Nájdite oblasť medzi čiarami online. Nájdenie oblasti obrázku ohraničeného priamkami y=f(x), x=g(y). Dĺžka oblúka plochej krivky

Nech je funkcia nezáporná a spojitá na intervale . Potom, podľa geometrického významu určitého integrálu, plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená zhora grafom tejto funkcie, zdola osou , zľava a sprava priamkami a (pozri obr. 2 ) sa vypočíta podľa vzorca

Príklad 9 Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarou a os.

Riešenie. Graf funkcií je parabola, ktorej vetvy smerujú nadol. Poďme si ho postaviť (obr. 3). Na určenie hraníc integrácie nájdeme priesečníky priamky (paraboly) s osou (priamka). Aby sme to dosiahli, riešime sústavu rovníc

Dostaneme: , kde , ; V dôsledku toho, ,.

Ryža. 3

Oblasť obrázku sa zistí podľa vzorca (5):

Ak je funkcia nekladná a spojitá na segmente , potom je plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená zdola grafom tejto funkcie, zhora osou, zľava a sprava priamkami a , je vypočítané podľa vzorca

. (6)

Ak je funkcia spojitá na segmente a mení znamienko na konečnom počte bodov, potom sa plocha tieňovaného útvaru (obr. 4) rovná algebraickému súčtu príslušných určitých integrálov:

Ryža. štyri

Príklad 10 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú osou a graf funkcie pre .

Ryža. 5

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 5). Požadovaná plocha je súčtom plôch a . Poďme nájsť každú z týchto oblastí. Najprv určíme hranice integrácie riešením systému Dostaneme , . V dôsledku toho:

;

.

Oblasť tieňovaného obrázku je teda

(jednotky štvorcových).

Ryža. 6

Nech je nakoniec krivočiary lichobežník ohraničený zhora a zdola grafmi funkcií spojitých na segmente a ,
a na ľavej a pravej strane - rovné a (obr. 6). Potom sa jeho plocha vypočíta podľa vzorca

. (8)

Príklad 11. Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami a .

Riešenie. Tento obrázok je znázornený na obr. 7. Jeho plochu vypočítame pomocou vzorca (8). Riešením sústavy rovníc nájdeme , ; V dôsledku toho, ,. Na segmente máme: . Preto vo vzorci (8) berieme ako X, a ako - . Dostaneme:

(jednotky štvorcových).

Zložitejšie problémy výpočtu plôch sa riešia tak, že sa obrazec rozdelí na nepretínajúce sa časti a plocha celého obrazca sa vypočíta ako súčet plôch týchto častí.

Ryža. 7

Príklad 12. Nájdite plochu obrázku ohraničenú čiarami , , .

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 8). Tento obrazec možno považovať za krivočiary lichobežník ohraničený zdola osou, zľava a sprava priamkami a zhora grafmi funkcií a. Keďže obrazec je zhora ohraničený grafmi dvoch funkcií, potom na výpočet jeho plochy rozdelíme tento rovný obrazec na dve časti (1 je úsečka priesečníka priamok a). Plochu každej z týchto častí nájdeme podľa vzorca (4):

(štvorcové jednotky); (jednotky štvorcových). V dôsledku toho:

(jednotky štvorcových).

Ryža. osem

X= j( pri)

Ryža. 9

Na záver poznamenávame, že ak je krivočiary lichobežník ohraničený priamkami a , osou a spojitým na krivke (obr. 9), potom jeho obsah nájdeme podľa vzorca

Objem rotačného telesa

Necháme krivočiary lichobežník ohraničený grafom funkcie súvislej na úsečke, osi, priamkach a rotuje okolo osi (obr. 10). Potom sa objem výsledného rotačného telesa vypočíta podľa vzorca

. (9)

Príklad 13 Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi krivočiareho lichobežníka ohraničeného hyperbolou, priamkami a osou.

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 11).

Z podmienky problému vyplýva, že , . Podľa vzorca (9) dostaneme

.

Ryža. desať

Ryža. jedenásť

Objem telesa získaný rotáciou okolo osi OU krivočiary lichobežník ohraničený priamkami y = c a y = d, os OU a graf funkcie spojitej na segmente (obr. 12), je určený vzorcom

. (10)

X= j( pri)

Ryža. 12

Príklad 14. Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi OU krivočiary lichobežník ohraničený čiarami X 2 = 4pri, y= 4, x = 0 (obr. 13).

Riešenie. V súlade s podmienkou problému nachádzame hranice integrácie: , . Podľa vzorca (10) dostaneme:

Ryža. 13

Dĺžka oblúka plochej krivky

Nech krivka daná rovnicou , kde , leží v rovine (obr. 14).

Ryža. štrnásť

Definícia. Dĺžka oblúka sa chápe ako hranica, ku ktorej sa dĺžka lomenej čiary vpísanej do tohto oblúka približuje, keď sa počet článkov lomenej čiary blíži k nekonečnu a dĺžka najväčšieho spoja smeruje k nule.

Ak je funkcia a jej derivácia spojitá na segmente , potom sa dĺžka oblúka krivky vypočíta podľa vzorca

. (11)

Príklad 15. Vypočítajte dĺžku oblúka krivky uzavretého medzi bodmi, pre ktoré .

Riešenie. Od stavu problému, ktorý máme . Podľa vzorca (11) dostaneme:

.

4. Nevlastné integrály
s nekonečnými hranicami integrácie

Pri zavádzaní pojmu určitého integrálu sa predpokladalo, že sú splnené tieto dve podmienky:

a) limity integrácie a a sú konečné;

b) integrand je ohraničený segmentom .

Ak nie je splnená aspoň jedna z týchto podmienok, potom sa volá integrál nesprávny.

Uvažujme najprv nevlastné integrály s nekonečnými hranicami integrácie.

Definícia. Nech je funkcia definovaná a spojitá na intervale a vpravo neohraničený (obr. 15).

Ak nevlastný integrál konverguje, potom je táto oblasť konečná; ak sa nevlastný integrál diverguje, potom je táto oblasť nekonečná.

Ryža. pätnásť

Nevlastný integrál s nekonečnou spodnou hranicou integrácie je definovaný podobne:

. (13)

Tento integrál konverguje, ak limita na pravej strane rovnosti (13) existuje a je konečná; inak sa hovorí, že integrál je divergentný.

Nevlastný integrál s dvoma nekonečnými hranicami integrácie je definovaný takto:

, (14)

kde с je ľubovoľný bod intervalu. Integrál konverguje len vtedy, ak oba integrály konvergujú na pravej strane rovnosti (14).

;

G) = [vyberte celý štvorec v menovateli: ] = [náhrada:

] =

Nevlastný integrál teda konverguje a jeho hodnota sa rovná .

Zadajte funkciu, pre ktorú chcete nájsť integrál

Kalkulačka poskytuje PODROBNÉ riešenie určitých integrálov.

Táto kalkulačka rieši určitý integrál funkcie f(x) s danou hornou a dolnou hranicou.

Príklady

S použitím stupňa
(štvorec a kocka) a zlomky

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Odmocnina

Sqrt(x)/(x + 1)

koreň kocky

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Použitie sínusu a kosínusu

2*sin(x)*cos(x)

Arcsine

X*arcsin(x)

Oblúkový kosínus

x*arccos(x)

Aplikácia logaritmu

X*log(x, 10)

prirodzený logaritmus

Vystavovateľ

Tg(x)*sin(x)

Kotangens

Ctg(x)*cos(x)

Iracionálne zlomky

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangens

X*arctg(x)

Oblúková dotyčnica

X*arсctg(x)

Hyberbolický sínus a kosínus

2*sh(x)*ch(x)

Hyberbolický tangens a kotangens

ctgh(x)/tgh(x)

Hyberbolický arkzín a arkkozín

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hyberbolický arkustangens a arkotangens

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Pravidlá pre zadávanie výrazov a funkcií

Výrazy môžu pozostávať z funkcií (zápisy sú uvedené v abecednom poradí): absolútne (x) Absolútna hodnota X
(modul X alebo |x|) arccos(x) Funkcia - oblúk kosínus of X arccosh(x) Arc cosine hyperbolic from X arcsin(x) Arcsine z X arcsinh(x) Arcsine hyperbolický od X arctg(x) Funkcia - oblúková tangens od X arctgh(x) Arkustangens je hyperbolický od X e ečíslo, ktoré sa približne rovná 2,7 exp(x) Funkcia - exponent od X(ktorý je e^X) log(x) alebo log(x) Prirodzený logaritmus X
(Získať log7(x), musíte zadať log(x)/log(7) (alebo napr log10(x)=log(x)/log(10)) piČíslo je "Pi", čo sa približne rovná 3,14 hriech(x) Funkcia - Sínus X cos(x) Funkcia - kosínus X sinh(x) Funkcia - Hyperbolický sínus X hotovosť (x) Funkcia - Hyperbolický kosínus of X sqrt(x) Funkcia je druhá odmocnina z X sqr(x) alebo x^2 Funkcia - Štvorec X tg(x) Funkcia - dotyčnica od X tgh(x) Funkcia - Hyperbolický tangens of X cbrt(x) Funkcia je odmocninou z X

Vo výrazoch môžete použiť nasledujúce operácie: Reálne čísla zadajte do formulára 7.5 , nie 7,5 2*x- násobenie 3/x- rozdelenie x^3- umocňovanie x + 7- prídavok x - 6- odčítanie
Ďalšie vlastnosti: poschodie (x) Funkcia - zaokrúhľovanie X dole (príklad poschodia (4,5)==4,0) strop (x) Funkcia - zaokrúhľovanie X hore (príklad stropu(4,5)==5,0) znak (x) Funkcia - Sign X erf(x) Chybová funkcia (alebo pravdepodobnostný integrál) laplace(x) Laplaceova funkcia

Výpočet plochy postavy Toto je možno jeden z najťažších problémov v teórii oblastí. V školskej geometrii sa učia nájsť plochy základných geometrických útvarov, ako sú napríklad trojuholník, kosoštvorec, obdĺžnik, lichobežník, kruh atď. Často sa však treba zaoberať výpočtom plôch zložitejších obrazcov. Práve pri riešení takýchto problémov je veľmi vhodné použiť integrálny počet.

Definícia.

Krivočiary lichobežník volá sa nejaký obrázok G ohraničený čiarami y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a a x \u003d b a funkcia f (x) je spojitá na segmente [a; b] a nemení na ňom svoje znamienko (obr. 1). Oblasť krivočiareho lichobežníka môže byť označená S(G).

Určitý integrál ʃ a b f(x)dx pre funkciu f(x), ktorá je spojitá a nezáporná na segmente [a; b] a je to oblasť zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

To znamená, že na nájdenie oblasti obrázku G, ohraničeného priamkami y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a a x \u003d b, je potrebné vypočítať určitý integrál ʃ a b f (x) dx.

Touto cestou, S(G) = ʃa b f(x)dx.

Ak funkcia y = f(x) nie je kladná na [a; b], potom možno pomocou vzorca nájsť oblasť krivočiareho lichobežníka S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Príklad 1

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y \u003d x 3; y = 1; x = 2.

Riešenie.

Dané čiary tvoria obrazec ABC, ktorý je znázornený šrafovaním ryža. 2.

Požadovaná plocha sa rovná rozdielu medzi plochami krivočiareho lichobežníka DACE a štvorca DABE.

Pomocou vzorca S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) nájdeme hranice integrácie. Aby sme to dosiahli, riešime systém dvoch rovníc:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Máme teda x 1 \u003d 1 - spodný limit a x \u003d 2 - horný limit.

Takže, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (štvorcové jednotky).

Odpoveď: 11/4 m2. Jednotky

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y \u003d √x; y = 2; x = 9.

Riešenie.

Dané čiary tvoria obrazec ABC, ktorý je zhora ohraničený grafom funkcie

y \u003d √x a zospodu graf funkcie y \u003d 2. Výsledný údaj je znázornený šrafovaním ryža. 3.

Požadovaná plocha sa rovná S = ʃ a b (√x - 2). Nájdite hranice integrácie: b = 9, aby sme našli a, riešime sústavu dvoch rovníc:

(y = √x,
(y = 2.

Máme teda, že x = 4 = a je spodná hranica.

Takže S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (štvorcové jednotky).

Odpoveď: S = 2 2/3 štvorcových. Jednotky

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Riešenie.

Nakreslíme funkciu y \u003d x 3 - 4x pre x ≥ 0. Aby sme to dosiahli, nájdeme deriváciu y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 pri х = ±2/√3 ≈ 1,1 sú kritické body.

Ak nakreslíme kritické body na reálnej osi a umiestnime znamienka derivácie, dostaneme, že funkcia klesá z nuly na 2/√3 a rastie z 2/√3 do plus nekonečna. Potom x = 2/√3 je minimálny bod, minimálna hodnota funkcie y je min = -16/(3√3) ≈ -3.

Určme priesečníky grafu so súradnicovými osami:

ak x \u003d 0, potom y \u003d 0, čo znamená, že A (0; 0) je priesečník s osou Oy;

ak y \u003d 0, potom x 3 - 4x \u003d 0 alebo x (x 2 - 4) \u003d 0, alebo x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, odkiaľ x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (nevhodné, pretože x ≥ 0).

Body A(0; 0) a B(2; 0) sú priesečníky grafu s osou Ox.

Dané čiary tvoria obrazec OAB, ktorý je znázornený šrafovaním ryža. štyri.

Keďže funkcia y \u003d x 3 - 4x nadobúda (0; 2) zápornú hodnotu, potom

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Máme: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, odkiaľ S \u003d 4 metre štvorcové. Jednotky

Odpoveď: S = 4 štvorcových. Jednotky

Príklad 4

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú parabolou y \u003d 2x 2 - 2x + 1, priamkami x \u003d 0, y \u003d 0 a dotyčnicou k tejto parabole v bode s os x 0 \u003d 2.

Riešenie.

Najprv zostavíme rovnicu dotyčnice k parabole y \u003d 2x 2 - 2x + 1 v bode s os x₀ \u003d 2.

Pretože derivácia y' = 4x - 2, potom pre x 0 = 2 dostaneme k = y'(2) = 6.

Nájdite súradnicu bodu dotyku: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Dotyková rovnica má preto tvar: y - 5 \u003d 6 (x - 2) alebo y \u003d 6x - 7.

Postavme postavu ohraničenú čiarami:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Priesečníky so súradnicovými osami: A(0; 1) - s osou Oy; s osou Ox - neexistujú žiadne priesečníky, pretože rovnica 2x 2 - 2x + 1 = 0 nemá riešenia (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, to znamená, že vrchol bodu paraboly B má súradnice B (1/2; 1/2).

Takže obrazec, ktorého plocha sa má určiť, je znázornená šrafovaním ryža. 5.

Máme: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Nájdite súradnice bodu D z podmienky:

6x - 7 = 0, t.j. x \u003d 7/6, potom DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Oblasť trojuholníka DBC nájdeme pomocou vzorca S ADBC ​​​​= 1/2 · DC · BC. Touto cestou,

S ADBC ​​​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 štvorcových. Jednotky

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (štvorcové jednotky).

Nakoniec dostaneme: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (jednotky štvorcových).

Odpoveď: S = 1 1/4 štvorcových. Jednotky

Preskúmali sme príklady nájdenie plôch útvarov ohraničených danými čiarami. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov musíte byť schopní zostaviť čiary a grafy funkcií v rovine, nájsť priesečníky čiar, použiť vzorec na nájdenie oblasti, čo znamená schopnosť a zručnosti vypočítať určité integrály.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

a)

Riešenie.

Prvým a najdôležitejším momentom rozhodnutia je konštrukcia výkresu.

Urobme si kresbu:

Rovnica y=0 nastavuje os x;

- x = -2 a x=1 - rovný, rovnobežný s osou OU;

- y \u003d x 2 +2 - parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, s vrcholom v bode (0;2).

Komentujte. Na zostrojenie paraboly stačí nájsť body jej priesečníka so súradnicovými osami, t.j. uvedenie x=0 nájsť priesečník s osou OU a vyriešením príslušnej kvadratickej rovnice nájdite priesečník s osou Oh .

Vrchol paraboly možno nájsť pomocou vzorcov:

Môžete kresliť čiary a bod po bode.

Na intervale [-2;1] graf funkcie y=x2+2 Nachádza cez os Vôl , preto:

odpoveď: S \u003d 9 štvorcových jednotiek

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na nákres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ spočítame počet buniek na výkrese - no, napíše sa asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak by sme mali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak sa, samozrejme, niekde stala chyba – 20 buniek sa jednoznačne nezmestí do daného čísla, maximálne tucet. Ak bola odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Čo robiť, ak sa nachádza krivočiary lichobežník pod nápravou Oh?

b) Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y=-e x , x=1 a súradnicové osi.

Riešenie.

Urobme si kresbu.

Ak krivočiary lichobežník úplne pod nápravou Oh , potom jeho oblasť možno nájsť podľa vzorca:

odpoveď: S=(e-1) sq. unit" 1,72 sq. unit

Pozor! Nezamieňajte si tieto dva typy úloh:

1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili len určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa najčastejšie postava nachádza v hornej aj dolnej polrovine.

s) Nájdite plochu rovinnej postavy ohraničenú čiarami y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Riešenie.

Najprv musíte urobiť kresbu. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky, a to dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický.

Riešime rovnicu:

Čiže spodná hranica integrácie a=0 , horná hranica integrácie b = 3 .

Dané priamky postavíme: 1. Parabola - vrchol v bode (1;1); priesečník osí oh - body (0;0) a (0;2). 2. Priamka - os 2. a 4. súradnicového uhla. A teraz Pozor! Ak je v intervale [ a;b] nejaká nepretržitá funkcia f(x) väčšia alebo rovná nejakej spojitej funkcii g(x), potom oblasť zodpovedajúceho obrázku možno nájsť podľa vzorca: . A nezáleží na tom, kde sa obrázok nachádza - nad osou alebo pod osou, ale je dôležité, ktorý graf je VYŠŠIE (v porovnaní s iným grafom) a ktorý je POD. V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Je možné konštruovať čiary bod po bode, pričom hranice integrácie sa zisťujú akoby „sami od seba“. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo závitová konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne).

Požadovaný údaj je ohraničený parabolou zhora a priamkou zdola.

Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď: S \u003d 4,5 štvorcových jednotiek

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami.

Riešenie.

Nájdeme priesečníky daných čiar. Aby sme to dosiahli, riešime sústavu rovníc:

Aby sme našli úsečky priesečníkov daných priamok, riešime rovnicu:

Nájdeme: X 1 = -2, X 2 = 4.

Takže tieto čiary, ktoré sú parabolou a priamkou, sa pretínajú v bodoch A(-2; 0), B(4; 6).

Tieto čiary tvoria uzavretý obrazec, ktorého plocha sa vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca:

Podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca zistíme:

Nájdite oblasť oblasti ohraničenej elipsou.

Riešenie.

Z rovnice elipsy pre I kvadrant máme . Odtiaľ podľa vzorca získame

Aplikujme substitúciu X = a hriech t, dx = a cos t dt. Nové limity integrácie t = α a t = β sú určené z rovníc 0 = a hriech t, a = a hriech t. Dá sa položiť α = 0 a β = π /2.

Nájdeme štvrtinu požadovanej plochy

Odtiaľ S = pab.

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiaramir = - X 2 + X + 4 ar = - X + 1.

Riešenie.

Nájdite priesečníky čiar r = -X 2 + X + 4, r = -X+ 1, pričom sa zhodujú súradnice čiar: - X 2 + X + 4 = -X+ 1 alebo X 2 - 2X- 3 = 0. Nájdite korene X 1 = -1, X 2 = 3 a im zodpovedajúce súradnice r 1 = 2, r 2 = -2.

Pomocou vzorca oblasti čísla dostaneme

Nájdite oblasť ohraničenú parabolour = X 2 + 1 a priamyX + r = 3.

Riešenie.

Riešenie sústavy rovníc

nájdite úsečky priesečníkov X 1 = -2 a X 2 = 1.

Za predpokladu r 2 = 3 - X a r 1 = X 2 + 1, na základe vzorca, ktorý dostaneme

Vypočítajte plochu obsiahnutú v Bernoulliho lemniskáter 2 = a 2 cos 2 φ .

Riešenie.

V polárnom súradnicovom systéme je oblasť obrázku ohraničená oblúkom krivky r = f(φ ) a dva polárne polomery φ 1 = ʅ a φ 2 = ʆ , sa vyjadruje integrálom

Vzhľadom na symetriu krivky určíme najskôr jednu štvrtinu požadovanej plochy

Celková plocha je teda S = a 2 .

Vypočítajte dĺžku oblúka astroideaX 2/3 + r 2/3 = a 2/3 .

Riešenie.

Rovnicu astroidea zapíšeme do tvaru

(X 1/3) 2 + (r 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Položme X 1/3 = a 1/3 cos t, r 1/3 = a 1/3 hriechu t.

Odtiaľ získame parametrické rovnice astroidu

X = a pretože 3 t, r = a hriech 3 t, (*)

kde 0 ≤ t ≤ 2π .

Vzhľadom na symetriu krivky (*) stačí nájsť jednu štvrtinu dĺžky oblúka L zodpovedajúce zmene parametra t od 0 do π /2.

Dostaneme

dx = -3a pretože 2 t hriech t dt, D Y = 3a hriech 2 t cos t dt.

Odtiaľto nájdeme

Integrácia výsledného výrazu v rozsahu od 0 do π /2, dostaneme

Odtiaľ L = 6a.

Nájdite oblasť ohraničenú Archimedovou špirálour = aφ a dva polomerové vektory, ktoré zodpovedajú polárnym uhlomφ 1 aφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Riešenie.

Oblasť ohraničená krivkou r = f(φ ) sa vypočíta podľa vzorca , kde α a β - hranice zmeny polárneho uhla.

Tak dostaneme

(*)

Z (*) vyplýva, že oblasť ohraničená polárnou osou a prvou otáčkou Archimedovej špirály ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Podobne nájdeme oblasť ohraničenú polárnou osou a druhým otočením Archimedovej špirály ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Požadovaná plocha sa rovná rozdielu týchto plôch

Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osiVôl postava ohraničená parabolamir = X 2 aX = r 2 .

Riešenie.

Poďme riešiť sústavu rovníc

a získať X 1 = 0, X 2 = 1, r 1 = 0, r 2 = 1, odkiaľ sú priesečníky kriviek O(0; 0), B(jedenásť). Ako je možné vidieť na obrázku, požadovaný objem rotačného telesa sa rovná rozdielu medzi dvoma objemami vytvorenými rotáciou okolo osi Vôl krivočiare lichobežníky OCBA a ODBA:

Vypočítajte plochu ohraničenú osouVôl a sínusoidar = hriechX na segmentoch: a); b) .

Riešenie.

a) Na segmente funkcia sin X zachováva znamienko, a teda podľa vzorca , za predpokladu r= hriech X, nájdeme

b) Na segmente, funkcia sin X znamenie zmien. Pre správne riešenie úlohy je potrebné rozdeliť segment na dva a [ π , 2π ], v každom z nich si funkcia zachováva svoje znamienko.

Podľa pravidla znakov na segmente [ π , 2π ] oblasť je označená znamienkom mínus.

V dôsledku toho sa požadovaná oblasť rovná

Určte objem telesa ohraničeného povrchom získaným rotáciou elipsyokolo hlavnej osia .

Riešenie.

Vzhľadom na to, že elipsa je symetrická podľa súradnicových osí, stačí nájsť objem vytvorený rotáciou okolo osi Vôl oblasť OAB rovná jednej štvrtine plochy elipsy a zdvojnásobte výsledok.

Označme objem rotačného telesa cez V X; potom na základe vzorca máme , kde 0 a a- úsečka bodov B a A. Z rovnice elipsy nájdeme . Odtiaľ

Požadovaný objem sa teda rovná . (Keď sa elipsa otáča okolo vedľajšej osi b, objem tela je )

Nájdite oblasť ohraničenú parabolamir 2 = 2 px aX 2 = 2 py .

Riešenie.

Najprv nájdeme súradnice priesečníkov parabol, aby sme určili integračný interval. Transformáciou pôvodných rovníc získame a . Porovnaním týchto hodnôt dostaneme resp X 4 - 8p 3 X = 0.

X 4 - 8p 3 X = X(X 3 - 8p 3) = X(X - 2p)(X 2 + 2px + 4p 2) = 0.

Nájdeme korene rovníc:

Vzhľadom na skutočnosť, že bod A priesečník parabol je v prvej štvrtine, potom hranice integrácie X= 0 a X = 2p.

Požadovaná oblasť sa nájde podľa vzorca