Ústne riešenie kvadratických rovníc a Vietova veta. Vietova veta pre kvadratické a iné rovnice Aplikácia Vietovej vety
V tejto prednáške sa zoznámime s kurióznymi vzťahmi medzi koreňmi kvadratickej rovnice a jej koeficientmi. Tieto vzťahy prvýkrát objavil francúzsky matematik Francois Viet (1540-1603).
Napríklad pre rovnicu Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, bez toho, aby ste našli jej korene, môžete pomocou Vietovej vety okamžite povedať, že súčet koreňov je , a súčin koreňov je
t.j. - 2. A pre rovnicu x 2 - 6x + 8 \u003d 0 dospejeme k záveru: súčet koreňov je 6, súčin koreňov je 8; mimochodom, nie je ťažké uhádnuť, čomu sa korene rovnajú: 4 a 2.
Dôkaz Vietovej vety. Korene x 1 a x 2 kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c \u003d 0 sa nachádzajú podľa vzorcov
Kde D \u003d b 2 - 4ac je diskriminant rovnice. Položenie týchto koreňov
dostaneme
Teraz vypočítame súčin koreňov x 1 a x 2, ktoré máme
Druhý vzťah je dokázaný:
Komentujte.
Vietova veta platí aj v prípade, keď má kvadratická rovnica jeden koreň (t.j. keď D \u003d 0), ide len o to, že v tomto prípade sa uvažuje, že rovnica má dva rovnaké korene, na ktoré sa vzťahujú vyššie uvedené vzťahy.
Osvedčené vzťahy pre redukovanú kvadratickú rovnicu x 2 + px + q \u003d 0 majú obzvlášť jednoduchú formu. V tomto prípade dostaneme:
x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
tie. súčet koreňov danej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu.
Pomocou Vietovej vety je možné získať aj ďalšie vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Nech napríklad x 1 a x 2 sú korene redukovanej kvadratickej rovnice x 2 + px + q = 0. Potom
Hlavným účelom Vietovej vety však nie je to, že vyjadruje určité vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Oveľa dôležitejší je fakt, že pomocou Vietovej vety je odvodený vzorec na faktorizáciu štvorcového trojčlenu, bez ktorého sa v budúcnosti nezaobídeme.
Dôkaz. Máme
Príklad 1. Rozložte štvorcovú trojčlenku na faktor 3x 2 - 10x + 3.
Riešenie. Po vyriešení rovnice Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 nájdeme korene štvorcového trinomu Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Pomocou vety 2 dostaneme
Namiesto toho má zmysel písať Zx - 1. Potom nakoniec dostaneme Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Všimnite si, že daný štvorcový trojčlen môže byť faktorizovaný bez použitia vety 2 pomocou metódy zoskupovania:
Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).
Ale ako vidíte, úspech pri tejto metóde závisí od toho, či sa nám podarí nájsť úspešné zoskupenie alebo nie, zatiaľ čo pri prvej metóde je úspech zaručený.
Príklad 1. Znížte zlomok
Riešenie. Z rovnice 2x 2 + 5x + 2 = 0 zistíme x 1 = - 2,
Z rovnice x2 - 4x - 12 = 0 zistíme x 1 = 6, x 2 = -2. Preto
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Teraz zredukujme daný zlomok:
Príklad 3. Faktorizujte výrazy:
a) x4 + 5 x 2 +6; b) 2x+-3
Riešenie: a) Zavedieme novú premennú y = x 2 . To nám umožní prepísať daný výraz do tvaru štvorcovej trojčlenky vzhľadom na premennú y, konkrétne do tvaru y 2 + bу + 6.
