Kort

Vad är tecknet på vinkelräthet för två plan. Föreläsning om matematik på temat "tecken på vinkelrätt två plan". När planen är vinkelräta

Om ett av de två planen går genom en rät linje vinkelrät mot det andra planet, så är de givna planen vinkelräta () (Fig. 28)

α - plan, Vär en rät linje vinkelrät mot den, β är ett plan som går genom en rät linje V, Och Medär den räta linje längs vilken planen α och β skär varandra.

Följd. Om ett plan är vinkelrätt mot skärningslinjen för två givna plan, så är det vinkelrät mot vart och ett av dessa plan

Uppgift 1. Bevisa att genom vilken punkt som helst på en linje i rymden är det möjligt att rita två olika linjer vinkelräta mot den.

Bevis:

Enligt axiomet jag det finns en punkt som inte ligger på linjen A. Genom sats 2.1 genom punkten I och direkt A planet α kan ritas. (Fig. 29) Enligt sats 2.3 genom spetsen A i planet α kan man dra en rät linje A. Enligt axiom C 1 finns det en punkt MED, som inte tillhör α. Genom sats 15.1 genom punkten MED och direkt A planet β kan ritas. I planet β, genom sats 2.3, genom punkten a, kan man dra en linje med A. Linjerna in och c genom konstruktion har bara en gemensam punkt A och båda är vinkelräta

Uppgift 2. De övre ändarna av två vertikalt stående pelare, åtskilda med ett avstånd på 3,4 m, är förbundna med en tvärstång. Höjden på en pelare är 5,8 m, och den andra är 3,9 m. Hitta längden på tvärstången.

AC= 5,8 m, BD= 3,9 m, AB- ? (bild 30)

AE = AC - CE = AC - BD= 5,8 - 3,9 = 1,9 (m)

Enligt Pythagoras sats från ∆ AEB vi får:

AB 2 \u003d AE 2 + EB 2 \u003d AE 2 + CD 2 \u003d ( 1,9) 2 + (3,4) 2 \u003d 15,17 (m 2)

AB== 3,9 (m)

Uppgifter

Mål. Lär dig att analysera objekts relativa position i rymden i de enklaste fallen, använd planimetriska fakta och metoder när du löser stereometriska problem.

1. Bevisa att genom vilken punkt som helst på en linje i rymden är det möjligt att dra en linje vinkelrät mot den.

2. Linjerna AB, AC och AD är parvis vinkelräta. Hitta segmentet SD om:

1) AB = 3 cm , Sol= 7 cm, AD= 1,5 cm;

2) VD= 9 cm, AD= 5 cm, Sol= 16 cm;

3) AB = c, BC = a, AD = d;

4) BD = c, BC = a, AD = d

3. Punkt A är på avstånd a från hörnen av en liksidig triangel med sida A. Ta reda på avståndet från punkt A till triangelns plan.

4. Bevisa att om en linje är parallell med ett plan, så är alla dess punkter på samma avstånd från planet.

5. En telefontråd 15 m lång sträcks från en telefonstolpe, där den är fäst på en höjd av 8 m från marken, till ett hus, där den är fäst på en höjd av 20 m. Hitta avståndet mellan huset och stolpen, förutsatt att tråden inte hänger.

6. Från en punkt till ett plan ritas två lutande, lika med 10 cm och 17 cm. Skillnaden i projektionerna för dessa lutande är 9 cm. Hitta projektionerna för de lutande.

7. Två lutande linjer dras från en punkt till ett plan, varav den ena är 26 cm större än den andra. Utskotten på de sneda är 12 cm och 40 cm Hitta de sneda.

8. Två lutande linjer ritas från en punkt till ett plan. Ta reda på längderna på snedställningarna om de är i förhållandet 1:2 och utskotten på snedställningarna är 1 cm och 7 cm.

9. Två lutande linjer ritas från en punkt till ett plan, lika med 23 cm och 33 cm.

avståndet från denna punkt till planet, om projektionerna av snedförhållandet är 2:3.

