Olika sätt att bevisa Pythagoras sats: exempel, beskrivning och recensioner. Självständig problemlösning
Klass: 8
Lektionens mål:
- Pedagogisk: uppnå assimilering av Pythagoras sats, ingjuta färdigheterna att beräkna den okända sidan av en rätvinklig triangel med två kända, lära ut hur man tillämpar Pythagoras sats för att lösa enkla problem
- Utvecklande: bidra till utveckling av förmågan att jämföra, observation, uppmärksamhet, utveckling av förmågan till analytiskt och syntetiskt tänkande, vidga sina vyer
- Pedagogisk: bildning av behov av kunskap, intresse för matematik
Lektionstyp: ny materialpresentationslektion
Utrustning: dator, multimediaprojektor, presentation för lektionen ( Bilaga 1)
Lektionsplanering:
- Organisera tid
- muntliga övningar
- Forskningsarbete, att lägga fram en hypotes och testa den i särskilda fall
- Förklaring av nytt material
a) Om Pythagoras
b) Påstående och bevis för satsen - Konsolidering av ovanstående genom problemlösning
- Läxor, sammanfattning av lektionen.
Under lektionerna
Bild 2: Gör övningarna
- Expandera parenteser: (3 + x) 2
- Beräkna 3 2 + x 2 för x = 1, 2, 3, 4
– Finns det ett naturligt tal vars kvadrat är 10, 13, 18, 25? - Hitta arean av en kvadrat med sidorna 11 cm, 50 cm, 7 dm.
Vad är formeln för arean av en kvadrat?
Hur hittar man arean av en rätvinklig triangel?
Bild 3: Fråga Svar
– En vinkel vars mått är 90°. (Hetero)
Sidan mitt emot triangelns räta vinkel. (Hypotenusa)
- Triangel, kvadrat, trapets, cirkel - dessa är geometriska ... (Former)
- Den mindre sidan av en rätvinklig triangel. (Katet)
- En figur som bildas av två strålar som utgår från en punkt. (Hörn)
- Ett segment av en vinkelrät ritad från toppen av en triangel till linjen som innehåller den motsatta sidan. (Höjd)
- En triangel med två lika sidor . (Likbent)
Bild 4: En uppgift
Konstruera en rätvinklig triangel med sidorna 3 cm, 4 cm och 6 cm.
Uppgiften är uppdelad i rader.
| 1 rad | 2 rad | 3 rad | |
| ben a | 3 | 3 | |
| ben b | 4 | 4 | |
| Hypotenusa Med | 6 | 6 |
Frågor:
- Fick någon en triangel med givna sidor?
– Vad kan slutsatsen bli? (En rätvinklig triangel kan inte definieras godtyckligt. Det finns ett beroende mellan dess sidor).
- Mät de resulterande sidorna. ( Det ungefärliga genomsnittliga resultatet från varje rad anges i tabellen)
| 1 rad | 2 rad | 3 rad | |
| ben a | 3 | 3 | ~4,5 |
| ben b | 4 | ~5,2 | 4 |
| Hypotenusa Med | ~5 | 6 | 6 |
- Försök att fastställa ett samband mellan benen och hypotenusan i vart och ett av fallen.
(Det föreslås att man återkallar muntliga övningar och kontrollerar samma förhållande mellan andra siffror).
– Uppmärksamhet uppmärksammas på att det exakta resultatet inte kommer att fungera, eftersom. mätningar kan inte anses vara korrekta.
Läraren ber om gissningar (hypoteser): eleverna formulerar.
– Ja, verkligen, det finns ett samband mellan hypotenusan och benen, och den första som bevisade att det var vetenskapsmannen vars namn du själv kommer att namnge. Denna sats är uppkallad efter honom.
Bild 5: Dechiffrera
Bild 6: Pythagoras från Samos
Vem kommer att namnge ämnet för dagens lektion?
Elever i anteckningsböcker skriver ner ämnet för lektionen: "Pythagores sats"
Pythagoras sats är en av geometrins huvudsatser. Med dess hjälp bevisas många andra teorem och problem från olika områden löses: fysik, astronomi, konstruktion etc. Det var känt långt innan Pythagoras bevisade det. De forntida egyptierna använde det när man byggde en rätvinklig triangel med sidor av 3, 4 och 5 enheter med hjälp av ett rep för att bygga räta vinklar när man lägger byggnader, pyramider. Därför kallas en sådan triangel Egyptisk triangel.
Det finns över trehundra sätt att bevisa detta teorem. Vi ska titta på en av dem idag.
Bild 7: Pythagoras sats
Sats: I en rätvinklig triangel är hypotenusans kvadrat lika med summan av benens kvadrater.
Given:
Rätt triangel,
a, b - ben, Med- hypotenusa
Bevisa:
Bevis.
1. Vi fortsätter benen i en rätvinklig triangel: ben a- för längd b, ben b- för längd a.
Vilken form kan en triangel byggas till? Varför upp till en kvadrat? Vilken sida blir torget?
2. Vi kompletterar triangeln till en kvadrat med en sida a + b.
Hur kan du hitta arean på detta torg?
3. Torgets yta är
- Låt oss dela upp kvadraten i delar: 4 trianglar och en kvadrat med sidan c.
Hur kan du annars hitta arean på det ursprungliga torget?
Varför är de resulterande rätvinkliga trianglarna kongruenta?
4. Å andra sidan,
5. Jämför de resulterande likheterna:
Teoremet har bevisats.
Det finns en komisk formulering av detta teorem: "Pythagoreiska byxor är lika i alla riktningar." Förmodligen beror en sådan formulering på det faktum att denna sats ursprungligen fastställdes för en likbent rätvinklig triangel. Dessutom lät det lite annorlunda: "Arean av en kvadrat byggd på hypotenusan i en rät triangel är lika med summan av arean av kvadrater byggda på dess ben."
Bild 8: En annan formulering av Pythagoras sats
Och jag ska ge dig en annan formulering av denna sats i vers:
Om vi får en triangel
Och dessutom, med rät vinkel,
Det är kvadraten på hypotenusan
Vi kan alltid enkelt hitta:
Vi bygger benen i en fyrkant,
Vi hittar summan av grader
Och på ett så enkelt sätt
Vi kommer till resultatet.
- Så idag har du bekantat dig med den mest kända planimetrisatsen - Pythagoras sats. Hur formuleras Pythagoras sats? Hur kan det annars formuleras?
Primär fixering av materialet
Bild 9: Lösning av problem enligt färdiga ritningar.
Bild 10: Lösa problem i en anteckningsbok
Tre elever kallas till styrelsen samtidigt för att lösa problem.
Bild 11: Problem med den indiska matematikern Bhaskara från 1100-talet
Sammanfattning av lektionen:
Vad lärde du dig för nytt på lektionen idag?
- Formulera Pythagoras sats.
– Vad lärde du dig att göra på lektionen?
Läxa:
– Lär dig Pythagoras sats med bevis
- Uppgifter från lärobok nr 483 c, d; Nr 484 in, stad av
– För mer avancerade elever: hitta andra bevis på Pythagoras sats, lär dig ett av dem.
Klassens arbete som helhet utvärderas, vilket lyfter fram enskilda elever.
Lektion om ämnet: "Pythagores sats"
Typ av lektion: lektion att lära nytt material. (enligt läroboken "Geometry, 7–9", en lärobok för utbildningsinstitutioner; L.S. Atanasyan et al. - 12:e upplagan - M .: Education, 2009).
Mål:
introducera eleverna till Pythagoras sats och historisk information relaterad till denna sats; utveckla intresse för studier av matematik, logiskt tänkande; Uppmärksamhet.
Under lektionerna:
1. Organisatoriskt ögonblick.
BILD 2 Sagan "Hus".
