленным концом можно найти, подставив в формулу (8.13) величину вместо тогда

Для стержня с обоими заделанными концами возможная форма изгиба при потере устойчивости показана на рис. 5.13. Она симметрична относительно середины стержня; точки перегиба изогнутой оси расположены в четвертях длины стержня.

Из сопоставления рис. 5.13 и рис. 4.13 видно, что каждая четверть длины стержня, заделанного обоими концами, находится в таких же условиях, в каких находится весь стержень, изображенный на рис. 4.13. Следовательно, значение критической силы для стержня с обоими заделанными концами можно найти, если подставить в формулу (9.13) величину вместо

(10.13)

Таким образом, критическая сила для стержня с шарнирно закрепленными концами в четыре раза больше, чем для стержня с одним защемленным, а другим свободным концом, и в четыре раза меньше, чем для стержня с обоими защемленными концами. Случай шарнирного закрепления концов стержня принято называть основным.

Формулы Эйлера (8.13), (9.13) и (10.13) для определения критической силы при различных закреплениях концов стержня можно представить в следующем общем виде:

(11.13)

Здесь - так называемый коэффициент приведения длины; - приведенная длина стержня.

Коэффициент позволяет любой случай закрепления концов стержня свести к основному случаю, т.е. к стержню с шарнирно закрепленными концами. Для четырех наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня коэффициент имеет следующие значения.

Понятие об устойчивых и неустойчивых формах

Равновесия твердых тел. Устойчивость прямолинейной формы

Сжатых стержней

Для бруса (стержня), растянутого или сжатого силой F , мы пользовались условием

при котором предполагалось, что разрушение наступает в том случае, когда напряжения станут равными пределу прочности σ в для хрупкого материала или пределу текучести σ Т для пластичного материала. При этом длина стержня и форма его поперечного сечения во внимание не принимались.

Возьмем деревянный стержень с размерами поперечного сечения в виде прямоугольника и приложим к нему продольную сжимающую нагрузку. Постепенно увеличивая нагрузку, видим, что ось стержня сначала остается почти прямолинейной, а затем при некоторой нагрузке она внезапно искривляется и, наконец, наступает его разрушение. Заметим, что с изменением длины стержня изменяется и разрушающая нагрузка – чем длиннее стержень, тем при меньшей нагрузке он разрушается.

Кроме того, при сжатии длинных стержней изменение формы поперечного сечения при прочих равных условиях также вызывает изменение разрушающей нагрузки.

Следовательно, в различных элементах конструкций соотношение между длиной сжатого стержня и размерами его поперечного сечения должно быть подобрано таким образом, чтобы обеспечить надежную работу конструкции.

Известно, что равновесие твердых тел может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным (рис. 12.1).

Аналогично этому равновесие упругих систем может быть устойчивым и неустойчивым.

Рассмотрим тонкий стержень, испытывающий сжатие с постепенно возрастающей нагрузкой F 1 ≤ F 2 ≤ F 3 .

Рис. 12.1. Виды равновесия твердых тел

При малой сжимающей силе F ось стержня остается прямолинейной. Если стержень отклонить незначительной горизонтальной силой, то после ее удаления, стержень снова возвратится в свое первоначальное положение. Такое упругое равновесие стержня называется устойчивым (рис. 12.2, а).

При большой величине сжимающей силы F 3 после незначительного отклонения стержня его ось искривляется и стержень не может возвратиться в первоначальное положение, он продолжает еще более искривляться под действием сжимающей силы. При этом имеем неустойчивую форму упругого равновесия стержня. Далее происходит потеря устойчивости (рис. 12.2, в). Такой случай изгиба называют продольным изгибом , т. е. изгибом, вызванным сжимающей силой, действующей вдоль оси стержня.

Рис. 12.2. Виды упругого равновесия тонкого стержня

Появление продольного изгиба опасно тем, что при нем происходит значительное нарастание деформаций при незначительном нарастании сжимающей нагрузки. Разрушения от продольного изгиба происходят внезапно, что чревато катастрофическими последствиями в технике и строительстве.

Между этими двумя состояниями равновесия существует переходное состояние, называемое критическим, при котором деформированное тело находится в безразличном равновесии. Оно может сохранять первоначальную прямолинейную форму, но может и потерять ее от самого незначительного воздействия (рис. 12.2, б).

Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы тела (стержня), называется критической и обозначается F кр .

Для обеспечения устойчивости в конструкциях и сооружениях допускаются нагрузки, которые значительно меньше критических, т. е. должно выполняться условие

где [F ] – допускаемая на стержень нагрузка;

n у – коэффициент запаса устойчивости, зависящий от материала, из

которого изготовлен стержень.

Обычно принимают:

Дерево – = 2,8...3,2;

Сталь – = 1,8...3,0;

Чугун – =5,0...5,5.

Таким образом, чтобы производить расчеты сжатых стержней на устойчивость, необходимо знать способы определения критических нагрузок F кр .