10. Hitta avståndet från mitten av segment AB till ett plan som inte skär detta segment, om avståndet från punkterna a och B till planet är: 1) 3,2 cm och 5,3 cm, 7,4 cm och 6,1 cm; 3) a och c.

11. Lös det föregående problemet, förutsatt att segmentet AB skär planet.

12. Ett segment som är 1 m långt skär ett plan, dess ändar tas bort från planet på ett avstånd av 0,5 m och 0,3 m. Hitta längden på projektionen av segmentet på planet ..

13. Från punkterna A och B släpps vinkelräta till planet. Hitta avståndet mellan punkterna A och B om perpendikulerna är 3 m och 2 m, avståndet mellan deras baser är 2,4 m och segmentet AB inte skär planet.

14. Från punkterna A och B, som ligger i två vinkelräta plan, släpps vinkelräta AC och BD till planens skärningslinje. Hitta längden på segment AB om: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, BD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.

15. Från hörnen A och B i den liksidiga triangeln ABC reses vinkelräta AA 1 och BB 1 till triangelns plan. Hitta avståndet från vertex C till mitten av segmentet A 1 B 1 om AB \u003d 2 m, CA 1 \u003d 3 m, CB 1 \u003d 7 m och segmentet A 1 B 1 inte skär planet för triangel

16. Från hörnen A och B för de spetsiga vinklarna i den räta triangeln ABC reses vinkelräta AA 1 och BB 1 till triangelns plan. Hitta avståndet från toppen C till mitten av segmentet A 1 B 1 om A 1 C \u003d 4 m, AA 1 \u003d 3 m, CB 1 \u003d 6 m, BB 1 \u003d 2 m och segmentet A 1 B 1 skär inte triangelns plan.

Begreppet vinkelräta plan

När två plan skär varandra får vi $4$ dihedriska vinklar. Två av hörnen är $\varphi $ och de andra två är $(180)^0-\varphi $.

Definition 1

Vinkeln mellan planen är den minsta av de dihedriska vinklarna som bildas av dessa plan.

Definition 2

Två skärande plan kallas vinkelräta om vinkeln mellan dessa plan är lika med $90^\circ$ (Fig. 1).

Figur 1. Vinkelräta plan

Tecken på vinkelräthet av två plan

Sats 1

Om en linje i ett plan är vinkelrät mot ett annat plan, är dessa plan vinkelräta mot varandra.

Bevis.

Låt oss ges planen $\alpha $ och $\beta $ som skär längs linjen $AC$. Låt linjen $AB$ som ligger i planet $\alpha $ vara vinkelrät mot planet $\beta $ (Fig. 2).

Figur 2.

Eftersom linjen $AB$ är vinkelrät mot planet $\beta $, är den också vinkelrät mot linjen $AC$. Låt oss dessutom rita linjen $AD$ i planet $\beta $, vinkelrätt mot linjen $AC$.

Vi får att vinkeln $BAD$ är den linjära vinkeln för den dihedriska vinkeln lika med $90^\cirkel$. Det vill säga, per definition 1 är vinkeln mellan planen lika med $90^\circ$, vilket betyder att dessa plan är vinkelräta.

Teoremet har bevisats.

Följande sats följer av denna sats.

Sats 2

Om ett plan är vinkelrät mot en linje längs vilken två andra plan skär, så är det också vinkelrätt mot dessa plan.

Bevis.

Låt oss ges två plan $\alpha $ och $\beta $ som skär längs den räta linjen $c$. Planet $\gamma $ är vinkelrät mot linjen $c$ (fig. 3)

Figur 3

Eftersom linjen $c$ tillhör planet $\alpha $ och planet $\gamma $ är vinkelrät mot linjen $c$, så är enligt sats 1 planen $\alpha $ och $\gamma $ vinkelräta.

Eftersom linjen $c$ tillhör planet $\beta $ och planet $\gamma $ är vinkelrät mot linjen $c$, så är enligt sats 1 planen $\beta $ och $\gamma $ vinkelräta.