Ämnet för vår lektion är "Pythagores sats". Idag i lektionen kommer vi att bekanta oss med Pythagoras biografi, vi kommer att studera en av antikens mest kända geometriska satser, kallad Pythagoras sats, en av planimetrins huvudsatser.
2. Aktualisering av kunskap.(Förberedelse för studiet av nytt material, det material som kommer att behövas för att bevisa satsen upprepas)
1) Frågor:
Vilken fyrhörning kallas en kvadrat?
Hur hittar man arean på en kvadrat?
Vilken triangel kallas en rätvinklig triangel?
Vad kallas sidorna i en rätvinklig triangel?
Hur hittar man arean av en rätvinklig triangel?
3. Att lära sig nytt material.
1) Historik referens.
BILD 3 och 4.
Den store vetenskapsmannen Pythagoras föddes omkring 570 f.Kr. på ön Samos. Pythagoras far var Mnesarchus, en ädelstenshuggare. Namnet på Pythagoras mamma är okänt. Enligt många gamla vittnesmål var den födda pojken fantastiskt vacker och visade snart sina enastående förmågor. Som vilken pappa som helst drömde Mnesarchus att hans son skulle fortsätta sitt arbete - guldsmedshantverket. Livet bedömde annorlunda. Den blivande store matematikern och filosofen visade redan i barndomen stora förmågor för vetenskaperna.
Pythagoras tillskrivs att han studerat egenskaperna hos heltal och proportioner, bevisat Pythagoras sats etc. Pythagoras är inte ett namn, utan ett smeknamn som filosofen fick för att alltid tala korrekt och övertygande, som ett grekiskt orakel. (Pythagoras - "övertygande tal".)
Med sina tal skaffade han 2 000 elever, som tillsammans med sina familjer bildade en skolstat, där Pythagoras lagar och regler gällde. Pythagoras skola, eller, som den också kallas, Pythagoras union, var på samma gång en filosofisk skola, ett politiskt parti och ett religiöst brödraskap.
Pythagoreernas favoritgeometriska figur var pentagrammet, även kallad Pythagoras stjärna. Pythagoréerna använde denna figur och ritade den i sanden för att hälsa och känna igen varandra. Pentagrammet fungerade som deras lösenord och var en symbol för hälsa och lycka.
Traditionen säger att när Pythagoras kom till satsen som bär hans namn, förde han 100 tjurar till gudarna. År 500 f.Kr. dödades Pythagoras i ett gatuslagsmål under ett folkligt uppror. För närvarande finns det cirka 200 bevis för Pythagoras sats.
Uttalande av satsen
2) Bevis för satsen.
Låt oss bygga en rektangel till en kvadrat med sidan a + b.
Barnen, med hjälp av en lärare, bevisar satsen enligt ritningen och skriver sedan beviset i en anteckningsbok.
Bevis:
kvadratisk yta
- satsen är bevisad.
4. Primär konsolidering av kunskap.
Läroboksarbete (Tillämpning av Pythagoras sats på problemlösning).
Problem löses på tavlan och i anteckningsböcker.
Slutsats: med hjälp av Pythagoras sats kan du lösa två typer av problem:
1. Hitta hypotenusan för en rätvinklig triangel om benen är kända.
2. Hitta benet om hypotenusan och det andra benet är kända.
.
5. Självständig problemlösning.
nr 483 (b), 484 (b)
6. Läxor: P 54, nr 483 (d), 484 (d).
7. Resultatet av lektionen.
Vad lärde du dig för nytt på lektionen idag?
För vilka trianglar gäller Pythagoras sats?
Avsluta lektionen med en dikt.
Många känner till Chamissos sonett:
Sanningen kommer att förbli evig, hur snart
En svag person kommer att veta det!
Och nu Pythagoras sats
Verna, som i sin avlägsna ålder.
Offret var rikligt
Gudar från Pythagoras. Hundra tjurar
Han gav till slakt och bränning
Bakom ljuset finns en stråle som kom från molnen.
Därför ända sedan dess
En liten sanning föds in i världen,
Tjurarna ryter och känner att hon följer efter.
