Nájdite oblasť objektu ohraničenú čiarami online. Plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu. Dokončenie riešenia môže vyzerať takto
V tomto článku sa dozviete, ako nájsť oblasť obrázku ohraničenú čiarami pomocou integrálnych výpočtov. Prvýkrát sa s formuláciou takéhoto problému stretávame na strednej škole, keď je práve ukončené štúdium určitých integrálov a je čas začať s geometrickým výkladom získaných poznatkov v praxi.
Čo je teda potrebné na úspešné vyriešenie problému nájdenia oblasti obrázku pomocou integrálov:
- Schopnosť správne kresliť kresby;
- Schopnosť riešiť určitý integrál pomocou známeho Newton-Leibnizovho vzorca;
- Možnosť „vidieť“ výnosnejšie riešenie – t.j. pochopiť, ako v tomto alebo tom prípade bude pohodlnejšie vykonať integráciu? Pozdĺž osi x (OX) alebo osi y (OY)?
- Kde bez správnych výpočtov?) To zahŕňa pochopenie toho, ako vyriešiť tento iný typ integrálov a správne numerické výpočty.
Algoritmus na riešenie problému výpočtu plochy obrazca ohraničeného čiarami:
1. Vytvárame výkres. Je vhodné to urobiť na kus papiera v klietke vo veľkom meradle. Ceruzkou nad každým grafom podpisujeme názov tejto funkcie. Podpis grafov sa vykonáva výlučne pre pohodlie ďalších výpočtov. Po prijatí grafu požadovaného čísla bude vo väčšine prípadov okamžite jasné, ktoré integračné limity sa použijú. Úlohu teda riešime graficky. Stáva sa však, že hodnoty limitov sú zlomkové alebo iracionálne. Preto môžete vykonať ďalšie výpočty, prejdite na druhý krok.
2. Ak integračné limity nie sú explicitne nastavené, nájdeme priesečníky grafov medzi sebou a uvidíme, či sa naše grafické riešenie zhoduje s analytickým.
3. Ďalej musíte analyzovať výkres. V závislosti od toho, ako sú umiestnené grafy funkcií, existujú rôzne prístupy k nájdeniu oblasti obrázku. Zvážte rôzne príklady hľadania oblasti obrazca pomocou integrálov.
3.1. Najklasickejšia a najjednoduchšia verzia problému je, keď potrebujete nájsť oblasť krivočiareho lichobežníka. Čo je to krivočiary lichobežník? Toto je plochý obrazec ohraničený osou x (y=0), rovný x = a, x = b a ľubovoľná krivka súvislá na intervale od a predtým b. Toto číslo zároveň nie je záporné a nenachádza sa nižšie ako os x. V tomto prípade sa plocha krivočiareho lichobežníka numericky rovná určitému integrálu vypočítanému pomocou vzorca Newton-Leibniz:
Príklad 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Aké čiary definujú postavu? Máme parabolu y = x2 - 3x + 3, ktorá sa nachádza nad osou OH, je nezáporné, pretože všetky body tejto paraboly sú kladné. Ďalej, dané rovné čiary x = 1 a x = 3 ktoré prebiehajú rovnobežne s osou OU, sú ohraničujúce čiary obrázku vľavo a vpravo. Dobre y = 0, ona je os x, ktorá obmedzuje postavu zdola. Výsledný obrázok je vytieňovaný, ako je vidieť na obrázku vľavo. V takom prípade môžete problém okamžite začať riešiť. Pred nami je jednoduchý príklad krivočiareho lichobežníka, ktorý potom riešime pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.
3.2. V predchádzajúcom odseku 3.1 bol analyzovaný prípad, keď je krivočiary lichobežník umiestnený nad osou x. Teraz zvážte prípad, keď sú podmienky problému rovnaké, okrem toho, že funkcia leží pod osou x. K štandardnému Newton-Leibnizovmu vzorcu sa pridáva mínus. Ako vyriešiť takýto problém, zvážime ďalej.
Príklad 2 . Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
V tomto príklade máme parabolu y=x2+6x+2, ktorý vychádza pod osou OH, rovný x=-4, x=-1, y=0. Tu y = 0 obmedzuje požadovanú hodnotu zhora. Priamy x = -4 a x = -1 toto sú hranice, v rámci ktorých sa bude počítať určitý integrál. Princíp riešenia problému nájdenia oblasti obrázku sa takmer úplne zhoduje s príkladom číslo 1. Jediný rozdiel je v tom, že daná funkcia nie je kladná a všetko je tiež spojité na intervale [-4; -1] . Čo neznamená pozitívne? Ako vidno z obrázku, obrazec, ktorý leží v danom x, má výlučne „záporné“ súradnice, čo musíme vidieť a zapamätať si pri riešení úlohy. Hľadáme oblasť postavy pomocou vzorca Newton-Leibniz, iba so znamienkom mínus na začiatku.
Článok nie je dokončený.
Začneme uvažovať o samotnom procese výpočtu dvojitého integrálu a zoznámime sa s jeho geometrickým významom.
Dvojitý integrál sa číselne rovná ploche plochého útvaru (región integrácie). Ide o najjednoduchší tvar dvojitého integrálu, keď sa funkcia dvoch premenných rovná jednej: .
Najprv sa pozrime na problém všeobecne. Teraz budete prekvapení, aké jednoduché to naozaj je! Vypočítajme plochu plochej postavy ohraničenú čiarami. Pre istotu predpokladáme, že na intervale . Plocha tohto obrázku sa číselne rovná:
Znázornime oblasť na výkrese:
Vyberme si prvý spôsob, ako obísť oblasť:
Touto cestou:
A hneď dôležitý technický trik: iterované integrály možno posudzovať samostatne. Najprv vnútorný integrál, potom vonkajší integrál. Táto metóda sa dôrazne odporúča pre začiatočníkov v téme čajníky.
1) Vypočítajte vnútorný integrál, pričom integrácia sa vykonáva nad premennou "y":
Neurčitý integrál je tu najjednoduchší a potom sa používa banálny Newton-Leibnizov vzorec, len s tým rozdielom, že limitmi integrácie nie sú čísla, ale funkcie. Najprv sme dosadili hornú hranicu do „y“ (antiderivačná funkcia), potom dolnú hranicu
2) Výsledok získaný v prvom odseku musí byť dosadený do externého integrálu:
Kompaktnejší zápis celého riešenia vyzerá takto:
Výsledný vzorec je presne pracovným vzorcom na výpočet plochy plochej postavy pomocou „obyčajného“ určitého integrálu! Pozri lekciu Výpočet plochy pomocou určitého integrálu, tam je na každom kroku!
teda problém výpočtu plochy pomocou dvojitého integrálu trochu inak z problému nájdenia oblasti pomocou určitého integrálu! V skutočnosti sú jedno a to isté!
Preto by nemali vzniknúť žiadne ťažkosti! Nebudem uvažovať o mnohých príkladoch, pretože ste sa s týmto problémom v skutočnosti opakovane stretli.
Príklad 9
Riešenie: Znázornime oblasť na výkrese:
Zvoľme nasledovné poradie prechodu regiónu:
Tu a nižšie sa nebudem zaoberať tým, ako prejsť oblasťou, pretože prvý odsek bol veľmi podrobný.
Touto cestou:
Ako som už poznamenal, pre začiatočníkov je lepšie počítať iterované integrály samostatne, budem sa držať rovnakej metódy:
1) Najprv sa pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca zaoberáme vnútorným integrálom:
2) Výsledok získaný v prvom kroku sa dosadí do vonkajšieho integrálu:
Bod 2 je vlastne nájdenie plochy plochej postavy pomocou určitého integrálu.
odpoveď:
Tu je taká hlúpa a naivná úloha.