Teoremet har bevisats.

För var och en av dessa satser är de omvända påståendena också sanna.

Uppgiftsexempel

Exempel 1

Låt oss få en rektangulär låda $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Hitta alla par av vinkelräta plan (fig. 5).

Figur 4

Lösning.

Enligt definitionen av ett rätvinkligt och vinkelrät plan ser vi följande åtta par av plan vinkelräta mot varandra: $(ABB_1)$ och $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ och $(A_1B_1C_1)$, $(ABB_1) $ och $(BCC_1) $, $(ABB_1)$ och $(ABC)$, $(DCC_1)$ och $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ och $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1)$ och $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ och $(ABC)$.

Exempel 2

Låt oss ges två inbördes vinkelräta plan. Från en punkt i ett plan dras en vinkelrät till ett annat plan. Bevisa att denna linje ligger i det givna planet.

Bevis.

Låt oss ges $\alpha $ och $\beta $ vinkelrätt mot planen och skär längs den räta linjen $c$. Från punkten $A$ i planet $\beta $ dras en vinkelrät $AC$ mot planet $\alpha $. Antag att $AC$ inte ligger i $\beta $-planet (fig. 6).

Bild 5

Tänk på triangeln $ABC$. Den är rektangulär med rät vinkel $ACB$. Därav $\angle ABC\ne (90)^0$.

Men å andra sidan är $\angle ABC$ den linjära vinkeln för den dihedriska vinkeln som bildas av dessa plan. Det vill säga, den dihedriska vinkeln som bildas av dessa plan är inte lika med 90 grader. Vi får att vinkeln mellan planen inte är lika med $90^\circ$. Motsägelse. Därför ligger $AC$ i $\beta $-planet.

Konstruktion av två inbördes vinkelräta plan. Som bekant, Ett plan är vinkelrät om en linje i ett plan är vinkelrät mot ett annat plan. Därför kan ett plan vinkelrätt mot ett givet plan dras genom en linje vinkelrätt mot ett givet plan, eller vinkelrätt mot en linje som ligger i ett givet plan.

Visat i fig. 4.12 planen (planet för triangeln ABC och planet P) är inbördes vinkelräta, eftersom planet P är vinkelrät mot linjen A1 som ligger i triangelns plan. Projektionerna av planet P som går genom den räta linjen med projektionerna m 2 n 2 , m 1 n 1 och vinkelrätt mot planet som ges av projektionerna a 2 b 2 c 2 , a 1 b 1 c 1 av triangeln visas i fig. 4.12.

Konstruktion: 1. Rita huvudlinjerna i planet, C1 - horisontell, C2 - frontal.

2. Dra genom en godtycklig punkt E (belägen utanför triangeln ABC), en linje EF vinkelrät mot planets huvudlinjer (c 2 f 2 är vinkelrät mot c 2 2 2 och c 1 f 1 är vinkelrät mot 1 1 1 ).

3. Dra genom punkten N en godtycklig linje EM som skär EF, vi får planet P givet av två skärande linjer (EM X EF).

Således är planet P(ME X EF) vinkelrät mot planet Q(triangel ABC).

Det bör noteras att för ömsesidigt vinkelräta plan i allmän position är deras spår med samma namn aldrig vinkelräta. Men om ett av de givna planen (eller båda) är ett plan med allmän position, så indikerar den ömsesidiga vinkelrätheten på diagrammet för ett par av deras spår vinkelrätheten hos planen i rymden.

18) En rät skärningslinje mellan två plan kan bestämmas av deras två gemensamma punkter. För att göra detta, bestäm skärningspunkterna för två räta linjer i ett plan med ett annat plan eller skärningspunkterna för en rät linje på vart och ett av planen med ett annat plan

Byggsekvens:

Skärningslinjen för två plan kan hittas genom att använda extra skärplan vid lösning. Projektionsplan väljs vanligtvis (ofta horisontellt eller frontalt)

Ett godtyckligt sekant extra horisontellt plan Ф1 väljs; det skär de givna planen längs räta linjer (12 och 34) som (på n1 skär i punkten k)

Det andra sekant horisontella planet skär de givna planen också längs horisontalerna, de skär i sin tur i punkt E

Den räta linjen KE är skärningslinjen för de givna planen.