De kan inte stoppa ljuset
Och kan bara blunda för att darra
Från rädslan som Pythagoras ingjutit i dem.
Fråga - svar Vinkel vars mått är 90° DIREKT Sidan som ligger mitt emot triangelns räta vinkel HYPOTENUS Triangel, kvadrat, trapets, cirkel är geometriska ... FIGURER Den mindre sidan av en rätvinklig triangel CATETH Figuren som bildas av två strålar som utgår från en punkt VINKEL Vinkelrätt segment ritat från toppen av en triangel till linjen som innehåller den motsatta sidan HÖJD En triangel vars två sidor är lika likbenta
Pythagoras från Samos (ca 580 - ca 500 f.Kr.) antik grekisk matematiker och filosof. Född på ön Samos. Han organiserade sin egen skola - Pythagoras skola (Pythagoreiska unionen), som på samma gång var en filosofisk skola, ett politiskt parti och ett religiöst brödraskap. Han var den förste som bevisade sambandet mellan hypotenusan och benen i en rätvinklig triangel.
Problemet med den indiska matematikern från 1200-talet Bhaskara På stranden av floden växte en ensam poppel. Plötsligt bröt en vindpust dess bål. Den stackars poppeln har fallit. Och vinkeln på en rak linje Med flodens lopp var dess stam. Kom nu ihåg att på denna plats var floden B bara fyra fot bred. Huvudet lutade sig mot kanten av floden. Det är bara tre fot kvar från stammen, jag ber dig, säg mig snart nu: Hur högt är poppelträdet?
Shapovalova L.A. (station Egorlykskaya, MBOU ESOSH nr 11)
1. Glazer G.I. Matematikens historia i skolan VII - VIII årskurser, en vägledning för lärare, - M: Education, 1982.
2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. "Bakom sidorna i en matematiklärobok" Handbok för elever i årskurs 5-6. – M.: Upplysningen, 1989.
3. Zenkevich I.G. "Matematiklektionens estetik". – M.: Upplysning, 1981.
4. Litzman V. Pythagoras sats. - M., 1960.
5. Voloshinov A.V. "Pythagoras". - M., 1993.
6. Pichurin L.F. "Bortom sidorna i en algebra lärobok". - M., 1990.
7. Zemljakov A.N. "Geometri i 10:e klass." - M., 1986.
8. Tidningen "Matematik" 17/1996.
9. Tidningen "Matematik" 3/1997.
10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Samling av problem i elementär matematik". - M., 1963.
11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Matematikhandbok". - M., 1973.
12. Shchetnikov A.I. "Den pythagoreiska läran om antal och storlek". - Novosibirsk, 1997.
13. ”Reella siffror. Irrationella uttryck» Årskurs 8. Tomsk University Press. – Tomsk, 1997.
14. Atanasyan M.S. "Geometri" årskurs 7-9. – M.: Upplysningen, 1991.
15. URL: www.moypifagor.narod.ru/
16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.
Det här läsåret bekantade jag mig med en intressant sats, känd, som det visade sig, från antiken:
"Kvadraten byggd på hypotenusan av en rätvinklig triangel är lika med summan av kvadraterna byggda på benen."
Vanligtvis tillskrivs upptäckten av detta uttalande den antika grekiska filosofen och matematikern Pythagoras (VI-talet f.Kr.). Men studiet av gamla manuskript visade att detta uttalande var känt långt före Pythagoras födelse.
Jag undrade varför det i det här fallet är förknippat med namnet Pythagoras.
Ämnets relevans: Pythagoras sats är av stor betydelse: den används i geometri bokstavligen vid varje steg. Jag tror att Pythagoras verk fortfarande är relevanta, för var vi än tittar kan vi överallt se frukterna av hans stora idéer, förkroppsligade i olika grenar av det moderna livet.
Syftet med min forskning var: att ta reda på vem Pythagoras var, och vilken relation han har till detta teorem.
När jag studerade teoremets historia bestämde jag mig för att ta reda på:
Finns det andra bevis för denna sats?
Vilken betydelse har denna sats i människors liv?
Vilken roll spelade Pythagoras i utvecklingen av matematiken?
Från biografin om Pythagoras
Pythagoras från Samos är en stor grekisk vetenskapsman. Dess berömmelse är förknippad med namnet på Pythagoras sats. Även om vi nu redan vet att denna sats var känd i det forntida Babylon 1200 år före Pythagoras, och i Egypten 2000 år före honom var en rätvinklig triangel med sidorna 3, 4, 5 känd, kallar vi den fortfarande vid namnet på denna forntida forskare.
Nästan ingenting är säkert känt om Pythagoras liv, men ett stort antal legender är förknippade med hans namn.
Pythagoras föddes 570 f.Kr. på ön Samos.
Pythagoras hade ett vackert utseende, bar ett långt skägg och ett gyllene diadem på huvudet. Pythagoras är inte ett namn, utan ett smeknamn som filosofen fick för att alltid tala korrekt och övertygande, som ett grekiskt orakel. (Pythagoras - "övertygande tal").
År 550 f.Kr. fattar Pythagoras ett beslut och åker till Egypten. Så, ett okänt land och en okänd kultur öppnar sig före Pythagoras. Mycket förvånad och förvånad Pythagoras i detta land, och efter några observationer av egyptiernas liv insåg Pythagoras att vägen till kunskap, skyddad av prästernes kast, ligger genom religionen.
Efter elva års studier i Egypten åker Pythagoras till sitt hemland, där han på vägen hamnar i babylonisk fångenskap. Där bekantar han sig med den babyloniska vetenskapen, som var mer utvecklad än den egyptiska. Babylonierna visste hur man löser linjära, kvadratiska och vissa typer av kubiska ekvationer. Efter att ha rymt från fångenskapen kunde han inte stanna länge i sitt hemland på grund av atmosfären av våld och tyranni som härskade där. Han bestämde sig för att flytta till Croton (en grekisk koloni i norra Italien).
Det är i Croton som den mest härliga perioden i Pythagoras liv börjar. Där etablerade han något som liknade ett religiöst-etiskt brödraskap eller en hemlig klosterordning, vars medlemmar var skyldiga att leda den så kallade pytagoreiska livsstilen.
Pythagoras och pytagoreerna
Pythagoras organiserade i den grekiska kolonin på södra Apenninska halvön ett religiöst och etiskt brödraskap, såsom en klosterordning, som senare skulle kallas Pythagoras Union. Förbundets medlemmar var tvungna att hålla sig till vissa principer: för det första att sträva efter det vackra och härliga, för det andra att vara användbart och för det tredje att sträva efter hög njutning.
Systemet med moraliska och etiska regler, som Pythagoras testamenterade till sina elever, sammanställdes till ett slags moralisk kod för de pytagoreiska "Gyllene verserna", som var mycket populära under antikens, medeltiden och renässansen.
Det pythagoriska studiesystemet bestod av tre sektioner:
Lärdomar om siffror - aritmetik,
Lärdomar om figurer - geometri,
Lärdomar om universums struktur - astronomi.
Utbildningssystemet som Pythagoras fastställde varade i många århundraden.
Pythagoras skola gjorde mycket för att ge geometrin karaktären av en vetenskap. Huvuddragen i den pythagoriska metoden var kombinationen av geometri med aritmetik.
Pythagoras sysslade mycket med proportioner och progressioner och förmodligen med likheten mellan figurer, eftersom han är krediterad för att ha löst problemet: "Konstruera en tredje, lika stor som en av uppgifterna och liknande den andra, baserat på givet två siffror."
Pythagoras och hans elever introducerade begreppet polygonala, vänliga, perfekta tal och studerade deras egenskaper. Aritmetiken, som räkneövning, intresserade inte Pythagoras, och han förklarade stolt att han "satte aritmetiken över köpmannens intressen".
Medlemmar av Pythagoras unionen var invånare i många städer i Grekland.
Pytagoreerna accepterade också kvinnor i sitt samhälle. Unionen blomstrade i mer än tjugo år, och sedan började förföljelsen av dess medlemmar, många av studenterna dödades.
Det fanns många olika legender om själva Pythagoras död. Men Pythagoras och hans lärjungars lära fortsatte att leva.
Från historien om skapandet av Pythagoras sats
Det är för närvarande känt att denna sats inte upptäcktes av Pythagoras. Vissa tror dock att det var Pythagoras som först gav sitt fullständiga bevis, medan andra förnekar honom denna förtjänst. Vissa tillskriver Pythagoras det bevis som Euklids ger i den första boken av sina element. Å andra sidan hävdar Proclus att beviset i elementen beror på Euklid själv. Som vi kan se har matematikens historia nästan inga tillförlitliga konkreta uppgifter om Pythagoras liv och hans matematiska verksamhet.
Låt oss börja vår historiska genomgång av Pythagoras sats med det antika Kina. Här väcker den matematiska boken Chu-pei särskild uppmärksamhet. Den här uppsatsen säger så här om den pytagoreiska triangeln med sidorna 3, 4 och 5:
"Om en rät vinkel sönderdelas i dess beståndsdelar, kommer linjen som förbinder ändarna av dess sidor att vara 5 när basen är 3 och höjden är 4."
Det är mycket lätt att återskapa deras konstruktionsmetod. Ta ett rep som är 12 m långt och bind det till det längs en färgad remsa på ett avstånd av 3 m. från ena änden och 4 meter från den andra. En rät vinkel kommer att omslutas mellan sidorna 3 och 4 meter långa.
Geometrin bland hinduerna var nära förbunden med kulten. Det är mycket troligt att hypotenusa-kvadratsatsen redan var känd i Indien runt 800-talet f.Kr. Tillsammans med rent rituella föreskrifter finns verk av geometriskt teologisk karaktär. I dessa skrifter, som går tillbaka till 400- eller 500-talet f.Kr., möter vi konstruktionen av en rät vinkel med hjälp av en triangel med sidorna 15, 36, 39.
På medeltiden definierade Pythagoras sats gränsen, om inte av största möjliga, så åtminstone för god matematisk kunskap. Den karakteristiska teckningen av Pythagoras sats, som nu ibland förvandlas av skolbarn, till exempel till en hög hatt klädd i en mantel av en professor eller en man, användes ofta på den tiden som en symbol för matematik.
Avslutningsvis presenterar vi olika formuleringar av Pythagoras sats översatt från grekiska, latin och tyska.
Euklids teorem lyder (bokstavlig översättning):
"I en rätvinklig triangel är kvadraten på sidan som spänner över den räta vinkeln lika med kvadraterna på sidorna som omsluter den räta vinkeln."
Som du kan se, i olika länder och olika språk finns det olika versioner av formuleringen av det välbekanta teoremet. Skapat vid olika tidpunkter och på olika språk, de återspeglar kärnan i ett matematiskt mönster, vars bevis också har flera alternativ.
Fem sätt att bevisa Pythagoras sats
gamla kinesiska bevis
I en gammal kinesisk ritning är fyra lika rätvinkliga trianglar med benen a, b och hypotenusan c staplade så att deras yttre kontur bildar en kvadrat med sidan a + b, och den inre bildar en kvadrat med sidan c, byggd på hypotenusa
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
Bevis av J. Gardfield (1882)
Låt oss ordna två lika rätvinkliga trianglar så att benet på en av dem är en fortsättning på den andra.
Arean av trapetsen i fråga återfinns som produkten av halva summan av baserna och höjden
Å andra sidan är arean av trapetsen lika med summan av ytorna av de resulterande trianglarna:
Genom att likställa dessa uttryck får vi:
Beviset är enkelt
Detta bevis erhålls i det enklaste fallet med en likbent rätvinklig triangel.
Förmodligen började teoremet med honom.
Det räcker faktiskt att bara titta på plattsättningen av likbenta rätvinkliga trianglar för att se att satsen är sann.
Till exempel för triangeln ABC: kvadraten som är byggd på hypotenusan AC innehåller 4 initiala trianglar, och kvadraterna som är byggda på benen innehåller två. Teoremet har bevisats.
Bevis på de gamla hinduerna
En kvadrat med en sida (a + b), kan delas upp i delar antingen som i fig. 12. a, eller som i fig. 12b. Det är tydligt att delarna 1, 2, 3, 4 är desamma i båda figurerna. Och om lika subtraheras från lika (areor), så kommer lika att finnas kvar, d.v.s. c2 = a2 + b2.
Euklids bevis
Under två årtusenden var det vanligaste beviset för Pythagoras sats, uppfunnet av Euklid. Det är placerat i hans berömda bok "Beginnings".
Euklids sänkte höjden BH från spetsen av den räta vinkeln till hypotenusan och bevisade att dess förlängning delar kvadraten på hypotenusan i två rektanglar, vars area är lika med arean av motsvarande kvadrater byggda på benen.
Ritningen som används i beviset för denna sats kallas skämtsamt "Pythagoreiska byxor". Under lång tid ansågs han vara en av symbolerna för matematisk vetenskap.
Tillämpning av Pythagoras sats
Betydelsen av Pythagoras sats ligger i det faktum att de flesta av geometrins satser kan härledas från den eller med dess hjälp och många problem kan lösas. Dessutom är den praktiska betydelsen av Pythagoras sats och dess inversa sats att de kan användas för att hitta längderna på segment utan att mäta själva segmenten. Detta öppnar liksom vägen från en rak linje till ett plan, från ett plan till det volymetriska rummet och bortom. Det är av denna anledning som Pythagoras sats är så viktig för mänskligheten, som försöker upptäcka fler dimensioner och skapa teknologier i dessa dimensioner.
Slutsats
Pythagoras sats är så känd att det är svårt att föreställa sig en person som inte har hört talas om det. Jag lärde mig att det finns flera sätt att bevisa Pythagoras sats. Jag studerade ett antal historiska och matematiska källor, inklusive information på Internet, och insåg att Pythagoras sats är intressant inte bara för sin historia, utan också för att den intar en viktig plats i livet och vetenskapen. Detta bevisas av de olika tolkningarna av texten i detta teorem som jag har gett i denna artikel och sätten för dess bevis.
Så, Pythagoras sats är en av de viktigaste och, kan man säga, den viktigaste satsen inom geometri. Dess betydelse ligger i det faktum att de flesta av geometrins satser kan härledas från den eller med dess hjälp. Pythagoras sats är också anmärkningsvärd genom att den i sig inte alls är självklar. Till exempel kan egenskaperna hos en likbent triangel ses direkt på ritningen. Men oavsett hur mycket du tittar på en rätvinklig triangel kommer du aldrig att se att det finns en enkel relation mellan dess sidor: c2 = a2 + b2. Därför används visualisering ofta för att bevisa det. Förtjänsten med Pythagoras var att han gav ett fullständigt vetenskapligt bevis för detta teorem. Forskarens personlighet, vars minne inte av misstag bevaras av detta teorem, är intressant. Pythagoras är en underbar talare, lärare och utbildare, arrangören av sin skola, fokuserad på harmonin mellan musik och siffror, godhet och rättvisa, kunskap och en hälsosam livsstil. Han kan mycket väl tjäna som ett exempel för oss, avlägsna ättlingar.
Bibliografisk länk
Tumanova S.V. FLERA SÄTT ATT BEVISA PYTHAGOREANS SÄTNING // Börja med naturvetenskap. - 2016. - Nr 2. - P. 91-95;URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (åtkomstdatum: 01/10/2020).
Pythagoras sats- en av de grundläggande satserna i euklidisk geometri, som etablerar sambandet
mellan sidorna av en rätvinklig triangel.
Man tror att det bevisades av den grekiske matematikern Pythagoras, som det är uppkallat efter.
Geometrisk formulering av Pythagoras sats.
Teoremet formulerades ursprungligen enligt följande:
I en rätvinklig triangel är arean av kvadraten byggd på hypotenusan lika med summan av kvadraternas arealer,
byggd på katetrar.
Algebraisk formulering av Pythagoras sats.
I en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusans längd lika med summan av kvadraterna på benens längder.
Det vill säga anger längden på triangelns hypotenusa genom c, och längden på benen igenom a och b:
Båda formuleringarna pythagoras satserär likvärdiga, men den andra formuleringen är mer elementär, det gör den inte
kräver områdesbegreppet. Det vill säga att det andra påståendet kan verifieras utan att veta något om området och
genom att bara mäta längderna på sidorna i en rätvinklig triangel.
Den omvända Pythagoras sats.
Om kvadraten på en sida av en triangel är lika med summan av kvadraterna på de andra två sidorna, då
triangeln är rektangulär.
Eller med andra ord:
För varje trippel av positiva tal a, b och c, Så att
det finns en rätvinklig triangel med ben a och b och hypotenusa c.
Pythagoras sats för en likbent triangel.
Pythagoras sats för en liksidig triangel.
Bevis för Pythagoras sats.
För tillfället har 367 bevis för detta teorem registrerats i den vetenskapliga litteraturen. Förmodligen satsen
Pythagoras är den enda satsen med ett så imponerande antal bevis. Sådan mångfald
kan endast förklaras av satsens grundläggande betydelse för geometrin.
Naturligtvis, konceptuellt, kan alla delas in i ett litet antal klasser. Den mest kända av dem:
bevis på områdesmetod, axiomatisk och exotiska bevis(till exempel,
genom att använda differentialekvationer).
1. Bevis för Pythagoras sats i termer av liknande trianglar.
Följande bevis för den algebraiska formuleringen är det enklaste av de konstruerade bevisen
direkt från axiomen. I synnerhet använder den inte begreppet arean av en figur.
Låta ABC det finns en rätvinklig triangel C. Låt oss rita en höjd från C och beteckna
dess grund genom H.
Triangel ACH liknar en triangel AB C på två hörn. Likaså triangeln CBH liknande ABC.
Genom att introducera notationen:
vi får:
,
som matchar -
Att ha vikt a 2 och b 2, vi får:
eller , som skulle bevisas.
2. Bevis för Pythagoras sats med areametoden.
Följande bevis är, trots sin uppenbara enkelhet, inte alls så enkla. Allihopa
använd områdets egenskaper, vars bevis är mer komplicerat än beviset för själva Pythagoras sats.
- Bevis genom ekvikomplementering.
Ordna fyra lika rektangulära
triangel som visas på bilden
till höger.
Fyrkant med sidor c- fyrkantig,
eftersom summan av två spetsiga vinklar är 90°, och
den utvecklade vinkeln är 180°.
Arean av hela figuren är å ena sidan,
arean av en kvadrat med sida ( a+b), och å andra sidan, summan av areorna av fyra trianglar och
Q.E.D.
3. Bevis för Pythagoras sats med den infinitesimala metoden.
Med tanke på ritningen som visas i figuren, och
se sidan ändrasa, vi kan
skriv följande relation för oändlig
små sidostegMed och a(med hjälp av likhet
trianglar):
Med hjälp av metoden för separation av variabler finner vi:
Ett mer allmänt uttryck för att ändra hypotenusan i fallet med ökningar av båda benen:
Genom att integrera denna ekvation och använda de initiala villkoren får vi:
Därmed kommer vi fram till det önskade svaret:
Som det är lätt att se, visas det kvadratiska beroendet i den slutliga formeln på grund av det linjära
proportionalitet mellan triangelns sidor och inkrementen, medan summan är relaterad till den oberoende
bidrag från ökningen av olika ben.
Ett enklare bevis kan erhållas om vi antar att ett av benen inte upplever en ökning
(i det här fallet benet b). Sedan får vi för integrationskonstanten:
