Rôzne spôsoby, ako dokázať Pytagorovu vetu: príklady, popis a recenzie. Nezávislé riešenie problémov
Trieda: 8
Ciele lekcie:
- Vzdelávacie: dosiahnuť asimiláciu Pytagorovej vety, vštepiť zručnosti výpočtu neznámej strany pravouhlého trojuholníka pomocou dvoch známych, naučiť sa aplikovať Pytagorovu vetu na riešenie jednoduchých problémov
- vyvíja sa: prispievať k rozvoju schopnosti porovnávania, pozorovania, pozornosti, k rozvoju schopnosti analytického a syntetického myslenia, k rozširovaniu obzorov
- Vzdelávacie: formovanie potreby vedomostí, záujmu o matematiku
Typ lekcie: lekcia prezentácie nového materiálu
Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, prezentácia na vyučovaciu hodinu ( Príloha 1)
Plán lekcie:
- Organizovanie času
- ústne cvičenia
- Výskumná práca, predloženie hypotézy a jej testovanie v konkrétnych prípadoch
- Vysvetlenie nového materiálu
a) O Pytagorasovi
b) Vyhlásenie a dôkaz vety - Upevnenie vyššie uvedeného prostredníctvom riešenia problémov
- Domáca úloha, zhrnutie hodiny.
Počas vyučovania
Snímka 2: Vykonajte cvičenia
- Rozbaliť zátvorky: (3 + x) 2
- Vypočítajte 3 2 + x 2 pre x = 1, 2, 3, 4
– Existuje prirodzené číslo, ktorého druhá mocnina je 10, 13, 18, 25? - Nájdite plochu štvorca so stranami 11 cm, 50 cm, 7 dm.
Aký je vzorec pre plochu štvorca?
Ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka?
Snímka 3: Otázka odpoveď
– Uhol, ktorého miera je 90°. (priamo)
Strana oproti pravému uhlu trojuholníka. (hypotenza)
- Trojuholník, štvorec, lichobežník, kruh - to sú geometrické ... (Tvary)
- Menšia strana pravouhlého trojuholníka. (Katet)
- postava tvorená dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu. (roh)
- Úsečka kolmice vedená z vrcholu trojuholníka k čiare obsahujúcej opačnú stranu. (výška)
- Trojuholník s dvoma rovnakými stranami . (rovnoramenné)
Snímka 4: Úloha
Zostrojte pravouhlý trojuholník so stranami 3 cm, 4 cm a 6 cm.
Úloha je rozdelená do riadkov.
| 1 riadok | 2 riadok | 3 riadok | |
| nohu a | 3 | 3 | |
| nohu b | 4 | 4 | |
| Hypotenzia s | 6 | 6 |
otázky:
- Dostal niekto trojuholník s danými stranami?
- Aký môže byť záver? (Pravý trojuholník nemožno ľubovoľne definovať. Medzi jeho stranami existuje závislosť).
- Zmerajte výsledné strany. ( Približný priemerný výsledok z každého riadku sa zapíše do tabuľky)
| 1 riadok | 2 riadok | 3 riadok | |
| nohu a | 3 | 3 | ~4,5 |
| nohu b | 4 | ~5,2 | 4 |
| Hypotenzia s | ~5 | 6 | 6 |
- Pokúste sa vytvoriť vzťah medzi nohami a preponou v každom z prípadov.
(Navrhuje sa pripomenúť si ústne cvičenia a skontrolovať rovnaký vzťah medzi inými číslami).
- Upozorňuje sa na skutočnosť, že presný výsledok nebude fungovať, pretože. merania nemožno považovať za presné.
Učiteľ sa pýta na odhady (hypotézy): žiaci formulujú.
- Áno, skutočne existuje vzťah medzi preponou a nohami a ako prvý to dokázal vedec, ktorého meno si sami pomenujete. Táto veta je pomenovaná po ňom.
Snímka 5: Dešifrovať
Snímka 6: Pytagoras zo Samosu
Kto pomenuje tému dnešnej hodiny?
