Gama e ndryshimit të opsionit. Seria e shpërndarjes së variacionit dhe statistikave. Si të interpretoni vlerën e kriterit Wilkexon
Grupi i vlerave të vlerës së studiuar në këtë eksperiment ose vëzhgim të parametrit të përcjellë në madhësi (ngjitëse ose zbritje) quhet një numër varianti.
Supozoni se kemi matur presionin e gjakut në dhjetë pacientë për të marrë pragun e sipërm të presionit të gjakut: presioni sistolik, i.e. Vetëm një numër.
Paramendoni se një seri vëzhgimesh (agregate statistikore) e presionit arterial sistolik në 10 vëzhgime është si më poshtë (Tabela 1):
Tabela 1
Komponentët e numrit të variacionit quhen opsione. Opsionet janë një vlerë numerike e shenjës së studiuar.
Ndërtimi nga një vëzhgim agregat statistikor i serialit të variacionit - vetëm hapi i parë për të kuptuar karakteristikat e të gjithë popullsisë. Tjetra, është e nevojshme të përcaktohet niveli mesatar i tiparistikës sasiore që rezulton (niveli mesatar i proteinave të gjakut, pesha mesatare e pacientëve, koha mesatare e ndodhjes së anestezisë etj.)
Niveli mesatar matet duke përdorur kriteret që quhen vlera mesatare. Vlera mesatare është një karakteristikë numerike e përgjithësuar e vlerave cilësore homogjene, e cila karakterizon në një numër të tërë statistikor të vendosur në një bazë. Vlera mesatare shprehet në përgjithësi, e cila është karakteristikë e një shenje në këtë grup të vëzhgimeve.
Tre lloje të vlerave mesatare përdoren zakonisht: moda (), mesatarja () dhe vlera e mesme ().
Për të përcaktuar ndonjë mesatare, është e nevojshme të përdoret rezultatet e vëzhgimeve individuale, duke i shkruar ato në formën e një serie variantive (Tabela 2).
Modë - Vlera më e zakonshme në një seri vëzhgimesh. Në shembullin tonë të modës \u003d 120. Nëse nuk ka vlera të përsëritura në seri të variacionit, ata thonë se nuk ka modalitet. Nëse vlerat e shumta përsëriten të njëjtin numër herë, atëherë më i vogli prej tyre marrin si modë.
Mesatar - Vlera që ndan shpërndarjen në dy pjesë të barabarta, vlera qendrore ose mesatare e një serie të vëzhgimeve, të urdhëruara nga ngjitja ose zbritja. Pra, nëse në seri të variacionit të 5 të vlerave, atëherë mesatarja e saj është e barabartë me një anëtar të tretë të serisë së variacionit, nëse në një rresht një numër të barabartë të anëtarëve, atëherë mesatarja është mesatarja aritmetike e dy vëzhgimeve të saj qendrore, dmth Nëse ka 10 vëzhgime, median është i barabartë me mesataren e aritmetikës 5 dhe 6 vëzhgime. Në shembullin tonë.
Ne vërejmë një tipar të rëndësishëm të modës dhe medianëve: vlerat numerike të opsionit ekstrem nuk ndikojnë në vlerat e tyre.
Vlera e mesme aritmetike Llogaritur nga formula:
ku - vlera e vëzhguar e vëzhgimit, dhe numri i vëzhgimeve. Për rastin tonë.
Vlera mesatare aritmetike ka tre prona:
Mesatarja zë një pozitë të mesme në seri të variacionit. Në një rresht strikt simetrik.
Mesatarja është një magnitudë përgjithësuese dhe për mesataren nuk janë të dukshme nga luhatjet e rastësishme, dallimet në të dhënat individuale. Ajo pasqyron atë tipike, e cila është tipike për tërë tërësinë.
Shuma e devijimeve të të gjithë opsionit nga mesatarja është zero :. Opsioni i devijimit nga e mesme tregohet.
Seria e variacionit përbëhet nga një opsion dhe frekuencat përkatëse. Nga dhjetë vlerat e shifrës 120 u takuan 6 herë, 115 - 3 herë, 125 - 1 herë. Frekuenca () është numri absolut i opsionit individual në agregat, duke treguar sa herë ky opsion gjendet në seri të variacionit.
Seria e varianteve mund të jetë e thjeshtë (frekuenca \u003d 1) ose e mbyllur e shkurtuar, 3-5 opsione. Një gamë e thjeshtë përdoret me një numër të vogël të vëzhgimeve (), të grupuara - me një numër të madh të vëzhgimeve ().
Një vend i veçantë në analizën statistikore i takon përkufizimit të nivelit mesatar të shenjës ose fenomenit të studiuar. Niveli mesatar karakteristik matet me vlerat mesatare.
Vlera mesatare karakterizon nivelin e përgjithshëm sasior të tiparit nën studim dhe është një pronë grupore e një agregate statistikore. Nivelet e TI-së, dobëson devijimet e rastësishme të vëzhgimeve individuale në një mënyrë ose në një tjetër dhe thekson pronën kryesore, tipike të shenjës së studiuar.
Variablat mesatare përdoren gjerësisht:
1. Të vlerësojë gjendjen e shëndetit të popullsisë: karakteristikat e zhvillimit fizik (rritja, pesha, perimetri i gjoksit, etj.), Duke zbuluar prevalencën dhe kohëzgjatjen e sëmundjeve të ndryshme, analizën e treguesve demografikë (lëvizja natyrore e popullsisë, mesatarja Kohëzgjatja e jetës së ardhshme, riprodhimi i popullsisë, popullsia mesatare dhe etj.).
2. Të studiojë aktivitetet e institucioneve mjekësore dhe profilaktike, personelit mjekësor dhe të vlerësojë cilësinë e punës së tyre, planifikimin dhe përcaktimin e nevojave të popullsisë në lloje të ndryshme të kujdesit mjekësor (numri mesatar i ankesave ose vizitave për banor, Kohëzgjatja mesatare e qëndrimit të pacientit në spital, kohëzgjatja mesatare e anketës pacientit, siguria mesatare e mjekëve, harqet, etj.).
3. Të karakterizojë gjendjen sanitare dhe epidemiologjike (pluhuri mesatar i ajrit në punëtori, zona mesatare për person, normat mesatare të konsumit të proteinave, yndyrave dhe karbohidrateve etj.).
4. Për të përcaktuar treguesit mjekësorë dhe fiziologjik, normalisht dhe patologjinë, gjatë përpunimit të të dhënave laboratorike, për të vendosur besueshmërinë e rezultateve të studimit të mostrës në studimet socio-higjienike, klinike, eksperimentale.
Llogaritja e vlerave mesatare bazohet në seri të variacionit. Seri variantike - Kjo është një statistikore homogjene në një marrëdhënie cilësore, disa njësi të të cilave karakterizojnë dallimet sasiore në atributin ose fenomenin e studiuar.
Variacioni sasior mund të jetë dy lloje: një ndërprerë (diskrete) dhe i vazhdueshëm.
Një tipar i pandërprerë (diskrete) shprehet vetëm nga një numër i plotë dhe nuk mund të ketë vlera të ndërmjetme (për shembull, numri i vizitave, popullsia e popullsisë, numri i fëmijëve në familje, ashpërsia e sëmundjes në pikat, etj .).
Një shenjë e vazhdueshme mund të marrë ndonjë vlerë brenda kufijve të caktuar, duke përfshirë pjesa dhe shprehet vetëm përafërsisht (për shembull, pesha - për të rriturit mund të kufizohen në kilogramë, dhe për të sapolindur - gram; rritja, koha e kaluar, koha e kaluar, koha e kaluar Pritja e pacientit, etj.).
Vlera digjitale e çdo funksioni ose fenomeni individual të përfshirë në vargun e variacionit quhet opsioni dhe tregohet nga letra V. . Në literaturën matematikore ka emërtime të tjera, për shembull x. ose y.
Një varg ndryshimi, ku secili opsion është i specifikuar një herë, quhet i thjeshtë. Rreshtat e tilla përdoren në shumicën e detyrave statistikore në rastin e përpunimit të të dhënave kompjuterike.
Me një rritje të numrit të vëzhgimeve, si rregull, ka mundësi të përsëritura të vlerave. Në këtë rast është krijuar variacione të grupuaraku tregohet numri i përsëritjeve (frekuenca tregohet nga shkronja " r »).
Variacionet e shiut Ai përbëhet nga një opsion i rregulluar në mënyrë ngjitëse ose zbritje. Rreshtat e thjeshta dhe të grupuara mund të përpilohen me renditje.
Seria e ndryshimit të intervalit Përbëjnë për të lehtësuar llogaritjet e mëvonshme të kryera pa përdorimin e një kompjuteri, me një numër shumë të madh të njësive të vëzhgimit (më shumë se 1000).
Seri të Vazhdueshme të Variacionit Përfshin vlerat e opsionit që mund të shprehet nga çdo vlerësim.
Nëse në seri të variacionit vlerat e atributit (opsionet) janë dhënë në formën e numrave individualë të veçantë, atëherë një numër i tillë i quajtur diskrete.
Karakteristika të përbashkëta Shenjat e pasqyruara në seri të variacionit janë vlera mesatare. Midis tyre janë më të përdorura: vlera mesatare aritmetike M,modë Modhe Mediana Mua.Secila nga këto karakteristika është fillimisht. Ata nuk mund të zëvendësojnë njëri-tjetrin dhe vetëm në agregat mjaft plotësisht dhe në një formë të ngjeshur janë tiparet e serialit të variacionit.
Modë (Mo) telefononi vlerën e opsioneve më të zakonshme.
Mesatar (Mua) - Kjo është vlera e opsioneve që ndajnë variacionet e renditura në gjysmë (në secilën anë të mesatares është gjysma e opsionit). Në raste të rralla, kur ekziston një seri variacioni simetrik, një mod dhe median janë të barabartë me njëri-tjetrin dhe përkojnë me vlerën e aritmetikës mesatare.
Karakteristika më tipike e vlerave është opsioni është aritmetikë e mesme sasi ( M. ). Në literaturën matematikore, tregohet .
Vlera e mesme aritmetike (M, ) - Ky është karakteristika totale sasiore e një shenje të caktuar të fenomeneve të studiuara që përbën një agregat statistikor cilësor cilësor. Dalloni midis aritmetikës mesatare të thjeshtë dhe të ponderuara. Aritmetika mesatare është e thjeshtë llogaritet për një seri varianti të thjeshtë duke përmbledhur të gjithë variantin dhe duke e ndarë këtë shumë për numrin e përgjithshëm të opsioneve të përfshira në këtë varg ndryshimi. Llogaritjet kryhen nga formula:
ku: M. - Mesatare aritmetike e thjeshtë;
Σ V. - Opsioni i shumës;
n. - Numri i vëzhgimeve.
Në një seri varianti të grupuar, përcaktohet një aritmetikë mesatare e ponderuar. Formula e llogaritjes së saj:
ku: M. - mesatarja aritmetike e ponderuar;
Σ VP. - sasia e opsionit të produkteve në frekuencën e tyre;
n. - Numri i vëzhgimeve.
Me një numër të madh të vëzhgimeve në rastin e llogaritjeve manuale, mund të zbatohet mënyra e momenteve.
Aritmetika mesatare ka pronat e mëposhtme:
· Shuma e opsionit të devijimit nga mesatarja ( Σ d. ) të barabartë me zero (shih Tabelën 15);
· Pas shumëzimit (ndarjes) të të gjithë opsionit në të njëjtin faktor (ndarës), aritmetika mesatare shumëzohet (e ndarë) për të njëjtin faktor (ndarës);
· Nëse shtoni (zbres) për të gjitha variantet, të njëjtin numër, rritja mesatare aritmetike (zvogëlohet) në të njëjtin numër.
Vlerat mesatare aritmetike, të marra vetë, pa marrë parasysh ndryshueshmërinë e serisë, për të cilat llogariten, nuk mund të pasqyrojnë plotësisht vetitë e serisë së variacionit, veçanërisht kur nevojitet krahasimi me mediumet e tjera. Medium i saktë mund të merret nga një rresht me shkallë të ndryshme të shpërndarjes. Sa më afër njëri-tjetrit disa opsione në karakteristikën e tyre sasiore, aq më pak shpërndarja (ndryshueshmëria, ndryshueshmëria) Një numër, aq më tipik i mesatares së saj.
Parametrat kryesorë që lejojnë vlerësimin e ndryshueshmërisë së funksionit janë:
· Shtrirja;
· Amplitudë;
· Devijimi mesatar katror;
· Koeficienti i variacionit.
Përafërsisht në lidhje me seksionet e shenjës mund të gjykohet nga fushëveprimi dhe amplitudë e serive të variacionit. Shtrirja tregon maksimumin (v max) dhe opsionet minimale (v min) në rresht. Amplitudë (një m) është ndryshimi i këtyre opsioneve: një m \u003d v max - v min.
Masa kryesore, përgjithësisht e pranuar e variacioneve të variacionit janë shpërndarje (D. ). Por parametri më i zakonshëm më i përshtatshëm, i llogaritur në bazë të shpërndarjes - devijimi mesatar katror ( σ ). Ai merr parasysh madhësinë e devijimit ( d. ) Çdo variant i ndryshimit varion nga aritmetika e saj e mesme ( d \u003d v - m ).
Meqenëse opsioni i devijimit nga mesatarja mund të jetë pozitive dhe negative, atëherë kur përmblidhet, ata japin vlerën "0" (s d \u003d 0.). Për të shmangur këtë, vlerat e devijimit ( d.) Në fillim të shkallës së dytë dhe janë mesatarisht. Kështu, shpërndarja e serialit të variacionit është një shesh mesatar i devijimeve opsion nga aritmetika e mesme dhe llogaritet nga formula:
Është karakteristika më e rëndësishme e ndryshueshmërisë dhe përdoret për të llogaritur shumë kritere statistikore.
Meqenëse shpërndarja shprehet nga sheshi i devijimeve, vlera e saj nuk mund të përdoret në krahasim me aritmetikën mesatare. Për këto qëllime zbatohet devijimi mesatar katrore cila tregohet nga shenja "Sigma" ( σ ). Kjo karakterizon devijimin mesatar të të gjitha ndryshimeve të ndryshimit nga vlera e mesme aritmetike në të njëjtat njësi si vetë vlera e mesme, kështu që ato mund të përdoren së bashku.
Devijimi mesatar katror përcaktohet nga formula:
Kjo formulë zbatohet me numrin e vëzhgimeve ( n. ) më shumë se 30. Me një numër më të vogël n. Vlera mesatare e devijimit kuadratik do të ketë një gabim të lidhur me zhvendosjen matematikore ( n. - një). Në këtë drejtim, një rezultat më i saktë mund të merret duke marrë parasysh një zhvendosje të tillë në formulën për llogaritjen e devijimit standard:
devijim standard (s. ) - Ky është një vlerësim i devijimit rempluktak të një ndryshore të rastit H. Sa i përket shpresës së saj matematikore bazuar në një vlerësim të pabesueshëm të dispersionit të saj.
Në vlera N. \u003e 30 devijim mesatar katror ( σ ) dhe devijimi standard ( s. ) do të jetë i njëjtë ( Σ \u003d S. ). Prandaj, në shumicën e përfitimeve praktike, këto kritere konsiderohen të ndryshme. Në programin Excel, llogaritja e devijimit standard mund të kryhet nga funksioni \u003d standotclone (varg). Dhe për të llogaritur devijimin mesatar katror, \u200b\u200bkërkohet të krijojë një formulë të përshtatshme.
Devijimi mesatar katror ose standard ju lejon të përcaktoni se sa e rëndësishme mund të ndryshojnë vlerat e karakterit nga vlera mesatare. Supozoni se ka dy qytete me të njëjtën temperaturë mesatare gjatë ditës në verë. Një nga këto qytete është e vendosur në bregdet, dhe tjetri në kontinent. Dihet se në qytetet e vendosura në bregdet, dallimet në temperaturat e ditës janë më të vogla se qytetet e vendosura brenda kontinentit. Prandaj, devijimi mesatar katror i temperaturave të ditës në qytetin bregdetar do të jetë më i vogël se qyteti i dytë. Në praktikë, kjo do të thotë se temperatura mesatare e ajrit të çdo dite të veçantë në qytetin e vendosur në kontinent do të ndryshojë më shumë nga vlera mesatare sesa në qytet në bregdet. Përveç kësaj, devijimi standard ju lejon të vlerësoni devijimet e mundshme të temperaturës nga mesatarja me nivelin e kërkuar të probabilitetit.
Sipas teorisë së probabilitetit, në fenomenet e dorëzuara në ligjin normal të shpërndarjes, midis vlerave të aritmetikës mesatare, devijimit mesatar katror dhe opsioneve ka një varësi të rreptë ( rregulli tre sigm). Për shembull, 68.3% e vlerave të funksionit të variacionit janë brenda M ± 1 σ , 95.5% - brenda M ± 2 σ dhe 99.7% - brenda M ± 3 σ .
Madhësia e devijimit mesatar katror lejon të gjykojë natyrën e homogjenitetit të serisë së variacionit dhe grupit të studiuar. Nëse madhësia e devijimit mesatar katror është i vogël, kjo tregon një uniformitet mjaft të lartë të fenomenit nën studim. Aritmetika mesatare në këtë rast duhet të njihet si shumë karakteristike e këtij serie variantive. Megjithatë, sigma shumë e vogël bën të menduarit për përzgjedhjen artificiale të vëzhgimeve. Me një Sigma shumë të madhe, aritmetika mesatare në një masë më të vogël karakterizon seritë variantive, e cila tregon një ndryshueshmëri të konsiderueshme të karakterit të studiuar ose fenomenit ose heterogjenitetit të grupit nën studim. Megjithatë, krahasimi i madhësisë së devijimit mesatar kuadratik është i mundur vetëm për shenjat e të njëjtit dimension. Në të vërtetë, nëse krahasoni shumëllojshmërinë e peshave të fëmijëve dhe të rriturve të porsalindur, ne gjithmonë marrim vlera më të larta sigma në të rriturit.
Mund të kryhet krahasimi i ndryshueshmërisë së shenjave të dimensioneve të ndryshme variacion koeficient. Ajo shpreh një shumëllojshmëri si një përqindje e vlerës mesatare, e cila lejon krahasimin e shenjave të ndryshme. Koeficienti i variacionit në literaturën mjekësore tregohet nga shenja " Nga ", Dhe në matematikore" v."Dhe llogaritet nga formula:
Vlerat e koeficientit të variacionit prej më pak se 10% tregojnë një shpërndarje të vogël, nga 10 në 20% - rreth një mesatare, më shumë se 20% - për shpërndarjen e fortë të opsionit rreth aritmetikës së mesme.
Vlera mesatare aritmetike llogaritet zakonisht në bazë të grupit selektiv të të dhënave. Me studime të përsëritura, nën ndikimin e fenomeneve të rastit, aritmetika mesatare mund të ndryshojë. Kjo është për shkak të faktit se është shqyrtuar, si rregull, vetëm një pjesë e njësive të mundshme të vëzhgimit, domethënë një agregat selektiv. Informacioni për të gjitha njësitë e mundshme që përfaqësojnë fenomenin e studiuar mund të merret kur studiojnë të gjithë popullsinë e përgjithshme, e cila nuk është gjithmonë e mundur. Në të njëjtën kohë, me qëllim të përgjithësimit të të dhënave eksperimentale, vlera e mesatares në popullatën e përgjithshme është me interes. Prandaj, për formulimin e përfundimit të përgjithshëm në lidhje me fenomenin e studiuar, rezultatet e marra në bazë të agregatit selektiv duhet të transferohen në grupin e përgjithshëm të metodave statistikore.
Për të përcaktuar shkallën e rastësisë së studimit të mostrës dhe popullatës së përgjithshme, është e nevojshme të vlerësohet madhësia e gabimit, e cila ndodh në mënyrë të pashmangshme kur vëzhgimi selektiv. Ky gabim quhet " Gabim përfaqësues"Ose" gabimi i mesëm aritmetik ". Është në të vërtetë një ndryshim midis mesatares së marrë në mostër vëzhgim statistikor, dhe vlera të ngjashme që do të merren me një studim të vazhdueshëm të të njëjtit objekt, i.e. Kur studion popullatën e përgjithshme. Meqenëse mesatarja selektive është një vlerë e rastësishme, një parashikim i tillë kryhet me një probabilitet të pranueshëm për kërkuesin. Në studimet mjekësore, është të paktën 95%.
Gabimi përfaqësues nuk mund të përzihet me gabimet e referencës ose gabimet e vëmendjes (etj.), Të cilat duhet të reduktohen në minimum me teknika dhe mjete adekuate të përdorura në eksperiment.
Madhësia e gabimit të përfaqësimit varet nga madhësia e mostrës dhe ndryshueshmëria e mostrimit. Sa më i madh të jetë numri i vëzhgimeve, sa më afër mostrës ndaj popullatës së përgjithshme dhe gabimit më pak. Sa më ndryshon shenjën, aq më e madhe është vlera e gabimit statistikor.
Në praktikë, për të përcaktuar gabimin e përfaqësimit në seri të variacionit përdor formulën e mëposhtme:
ku: m. - Gabim përfaqësues;
σ - devijimi i mesëm katror;
n. - Numri i vëzhgimeve në mostër.
Nga formula, mund të shihet se madhësia e gabimit mesatar është drejtpërsëdrejti proporcional me devijimin mesatar katror, \u200b\u200bdmth. Ndryshueshmëria e atribuimit të studiuar, dhe në mënyrë proporcionale në mënyrë proporcionale me rrënjën e sheshit nga numri i vëzhgimeve.
Gjatë kryerjes së analizës statistikore, bazuar në llogaritjen e vlerave relative, ndërtimi i një numri ndryshimi nuk është i detyrueshëm. Në të njëjtën kohë, përkufizimi i një gabimi mesatar për treguesit relativë mund të kryhet në një formulë të thjeshtuar:
ku: R- madhësia e treguesit relativ, e shprehur në përqindje, ppm, etj;
q. - shuma, p.sh. dhe e shprehur si (1-p), (100-p), (1000 p), etj., në varësi të bazës mbi të cilën llogaritet treguesi;
n. - Numri i vëzhgimeve në totalin selektiv.
Megjithatë, formula e specifikuar për llogaritjen e gabimit të përfaqësimit për vlerat relative mund të përdoret vetëm në rastin kur vlera e treguesit është më e vogël se baza e saj. Në disa raste, llogaritja e treguesve intensive nuk është në përputhje me një kusht të tillë, dhe treguesi mund të shprehet me numrin e më shumë se 100% ose 1000% të. Në një situatë të tillë, ekziston një seri bashkëshortore dhe llogaritja e gabimit përfaqësues nga formula për vlerat mesatare të bazuara në devijimin katror të mesëm.
Parashikimi i vlerës së aritmetikës mesatare në popullatën e përgjithshme kryhet me treguesin e dy vlerave - minimumin dhe maksimumin. Këto vlera ekstreme të devijimeve të mundshme, brenda të cilave mund të luhatet vlera mesatare e dëshiruar e popullsisë së përgjithshme, quhen " Kufijtë e besimit».
Përkthimet e teorisë së probabilitetit dëshmohen se në shpërndarjen normale të tipareve me probabilitet prej 99.7%, vlerat ekstreme të devijimeve mesatare nuk do të jenë më shumë se madhësia e gabimit të përfaqësimit të trefishuar ( M. ± 3. m. ); 95.5% - jo më shumë se vlera e gabimit mesatar të dyfishtë të vlerës mesatare ( M. ± 2. m. ); 68.3% - jo më shumë se shuma e një gabimi mesatar ( M. ± 1. m. ) (Fig. 9).
| P% |
Fik. 9. Dendësia e probabilitetit të shpërndarjes normale.
Vini re se deklarata e mësipërme është mjaft vetëm për një veçori që i nënshtrohet ligjit normal të shpërndarjes së Gausit.
Shumica e studimeve eksperimentale, duke përfshirë në fushën e mjekësisë, janë të lidhur me matjet, rezultatet e të cilave mund të marrin pothuajse çdo vlerësim në një interval të caktuar, prandaj, si rregull, përshkruhet një model i variablave të rastësishëm të vazhdueshëm. Në këtë drejtim, në shumicën e metodave statistikore, janë konsideruar shpërndarjet e vazhdueshme. Një shpërndarje e tillë që ka një rol themelor në statistikat matematikore është normale, ose Gaussian, shpërndarje.
Kjo shpjegohet me një numër arsyesh.
1. Para së gjithash, shumë vëzhgime eksperimentale mund të përshkruhen me sukses duke përdorur një shpërndarje normale. Duhet të theksohet menjëherë se nuk ka shpërndarje të shpërndarjes së të dhënave empirike që do të ishin mirë me normale, pasi një vlerë e rastësishme e shpërndarë normalisht po varion nga ajo, e cila nuk gjendet kurrë në praktikë. Megjithatë, shpërndarja normale është shumë shpesh e përshtatshme si një përafrim.
Nëse kryhen matjet e peshës, rritjes dhe parametrave të tjerë fiziologjik të trupit të njeriut - kudo që rezultatet kanë një ndikim të një numri shumë të madh të faktorëve të rastit (shkaqet natyrore dhe gabimet e matjes). Për më tepër, si rregull, veprimi i secilit prej këtyre faktorëve është i parëndësishëm. Përvoja tregon se rezultatet në raste të tilla do të shpërndahen përafërsisht normale.
2. Shumë shpërndarje të lidhura me një mostër të rastësishme, me një rritje të këtyre të fundit, shkojnë në normale.
3. Shpërndarja normale është e përshtatshme si një përshkrim i përafërt i shpërndarjeve të tjera të vazhdueshme (për shembull, asimetrik).
4. Shpërndarja normale ka një numër të pronave të favorshme matematikore, në shumë aspekte që ofrojnë përdorimin e saj të përhapur në statistika.
Në të njëjtën kohë, duhet të theksohet se ka shumë shpërndarje eksperimentale në të dhënat mjekësore, përshkrimi i të cilit modeli i shpërndarjes normale është i pamundur. Për ta bërë këtë, në statistikat e zhvilluara metodat që quhen "jo-parametrike".
Zgjedhja e një metode statistikore që është e përshtatshme për përpunimin e të dhënave të një eksperimenti të veçantë duhet të bëhet në varësi të përkatësisë së të dhënave në ligjin normal të shpërndarjes. Kontrolli i hipotezës për paraqitjen e një shenje me ligjin normal të shpërndarjes kryhet duke përdorur histogramin e shpërndarjes së frekuencës (grafik), si dhe një numër kriteresh statistikore. Midis tyre:
Kriteri i asimetrisë ( b. );
Kriteri i kontrollit tëxscess ( g. );
Kriteret Shapiro - Wilx ( W. ) .
Analiza e natyrës së shpërndarjes së të dhënave (quhet edhe vlefshmëria e shpërndarjes) kryhet për çdo parametër. Për të gjykuar me besim pajtueshmërinë e shpërndarjes së parametrit nga ligji normal, nevojiten një numër mjaft i madh i njësive të vëzhgimit (të paktën 30 vlera).
Për shpërndarje normale, kriteret e asimetrisë dhe të tepërt marrin vlerën prej 0. Nëse shpërndarja është zhvendosur në të djathtë b. \u003e 0 (asimetri pozitive), me b. < 0 - график распределения смещен влево (отрицательная асимметрия). Критерий асимметрии проверяет форму кривой распределения. В случае нормального закона g. \u003d 0. Për g. \u003e 0 kurbë të mprehtë të shpërndarjes nëse g. < 0 пик более сглаженный, чем функция нормального распределения.
Për të kontrolluar normalitetin me kriterin e Shapiro - Wilx, kërkohet të gjesh kuptimin e këtij kriteri mbi tabelat statistikore me nivelin e domosdoshëm të rëndësisë dhe varësisht nga numri i njësive të vëzhgimit (gradat e lirisë). Shtojca 1. Hipoteza e normalitetit refuzohet me vlera të vogla të këtij kritere, si rregull, w. <0,8.
Kombinimi i objekteve ose fenomeneve të kombinuara nga çdo tipar i përbashkët ose pronë e natyrës me cilësi të lartë ose sasiore është quajtur vëzhgimi i objektit .
Çdo objekt i vëzhgimit statistikor përbëhet nga elemente individuale - vëzhgimi i njësive .
Rezultatet e vëzhgimit statistikor janë informacion numerik - të dhëna . Të dhëna statistikore - Ky është informacioni në lidhje me vlerat, hulumtimi është i interesuar për studiuesin në një agregat statistikor.
Nëse vlerat e karakterit shprehen me numra, thirret shenja sasior .
Nëse funksioni karakterizon një pronë ose gjendje të elementeve të agregatit, atëherë thirret shenja cilësues .
Nëse studimi i nënshtrohet të gjitha elementeve të agregatit (vëzhgimi solid), atëherë thirret agregati statistikor gjeneral.
Nëse një studim i nënshtrohet një pjese të elementeve të popullatës së përgjithshme, atëherë thirret agregati statistikor selektiv (marrja e mostrave) . Përzgjedhja nga popullata e përgjithshme është nxjerrë rastësisht, në mënyrë që secili prej elementëve të mostrës të ketë shanse të barabarta për t'u përzgjedhur.
Vlerat e atributit gjatë tranzicionit nga një element i grupit në tjetrin ndryshohen (ndryshojnë), prandaj, në statistika, gjithashtu thirren shenja të ndryshme opsione . Opsionet zakonisht tregohen me shkronja të vogla latine x, y, z.
Numri i sekuencës së opsionit (vlerat e shenjave) quhet rang . x 1 - 1 mishërim (shenjë e parë), x 2 - opsion 2 (vlera e 2-të e shenjave), x i - i-th variant (I-E Sign).
Urdhëruar në mënyrë që të rritet ose zvogëlohet një numër shenjash (opsione) me peshat përkatëse të quajtura variacional afër (shpërndarjes së afërt).
Si peshon Frekuencë ose frekuencë.
Frekuencë(M i) tregon sa herë një ose një tjetër (vlera e shenjave) në një agregat statistikor.
Frekuenca ose frekuenca relative (W i) tregon se cila pjesë e njësive të kombinimit ka një ose një tjetër. Frekuenca llogaritet si raporti i frekuencës së një ose një opsioni tjetër për shumën e të gjitha frekuencave të rreshtit.
. (6.1)
Shuma e të gjitha frekuencave është e barabartë me 1.
. (6.2)
Rreshtat e variacioneve janë diskrete dhe interval.
Rreshta ndryshore diskrete Në mënyrë tipike të ndërtuar në rast se vlerat e shenjës së studiuar mund të ndryshojnë nga njëri-tjetri me jo më pak se një vlerë përfundimtare.
Në rreshtat e ndryshimeve diskrete, janë vendosur vlerat e pikave.
Pamja e përgjithshme e numrit të ndryshimit diskrete është specifikuar në Tabelën 6.1.
Tabela 6.1
ku i \u003d 1, 2, ..., l.
Në intervalin e variacioneve në secilën interval, kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të intervalit dallohen.
Dallimi midis kufijve të sipërm dhe të poshtëm të intervalit është quajtur ndryshim në interval ose gjatësia (vlera) interval .
Madhësia e intervalit të parë K 1 përcaktohet nga formula:
k 1 \u003d. a 2 - A 1;
së dyti: k 2 \u003d dhe 3 - a 2; ...
e fundit: k l \u003d a L - A L -1.
Në përgjithësi ndryshim në interval K Unë llogaritet nga formula:
k i \u003d x i (max) - x i (min). (6.3)
Nëse intervali ka të dy kufijtë, atëherë quhet mbyllur .
Intervalet e para dhe të fundit mund të jenë i hapur . kanë vetëm një kufi.
Për shembull, intervali i parë mund të vendoset si "deri në 100", e dyta - "100-110", ..., parafundit - "190-200", e fundit - "200 dhe më shumë". Natyrisht, intervali i parë nuk ka kufirin e poshtëm dhe të fundit - të dyja të dyja janë të hapura.
Shpesh intervale të hapura duhet të jenë të shenjtëruara. Për këtë qëllim, intervali i parë zakonisht merret i barabartë me vlerën e dytë, dhe madhësia e fundit është madhësia e parafundit. Në shembullin tonë, madhësia e intervalit të dytë është 110-100 \u003d 10, prandaj kufiri i poshtëm i intervalit të parë është me kusht 100-10 \u003d 90; Madhësia e intervalit të parafundit është 200-190 \u003d 10, prandaj kufiri i sipërm i intervalit të fundit është i kushtëzuar në 200 + 10 \u003d 210.
Përveç kësaj, grupet e variacionit interval mund të hasnin intervale me gjatësi të ndryshme. Nëse intervalet në varg të variacionit kanë të njëjtën gjatësi (ndryshimi i intervalit), ato quhen isometrik , ndryshe - jo uniforme.
Kur ndërton një varg ndryshimi interval, është përballur shpesh problemi i përzgjedhjes së madhësisë së intervalit (ndryshimi i intervalit).
Për të përcaktuar madhësinë optimale të intervaleve (në rast se është ndërtuar një rresht me intervale të barabarta) formula Stargessa:
, (6.4)
ku n është numri i njësive të agregatit,
x (max) dhe x (min) - vlerat më të mëdha dhe më të vogla të varianteve të rreshtit.
Për karakteristikat e serisë së varianteve, së bashku me frekuencat dhe partitë, përdoren frekuencat dhe frekuencat e grumbulluara.
Frekuencat e grumbulluara (frekuenca) Tregoni sa njësi të agregatit (cila pjesë e tyre) nuk e tejkalojnë vlerën e specifikuar (opsion) x.
Frekuencat e grumbulluara ( v I.) Sipas serive diskrete, është e mundur të llogarisë sipas formulës së mëposhtme:
. (6.5)
Për serinë e ndryshimit të intervalit - kjo është shuma e frekuencave (frekuencave) të të gjitha intervaleve që nuk e kalojnë këtë.
Variacionet diskrete mund të përfaqësohen grafikisht duke përdorur shpërndarja ose frekuenca e frekuencës së poligonit.
Kur ndërton një poligon shpërndarje përgjatë boshtit abscissa, vlerat e tipareve (variantet) shtyhen, dhe përgjatë ordinate ose akset e frekuencave. Në kryqëzimin e vlerave të funksionit dhe frekuencave përkatëse (frekuenca), pikat shtyhen, të cilat, nga ana tjetër, janë të lidhura me segmente. Rrjedhja rezultuese quhet një poligon i shpërndarjes së frekuencës (frekuenca).
|
|
|
Fik. 6.1. Variacionet e intervalit mund të përfaqësohen në mënyrë grafike duke përdorur histogram. Grafiku i filmit.
Kur ndërton një histogram përgjatë aksit abscissa, vlerat e atributit të studiuar (kufijtë e intervalit) janë shtyrë.
Në rast se intervalet janë të njëjta vlerë, ordinate ose frekuencat ose frekuencat mund të shtyhen përgjatë aksit me ordinate.
Nëse intervalet kanë madhësi të ndryshme, përgjatë aksit me ordinate, është e nevojshme të shtyhet vlerat e densitetit absolut ose relativ të shpërndarjes.
Dendësia absolute - Raporti i frekuencës së intervalit në madhësinë e intervalit:
; (6.6)
ku: f (a) Unë jam dendësia absolute e intervalit të I-T;
m i - frekuenca e intervalit të I-th;
k i është vlera e intervalit të I-T (ndryshimi i intervalit).
Dendësia absolute tregon se sa njësi të agregatit janë për njësi të intervalit.
Dendësia relative - Raporti i frekuencës së intervalit në madhësinë e intervalit:
; (6.7)
ku: f (o) Unë jam dendësia relative e intervalit të I-T;
unë jam frekuenca e intervalit të I-T-së.
Dendësia relative tregon se cila pjesë e njësive të agregatit është për njësi të intervalit.
|
|
|
Dhe seria dalluese diskrete dhe interval në mënyrë grafike mund të përfaqësohet si kumulative dhe platforma.
Kur ndërton kumulats Sipas serive diskrete, vlerat e funksionit (opsionet) shtyhen përgjatë boshtit abscissa, dhe frekuencat ose frekuencat e akumuluara janë grumbulluar në aks. Në kryqëzimin e shenjave (opsionet) dhe frekuencat përkatëse të akumuluara (frekuencat), janë ndërtuar pikat, të cilat, nga ana tjetër, janë të lidhura me segmente ose kurbë. Rezultati i thyer (kurbë) quhet një kumuluar (kurbë kumulative).
Kur ndërton kumulate sipas serive interval përgjatë boshtit abscissa, kufijtë e intervaleve shtyhen. Abraksionet e pikave janë kufijtë e sipërm të intervaleve. Ordinates formojnë frekuencat e akumuluara (frekuenca) të intervaleve përkatëse. Shpesh shtoni një pikë tjetër, abscissa e së cilës është kufiri i poshtëm i intervalit të parë, dhe ordinati është zero. Lidhja e pikave me seksione ose kurbë, ne marrim cumulating.
Ogiva Është ndërtuar në mënyrë të ngjashme me kumulative me ndryshimin që aplikohet aksi i abscissa, që korrespondon me frekuencat e akumuluara (gjeneralët), dhe sipas aks ordinate - vlerat e shenjave (opsionet).
Akademia Ruse e Ekonomisë Kombëtare dhe Shërbimit Publik nën Presidentin e Federatës Ruse
Degë oryol
departamenti i Matematikës dhe Metodave Matematike në Menaxhim
Punë e pavarur
Matematikë
në temën "Seria variantive dhe karakteristikat e saj"
për studentët e departamentit me orar të plotë të fakultetit "Ekonomia dhe Menaxhimi"
drejtimet e trajnimit "Menaxhimi i personelit"
Qëllimi i punës:Mastering konceptet e statistikave matematikore dhe pritjet e përpunimit të të dhënave primare.
Një shembull i zgjidhjes së detyrave tipike.
Detyra 1.
Në studim, janë marrë të dhënat e mëposhtme ():
1 2 3 2 2 4 3 3 5 1 0 2 4 3 2 2 3 3 1 3 2 4 2 4 3 3 3 2 0 6
3 3 1 1 2 3 1 4 3 1 7 4 3 4 2 3 2 3 3 1 4 3 1 4 5 3 4 2 4 5
3 6 4 1 3 2 4 1 3 1 0 0 4 6 4 7 4 1 3 5
Nevoja:
1) Bëni një seri varianti (shpërndarja statistikore e mostrës), para shkrimit të një numri të ranguar diskrete të opsioneve.
2) të ndërtojë një poligonin dhe kumulat.
3) të krijojë një numër të shpërndarjes së frekuencave relative (frekuenca).
4) Gjeni karakteristikat kryesore numerike të serialit të variacionit (përdorimi i formulave të thjeshtuara për qëndrimin e tyre): a) mesatarja aritmetike, b) mesatare Mua. dhe modës Mo, c) dispersion s 2., d) devijimi i mesëm katror S., e) koeficienti i variacionit V..
5) sqaroni kuptimin e rezultateve të fituara.
Vendimi.
1) Për përpilim renditja e numrit diskrete të opsioneve Rendisni të dhënat e votimit në madhësi dhe vendosni ato në rendin në rritje.
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 6 6 6 7 7.
Ne do të bëjmë një seri varianti, duke shkruar në vijën e parë të vlerave të vërejtura të tabelës (opsionet), dhe në frekuencën e dytë që korrespondon me to (Tabela 1)
Tabela 1.
2) Poligoni i frekuencës është një pikë e thyer që lidh ( x I.; n I.), i.=1, 2,…, m.ku m. X..
Unë do të përshkruaj një poligonin e frekuencave të serialit të variacionit (Fig. 1).
Fig.1. Frekuenca e poligonit
Kurba kumulative (kumulat) për një varg ndryshimi diskrete përfaqëson një pikë të thyer që lidh ( x I.; nIH), i.=1, 2,…, m..
Gjeni frekuencat e akumuluara nIH (Frekuenca e akumuluar tregon se sa opsione janë vërejtur me një shenjë të një shenje të vogël h.). Vlerat e gjetura në vijën e tretë të tabelës 1.
Ne ndërtojmë kumulator (Fig. 2).
Fig.2. Kumulat
3) Ne gjejmë frekuenca relative (frekuenca), ku, ku m. - Numri i shenjave të ndryshme të funksionit X.të cilat ne do të llogarisim me saktësinë e njëjtë.
Ne shkruajmë një numër të shpërndarjes së frekuencave relative (frekuenca) në formën e tabelës 2
Tabela 2
4) Ne gjejmë karakteristikat numerike kryesore të serialit të variacionit:
a) aritmetikë e mesme e gjetur duke përdorur një formulë të thjeshtuar:
,
ku - opsionet e kushtëzuara
Vendos nga\u003d 3 (një nga vlerat mesatare të vëzhguara), k.\u003d 1 (diferenca midis dy opsioneve ngjitur) dhe të bëjë një tabelë të llogaritur (Tabela 3).
Tabela 3.
| x I. | n. I. | u I. | u n i n i | u i 2 n i |
| -3 | -12 | |||
| -2 | -26 | |||
| -1 | -14 | |||
| Shumë | -11 |
Pastaj aritmetika mesatare
b) median Mua. Seria e variacionit quhet vlera e atributit që vjen në mes të rreshtit të renditur të vëzhgimeve. Kjo varg ndryshimi diskrete përmban një numër të barabartë të anëtarëve ( n.\u003d 80), kjo do të thotë se mesatarja është e barabartë me gjysmën e mesit të dy opsioneve të mesme.
Modë Mo Gama e variacionit quhet opsioni në të cilin korrespondon frekuenca më e lartë. Për këtë seri varianti, frekuenca më e lartë N. Max \u003d 24 takon opsionin h. \u003d 3, pastaj modës Mo=3.
c) dispersion s 2.që është një masë e shpërndarjes së vlerave të mundshme të treguesit X. Rreth mesatares së saj, ne do të gjejmë duke përdorur formulën e thjeshtuar:
ku u I. - Opsionet e kushtëzuara
Llogaritjet e ndërmjetme gjithashtu sjellin në Tabelën 3.
Pastaj shpërndarje
d) devijimi i mesëm katror s. Gjeni nga formula:
.
e) koeficienti i variacionit V.: (),
Koeficienti i variacionit është një vlerë e pamatshme, prandaj është e përshtatshme për të krahasuar shpërndarjen e serive variacionale, opsionet e të cilave kanë dimensione të ndryshme.
Koeficienti i variacionit
.
5) Kuptimi i rezultateve të fituara është se vlera karakterizon shenjën mesatare X. Brenda mostrës në shqyrtim, domethënë, vlera mesatare ishte 2.86. Devijimi mesatar katror s. përshkruan shpërndarjen absolute të vlerave të treguesit X. Dhe në këtë rast shuma për të s. ≈ 1.55. Koeficienti i variacionit V. karakterizon ndryshueshmërinë relative të treguesit X., domethënë, shpërndajnë relative rreth vlerës së saj mesatare, dhe në këtë rast është.
Përgjigje: ; ; ; .
Detyra 2.
Ekzistojnë të dhënat e mëposhtme në kryeqytetin e tyre të 40 bankave më të mëdha në Rusinë Qendrore:
| 12,0 | 49,4 | 22,4 | 39,3 | 90,5 | 15,2 | 75,0 | 73,0 | 62,3 | 25,2 |
| 70,4 | 50,3 | 72,0 | 71,6 | 43,7 | 68,3 | 28,3 | 44,9 | 86,6 | 61,0 |
| 41,0 | 70,9 | 27,3 | 22,9 | 88,6 | 42,5 | 41,9 | 55,0 | 56,9 | 68,1 |
| 120,8 | 52,4 | 42,0 | 119,3 | 49,6 | 110,6 | 54,5 | 99,3 | 111,5 | 26,1 |
Nevoja:
1) Ndërtimi i variacioneve të intervaleve.
2) Llogaritni shpërndarjen selektive dhe selektive të mesme dhe selektive
3) Gjeni devijimin mesatar katror dhe koeficientin e variacionit.
4) të ndërtojë një histogram të frekuencës së shpërndarjes.
Vendimi.
1) Zgjidhni një numër arbitrar të intervaleve, për shembull, 8. Pastaj gjerësia e intervalit:
.
Le të bëjmë një tabelë të llogaritjes:
| Opsion interval x k -x k +1 | Frekuenca, n I. | Interval i mesëm x I. | Opsioni i kushtëzuar edhe une. | dhe unë n i | edhe une. 2 n I. | (dhe i +.1) 2 N I. |
| 10 – 25 | 17,5 | – 3 | – 12 | |||
| 25 – 40 | 32,5 | – 2 | – 10 | |||
| 40 – 55 | 47,5 | – 1 | – 11 | |||
| 55 – 70 | 62,5 | |||||
| 70 – 85 | 77,5 | |||||
| 85 – 100 | 92,5 | |||||
| 100 – 115 | 107,5 | |||||
| 115 – 130 | 122,5 | |||||
| Shumë | – 5 |
Si një zero e rreme, vlera është zgjedhur c \u003d.62.5 (Ky opsion ndodhet përafërsisht në mes të serisë së variacionit) .
Opsionet e kushtëzuara përcaktohen nga formula
Grupi i numrave, i kombinuar nga ndonjë shenjë, quhet agregat.
Siç është përmendur më lart, materiali kryesor i statistikave kryesore është një grup numrash të shpërndara që nuk i japin trajnerit të ideve për thelbin e një fenomeni apo procesi. Detyra është të kthejë këtë tërësi në sistem dhe ta përdorë atë me tregues për të marrë informacionin e kërkuar.
Përgatitja e serisë së variacionit është pikërisht formimi i një matematikore të caktuar
Shembull 2. Në 34 atletë të skiatorëve janë regjistruar një kohë të tillë të shërimit të impulsit pas kalimit të distancës (në sekonda):
81; 78: 84; 90; 78; 74; 84; 85; 81; 84: 79; 84; 74; 84; 84;
85; 81; 84; 78: 81; 74; 84; 81; 84; 85; 81; 78; 81; 81; 84;
Siç mund të shihet, ky grup numrash nuk mban asnjë informacion.
Për përgatitjen e numrit të variacionit, së pari prodhon operacion - Vendndodhja e numrave është në rendin në rritje ose në zbritje. Për shembull, në rendin ngjitës, renditja çon në vijim;
78; 78; 78; 78; 78; 78;
81; 81; 81; 81; 81; 81; 81; 81; 81;
84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84;
Në rend zbritës, renditja çon në një grup të tillë numrash:
84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84: 84: 84; 84;
81; 81; 81; 81; 8!; 81: 81; 81; 81;
78; 78; 78; 78; 78; 78;
Pas renditjes, forma irracionale e regjistrimit të këtij grupi të numrit të numrave dhe të njëjtat numra po bëhet i njëjti numër i përsëritur shumë herë. Prandaj, një mendim i natyrshëm ndodh për të kthyer regjistrimin në mënyrë të tillë që të specifikojë se cili numër është përsëritur. Për shembull, duke marrë parasysh renditjen në rendin ngjitës:
Këtu, numri regjistrohet nga numri që tregon kohën e rikuperimit të pulsit të atletit, në të djathtë të përsëritjes së kësaj dëshmie në këtë grup prej 34 atletësh.
Në përputhje me konceptet e mësipërme në lidhje me simbolet matematikore, grupi i konsideruar i matjeve do të caktojë çdo letër, për shembull x. Duke pasur parasysh renditjen në rritje të numrave në këtë grup: x 1 -74 c; x 2 - 78 s; x 3 - 81 s; x 4 - 84 s; x 5 - 85 s; X 6 N - 90 s, çdo numër i konsideruar mund të përcaktohet nga Simboli X I.
Tregoni numrin e përsëritjeve të matjeve të konsideruara të letrës n. Pastaj:
n 1 \u003d 4; N 2 \u003d 6; N 3 \u003d 9; N 4 \u003d 11; N 5 \u003d 3; n 6 \u003d n n \u003d 1, dhe secili numër i përsëritjeve mund të shënohet si n i.
Numri i përgjithshëm i matjeve të kryera, si vijon nga gjendja e shembullit, është 34. Kjo do të thotë se shuma e të gjitha n është e barabartë me 34. ose në shprehje simbolike:
Tregoni këtë shumë me një letër - n. Pastaj të dhënat fillestare të shembullit në shqyrtim mund të regjistrohen në këtë formë (Tabela 1).
Grupi që rezulton i numrave është seria e transformuar e dëshmisë kaotike e shpërndarë e marrë nga trajneri në fillim të punës.
Tabela 1
| X I. | N I. |
| N \u003d 34. |
Një grup i tillë është një sistem specifik, parametrat e të cilëve karakterizojnë matjet e kryera. Numrat që përfaqësojnë rezultatet e matjes (x i) telefononi opsione; N. Unë - numrat e përsëritjeve të tyre - janë quajtur frekuencat; n - shuma e të gjitha frekuencave - atje vëllimi i tërësisë.
I gjithë sistemi i marrë është quajtur variacione afër. Ndonjëherë këto rreshta quhen empirike ose statistikore.
Është e lehtë të vërehet se një rast i veçantë i serialit të variacionit është i mundur, kur të gjitha frekuencat janë të barabarta me një n i \u003d 1, që është, çdo matje në këtë grup numrash u takua vetëm një herë.
Seria variacionale që rezulton, si çdo tjetër, mund të përfaqësohet në mënyrë grafike. Për të ndërtuar grafikun e serisë që rezulton, së pari duhet të jeni në shkallë në boshtin horizontal dhe vertikal.
Në këtë detyrë, në boshtin horizontal, ne do të depozitojmë kohën e shërimit të pulsit (x 1) në mënyrë të tillë që gjatësia e gjatësisë së zgjedhur në mënyrë arbitrare korrespondon me vlerën e një të dytë. Do të fillojë të shtyjë këto vlera nga 70 sekonda, duke u rikthyer konvencionalisht nga kryqëzimi i dy akseve 0.
Në aksin vertikal, shtyni vlerat e frekuencave të rreshtit tonë (n), duke marrë shkallën: Njësia e gjatësisë është e barabartë me një njësi frekuence.
Përgatitni kushtet për ndërtimin e një orari, vazhdoni të punoni me variacionin e marrë.
Çifti i parë i numrave x 1 \u003d 74, n 1 \u003d 4 zbatohet në tabelë si kjo: në boshtin X; Ne gjejmë x 1 =74 Dhe ne rivendosim pingulin nga kjo pikë, në Aksin N Ne gjejmë n 1 \u003d 4 dhe të kryej një vijë horizontale prej saj në kryqëzimin me pingulentin e rivendosur. Të dyja linjat vertikale dhe horizontale janë linjat ndihmëse dhe prandaj aplikohen në vizatimin e vijës me pika. Pika e kryqëzimit të tyre është një raport x 1 \u003d 74 dhe n 1 \u003d 4 në shkallën e këtij grafiku.
Në të njëjtën mënyrë, zbatohen të gjitha pikat e tjera të orarit. Pastaj ata janë të lidhur me seksionet e linjave të drejta. Në mënyrë që orari të ketë një vështrim të mbyllur, pikat ekstreme lidhin segmentet me pikat ngjitur të boshtit horizontal.
Figura rezultuese është një grafik i serisë sonë të variacionit (Fig. 1).
Është mjaft e qartë se çdo seri varianti duket të jetë orari i tyre.
Fik. 1. Përfaqësimi grafik i serisë së variacionit.
Në Fig. 1 tregon:
1) Nga të gjithë më të anketuarit grupi më i madh përbënte atletët, kohën e rimëkëmbjes së pulsit, të cilat 84 s;
2) Shumë këtë herë është 81 s;
3) Grupi më i vogël ishte atletët me një kohë të vogël të shërimit të pulsit - 74 s dhe të mëdha - 90 s.
Kështu, duke kryer një sërë testesh, numrat e marra duhet të renditen dhe të hartojnë një seri varianti, e cila është një sistem i veçantë matematikor. Për qartësi, variacionet mund të ilustrohen nga orari.
Vargu i mësipërm i variacionit quhet akoma diskrete Tjetra - kjo, në të cilën çdo opsion shprehet në një numër.
Le të japim disa shembuj të tjerë për të përpiluar seri variantive.
Shembulli 3. 12 rekreativë, duke kryer një ushtrim të shtrirë nga 10 të shtëna, treguan rezultate të tilla (në syze):
94; 91; 96; 94; 94; 92; 91; 92; 91; 95; 94; 94.
Për të formuar një varg ndryshimi, ne do të rendisim numrin e të dhënave;
94; 94; 94; 94; 94;
Pas renditjes, ne bëjmë një seri variante (Tabela 3).