Po vyriešení rovnice y 2 + bу + 6 \u003d 0 nájdeme korene štvorcového trinomu y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Teraz použijeme vetu 2; dostaneme
y2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Zostáva mať na pamäti, že y \u003d x 2, t.j. vrátiť sa k danému výrazu. takze
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Zaveďme novú premennú y = . To vám umožní prepísať daný výraz do tvaru štvorcového trojčlenu vzhľadom na premennú y, konkrétne v tvare 2y 2 + y - 3. Po vyriešení rovnice
2y 2 + y - 3 = 0, nájdite korene štvorcového trojčlenu 2y 2 + y - 3:
y1 = 1, y2 =. Ďalej pomocou vety 2 dostaneme:
Zostáva mať na pamäti, že y \u003d, t.j. návrat k danému výrazu. takze
Časť končí niekoľkými úvahami, opäť spojenými s Vietovou vetou, alebo skôr s opačným tvrdením:
ak sú čísla x 1, x 2 také, že x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, potom tieto čísla sú koreňmi rovnice
Pomocou tohto výroku môžete ústne vyriešiť mnohé kvadratické rovnice bez použitia ťažkopádnych koreňových vzorcov a tiež zostaviť kvadratické rovnice s danými koreňmi. Uveďme si príklady.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Tu x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Je ľahké uhádnuť, že x 1 = 8, x 2 = 3.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Tu x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Je ľahké uhádnuť, že x 1 = -5, x 2 = -6.
Poznámka: ak je voľný člen rovnice kladné číslo, potom sú oba korene kladné alebo záporné; toto je dôležité zvážiť pri výbere koreňov.
3) x 2 + x - 12 = 0. Tu x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Je ľahké uhádnuť, že x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Poznámka: ak je voľným členom rovnice záporné číslo, korene majú rôzne znamienka; toto je dôležité zvážiť pri výbere koreňov.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Je ľahké vidieť, že x = 1 spĺňa rovnicu, t.j. x 1 \u003d 1 - koreň rovnice. Pretože x 1 x 2 \u003d - a x 1 \u003d 1, dostaneme, že x 2 \u003d -.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Tu x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Ak dáte pozor na to, že 2830 = 283. 10 a 293 \u003d 283 + 10, potom je zrejmé, že x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (teraz si predstavte, aké výpočty by sa museli vykonať na vyriešenie tejto kvadratickej rovnice pomocou štandardných vzorcov).
6) Zostavme kvadratickú rovnicu tak, aby jej korene slúžili čísla x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4. Zvyčajne v takýchto prípadoch tvoria redukovanú kvadratickú rovnicu x 2 + px + q \u003d 0.
Máme x 1 + x 2 \u003d -p, teda 8 - 4 \u003d -p, to znamená p \u003d -4. Ďalej x 1 x 2 = q, t.j. 8"(-4) = q, odkiaľ dostaneme q = -32. Takže p \u003d -4, q \u003d -32, čo znamená, že požadovaná kvadratická rovnica má tvar x 2 -4x-32 \u003d 0.
Akákoľvek úplná kvadratická rovnica ax2 + bx + c = 0 môže byť pripomenuté x 2 + (b/a) x + (c/a) = 0, ak najprv vydelíme každý člen koeficientom a predtým x2. A ak zavedieme nový zápis (b/a) = p a (c/a) = q, potom budeme mať rovnicu x 2 + px + q = 0, ktorý sa v matematike nazýva redukovaná kvadratická rovnica.
Korene redukovanej kvadratickej rovnice a koeficienty p a q vzájomne prepojené. Je to potvrdené Vietov teorém, pomenovaná po francúzskom matematikovi Francoisovi Vietovi, ktorý žil na konci 16. storočia.
Veta. Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 + px + q = 0 rovný druhému koeficientu p, brané s opačným znamienkom, a súčin koreňov - k voľnému termínu q.
Tieto pomery zapisujeme v nasledujúcom tvare:
Nechaj x 1 a x2 rôzne korene redukovanej rovnice x 2 + px + q = 0. Podľa Vietovej vety x1 + x2 = -p a x 1 x 2 = q.
Aby sme to dokázali, dosaďte do rovnice každý z koreňov x 1 a x 2. Dostaneme dve skutočné rovnosti:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Odpočítajte druhú od prvej rovnosti. Dostaneme: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Rozšírime prvé dva pojmy podľa vzorca rozdielu štvorcov:
(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0
Podľa podmienok sú korene x 1 a x 2 odlišné. Preto môžeme rovnosť znížiť o (x 1 - x 2) ≠ 0 a vyjadriť p.
(x1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Prvá rovnosť je dokázaná.
Aby sme dokázali druhú rovnosť, dosadíme do prvej rovnice
x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 namiesto koeficientu p je jeho rovnaké číslo (x 1 + x 2):
x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0
Transformáciou ľavej strany rovnice dostaneme:
x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;
x 1 x 2 = q, čo sa malo dokázať.
Vietin teorém je dobrý, pretože aj bez znalosti koreňov kvadratickej rovnice vieme vypočítať ich súčet a súčin .
Vietova veta pomáha určiť celočíselné korene danej kvadratickej rovnice. Mnohým študentom to však spôsobuje ťažkosti v dôsledku skutočnosti, že nepoznajú jasný algoritmus činnosti, najmä ak majú korene rovnice rôzne znamienka.
Daná kvadratická rovnica má teda tvar x 2 + px + q \u003d 0, kde x 1 a x 2 sú jej korene. Podľa Vietovej vety x 1 + x 2 = -p a x 1 x 2 = q.
Môžeme vyvodiť nasledujúci záver.
Ak v rovnici predchádza poslednému členu znamienko mínus, potom korene x 1 a x 2 majú rôzne znamienka. Okrem toho znamienko menšieho koreňa je rovnaké ako znamienko druhého koeficientu v rovnici.
Na základe skutočnosti, že pri pridávaní čísel s rôznymi znamienkami sa ich moduly odčítajú a znamienko väčšieho čísla v module sa umiestni pred výsledok, mali by ste postupovať takto:
- určte také faktory čísla q, aby sa ich rozdiel rovnal číslu p;
- dajte znamienko druhého koeficientu rovnice pred menšie zo získaných čísel; druhý koreň bude mať opačné znamienko.
Pozrime sa na niekoľko príkladov.
Príklad 1.
Vyriešte rovnicu x 2 - 2x - 15 = 0.
Riešenie.
Pokúsme sa vyriešiť túto rovnicu pomocou pravidiel navrhnutých vyššie. Potom môžeme s istotou povedať, že táto rovnica bude mať dva rôzne korene, pretože D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.
Teraz zo všetkých faktorov čísla 15 (1 a 15, 3 a 5) vyberieme tie, ktorých rozdiel sa rovná 2. Budú to čísla 3 a 5. Pred menšie číslo dáme znamienko mínus , t.j. znamienko druhého koeficientu rovnice. Získame tak korene rovnice x 1 \u003d -3 a x 2 \u003d 5.
Odpoveď. x 1 = -3 a x 2 = 5.
Príklad 2.
Vyriešte rovnicu x 2 + 5x - 6 = 0.
Riešenie.
Pozrime sa, či táto rovnica má korene. Aby sme to dosiahli, nájdeme diskriminant:
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Rovnica má dva rôzne korene.
Možné faktory čísla 6 sú 2 a 3, 6 a 1. Rozdiel je 5 pre pár 6 a 1. V tomto príklade má koeficient druhého člena znamienko plus, takže menšie číslo bude mať rovnaké znamenie. Ale pred druhým číslom bude znamienko mínus.
Odpoveď: x 1 = -6 a x 2 = 1.
Vietovu vetu je možné napísať aj pre úplnú kvadratickú rovnicu. Ak teda kvadratická rovnica ax2 + bx + c = 0 má korene x 1 a x 2 , potom spĺňajú rovnosti
x 1 + x 2 = -(b/a) a x 1 x 2 = (c/a). Aplikácia tejto vety v úplnej kvadratickej rovnici je však dosť problematická, keďže ak existujú korene, aspoň jeden z nich je zlomkové číslo. A práca s výberom zlomkov je dosť náročná. Ale stále existuje cesta von.
Uvažujme úplnú kvadratickú rovnicu ax 2 + bx + c = 0. Vynásobte jej ľavú a pravú stranu koeficientom a. Rovnica bude mať tvar (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Teraz predstavme novú premennú, napríklad t = ax.
V tomto prípade sa výsledná rovnica zmení na redukovanú kvadratickú rovnicu tvaru t 2 + bt + ac = 0, ktorej korene t 1 a t 2 (ak existujú) možno určiť Vietovou vetou.
V tomto prípade budú korene pôvodnej kvadratickej rovnice
xi = (ti/a) a x2 = (t2/a).
Príklad 3.
Vyriešte rovnicu 15x 2 - 11x + 2 = 0.
Riešenie.
Zostavíme pomocnú rovnicu. Vynásobme každý člen rovnice 15:
15 2 x 2 - 11 15 x + 15 2 = 0.
Zmenu vykonáme t = 15x. Máme:
t2 - 11t + 30 = 0.
Podľa Vietovej vety budú korene tejto rovnice t 1 = 5 a t 2 = 6.
Vrátime sa k náhrade t = 15x:
5 = 15x alebo 6 = 15x. Teda x 1 = 5/15 a x 2 = 6/15. Zmenšíme a dostaneme konečnú odpoveď: x 1 = 1/3 a x 2 = 2/5.
Odpoveď. x 1 = 1/3 a x 2 = 2/5.
Na zvládnutie riešenia kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety si študenti potrebujú čo najviac precvičiť. Toto je presne tajomstvo úspechu.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
Medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice sú okrem koreňových vzorcov aj ďalšie užitočné vzťahy, ktoré sú dané napr. Vietov teorém. V tomto článku uvedieme formuláciu a dôkaz Vietovej vety pre kvadratickú rovnicu. Ďalej uvažujeme vetu opačnú k Vietovej vete. Potom budeme analyzovať riešenia najcharakteristickejších príkladov. Nakoniec si zapíšeme vzorce Vieta, ktoré definujú spojenie medzi skutočnými koreňmi algebraická rovnica stupeň n a jeho koeficienty.
Navigácia na stránke.
Vietov teorém, formulácia, dôkaz
Zo vzorcov koreňov kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0 tvaru , kde D=b 2 −4 a c , vyplývajú vzťahy x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Tieto výsledky sú potvrdené Vietov teorém:
Veta.
Ak x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0, potom sa súčet koreňov rovná pomeru koeficientov b a a, braných s opačným znamienkom, a súčinu korene sa rovnajú pomeru koeficientov c a a, teda .
Dôkaz.
Vietovu vetu dokážeme podľa nasledujúcej schémy: poskladáme súčet a súčin koreňov kvadratickej rovnice pomocou známych koreňových vzorcov, výsledné výrazy potom transformujeme a uistíme sa, že sú rovné −b /a a c/a.
Začnime súčtom koreňov, poskladajte to. Teraz privedieme zlomky k spoločnému menovateľovi, máme. V čitateli výsledného zlomku, po ktorom:. Nakoniec po 2 dostaneme . To dokazuje prvý vzťah Vietovej vety pre súčet koreňov kvadratickej rovnice. Prejdime k druhému.
Poskladáme súčin koreňov kvadratickej rovnice:. Podľa pravidla násobenia zlomkov možno posledný súčin zapísať ako. Teraz vynásobíme zátvorku zátvorkou v čitateli, ale rýchlejšie je tento produkt zbaliť rozdiel štvorcov vzorca, Takže . Potom, pamätajúc, vykonáme ďalší prechod. A keďže vzorec D=b 2 −4 a·c zodpovedá diskriminantu kvadratickej rovnice, potom b 2 −4·a·c môžeme dosadiť do posledného zlomku namiesto D, dostaneme . Po otvorení zátvoriek a zmenšení podobných členov sa dostaneme k zlomku a jeho zmenšenie o 4·a dáva . To dokazuje druhý vzťah Vietovej vety pre súčin koreňov.
Ak vynecháme vysvetlenia, dôkaz vety Vieta bude mať stručnú formu:
,
.
Zostáva len poznamenať, že keď je diskriminant rovný nule, kvadratická rovnica má jeden koreň. Ak však predpokladáme, že rovnica má v tomto prípade dva rovnaké korene, potom platia aj rovnosti z Vietovej vety. V skutočnosti pre D=0 je koreň kvadratickej rovnice , potom a , a keďže D=0 , to znamená b 2 −4·a·c=0 , odkiaľ b 2 =4·a·c , potom .
V praxi sa Vietova veta najčastejšie používa vo vzťahu k redukovanej kvadratickej rovnici (s najvyšším koeficientom a rovným 1 ) tvaru x 2 +p·x+q=0 . Niekedy sa formuluje pre kvadratické rovnice práve tohto typu, čo však neobmedzuje všeobecnosť, keďže akúkoľvek kvadratickú rovnicu možno nahradiť ekvivalentnou rovnicou vydelením oboch jej častí nenulovým číslom a. Tu je zodpovedajúca formulácia Vietovej vety:
Veta.
Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 + p x + q \u003d 0 sa rovná koeficientu x, branému s opačným znamienkom, a súčin koreňov je voľný člen, tj x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .
Veta inverzná k Vietovej vete
Druhá formulácia Vietovej vety uvedená v predchádzajúcom odseku naznačuje, že ak x 1 a x 2 sú koreňmi redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0, potom vzťahy x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2 = q. Na druhej strane zo zapísaných vzťahov x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q vyplýva, že x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0. Inými slovami, tvrdenie, ktoré sa obracia k Vietovej vete, je pravdivé. Sformulujeme to vo forme vety a dokážeme to.
Veta.
Ak sú čísla x 1 a x 2 také, že x 1 +x 2 =−p a x 1 x 2 =q, potom x 1 a x 2 sú korene redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0 .
Dôkaz.
Po nahradení koeficientov p a q v rovnici x 2 +p x+q=0 ich vyjadrenia cez x 1 a x 2 sa prevedie na ekvivalentnú rovnicu.
Do výslednej rovnice dosadíme namiesto x číslo x 1, máme rovnosť x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, čo je pre ľubovoľné x 1 a x 2 správna číselná rovnosť 0=0, keďže x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Preto je x 1 koreňom rovnice x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, čo znamená, že x 1 je koreň ekvivalentnej rovnice x 2 +p x+q=0 .
Ak v rovnici x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 dosaďte číslo x 2 namiesto x, potom dostaneme rovnosť x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Toto je správna rovnica, pretože x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Preto je x 2 tiež koreňom rovnice x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, a teda rovnice x 2 + p x + q = 0 .
Tým je dôkaz teorému konverzný k Vietovej vete.
Príklady použitia Vietovej vety
Je čas porozprávať sa o praktickej aplikácii Vietovej vety a jej inverznej vety. V tejto podkapitole rozoberieme riešenia niekoľkých najtypickejších príkladov.
Začneme aplikáciou vety konverzovať na Vietovu vetu. Je vhodné ho použiť na kontrolu, či dané dve čísla sú koreňmi danej kvadratickej rovnice. V tomto prípade sa vypočíta ich súčet a rozdiel, potom sa skontroluje platnosť vzťahov. Ak sú splnené obidva tieto vzťahy, potom na základe vety, ktorá sa obracia k Vietovej vete, sa usúdi, že tieto čísla sú koreňmi rovnice. Ak aspoň jeden zo vzťahov nie je splnený, potom tieto čísla nie sú koreňmi kvadratickej rovnice. Tento prístup možno použiť pri riešení kvadratických rovníc na kontrolu nájdených koreňov.
Príklad.
Ktorý z párov čísel 1) x 1 =−5, x 2 =3 alebo 2) alebo 3) je párom koreňov kvadratickej rovnice 4 x 2 −16 x+9=0?
Riešenie.
Koeficienty danej kvadratickej rovnice 4 x 2 −16 x+9=0 sú a=4, b=−16, c=9. Podľa Vietovej vety sa súčet koreňov kvadratickej rovnice musí rovnať −b/a, teda 16/4=4, a súčin koreňov sa musí rovnať c/a, teda 9. /4.
Teraz vypočítajme súčet a súčin čísel v každom z troch daných párov a porovnajme ich s práve získanými hodnotami.
V prvom prípade máme x 1 + x 2 =−5+3=−2 . Výsledná hodnota je iná ako 4, preto nie je možné vykonať ďalšie overenie, ale pomocou vety, inverznej k Vietovej vete, môžeme okamžite usúdiť, že prvá dvojica čísel nie je dvojicou koreňov danej kvadratickej rovnice. .
Prejdime k druhému prípadu. Tu je prvá podmienka splnená. Skontrolujeme druhú podmienku: , výsledná hodnota je iná ako 9/4 . Preto druhý pár čísel nie je párom koreňov kvadratickej rovnice.
Ostáva posledný prípad. Tu a . Obe podmienky sú splnené, preto tieto čísla x 1 a x 2 sú koreňmi danej kvadratickej rovnice.
odpoveď:
Veta, opak Vietovej vety, sa dá v praxi použiť na výber koreňov kvadratickej rovnice. Zvyčajne sa vyberajú celočíselné korene daných kvadratických rovníc s celočíselnými koeficientmi, pretože v iných prípadoch je to dosť ťažké. Zároveň využívajú skutočnosť, že ak sa súčet dvoch čísel rovná druhému koeficientu kvadratickej rovnice so znamienkom mínus a súčin týchto čísel sa rovná voľnému členu, potom sú tieto čísla korene tejto kvadratickej rovnice. Vyrovnajme sa s tým na príklade.
Zoberme si kvadratickú rovnicu x 2 −5 x+6=0 . Aby čísla x 1 a x 2 boli koreňmi tejto rovnice, musia byť splnené dve rovnosti x 1 + x 2 \u003d 5 a x 1 x 2 \u003d 6. Zostáva vybrať také čísla. V tomto prípade je to celkom jednoduché: také čísla sú 2 a 3, pretože 2+3=5 a 2 3=6 . 2 a 3 sú teda koreňmi tejto kvadratickej rovnice.
Veta, opak Vietovej vety, je obzvlášť vhodná na použitie pri hľadaní druhého koreňa redukovanej kvadratickej rovnice, keď je jeden z koreňov už známy alebo zrejmý. V tomto prípade sa druhý koreň nájde z ktoréhokoľvek zo vzťahov.
Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu 512 x 2 −509 x−3=0 . Tu je ľahké vidieť, že jednotka je koreňom rovnice, pretože súčet koeficientov tejto kvadratickej rovnice je nula. Takže x 1 = 1. Druhý koreň x 2 nájdeme napríklad zo vzťahu x 1 x 2 =c/a. Máme 1 x 2 =−3/512, odkiaľ x 2 =−3/512. Takže sme definovali oba korene kvadratickej rovnice: 1 a −3/512.
Je zrejmé, že výber koreňov je účelný len v najjednoduchších prípadoch. V iných prípadoch, ak chcete nájsť korene, môžete použiť vzorce koreňov kvadratickej rovnice cez diskriminant.
Ďalšou praktickou aplikáciou vety, inverznou k Vietovej vete, je zostavenie kvadratických rovníc pre dané korene x 1 a x 2. Na to stačí vypočítať súčet koreňov, ktorý dáva koeficient x s opačným znamienkom danej kvadratickej rovnice, a súčin koreňov, ktorý dáva voľný člen.
Príklad.
Napíšte kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú čísla −11 a 23.
Riešenie.
Označme x 1 = -11 a x 2 = 23 . Vypočítame súčet a súčin týchto čísel: x 1 + x 2 \u003d 12 a x 1 x 2 \u003d −253. Preto sú tieto čísla koreňmi danej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom -12 a voľným členom -253. To znamená, že x 2 −12·x−253=0 je požadovaná rovnica.
odpoveď:
x 2 −12 x−253=0 .
Vietova veta sa veľmi často používa pri riešení úloh súvisiacich so znamienkami koreňov kvadratických rovníc. Ako súvisí Vietova veta so znamienkami koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0 ? Tu sú dve relevantné vyhlásenia:
- Ak je priesečník q kladné číslo a ak má kvadratická rovnica reálne korene, potom sú obe kladné alebo záporné.
- Ak je voľný člen q záporné číslo a ak má kvadratická rovnica reálne korene, ich znamienka sú rôzne, inými slovami, jeden koreň je kladný a druhý záporný.
Tieto tvrdenia vyplývajú zo vzorca x 1 x 2 =q, ako aj z pravidiel násobenia kladných, záporných čísel a čísel s rôznymi znamienkami. Zvážte príklady ich aplikácie.
Príklad.
R je kladné. Podľa diskriminačného vzorca zistíme D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, hodnotu výrazu r 2 +8 je kladné pre akékoľvek reálne r , teda D>0 pre akékoľvek reálne r . Preto má pôvodná kvadratická rovnica dva korene pre akékoľvek reálne hodnoty parametra r.
Teraz poďme zistiť, kedy majú korene rôzne znaky. Ak sú znamienka koreňov rozdielne, ich súčin je záporný a podľa Vietovej vety sa súčin koreňov danej kvadratickej rovnice rovná voľnému členu. Preto nás zaujímajú tie hodnoty r, pre ktoré je voľný člen r−1 záporný. Aby sme teda našli hodnoty r, ktoré nás zaujímajú, musíme vyriešiť lineárnu nerovnosť r-1<0 , откуда находим r<1 .
odpoveď:
na r<1 .
Vieta vzorce
Vyššie sme hovorili o Vietovej vete pre kvadratickú rovnicu a analyzovali sme vzťahy, ktoré presadzuje. Existujú však vzorce, ktoré spájajú skutočné korene a koeficienty nielen kvadratických rovníc, ale aj kubických rovníc, štvornásobných rovníc a všeobecne, algebraické rovnice stupeň n. Volajú sa Vieta vzorce.
Napíšeme Vietove vzorce pre algebraickú rovnicu stupňa n tvaru, pričom predpokladáme, že má n reálnych koreňov x 1, x 2, ..., x n (medzi nimi môžu byť rovnaké): 
Získať vzorce Vieta umožňuje polynomiálna faktorizačná veta, ako aj definíciu rovnakých polynómov prostredníctvom rovnosti všetkých im zodpovedajúcich koeficientov. Takže polynóm a jeho expanzia na lineárne faktory tvaru sú rovnaké. Otvorením zátvoriek v poslednom produkte a porovnaním zodpovedajúcich koeficientov získame vzorce Vieta.
Najmä pre n=2 už známe Vietove vzorce pre kvadratickú rovnicu .
Pre kubickú rovnicu majú vzorce Vieta tvar 
Zostáva len poznamenať, že na ľavej strane vzorcov Vieta sú elementárne tzv symetrické polynómy.
Bibliografia.
- algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; vyd. A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - M.: Osveta, 2010.- 368 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Jednou z metód riešenia kvadratickej rovnice je aplikácia Vzorce VIETA, ktorá bola pomenovaná po FRANCOISOVI VIETEM.
Bol to slávny právnik a v 16. storočí slúžil u francúzskeho kráľa. Vo voľnom čase študoval astronómiu a matematiku. Vytvoril spojenie medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice.
Výhody vzorca:
1 . Použitím vzorca môžete rýchlo nájsť riešenie. Pretože nepotrebujete zadať druhý koeficient do štvorca, potom od neho odčítať 4ac, nájsť diskriminant, dosadiť jeho hodnotu do vzorca na hľadanie koreňov.
2 . Bez riešenia môžete určiť znaky koreňov, vyzdvihnúť hodnoty koreňov.
3 . Po vyriešení systému dvoch záznamov nie je ťažké nájsť samotné korene. Vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici sa súčet koreňov rovná hodnote druhého koeficientu so znamienkom mínus. Súčin koreňov vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici sa rovná hodnote tretieho koeficientu.
4 . Podľa daných koreňov napíšte kvadratickú rovnicu, teda vyriešte inverznú úlohu. Táto metóda sa používa napríklad pri riešení problémov v teoretickej mechanike.
5 . Je vhodné použiť vzorec, keď sa vodiaci koeficient rovná jednej.
nedostatky:
1
. Vzorec nie je univerzálny.
Vietova veta 8. stupeň
Vzorec
Ak x 1 a x 2 sú korene danej kvadratickej rovnice x 2 + px + q \u003d 0, potom:
Príklady
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - korene rovnice x 2 - 2x - 3 \u003d 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Inverzná veta
Vzorec
Ak sú čísla x 1 , x 2 , p, q spojené podmienkami:
Potom x 1 a x 2 sú korene rovnice x 2 + px + q = 0.
Príklad
Urobme kvadratickú rovnicu podľa jej koreňov:
X 1 \u003d 2 -? 3 a x 2 \u003d 2 +? 3.
P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
Požadovaná rovnica má tvar: x 2 - 4x + 1 = 0.
2.5 Vieta vzorec pre polynómy (rovnice) vyšších stupňov
Vzorce odvodené Vietou pre kvadratické rovnice platia aj pre polynómy vyšších stupňov.
Nech je polynóm
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Má n rôznych koreňov x 1 , x 2 ..., x n .
V tomto prípade má tvar rozkladu:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1) (x – x 2)… (x – x n)
Vydeľme obe časti tejto rovnosti a 0 ≠ 0 a rozviňme zátvorky v prvej časti. Dostaneme rovnosť:
x n + () x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n) x n - 2 + … + (-1) n x 1 x 2 … x n
Ale dva polynómy sú identicky rovnaké vtedy a len vtedy, ak sú koeficienty pri rovnakých mocninách rovnaké. Z toho vyplýva, že rovnosť
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Napríklad pre polynómy tretieho stupňa
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Máme identity
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Pokiaľ ide o kvadratické rovnice, tento vzorec sa nazýva vzorce Vieta. Ľavé časti týchto vzorcov sú symetrické polynómy z koreňov x 1 , x 2 ..., x n danej rovnice a pravé časti sú vyjadrené pomocou koeficientu polynómu.
2.6 Rovnice redukovateľné na druhé mocniny (bikvadratické)
Rovnice štvrtého stupňa sú redukované na kvadratické rovnice:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
nazývané bikvadratické, navyše a ≠ 0.
Do tejto rovnice teda stačí vložiť x 2 \u003d y,
ay² + by + c = 0
nájsť korene výslednej kvadratickej rovnice
y 1,2 = 
Ak chcete okamžite nájsť korene x 1, x 2, x 3, x 4, nahraďte y x a získajte
x2 =
x 1,2,3,4 = 
.
Ak má rovnica štvrtého stupňa x 1, potom má aj koreň x 2 \u003d -x 1,
Ak má x 3, potom x 4 \u003d - x 3. Súčet koreňov takejto rovnice je nula.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Rovnicu dosadíme do vzorca pre korene bikvadratických rovníc:
x 1,2,3,4 = 
,
s vedomím, že x 1 \u003d -x 2 a x 3 \u003d -x 4, potom:
x 3,4 = 
Odpoveď: x 1,2 \u003d ± 2; x 1,2 =
2.7 Štúdium bikvadratických rovníc
Zoberme si bikvadratickú rovnicu
ax 4 + bx 2 + c = 0,
kde a, b, c sú reálne čísla a a > 0. Zavedením pomocnej neznámej y = x² preskúmame korene tejto rovnice a výsledky zapíšeme do tabuľky (pozri prílohu č. 1)
2.8 Formula Cardano
Ak použijeme modernú symboliku, odvodenie Cardanovho vzorca môže vyzerať takto:
x = 
Tento vzorec určuje korene všeobecnej rovnice tretieho stupňa:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Tento vzorec je veľmi ťažkopádny a zložitý (obsahuje niekoľko zložitých radikálov). Neplatí to vždy, lebo. veľmi ťažké dokončiť.
F ¢(x®) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Vypíšte alebo vyberte z 2-3 textov najzaujímavejšie miesta. Zohľadnili sme teda všeobecné ustanovenia pre tvorbu a vedenie výberových predmetov, ktoré sa budú brať do úvahy pri tvorbe výberového predmetu algebra pre ročník 9 „Kvadrikulárne rovnice a nerovnice s parametrom“. Kapitola II. Metodika vedenia výberového predmetu „Kvadratické rovnice a nerovnice s parametrom“ 1.1. generál...
Riešenia z numerických výpočtových metód. Na určenie koreňov rovnice nie je potrebná znalosť teórií Abelových, Galoisových, Lieových grúp atď. a používanie špeciálnej matematickej terminológie: kruhy, polia, ideály, izomorfizmy atď. Na vyriešenie algebraickej rovnice n-tého stupňa potrebujete iba schopnosť riešiť kvadratické rovnice a extrahovať korene z komplexného čísla. Korene možno určiť pomocou...
S jednotkami merania fyzikálnych veličín v systéme MathCAD? 11. Podrobne popíšte textové, grafické a matematické bloky. Prednáška číslo 2. Úlohy lineárnej algebry a riešenie diferenciálnych rovníc v prostredí MathCADu V úlohách lineárnej algebry je takmer vždy nevyhnutné vykonávať rôzne operácie s maticami. Panel maticového operátora sa nachádza na paneli Matematika. ...