Študenti si do zošitov zapíšu tému hodiny: „Pytagorova veta“
Pytagorova veta je jednou z hlavných teorém geometrie. S jeho pomocou sa dokazuje mnoho ďalších teorémov a riešia sa problémy z rôznych oblastí: fyzika, astronómia, stavebníctvo atď. Bola známa dávno predtým, ako to dokázal Pytagoras. Starovekí Egypťania ho používali pri stavbe pravouhlého trojuholníka so stranami 3, 4 a 5 jednotiek pomocou lana na stavanie pravých uhlov pri kladení budov, pyramíd. Preto sa takýto trojuholník nazýva egyptský trojuholník.
Existuje viac ako tristo spôsobov, ako dokázať túto vetu. Na jeden z nich sa dnes pozrieme.
Snímka 7: Pytagorova veta
Veta: V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh.
Vzhľadom na to:
Správny trojuholník,
a, b - nohy, s- prepona
dokázať:
Dôkaz.
1. Pokračujeme nohami pravouhlého trojuholníka: noha a- na dĺžku b, noha b- na dĺžku a.
Do akého tvaru možno postaviť trojuholník? Prečo až do štvorca? Aká bude strana námestia?
2. Trojuholník dotvoríme na štvorec so stranou a + b.
Ako zistíte plochu tohto námestia?
3. Rozloha námestia je
- Rozdeľme štvorec na časti: 4 trojuholníky a štvorec so stranou c.
Ako inak nájdete plochu pôvodného námestia?
Prečo sú výsledné pravouhlé trojuholníky zhodné?
4. Na druhej strane
5. Vyrovnajte výsledné rovnosti:
Veta bola dokázaná.
Existuje komická formulácia tejto vety: "Pytagorove nohavice sú rovnaké vo všetkých smeroch." Pravdepodobne je takáto formulácia spôsobená skutočnosťou, že táto veta bola pôvodne stanovená pre rovnoramenný pravouhlý trojuholník. Navyše to znelo trochu inak: "Oblasť štvorca postaveného na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu plôch štvorcov postavených na jeho nohách."
Snímka 8: Ďalšia formulácia Pytagorovej vety
A dám vám ďalšiu formuláciu tejto vety vo verši:
Ak dostaneme trojuholník
A navyše s pravým uhlom,
To je druhá mocnina prepony
Vždy ľahko nájdeme:
Nohy staviame do štvorca,
Nájdeme súčet stupňov
A ešte takýmto jednoduchým spôsobom
K výsledku prídeme.
- Takže dnes ste sa zoznámili s najznámejšou vetou planimetrie - Pytagorovou vetou. Ako je formulovaná Pytagorova veta? Ako inak sa to dá formulovať?
Primárna fixácia materiálu
Snímka 9: Riešenie úloh podľa hotových výkresov.
Snímka 10: Riešenie problémov v notebooku
Na tabuľu sú súčasne povolaní traja študenti, aby riešili úlohy.
Snímka 11: Problém indického matematika Bhaskaru z 12. storočia
Zhrnutie lekcie:
Čo nové ste sa dnes naučili na lekcii?
- Formulovať Pytagorovu vetu.
- Čo ste sa naučili robiť v lekcii?
Domáca úloha:
– Naučte sa Pytagorovu vetu s dôkazom
- úlohy z učebnice č. 483 c, d; č. 484 v, mesto
– Pre pokročilejších: nájdite ďalšie dôkazy Pytagorovej vety, naučte sa jeden z nich.
Hodnotí sa práca triedy ako celku, pričom sa vyzdvihujú jednotliví žiaci.
Lekcia na tému: "Pytagorova veta"
Typ lekcie: lekcia učenie nového materiálu. (podľa učebnice „Geometria, 7–9“, učebnica pre vzdelávacie inštitúcie; L.S. Atanasyan et al. - 12. vydanie - M .: Vzdelávanie, 2009).
Cieľ:
oboznámi študentov s Pytagorovou vetou a historickými informáciami súvisiacimi s touto vetou; rozvíjať záujem o štúdium matematiky, logické myslenie; Pozornosť.
Počas tried:
1. Organizačný moment.
SLIDE 2 Rozprávka "Dom".
Témou našej hodiny je „Pytagorova veta“. Dnes sa v lekcii zoznámime s biografiou Pythagoras, budeme študovať jednu z najznámejších geometrických teorémov staroveku, nazývanú Pytagorova veta, jednu z hlavných teorém planimetrie.
2. Aktualizácia poznatkov.(Príprava na štúdium nového materiálu, opakuje sa materiál, ktorý bude potrebný pri dôkaze vety)
1) Otázky:
Aký štvoruholník sa nazýva štvorec?
Ako nájsť plochu štvorca?
Ktorý trojuholník sa nazýva pravouhlý trojuholník?
Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka?
Ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka?
3. Učenie sa nového materiálu.
1) Odkaz na históriu.
SNÍMKA 3 a 4.
Veľký vedec Pytagoras sa narodil okolo roku 570 pred Kristom. na ostrove Samos. Pytagorasov otec bol Mnesarchos, rezbár drahokamov. Meno Pytagorasovej matky nie je známe. Podľa mnohých starovekých svedectiev bol narodený chlapec rozprávkovo pekný a čoskoro ukázal svoje vynikajúce schopnosti. Ako každý otec, aj Mnesarchos sníval o tom, že jeho syn bude pokračovať v jeho práci – v remesle zlatníka. Život súdil inak. Budúci veľký matematik a filozof už v detstve prejavil veľké schopnosti pre vedu.
Pytagoras sa pripisuje štúdiu vlastností celých čísel a proporcií, dokazuje Pytagorovu vetu atď. Pytagoras nie je meno, ale prezývka, ktorú filozof dostal za to, že vždy hovoril správne a presvedčivo, ako grécke orákulum. (Pytagoras - "presvedčivá reč".)
Svojimi prejavmi si získal 2000 študentov, ktorí spolu so svojimi rodinami vytvorili školský štát, kde platili Pytagoriove zákony a pravidlá. Pythagorova škola, alebo, ako sa tiež nazýva, Pytagorova únia, bola zároveň filozofickou školou, politickou stranou a náboženským bratstvom.
Obľúbeným geometrickým útvarom Pytagorejcov bol pentagram, nazývaný aj Pytagorejská hviezda. Pythagorejci používali túto postavu nakreslenú do piesku, aby sa navzájom pozdravili a spoznali. Pentagram im slúžil ako heslo a bol symbolom zdravia a šťastia.
Tradícia hovorí, že keď Pytagoras prišiel na vetu, ktorá nesie jeho meno, priniesol bohom 100 býkov. V roku 500 pred Kristom bol Pytagoras zabitý v pouličnej bitke počas ľudového povstania. V súčasnosti existuje asi 200 dôkazov Pytagorovej vety.
Vyhlásenie vety
2) Dôkaz vety.
Zostavme obdĺžnik na štvorec so stranou a + b.
Deti s pomocou učiteľa dokazujú vetu podľa nákresu, potom si dôkaz zapíšu do zošita.
dôkaz:
štvorcová plocha
- veta je dokázaná.
4. Primárne upevnenie vedomostí.
Učebnicová práca (Aplikácia Pytagorovej vety na riešenie problémov).
Problémy sa riešia na tabuli a v zošitoch.
Záver: pomocou Pytagorovej vety môžete vyriešiť dva typy problémov:
1. Nájdite preponu pravouhlého trojuholníka, ak sú nohy známe.
2. Nájdite nohu, ak je známa prepona a druhá noha.
.
5. Samostatné riešenie problémov.
č. 483 (b), 484 (b)
6. Domáce úlohy: P 54, č. 483 (d), 484 (d).
7. Výsledok hodiny.
Čo nové ste sa dnes naučili na lekcii?
Pre ktoré trojuholníky platí Pytagorova veta?
Ukončite lekciu básňou.
Mnoho ľudí pozná Chamissov sonet:
Pravda zostane večná, ako skoro
Slabý človek to pozná!
A teraz Pytagorova veta
Verna, ako v jeho vzdialenom veku.
Obeta bola hojná
Bohovia z Pytagoras. Sto býkov
Dal na zabitie a upálenie
Za svetlom je lúč, ktorý prišiel z oblakov.
Preto odvtedy
Trochu pravdy sa rodí na svete,
Býky hučia, cítia ju, idú za ňou.
Nedokážu zastaviť svetlo
A môžu len zavrieť oči, aby sa chveli
Zo strachu, ktorý im vnukol Pytagoras.
Otázka - odpoveď Uhol, ktorého miera je 90° PRIAME Strana ležiaca oproti pravému uhlu trojuholníka HYPOTENUSE Trojuholník, štvorec, lichobežník, kruh sú geometrické ... OBRÁZKY Menšia strana pravouhlého trojuholníka CATETH Obrazec tvorený dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jeden bod UHOL Kolmá úsečka vedená z vrcholu trojuholníka k priamke obsahujúcej opačnú stranu VÝŠKA Trojuholník, ktorého dve strany sú rovnaké rovnoramenné
Pytagoras zo Samosu (asi 580 - asi 500 pred Kr.) Staroveký grécky matematik a filozof. Narodil sa na ostrove Samos. Zorganizoval si vlastnú školu – Pytagoriovu školu (Pytagorejská únia), ktorá bola zároveň filozofickou školou, politickou stranou a náboženským bratstvom. Ako prvý dokázal vzťah medzi preponou a nohami pravouhlého trojuholníka.
Problém indického matematika 12. storočia Bhaskara Na brehu rieky rástol osamelý topoľ. Zrazu mu poryv vetra zlomil kmeň. Chudák topoľ opadol. A uhol priamky S priebehom rieky bol jej kmeň. Pamätajte si teraz, že na tomto mieste bola len štyri stopy široká rieka B. Hlava sa opierala o okraj rieky. Od kmeňa zostali len tri stopy, prosím ťa, povedz mi už čoskoro: Aký vysoký je topoľ?
Shapovalová L.A. (stanica Egorlykskaya, MBOU ESOSH č. 11)
1. Glazer G.I. Dejiny matematiky v škole VII - VIII ročníky, príručka pre učiteľov, - M: Školstvo, 1982.
2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. Príručka "Za stránkami učebnice matematiky" pre žiakov 5.-6. – M.: Osveta, 1989.
3. Zenkevič I.G. "Estetika hodiny matematiky". – M.: Osveta, 1981.
4. Litzman V. Pytagorova veta. - M., 1960.
5. Voloshinov A.V. "Pytagoras". - M., 1993.
6. Pichurin L.F. „Za stránkami učebnice algebry“. - M., 1990.
7. Zemlyakov A.N. "Geometria v 10. ročníku." - M., 1986.
8. Noviny "Matematika" 17/1996.
9. Noviny "Matematika" 3/1997.
10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. „Zbierka úloh zo elementárnej matematiky“. - M., 1963.
11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Matematická príručka". - M., 1973.
12. Shchetnikov A.I. "Pytagorova doktrína počtu a veľkosti". - Novosibirsk, 1997.
13. „Reálne čísla. Iracionálne výrazy» 8. stupeň. Tomsk University Press. – Tomsk, 1997.
14. Atanasyan M.S. "Geometria" stupeň 7-9. – M.: Osveta, 1991.
15. URL: www.moypifagor.narod.ru/
16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.
V tomto akademickom roku som sa zoznámil so zaujímavou teorémou, známou, ako sa ukázalo, z dávnych čias:
"Štvorec postavený na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov postavených na nohách."
Objav tohto tvrdenia sa zvyčajne pripisuje starovekému gréckemu filozofovi a matematikovi Pythagorasovi (VI. storočie pred Kristom). Štúdium starých rukopisov však ukázalo, že tento výrok bol známy dlho pred narodením Pytagorasa.
Zaujímalo ma, prečo sa v tomto prípade spája s menom Pytagoras.
Relevantnosť témy: Pytagorova veta má veľký význam: používa sa v geometrii doslova na každom kroku. Verím, že Pytagorasove diela sú stále aktuálne, pretože kamkoľvek sa pozrieme, všade môžeme vidieť plody jeho veľkých myšlienok, stelesnených v rôznych odvetviach moderného života.
Účelom môjho výskumu bolo: zistiť, kto bol Pytagoras a aký vzťah má k tejto vete.
Pri štúdiu histórie vety som sa rozhodol zistiť:
Existujú ďalšie dôkazy tejto vety?
Aký význam má táto veta v živote ľudí?
Akú úlohu zohral Pytagoras vo vývoji matematiky?
Z životopisu Pythagorasa
Pytagoras zo Samosu je veľký grécky vedec. Jeho sláva je spojená s názvom Pytagorovej vety. Hoci dnes už vieme, že táto veta bola známa v starovekom Babylone 1200 rokov pred Pytagorasom a v Egypte 2000 rokov pred ním bol známy pravouhlý trojuholník so stranami 3, 4, 5, stále ju nazývame menom tohto starovekého vedec.
O živote Pytagorasa nie je s istotou známe takmer nič, ale s jeho menom sa spája veľké množstvo legiend.
Pytagoras sa narodil v roku 570 pred Kristom na ostrove Samos.
Pytagoras mal pekný vzhľad, nosil dlhú bradu a na hlave zlatý diadém. Pytagoras nie je meno, ale prezývka, ktorú filozof dostal za to, že vždy hovoril správne a presvedčivo, ako grécke orákulum. (Pytagoras - "presvedčivá reč").
V roku 550 pred Kristom sa Pytagoras rozhodne a odchádza do Egypta. Pred Pytagorasom sa teda otvára neznáma krajina a neznáma kultúra. Pytagoras bol v tejto krajine veľmi ohromený a prekvapený a po niekoľkých pozorovaniach života Egypťanov si Pytagoras uvedomil, že cesta k poznaniu, chránená kastou kňazov, vedie cez náboženstvo.
Po jedenástich rokoch štúdia v Egypte odchádza Pytagoras do svojej vlasti, kde po ceste padá do babylonského zajatia. Tam sa zoznámi s babylonskou vedou, ktorá bola rozvinutejšia ako egyptská. Babylončania vedeli riešiť lineárne, kvadratické a niektoré typy kubických rovníc. Po úteku zo zajatia nemohol dlho zostať vo svojej vlasti pre atmosféru násilia a tyranie, ktorá tam vládla. Rozhodol sa presťahovať do Crotonu (grécka kolónia v severnom Taliansku).
Práve v Krotóne sa začína najslávnejšie obdobie v živote Pytagora. Tam založil niečo ako nábožensko-etické bratstvo alebo tajný mníšsky rád, ktorého členovia boli povinní viesť takzvaný pytagorejský spôsob života.
Pytagoras a Pythagorejci
Pytagoras zorganizoval v gréckej kolónii na juhu Apeninského polostrova náboženské a etické bratstvo, napríklad mníšsky rád, ktorý sa neskôr nazýval Pytagorejská únia. Členovia zväzu museli dodržiavať určité zásady: po prvé usilovať sa o to, aby bolo krásne a slávne, po druhé byť užitočné a po tretie usilovať sa o vysoké potešenie.
Systém morálnych a etických pravidiel, ktoré Pytagoras odkázal svojim žiakom, bol zostavený do akéhosi morálneho kódexu pytagorejských „Zlatých veršov“, ktoré boli veľmi populárne v období antiky, stredoveku a renesancie.
Pytagorovský systém štúdií pozostával z troch častí:
Učenie o číslach - aritmetika,
Učenie o postavách - geometria,
Učenie o stavbe vesmíru – astronómia.
Vzdelávací systém stanovený Pytagorasom trval mnoho storočí.
Pythagorova škola urobila veľa pre to, aby dala geometrii charakter vedy. Hlavnou črtou Pytagorovej metódy bola kombinácia geometrie s aritmetikou.
Pytagoras sa veľa zaoberal proporciami a priebehmi a pravdepodobne aj podobnosťou obrázkov, pretože sa mu pripisuje vyriešenie problému: „Postavte tretí, ktorý má veľkosť jedného z údajov a podobný druhému, na základe dané dve čísla“.
Pytagoras a jeho žiaci zaviedli pojem polygonálne, priateľské, dokonalé čísla a študovali ich vlastnosti. Aritmetika ako spôsob počítania Pytagorasa nezaujímala a hrdo vyhlásil, že „aritmetiku postavil nad záujmy obchodníka“.
Členovia Pythagorejskej únie boli obyvateľmi mnohých miest v Grécku.
Pythagorejci prijímali do svojej spoločnosti aj ženy. Únia prekvitala viac ako dvadsať rokov a potom sa začalo prenasledovanie jej členov, mnohí študenti boli zabití.
O smrti samotného Pytagora bolo veľa rôznych legiend. Ale učenie Pytagora a jeho učeníkov žilo ďalej.
Z histórie vzniku Pytagorovej vety
V súčasnosti je známe, že túto vetu neobjavil Pytagoras. Niektorí sa však domnievajú, že to bol Pytagoras, kto prvý poskytol úplný dôkaz, zatiaľ čo iní mu túto zásluhu popierajú. Niektorí pripisujú Pytagorasovi dôkaz, ktorý Euklides podáva v prvej knihe svojich Živlov. Na druhej strane Proclus tvrdí, že dôkaz v Elementoch má na svedomí samotný Euclid. Ako vidíme, história matematiky nemá takmer žiadne spoľahlivé konkrétne údaje o živote Pytagora a jeho matematickej činnosti.
Historický prehľad Pytagorovej vety začnime starovekou Čínou. Tu priťahuje zvláštnu pozornosť matematická kniha Chu-pei. Táto esej hovorí o Pytagorovom trojuholníku so stranami 3, 4 a 5:
"Ak sa pravý uhol rozloží na jednotlivé časti, potom čiara spájajúca konce jeho strán bude 5, keď základňa je 3 a výška je 4."
Je veľmi jednoduché reprodukovať ich spôsob konštrukcie. Vezmite lano dlhé 12 m a priviažte ho k nemu pozdĺž farebného pruhu vo vzdialenosti 3 m. z jedného konca a 4 metre od druhého. Medzi stranami s dĺžkou 3 a 4 metre bude uzavretý pravý uhol.
Geometria medzi hinduistami bola úzko spätá s kultom. Je vysoko pravdepodobné, že veta na druhú preponu bola známa už v Indii okolo 8. storočia pred Kristom. Spolu s čisto rituálnymi predpismi existujú diela geometricky teologického charakteru. V týchto spisoch zo 4. alebo 5. storočia pred Kristom sa stretávame s konštrukciou pravého uhla pomocou trojuholníka so stranami 15, 36, 39.
V stredoveku Pytagorova veta definovala hranicu ak nie čo možno najväčšej, tak aspoň dobrých matematických znalostí. Charakteristická kresba Pytagorovej vety, ktorú dnes už školáci občas premenia napríklad na cylindr oblečený v profesorskom alebo mužskom rúchu, sa v tých časoch často používala ako symbol matematiky.
Na záver uvádzame rôzne formulácie Pytagorovej vety preložené z gréčtiny, latinčiny a nemčiny.
Euklidova veta znie (doslovný preklad):
"V pravouhlom trojuholníku sa štvorec strany prekrývajúcej pravý uhol rovná štvorcom na stranách, ktoré zvierajú pravý uhol."
Ako vidíte, v rôznych krajinách a rôznych jazykoch existujú rôzne verzie formulácie známej vety. Vytvorené v rôznych časoch a v rôznych jazykoch odrážajú podstatu jedného matematického vzoru, ktorého dôkaz má tiež niekoľko možností.
Päť spôsobov, ako dokázať Pytagorovu vetu
staroveké čínske dôkazy
V starej čínskej kresbe sú štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky s nohami a, b a preponou c naukladané tak, že ich vonkajší obrys tvorí štvorec so stranou a + b a vnútorný tvorí štvorec so stranou c, postavený na hypotenzia
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
Dôkaz od J. Gardfielda (1882)
Usporiadajme dva rovnaké pravouhlé trojuholníky tak, aby noha jedného z nich bola pokračovaním druhého.
Plocha uvažovaného lichobežníka sa zistí ako súčin polovice súčtu základov a výšky
Na druhej strane sa plocha lichobežníka rovná súčtu plôch získaných trojuholníkov:
Porovnaním týchto výrazov dostaneme:
Dôkaz je jednoduchý
Tento dôkaz sa získa v najjednoduchšom prípade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.
Pravdepodobne sa veta začala s ním.
V skutočnosti sa stačí pozrieť na usporiadanie rovnoramenných pravouhlých trojuholníkov, aby sme zistili, že teorém je pravdivý.
Napríklad pre trojuholník ABC: štvorec postavený na prepone AC obsahuje 4 počiatočné trojuholníky a štvorce postavené na nohách obsahujú dva. Veta bola dokázaná.
Dôkaz starých hinduistov
Štvorec so stranou (a + b) možno rozdeliť na časti buď ako na obr. 12. a, alebo ako na obr. 12b. Je zrejmé, že časti 1, 2, 3, 4 sú na oboch obrázkoch rovnaké. A ak sa rovní odpočítajú od rovných (ploch), tak ostanú rovní, t.j. c2 = a2 + b2.
Euklidov dôkaz
Po dve tisícročia bol najbežnejším dôkazom Pytagorovej vety, ktorú vynašiel Euklides. Je umiestnená v jeho slávnej knihe „Začiatky“.
Euklides znížil výšku BH od vrcholu pravého uhla k prepone a dokázal, že jej predĺženie rozdeľuje štvorec dokončený na prepone na dva obdĺžniky, ktorých plochy sa rovnajú plochám zodpovedajúcich štvorcov postavených na nohách.
Nákres použitý v dôkaze tejto vety sa žartom nazýva „Pytagorove nohavice“. Dlho bol považovaný za jeden zo symbolov matematickej vedy.
Aplikácia Pytagorovej vety
Význam Pytagorovej vety spočíva v tom, že z nej alebo s jej pomocou možno odvodiť väčšinu geometrických viet a vyriešiť mnohé problémy. Praktický význam Pytagorovej vety a jej inverznej vety navyše spočíva v tom, že sa dajú použiť na nájdenie dĺžok segmentov bez merania samotných segmentov. Toto akoby otvára cestu z priamky do roviny, z roviny do objemového priestoru a ďalej. Práve z tohto dôvodu je Pytagorova veta taká dôležitá pre ľudstvo, ktoré sa snaží objavovať ďalšie dimenzie a vytvárať technológie v týchto dimenziách.
Záver
Pytagorova veta je taká známa, že je ťažké si predstaviť človeka, ktorý o nej nepočul. Dozvedel som sa, že existuje niekoľko spôsobov, ako dokázať Pytagorovu vetu. Preštudoval som si množstvo historických a matematických zdrojov vrátane informácií na internete a uvedomil som si, že Pytagorova veta je zaujímavá nielen svojou históriou, ale aj tým, že zaujíma dôležité miesto v živote a vo vede. Dôkazom toho sú rôzne interpretácie textu tejto vety, ktoré som uviedol v tomto príspevku, a spôsoby jej dôkazov.
Pytagorova veta je teda jednou z hlavných a dalo by sa povedať najdôležitejšou vetou geometrie. Jeho význam spočíva v tom, že z neho alebo s jeho pomocou možno odvodiť väčšinu teorémov geometrie. Pytagorova veta je pozoruhodná aj tým, že sama o sebe nie je vôbec zrejmá. Napríklad vlastnosti rovnoramenného trojuholníka je možné vidieť priamo na výkrese. Ale bez ohľadu na to, ako veľmi sa pozeráte na pravouhlý trojuholník, nikdy neuvidíte, že medzi jeho stranami existuje jednoduchý vzťah: c2 = a2 + b2. Na dokázanie sa preto často používa vizualizácia. Pythagorovou zásluhou bolo, že podal úplný vedecký dôkaz tejto vety. Zaujímavá je osobnosť samotného vedca, ktorého pamäť nie je náhodou zachovaná touto vetou. Pytagoras je úžasný rečník, učiteľ a vychovávateľ, organizátor svojej školy, zameranej na harmóniu hudby a čísel, dobro a spravodlivosť, vedomosti a zdravý životný štýl. Môže dobre slúžiť ako príklad pre nás, vzdialených potomkov.
Bibliografický odkaz
Tumanová S.V. NIEKOĽKO SPÔSOBOV DOKÁZANIA PYTAGOJOVEJ VETY // Začnite vo vede. - 2016. - č. 2. - S. 91-95;URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (dátum prístupu: 01/10/2020).
Pytagorova veta- jedna zo základných teorém euklidovskej geometrie, ustanovujúca vzťah
medzi stranami pravouhlého trojuholníka.
Predpokladá sa, že to dokázal grécky matematik Pytagoras, po ktorom je pomenovaný.
Geometrická formulácia Pytagorovej vety.
Pôvodne bola veta formulovaná takto:
V pravouhlom trojuholníku sa plocha štvorca postaveného na prepone rovná súčtu plôch štvorcov,
postavené na katétroch.
Algebraická formulácia Pytagorovej vety.
V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky prepony rovná súčtu druhých mocnín dĺžok nôh.
To znamená, že označuje dĺžku prepony trojuholníka c, a dĺžky nôh cez a a b:
Obe formulácie pytagorove vety sú ekvivalentné, ale druhá formulácia je elementárnejšia, nie
vyžaduje koncepciu oblasti. To znamená, že druhé tvrdenie je možné overiť bez toho, aby sme vedeli čokoľvek o oblasti a
meraním iba dĺžok strán pravouhlého trojuholníka.
Inverzná Pytagorova veta.
Ak sa štvorec jednej strany trojuholníka rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán, potom
trojuholník je obdĺžnikový.
Alebo inak povedané:
Pre ľubovoľnú trojicu kladných čísel a, b a c, také že
existuje pravouhlý trojuholník s nohami a a b a preponu c.
Pytagorova veta pre rovnoramenný trojuholník.
Pytagorova veta pre rovnostranný trojuholník.
Dôkazy Pytagorovej vety.
V súčasnosti je vo vedeckej literatúre zaznamenaných 367 dôkazov tejto vety. Pravdepodobne teorém
Pytagoras je jediná veta s takým pôsobivým počtom dôkazov. Taká rozmanitosť
možno vysvetliť iba základným významom vety pre geometriu.
Samozrejme, koncepčne sa dajú všetky rozdeliť do malého počtu tried. Najznámejší z nich:
dôkaz plošná metóda, axiomatická a exotické dôkazy(napríklad,
používaním diferenciálne rovnice).
1. Dôkaz Pytagorovej vety z hľadiska podobných trojuholníkov.
Nasledujúci dôkaz algebraickej formulácie je najjednoduchším zo skonštruovaných dôkazov
priamo z axióm. Najmä nepoužíva koncept plochy postavy.
Nechaj ABC existuje pravouhlý trojuholník C. Nakreslíme výšku od C a označujú
jeho základ cez H.
Trojuholník ACH podobný trojuholníku AB C na dvoch rohoch. Rovnako aj trojuholník CBH podobný ABC.
Zavedením notácie:
dostaneme:
,
ktoré sa zhodujú -
Po zložení a 2 a b 2, dostaneme:
alebo , čo sa malo preukázať.
2. Dôkaz Pytagorovej vety plošnou metódou.
Nasledujúce dôkazy, napriek ich zjavnej jednoduchosti, nie sú vôbec také jednoduché. Všetky
využiť vlastnosti oblasti, ktorých dôkaz je zložitejší ako dôkaz samotnej Pytagorovej vety.
- Dôkaz prostredníctvom ekvikomplementácie.
Usporiadajte štyri rovnaké obdĺžnikové
trojuholník, ako je znázornené na obrázku
napravo.
Štvoruholník so stranami c- námestie,
keďže súčet dvoch ostrých uhlov je 90°, a
rozvinutý uhol je 180°.
Plocha celej postavy je na jednej strane
plocha štvorca so stranou ( a+b), a na druhej strane súčet obsahov štyroch trojuholníkov a
Q.E.D.
3. Dôkaz Pytagorovej vety infinitezimálnou metódou.
Vzhľadom na výkres zobrazený na obrázku a
sleduje zmenu stranya, môžeme
napíšte nasledujúci vzťah pre nekonečno
malý bočné prírastkys a a(pomocou podobnosti
trojuholníky):
Pomocou metódy separácie premenných zistíme:
Všeobecnejší výraz pre zmenu prepony v prípade prírastkov oboch nôh:
Integráciou tejto rovnice a použitím počiatočných podmienok dostaneme:
Dostávame sa teda k požadovanej odpovedi:
Ako je ľahké vidieť, kvadratická závislosť v konečnom vzorci sa javí ako lineárna
úmernosť medzi stranami trojuholníka a prírastkami, pričom súčet súvisí s nezávislou
príspevky z prírastku rôznych nôh.
Jednoduchší dôkaz možno získať, ak predpokladáme, že jedna z nôh nezaznamená prírastok
(v tomto prípade noha b). Potom pre integračnú konštantu dostaneme:
