Gumové náramky

Vietov teorém. Príklady použitia. Ako riešiť rovnice pomocou Vietovej vety v matematike Vietov vzorec pre rovnicu

V matematike existujú špeciálne triky, s ktorými sa mnohé kvadratické rovnice riešia veľmi rýchlo a bez akýchkoľvek diskriminantov. Navyše, s riadnym tréningom, mnohí začnú riešiť kvadratické rovnice slovne, doslova „na prvý pohľad“.

Bohužiaľ, v modernom kurze školskej matematiky sa takéto technológie takmer neštudujú. A musíte vedieť! A dnes zvážime jednu z týchto techník - Vietovu vetu. Najprv si predstavme novú definíciu.

Kvadratická rovnica tvaru x 2 + bx + c = 0 sa nazýva redukovaná. Upozorňujeme, že koeficient na x 2 sa rovná 1. Neexistujú žiadne ďalšie obmedzenia pre koeficienty.

x 2 + 7x + 12 = 0 je redukovaná kvadratická rovnica;
x 2 − 5x + 6 = 0 sa tiež zníži;
2x 2 − 6x + 8 = 0 - to sa však vôbec neuvádza, keďže koeficient pri x 2 je 2.

Samozrejme, ľubovoľnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 + bx + c = 0 je možné zredukovať - stačí vydeliť všetky koeficienty číslom a . Môžeme to urobiť vždy, pretože z definície kvadratickej rovnice vyplýva, že a ≠ 0.

Je pravda, že tieto transformácie nebudú vždy užitočné pri hľadaní koreňov. O niečo nižšie sa uistíme, že by sa to malo robiť iba vtedy, keď sú všetky koeficienty v konečnej druhej mocnine rovnice celé čísla. Zatiaľ sa pozrime na niekoľko jednoduchých príkladov:

Úloha. Previesť kvadratickú rovnicu na redukovanú:

3x2 − 12x + 18 = 0;

−4x2 + 32x + 16 = 0;

1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;

2x2 + 7x − 11 = 0.

Vydeľme každú rovnicu koeficientom premennej x 2 . Dostaneme:

3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - všetko vydelené 3;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - delené −4;
1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - delené 1,5, všetky koeficienty sa stali celými číslami;
2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - delené 2. V tomto prípade vznikli zlomkové koeficienty.

Ako vidíte, dané kvadratické rovnice môžu mať celočíselné koeficienty, aj keď pôvodná rovnica obsahovala zlomky.

Teraz formulujeme hlavnú vetu, pre ktorú bol v skutočnosti zavedený koncept redukovanej kvadratickej rovnice:

Vietov teorém. Zvážte redukovanú kvadratickú rovnicu tvaru x 2 + bx + c \u003d 0. Predpokladajme, že táto rovnica má skutočné korene x 1 a x 2. V tomto prípade sú pravdivé nasledujúce tvrdenia:

x1 + x2 = −b. Inými slovami, súčet koreňov danej kvadratickej rovnice sa rovná koeficientu premennej x s opačným znamienkom;

x 1 x 2 = c. Súčin koreňov kvadratickej rovnice sa rovná voľnému koeficientu.

Príklady. Pre jednoduchosť budeme brať do úvahy iba dané kvadratické rovnice, ktoré nevyžadujú ďalšie transformácie:

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; korene: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; korene: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; korene: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Vietova veta nám dáva ďalšie informácie o koreňoch kvadratickej rovnice. Na prvý pohľad sa to môže zdať komplikované, ale aj s minimálnym tréningom sa naučíte „vidieť“ korene a doslova ich uhádnuť v priebehu niekoľkých sekúnd.

Úloha. Vyriešte kvadratickú rovnicu:

x2 − 9x + 14 = 0;

x 2 - 12 x + 27 = 0;

3x2 + 33x + 30 = 0;

−7x2 + 77x − 210 = 0.