Zaujímavý príklad nezávislého riešenia:
Príklad 10
Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničeného priamkami , ,
Príklad konečného riešenia na konci hodiny.
V príkladoch 9-10 je oveľa výhodnejšie použiť prvý spôsob obchádzania oblasti, zvedaví čitatelia si mimochodom môžu zmeniť poradie obchvatu a vypočítať plochy druhým spôsobom. Ak neurobíte chybu, prirodzene sa získajú rovnaké hodnoty plochy.
V niektorých prípadoch je však efektívnejší druhý spôsob, ako túto oblasť obísť, a na záver kurzu mladého hlupáka sa pozrime na niekoľko ďalších príkladov na túto tému:
Príklad 11
Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničeného čiarami.
Riešenie: tešíme sa na dve paraboly s vánkom, ktoré ležia na boku. Netreba sa usmievať, s podobnými vecami vo viacerých integráloch sa stretávame často.
Aký je najjednoduchší spôsob, ako vytvoriť kresbu?
Predstavme si parabolu ako dve funkcie:
- horná vetva a - dolná vetva.
Podobne predstavujeme parabolu ako hornú a dolnú vetvu.
Plocha obrázku sa vypočíta pomocou dvojitého integrálu podľa vzorca:
Čo sa stane, ak zvolíme prvý spôsob obídenia oblasti? Po prvé, táto oblasť bude musieť byť rozdelená na dve časti. A po druhé, budeme pozorovať tento smutný obraz: . Integrály, samozrejme, nie sú na superkomplexnej úrovni, ale ... hovorí staré matematické príslovie: kto je priateľský s koreňmi, nepotrebuje kompenzovanie.
Preto z nedorozumenia, ktoré je uvedené v podmienke, vyjadrujeme inverzné funkcie:
Inverzné funkcie v tomto príklade majú tú výhodu, že okamžite nastavia celú parabolu bez akýchkoľvek listov, žaluďov, konárov a koreňov.
Podľa druhej metódy bude prechod oblasti takýto:
Touto cestou:
Ako sa hovorí, cítiť ten rozdiel.
1) Zaoberáme sa vnútorným integrálom:
Výsledok dosadíme do vonkajšieho integrálu:
Integrácia nad premennou "y" by nemala byť trápna, ak by tam bolo písmeno "zyu" - bolo by skvelé nad ním integrovať. Hoci kto čítal druhý odsek lekcie Ako vypočítať objem rotačného telesa, s integráciou nad „y“ už nezažíva ani najmenší trapas.
Venujte pozornosť aj prvému kroku: integrand je párny a segment integrácie je symetrický okolo nuly. Preto je možné segment rozdeliť na polovicu a výsledok možno zdvojnásobiť. Táto technika je podrobne komentovaná v lekcii. Efektívne metódy na výpočet určitého integrálu.
Čo dodať…. Všetko!
odpoveď:
Ak chcete otestovať svoju integračnú techniku, môžete skúsiť vypočítať . Odpoveď by mala byť úplne rovnaká.
Príklad 12
Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničeného čiarami
Toto je príklad „urob si sám“. Je zaujímavé poznamenať, že ak sa pokúsite použiť prvý spôsob na obídenie oblasti, postava sa už nerozdelí na dve, ale na tri časti! A podľa toho dostaneme tri páry iterovaných integrálov. Niekedy sa to stane.
Majstrovská trieda sa skončila a je čas prejsť na úroveň veľmajstra - Ako vypočítať dvojitý integrál? Príklady riešení. V druhom článku sa budem snažiť nebyť taký maniak =)
Prajem vám úspech!
Riešenia a odpovede:
Príklad 2:Riešenie:
Nakreslite oblasť na výkrese:
Zvoľme nasledovné poradie prechodu regiónu:
Touto cestou:
Prejdime k inverzným funkciám:
Touto cestou:
odpoveď:
Príklad 4:Riešenie:
Prejdime k priamym funkciám:
Vykonajte kreslenie:
Zmeňme poradie prechodu oblasti:
odpoveď:
Poradie prechodu oblasti:
Touto cestou:
1)
2)
odpoveď:
V predchádzajúcej časti, venovanej analýze geometrického významu určitého integrálu, sme získali niekoľko vzorcov na výpočet plochy krivočiareho lichobežníka:
S (G) = ∫ a b f (x) d x pre spojitú a nezápornú funkciu y = f (x) na segmente [ a ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x pre spojitú a nekladnú funkciu y = f (x) na segmente [ a ; b] .
Tieto vzorce sú použiteľné na riešenie relatívne jednoduchých problémov. V skutočnosti musíme často pracovať so zložitejšími tvarmi. V tejto súvislosti budeme túto časť venovať analýze algoritmov na výpočet plochy obrazcov, ktoré sú obmedzené funkciami v explicitnej forme, t.j. ako y = f(x) alebo x = g(y) .
VetaNech sú funkcie y = f 1 (x) a y = f 2 (x) definované a spojité na segmente [ a ; b] a f 1 (x) ≤ f 2 (x) pre akúkoľvek hodnotu x z [ a ; b] . Potom bude vzorec na výpočet plochy obrázku G ohraničený čiarami x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) a y \u003d f 2 (x) vyzerať ako S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Podobný vzorec bude platiť pre oblasť čísla ohraničenú čiarami y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) a x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dôkaz
Budeme analyzovať tri prípady, pre ktoré bude vzorec platiť.
V prvom prípade, berúc do úvahy aditívnu vlastnosť oblasti, súčet plôch pôvodného obrázku G a krivočiareho lichobežníka G1 sa rovná ploche obrázku G2. Znamená to, že
Preto S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .
Posledný prechod môžeme vykonať pomocou tretej vlastnosti určitého integrálu.
V druhom prípade platí rovnosť: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafické znázornenie bude vyzerať takto:
Ak sú obe funkcie kladné, dostaneme: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Grafické znázornenie bude vyzerať takto:
Prejdime k úvahe o všeobecnom prípade, keď y = f 1 (x) a y = f 2 (x) pretínajú os O x .
Priesečníky budeme označovať x i , i = 1 , 2 , . . . , n-1. Tieto body zlomia segment [ a ; b] na n častí x i-1; x i, i = 1, 2,. . . , n , kde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
v dôsledku toho
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Posledný prechod môžeme urobiť pomocou piatej vlastnosti určitého integrálu.
Znázornime všeobecný prípad na grafe.
Vzorec S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x možno považovať za preukázaný.
A teraz prejdime k analýze príkladov výpočtu plochy čísel, ktoré sú obmedzené čiarami y \u003d f (x) a x \u003d g (y) .
Ak vezmeme do úvahy niektorý z príkladov, začneme s konštrukciou grafu. Obrázok nám umožní znázorniť zložité tvary ako kombinácie jednoduchších tvarov. Ak máte problém vykresľovať na nich grafy a obrázky, môžete si preštudovať časť o základných elementárnych funkciách, geometrickej transformácii grafov funkcií, ako aj vykresľovaní pri skúmaní funkcie.
Príklad 1
Je potrebné určiť oblasť obrázku, ktorá je obmedzená parabolou y \u003d - x 2 + 6 x - 5 a priamkami y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.
Riešenie
Nakreslíme čiary do grafu v karteziánskom súradnicovom systéme.
Na intervale [ 1 ; 4] graf paraboly y = - x 2 + 6 x - 5 sa nachádza nad priamkou y = - 1 3 x - 1 2 . V tomto ohľade na získanie odpovede používame vzorec získaný skôr, ako aj metódu na výpočet určitého integrálu pomocou vzorca Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Odpoveď: S (G) = 13
Pozrime sa na zložitejší príklad.
Príklad 2
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená čiarami y = x + 2, y = x, x = 7.
Riešenie
V tomto prípade máme len jednu priamku rovnobežnú s osou x. Toto je x = 7. To si vyžaduje, aby sme sami našli druhý integračný limit.
Zostavme graf a umiestnime naň čiary uvedené v podmienke problému.
Keď máme pred očami graf, môžeme ľahko určiť, že spodná hranica integrácie bude úsečka priesečníka grafu s priamkou y \u003d x a semiparabolou y \u003d x + 2. Na nájdenie úsečky použijeme rovnosti:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G
Ukazuje sa, že úsečka priesečníka je x = 2.
Upozorňujeme na skutočnosť, že vo všeobecnom príklade na výkrese sa priamky y = x + 2, y = x pretínajú v bode (2 ; 2) , takže takéto podrobné výpočty sa môžu zdať nadbytočné. Takéto podrobné riešenie sme tu poskytli len preto, že v zložitejších prípadoch nemusí byť riešenie také zrejmé. To znamená, že súradnice priesečníka čiar je lepšie vždy vypočítať analyticky.
Na intervale [ 2 ; 7 ] graf funkcie y = x sa nachádza nad grafom funkcie y = x + 2 . Na výpočet plochy použite vzorec:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Odpoveď: S (G) = 59 6
Príklad 3
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená grafmi funkcií y \u003d 1 x a y \u003d - x 2 + 4 x - 2.
Riešenie
Nakreslíme čiary na grafe.
Definujme hranice integrácie. Aby sme to dosiahli, určíme súradnice priesečníkov priamok tak, že dáme rovnítko medzi výrazy 1 x a - x 2 + 4 x - 2 . Za predpokladu, že x sa nerovná nule, rovnosť 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 sa stane ekvivalentnou rovnici tretieho stupňa - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 s celočíselnými koeficientmi . Pamäť algoritmu na riešenie takýchto rovníc si môžete obnoviť podľa časti „Riešenie kubických rovníc“.
Koreň tejto rovnice je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Vydelením výrazu - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dvojčlenkou x - 1 dostaneme: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Zostávajúce korene nájdeme z rovnice x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Našli sme interval x ∈ 1; 3 + 13 2 , kde G je ohraničené nad modrou čiarou a pod červenou čiarou. To nám pomáha určiť oblasť obrázku:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Odpoveď: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Príklad 4
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená krivkami y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 a osou x.
Riešenie
Dajme všetky čiary do grafu. Graf funkcie y = - log 2 x + 1 dostaneme z grafu y = log 2 x, ak ho umiestnime symetricky okolo osi x a posunieme ho o jednotku nahor. Rovnica osi x y \u003d 0.
Označme priesečníky čiar.
Ako je zrejmé z obrázku, grafy funkcií y \u003d x 3 a y \u003d 0 sa pretínajú v bode (0; 0) . Je to preto, že x \u003d 0 je jediným skutočným koreňom rovnice x 3 \u003d 0.
x = 2 je jediný koreň rovnice - log 2 x + 1 = 0 , teda grafy funkcií y = - log 2 x + 1 a y = 0 sa pretínajú v bode (2 ; 0) .
x = 1 je jediným koreňom rovnice x 3 = - log 2 x + 1 . V tomto ohľade sa grafy funkcií y \u003d x 3 a y \u003d - log 2 x + 1 pretínajú v bode (1; 1) . Posledné tvrdenie nemusí byť zrejmé, ale rovnica x 3 \u003d - log 2 x + 1 nemôže mať viac ako jeden koreň, pretože funkcia y \u003d x 3 sa prísne zvyšuje a funkcia y \u003d - log 2 x + 1 sa výrazne znižuje.
Ďalší krok zahŕňa niekoľko možností.
Možnosť číslo 1
Obrázok G môžeme znázorniť ako súčet dvoch krivočiarych lichobežníkov umiestnených nad osou x, z ktorých prvý je umiestnený pod stredovou čiarou na úsečke x ∈ 0; 1 a druhý je pod červenou čiarou na segmente x ∈ 1 ; 2. To znamená, že plocha sa bude rovnať S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Možnosť číslo 2
Obrázok G môže byť znázornený ako rozdiel dvoch obrázkov, z ktorých prvý je umiestnený nad osou x a pod modrou čiarou na segmente x ∈ 0; 2 a druhá je medzi červenou a modrou čiarou na segmente x ∈ 1; 2. To nám umožňuje nájsť oblasť takto:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
V tomto prípade na nájdenie oblasti budete musieť použiť vzorec v tvare S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. V skutočnosti môžu byť čiary, ktoré viažu tvar, reprezentované ako funkcie argumentu y.
Vyriešme rovnice y = x 3 a - log 2 x + 1 vzhľadom na x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Získame požadovanú oblasť:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Odpoveď: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Príklad 5
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená čiarami y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.
Riešenie
Nakreslite do grafu čiaru červenou čiarou, danou funkciou y = x . Nakreslite čiaru y = - 1 2 x + 4 modrou farbou a čiaru y = 2 3 x - 3 označte čiernou farbou.
Všimnite si priesečníky.
Nájdite priesečníky grafov funkcií y = x a y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i je riešenie rovnice x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je riešenie rovnice ⇒ (4 ; 2) priesečník i y = x a y = - 1 2 x + 4
Nájdite priesečník grafov funkcií y = x a y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrola: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 je riešenie rovnice ⇒ (9; 3) bod a priesečník y = x a y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 nie je riešením rovnice
Nájdite priesečník priamok y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) priesečník y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3
Metóda číslo 1
Plochu požadovaného obrazca reprezentujeme ako súčet plôch jednotlivých obrazcov.
Potom je plocha obrázku:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metóda číslo 2
Plochu pôvodnej figúry možno znázorniť ako súčet ďalších dvoch figúrok.
Potom vyriešime priamkovú rovnicu pre x a až potom použijeme vzorec na výpočet plochy obrázku.
y = x ⇒ x = y 2 červená čiara y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 čierna čiara y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i
Oblasť je teda:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d 2 + ∫ 3 3 2 r + 9 2 - r 2 r = = 7 4 r. 2 - 7 4 r. 1 2 + - r. 3 3 + 3 r. 2 4 + 9 2 r. 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Ako vidíte, hodnoty sa zhodujú.
Odpoveď: S (G) = 11 3
Výsledky
Aby sme našli oblasť obrázku, ktorá je obmedzená danými čiarami, musíme nakresliť čiary v rovine, nájsť ich priesečníky a použiť vzorec na nájdenie oblasti. V tejto časti sme zhodnotili najbežnejšie možnosti úloh.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
a)
Riešenie.
Prvým a najdôležitejším momentom rozhodnutia je konštrukcia výkresu.
Urobme si kresbu:
Rovnica y=0 nastavuje os x;
- x = -2 a x=1 - rovný, rovnobežný s osou OU;
- y \u003d x 2 +2 - parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, s vrcholom v bode (0;2).
Komentujte. Na zostrojenie paraboly stačí nájsť body jej priesečníka so súradnicovými osami, t.j. uvedenie x=0 nájsť priesečník s osou OU a vyriešením príslušnej kvadratickej rovnice nájdite priesečník s osou Oh .
Vrchol paraboly možno nájsť pomocou vzorcov:
Môžete kresliť čiary a bod po bode.
Na intervale [-2;1] graf funkcie y=x2+2 Nachádza cez os Vôl , preto:
odpoveď: S \u003d 9 štvorcových jednotiek
Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na nákres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade "od oka" počítame počet buniek na výkrese - dobre, asi 9 bude napísaných, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak by sme mali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak sa, samozrejme, niekde stala chyba – 20 buniek sa jednoznačne nezmestí do daného čísla, maximálne tucet. Ak bola odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.
