Annonsering på portalen

Extraläxa - nummermodul. Det absoluta värdet av ett tal. Kompletta lektioner - Knowledge Hypermarket Modulen för ett icke-negativt tal är ett icke-negativt tal

Lektionens mål

Att introducera skolbarn till ett sådant matematiskt begrepp som modulen för ett tal;
Att lära skolbarn färdigheterna att hitta moduler med siffror;
Förstärk det inlärda materialet genom att utföra olika uppgifter;

Uppgifter

Stärka barns kunskap om talmodulen;
Genom att lösa testuppgifter, kontrollera hur eleverna bemästrat det studerade materialet;
Fortsätt att väcka intresse för matematiklektioner;
Att odla logiskt tänkande, nyfikenhet och uthållighet hos skolbarn.

Lektionsplanering

1. Allmänna begrepp och definition av ett tals modul.
2. Modulens geometriska betydelse.
3. Modulen för ett tal och dess egenskaper.
4. Lösa ekvationer och olikheter som innehåller modulen för ett tal.
5. Historisk information om termen "modul för ett tal".
6. Uppgift att befästa kunskapen om det behandlade ämnet.
7. Läxor.

Allmänna begrepp om ett tals modul

Modulen för ett tal brukar kallas för själva talet om det inte har ett negativt värde, eller samma tal är negativt, men med motsatt tecken.

Det vill säga, modulen för ett icke-negativt reellt tal a är själva talet:

Och modulen för ett negativt reellt tal x är det motsatta talet:

Vid inspelning kommer det se ut så här:

För en mer tillgänglig förståelse, låt oss ge ett exempel. Så till exempel är modulen för talet 3 3, och även modulen för talet -3 är 3.

Av detta följer att modulen för ett tal betyder ett absolut värde, det vill säga dess absoluta värde, men utan att ta hänsyn till dess tecken. För att uttrycka det ännu enklare är det nödvändigt att ta bort tecknet från numret.

Modulen för ett nummer kan betecknas och se ut så här: |3|, |x|, |a| etc.

Så, till exempel, modulen för talet 3 betecknas |3|.

Man bör också komma ihåg att modulen för ett tal aldrig är negativ: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12.45| = 12.45 osv.

Geometrisk betydelse av modulen

Modulen för ett tal är avståndet som mäts i enhetssegment från origo till punkten. Denna definition avslöjar modulen ur en geometrisk synvinkel.

Låt oss ta en koordinatlinje och ange två punkter på den. Låt dessa punkter motsvara siffror som −4 och 2.



Låt oss nu uppmärksamma denna figur. Vi ser att punkt A, indikerad på koordinatlinjen, motsvarar siffran -4, och om du tittar noga ser du att denna punkt ligger på ett avstånd av 4 enhetssegment från referenspunkten 0. Det följer att längden på segment OA är lika med fyra enheter. I detta fall kommer längden på segmentet OA, det vill säga talet 4, att vara modulen för talet -4.

I det här fallet betecknas och skrivs modulen för ett tal på detta sätt: |−4| = 4.

Låt oss nu ta och utse punkt B på koordinatlinjen.

Denna punkt B kommer att motsvara talet +2, och, som vi ser, ligger den på ett avstånd av två enhetssegment från origo. Av detta följer att längden på segmentet OB är lika med två enheter. I det här fallet kommer talet 2 att vara modulen för talet +2.

I inspelningen kommer det att se ut så här: |+2| = 2 eller |2| = 2.

Låt oss nu sammanfatta. Om vi ​​tar något okänt tal a och betecknar det på koordinatlinjen som punkt A, så är i detta fall avståndet från punkt A till origo, det vill säga längden på segmentet OA, exakt modulen för talet "a ”.

I skrift kommer det att se ut så här: |a| = OA.

Modulen för ett tal och dess egenskaper

Låt oss nu försöka lyfta fram egenskaperna hos modulen, överväga alla möjliga fall och skriv dem med hjälp av bokstavliga uttryck:

För det första är modulen för ett tal ett icke-negativt tal, vilket betyder att modulen för ett positivt tal är lika med själva talet: |a| = a, om a > 0;

För det andra är modulerna som består av motsatta tal lika: |a| = |–a|. Det vill säga, den här egenskapen talar om för oss att motsatta tal alltid har lika stora moduler, precis som på en koordinatlinje, även om de har motsatta tal är de på samma avstånd från referenspunkten. Det följer av detta att modulerna för dessa motsatta tal är lika.

För det tredje är nollmodulen lika med noll om detta tal är noll: |0| = 0 om a = 0. Här kan vi med säkerhet säga att nollmodulen är noll per definition, eftersom den motsvarar origo för koordinatlinjen.

Den fjärde egenskapen hos en modul är att modulen för produkten av två tal är lika med produkten av modulerna för dessa tal. Låt oss nu titta närmare på vad detta betyder. Om vi ​​följer definitionen så vet du och jag att modulen för produkten av talen a och b kommer att vara lika med a b, eller −(a b), om a b ≥ 0, eller – (a b), om a b är större än 0. B spelar in kommer det att se ut så här: |a b| = |a| |b|.

Den femte egenskapen är att modulen för kvoten av tal är lika med förhållandet mellan modulerna för dessa tal: |a: b| = |a| : |b|.

Och följande egenskaper för nummermodulen:



Lösa ekvationer och olikheter som involverar modulen för ett tal

När du börjar lösa problem som har en talmodul bör du komma ihåg att för att lösa en sådan uppgift är det nödvändigt att avslöja modulens tecken med hjälp av kunskap om egenskaperna som detta problem motsvarar.

Övning 1

Så, till exempel, om det under modultecknet finns ett uttryck som beror på en variabel, bör modulen utökas i enlighet med definitionen:


Naturligtvis, när man löser problem, finns det fall då modulen avslöjas unikt. Om vi ​​till exempel tar

, här ser vi att ett sådant uttryck under modultecknet är icke-negativt för alla värden på x och y.

Eller, till exempel, låt oss ta

, ser vi att detta moduluttryck inte är positivt för några värden på z.

Uppgift 2

En koordinatlinje visas framför dig. På denna rad är det nödvändigt att markera talen vars modul kommer att vara lika med 2.



Lösning

Först och främst måste vi dra en koordinatlinje. Du vet redan att för att göra detta måste du först på den raka linjen välja ursprung, riktning och enhetssegment. Därefter måste vi placera punkter från origo som är lika med avståndet mellan två enhetssegment.

Som du kan se finns det två sådana punkter på koordinatlinjen, varav den ena motsvarar siffran -2 och den andra siffran 2.

Historisk information om talmodulen

Termen "modul" kommer från det latinska namnet modulus, som betyder "mått". Denna term myntades av den engelske matematikern Roger Cotes. Men modultecknet introducerades tack vare den tyske matematikern Karl Weierstrass. När den skrivs betecknas en modul med följande symbol: | |.

Frågor för att konsolidera kunskapen om materialet

I dagens lektion bekantade vi oss med ett sådant koncept som modulen för ett tal, och låt oss nu kontrollera hur du har bemästrat detta ämne genom att svara på frågorna:

1. Vad heter talet som är motsatsen till ett positivt tal?
2. Vad heter talet som är motsatsen till ett negativt tal?
3. Namnge talet som är motsatsen till noll. Finns ett sådant nummer?
4. Namnge ett tal som inte kan vara en modul för ett tal.
5. Definiera modulen för ett tal.

Läxa

1. Framför dig finns nummer som du behöver ordna i fallande ordning på moduler. Om du slutför uppgiften korrekt kommer du att få reda på namnet på den person som först introducerade termen "modul" i matematik.



2. Rita en koordinatlinje och hitta avståndet från M (-5) och K (8) till origo.

Ämnen > Matematik > Matematik 6:e klass

Idag, vänner, kommer det inte att finnas någon snor eller sentimentalitet. Istället kommer jag att skicka dig, inga frågor ställda, i strid med en av de mest formidabla motståndarna i algebrakursen 8-9.

Ja, du förstod allt rätt: vi pratar om ojämlikheter med modul. Vi kommer att titta på fyra grundläggande tekniker med vilka du lär dig att lösa cirka 90 % av sådana problem. Hur är det med de återstående 10%? Tja, vi ska prata om dem i en separat lektion. :)

Men innan jag analyserar någon av teknikerna vill jag påminna dig om två fakta som du redan behöver veta. Annars riskerar du att inte förstå materialet i dagens lektion alls.

Vad du redan behöver veta

Captain Obviousness verkar antyda att för att lösa ojämlikheter med modul behöver du veta två saker:

  1. Hur ojämlikheter löses;
  2. Vad är en modul?

Låt oss börja med den andra punkten.

Moduldefinition

Allt är enkelt här. Det finns två definitioner: algebraisk och grafisk. Till att börja med - algebraisk:

Definition. Modulen för ett tal $x$ är antingen själva talet, om det är icke-negativt, eller talet mitt emot det, om den ursprungliga $x$ fortfarande är negativ.

Det är skrivet så här:

\[\vänster| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Enkelt uttryckt är en modul ett "tal utan minus." Och det är i denna dualitet (på vissa ställen behöver du inte göra något med det ursprungliga numret, men på andra måste du ta bort någon form av minus) som är där hela svårigheten ligger för nybörjarelever.

Det finns också en geometrisk definition. Det är också användbart att veta, men vi kommer bara att vända oss till det i komplexa och vissa speciella fall, där det geometriska tillvägagångssättet är bekvämare än det algebraiska (spoiler: inte idag).

Definition. Låt punkten $a$ markeras på talraden. Sedan modulen $\left| x-a \right|$ är avståndet från punkt $x$ till punkt $a$ på denna linje.

Om du ritar en bild får du något sånt här:


Grafisk moduldefinition

På ett eller annat sätt, från definitionen av en modul följer dess nyckelegenskap omedelbart: modulen för ett tal är alltid en icke-negativ storhet. Detta faktum kommer att vara en röd tråd som löper genom hela vår berättelse idag.

Att lösa ojämlikheter. Intervallmetod

Låt oss nu titta på ojämlikheterna. Det finns väldigt många av dem, men vår uppgift nu är att kunna lösa åtminstone de enklaste av dem. De som reducerar till linjära ojämlikheter, samt till intervallmetoden.

Jag har två stora lektioner om detta ämne (förresten, väldigt, MYCKET användbara - jag rekommenderar att du studerar dem):

  1. Intervallmetod för ojämlikheter (särskilt titta på videon);
  2. Fraktionella rationella ojämlikheter är en mycket omfattande lektion, men efter den kommer du inte att ha några frågor alls.

Om du vet allt detta, om frasen "låt oss gå från ojämlikhet till ekvation" inte får dig att ha en vag önskan att slå dig själv i väggen, så är du redo: välkommen till helvetet till lektionens huvudämne. :)

1. Ojämlikheter i formen "Modul är mindre än funktion"

Detta är ett av de vanligaste problemen med moduler. Det krävs för att lösa en olikhet av formen:

\[\vänster| f\höger| \ltg\]

Funktionerna $f$ och $g$ kan vara vad som helst, men vanligtvis är de polynom. Exempel på sådana ojämlikheter:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \höger| \lt x+7; \\ & \vänster| ((x)^(2))+2x-3 \höger|+3\vänster(x+1 \höger) \lt 0; \\ & \vänster| ((x)^(2))-2\vänster| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Alla kan lösas bokstavligen på en rad enligt följande schema:

\[\vänster| f\höger| \lt g\Högerpil -g \lt f \lt g\quad \left(\Högerpil \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \eller hur)\]

Det är lätt att se att vi gör oss av med modulen, men i gengäld får vi en dubbel olikhet (eller, vilket är samma sak, ett system med två olikheter). Men denna övergång tar hänsyn till absolut alla möjliga problem: om talet under modulen är positivt fungerar metoden; om det är negativt fungerar det fortfarande; och även med den mest otillräckliga funktionen i stället för $f$ eller $g$, kommer metoden fortfarande att fungera.

Naturligtvis uppstår frågan: kunde det inte vara enklare? Tyvärr är det inte möjligt. Detta är hela poängen med modulen.

Dock nog med filosoferandet. Låt oss lösa ett par problem:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| 2x+3 \höger| \lt x+7\]

Lösning. Så vi har framför oss en klassisk ojämlikhet av formen "modulen är mindre" - det finns inte ens något att omvandla. Vi arbetar enligt algoritmen:

\[\begin(align) & \left| f\höger| \lt g\Högerpil -g \lt f \lt g; \\ & \vänster| 2x+3 \höger| \lt x+7\Högerpil -\vänster(x+7 \höger) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Skynda dig inte för att öppna parentesen som föregås av ett "minus": det är mycket möjligt att du på grund av din brådska kommer att göra ett stötande misstag.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problemet reducerades till två elementära ojämlikheter. Låt oss notera deras lösningar på parallella tallinjer:

Skärning av många

Skärningspunkten mellan dessa uppsättningar kommer att vara svaret.

Svar: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \höger|+3\vänster(x+1 \höger) \lt 0\]

Lösning. Denna uppgift är lite svårare. Låt oss först isolera modulen genom att flytta den andra termen till höger:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\vänster(x+1 \höger)\]

Uppenbarligen har vi återigen en olikhet av formen "modulen är mindre", så vi blir av med modulen med den redan kända algoritmen:

\[-\vänster(-3\vänster(x+1 \höger) \höger) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\vänster(x+1 \höger)\]

Nu uppmärksamhet: någon kommer att säga att jag är lite av en pervers med alla dessa parenteser. Men låt mig återigen påminna er om att vårt huvudmål är rätt lösa ojämlikheten och få svaret. Senare, när du har bemästrat allt som beskrivs i den här lektionen perfekt, kan du pervertera det själv som du vill: öppna parenteser, lägg till minus, etc.

Till att börja med tar vi helt enkelt bort det dubbla minuset till vänster:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\vänster(x+1 \höger)\]

Låt oss nu öppna alla parenteser i den dubbla olikheten:

Låt oss gå vidare till den dubbla ojämlikheten. Den här gången blir beräkningarna mer seriösa:

\[\vänster\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( anpassa till höger.\]

Båda ojämlikheterna är kvadratiska och kan lösas med intervallmetoden (det är därför jag säger: om du inte vet vad detta är, är det bättre att inte ta på sig moduler ännu). Låt oss gå vidare till ekvationen i den första ojämlikheten:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\vänster(x+5 \höger)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Som du kan se är utdata en ofullständig kvadratisk ekvation, som kan lösas på ett elementärt sätt. Låt oss nu titta på den andra ojämlikheten i systemet. Där måste du tillämpa Vietas teorem:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Vi markerar de resulterande talen på två parallella linjer (separera för den första olikheten och separera för den andra):

Återigen, eftersom vi löser ett system av ojämlikheter, är vi intresserade av skärningspunkten mellan de skuggade uppsättningarna: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Detta är svaret.

Svar: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Jag tror att efter dessa exempel är lösningsschemat extremt tydligt:

  1. Isolera modulen genom att flytta alla andra termer till motsatt sida av olikheten. Därmed får vi en olikhet av formen $\left| f\höger| \ltg$.
  2. Lös denna ojämlikhet genom att bli av med modulen enligt schemat som beskrivs ovan. Vid någon tidpunkt kommer det att bli nödvändigt att gå från dubbel olikhet till ett system med två oberoende uttryck, som vart och ett redan kan lösas separat.
  3. Slutligen, allt som återstår är att skära lösningarna för dessa två oberoende uttryck - och det är det, vi kommer att få det slutliga svaret.

En liknande algoritm finns för olikheter av följande typ, när modulen är större än funktionen. Det finns dock ett par allvarliga "men". Vi ska prata om dessa "men" nu.

2. Ojämlikheter i formen "Modul är större än funktion"

De ser ut så här:

\[\vänster| f\höger| \gtg\]

Liknar den förra? Det verkar. Och ändå löses sådana problem på ett helt annat sätt. Formellt är schemat följande:

\[\vänster| f\höger| \gt g\Högerpil \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Med andra ord, vi överväger två fall:

  1. Först ignorerar vi helt enkelt modulen och löser den vanliga ojämlikheten;
  2. Sedan utökar vi i huvudsak modulen med minustecknet och multiplicerar sedan båda sidor av olikheten med −1, medan jag har tecknet.

I det här fallet kombineras alternativen med en vinkelhake, d.v.s. Vi har framför oss en kombination av två krav.

Observera igen: detta är inte ett system, utan en helhet, därför i svaret kombineras mängderna snarare än korsar varandra. Detta är en grundläggande skillnad från föregående punkt!

I allmänhet är många studenter helt förvirrade med fackföreningar och korsningar, så låt oss reda ut denna fråga en gång för alla:

  • "∪" är ett fackligt tecken. I själva verket är detta en stiliserad bokstav "U", som kom till oss från det engelska språket och är en förkortning för "Union", dvs. "Föreningar".
  • "∩" är korsningstecknet. Den här skiten kom inte från någonstans, utan framstod helt enkelt som en motpol till "∪".

För att göra det ännu lättare att komma ihåg, dra bara benen till dessa tecken för att göra glasögon (bara nu inte anklaga mig för att främja drogberoende och alkoholism: om du på allvar studerar den här lektionen, då är du redan en drogmissbrukare):

Skillnad mellan korsning och förening av uppsättningar

Översatt till ryska betyder detta följande: unionen (totaliteten) inkluderar element från båda uppsättningarna, därför är det inte på något sätt mindre än var och en av dem; men skärningspunkten (systemet) inkluderar bara de element som är samtidigt i både den första uppsättningen och den andra. Därför är skärningspunkten mellan mängder aldrig större än källmängderna.

Så det blev tydligare? Det är toppen. Låt oss gå vidare till praktiken.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Lösning. Vi fortsätter enligt schemat:

\[\vänster| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Högerpil \vänster[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ höger.\]

Vi löser varje ojämlikhet i befolkningen:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Vi markerar varje resulterande uppsättning på nummerraden och kombinerar dem sedan:

Union av uppsättningar

Det är ganska uppenbart att svaret blir $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Svar: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Lösning. Väl? Ingenting - allt är sig likt. Vi går från en ojämlikhet med en modul till en uppsättning av två olikheter:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Högerpil \vänster[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Vi löser alla ojämlikheter. Tyvärr kommer rötterna där inte att vara särskilt bra:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Den andra ojämlikheten är också lite vild:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Nu måste du markera dessa siffror på två axlar - en axel för varje olikhet. Du måste dock markera punkterna i rätt ordning: ju större nummer, desto längre flyttas punkten åt höger.

Och här väntar ett setup på oss. Om allt är klart med siffrorna $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termerna i täljaren för den första bråk är mindre än termerna i täljaren för den andra , så summan är också mindre), med talen $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ det kommer inte heller att finnas några svårigheter (positivt tal uppenbarligen mer negativt), sedan med det sista paret är allt inte så klart. Vilket är störst: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ eller $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Placeringen av punkter på tallinjerna och faktiskt svaret kommer att bero på svaret på denna fråga.

Så låt oss jämföra:

\[\begin(matris) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matris)\]

Vi isolerade roten, fick icke-negativa tal på båda sidor av ojämlikheten, så vi har rätt att kvadrera båda sidor:

\[\begin(matris) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matris)\]

Jag tror att det är en no brainer att $4\sqrt(13) \gt 3$, så $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, de sista punkterna på axlarna kommer att placeras så här:

Ett fall av fula rötter

Låt mig påminna dig om att vi löser en uppsättning, så svaret blir en förening, inte en skärningspunkt av skuggade uppsättningar.

Svar: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Som du kan se fungerar vårt schema utmärkt för både enkla och mycket svåra problem. Den enda "svaga punkten" i detta tillvägagångssätt är att du måste jämföra irrationella tal korrekt (och tro mig: det här är inte bara rötter). Men en separat (och mycket allvarlig) lektion kommer att ägnas åt jämförelsefrågor. Och vi går vidare.

3. Ojämlikheter med icke-negativa "svansar"

Nu kommer vi till det mest intressanta. Dessa är ojämlikheter i formen:

\[\vänster| f\höger| \gt\vänster| g\right|\]

Generellt sett är algoritmen som vi kommer att prata om nu endast korrekt för modulen. Det fungerar i alla ojämlikheter där det finns garanterat icke-negativa uttryck till vänster och höger:

Vad ska man göra med dessa uppgifter? Kom bara ihåg:

I ojämlikheter med icke-negativa "svansar" kan båda sidor höjas till vilken naturlig makt som helst. Det kommer inte att finnas några ytterligare begränsningar.

Först och främst kommer vi att vara intresserade av att kvadrera - det bränner moduler och rötter:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Förväxla inte detta med att ta roten från en kvadrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\vänster| f \right|\ne f\]

Otaliga misstag gjordes när en student glömde att installera en modul! Men det här är en helt annan historia (detta är liksom irrationella ekvationer), så vi ska inte gå in på detta nu. Låt oss lösa ett par problem bättre:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| x+2 \höger|\ge \vänster| 1-2x \right|\]

Lösning. Låt oss omedelbart lägga märke till två saker:

  1. Detta är inte en strikt ojämlikhet. Punkter på tallinjen kommer att punkteras.
  2. Båda sidorna av ojämlikheten är uppenbarligen icke-negativa (detta är en egenskap hos modulen: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Därför kan vi kvadrera båda sidor av olikheten för att bli av med modulen och lösa problemet med den vanliga intervallmetoden:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

I det sista steget fuskade jag lite: jag ändrade sekvensen av termer och utnyttjade modulens jämnhet (i själva verket multiplicerade jag uttrycket $1-2x$ med -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ höger)\höger)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Vi löser med intervallmetoden. Låt oss gå från ojämlikhet till ekvation:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Vi markerar de hittade rötterna på tallinjen. Än en gång: alla punkter är skuggade eftersom den ursprungliga ojämlikheten inte är strikt!

Att bli av med modultecknet

Låt mig påminna er för de som är särskilt envisa: vi tar tecknen från den senaste ojämlikheten, som skrevs ner innan vi gick vidare till ekvationen. Och vi målar över de ytor som krävs i samma ojämlikhet. I vårt fall är det $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK det är över nu. Problemet är löst.

Svar: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+x+1 \höger|\le \vänster| ((x)^(2))+3x+4 \höger|\]

Lösning. Vi gör allt likadant. Jag kommer inte kommentera - titta bara på sekvensen av åtgärder.

Kvadra den:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \höger| \höger))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \höger))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \höger))^(2)); \\ & ((\vänster(((x)^(2))+x+1 \höger))^(2))-((\vänster(((x)^(2))+3x+4 \ höger))^(2))\le 0; \\ & \vänster(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \höger)\ gånger \\ & \ gånger \vänster(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \höger)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Intervallmetod:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Högerpil x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Högerpil D=16-40 \lt 0\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

Det finns bara en rot på tallinjen:

Svaret är ett helt intervall

Svar: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

En liten notering om den sista uppgiften. Som en av mina elever korrekt noterade är båda submodulära uttrycken i denna ojämlikhet uppenbarligen positiva, så modultecknet kan utelämnas utan att skada hälsan.

Men det här är en helt annan nivå av tänkande och ett annat förhållningssätt - det kan villkorligt kallas konsekvensmetoden. Om det - i en separat lektion. Låt oss nu gå vidare till den sista delen av dagens lektion och titta på en universell algoritm som alltid fungerar. Även när alla tidigare tillvägagångssätt var maktlösa. :)

4. Metod för uppräkning av alternativ

Vad händer om alla dessa tekniker inte hjälper? Om ojämlikheten inte kan reduceras till icke-negativa svansar, om det är omöjligt att isolera modulen, om det i allmänhet finns smärta, sorg, melankoli?

Sedan kommer det "tunga artilleriet" av all matematik upp på scenen - brute force-metoden. I förhållande till ojämlikheter med modul ser det ut så här:

  1. Skriv ut alla submodulära uttryck och sätt dem lika med noll;
  2. Lös de resulterande ekvationerna och markera rötterna som finns på en tallinje;
  3. Den raka linjen kommer att delas upp i flera sektioner, inom vilka varje modul har ett fast tecken och därför är unikt avslöjat;
  4. Lös ojämlikheten på varje sådan sektion (du kan separat överväga rötterna-gränser som erhölls i steg 2 - för tillförlitlighet). Kombinera resultaten - det här kommer att vara svaret. :)

Så hur? Svag? Lätt! Bara under lång tid. Låt oss se i praktiken:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Lösning. Den här skiten kokar inte ner till ojämlikheter som $\left| f\höger| \lt g$, $\left| f\höger| \gt g$ eller $\left| f\höger| \lt \left| g \right|$, så vi agerar framåt.

Vi skriver ut submodulära uttryck, likställer dem med noll och hittar rötterna:

\[\begin(align) & x+2=0\Högerpil x=-2; \\ & x-1=0\Högerpil x=1. \\\end(align)\]

Totalt har vi två rötter som delar upp tallinjen i tre sektioner, inom vilka varje modul avslöjas unikt:

Partitionering av tallinjen med nollor av submodulära funktioner

Låt oss titta på varje avsnitt separat.

1. Låt $x \lt -2$. Då är båda submodulära uttryck negativa, och den ursprungliga olikheten kommer att skrivas om enligt följande:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Vi har en ganska enkel begränsning. Låt oss skära det med det initiala antagandet att $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Uppenbarligen kan variabeln $x$ inte samtidigt vara mindre än −2 och större än 1,5. Det finns inga lösningar på detta område.

1.1. Låt oss betrakta gränsfallet separat: $x=-2$. Låt oss bara ersätta detta nummer med den ursprungliga ojämlikheten och kontrollera: är det sant?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

Det är uppenbart att beräkningskedjan har lett oss till en felaktig ojämlikhet. Därför är den ursprungliga olikheten också falsk, och $x=-2$ ingår inte i svaret.

2. Låt nu $-2 \lt x \lt 1$. Den vänstra modulen öppnas redan med ett "plus", men den högra öppnas fortfarande med ett "minus". Vi har:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Återigen korsar vi det ursprungliga kravet:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Och återigen, uppsättningen av lösningar är tom, eftersom det inte finns några tal som både är mindre än -2,5 och större än -2.

2.1. Och återigen ett specialfall: $x=1$. Vi ersätter i den ursprungliga ojämlikheten:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \vänster| 3\höger| \lt \left| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

I likhet med det tidigare "specialfallet" är talet $x=1$ uppenbarligen inte inkluderat i svaret.

3. Den sista delen av raden: $x \gt 1$. Här öppnas alla moduler med ett plustecken:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(align)\ ]

Och återigen skär vi den hittade uppsättningen med den ursprungliga begränsningen:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Till sist! Vi har hittat ett intervall som blir svaret.

Svar: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Till sist, en kommentar som kan rädda dig från dumma misstag när du löser verkliga problem:

Lösningar på ojämlikheter med moduler representerar vanligtvis kontinuerliga mängder på tallinjen - intervall och segment. Isolerade punkter är mycket mindre vanliga. Och ännu mindre ofta händer det att lösningens gräns (slutet av segmentet) sammanfaller med gränsen för det aktuella området.

Följaktligen, om gränser (samma "särskilda fall") inte ingår i svaret, kommer områdena till vänster och höger om dessa gränser nästan säkert inte att inkluderas i svaret. Och vice versa: gränsen in i svaret, vilket innebär att vissa områden runt den också kommer att vara svar.

Tänk på detta när du granskar dina lösningar.

Den här lektionen kommer att gå igenom begreppet modulen för ett reellt tal och introducera några av dess grundläggande definitioner, följt av exempel som visar användningen av olika av dessa definitioner.

Ämne:Riktiga nummer

Lektion:Modulen för ett reellt tal

1. Moduldefinitioner

Låt oss betrakta ett sådant koncept som modulen för ett reellt tal; det har flera definitioner.

Definition 1. Avståndet från en punkt på en koordinatlinje till noll kallas modulnummer, som är koordinaten för denna punkt (fig. 1).

Exempel 1. . Observera att modulerna för motsatta tal är lika och icke-negativa, eftersom detta är ett avstånd, men det kan inte vara negativt, och avståndet från siffror som är symmetriska omkring noll till ursprunget är lika.

Definition 2. .

Exempel 2. Låt oss överväga ett av problemen i det föregående exemplet för att visa likvärdigheten mellan de införda definitionerna. , som vi ser, med ett negativt tal under modultecknet, lägger man till ytterligare ett minus framför det ger ett icke-negativt resultat, som följer av definitionen av modulen.

Följd. Avståndet mellan två punkter med koordinater på en koordinatlinje kan hittas enligt följande oberoende av punkternas relativa position (fig. 2).

2. Modulens grundläggande egenskaper

1. Modulen för ett tal är icke-negativ

2. Modulen för en produkt är produkten av moduler

3. En kvotmodul är en kvot av moduler

3. Problemlösning

Exempel 3. Lös ekvationen.

Lösning. Låt oss använda den andra moduldefinitionen: och skriv vår ekvation i form av ett ekvationssystem för olika alternativ för att öppna modulen.

Exempel 4. Lös ekvationen.

Lösning. I likhet med lösningen till föregående exempel får vi det .

Exempel 5. Lös ekvationen.

Lösning. Låt oss lösa genom en följd från den första definitionen av modulen: . Låt oss avbilda detta på nummeraxeln, med hänsyn till att den önskade roten kommer att vara på ett avstånd av 2 från punkt 3 (fig. 3).

Baserat på figuren får vi rötterna till ekvationen: , eftersom punkter med sådana koordinater ligger på ett avstånd av 2 från punkt 3, som krävs i ekvationen.

Svar. .

Exempel 6. Lös ekvationen.

Lösning. Jämfört med det tidigare problemet finns det bara en komplikation - detta är att det inte finns någon fullständig likhet med formuleringen av följden om avståndet mellan siffror på koordinataxeln, eftersom det under modultecknet finns ett plustecken, inte ett minus skylt. Men det är inte svårt att få det till den form som krävs, vilket är vad vi kommer att göra:

Låt oss avbilda detta på nummeraxeln på samma sätt som den tidigare lösningen (fig. 4).

Rötterna till ekvationen .

Svar. .

Exempel 7. Lös ekvationen.

Lösning. Denna ekvation är lite mer komplicerad än den föregående, eftersom det okända är på andra plats och har ett minustecken, dessutom har den också en numerisk multiplikator. För att lösa det första problemet använder vi en av modulegenskaperna och får:

För att lösa det andra problemet, låt oss utföra en förändring av variabler: , vilket leder oss till den enklaste ekvationen . Enligt den andra definitionen av modul . Ersätt dessa rötter i ersättningsekvationen och få två linjära ekvationer:

Svar. .

4. Kvadratrot och modul

Ganska ofta, när du löser problem med rötter, uppstår moduler, och du bör vara uppmärksam på de situationer där de uppstår.

Vid första anblicken av denna identitet kan frågor uppstå: "varför finns det en modul där?" och "varför är identiteten falsk?" Det visar sig att vi kan ge ett enkelt motexempel till den andra frågan: om det måste vara sant, vilket är likvärdigt, men detta är en falsk identitet.

Efter detta kan frågan uppstå: "löser inte en sådan identitet problemet?", men det finns också ett motexempel för detta förslag. Om detta skulle vara sant, vilket är likvärdigt, men detta är en falsk identitet.

Följaktligen, om vi kommer ihåg att kvadratroten av ett icke-negativt tal är ett icke-negativt tal, och modulvärdet är icke-negativt, blir det tydligt varför ovanstående påstående är sant:

.

Exempel 8. Beräkna värdet på uttrycket.

Lösning. I sådana uppgifter är det viktigt att inte tanklöst göra sig av med roten direkt, utan att använda den ovan nämnda identiteten, eftersom .

Består av positiva (naturliga) tal, negativa tal och noll.

Alla negativa tal, och bara de, är mindre än noll. På tallinjen finns negativa tal till vänster om noll. För dem, som för positiva tal, definieras en ordningsrelation, som gör att man kan jämföra ett heltal med ett annat.

För varje naturligt tal n det finns ett och bara ett negativt tal, betecknat -n, som kompletterar n till noll: n + (− n) = 0 . Båda numren kallas motsatt för varandra. Subtrahera ett heltal a motsvarar att lägga till det med dess motsats: -a.

Egenskaper för negativa tal

Negativa tal följer nästan samma regler som naturliga tal, men har vissa speciella egenskaper.

Historisk skiss

Litteratur

  • Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
  • Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. - M.: Utbildning, 1964. - 376 sid.

Länkar

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Hänsynslöst orsakar skada
  • Neotropics

Se vad ett "icke-negativt tal" är i andra ordböcker:

    Riktigt nummer- Verkligt, eller reellt tal, är en matematisk abstraktion som uppstod ur behovet av att mäta geometriska och fysiska kvantiteter i den omgivande världen, samt att utföra sådana operationer som att extrahera rötter, beräkna logaritmer, lösa... ... Wikipedia

    vanligtvis ett litet icke-negativt heltal- En del av kodningen som representerar värdena för ett obegränsat icke-negativt heltal, men där små värden är mer benägna att förekomma oftare (ITU T X.691). Ämnen... ... Teknisk översättarguide

    RIKTIGT NUMMER- reellt tal, positivt tal, negativt tal eller noll. Begreppet ett taltal uppstod genom att utvidga begreppet ett rationellt tal. Behovet av denna expansion beror på både den praktiska användningen av matematik för att uttrycka... ... Matematisk uppslagsverk

    primtal– Ett primtal är ett naturligt tal som har exakt två olika naturliga delare: en och sig själv. Alla andra naturliga tal, utom ett, kallas sammansatta. Alltså är alla naturliga tal större än ett... ... Wikipedia

    naturligt nummer- ▲ heltalsuttryckande, reella, tal naturliga tal icke-negativa heltal; uttrycker antalet enskilda hela objekt i vad l. aggregat; beteckna antalet verkliga hela objekt; uttryck för siffror. fyra... Ideografisk ordbok för det ryska språket

    Decimal- En decimal är en typ av bråk som är ett sätt att representera reella tal i den form där bråkets tecken är: antingen, eller, en decimalkomma som fungerar som en separator mellan heltal och bråkdelen av talet. ... ... Wikipedia Wikipedia

Chef för ShMO
matematiklärare _______Kalashnikova Zh.YuMunicipal budget utbildningsinstitution
"Grundskola nr 89"
Tematiska prov i matematik för årskurs 6
enligt läroboken av I.I. Zubareva och A.G. Mordkovich
Sammanställt av: matematiklärare:
Kalashnikova Zhanna Yurievna
Stolbova Lyudmila Antonovna
ZATO Seversk
2016
Innehåll
Test nr 1………………………………………………………………………………………….3-6
Test nr 2……………………………………………………………………………………………….7-10
Test nr 3……………………………………………………………………………………………………………………….11-14
Svar…………………………………………………………………………………………………………………………..15
Test nr 1 "Positiva och negativa siffror"
Alternativ 1
Ange ett negativt bråktal:
-165
38
-7.92
67Beskriv händelsen "Siffran -5,5 är markerad på koordinatstrålen"
Pålitlig
Omöjlig
Slumpmässig

Vilket av de fyra talen är störst?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Vilken punkt ligger på koordinatlinjen till höger om punkt O (0)?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D(-1,2)
På natten var lufttemperaturen -5°C. Under dagen var termometern redan +3 °C. Hur har lufttemperaturen förändrats?
Ökade med 8o
Minskade med 2o
Ökade med 2o
Minskade med 8o
Punkten x(-2) är markerad på koordinatlinjen – symmetricentrum. Ange koordinaterna för punkter som ligger på denna linje symmetriskt med punkt x.

(-1) och (1)
(-1) och (1)
(3) och (-3)
(0) och (-4)
Vilka punkter på koordinatlinjen är inte symmetriska med avseende på origo - punkt O (0).
B(-5) och C(5)
D(0,5) och E(-0,5)
M(-3) och K(13)
A(18) och X(-18)
Vad är summan av talen 0,316+0,4?
0,356
0,716
4,316
0,32
Beräkna 25 % av talet 0,4.
0,1
0,001
10
100
Beräkna skillnaden mellan 9100 och 0,03
0,05
0,6
9,03
350 Alternativ 2
Ange ett negativt bråktal.
8,63
-1045
913-0,2
Beskriv händelsen "Siffran 7 är markerad på koordinatstrålen."
Slumpmässig
Omöjlig
Pålitlig
Vilket nummer är det minsta?
15,49
154,9
1,549
1549
Vilken av punkterna ligger på koordinatlinjen till vänster om punkt O(0).
A(-0,5)
VID 6)
M(0,5)
K(38)
Under dagen visade termometern +5°C och på kvällen -2°C. Hur har lufttemperaturen förändrats?
Ökade med 3o
Minskade med 7o
Minskade med 3o
Ökade med 7o
Symmetricentrum markeras på koordinatlinjen - punkt A(-3). Ange koordinaterna för punkter som ligger på denna linje symmetriskt till punkt A.

(-2) och (2)
(0) och (-5)
(-6) och (1)
(-1) och (-5)
Vilka punkter på koordinatlinjen är inte symmetriska med avseende på origo - punkt O(0).
A(6) och B(-6)
C(12) och D(-2)
M(-1) och K(1)
X (-9) och Y (9)
Vad är summan av talen 0,237 och 0,3?
0,24
3,237
0,537
0,267
Beräkna 20 % av 0,5
10
0,1
0,2
0,01
Beräkna skillnaden på 0,07 och 31001250,5
1
425Test nr 2. Det absoluta värdet av ett tal. Motsatta siffror.
Alternativ 1
Vilket av de givna talen har den minsta modulen
-11
1013-4,196
-4,2
Ange en felaktig ekvation
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 Modulen för ett icke-negativt tal är ett icke-negativt tal. Är detta påstående sant?
Ja
Nej
Vilket av dessa tal är motsatsen till talet -34?43-43-3434Vilket är värdet på uttrycket -(-m) om m = -15
+15
-15
Beräkna värdet på uttrycket: -2,5∙4--919
-10
1
-1
Lös ekvationen: x=40-40
40
40 eller -40
Vilka heltal finns på koordinatlinjen mellan talen 2,75 och 3,9?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
Är ojämlikheten -30>-50 sann? Ja
Nej
Lista alla heltal x om x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Alternativ 2
Vilket tal har den största modulen?
-0,6
-50,603
493550,530
Ange en felaktig ekvation
-1,5=1,512=12-117=117-325=-325Kan modulen för ett negativt tal vara ett negativt tal
Ja
Nej

Vilket av dessa tal är motsatsen till 124?
-24
24
-124124Vad är värdet på uttrycket –(-k), om k = -9
-9
+9
Beräkna värdet på uttrycket: 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
Lös ekvationen x=100100
-100
100 eller -100
Vilka heltal finns på koordinatlinjen mellan talen 1 och - 4,5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
Är ojämlikhet -25 sant?<-10?
Ja
Nej
Lista alla heltal x om x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Test nr 3. Jämförelse av siffror
Alternativ 1
Vilken av ojämlikheterna är falsk?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
Är det sant att talet 0 är större än något negativt tal?
Ja
Nej
Siffran a är icke-negativ. Hur kan vi skriva detta påstående som en ojämlikhet?
a<0a≤0a≥0a>0Ange det största av de givna talen.
0,16
-3018-0,4
0,01
För vilka naturvärden av x är olikheten x≤44, 3, 2 sann?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
För vilka heltalsvärden av y är ojämlikheten y sann?<-2?0
-1
0, -1, 1
Inga sådana värden
Siffror -6; -3,8; -115; 0.8 placerad:
I fallande ordning
I ökande ordning
I oordning
Väderprognosen sändes på radio: temperaturen förväntas sjunka till -20 °C. Beskriv denna händelse:
Omöjlig
Pålitlig
Slumpmässig
Alternativ 2
Vilken av ojämlikheterna är sann?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Vilket tecken måste skrivas mellan dessa bråk för att ojämlikheten ska vara sann?
-1315 -715<
>
=
Är det sant att talet 0 är mindre än något negativt tal?
Ja
Nej
Talet x är inte större än noll. Hur kan vi skriva detta påstående som en ojämlikhet?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35För vilka naturvärden av a är ojämlikheten a≤3 sann?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
För vilka heltalsvärden av m är olikheten m sann?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Inga sådana värden
Nummer 1,2; -1,2; -427; -100 placerade:
I oordning
I ökande ordning
I fallande ordning
Punkt A(5) är markerad på koordinatlinjen. En annan punkt B markerades slumpmässigt på denna linje. Dess koordinat visade sig vara motsatt nummer till 5. Beskriv denna händelse.
Slumpmässig
Pålitlig
Omöjlig
Svar
Test nr 1 Test nr 2
Nej. Alternativ 1 Alternativ 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
Nej. Alternativ 1 Alternativ 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

Test nr 3
Nej. Alternativ 1 Alternativ 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3