Formula de adunare ctg. Grupa II. Formule de adunare

Nu voi încerca să te conving să nu scrii cheat sheets. Scrie! Inclusiv cheat sheets despre trigonometrie. Mai târziu intenționez să explic de ce sunt necesare foile de înșelăciune și de ce sunt utile foile de înșelăciune. Și aici sunt informații despre cum să nu învățați, ci să vă amintiți câteva formule trigonometrice. Deci - trigonometrie fără o foaie de cheat Folosim asocieri pentru memorare!

1. Formule de adunare:

Cosinusurile „vin întotdeauna în perechi”: cosinus-cosinus, sinus-sinus. Și încă ceva: cosinusurile sunt „inadecvate”. „Totul nu este potrivit” pentru ei, așa că schimbă semnele: „-” în „+” și invers.

Sinusuri - „mix”: sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Formule de sumă și diferență:

cosinusurile „vin mereu în perechi”. Adăugând două cosinus - „koloboks”, obținem o pereche de cosinus - „koloboks”. Și scăzând, cu siguranță nu vom obține niciun kolobok. Primim câteva sinusuri. Tot cu un minus înainte.

Sinusuri - „mix” :

3. Formule pentru transformarea unui produs într-o sumă și diferență.

Când obținem o pereche de cosinus? Când adăugăm cosinus. De aceea

Când primim câteva sinusuri? La scăderea cosinusurilor. De aici:

„Amestecarea” se obține atât la adăugarea, cât și la scăderea sinusurilor. Ce este mai distractiv: adunarea sau scăderea? Așa e, pliază. Și pentru formulă se adună:

În prima și a treia formulă, suma este între paranteze. Rearanjarea locurilor termenilor nu modifică suma. Ordinea este importantă doar pentru a doua formulă. Dar, pentru a nu ne confunda, pentru ușurință de reținut, în toate cele trei formule din primele paranteze luăm diferența

iar în al doilea rând - suma

Cheat sheets în buzunar vă oferă liniște sufletească: dacă uitați formula, o puteți copia. Și îți dau încredere: dacă nu reușești să folosești foaia de cheat sheet, îți poți aminti cu ușurință formulele.

Ne continuăm conversația despre cele mai utilizate formule în trigonometrie. Cele mai importante dintre ele sunt formulele de adunare.

Definiția 1

Formulele de adunare vă permit să exprimați funcții ale diferenței sau ale sumei a două unghiuri folosind funcții trigonometrice ale acelor unghiuri.

Pentru început, vom oferi o listă completă de formule de adunare, apoi le vom dovedi și vom analiza câteva exemple ilustrative.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formule de bază de adunare în trigonometrie

Există opt formule de bază: sinusul sumei și sinusul diferenței a două unghiuri, cosinusuri ale sumei și diferenței, tangente și cotangente ale sumei și, respectiv, diferenței. Mai jos sunt formulările și calculele lor standard.

1. Sinusul sumei a două unghiuri se poate obține astfel:

Se calculează produsul dintre sinusul primului unghi și cosinusul celui de-al doilea;

Înmulțiți cosinusul primului unghi cu sinusul primului unghi;

Adunați valorile rezultate.

Scrierea grafică a formulei arată astfel: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. Sinusul diferenței se calculează aproape în același mod, numai produsele rezultate nu trebuie adăugate, ci scăzute unul de celălalt. Astfel, calculăm produsele sinusului primului unghi cu cosinusul celui de-al doilea și cosinusul primului unghi cu sinusul celui de-al doilea și găsim diferența lor. Formula se scrie astfel: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Cosinusul sumei. Pentru aceasta, găsim produsele cosinusului primului unghi cu cosinusul celui de-al doilea și respectiv sinusul primului unghi cu sinusul celui de-al doilea și, respectiv, găsim diferența lor: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. Cosinusul diferenței: calculați produsele sinusurilor și cosinusurilor acestor unghiuri, ca mai înainte, și adăugați-le. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangenta sumei. Această formulă este exprimată ca o fracție, al cărei numărător este suma tangentelor unghiurilor necesare, iar numitorul este o unitate din care se scade produsul tangentelor unghiurilor dorite. Totul este clar din notația sa grafică: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Tangenta diferenței. Calculăm valorile diferenței și produsul tangentelor acestor unghiuri și procedăm cu ele într-un mod similar. La numitor adunam la unu, si nu invers: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Cotangenta sumei. Pentru a calcula folosind această formulă, vom avea nevoie de produsul și suma cotangentelor acestor unghiuri, pe care le procedăm astfel: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. Cotangente a diferenței . Formula este similară cu cea anterioară, dar numărătorul și numitorul sunt minus, nu plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

Probabil ați observat că aceste formule sunt similare în perechi. Folosind semnele ± (plus-minus) și ∓ (minus-plus), le putem grupa pentru a ușura înregistrarea:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

În consecință, avem o formulă de înregistrare pentru suma și diferența fiecărei valori, doar într-un caz acordăm atenție semnului superior, în celălalt – celui inferior.

Definiția 2

Putem lua orice unghi α și β, iar formulele de adunare pentru cosinus și sinus vor funcționa pentru ele. Dacă putem determina corect valorile tangentelor și cotangentelor acestor unghiuri, atunci formulele de adunare pentru tangente și cotangente vor fi valabile și pentru ele.

La fel ca majoritatea conceptelor din algebră, formulele de adunare pot fi dovedite. Prima formulă pe care o vom demonstra este formula cosinusului diferenței. Restul dovezilor pot fi apoi deduse cu ușurință din acestea.

Să clarificăm conceptele de bază. Vom avea nevoie de un cerc unitar. Se va rezolva dacă luăm un anumit punct A și rotim unghiurile α și β în jurul centrului (punctul O). Atunci unghiul dintre vectorii O A 1 → și O A → 2 va fi egal cu (α - β) + 2 π · z sau 2 π - (α - β) + 2 π · z (z este orice număr întreg). Vectorii rezultați formează un unghi care este egal cu α - β sau 2 π - (α - β), sau poate diferi de aceste valori cu un număr întreg de rotații complete. Aruncă o privire la poză:

Am folosit formulele de reducere și am obținut următoarele rezultate:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Rezultat: cosinusul unghiului dintre vectorii O A 1 → și O A 2 → este egal cu cosinusul unghiului α - β, deci cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Să ne amintim definițiile sinusului și cosinusului: sinusul este o funcție a unghiului, egal cu raportul catetei unghiului opus față de ipotenuză, cosinusul este sinusul unghiului complementar. Prin urmare, punctele A 1Și A 2 au coordonatele (cos α, sin α) și (cos β, sin β).

Obținem următoarele:

O A 1 → = (cos α, sin α) și O A 2 → = (cos β, sin β)

Dacă nu este clar, priviți coordonatele punctelor situate la începutul și la sfârșitul vectorilor.

Lungimile vectorilor sunt egale cu 1, deoarece Avem un cerc unitar.

Să analizăm acum produsul scalar al vectorilor O A 1 → și O A 2 → . În coordonate arată astfel:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

Din aceasta putem deduce egalitatea:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Astfel, formula cosinusului diferenței este dovedită.

Acum vom demonstra următoarea formulă - cosinusul sumei. Acest lucru este mai ușor deoarece putem folosi calculele anterioare. Să luăm reprezentarea α + β = α - (- β) . Avem:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Aceasta este dovada formulei sumei cosinusului. Ultima linie folosește proprietatea sinusului și cosinusului unghiurilor opuse.

Formula pentru sinusul unei sume poate fi derivată din formula pentru cosinusul unei diferențe. Să luăm formula de reducere pentru aceasta:

de forma sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Asa de
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

Și iată dovada formulei diferenței sinus:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Observați utilizarea proprietăților sinus și cosinus ale unghiurilor opuse în ultimul calcul.

În continuare avem nevoie de dovezi ale formulelor de adunare pentru tangentă și cotangentă. Să ne amintim definițiile de bază (tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, iar cotangenta este invers) și să luăm formulele deja derivate în avans. Am reușit:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Avem o fracție complexă. În continuare, trebuie să împărțim numărătorul și numitorul la cos α · cos β, având în vedere că cos α ≠ 0 și cos β ≠ 0, obținem:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

Acum reducem fracțiile și obținem următoarea formulă: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Se obține t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Aceasta este dovada formulei de adiție tangente.

Următoarea formulă pe care o vom demonstra este tangenta formulei diferenței. Totul se arată clar în calcule:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Formulele pentru cotangente sunt dovedite într-un mod similar:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Mai departe:
c t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β

Formulele de adunare sunt folosite pentru a exprima prin sinusurile și cosinusurile unghiurilor a și b, valorile funcțiilor cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).

Formule de adunare pentru sinusuri și cosinusuri

Teoremă: Pentru orice a și b, următoarea egalitate este adevărată: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

Să demonstrăm această teoremă. Luați în considerare următoarea figură:

Pe acesta, punctele Ma, M-b, M(a+b) sunt obținute prin rotirea punctului Mo cu unghiurile a, -b și, respectiv, a+b. Din definițiile sinusului și cosinusului, coordonatele acestor puncte vor fi următoarele: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+). b) (cos(a+ b); sin(a+b)). AngleMoOM(a+b) = unghiM-bOMa, prin urmare triunghiurile MoOM(a+b) și M-bOMa sunt egale și sunt isoscele. Aceasta înseamnă că bazele MoM(a-b) și M-bMa sunt egale. Prin urmare, (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Folosind formula pentru distanța dintre două puncte, obținem:

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.

sin(-a) = -sin(a) și cos(-a) = cos(a). Să ne transformăm egalitatea ținând cont de aceste formule și de pătratul sumei și diferenței, atunci:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

Acum aplicăm identitatea trigonometrică de bază:

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

Să dăm altele similare și să le reducem cu -2:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.

De asemenea, sunt valabile următoarele formule:

• cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
• sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
• sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).

Aceste formule pot fi obținute din cea demonstrată mai sus folosind formule de reducere și înlocuind b cu -b. Există și formule de adunare pentru tangente și cotangente, dar nu vor fi valabile pentru toate argumentele.

Formule pentru adăugarea tangentelor și cotangentelor

Pentru orice unghi a,b, cu excepția a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n și a+b =pi/2 +pi*m, pentru orice numere întregi k,n,m următoarele vor formula fi adevarata:

tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Pentru orice unghi a,b cu excepția a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n și a-b =pi/2 +pi*m, pentru orice numere întregi k,n,m următoarea formulă va fi valabil:

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

Pentru orice unghi a,b cu excepția a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m și pentru orice numere întregi k,n,m următoarea formulă va fi valabilă:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).