Hur man löser ekvationer med fjärde gradens exempel. Ekvation av fjärde graden. Lösa biquadratiska ekvationer av fjärde graden
Strax efter att Cardano publicerat en metod för att lösa kubikekvationer, hittade hans elever och anhängare sätt att reducera den allmänna ekvationen av fjärde graden till en kubikekvation. Låt oss presentera den enklaste metoden, som tillhör L. Ferrari.
När du presenterar metoden måste du använda följande elementära lemma.
Lemma. För att ett kvadratiskt trinomium ska vara kvadraten på ett linjärt binomium är det nödvändigt och tillräckligt att dess diskriminant är lika med noll.
Bevis. Nödvändighet. Låt . Sedan Tillräcklighet. Låt sedan
Tanken med den presenterade metoden är att presentera den vänstra sidan av ekvationen som skillnaden mellan två kvadrater. Sedan kan den delas upp i två faktorer av andra graden, och att lösa ekvationen kommer att leda till att lösa två andragradsekvationer. För att uppnå målet, låt oss representera vänster sida i formuläret:
Här är y ett okänd hjälpord, som måste väljas så att uttrycket inom hakparentes visar sig vara kvadraten på ett linjärt binomial. I kraft av lemma är det för detta nödvändigt och tillräckligt för att uppfylla villkoret
Detta villkor är en ekvation av tredje graden med avseende på y. Efter att ha öppnat parentesen konverteras den till formuläret
Låt vara en av rötterna till denna ekvation. Då kommer villkoret att vara uppfyllt, så det håller
för vissa k och I. Den ursprungliga ekvationen tar formen
Genom att likställa var och en av faktorerna med noll hittar vi de fyra rötterna till den ursprungliga ekvationen.
Låt oss göra en anmärkning till. Låt vara rötterna till den första faktorn, och låt vara rötterna till den andra. Sedan, lägger vi till dessa jämlikheter, får vi det
Således har vi fått ett uttryck för roten av hjälpkubikakvationen i termer av rötterna till den ursprungliga ekvationen av fjärde graden.
Exempel. Lös ekvationen. Enligt metoden som beskrivs ovan transformerar vi vänster sida:
Låt oss nu sätta . Efter formationer får vi ekvationen
Det är lätt att se att en av rötterna till denna ekvation är talet. Om vi ersätter den med den transformerade vänstra sidan av den ursprungliga ekvationen får vi:
Att likställa faktorerna till noll får vi
När det gäller ekvationer över fjärde graden var det kända några klasser av ekvationer av en relativt speciell form som möjliggjorde algebraiska lösningar i radikaler, det vill säga i form av resultaten av aritmetiska operationer och åtgärden att extrahera roten. Försök att ge lösningar på allmänna ekvationer av grad fem och högre var dock misslyckade förrän, slutligen, i början av 1800-talet. Ruffini och Abel bevisade inte att en lösning av detta slag för allmänna ekvationer över fjärde graden är omöjlig. Slutligen, 1830, lyckades den briljante franske matematikern E. Galois hitta nödvändiga och tillräckliga förutsättningar (som är ganska svåra att verifiera) för lösbarhet i radikaler specifikt för given ekvation. Samtidigt skapade och använde Galois teorin om permutationsgrupper, som var ny för hans tid.
I det allmänna fallet utförs lösningen av en fjärdegradsekvation med metoder för att lösa ekvationer för högre grader, till exempel Ferrari-metoden eller med hjälp av Horner-schemat. Men vissa 4:e gradensekvationer har en enklare lösning.
Det finns flera speciella typer av fjärdegradsekvationer, metoderna för att lösa som du kommer att lära dig nedan:
- Biquadratisk ekvation $ax^4+bx^2+c=0$;
- Ömsesidiga ekvationer av formen $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- Ekvationer av formen $ax^4+b=0$.
Lösa biquadratiska ekvationer av fjärde graden
Biaquadratiska ekvationer $ax^4+bx^2+c=0$ reduceras till andragradsekvationer genom att ersätta variabeln $x^2$ med en ny, till exempel $y$. Efter ersättningen löses den nya resulterande ekvationen, och sedan ersätts värdet på den hittade variabeln i ekvationen $x^2=y$. Resultatet av lösningen blir rötterna till ekvationen $x^2=y$.
Exempel 1
Lös ekvationen $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
Låt oss utöka parenteserna i polynomet:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
I den här formen blir det uppenbart att vi kan välja uttrycket $y=x^2-3x$ som en ny variabel; låt oss ersätta det:
$y\cdot (y+2)=24$
Låt oss nu lösa två andragradsekvationer $x^2-3x=-4$ och $x^2-3x=-6$.
Rötterna till den första ekvationen är $x_1(1,2)=4;-1$, den andra har inga lösningar.
Lösa ömsesidiga ekvationer av grad 4
Dessa ekvationer av formen $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ upprepar med sina koefficienter för termer av lägre ordning koefficienterna för polynom med högre grader. För att lösa en sådan ekvation, dividera den först med $x^2$:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
Byt sedan ut $(x+\frac(1)(x))$ med en ny variabel, sedan $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, efter substitution får vi det följande andragradsekvation:
$a(y^2-2)+by+c=0$
Efter detta letar vi efter rötterna till ekvationerna $x+\frac(1)(x)=y_1$ och $x+\frac(1)(x)=y_2$.
En liknande metod används för att lösa reciproka ekvationer av formen $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.
Exempel 2
Lös ekvationen:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
Denna ekvation är en reciprok ekvation av formen $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Därför delar vi hela ekvationen med $x^2$:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
Låt oss ersätta uttrycket $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
Låt oss beräkna rötterna till denna ekvation, de är lika med $y_1=3$ och $y_2=-\frac(7)(3)$.
Följaktligen är det nu nödvändigt att lösa två ekvationer $x+\frac(2)(x)=3$ och $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$. Lösningen till den första ekvationen är $x_1=1, x_2=2$, den andra ekvationen har inga rötter.
Därför är rötterna till den ursprungliga ekvationen $x_1=1, x_2=2$.
Ekvationer av formen $ax^4+b=0$
Rötterna till en ekvation av denna typ hittas med hjälp av förkortade multiplikationsformler.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Först måste du hitta en rot med hjälp av urvalsmetoden. Vanligtvis är det en divisor av den fria termen. I det här fallet, talets dividerare 12 är ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Låt oss börja ersätta dem en efter en:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ tal 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ tal -1 är inte en rot till ett polynom
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ tal 2 är roten till polynomet
Vi har hittat 1 av polynomets rötter. Roten till polynomet är 2, vilket betyder att det ursprungliga polynomet måste vara delbart med x - 2. För att utföra divisionen av polynom använder vi Horners schema:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
Koefficienterna för det ursprungliga polynomet visas på den översta raden. Roten vi hittade placeras i den första cellen i den andra raden 2. Den andra raden innehåller koefficienterna för polynomet som blir resultatet av division. De räknas så här:
| I den andra cellen i den andra raden skriver vi numret 2, helt enkelt genom att flytta den från motsvarande cell i den första raden. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Den sista siffran är resten av divisionen. Om det är lika med 0, så har vi räknat ut allt korrekt.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Men detta är inte slutet. Du kan försöka expandera polynomet på samma sätt 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Återigen letar vi efter en rot bland delarna av den fria termen. Taldelare -6 är ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ tal 1 är inte en rot till ett polynom
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ tal -1 är inte en rot till ett polynom
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ tal 2 är inte en rot till ett polynom
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ tal -2 är roten till polynomet
Låt oss skriva in den hittade roten i vårt Horner-schema och börja fylla i de tomma cellerna:
| I den andra cellen i den tredje raden skriver vi numret 2, helt enkelt genom att flytta den från motsvarande cell i den andra raden. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Således faktoriserade vi det ursprungliga polynomet:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Polynom 2x 2 + 5x - 3 kan också faktoriseras. För att göra detta kan du lösa andragradsekvationen genom diskriminanten, eller så kan du leta efter roten bland talets divisorer -3. På ett eller annat sätt kommer vi till slutsatsen att roten till detta polynom är talet -3
| I den andra cellen i den fjärde raden skriver vi numret 2, helt enkelt genom att flytta den från motsvarande cell i den tredje raden. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Således dekomponerade vi det ursprungliga polynomet i linjära faktorer.
Descartes-Eulers lösning
Efter att ha gjort substitutionen får vi en ekvation i följande form (den kallas "ofullständig"):
y 4 + sidy 2 + qy + r = 0 .Rötter y 1 , y 2 , y 3 , y 4 i en sådan ekvation är lika med ett av följande uttryck:
där kombinationer av tecken är valda på ett sådant sätt att följande förhållande uppfylls:
,
och z 1 , z 2 och z 3 är rötterna till kubikekvationen
Ferraris lösning
huvudartikel: Ferrari metod
Låt oss representera fjärdegradsekvationen i formen:
Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0,Dess lösning kan hittas från följande uttryck:
om β = 0, lösning u 4 + a u 2 + γ = 0 och göra ersättningen 
, låt oss hitta rötterna: . 
, (vilket som helst kvadratrottecken räcker) , (tre komplexa rötter, varav en räcker) 
Två ± s måste ha samma tecken, ± t - är oberoende. För att hitta alla rötter måste du hitta x för teckenkombinationer ± s ,± t = +,+ för +,− för −,+ för −,−. Dubbla rötter kommer att dyka upp två gånger, trippelrötter tre gånger och kvartära rötter fyra gånger. Rötternas ordning beror på vilken kubrot U vald. se även
- Lättlösta typer av 4:e gradensekvationer: Biquadratisk ekvation, ömsesidig ekvation av fjärde graden
Litteratur
- Korn G., Korn T. (1974) Handbook of Mathematics.
Länkar
- Ferraris beslut
Wikimedia Foundation. 2010.
Se vad en "fjärdegradsekvation" är i andra ordböcker:
fjärde gradens ekvation- - [L.G. Sumenko. Engelsk-rysk ordbok om informationsteknologi. M.: Statsföretaget TsNIIS, 2003.] Ämnen informationsteknologi generellt EN kvartsekvation ... Teknisk översättarguide
Graf över ett 4:e gradens polynom med fyra rötter och tre kritiska punkter. En fjärdegradsekvation i matematik är en algebraisk ekvation av formen: Fjärde graden för algebraiska ekvationerär den högsta där... ... Wikipedia
En ekvation av formen: anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 kallas reciprok om dess koefficienter i symmetriska positioner är lika, det vill säga om an − k = ak, för k = 0, 1, ..., n. Innehåll 1 Ekvation av fjärde graden ... Wikipedia
I vilken den okända termen är till fjärde potensen. En komplett ordbok över främmande ord som har kommit till användning på det ryska språket. Popov M., 1907. BIQUADRATE EKVATION från lat. bis, två gånger, och quadratum, kvadrat. Ekvationen i vilken den största grad... ... Ordbok med främmande ord i ryska språket
Tillsammans med aritmetik finns vetenskapen om siffror och, genom siffror, om kvantiteter i allmänhet. Utan att studera egenskaperna hos några bestämda, konkreta storheter, undersöker båda dessa vetenskaper egenskaperna hos abstrakta kvantiteter som sådana, oavsett... ... encyklopedisk ordbok F. Brockhaus och I.A. Efron
En uppsättning tillämpad kunskap som gör det möjligt för flygingenjörer att studera inom området aerodynamik, hållfasthetsproblem, motorbyggnad och flygdynamik hos flygplan (dvs teori) för att skapa ett nytt flygplan eller förbättra... ... Colliers uppslagsverk
Den äldsta matematiska aktiviteten var att räkna. En redovisning var nödvändig för att hålla koll på boskapen och bedriva handel. Vissa primitiva stammar räknade antalet föremål genom att matcha dem med olika delar av kroppen, främst... ... Colliers uppslagsverk
Teknikens historia efter period och region: Neolitiska revolutionen Egyptens antika teknik Vetenskap och teknik i det antika Indien Vetenskap och teknik gamla Kina Teknologier Antikens Grekland Teknologier Antika Rom Teknik i den islamiska världen... ... Wikipedia
En ekvation är ett matematiskt samband som uttrycker likheten mellan två algebraiska uttryck. Om en likhet är sann för alla tillåtna värden av de okända som ingår i den, kallas det en identitet; till exempel ett förhållande mellan formen... ... Colliers uppslagsverk
Abel Ruffinis teorem säger det allmän ekvation makter vid är inte lösbara i radikaler. Innehåll 1 Detaljer... Wikipedia
Användningen av ekvationer är utbredd i våra liv. De används i många beräkningar, konstruktion av strukturer och till och med sport. Människan använde ekvationer i antiken, och sedan dess har användningen bara ökat. Lösningar av denna typ av ekvationer kan utföras enligt det allmänna schemat för att lösa ekvationer av högre grader. Dessa typer av ekvationer har lösningar i radikaler tack vare Ferrarimetoden, som gör att man kan reducera lösningarna till en kubikekvation. Men i de flesta fall, genom att faktorisera ett polynom, kan du snabbt hitta en lösning på ekvationen.
Antag att vi får en binomialekvation av fjärde graden:
Låt oss faktorisera polynomet:
Vi bestämmer rötterna till det första kvadratiska trinomialet:
Vi bestämmer rötterna till det andra trinomialet:
Som ett resultat har den ursprungliga ekvationen fyra komplexa rötter:
Var kan jag lösa 4:e gradens ekvationer online?
Du kan lösa ekvationen på vår hemsida https://site. Den kostnadsfria onlinelösaren låter dig lösa onlineekvationer av vilken komplexitet som helst på några sekunder. Allt du behöver göra är att helt enkelt ange dina data i lösaren. Du kan också titta på videoinstruktionerna och ta reda på hur du löser ekvationen på vår hemsida Och om du har några frågor kan du ställa dem i vår VKontakte-grupp http://vk.com/pocketteacher. Gå med i vår grupp, vi hjälper dig alltid.
