Hipoteza zero në statistika: një shembull. Testimi i hipotezës zero. Koncepti i hipotezës zero
HIPOTESAT STATISTIKORE
Të dhënat e marra në eksperimente janë gjithmonë të kufizuara dhe janë kryesisht të rastësishme. Kjo është arsyeja pse statistikat matematikore përdoren për të analizuar të dhëna të tilla, gjë që bën të mundur përgjithësimin e modeleve të marra në mostër dhe shtrirjen e tyre në të gjithë popullatën e përgjithshme.
Të dhënat e marra si rezultat i eksperimentit në çdo mostër shërbejnë si bazë për gjykimin e popullatës së përgjithshme. Sidoqoftë, për shkak të veprimit të arsyeve të mundshme të rastësishme, vlerësimi i parametrave të popullatës së përgjithshme, i bërë në bazë të të dhënave eksperimentale (mostër), do të shoqërohet gjithmonë me një gabim, dhe për këtë arsye vlerësime të tilla duhet të konsiderohen si hamendësuese, dhe jo si deklarata përfundimtare. Supozime të tilla në lidhje me vetitë dhe parametrat e popullatës së përgjithshme quhen hipotezat statistikore . Sipas G.V. Sukhodolsky: "Një hipotezë statistikore zakonisht kuptohet si një supozim formal se ngjashmëria (ose ndryshimi) e disa karakteristikave parametrike ose funksionale është aksidentale ose, anasjelltas, jo aksidentale".
Thelbi i testimit të një hipoteze statistikore është të përcaktojë nëse të dhënat eksperimentale dhe hipoteza e paraqitur pajtohen, nëse është e lejueshme të atribuohet mospërputhja midis hipotezës dhe rezultatit të analizës statistikore të të dhënave eksperimentale për shkak të shkaqeve të rastësishme. Kështu, një hipotezë statistikore është një hipotezë shkencore që lejon testimin statistikor, dhe statistikat matematikore janë një disiplinë shkencore detyra e së cilës është të testojë shkencërisht hipotezat statistikore.
Hipotezat statistikore klasifikohen në zero dhe alternative, të drejtuara dhe jo të drejtuara.
Asnje hipoteze(H 0) Theshtë hipoteza se nuk ka dallime. Nëse duam të vërtetojmë rëndësinë e dallimeve, atëherë kërkohet hipoteza zero përgënjeshtroj, përndryshe kërkohet konfirmoj.
Hipoteza alternative (H 1) Ashtë një hipotezë për rëndësinë e dallimeve. Kjo është ajo që ne duam të provojmë, prandaj ndonjëherë quhet eksperimentale hipotezë.
Ka detyra kur duam të vërtetojmë drejtësinë parëndësi dallimet, domethënë, për të konfirmuar hipotezën zero. Për shembull, nëse duhet të sigurohemi që lëndë të ndryshme marrin, edhe pse të ndryshme, por të balancuara në vështirësi, ose që mostrat eksperimentale dhe ato të kontrollit të mos ndryshojnë në disa karakteristika domethënëse. Sidoqoftë, më shpesh ne ende duhet të provojmë rëndësinë e dallimeve, sepse ato janë më informuese për ne në kërkimin tonë për diçka të re.
Hipotezat zero dhe alternative mund të jenë të drejtuara dhe jo të drejtuara.
Hipotezat e drejtuara - nëse supozohet se vlerat karakteristike janë më të larta në një grup, dhe më të ulëta në tjetrin:
H 0: X 1 më pak se X 2,
H 1: X 1 tejkalon X 2.
Hipoteza të pa drejtuara - nëse supozohet se format e shpërndarjes së një karakteristike në grupe ndryshojnë:
H 0: X 1 nuk ndryshon nga X 2,
H 1: X 1 eshte ndryshe X 2.
Nëse kemi vërejtur se në njërën prej grupeve vlerat individuale të subjekteve për një kriter, për shembull, për aktivitetin shoqëror, janë më të larta, dhe në tjetrën më të ulëta, atëherë për të testuar rëndësinë e këtyre dallimeve, ne kemi nevojë për të formuluar hipoteza të drejtuara.
Nëse duam ta vërtetojmë atë në një grup A nën ndikimin e disa ndikimeve eksperimentale, ndodhën ndryshime më të theksuara sesa në grup B, atëherë ne gjithashtu duhet të formulojmë hipoteza të drejtuara.
Nëse duam të vërtetojmë se format e shpërndarjes së tiparit në grupe ndryshojnë A dhe B, atëherë formulohen hipoteza të padrejtuara.
Testimi i hipotezës kryhet duke përdorur kritere për vlerësimin statistikor të dallimeve.
Përfundimi i pranuar quhet një vendim statistikor. Le të theksojmë se një zgjidhje e tillë është gjithmonë probabiliste. Kur testoni një hipotezë, të dhënat eksperimentale mund të kundërshtojnë hipotezën H 0, atëherë kjo hipotezë refuzohet. Përndryshe, d.m.th. nëse të dhënat eksperimentale pajtohen me hipotezën H 0, nuk devijon. Shpesh thuhet në raste të tilla që hipoteza H 0 pranohet Kjo tregon se testimi statistikor i hipotezave bazuar në të dhënat e mostrës eksperimentale shoqërohet në mënyrë të pashmangshme me rrezikun (probabilitetin) e marrjes së një vendimi të rremë. Në këtë rast, gabimet e dy llojeve janë të mundshme. Një gabim i llojit të parë do të ndodhë kur merret një vendim për të refuzuar një hipotezë. H 0, edhe pse në realitet rezulton e vërtetë. Një gabim i llojit të dytë do të ndodhë kur merret një vendim për të mos hedhur poshtë hipotezën. H 0, edhe pse në realitet do të jetë e pasaktë. Natyrisht, përfundimet e sakta gjithashtu mund të pranohen në dy raste. Tabela 7.1 përmbledh sa më sipër.
Tabela 7.1
Possibleshtë e mundur që psikologu të gabojë në vendimin e tij statistikor; siç mund ta shohim nga tabela 7.1, këto gabime mund të jenë vetëm dy llojesh. Meqenëse është e pamundur të përjashtohen gabimet kur pranohen hipotezat statistikore, është e nevojshme të minimizohen pasojat e mundshme, d.m.th. pranimi i një hipoteze statistikore të pasaktë. Në shumicën e rasteve, mënyra e vetme për të minimizuar gabimet është rritja e madhësisë së mostrës.