Čo robiť, ak sa nachádza krivočiary lichobežník pod nápravou Oh?
b) Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y=-e x , x=1 a súradnicové osi.
Riešenie.
Urobme si kresbu.
Ak krivočiary lichobežník úplne pod nápravou Oh , potom jeho oblasť možno nájsť podľa vzorca:
odpoveď: S=(e-1) sq. unit" 1,72 sq. unit
Pozor! Nezamieňajte si tieto dva typy úloh:
1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili len určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.
2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.
V praxi sa najčastejšie postava nachádza v hornej aj dolnej polrovine.
s) Nájdite plochu rovinnej postavy ohraničenú čiarami y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
Riešenie.
Najprv musíte urobiť kresbu. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky, a to dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický.
Riešime rovnicu:
Čiže spodná hranica integrácie a=0 , horná hranica integrácie b=3 .
|
Dané priamky postavíme: 1. Parabola - vrchol v bode (1;1); priesečník osí oh - body (0;0) a (0;2). 2. Priamka - os 2. a 4. súradnicového uhla. A teraz Pozor! Ak na segmente [ a;b] nejaká nepretržitá funkcia f(x) väčšia alebo rovná nejakej spojitej funkcii g(x), potom oblasť zodpovedajúceho obrázku možno nájsť podľa vzorca: . A nezáleží na tom, kde sa obrázok nachádza - nad osou alebo pod osou, ale je dôležité, ktorý graf je VYŠŠIE (v porovnaní s iným grafom) a ktorý je POD. V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od |
Je možné konštruovať čiary bod po bode, pričom hranice integrácie sa zisťujú akoby „sami od seba“. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo závitová konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne).
Požadovaný údaj je ohraničený parabolou zhora a priamkou zdola.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:
odpoveď: S \u003d 4,5 štvorcových jednotiek
Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. V triede som povedal, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.
teda určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého útvaru. Vezmime si napríklad určitý integrál . Integrand definuje určitú krivku v rovine (v prípade potreby ju možno vždy nakresliť) a samotný určitý integrál sa číselne rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.
Príklad 1
Toto je typická úloha. Prvým a najdôležitejším momentom rozhodnutia je konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť vytvorený výkres SPRÁVNY.
Pri zostavovaní plánu odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie zostaviť všetky čiary (ak existujú) a len po- paraboly, hyperboly, grafy iných funkcií. Vytváranie funkčných grafov je výhodnejšie bod po bode, techniku bodovej konštrukcie nájdete v referenčnom materiáli.
Nájdete tam aj materiál, ktorý je veľmi užitočný v súvislosti s našou lekciou - ako rýchlo postaviť parabolu.
V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Urobme kresbu (všimnite si, že rovnica definuje os):
Nebudem liahnuť krivočiary lichobežník, je zrejmé, o akej oblasti sa tu bavíme. Riešenie pokračuje takto:
Na segmente sa nachádza graf funkcie cez os, preto:
odpoveď:
Pre tých, ktorí majú problém s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca, si pozrite prednášku Určitý integrál. Príklady riešení.
Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na nákres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ spočítame počet buniek na výkrese - no, napíše sa asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak by sme mali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak sa evidentne niekde stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak bola odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.
Príklad 2
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , a osou
Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Čo robiť, ak sa nachádza krivočiary lichobežník pod nápravou?
Príklad 3
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.
Riešenie: Urobme kresbu:
Ak krivočiary lichobežník úplne pod nápravou, potom jeho oblasť možno nájsť podľa vzorca:
V tomto prípade:
Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:
1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili len určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.
2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.
V praxi sa najčastejšie figúrka nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.
Príklad 4
Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú čiarami , .
Riešenie: Najprv musíte urobiť kresbu. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:
Preto spodná hranica integrácie, horná hranica integrácie.
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať.
Oveľa výhodnejšie a rýchlejšie je stavať linky bod po bode, pričom hranice integrácie sa zistia akoby „samo od seba“. Technika vytvárania bodov po bode pre rôzne grafy je podrobne popísaná v pomocníkovi Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo závitová konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime taký príklad.
Vraciame sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme si kresbu:
Opakujem, že pri bodovej konštrukcii sa hranice integrácie najčastejšie zisťujú „automaticky“.
A teraz pracovný vzorec: Ak na segmente nejaká spojitá funkcia väčší alebo rovný nejaká spojitá funkcia, potom oblasť zodpovedajúceho obrázku možno nájsť podľa vzorca:
Tu už nie je potrebné premýšľať o tom, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, záleží na tom, ktorý graf je NAHOR(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je NIŽŠIE.
V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od
Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:
Požadovaný údaj je ohraničený parabolou zhora a priamkou zdola.
odpoveď:
Školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) je v skutočnosti špeciálnym prípadom vzorca. Keďže os je daná rovnicou a graf funkcie je umiestnený pod osou, potom
A teraz pár príkladov pre nezávislé rozhodnutie
Príklad 5
Príklad 6
Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami , .
Pri riešení úloh na výpočet plochy pomocou určitého integrálu sa občas stane vtipná príhoda. Výkres bol urobený správne, výpočty boli správne, ale kvôli nepozornosti ... našiel oblasť nesprávnej postavy, tak sa tvoj poslušný sluha niekoľkokrát posral. Tu je skutočný prípad:
Príklad 7
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .
Najprv nakreslíme:
Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou.(pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často stáva, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!
Tento príklad je užitočný aj v tom, že sa v ňom plocha obrázku počíta pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:
1) Na segmente nad osou je priamkový graf;
2) Na segmente nad osou je hyperbolový graf.
Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:
odpoveď:
Príklad 8
Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami,
Uveďme rovnice v „školskej“ forme a vykonajte kreslenie bod po bode:
Z nákresu je vidieť, že naša horná hranica je „dobrá“: .
Aká je však spodná hranica? Je jasné, že to nie je celé číslo, ale čo? Možno ? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa to ukázať. Alebo root. Čo ak sme ten graf vôbec nepochopili správne?
V takýchto prípadoch je potrebné venovať viac času a analyticky spresniť hranice integrácie.
Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:
V dôsledku toho, .
Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znamienkach, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:
Na záver lekcie zvážime dve ťažšie úlohy.
Príklad 9
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , ,
Riešenie: Nakreslite tento obrázok na výkres.
Pre bodovú konštrukciu výkresu je potrebné poznať vzhľad sínusoidy (a vo všeobecnosti je užitočné vedieť grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré sínusové hodnoty, možno ich nájsť v trigonometrická tabuľka. V niektorých prípadoch (ako v tomto prípade) je dovolené zostrojiť schematický výkres, na ktorom musia byť grafy a integračné limity zobrazené v zásade správne.
Problémy s integračnými limitmi tu nie sú, vyplývajú priamo z podmienky: - "x" sa zmení z nuly na "pi". Robíme ďalšie rozhodnutie:
Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:
(1) Ako sú sínusy a kosínusy integrované do nepárnych mocnín, môžete vidieť v lekcii Integrály goniometrických funkcií. Ide o typickú techniku, odštipneme jeden sínus.
(2) Vo formulári používame základnú goniometrickú identitu
(3) Zmeňme premennú , potom:
Nové prerozdelenia integrácie:
Kto má naozaj zlý biznis so suplovaním, choďte na lekciu Náhradná metóda v neurčitom integráli. Pre tých, ktorým nie je veľmi jasný algoritmus náhrady v určitom integráli, navštívte stránku Určitý integrál. Príklady riešení. Príklad 5: Riešenie: tak:
odpoveď:
Poznámka: všimnite si, ako sa berie integrál dotyčnice v kocke, je tu použitý dôsledok základnej goniometrickej identity.