Överväg lösningen av detta problem på en platt ritning.

1:a steget av lösningen För att konstruera punkten M användes ett horisontellt utskjutande plan - mellanhanden ("), i vilket sidan AB av triangeln ABC är innesluten.

2:a steget av lösningen Vi bygger skärningslinjen (på ritningen ges den av punkterna 1 och 2) för mellanplanet (") och DEK-planet.

3:e etappen av lösningen Hitta punkten M för skärningspunkten mellan linjen 1 - 2 med linjen AB.

Hittade en punkt M av den önskade skärningslinjen.

För att konstruera punkt N används ett horisontellt utskjutande plan  ("), där sidan AC på triangeln ABC är innesluten.

Konstruktionerna liknar de tidigare.

Definitionen av sikt på planet H görs med hjälp av horisontellt konkurrerande punkterna 4 och 8

Punkt 4 är belägen ovanför punkt 8 (4" och 8"), därför, på plan H, täcker delen av triangeln DEK, belägen mot punkt 4, delen av triangeln ABC, belägen från skärningslinjen mot punkt 8. Med hjälp av en par frontalt konkurrerande punkter 6 och 7 definieras sikten på planet V.

Skärningen mellan två frontalt utskjutande plan (?)

Skärningen mellan två horisontellt utskjutande plan (?)

19) Ett snitt är en bild av ett föremål som mentalt dissekerats av ett eller flera plan, medan den mentala dissektionen av ett föremål endast avser detta snitt och inte medför en förändring av andra bilder av samma föremål. Avsnittet visar vad som finns i skärplanet och vad som finns bakom det.

Beroende på antalet skärplan är sektionen uppdelad i:

Enkel (med ett skärplan)

Komplex (med flera skärplan)

Beroende på skärplanets position i förhållande till projektionens horisontella plan är sektionerna indelade i:

HORISONTALT - skärplanet är parallellt med det horisontella projektionsplanet

VERTIKAL - skärplanet är vinkelrätt mot det horisontella projektionsplanet

SLUTA - skärplanet är någon icke-rät vinkel med horisontalplanet =) VERTICAL cut kallas frontal om skärplanet är parallellt med det främre projektionsplanet. OCH specialiserade om skärplanet är parallellt med profilprojektionsplanet.

KOMPLEXA snitt är LÄNGDIGNA om skärplanen är riktade längs objektets längd eller höjd. OCH TRANSVERSALT OM skärplanen är riktade VÄNDRIG mot objektets längd eller höjd.

STEG - om sekantplanen är parallella med varandra

POLYLINER - om sekantplanen skär varandra.

LOKAL snitt används för att avslöja den interna strukturen hos ett objekt på en separat begränsad plats. LOCAL SECTION framhävs i vyn som en solid, vågig, tunn linje.

Beteckning för sektioner - Skärplanets position indikeras med en öppen sektionslinje. Sektionslinjens start- och slutslag får inte korsa konturen av motsvarande bild. Pilar som anger synriktningen ska placeras på det första och sista slaget. Pilar ska appliceras på ett avstånd av 2 ... 3 mm från den yttre änden av slaget.

FÖR ETT KOMPLEXAT SNITTNING utförs även drag av en öppen sektionslinje vid vecken av sektionslinjen.

NÄRA pilarna som anger synriktningen appliceras versaler i det ryska alfabetet från utsidan av hörnet. Bokstavsbeteckningar tilldelas i alfabetisk ordning utan upprepningar och utan utelämnanden.

Själva snittet ska märkas med en inskription av typ A-A

Om skärplanet sammanfaller med objektets symmetriplan och skärningen görs på platsen för motsvarande vy i projektionsförhållandet, är det inte nödvändigt att markera skärningens position för horisontella, frontala och profilsnitt. plan och snittet åtföljs inte av en inskription.