Skúsme si zapísať koeficienty podľa Vietovej vety a „uhádnuť“ korene:

x 2 − 9x + 14 = 0 je redukovaná kvadratická rovnica.
Podľa Vietovej vety máme: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Je ľahké vidieť, že korene sú čísla 2 a 7;
x 2 − 12x + 27 = 0 sa tiež zníži.
Podľa Vietovej vety: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Preto korene: 3 a 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 - Táto rovnica nie je redukovaná. Teraz to však napravíme vydelením oboch strán rovnice koeficientom a \u003d 3. Dostaneme: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
Riešime podľa Vietovej vety: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ korene: −10 a −1;
−7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - opäť koeficient pri x 2 sa nerovná 1, t.j. rovnica nie je daná. Všetko vydelíme číslom a = −7. Dostaneme: x 2 - 11x + 30 = 0.
Podľa Vietovej vety: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; z týchto rovníc je ľahké uhádnuť korene: 5 a 6.

Z vyššie uvedenej úvahy je vidieť, ako Vietova veta zjednodušuje riešenie kvadratických rovníc. Žiadne zložité výpočty, žiadne aritmetické korene a zlomky. A dokonca ani diskriminant (pozri lekciu „Riešenie kvadratických rovníc“) sme nepotrebovali.

Samozrejme, pri všetkých našich úvahách sme vychádzali z dvoch dôležitých predpokladov, ktoré sa vo všeobecnosti nie vždy v reálnych problémoch napĺňajú:

Kvadratická rovnica sa redukuje, t.j. koeficient pri x 2 je 1;
Rovnica má dva rôzne korene. Z hľadiska algebry je v tomto prípade diskriminant D > 0 - v skutočnosti spočiatku predpokladáme, že táto nerovnosť je pravdivá.

V typických matematických úlohách sú však tieto podmienky splnené. Ak je výsledkom výpočtov „zlá“ kvadratická rovnica (koeficient na x 2 sa líši od 1), dá sa to ľahko opraviť – pozrite si príklady na samom začiatku hodiny. O koreňoch vo všeobecnosti mlčím: čo je to za úlohu, na ktorú neexistuje odpoveď? Samozrejme tam budú korene.

Všeobecná schéma riešenia kvadratických rovníc podľa Vietovej vety je teda nasledovná:

Znížte kvadratickú rovnicu na danú, ak to už nebolo urobené v podmienkach úlohy;
Ak sa koeficienty vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici ukázali ako zlomkové, riešime cez diskriminant. Môžete sa dokonca vrátiť k pôvodnej rovnici a pracovať s „pohodlnejšími“ číslami;
V prípade celočíselných koeficientov riešime rovnicu pomocou Vietovej vety;
Ak v priebehu niekoľkých sekúnd nebolo možné uhádnuť korene, skórujeme podľa Vietovej vety a riešime cez diskriminant.

Úloha. Vyriešte rovnicu: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Takže máme rovnicu, ktorá nie je redukovaná, pretože koeficient a \u003d 5. Vydeľte všetko 5, dostaneme: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Všetky koeficienty kvadratickej rovnice sú celočíselné – skúsme to vyriešiť pomocou Vietovej vety. Máme: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. V tomto prípade sa korene dajú ľahko uhádnuť - sú to 2 a 5. Nemusíte počítať cez diskriminant.

Úloha. Vyriešte rovnicu: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Pozrieme sa: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - táto rovnica nie je redukovaná, obe strany vydelíme koeficientom a = −5. Získame: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - rovnicu s zlomkovými koeficientmi.

Je lepšie vrátiť sa k pôvodnej rovnici a počítať cez diskriminant: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; x 2 \u003d 0,4.

Úloha. Vyriešte rovnicu: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Na začiatok všetko vydelíme koeficientom a \u003d 2. Dostaneme rovnicu x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Toto je redukovaná rovnica, podľa Vietovej vety máme: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. V tomto prípade je ťažké uhádnuť korene kvadratickej rovnice - osobne som pri riešení tohto problému vážne "zamrzol".

Korene budeme musieť hľadať cez diskriminant: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Ak si nepamätáte koreň diskriminantu, tak len poznamenám, že 1225: 25 = 49. Preto 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Teraz, keď je známy koreň diskriminantu, riešenie rovnice nie je ťažké. Získame: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Pri štúdiu spôsobov riešenia rovníc druhého rádu v kurze školskej algebry zvážte vlastnosti získaných koreňov. Teraz sú známe ako Vietove teorémy. Príklady jeho použitia sú uvedené v tomto článku.

Kvadratická rovnica

Rovnica druhého rádu je rovnosť, ktorá je znázornená na fotografii nižšie.

Symboly a, b, c sú tu niektoré čísla, ktoré sa nazývajú koeficienty uvažovanej rovnice. Ak chcete vyriešiť rovnosť, musíte nájsť x hodnôt, ktoré ju robia pravdivou.

Všimnite si, že keďže maximálna hodnota mocniny, na ktorú sa x zvýši, sú dve, potom je počet koreňov vo všeobecnom prípade tiež dva.

Existuje niekoľko spôsobov, ako vyriešiť tento typ rovnosti. V tomto článku sa budeme zaoberať jedným z nich, ktorý zahŕňa použitie takzvanej Vietovej vety.

Výrok Vietovej vety

Koncom 16. storočia si slávny matematik Francois Viet (Francúz) pri analýze vlastností koreňov rôznych kvadratických rovníc všimol, že určité ich kombinácie spĺňajú špecifické vzťahy. Tieto kombinácie sú najmä ich súčinom a súčtom.

Vietova veta stanovuje nasledovné: korene kvadratickej rovnice, keď sú sčítané, dávajú pomer lineárnych a kvadratických koeficientov braných s opačným znamienkom, a keď sú vynásobené, vedú k pomeru voľného člena ku kvadratickému koeficientu .

Ak je všeobecný tvar rovnice napísaný tak, ako je znázornený na fotografii v predchádzajúcej časti článku, potom matematicky možno túto vetu zapísať ako dve rovnosti:

r2 + r1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Kde r 1 , r 2 je hodnota koreňov uvažovanej rovnice.

Tieto dve rovnosti možno použiť na riešenie množstva veľmi odlišných matematických problémov. Použitie Vietovej vety v príkladoch s riešením je uvedené v nasledujúcich častiach článku.

Medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice sú okrem koreňových vzorcov aj ďalšie užitočné vzťahy, ktoré sú dané napr. Vietov teorém. V tomto článku uvedieme formuláciu a dôkaz Vietovej vety pre kvadratickú rovnicu. Ďalej uvažujeme vetu opačnú k Vietovej vete. Potom budeme analyzovať riešenia najcharakteristickejších príkladov. Nakoniec si zapíšeme vzorce Vieta, ktoré definujú spojenie medzi skutočnými koreňmi algebraická rovnica stupeň n a jeho koeficienty.

Navigácia na stránke.

Vietov teorém, formulácia, dôkaz

Zo vzorcov koreňov kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0 tvaru , kde D=b 2 −4 a c , vyplývajú vzťahy x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Tieto výsledky sú potvrdené Vietov teorém:

Veta.

Ak x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0, potom sa súčet koreňov rovná pomeru koeficientov b a a, braných s opačným znamienkom, a súčinu korene sa rovnajú pomeru koeficientov c a a, teda .

Dôkaz.

Vietovu vetu dokážeme podľa nasledujúcej schémy: poskladáme súčet a súčin koreňov kvadratickej rovnice pomocou známych koreňových vzorcov, výsledné výrazy potom transformujeme a uistíme sa, že sú rovné −b /a a c/a.

Začnime súčtom koreňov, poskladajte to. Teraz privedieme zlomky k spoločnému menovateľovi, máme. V čitateli výsledného zlomku, po ktorom:. Nakoniec po 2 dostaneme . To dokazuje prvý vzťah Vietovej vety pre súčet koreňov kvadratickej rovnice. Prejdime k druhému.

Poskladáme súčin koreňov kvadratickej rovnice:. Podľa pravidla násobenia zlomkov možno posledný súčin zapísať ako. Teraz vynásobíme zátvorku zátvorkou v čitateli, ale rýchlejšie je tento produkt zbaliť rozdiel štvorcov vzorca, Takže . Potom, pamätajúc, vykonáme ďalší prechod. A keďže vzorec D=b 2 −4 a·c zodpovedá diskriminantu kvadratickej rovnice, potom b 2 −4·a·c môžeme dosadiť do posledného zlomku namiesto D, dostaneme . Po otvorení zátvoriek a zmenšení podobných členov sa dostaneme k zlomku a jeho zmenšenie o 4·a dáva . To dokazuje druhý vzťah Vietovej vety pre súčin koreňov.

Ak vynecháme vysvetlenia, dôkaz vety Vieta bude mať stručnú formu:
,
.

Zostáva len poznamenať, že keď je diskriminant rovný nule, kvadratická rovnica má jeden koreň. Ak však predpokladáme, že rovnica má v tomto prípade dva rovnaké korene, potom platia aj rovnosti z Vietovej vety. V skutočnosti pre D=0 je koreň kvadratickej rovnice , potom a , a keďže D=0 , to znamená b 2 −4·a·c=0 , odkiaľ b 2 =4·a·c , potom .

V praxi sa Vietova veta najčastejšie používa vo vzťahu k redukovanej kvadratickej rovnici (s najvyšším koeficientom a rovným 1 ) tvaru x 2 +p·x+q=0 . Niekedy sa formuluje pre kvadratické rovnice práve tohto typu, čo však neobmedzuje všeobecnosť, keďže akúkoľvek kvadratickú rovnicu možno nahradiť ekvivalentnou rovnicou vydelením oboch jej častí nenulovým číslom a. Tu je zodpovedajúca formulácia Vietovej vety:

Veta.

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 + p x + q \u003d 0 sa rovná koeficientu x, branému s opačným znamienkom, a súčin koreňov je voľný člen, tj x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Veta inverzná k Vietovej vete

Druhá formulácia Vietovej vety uvedená v predchádzajúcom odseku naznačuje, že ak x 1 a x 2 sú koreňmi redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0, potom vzťahy x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2 = q. Na druhej strane zo zapísaných vzťahov x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q vyplýva, že x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0. Inými slovami, tvrdenie, ktoré sa obracia k Vietovej vete, je pravdivé. Sformulujeme to vo forme vety a dokážeme to.

Veta.

Ak sú čísla x 1 a x 2 také, že x 1 +x 2 =−p a x 1 x 2 =q, potom x 1 a x 2 sú korene redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0 .

Dôkaz.

Po nahradení koeficientov p a q v rovnici x 2 +p x+q=0 ich vyjadrenia cez x 1 a x 2 sa prevedie na ekvivalentnú rovnicu.

Do výslednej rovnice dosadíme namiesto x číslo x 1, máme rovnosť x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, čo je pre ľubovoľné x 1 a x 2 správna číselná rovnosť 0=0, keďže x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Preto je x 1 koreňom rovnice x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, čo znamená, že x 1 je koreň ekvivalentnej rovnice x 2 +p x+q=0 .

Ak v rovnici x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 dosaďte číslo x 2 namiesto x, potom dostaneme rovnosť x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Toto je správna rovnica, pretože x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Preto je x 2 tiež koreňom rovnice x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, a teda rovnice x 2 + p x + q = 0 .

Tým je dôkaz teorému konverzný k Vietovej vete.

Príklady použitia Vietovej vety

Je čas porozprávať sa o praktickej aplikácii Vietovej vety a jej inverznej vety. V tejto podkapitole rozoberieme riešenia niekoľkých najtypickejších príkladov.

Začneme aplikáciou vety konverzovať na Vietovu vetu. Je vhodné ho použiť na kontrolu, či dané dve čísla sú koreňmi danej kvadratickej rovnice. V tomto prípade sa vypočíta ich súčet a rozdiel, potom sa skontroluje platnosť vzťahov. Ak sú oba tieto vzťahy splnené, potom na základe vety, ktorá sa obracia k Vietovej vete, sa usúdi, že tieto čísla sú koreňmi rovnice. Ak aspoň jeden zo vzťahov nie je splnený, potom tieto čísla nie sú koreňmi kvadratickej rovnice. Tento prístup možno použiť pri riešení kvadratických rovníc na kontrolu nájdených koreňov.

Príklad.

Ktorý z párov čísel 1) x 1 =−5, x 2 =3 alebo 2) alebo 3) je párom koreňov kvadratickej rovnice 4 x 2 −16 x+9=0?

Riešenie.

Koeficienty danej kvadratickej rovnice 4 x 2 −16 x+9=0 sú a=4, b=−16, c=9. Podľa Vietovej vety sa súčet koreňov kvadratickej rovnice musí rovnať −b/a, teda 16/4=4, a súčin koreňov sa musí rovnať c/a, teda 9. /4.

Teraz vypočítajme súčet a súčin čísel v každom z troch daných párov a porovnajme ich s práve získanými hodnotami.

V prvom prípade máme x 1 + x 2 =−5+3=−2 . Výsledná hodnota je iná ako 4, preto nie je možné vykonať ďalšie overenie, ale pomocou vety, inverznej k Vietovej vete, môžeme okamžite usúdiť, že prvá dvojica čísel nie je dvojicou koreňov danej kvadratickej rovnice. .

Prejdime k druhému prípadu. Tu je prvá podmienka splnená. Skontrolujeme druhú podmienku: , výsledná hodnota je iná ako 9/4 . Preto druhý pár čísel nie je párom koreňov kvadratickej rovnice.

Ostáva posledný prípad. Tu a . Obe podmienky sú splnené, preto tieto čísla x 1 a x 2 sú koreňmi danej kvadratickej rovnice.

odpoveď:

Veta, opak Vietovej vety, sa dá v praxi použiť na výber koreňov kvadratickej rovnice. Zvyčajne sa vyberajú celočíselné korene daných kvadratických rovníc s celočíselnými koeficientmi, pretože v iných prípadoch je to dosť ťažké. Zároveň využívajú skutočnosť, že ak sa súčet dvoch čísel rovná druhému koeficientu kvadratickej rovnice so znamienkom mínus a súčin týchto čísel sa rovná voľnému členu, potom sú tieto čísla korene tejto kvadratickej rovnice. Vyrovnajme sa s tým na príklade.

Zoberme si kvadratickú rovnicu x 2 −5 x+6=0 . Aby čísla x 1 a x 2 boli koreňmi tejto rovnice, musia byť splnené dve rovnosti x 1 + x 2 \u003d 5 a x 1 x 2 \u003d 6. Zostáva vybrať také čísla. V tomto prípade je to celkom jednoduché: také čísla sú 2 a 3, pretože 2+3=5 a 2 3=6 . 2 a 3 sú teda koreňmi tejto kvadratickej rovnice.

Veta konverzná k Vietovej vete je obzvlášť vhodná na nájdenie druhého koreňa redukovanej kvadratickej rovnice, keď je jeden z koreňov už známy alebo zrejmý. V tomto prípade sa druhý koreň nájde z ktoréhokoľvek zo vzťahov.

Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu 512 x 2 −509 x−3=0 . Tu je ľahké vidieť, že jednotka je koreňom rovnice, pretože súčet koeficientov tejto kvadratickej rovnice je nula. Takže x 1 = 1. Druhý koreň x 2 nájdeme napríklad zo vzťahu x 1 x 2 =c/a. Máme 1 x 2 =−3/512, odkiaľ x 2 =−3/512. Takže sme definovali oba korene kvadratickej rovnice: 1 a −3/512.

Je zrejmé, že výber koreňov je účelný len v najjednoduchších prípadoch. V iných prípadoch, ak chcete nájsť korene, môžete použiť vzorce koreňov kvadratickej rovnice cez diskriminant.

Ďalšou praktickou aplikáciou vety, inverznou k Vietovej vete, je zostavenie kvadratických rovníc pre dané korene x 1 a x 2. Na to stačí vypočítať súčet koreňov, ktorý dáva koeficient x s opačným znamienkom danej kvadratickej rovnice, a súčin koreňov, ktorý dáva voľný člen.

Príklad.

Napíšte kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú čísla −11 a 23.

Riešenie.

Označme x 1 = -11 a x 2 = 23 . Vypočítame súčet a súčin týchto čísel: x 1 + x 2 \u003d 12 a x 1 x 2 \u003d −253. Preto sú tieto čísla koreňmi danej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom -12 a voľným členom -253. To znamená, že x 2 −12·x−253=0 je požadovaná rovnica.

odpoveď:

x 2 −12 x−253=0 .

Vietova veta sa veľmi často používa pri riešení úloh súvisiacich so znamienkami koreňov kvadratických rovníc. Ako súvisí Vietova veta so znamienkami koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0 ? Tu sú dve relevantné vyhlásenia:

Ak je voľný člen q kladné číslo a ak má kvadratická rovnica reálne korene, potom sú oba kladné alebo záporné.
Ak je voľný člen q záporné číslo a ak má kvadratická rovnica reálne korene, ich znamienka sú rôzne, inými slovami, jeden koreň je kladný a druhý záporný.

Tieto tvrdenia vyplývajú zo vzorca x 1 x 2 =q, ako aj z pravidiel násobenia kladných, záporných čísel a čísel s rôznymi znamienkami. Zvážte príklady ich aplikácie.

Príklad.

R je kladné. Podľa diskriminačného vzorca zistíme D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, hodnotu výrazu r 2 +8 je kladné pre akékoľvek reálne r , teda D>0 pre akékoľvek reálne r . Preto má pôvodná kvadratická rovnica dva korene pre akékoľvek reálne hodnoty parametra r.

Teraz poďme zistiť, kedy majú korene rôzne znaky. Ak sú znamienka koreňov rozdielne, ich súčin je záporný a podľa Vietovej vety súčin koreňov danej kvadratickej rovnice rovný voľnému členu. Preto nás zaujímajú tie hodnoty r, pre ktoré je voľný člen r−1 záporný. Aby sme teda našli hodnoty r, ktoré nás zaujímajú, musíme vyriešiť lineárnu nerovnosť r-1<0 , откуда находим r<1 .

odpoveď:

na r<1 .

Vieta vzorce

Vyššie sme hovorili o Vietovej vete pre kvadratickú rovnicu a analyzovali sme vzťahy, ktoré presadzuje. Existujú však vzorce, ktoré spájajú skutočné korene a koeficienty nielen kvadratických rovníc, ale aj kubických rovníc, štvornásobných rovníc a všeobecne, algebraické rovnice stupeň n. Volajú sa Vieta vzorce.

Vietove vzorce píšeme pre algebraickú rovnicu stupňa n tvaru, pričom predpokladáme, že má n reálnych koreňov x 1, x 2, ..., x n (medzi nimi môžu byť rovnaké):

Získať vzorce Vieta umožňuje polynomiálna faktorizačná veta, ako aj definíciu rovnakých polynómov prostredníctvom rovnosti všetkých im zodpovedajúcich koeficientov. Takže polynóm a jeho expanzia na lineárne faktory tvaru sú rovnaké. Otvorením zátvoriek v poslednom súčine a porovnaním zodpovedajúcich koeficientov získame vzorce Vieta.

Najmä pre n=2 už známe Vietove vzorce pre kvadratickú rovnicu .

Pre kubickú rovnicu majú vzorce Vieta tvar

Zostáva len poznamenať, že na ľavej strane vzorcov Vieta sú elementárne tzv symetrické polynómy.

Bibliografia.

algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; vyd. A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - M.: Osveta, 2010.- 368 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Formulácia a dôkaz Vietovej vety pre kvadratické rovnice. Inverzná Vieta veta. Vietova veta pre kubické rovnice a rovnice ľubovoľného poriadku.

Obsah

Pozri tiež: Korene kvadratickej rovnice

Kvadratické rovnice

Vietov teorém

Nech a označme korene redukovanej kvadratickej rovnice
(1) .
Potom sa súčet koreňov rovná koeficientu at s opačným znamienkom. Súčin koreňov sa rovná voľnému termínu:
;
.

Poznámka o viacerých koreňoch

Ak je diskriminant rovnice (1) nulový, potom má táto rovnica jeden koreň. Aby sa však predišlo ťažkopádnym formuláciám, všeobecne sa uznáva, že v tomto prípade má rovnica (1) dva viacnásobné alebo rovnaké korene:
.

Dôkaz jeden

Nájdite korene rovnice (1). Ak to chcete urobiť, použite vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
;
;
.

Nájdenie súčtu koreňov:
.

Na nájdenie produktu použijeme vzorec:
.
Potom

.

Veta bola dokázaná.

Dôkaz dva

Ak čísla a sú koreňmi kvadratickej rovnice (1), potom
.
Otvárame zátvorky.

.
Takže rovnica (1) bude mať tvar:
.
V porovnaní s (1) zistíme:
;
.

Veta bola dokázaná.

Inverzná Vieta veta

Nech sú ľubovoľné čísla. Potom a sú korene kvadratickej rovnice
,
kde
(2) ;
(3) .

Dôkaz Vietovej konverznej vety

Zvážte kvadratickú rovnicu
(1) .
Musíme dokázať, že ak a , potom a sú koreňmi rovnice (1).

Nahraďte (2) a (3) za (1):
.
Zoskupujeme členy ľavej strany rovnice:
;
;
(4) .

Nahradiť v (4):
;
.

Nahradiť v (4):
;
.
Rovnica je splnená. To znamená, že číslo je koreňom rovnice (1).

Veta bola dokázaná.

Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu

Teraz zvážte úplnú kvadratickú rovnicu
(5) ,
kde , a sú nejaké čísla. A .

Rovnicu (5) delíme takto:
.
To znamená, že sme dostali vyššie uvedenú rovnicu
,
kde ; .

Potom má Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu nasledujúci tvar.

Nech a označme korene úplnej kvadratickej rovnice
.
Potom súčet a súčin koreňov určujú vzorce:
;
.

Vietova veta pre kubickú rovnicu

Podobne môžeme vytvoriť spojenia medzi koreňmi kubickej rovnice. Zvážte kubickú rovnicu
(6) ,
kde , , , sú nejaké čísla. A .
Rozdeľme túto rovnicu takto:
(7) ,
kde , , .
Nech , , sú korene rovnice (7) (a rovnice (6)). Potom

.

Porovnaním s rovnicou (7) zistíme:
;
;
.

Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa

Rovnakým spôsobom môžete nájsť súvislosti medzi koreňmi , , ... , , pre rovnicu n-tého stupňa
.

Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa má nasledujúci tvar:
;
;
;

.

Aby sme získali tieto vzorce, napíšeme rovnicu v nasledujúcom tvare:
.
Potom dáme rovnítko medzi koeficienty , , , ... a porovnáme voľný člen.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov a kol., Algebra: učebnica pre 8. ročník vzdelávacích inštitúcií, Moskva, Vzdelávanie, 2006.

Pozri tiež:

Jednou z metód riešenia kvadratickej rovnice je aplikácia Vzorce VIETA, ktorá bola pomenovaná po FRANCOISOVI VIETEM.

Bol to slávny právnik a v 16. storočí slúžil u francúzskeho kráľa. Vo voľnom čase študoval astronómiu a matematiku. Vytvoril spojenie medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice.

Výhody vzorca:

1 . Použitím vzorca môžete rýchlo nájsť riešenie. Pretože nepotrebujete zadať druhý koeficient do štvorca, potom od neho odčítať 4ac, nájsť diskriminant, dosadiť jeho hodnotu do vzorca na hľadanie koreňov.

2 . Bez riešenia môžete určiť znaky koreňov, vyzdvihnúť hodnoty koreňov.

3 . Po vyriešení systému dvoch záznamov nie je ťažké nájsť samotné korene. Vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici sa súčet koreňov rovná hodnote druhého koeficientu so znamienkom mínus. Súčin koreňov vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici sa rovná hodnote tretieho koeficientu.

4 . Podľa daných koreňov napíšte kvadratickú rovnicu, teda vyriešte inverznú úlohu. Táto metóda sa používa napríklad pri riešení problémov v teoretickej mechanike.

5 . Je vhodné použiť vzorec, keď sa vodiaci koeficient rovná jednej.

nedostatky:

1 . Vzorec nie je univerzálny.