KRITERET STATISTIKORE
Kriteri statistikor- ky është një rregull vendimi që siguron sjellje të besueshme, domethënë pranimin e një hipoteze të vërtetë dhe refuzimin e një hipoteze të rreme me një probabilitet të lartë.
Kriteret statistikore i referohen gjithashtu metodës për llogaritjen e një numri të caktuar dhe vetë numrit.
Kur themi se besueshmëria e dallimeve u përcaktua nga kriteri j *(kriteri është transformimi këndor i Fisher), atëherë nënkuptojmë që kemi përdorur metodën j * për të llogaritur një numër të caktuar.
Nga raporti i vlerave empirike dhe kritike të kriterit, ne mund të gjykojmë nëse hipoteza zero është konfirmuar apo kundërshtuar.
Në shumicën e rasteve, në mënyrë që ne të njohim dallimet si domethënëse, është e nevojshme që vlera empirike e kriterit të tejkalojë atë kritike, edhe pse ka kritere (për shembull, kriteri Mann-Whitney ose kriteri i shenjës) në të cilat ne duhet respektoni rregullin e kundërt.
Në disa raste, formula e llogaritjes së kriterit përfshin numrin e vëzhgimeve në mostrën e studiuar, të shënuar si n... Në këtë rast, vlera empirike e kriterit është njëkohësisht një test për testimin e hipotezave statistikore. Duke përdorur një tabelë të veçantë, ne përcaktojmë se cilit nivel të rëndësisë statistikore të dallimeve i korrespondon një vlerë e caktuar empirike. Një shembull i një kriteri të tillë është kriteri j * llogaritur në bazë të transformimit këndor Fisher.
Sidoqoftë, në shumicën e rasteve, e njëjta vlerë empirike e kriterit mund të dalë e rëndësishme ose e parëndësishme në varësi të numrit të vëzhgimeve në mostrën e studiuar ( n) ose në të ashtuquajturin numër të shkallëve të lirisë, i cili shënohet si v ose si df
Numri i shkallëve të lirisë v e barabartë me numrin e klasave seri variantesh minus numrin e kushteve në të cilat u formua. Këto kushte përfshijnë madhësinë e mostrës ( n), mjetet dhe variancat.
Le të themi se një grup prej 50 personash u nda në tre klasa sipas parimit:
Di të punojë në kompjuter;
Di të kryejë vetëm disa operacione të caktuara;
Nuk mund të punoj në kompjuter.
Grupi i parë dhe i dytë përfshinin 20 persona, i treti - 10.
Ne jemi të kufizuar nga një kusht - madhësia e mostrës. Prandaj, edhe nëse kemi humbur të dhëna se sa njerëz nuk dinë të punojnë në kompjuter, ne mund ta përcaktojmë këtë, duke ditur që në klasat e para dhe të dyta ka nga 20 lëndë secila. Ne nuk jemi të lirë në përcaktimin e numrit të lëndëve në kategorinë e tretë, "liria" shtrihet vetëm në dy qelizat e para të klasifikimit:
Le të njihemi me terminologjinë e përdorur në testimin e hipotezave.
Por - hipoteza zero (hipoteza e skeptikut) është një hipotezë pa dallim midis mostrave të krahasuara. Skeptiku beson se ndryshimet midis vlerësimeve të mostrës të marra nga rezultatet e hulumtimit janë aksidentale.
· H 1 - një hipotezë alternative (hipoteza optimiste) është një hipotezë në lidhje me praninë e dallimeve midis mostrave të krahasuara. Optimisti beson se ndryshimet midis vlerësimeve të mostrës janë shkaktuar nga arsye objektive dhe korrespondojnë me ndryshimet midis popullatave të përgjithshme.
Testimi i hipotezave statistikore është i realizueshëm vetëm kur është e mundur të hartohen disa madhësia(kriteri), ligji i shpërndarjes i të cilit në rastin e vlefshmërisë është i njohur H 0. Pastaj për këtë sasi mund të tregohet intervali i besimit, në të cilën vlera e tij bie me një probabilitet të caktuar P d. Ky interval quhet zona kritike... Nëse vlera e kriterit bie në rajonin kritik, atëherë hipoteza H 0 pranohet. Përndryshe, hipoteza H 1 pranohet.
Në kërkimet mjekësore, përdoren P d = 0.95 ose P d = 0.99. Këto vlera korrespondojnë me nivelet e rëndësisë a = 0.05 ose a = 0.01.
Gjatë testimit të hipotezave statistikore niveli i rëndësisë(a) është probabiliteti i refuzimit të hipotezës zero kur është e vërtetë.
Vini re se, në thelbin e saj, procedura e testimit të hipotezës synon të dallojë dallimet, dhe jo për të konfirmuar mungesën e tyre. Kur vlera e kriterit shkon përtej zonës kritike, mund t'i themi me një zemër të pastër "skeptikut" - çfarë tjetër dëshironi?! Nëse nuk do të kishte dallime, atëherë me një probabilitet prej 95% (ose 99%), vlera e llogaritur do të ishte brenda kufijve të specifikuar. Por jo! ...
Epo, nëse vlera e kriterit bie në rajonin kritik, atëherë nuk ka arsye të besohet se hipoteza H 0. trueshtë e vërtetë. Kjo me shumë mundësi tregon një nga dy arsyet e mundshme.
a) Madhësitë e mostrës nuk janë mjaft të mëdha për të zbuluar dallimet ekzistuese. Ka të ngjarë që eksperimentimi i vazhdueshëm do të sjellë sukses.
b) Ka dallime. Por ato janë aq të vogla sa nuk kanë vlerë praktike. Në këtë rast, vazhdimi i eksperimenteve nuk ka kuptim.
Le të kalojmë në shqyrtimin e disa prej hipotezave statistikore të përdorura në kërkimet mjekësore.
6 3.6 Testimi i hipotezave për barazinë e variancave,
F - kriteri i Fisher -it
Në disa studime klinike, efekti pozitiv nuk dëshmohet aq shumë nga madhësia e parametrit të hetuar, sa është stabilizim, duke zvogëluar luhatjet e tij. Në këtë rast, lind pyetja e krahasimit të dy variancave të përgjithshme bazuar në rezultatet e një sondazhi të mostrës. Kjo detyrë mund të zgjidhet me Kriteri i Fisher -it.
Formulimi i problemit
ligj normal shpërndarja. Madhësitë e mostrës n 1 dhe n 2, dhe variancat e mostrës janë përkatësisht të barabarta. Kërkohet të krahasohen me njëri -tjetrin variancat e përgjithshme.
Hipotezat e testueshme:
H 0- variancat e përgjithshme janë të njëjta;
H 1 - variancat e përgjithshme te ndryshme.
Tregohet nëse mostrat nxirren nga popullatat e përgjithshme me ligj normal shpërndarja, atëherë nëse hipoteza H 0 është e vërtetë, raporti i variancave të mostrës i bindet shpërndarjes Fisher. Prandaj, si kriter për kontrollimin e vlefshmërisë së H 0, vlera F llogaritur me formulën
ku janë variancat e mostrës.
Ky raport i bindet shpërndarjes Fisher me numrin e shkallëve të lirisë së numëruesit n 1 = n 1 -1, dhe numri i shkallëve të lirisë së emëruesit n 2 = n 2 -1. Kufijtë e zonës kritike gjenden duke përdorur tabelat e shpërndarjes Fisher ose duke përdorur funksionin kompjuterik FRASPINV.
Për shembullin e paraqitur në tabelë. 3.4, marrim: n 1 = n 2 = 20 - 1 = 19; F = 2.16 / 4.05 = 0.53. Në a = 0.05, kufijtë e rajonit kritik janë të barabartë, respektivisht: F luani = 0.40, F djathtas = 2.53.
Vlera e kriterit ra në rajonin kritik, prandaj hipoteza H 0 pranohet: variancat e përgjithshme të mostrave janë të njëjta.
7 3.7 Testimi i hipotezave për barazinë e mjeteve,
t- Testi i nxënësit
Detyrë krahasimi e mesme dy popullata të përgjithshme lindin kur është me rëndësi praktike madhësia të tiparit në studim. Për shembull, kur krahasojmë kushtet e trajtimit me dy metoda të ndryshme, ose numrin e komplikimeve që dalin nga përdorimi i tyre. Në këtë rast, ju mund të përdorni testin t Studentit.
Formulimi i problemit.
Janë marrë dy mostra (X 1) dhe (X 2), të nxjerra nga popullatat e përgjithshme me ligj normal shpërndarjen dhe varianca të barabarta... Madhësitë e mostrës n 1 dhe n 2, mjetet e mostrës janë të barabarta dhe variancat e mostrës-, respektivisht Kërkohet të krahasohen me njëri -tjetrin mesataret e përgjithshme.
Hipotezat e testueshme:
H 0- mesataret e përgjithshme janë të njëjta;
H 1 - mesataret e përgjithshme te ndryshme.
Tregohet se në rastin e vlefshmërisë së hipotezës H 0, vlera t llogaritur me formulën
, (3.10)
të shpërndara sipas ligjit të Studentit me numrin e gradave të lirisë n= n 1 + n 2 - 2.
Këtu, ku n 1 = n 1 - 1 - numri i shkallëve të lirisë për mostrën e parë; n 2 = n 2 - 1 është numri i shkallëve të lirisë për mostrën e dytë.
Kufijtë e zonës kritike gjenden nga tabelat t-alokimi ose përdorimi i funksionit kompjuterik STYUDRASP. Shpërndarja e Studentit është simetrike rreth zeros, kështu që kufijtë e majtë dhe të djathtë të rajonit kritik janë të njëjtë në madhësi dhe të kundërt në shenjë: - t gr dhe t gr
Për shembullin e paraqitur në tabelë. 3.4, marrim: n 1 = n 2 = 20 - 1 = 19; t= –2.51, n = 38. Në a = 0.05 t gr = 2.02.
Vlerat e kriterit shkojnë përtej kufirit të majtë të rajonit kritik, prandaj, ne pranojmë hipotezën H 1: mesataret e përgjithshme te ndryshme... Për më tepër, mesatarja e popullsisë së përgjithshme mostra e parë më e vogël.
5. Problemet kryesore të statistikave të aplikuara - përshkrimi i të dhënave, vlerësimi dhe testimi i hipotezës
Konceptet themelore të përdorura në testimin e hipotezave
Hipoteza statistikore - çdo supozim në lidhje me shpërndarjen e panjohur të ndryshoreve (elementeve) të rastit. Këtu janë formulimet e disa hipotezave statistikore:
1. Rezultatet e vëzhgimit kanë një shpërndarje normale me zero pritje matematikore.
2. Rezultatet e vëzhgimit kanë një funksion shpërndarjeje N(0,1).
3. Rezultatet e vëzhgimit kanë një shpërndarje normale.
4. Rezultatet e vëzhgimeve në dy mostra të pavarura kanë të njëjtën shpërndarje normale.
5. Rezultatet e vëzhgimeve në dy mostra të pavarura kanë të njëjtën shpërndarje.
Dalloni midis hipotezave zero dhe atyre alternative. Hipoteza zero është një hipotezë që duhet testuar. Një hipotezë alternative është secila hipotezë e pranueshme, përveç asaj zero. Shënohet hipoteza zero H 0, alternative - H 1(nga Hipoteza - "hipoteza" (Anglisht)).
Zgjedhja e njërës apo tjetrës hipotezë zero ose alternative përcaktohet nga problemet e aplikuara me të cilat përballet menaxheri, ekonomisti, inxhinieri, studiuesi. Le të shikojmë disa shembuj.
Shembulli 11 Hipoteza zero le të jetë hipoteza 2 nga lista e mësipërme, dhe hipoteza alternative 1, që do të thotë se situata reale përshkruhet nga një model probabilistik, sipas të cilit rezultatet e vëzhgimit konsiderohen si realizime të ndryshoreve të rastësishme të pavarura të shpërndara në mënyrë identike me një shpërndarje funksionin N(0, σ), ku parametri σ është i panjohur për statistikat. Brenda këtij modeli, hipoteza zero është shkruar si më poshtë:
H 0: σ = 1,
dhe alternativa është kjo:
H 1: σ ≠ 1.
Shembulli 12 Le të jetë hipoteza zero akoma hipoteza 2 nga lista e mësipërme, dhe hipoteza alternative 3 nga e njëjta listë. Pastaj, në një model probabilistik të një situate menaxheriale, ekonomike ose industriale, supozohet se rezultatet e vëzhgimit formojnë një mostër nga shpërndarja normale N(m, σ) për disa vlera m dhe σ Hipotezat shkruhen kështu:
H 0: m= 0, σ = 1
(të dy parametrat marrin vlera fikse);
H 1: m≠ 0 dhe / ose σ ≠ 1
(dmth ose m≠ 0, ose σ ≠ 1, ose m≠ 0, dhe σ ≠ 1).
Shembulli 13 Le te jete H 0 është hipoteza 1 nga lista e mësipërme, dhe H 1 - hipoteza 3 nga e njëjta listë. Pastaj modeli i probabilitetit është i njëjtë si në shembullin 12,
H 0: m= 0, σ është arbitrar;
H 1: m≠ 0, σ është arbitrar.
Shembulli 14 Le te jete H 0 është hipoteza 2 nga lista e mësipërme, dhe sipas H 1 rezultat i vëzhgimit ka një funksion shpërndarjeje F(x), jo i njëjtë me funksionin standard të shpërndarjes normale F (x) Atëherë
H 0: F(x) = Ф (x) me te gjitha NS(e shkruar si F(x) ≡ Ф (x));
H 1: F(x 0) ≠ Ф (x 0) me disa x 0(pra nuk është e vërtetë se F(x) ≡ Ф (x)).
Shënim. Këtu është shenja e koincidencës identike të funksioneve (d.m.th., rastësia për të gjitha vlerat e mundshme të argumentit NS).
Shembulli 15 Le te jete H 0 është hipoteza 3 nga lista e mësipërme, dhe sipas H 1 rezultat i vëzhgimit ka një funksion shpërndarjeje F(x), jo normale. Atëherë
Me disa m, σ;
H 1: për çdo m, σ ekziston x 0 = x 0(m, σ) i tillë që 
.
Shembulli 16. Le te jete H 0 - hipoteza 4 nga lista e mësipërme, sipas modelit të mundshëm, dy mostra janë nxjerrë nga popullatat me funksione shpërndarjeje F(x) dhe G(x), të cilat janë normale me parametra m 1, σ 1 dhe m 2, σ 2, respektivisht, dhe H 1 - mohim H 0 Atëherë
H 0: m 1 = m 2, σ 1 = σ 2, dhe m 1 dhe σ 1 janë arbitrare;
H 1: m 1 ≠ m 2 dhe / ose σ 1 ≠ σ 2.
Shembulli 17. Supozoni se në kushtet e Shembullit 16 dihet shtesë se σ 1 = σ 2. Atëherë
H 0: m 1 = m 2, σ> 0, dhe m 1 dhe σ janë arbitrare;
H 1: m 1 ≠ m 2, σ> 0.
Shembulli 18. Le te jete H 0 - hipoteza 5 nga lista e mësipërme, sipas modelit të mundshëm, dy mostra janë nxjerrë nga popullatat me funksione shpërndarjeje F(x) dhe G(x) respektivisht, ndërsa H 1 - mohim H 0 Atëherë
H 0: F(x) ≡ G(x) , ku F(x)
H 1: F(x) dhe G(x) janë funksione arbitrare të shpërndarjes, dhe
F(x) ≠ G(x) me disa NS.
Shembulli 19 Le, nën kushtet e Shembullit 17, supozohet shtesë se funksionon shpërndarja F(x) dhe G(x) ndryshojnë vetëm në ndërrim, d.m.th. G(x) = F(x- a) me disa a... Atëherë
H 0: F(x) ≡ G(x) ,
ku F(x) - një funksion shpërndarjeje arbitrare;
H 1: G(x) = F(x- a), dhe 0,
ku F(x) Anshtë një funksion shpërndarjeje arbitrare.
Shembulli 20. Le, në kushtet e Shembullit 14, dihet shtesë se sipas modelit probabilistik të situatës F(x) është funksioni normal i shpërndarjes me variancë njësie, d.m.th. ka formën N(m, 1). Atëherë
H 0: m = 0 (ato F(x) = Ф (x)
me te gjitha NS); (e shkruar si F(x) ≡ Ф (x));
H 1: m ≠ 0
(pra nuk është e vërtetë se F(x) ≡ Ф (x)).
Shembulli 21. Në rregullimin statistikor të proceseve teknologjike, ekonomike, menaxheriale ose të tjera, merret parasysh një mostër, e nxjerrë nga një popullsi me një shpërndarje normale dhe një variancë të njohur, dhe hipoteza
H 0: m = m 0 ,
H 1: m= m 1 ,
ku vlera e parametrit m = m 0 korrespondon me rrjedhën e efektshme të procesit, dhe kalimin në m= m 1 tregon mosmarrëveshje.
Shembulli 22. Në kontrollin e pranimit statistikor, numri i njësive të produktit të dëmtuar në mostër i bindet një shpërndarje hipergeometrike, parametri i panjohur është fq = D/ N- niveli i defektivitetit, ku N- vëllimi i një grupi produktesh, D- numri i përgjithshëm i artikujve me defekt në seri. Planet e kontrollit të përdorura në dokumentet rregullatore, teknike dhe tregtare (standardet, kontratat e furnizimit, etj.) Shpesh kanë për qëllim testimin e një hipoteze
H 0: fq < AQL
H 1: fq > LQ,
ku AQL - niveli i pranimit të defektit, LQ - niveli i refuzimit të defektivitetit (është e qartë se AQL < LQ).
Shembulli 23. Një numër karakteristikash të shpërndarjes së treguesve të kontrolluar përdoren si tregues të qëndrueshmërisë së një procesi teknologjik, ekonomik, menaxherial ose tjetër, në veçanti, koeficienti i ndryshimit v = σ/ M(X) Kërkohet të testohet hipoteza zero
H 0: v < v 0
sipas një hipoteze alternative
H 1: v > v 0 ,
ku v 0 - disa vlera kufitare të paracaktuara.
Shembulli 24. Le të jetë modeli probabilistik i dy mostrave i njëjtë si në Shembullin 18, pritjet matematikore të rezultateve të vëzhgimit në mostrat e parë dhe të dytë do të shënohen M(NS) dhe M(Keni) respektivisht. Në një numër situatash, hipoteza zero testohet.
H 0: M (X) = M (Y)
kundër hipotezës alternative
H 1: M (X) ≠ M (Y).
Shembulli 25... U vu re më lart rëndësi të madhe në statistikat matematikore të funksioneve të shpërndarjes simetrike në lidhje me 0, Kur kontrolloni simetrinë
H 0: F(- x) = 1 – F(x) me te gjitha x, ndryshe F arbitrar;
H 1: F(- x 0 ) ≠ 1 – F(x 0 ) me disa x 0 , ndryshe F arbitrare.
Në metodat probabilistike-statistikore të vendimmarrjes, përdoren shumë formulime të tjera të problemeve për testimin e hipotezave statistikore. Disa prej tyre diskutohen më poshtë.
Detyra specifike e testimit të një hipoteze statistikore përshkruhet plotësisht nëse jepen hipotezat zero dhe alternative. Zgjedhja e metodës për testimin e hipotezës statistikore, vetitë dhe karakteristikat e metodave përcaktohen si nga hipotezat zero ashtu edhe ato alternative. Në përgjithësi, metoda të ndryshme duhet të përdoren për të testuar të njëjtën hipotezë zero nën hipoteza të ndryshme alternative. Pra, në shembujt 14 dhe 20, hipoteza zero është e njëjtë, dhe ato alternative janë të ndryshme. Prandaj, në kushtet e Shembullit 14, duhet të aplikohen metoda të bazuara në kriteret e pajtimit me një familje parametrike (të tipit Kolmogorov ose të tipit omega-katror), dhe në kushtet e Shembullit 20, metoda të bazuara në testin e Studentit ose kriteri Cramer-Welch. Nëse, në kushtet e Shembullit 14, përdoret testi t i Studentit, atëherë ai nuk do të zgjidhë detyrat e caktuara. Nëse, në kushtet e Shembullit 20, ne përdorim testin e mirësisë së përshtatjes të tipit Kolmogorov, atëherë, përkundrazi, ai do të zgjidhë problemet e paraqitura, edhe pse, ndoshta, më keq se testi i Studentit i përshtatur posaçërisht për këtë rast.
Kur përpunoni të dhëna reale, zgjedhja e saktë e hipotezave ka një rëndësi të madhe. H 0 dhe H 1 Supozimet e supozuara, për shembull, normaliteti i shpërndarjes, duhet të vërtetohen me kujdes, në veçanti, me metoda statistikore. Vini re se në shumicën dërrmuese të formulimeve specifike të aplikuara, shpërndarja e rezultateve të vëzhgimit është e ndryshme nga ajo normale.
Shpesh lind një situatë kur forma e hipotezës zero vjen nga formulimi i një problemi të aplikuar, por forma e hipotezës alternative nuk është e qartë. Në raste të tilla, duhet të merret parasysh një hipotezë alternative e llojit më të përgjithshëm dhe të përdoren metoda që zgjidhin problemin për të gjitha të mundshmet H 1 Në veçanti, kur testohet hipoteza 2 (nga lista e mësipërme) si e pavlefshme, duhet përdorur si një hipotezë alternative H 1 nga Shembulli 14, dhe jo nga Shembulli 20, nëse nuk ka një justifikim të veçantë për normalitetin e shpërndarjes së rezultateve të vëzhgimit sipas hipotezës alternative.
| E mëparshme |
Në bazë të të dhënave të mbledhura në studimet statistikore, pas përpunimit të tyre, nxirren përfundime për fenomenet në studim. Këto përfundime bëhen duke parashtruar dhe testuar hipotezat statistikore.
Hipoteza statistikore quhet çdo pohim në lidhje me formën ose vetitë e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme të vëzhguara në mënyrë eksperimentale. Hipotezat statistikore testohen me metoda statistikore.
Hipoteza që do të testohet quhet kryesore (zero) dhe shënohet H 0 Përveç zeros, ekziston edhe hipoteza alternative (konkurruese) H 1, duke mohuar kryesore . Kështu, si rezultat i testimit, një dhe vetëm një nga hipotezat do të pranohen. , dhe e dyta do të refuzohet.
Llojet e gabimeve... Hipoteza e parashtruar testohet në bazë të një studimi të një mostre të marrë nga popullata e përgjithshme. Për shkak të rastësisë së mostrës, vlefshmëria nuk çon gjithmonë në përfundimin e saktë. Në këtë rast, situatat e mëposhtme mund të shfaqen:
1. Hipoteza kryesore është e saktë dhe e pranuar.
2. Hipoteza kryesore është e saktë, por ajo refuzohet.
3. Hipoteza kryesore është e pasaktë dhe ajo refuzohet.
4. Hipoteza kryesore nuk është e saktë, por pranohet.
Në rastin 2, dikush flet për gabim i llojit të parë, në rastin e fundit për të cilin po flasim gabim i llojit të dytë.
Kështu, për disa mostra, merret vendimi i saktë, dhe për të tjerët, ai i gabuar. Vendimi merret nga vlera e disa funksioneve të marrjes së mostrave, të quajtura karakteristikat statistikore, kriteri statistikor ose thjesht statistikat... Grupi i vlerave për këtë statistikë mund të ndahet në dy nënbashkësi të ndara:
- H 0 pranohet (nuk refuzohet), thirret zona e pranimit të hipotezës (zonë e realizueshme);
- një nëngrup i vlerave statistikore për të cilat hipoteza H 0 refuzohet (refuzohet) dhe hipoteza pranohet H 1 quhet zona kritike.
Përfundimet:
- Kriteriështë një ndryshore e rastësishme K që ju lejon të pranoni ose refuzoni hipotezën zero H0.
- Kur testoni hipotezat, mund të bëhen gabime të 2 gjinive.
Gabim i llojit të parëështë se hipoteza do të refuzohet H 0 nëse është e saktë ("kapërce objektivin"). Probabiliteti për të bërë një gabim të llojit të parë shënohet me α dhe quhet niveli i rëndësisë... Më shpesh në praktikë, supozohet se α = 0.05 ose α = 0.01.
Gabim i tipit IIështë se hipoteza H0 pranohet nëse është e pasaktë ("pozitive false"). Probabiliteti i një gabimi të këtij lloji shënohet me β.
Klasifikimi i hipotezave
Hipoteza kryesore H 0 në lidhje me vlerën e parametrit të panjohur q të shpërndarjes zakonisht duket kështu:H 0: q = q 0.
Hipoteza konkurruese H 1 kështu mund të ketë formën e mëposhtme:
H 1: q < q 0 , H 1: q> q 0 ose H 1: q ≠ q 0 .
Në përputhje me rrethanat, rezulton e majtë, e djathtë ose dypalëshe zonat kritike. Pikat kufitare të rajoneve kritike ( pikat kritike) përcaktohen nga tabelat e shpërndarjes së statistikave përkatëse.
Kur testoni një hipotezë, është e kujdesshme të zvogëloni gjasat për të marrë vendime të këqija. Toleranca e gabimit të tipit I zakonisht shënohet a dhe thirri niveli i rëndësisë... Vlera e tij është zakonisht e vogël ( 0,1, 0,05, 0,01, 0,001
...). Por një ulje e probabilitetit të një gabimi të tipit I çon në një rritje të probabilitetit të një gabimi të tipit II ( b), d.m.th. dëshira për të pranuar vetëm hipoteza të sakta shkakton një rritje të numrit të hipotezave të sakta të refuzuara. Prandaj, zgjedhja e nivelit të rëndësisë përcaktohet nga rëndësia e problemit të paraqitur dhe ashpërsia e pasojave të një vendimi të marrë gabimisht.
Testimi i hipotezave statistikore përbëhet nga hapat e mëposhtëm:
1) përcaktimi i hipotezave H 0 dhe H 1 ;
2) përzgjedhja e statistikave dhe përcaktimi i nivelit të rëndësisë;
3) përcaktimi i pikave kritike K cr dhe zona kritike;
4) llogaritja e vlerës statistikore nga mostra Te ish;
5) krahasimi i vlerës statistikore me zonën kritike ( K cr dhe Te ish);
6) vendimmarrja: nëse vlera e statistikave nuk përfshihet në zonën kritike, atëherë hipoteza pranohet H 0 dhe hipoteza refuzohet H 1, dhe nëse hyn në rajonin kritik, atëherë hipoteza refuzohet H 0 dhe hipoteza pranohet H 1 Në të njëjtën kohë, rezultatet e testimit të hipotezës statistikore duhet të interpretohen si më poshtë: nëse hipoteza pranohet H 1 ,
atëherë mund të konsiderohet e vërtetuar, dhe nëse hipoteza pranohet H 0 ,
atëherë u pranua se nuk kundërshton rezultatet e vëzhgimeve.Mirëpo, kjo pronë, së bashku me H 0 mund të ketë edhe hipoteza të tjera.
Klasifikimi i testeve të hipotezës
Më poshtë do të shqyrtojmë disa hipoteza dhe mekanizma të ndryshëm statistikorë për testimin e tyre.Une) Hipoteza për mesataren e përgjithshme të shpërndarjes normale me variancë të panjohur. Supozojmë se popullsia e përgjithshme ka një shpërndarje normale, mesatarja dhe varianca e saj janë të panjohura, por ka arsye të besohet se mesatarja e përgjithshme është e barabartë me a. Në nivelin e rëndësisë α, hipoteza duhet të testohet H 0: x = a Si një alternativë, një nga tre hipotezat e diskutuara më sipër mund të përdoret. Në këtë rast, statistikat janë një ndryshore e rastësishme që ka një shpërndarje të Studentit me n- 1 shkallë lirie. Përcaktohet vlera përkatëse eksperimentale (e vëzhguar) t ish t cr H 1: x> a gjendet sipas nivelit të rëndësisë α dhe numrit të shkallëve të lirisë n- 1. Nëse t ish < t cr H 1: x ≠ a, vlera kritike gjendet sipas nivelit të rëndësisë α / 2 dhe të njëjtit numër shkallësh lirie. Hipoteza zero pranohet nëse | t ish |
,
që ka një shpërndarje normale, dhe M(Z) = 0, D(Z) = 1. Përcaktohet vlera eksperimentale përkatëse z psh... Vlera kritike gjendet nga tabela e funksioneve Laplace z cr... Nën një hipotezë alternative H 1: x> y gjendet nga gjendja F(z cr) = 0,5 – a... Nëse z psh< z кр , atëherë hipoteza zero pranohet, përndryshe ajo refuzohet. Nën një hipotezë alternative H 1: x ≠ y vlera kritike gjendet nga gjendja F(z cr) = 0.5 × (1 - a) Hipoteza zero pranohet nëse | z ex |< z кр .
III) Hipoteza për barazinë e dy vlerave mesatare të popullatave të përgjithshme të shpërndara normalisht, variancat e të cilave janë të panjohura dhe të njëjta (mostra të vogla të pavarura). Në nivelin e rëndësisë α, hipoteza kryesore duhet të testohet H 0: x = y Si statistikë, ne përdorim një ndryshore të rastësishme
,
shpërndarja e një studenti me ( n x + n në- 2) shkallët e lirisë. Përcaktohet vlera eksperimentale përkatëse t ish... Nga tabela e pikave kritike të shpërndarjes së Studentit, gjendet vlera kritike t cr... Çdo gjë zgjidhet në mënyrë të ngjashme me hipotezën (I).
IV) Supozim mbi barazinë e dy variancave të popullatave të përgjithshme të shpërndara normalisht... Në këtë rast, në nivelin e rëndësisë a duhet testuar hipotezën H 0: D(NS) = D(Y) Statistikat janë një ndryshore e rastësishme që ka shpërndarjen Fisher - Snedecor me f 1 = n b- 1 dhe f 2 = n m- 1 shkallë lirie (S 2 b - variancë e madhe, vëllimi i mostrës së tij n b) Përcaktohet vlera përkatëse eksperimentale (e vëzhguar) P.sh... Vlerë kritike F kr sipas një hipoteze alternative H 1: D(NS) > D(Y) gjendet nga tabela e pikave kritike të shpërndarjes Fisher - Snedecor sipas nivelit të rëndësisë a dhe numrin e shkallëve të lirisë f 1 dhe f 2 Hipoteza zero pranohet nëse P.sh < F kr.
Udhëzim. Për llogaritjen, duhet të specifikoni dimensionin e të dhënave burimore.
V) Hipoteza e barazisë së disa variancave të popullatave të përgjithshme të shpërndara normalisht mbi mostrat me të njëjtën madhësi. Në këtë rast, në nivelin e rëndësisë a duhet testuar hipotezën H 0: D(NS 1) = D(NS 2) = …= D(X l) Statistikat janë një ndryshore e rastësishme 
me një shpërndarje Kochren me shkallë lirie f = n- 1 dhe l (n - madhësia e secilit mostër, l Isshtë numri i mostrave). Kjo hipotezë është testuar në të njëjtën mënyrë si ajo e mëparshmja. Përdoret një tabelë e pikave kritike të shpërndarjes Cochren.
Vi) Hipoteza për rëndësinë e korrelacionit. Në këtë rast, në nivelin e rëndësisë a duhet testuar hipotezën H 0: r= 0. (Nëse koeficienti i korrelacionit është zero, atëherë vlerat përkatëse nuk lidhen me njëra -tjetrën). Statistikat në këtë rast janë një ndryshore e rastësishme 
,
duke pasur një shpërndarje të Nxënësit me f = n- 2 shkallë lirie. Kjo hipotezë testohet në të njëjtën mënyrë si hipoteza (I).
Udhëzim. Tregoni sasinë e të dhënave burimore.
Vii) Hipoteza në lidhje me rëndësinë e probabilitetit të ndodhjes së një ngjarjeje. Një numër mjaft i madh i n gjyqe të pavarura në të cilat ngjarja A ndodhi m një herë. Ka arsye për të besuar se probabiliteti që kjo ngjarje të ndodhë në një test është fq 0... Kërkohet në nivelin e rëndësisë a testoni hipotezën se probabiliteti i një ngjarjeje Aështë e barabartë me probabilitetin hipotetik fq 0... (Meqenëse probabiliteti vlerësohet nga frekuenca relative, hipoteza që testohet mund të formulohet në një mënyrë tjetër: nëse frekuenca relative e vëzhguar dhe probabiliteti hipotetik ndryshojnë në mënyrë të konsiderueshme apo jo).
Numri i gjykimeve është mjaft i madh, kështu që frekuenca relative e ngjarjes A shpërndahen sipas ligjit normal. Nëse hipoteza zero është e vërtetë, atëherë pritshmëria e saj matematikore është fq 0, dhe varianca. Në përputhje me këtë, si statistikë, ne zgjedhim një ndryshore të rastësishme 
,
e cila shpërndahet përafërsisht sipas ligjit normal me zero pritje matematikore dhe variancë njësie. Kjo hipotezë është testuar në të njëjtën mënyrë si në rastin (I).
Udhëzim. Për llogaritjen, duhet të plotësoni të dhënat fillestare.
Në faza të ndryshme të kërkimit dhe modelimit statistikor, bëhet e nevojshme të formulohen dhe verifikohen në mënyrë eksperimentale disa supozime (hipoteza) në lidhje me natyrën dhe madhësinë e parametrave të panjohur të popullatës së përgjithshme të analizuar (popullatave). Për shembull, një studiues bën një supozim: "mostra është marrë nga një popullatë e përgjithshme normale" ose "mesatarja e përgjithshme e popullatës së analizuar është pesë". Supozime të tilla quhen hipotezat statistikore.
Krahasimi i hipotezës së deklaruar në lidhje me popullatën e përgjithshme me të dhënat e disponueshme të mostrës, shoqëruar me një vlerësim sasior të shkallës së besueshmërisë së përfundimit të marrë, kryhet duke përdorur një ose një kriter tjetër statistikor dhe quhet testimi i hipotezave statistikore .
Hipoteza e parashtruar quhet zero (kryesore) ... Isshtë e zakonshme ta shënosh atë H 0.
Në lidhje me hipotezën e deklaruar (kryesore), gjithmonë mund të formulohet alternative (konkurruese) duke e kundërshtuar atë. Zakonisht shënohet një hipotezë alternative (konkurruese) H 1.
Qëllimi i Testimit të Hipotezave Statistikoreështë të marrësh një vendim mbi vlefshmërinë e hipotezës kryesore bazuar në të dhënat e mostrës H 0.
Nëse hipoteza e paraqitur reduktohet në pohimin se vlera e një parametri të panjohur të popullatës së përgjithshme saktësisht e barabartë i jepet vlerë, atëherë kjo hipotezë quhet e thjeshte, për shembull: "të ardhurat mesatare mesatare për frymë të popullsisë së Rusisë janë 650 rubla në muaj"; "Shkalla e papunësisë (pjesa e të papunëve në popullsinë ekonomikisht aktive) në Rusi është 9%." Në raste të tjera, hipoteza quhet e komplikuar.
Si një hipotezë zero H 0është zakon të parashtrohet një hipotezë e thjeshtë, meqenëse zakonisht është më i përshtatshëm për të kontrolluar pohimin më të rreptë.
Hipotezat në lidhje me formën e ligjit të shpërndarjes të ndryshores së rastit të hetuar;
Hipotezat për vlerat numerike të parametrave të popullatës së përgjithshme të studiuar;
Hipotezat për homogjenitetin e dy ose më shumë mostrave ose disa karakteristikave të popullatave të analizuara;
Hipotezat në lidhje me formën e përgjithshme të modelit që përshkruajnë lidhjen statistikore midis veçorive, etj.
Meqenëse hipotezat statistikore testohen në bazë të të dhënave të mostrës, d.m.th. një numër i kufizuar vëzhgimesh, vendimesh mbi hipotezën zero H 0 janë të natyrës probabiliste. Me fjalë të tjera, një vendim i tillë shoqërohet në mënyrë të pashmangshme me një probabilitet të caktuar, megjithëse ndoshta shumë të vogël, të një përfundimi të gabuar në secilin drejtim.
Pra, në një pjesë të vogël të rasteve α asnje hipoteze H 0 mund të refuzohet, kur në fakt në popullatën e përgjithshme është e drejtë. Ky gabim quhet gabim i llojit të parë ... Dhe probabiliteti i tij zakonisht quhet niveli i rëndësisë dhe të caktojë α .
Përkundrazi, në një pjesë të vogël të rasteve β asnje hipoteze H 0 pranohet, ndërsa në fakt në popullatën e përgjithshme është e gabuar, dhe hipoteza alternative është e vlefshme H 1... Ky gabim quhet gabim i llojit të dytë ... Probabiliteti i një gabimi të tipit II zakonisht shënohet β ... Probabiliteti 1 - β quhen fuqia e kriterit .
Me një madhësi fikse të mostrës, ju mund të zgjidhni sipas gjykimit tuaj vlerën e probabilitetit të vetëm njërit prej gabimeve α ose β ... Një rritje në gjasat e njërit prej tyre çon në një rënie në tjetrën. Shtë e zakonshme të vendosni probabilitetin e një gabimi të llojit të parë α - niveli i rëndësisë. Si rregull, përdoren disa vlera standarde të nivelit të rëndësisë. α : 0.1; 0.05; 0.025; 0.01; 0,005; 0.001. Pastaj, padyshim, nga dy kritere të karakterizuara nga e njëjta probabilitet α hedh poshtë një hipotezë të vlefshme H 0, ai me gabimin më të vogël të tipit II duhet të pranohet β , d.m.th. më shumë fuqi. Reduktimi i mundësive të të dy gabimeve α dhe β mund të arrihet duke rritur madhësinë e mostrës.
Zgjidhje e saktë në lidhje me hipotezën zero H 0 gjithashtu mund të jetë dy llojesh:
Hipoteza zero do të pranohet H 0, ndërsa në fakt, në popullatën e përgjithshme, hipoteza zero është e vërtetë H 0; gjasat për një vendim të tillë 1 - α;
Asnje hipoteze H 0 do të refuzohet në favor të një alternative H 1, ndërsa në fakt, në popullatën e përgjithshme, hipoteza zero H 0 devijon në favor të një alternative H 1; gjasat për një vendim të tillë 1 - β është fuqia e kriterit.
Rezultatet e zgjidhjes së hipotezës zero mund të ilustrohen duke përdorur Tabelën 8.1.
Tabela 8.1
Hipotezat statistikore testohen duke përdorur kriteri statistikor(le ta quajmë atë në formë të përgjithshme P .R), i cili është një funksion i rezultateve të vëzhgimit.
Kriteri statistikor është një rregull (formula) me të cilën përcaktohet masa e mospërputhjes midis rezultateve të një vëzhgimi të mostrës dhe hipotezës së deklaruar H 0.
Një kriter statistikor, si çdo funksion i rezultateve të vëzhgimit, është një ndryshore e rastësishme dhe nën supozimin e vlefshmërisë së hipotezës zero H 0 i nënshtrohet një ligji të shpërndarjes teorike të studiuar mirë (dhe të tabeluar) me një densitet shpërndarjeje f (k).
Përzgjedhja e një kriteri për testimin e hipotezave statistikore mund të bëhet në bazë të parimeve të ndryshme. Më shpesh ata përdorin raporti i gjasave, e cila ju lejon të ndërtoni kriterin më të fuqishëm midis të gjitha kritereve të mundshme. Thelbi i tij qëndron në zgjedhjen e një kriteri të tillë P .R me një funksion dendësie të njohur f (k) i nënshtrohen vlefshmërisë së hipotezës H 0, në mënyrë që në një nivel të caktuar rëndësie α mund të gjejë pikën e kthesës K cr.shpërndarja f (k), e cila do të ndante gamën e vlerave të kriterit në dy pjesë: diapazoni i vlerave të pranueshme, në të cilat rezultatet e një vëzhgimi të mostrës duken më të besueshme, dhe një rajon kritik, në të cilin duken rezultatet e një vëzhgimi mostër më pak e besueshme në lidhje me hipotezën zero H 0.
Nëse një kriter i tillë P .R zgjidhet, dhe dihet dendësia e shpërndarjes së tij, atëherë detyra e testimit të hipotezës statistikore zvogëlohet në faktin se në një nivel të caktuar rëndësie α llogarit vlerën e vëzhguar të kriterit bazuar në të dhënat e mostrës K obl. dhe përcaktoni nëse është pak a shumë e besueshme në lidhje me hipotezën zero H 0.
Çdo lloj hipoteze statistikore testohet duke përdorur kriterin e duhur, i cili është më i fuqishmi në secilin rast. Për shembull, testimi i hipotezës në lidhje me formën e ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme mund të kryhet duke përdorur testin e mirësisë së përshtatjes së Pearson χ 2; testimi i hipotezës për barazinë e vlerave të panjohura të variancave të dy popullatave të përgjithshme - duke përdorur kriterin F- Fisher; një numër hipotezash në lidhje me vlerat e panjohura të parametrave të popullatave të përgjithshme testohen duke përdorur kriterin Z- ndryshorja normale e shpërndarë dhe kriteri T- studenti t, etj.
Vlera e kriterit, e llogaritur sipas rregullave të veçanta bazuar në të dhënat e mostrës, quhet vlerën e kriterit të vëzhguar (K obl.).
Vlerat e kriterit që ndajnë grupin e vlerave të kriterit në diapazoni i vlerave të vlefshme(më e besueshme në lidhje me hipotezën zero H 0) dhe zona kritike(diapazoni i vlerave më pak i besueshëm në lidhje me tabelat e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme P .R të përzgjedhura si kriter quhen pikat kritike (K kr.).
Zona e vlerave të pranueshme (zona e pranimit të hipotezës zero H 0) P .R H 0 nuk devijon.
Një zonë kritikeështë bashkësia e vlerave të kriterit P .R për të cilat hipoteza zero H 0 devijon në favor të një konkurrenti H 1 .
Të dallojë e njëanshme(djathtas ose majtas) dhe zonat kritike dypalëshe.
Nëse hipoteza konkurruese është e djathtë, për shembull, H 1: a> a 0, atëherë rajoni kritik është e djathtë(Figura 1). Me hipotezën konkurruese të anës së djathtë, pika kritike (K e kuqe në të djathtë) merr vlera pozitive.
Nëse hipoteza konkurruese është e majtë, për shembull, H 1: a< а 0 , atëherë rajoni kritik është e majtë(Figura 2). Me një hipotezë konkurruese të së majtës, pika kritike merr vlera negative (Në të kuqe. Në të majtë).
Nëse hipoteza konkurruese është e dyanshme, për shembull, H 1: a¹ një 0, atëherë rajoni kritik është dypalëshe(Figura 3). Me një hipotezë konkurruese të dyanshme, përcaktohen dy pika kritike (E kuqe e majtë dhe Për kr. e djathtë).
Gama e pranueshmërisë Kritike
zona e vlerave