Om objektets konturlinje sammanfaller med symmetriaxeln, indikeras gränsen mellan vyn och sektionen med en vågig linje som är ritad så att bilden av kanten bevaras.

Den här lektionen kommer att hjälpa dem som vill få en uppfattning om ämnet "Ett tecken på vinkelräthet mellan två plan." I början av det kommer vi att upprepa definitionen av dihedral och linjär vinkel. Sedan kommer vi att överväga vilka plan som kallas vinkelräta, och vi kommer att bevisa kriteriet för vinkelrätheten hos två plan.

Ämne: Linjers och plans vinkelräthet

Lektion: Tecken på vinkelräthet för två plan

Definition. En dihedrisk vinkel är en figur som bildas av två halvplan som inte hör till samma plan, och deras gemensamma räta linje a (a är en kant).

Ris. 1

Betrakta två halvplan α och β (Fig. 1). Deras gemensamma gräns är l. Denna figur kallas en dihedral vinkel. Två skärande plan bildar fyra dihedriska vinklar med en gemensam kant.

En dihedrisk vinkel mäts av dess linjära vinkel. Vi väljer en godtycklig punkt på en gemensam kant l av den dihedriska vinkeln. I halvplanen α och β från denna punkt ritar vi vinkelräta a och b till den räta linjen l och erhåller den linjära vinkeln för den dihedriska vinkeln.

Raka linjer a och b bildar fyra vinklar lika med φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Kom ihåg att den minsta av dessa vinklar kallas vinkeln mellan linjer.

Definition. Vinkeln mellan planen är den minsta av de dihedriska vinklarna som bildas av dessa plan. φ - vinkel mellan planen α och β, if

Definition. Två plan som skär varandra kallas vinkelräta (inbördes vinkelräta) om vinkeln mellan dem är 90°.

Ris. 2

En godtycklig punkt M väljs på kanten l (fig. 2). Låt oss rita två vinkelräta linjer MA = a och MB = b till kanten l i planet α respektive i planet β. Vi fick vinkeln AMB. Vinkel AMB är den linjära vinkeln för en dihedrisk vinkel. Om vinkeln AMB är 90°, sägs planen α och β vara vinkelräta.

Linjen b är vinkelrät mot linjen l genom konstruktion. Linjen b är vinkelrät mot linjen a, eftersom vinkeln mellan planen α och β är 90°. Vi får att linjen b är vinkelrät mot två skärande linjer a och l från planet α. Därför är linjen b vinkelrät mot planet α.

På liknande sätt kan man bevisa att linjen a är vinkelrät mot planet β. Linjen a är vinkelrät mot linjen l genom konstruktion. Linjen a är vinkelrät mot linjen b, eftersom vinkeln mellan planen α och β är 90°. Vi får att linjen a är vinkelrät mot två skärande linjer b och l från planet β. Därför är linjen a vinkelrät mot planet β.

Om ett av två plan passerar genom en linje vinkelrät mot det andra planet, så är sådana plan vinkelräta.

Bevisa:

Ris. 3

Bevis:

Låt planen α och β skära längs den räta linjen AC (Fig. 3). För att bevisa att planen är inbördes vinkelräta måste du konstruera en linjär vinkel mellan dem och visa att denna vinkel är lika med 90 °.

Linjen AB är av tillståndet vinkelrät mot planet β, och därmed även mot linjen AC som ligger i planet β.

Låt oss rita linjen AD vinkelrätt mot linjen AC i planet β. Då är BAD den linjära vinkeln för den dihedriska vinkeln.

Linjen AB är vinkelrät mot planet β, och därmed även mot linjen AD som ligger i planet β. Så den linjära vinkeln BAD är 90°. Därför är planen α och β vinkelräta, vilket skulle bevisas.

Planet vinkelrätt mot linjen längs vilken två givna plan skär är vinkelrät mot vart och ett av dessa plan (fig. 4).

Bevisa: