Стихи детям

График ускорения от времени скорость найти. Графическое представление движения. Перемещение за -ую секунду

Графическое представление равномерного прямолинейного движения

Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают:

V (t) - изменение скорости со временем

a(t) - изменение ускорения со временем

За висимость ускорения от времени . Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость a(t) - прямая линия, которая лежит на оси времени.

Зависимость скорости от времени . Так как тело движется прямолинейно и равномерно (v = const ), т.е. скорость со временем не изменяется, то график с зависимостью скорости от времени v(t) - прямая линия, параллельная оси времени.

Проекция перемещения тела численно равна площади прямоугольника АОВС под графиком, так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.

Правило определения пути по графику v(t): при прямолинейном равномерном движении модуль вектора перемещения равен площади прямоугольника под графиком скорости.

Зависимость перемещения от времени. График s(t) - наклонная линия:

Из графика видно, что проекция скорости равна:

Рассмотрев эту формулу, мы можем сказать, чем больше угол, тем быстрей движется тело и оно проходит больший путь за меньшее время.

Правило определения скорости по графику s(t): Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости движения.

Неравномерное прямолинейное движение.

Равномерное движение это движение с постоянной скоростью. Если скорость тела меняется, говорят, что оно движется неравномерно.

Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным или переменным движением .

Для характеристики неравномерного движения вводится понятие средней скорости.

Средняя скорость движения равна отношению всего пути, пройденного материальной точкой к промежутку времени, за который этот путь пройден.

В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость , которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени Δt :

Мгновенной скоростью переменного движения называют скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории .

Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.

Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рисунке.

Движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называют равноускоренным или равнопеременным движением .

Ускорение - это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.

Если скорость изменяется одинаково в течение всего времени движения, то ускорение можно рассчитать по формуле:

Обозначения:

V x - Скорость тела при равноускоренном движении по прямой

V x o - Начальная скорость тела

a x - Ускорение тела

t - Время движения тела

Ускорение показывает, как быстро изменяетcя скорость тела. Если ускорение положительно, значит скорость тела увеличивается, движение ускоренное. Если ускорение отрицательно, значит скорость уменьшается, движение замедленное.

Единица измерения ускорения в СИ [м/с 2 ].

Ускорение измеряют акселерометром

Уравнение скорости для равноускоренного движения:v x = v xo + a x t

Уравнение равноускоренного прямолинейного движения (перемещение при равноускоренном движении):

Обозначения:

S x - Перемещение тела при равноускоренном движении по прямой

V x o - Начальная скорость тела

V x - Скорость тела при равноускоренном движении по прямой

a x - Ускорение тела

t - Время движения тела

Еще формулы, для нахождения перемещения при равноускоренном прямолинейном движении, которые можно использовать при решении задач:

Если известны начальная, конечная скорости движения и ускорение.

Если известны начальная, конечная скорости движения и время всего движения

Графическое представление неравномерного прямолинейного движения

V(t) - изменение скорости со временем

S(t) - изменение перемещения (пути) со временем

§ 14. ГРАФИКИ ПУТИ И СКОРОСТИ

Определение пути по графику скорости

В физике и математике используют три способа подачи информации о связи между различными величинами: а) в виде формулы, например, s =v ∙ t; б) в виде таблицы; в) в виде графика (рисунка).

Зависимость скорости от времени v(t) - график скорости изображается с помощью двух взаимно перпендикулярных осей. Вдоль горизонтальной оси будем откладывать время, а по вертикальной - скорость (рис. 14.1). Надо заблаговременно продумать масштаб, чтобы рисунок не был слишком большим или слишком малым. У конца оси указывают букву, которая является обозначением численно равна площади заштрихованного прямоугольника abcd величины, что на ней откладывается. Возле буквы указывают единицу измерения этой величины. Например, возле оси времени указывают t, с, а возле оси скорости v(t), мес. Выбирают масштаб и наносят деления на каждую ось.

Рис. 14.1. График скорости тела, равномерно движущегося со скоростью 3 м/сек. Путь, пройденный телом со 2-й по 6-ю секунды,

Изображение равномерного движения таблицей и графиками

Рассмотрим равномерное движение тела со скоростью 3 м/с, то есть числовое значение скорости будет постоянным в течение всего времени движения. Сокращенно это записывают так: v = const (константа, то есть постоянная величина). В нашем примере она равна трем: v = 3 . Вы уже знаете, что информацию о зависимости одной величины от другой можно подавать в виде таблицы (массива, как говорят в информатике):

Из таблицы видно, что во все указанные моменты времени скорость равна 3 м/сек. Пусть масштаб оси времени 2 кл. = 1 с, а оси скорости 2 кл. = 1 м/сек. График зависимости скорости от времени (сокращенно говорят: график скорости) приведены на рисунке 14.1.

С помощью графика скорости можно найти путь, который тело проходит за определенный интервал времени. Для этого нужно сопоставить два факта: с одной стороны, путь можно найти, умножив скорость на время, а с другой - произведение скорости на время, как видно из рисунка - это площадь прямоугольника со сторонами t и v.

Например, со второй до шестой секунды тело двигалось в течение четырех секунд и прошло 3 м/с ∙ 4 с = 12 м. Это площадь прямоугольника аbсd, длина которого равна 4 с (отрезок ad вдоль оси времени) и высота 3 м/с (отрезок аb вдоль вертикали). Площадь, правда, несколько необычная, поскольку измеряется не в м 2 , а в г. Следовательно, площадь под графиком скорости численно равна пройденному пути.

График пути

График пути s(t) можно изобразить, используя формулу s = v ∙ t, то есть в нашем случае, когда скорость составляет 3 м/с: s = 3 ∙ t. Построим таблицу:

Вдоль горизонтальной оси снова откладывают время (t, с), а вдоль вертикальной - путь. Возле оси пути пишем: s, м (рис. 14.2).

Определение скорости по графику пути

Изобразим теперь на одном рисунке два графика, которые будут соответствовать движениям со скоростями 3 м/с (прямая 2) и 6 м/с (прямая 1) (рис. 14.3). Видно, что чем больше скорость тела, тем круче линия точек графика.

Существует и обратная задача: имея график движения, нужно определить скорость и записать уравнение пути (рис. 14.3). Рассмотрим прямую 2. От начала движения и до момента времени t = 2 с тело прошло путь s = 6 м. Следовательно, его скорость: v = = 3 . Выбор другого интервала времени ничего не изменит, например, на момент t = 4 с путь, пройденный телом от начала движения, составляет s = 12 м. Отношение опять равна 3 м/сек. Но так и должно быть, поскольку тело движется с постоянной скоростью. Поэтому проще всего было бы выбрать интервал времени 1 с, ведь путь, пройденный телом за одну секунду, численно равна скорости. Путь, пройденный первым телом (график 1) за 1 с, равна 6 м, то есть скорость первого тела равна 6 м/сек. Соответствующие зависимости пути от времени в этих двух тел будут:

s 1 = 6 ∙ t и s 2 =3 ∙ t.

Рис. 14.2. График пути. Остальные точек, кроме шести, указанных в таблице, поставленные в задании, что движение упровдож всего времени был равномерным

Рис. 14.3. График пути в случае разных скоростей

Подведем итоги

В физике используют три способа подачи информации: графический, аналитический (по формулам) и таблицей (массивом). Третий способ более приспособлен для решения на компьютере.

Путь численно равен площади под графиком скорости.

Чем круче график s(t), тем больше скорость.

Творческие задания

14.1. Начертите графики скорости и пути, когда скорость тела равномерно увеличивается, или уменьшается.

Упражнение 14

1. Как определяют путь на графике скорости?

2. Можно ли записать формулу для зависимости пути от времени, имея график s(t)?

3. Или изменится угол наклона графика пути, если масштаб на осях уменьшить вдвое?

4. Почему график пути равномерного движения изображается прямой?

5. Какое из тел (рис. 14.4) имеет наибольшую скорость?

6. Назовите три способа представления информации о движении тела, а также (по вашему мнению) их преимущества и недостатки.

7. Как можно определить путь по графику скорости?

8. а) Чем отличаются графики пути для тел, движущихся с разными скоростями? б) Что в них общего?

9. По графику (рис. 14.1) найдите путь, пройденный телом от начала первой до конца третьей секунды.

10. Какой путь прошло тело (рис. 14.2) за: а) две секунды; б) четыре секунды? в) Укажите, где начинается третья секунда движения, и где она заканчивается.

11. Изобразите на графиках скорости и пути движение со скоростью а) 4 м/с; б) 2 м/сек.

12. Запишите формулу зависимости пути от времени для движений, изображенных на рис. 14.3.

13. а) Найдите скорости тел по графикам (рис. 14.4); б) запишите соответствующие уравнения пути и скорости. в) Постройте графики скорости этих тел.

14. Постройте графики пути и скорости для тел, движения которых заданы уравнениями: s 1 = 5 ∙ t и s 2 = 6 ∙ t. Чему равны скорости тел?

15. По графикам (рис. 14.5) определите: а) скорости тела; б) пути, пройденные ими за первые 5 сек. в) Запишите уравнение пути и постройте соответствующие графики для всех трех движений.

16. Начертите график пути для движения первого тела относительно второго (рис. 14.3).

На данном уроке мы с вами рассмотрим важную характеристику неравномерного движения - ускорение. Кроме того, мы рассмотрим неравномерное движение с постоянным ускорением. Такое движение еще называется равноускоренным или равнозамедленным. Наконец, мы поговорим о том, как графически изображать зависимости скорости тела от времени при равноускоренном движении.

Домашнее задание

Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 1 ГИА и вопросам А1, А2 ЕГЭ.

1. Задачи 48, 50, 52, 54 сб. задач А.П. Рымкевич, изд. 10.

2. Запишите зависимости скорости от времени и нарисуйте графики зависимости скорости тела от времени для случаев, изображенных на рис. 1, случаи б) и г). Отметьте на графиках точки поворота, если такие есть.

3. Рассмотрите следующие вопросы и ответы на них:

Вопрос. Является ли ускорение свободного падения ускорением, согласно данному выше определению?

Ответ. Конечно, является. Ускорение свободного падения - это ускорение тела, которое свободно падает с некоторой высоты (сопротивлением воздуха нужно пренебречь).

Вопрос. Что произойдет, если ускорение тела будет направлено перпендикулярно скорости движения тела?

Ответ. Тело будет двигаться равномерно по окружности.

Вопрос. Можно ли вычислять тангенс угла наклона, воспользовавшись транспортиром и калькулятором?

Ответ. Нет! Потому что полученное таким образом ускорение будет безразмерным, а размерность ускорения, как мы показали ранее, должно иметь размерность м/с 2 .

Вопрос. Что можно сказать о движении, если график зависимости скорости от времени не является прямой?

Ответ. Можно сказать, что ускорение этого тела меняется со временем. Такое движение не будет являться равноускоренным.

3. Рассмотрите рисунок 4.6.
а) В каких точках графика угол наклона касательной наибольший?

Мгновенная и средняя скорость

наименьший?

2. Средняя скорость

vср = l/t. (1)

5. Найдите:

в) среднюю скорость Саши.

6. Найдите:

б) среднюю скорость Саши.

Разбор тренировочного теста интернет-олимпиады по физике 2008/2009 года

11 класс. Кинематика

Вопрос № 1

По графику, представленному на рисунке, определите скорость движения велосипедиста через три секунды после начала движения.

Решение.

На рисунке представлен график зависимости пути от времени. График представляет собой прямую линию, значит, велосипедист двигался равномерно. Определим по графику величину пути, пройденного велосипедистом за фиксированный отрезок времени. Например, за 3 с велосипедист прошел 9 м. Скорость велосипедиста V = L / t = 9/3 = 3 м/с.

Вопрос № 2

Пешеход и велосипедист одновременно начали движение навстречу. Их скорости равны V1 = и V2 = , соответственно. Определите время движения до встречи, если начальное расстояние между ними L = .

Решение.

Определим скорость велосипедиста в системе отсчета пешехода V12 = V1 + V2 = 6 + 30 = 36 км/ч = 10 м/с. Итак, пешеход и велосипедист сближаются со скоростью 10 м/с, тогда их время движения до встречи t = L / V12 = 700/10 = 70 с.

Вопрос № 3

Автомобиль двигался со скоростью 15 м/св течение 5 с. Какой путь он проехал за это время?

Решение.

Автомобиль двигался равномерно, поэтому пройденный путь L = Vt = 155 = 75 м.

Вопрос № 4

Брошенный вертикально вверх мяч возвращается в исходное положение. На рисунке представлен график его скорости от времени. В какой момент времени мяч достиг максимальной высоты?

Решение.

В момент, когда мяч достиг максимальной высоты, его скорость равна нулю. По графику, представленному на рисунке определяем, что скорость мяча равна нулю в момент времени t = 2 с.

Вопрос № 5

Какие из перечисленных выше величин векторные?

(Отметьте все векторные величины)

Решение.

Из перечисленных величин векторными являются скорость, ускорение и перемещение. Путь - величина скалярная.

Вопрос № 6

Спортсмен пробежал дистанцию 400 м по дорожке стадиона и возвратился к месту старта. Определите путь L, пройденный спортсменом, и модуль его перемещения S.

Решение.

Пройденный спортсменом путь L = 400 м. Модуль перемещения S = 0, так как спортсмен вернулся в точку, из которой он начал движение.

Вопрос № 7

Скорость тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, изменилась при перемещении из точки 1 в точку 2 так, как показано на рисунке. Какое направление имеет вектор ускорения на этом участке пути?

Решение.

Из рисунка видно, что модуль скорости тела при перемещении уменьшается, значит, вектор ускорения направлен навстречу движению, то есть налево.

Вопрос № 8

По графику зависимости модуля скорости от времени определите ускорение прямолинейно движущегося тела в момент времени t = 2 с.

Решение.

По графику определим изменение скорости тела за фиксированный момент времени. Например, за первые две секунды скорость тела изменилась на 6 м/с (с V0 = 3 м/с до Vt= 9 м/с). Ускорение a = (Vt – V0) / t = 6/2 = 3 м/с2.

Вопрос № 9

При равноускоренном движении автомобиля в течение пяти секунд его скорость увеличилась от 10 до 15 м/с. Чему равен модуль ускорения автомобиля?

Решение.

Ускорение автомобиля a = (Vt – V0) / t= (15 – 10)/5 = 5/5 = 1 м/с2.

Вопрос № 10

Автомобиль стартует с места с постоянным ускорением а = 1 м/с2. Какой путь проходит автомобиль за первые десять секунд движения?

Решение.

Автомобиль движется равноускоренно без начальной скорости - пройденный путь L = at2/2 = 1102/2 = 50 м.

Вопрос № 11

Плот равномерно плывет по реке со скоростью 3 км/ч. Сплавщик движется поперек плота со скоростью 4 км/ч. Какова скорость сплавщика в системе отсчета, связанной с берегом?

Решение.

Скорость сплавщика в в системе отсчета, связанной с берегом

Вопрос № 12

Вертолет поднимается вертикально вверх c постоянной скоростью. Какова траектория движения точки на конце лопасти винта вертолета в системе отсчета, связанной с корпусом вертолета?

Решение.

Представьте себе, что вы находитесь в кабине вертолета, то есть вы неподвижны относительно корпуса вертолета. В этом случае вы можете видеть, что любая точка винта вертолета описывает окружность.

Вопрос № 13

Тело движется вдоль оси Х по закону, представленному на рисунке, где х — координата в метрах, t — время в секундах. Определите модуль ускорения тела.

Решение.

Уравнение зависимости координаты от времени при прямолинейном равноускоренном движении в общем виде имеет вид Х(t) = X0 + V0хt + aхt2/2, где X0 - начальная координата, а V0х и aх- проекции начальной скорости и ускорения на ось Х.

Приравнивая члены, в которые входит t2, получим aхt2/2 = –4,5t2. Откуда проекция ускорения aх = –9 м/с2, а модуль ускорения a= 9 м/с2.

Вопрос № 14

На рисунке представлены графики зависимости модуля скорости от времени для четырех тел. Какое из этих тел (или какие тела) прошли наибольший путь?

Решение.

На рисунке показаны графики зависимости скорости движущихся тел от времени. Как известно, пройденный телом путь представляет собой площадь, лежащую под графиком скорости. Из рисунка видно, что фигура максимальной площади лежит под графиком, для тела 4. Значит, за промежуток времени от 0 до t0 тело 4 прошло наибольший путь.

Вопрос № 15

Тело движется прямолинейно. На рисунке представлен график скорости тела от времени. На каком промежутке (каких промежутках) времени проекция ускорения отрицательна?

Решение.

Проанализируем график:

1. на промежутке времени от 0 до 1с скорость тела постоянна, поэтому ах = 0;

2. на промежутке времени от 1с до 2с скорость тела уменьшается, поэтому проекция ускорения ах < 0;

3. на промежутке времени от 2с до 3с тело покоится, поэтому ах = 0;

4. на промежутке времени от 3с до 4с скорость тела увеличивается, поэтому проекция ускорения ах > 0.

Итак, проекция ускорения отрицательна на промежутке времени от 1с до 2с.

Вопрос № 16

Двигавшийся с начальной скоростью 20 м/с автомобиль разгоняется с постоянным ускорением а = 2 м/с2 в течение 5 с. Какой путь он проехал за это время?

Решение.

Для расчета пути можно воспользоваться формулой L = V0t + at2/2 = 205 + 252/2 = .

Как найти среднюю скорость по графику

1. Мгновенная скорость

В этом параграфе мы будем рассматривать неравномерное движение. Однако при этом нам пригодится то, что мы знаем о прямолинейном равномерном движении.

На рисунке 4.1 показаны положения разгоняющегося автомобиля на прямом шоссе с интервалом времени 1 с. Стрелка указывает на зеркальце заднего вида, положение которого мы рассмотрим далее более подробно.

Мы видим, что за равные интервалы времени автомобиль проходит разные пути, то есть движется неравномерно.

Уменьшим теперь последовательные интервалы времени в 20 раз – до 0,05 с – и проследим за изменением положения автомобиля в течение половины секунды (это нетрудно сделать, например, с помощью видеосъемки).

Чтобы не загромождать рисунок 4.2, на нем изображены только два положения автомобиля с промежутком времени 0,5 с. Последовательные положения автомобиля с интервалом 0,05 с отмечены положением его зеркальца заднего вида (показано красным цветом).

Мы видим, что когда последовательные равные промежутки времени достаточно малы, то пути, проходимые автомобилем за эти промежутки времени, практически одинаковы. А это означает, что движение автомобиля в течение столь малых промежутков времени можно с хорошей точностью считать прямолинейным равномерным.

Оказывается, этим замечательным свойством обладает любое движение (даже криволинейное): если рассматривать его за достаточно малый промежуток времени Δt, оно очень похоже на прямолинейное равномерное движение! Причем чем меньше промежуток времени, тем больше это сходство.

Скорость тела за достаточно малый промежуток времени и называют его скоростью в данный момент времени t, если этот момент времени находится в промежутке Δt. А более точное ее название – мгновенная скорость.

Насколько малым должен быть промежуток времени Δt, чтобы в течение этого промежутка движение тела можно было считать прямолинейным равномерным, зависит от характера движения тела.

В случае разгона автомобиля это доли секунды. А, например, движение Земли вокруг Солнца можно с хорошей точностью считать прямолинейным и равномерным даже в течение суток, хотя Земля за это время пролетает в космосе больше двух с половиной миллионов километров!

1. По рисунку 4.2 определите мгновенную скорость автомобиля. Длину автомобиля примите равной 5 м.

Значение мгновенной скорости автомобиля показывает спидометр (рис. 4.3).

Как найти мгновенную скорость по графику зависимости координаты от времени

На рисунке 4.4 изображен график зависимости координаты от времени для автомобиля, который движется по прямолинейному шоссе.

Мы видим, что он движется неравномерно, потому что график зависимости его координаты от времени – это кривая, а не отрезок прямой.

Покажем, как определить по этому графику мгновенную скорость автомобиля в какой-либо момент времени – скажем, при t = 3 с (точка на графике).

Для этого рассмотрим движение автомобиля за столь малый промежуток времени, в течение которого его движение можно считать прямолинейным равномерным.

На рисунке 4.5 показан интересующий нас участок графика при десятикратном увеличении (см., например, шкалу времени).

Мы видим, что этот участок графика практически неотличим от отрезка прямой (красный отрезок). За последовательные равные промежутки времени по 0,1 с автомобиль проходит практически одинаковые расстояния – по 1 м.

2. Чему равна мгновенная скорость автомобиля в момент t = 3 с?

Возвращаясь к прежнему масштабу чертежа, мы увидим, что прямая красного цвета, с которой практически совпадал малый участок графика, – касательная к графику зависимости координаты от времени в данный момент времени (рис. 4.6).

Итак, о мгновенной скорости тела можно судить по угловому коэффициенту касательной к графику зависимости координаты от времени: чем больше угловой коэффициент касательной, тем больше скорость тела. (Описанный способ определения мгновенной скорости с помощью касательной к графику зависимости координаты от времени связан с понятием производной функции. Это понятие вы будете изучать в курсе «Алгебра и начала аиализа».) А в тех точках графика, где угол наклона касательной равен нулю, то есть касательная параллельна оси времени t, мгновенная скорость тела равна нулю.

3. Рассмотрите рисунок 4.6.
б) Найдите наибольшую и наименьшую мгновенную скорость автомобиля в течение первых 6 с его движения.

2. Средняя скорость

Во многих задачах используют среднюю скорость, связанную с пройденным путем:

vср = l/t. (1)

Определенная таким образом средняя скорость является скалярной величиной, так как путь – это скалярная величина. (Иногда во избежание недоразумений ее называют средней путевой скоростью.)

Например, если автомобиль в течение трех часов проехал по городу 120 км (при этом он мог разгоняться, тормозить и стоять на перекрестках), то его средняя скорость равна 40 км/ч.

4. Насколько уменьшится средняя скорость только что упомянутого автомобиля, если из-за остановок в пробках общее время движения увеличится на 1 ч?

Средняя скорость на двух участках движения

Во многих задачах рассматривается движение тела на двух участках, на каждом из которых движение можно считать равномерным. В таком случае, согласно определению средней скорости (1), можно записать:

vср = (l1 + l2)/(t1 + t2), (2)

где l1 и t1 – путь и время для первого участка, а l2 и t2 – для второго. Рассмотрим примеры.
Саша выехал из поселка на велосипеде со скоростью 15 км/ч и ехал в течение часа. А потом велосипед сломался, и Саша еще час шел пешком со скоростью 5 км/ч.

5. Найдите:
а) путь, пройденный Сашей за все время движения;
б) общее время движения Саши;
в) среднюю скорость Саши.

В рассмотренном случае средняя скорость оказалась равной среднему арифметическому скоростей, с которыми Саша ехал и шел. Всегда ли это справедливо? Рассмотрим следующий пример.
Пусть Саша ехал на велосипеде в течение часа со скоростью 15 км/ч, а потом прошел такое же расстояние пешком со скоростью 5 км/ч.

6. Найдите:
а) путь, который Саша прошел пешком;
б) путь, пройденный Сашей за все время движения;
в) общее время движения Саши;
б) среднюю скорость Саши.

Рассмотрев этот случай, вы увидите, что на этот раз средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей езды и ходьбы. А если присмотреться еще внимательнее, то можно заметить, что во втором случае средняя скорость меньше, чем в первом. Почему?

7. Сравните промежутки времени, в течение которых Саша ехал и шел пешком в первом и втором случаях.

Обобщим рассмотренные выше ситуации.

Рассмотрим сначала случай, когда тело двигалось с разными скоростями в течение равных промежутков времени.

Пусть первую половину всего времени движения тело двигалось со скоростью v1, а вторую половину – со скоростью v2. Можно ли найти среднюю скорость движения на всем участке, если не известны ни общее время движения, ни путь, пройденный телом за все время движения?

Можно: для этого введем обозначения для всех нужных нам величин независимо от того, известны они или неизвестны. Это распространенный прием при решении многих задач.

Обозначим все время движения t, весь путь l, а пути, пройденные за первую и вторую половину времени движения, обозначим соответственно) l1 и l2.

8. Выразите через v1, v2 и t:
a) l1 и l2; б) l; в) среднюю скорость.

Найдя ответы на эти вопросы, вы узнаете, справедливо ли в общем случае утверждение: если тело двигалось на двух участках с разными скоростями в течение равных промежутков времени, то его средняя скорость на всем пути равна среднему арифметическому скоростей движения на двух участках.

Рассмотрим теперь случай, когда тело двигалось с разными скоростями первую и вторую половину пути.

Пусть теперь первую половину всего пути тело двигалось со скоростью v1, а вторую половину – со скоростью v2. Обозначим снова все время движения t, весь путь l, а промежутки времени, в течение которых тело двигалось на первом и втором участке, обозначим соответственно t1 и t2.

9. Выразите через v1, v2 и l:
а) t1 и t2; б) t; в) среднюю скорость.

Ответив на эти вопросы, вы узнаете, справедливо ли в общем случае утверждение: если тело двигалось на двух участках равной длины с разными скоростями, то его средняя скорость на всем пути не равна среднему арифметическому этих скоростей.

10. Докажите, что средняя скорость тела, которое двигалось на двух участках равной длины с разными скоростями, меньше, чем если бы оно двигалось на двух участках с теми же скоростями в течение равных промежутков времени.
Подсказка. Выразите для каждого из двух случаев среднюю скорость через скорости на первом и втором участках и сравните полученные выражения.

11. На первом участке пути тело двигалось со скоростью v1, а на втором – со скоростью v2. Чему равно отношение длин этих участков, если средняя скорость движения оказалась равной среднему арифметическому v1 и v2?

Дополнительные вопросы и задания

12. Одну треть всего времени движения поезд ехал со скоростью v1, а оставшееся время – со скоростью v2.
а) Выразите пройденный поездом путь через v1, v2 и все время движения t.
б) Выразите среднюю скорость поезда через v1 и v2.
в) Найдите числовое значение средней скорости при v1 = 60 км/ч, v2 = 90 км/ч.

13. Автомобиль ехал три четверти всего пути со скоростью v1, а оставшийся участок пути – со скоростью v2.
а) Выразите все время движения автомобиля через v1, v2 и весь пройденный путь l.
б) Выразите среднюю скорость движения автомобиля через v1 и v2.
в) Найдите числовое значение средней скорости при v1 = 80 км/ч, v2 = 100 км/ч.

14. Автомобиль ехал 2 ч со скоростью 60 км/ч. Сколько времени после этого он должен ехать со скоростью 80 км/ч, чтобы его средняя скорость на всем пути стала равной 66,7 км/ч?

15. Перенесите в тетрадь (по клеточкам) график зависимости координаты автомобиля от времени, изображенный на рисунке 4.4. Считайте, что автомобиль едет вдоль оси x.
а) Определите графически среднюю скорость за 6 с.
б) Используя касательную, определите, в какие примерно моменты времени мгновенная скорость автомобиля была равна его средней скорости за 6 с.

16. Тело движется вдоль оси x. Зависимость координаты тела от времени выражается формулой x = 0,2 * t2.
а) Выберите удобный масштаб и изобразите график зависимости x(t) в течение первых 6 с.
б) С помощью этого графика найдите момент времени, в который мгновенная скорость тела была равна средней скорости за все время движения.

§ 12. Графики зависимости пути от времени.

Если траектория движения точки известна, то зависимость пути , пройденного точкой, от истекшего промежутка времени дает полное описание этого движения. Мы видели, что для равномерного движения такую зависимость можно дать в виде формулы (9.2). Связь между и для отдельных моментов времени можно задавать также в виде таблицы, содержащей соответственные значения промежутка времени и пройденного пути. Пусть нам дано, что скорость некоторого равномерного движения равна 2 м/с. Формула (9.2) имеет в этом случае вид . Составим таблицу пути и времени такого движения:

Зависимость одной величины от другой часто бывает удобно изображать не формулами или таблицами, а графиками, которые более наглядно показывают картину изменения переменных величин и могут облегчать расчеты. Построим график зависимости пройденного пути от времени для рассматриваемого движения. Для этого возьмем две взаимно перпендикулярные прямые - оси координат; одну из них (ось абсцисс) назовем осью времени, а другую (ось ординат) - осью пути. Выберем масштабы для изображения промежутков времени и пути и примем точку пересечения осей за начальный момент и за начальную точку на траектории. Нанесем на осях значения времени и пройденного пути для рассматриваемого движения (рис. 18). Для «привязки» значений пройденного пути к моментам времени проведем из соответственных точек на осях (например, точек 3 с и 6 м) перпендикуляры к осям. Точка пересечения перпендикуляров соответствует одновременно обеим величинам: пути и моменту , - этим способом и достигается «привязка». Такое же построение можно выполнить и для любых других моментов времени и соответственных путей, получая для каждой такой пары значений время - путь одну точку на графике. На рис.

Определить по графику среднюю скорость движения тела для промежутков времени

18 выполнено такое построение, заменяющее обе строки таблицы одним рядом точек. Если бы такое построение было выполнено для всех моментов времени, то вместо отдельных точек получилась бы сплошная линия (также показанная на рисунке). Эта линия и называется графиком зависимости пути от времени или, короче, графиком пути.

Рис. 18. График пути равномерного движения со скоростью 2 м/с

Рис. 19. К упражнению 12.1

В нашем случае график пути оказался прямой линией. Можно показать, что график пути равномерного движения всегда есть прямая линия; и обратно: если график зависимости пути от времени есть прямая линия, то движение равномерно.

Повторяя построение для другой скорости движения, найдем, что точки графика для большей скорости лежат выше, чем соответственные точки графика для меньшей скорости (рис. 20). Таким образом, чем больше скорость равномерного движения, тем круче прямолинейный график пути, т. е. тем больший угол он составляет с осью времени.

Рис. 20. Графики пути равномерных движений со скоростями 2 и 3 м/с

Рис. 21. График того же движения, что на рис. 18, вычерченный в другом масштабе

Наклон графика зависит, конечно, не только от числового значения скорости, но и от выбора масштабов времени и длины. Например, график, изображенный на рис. 21, дает зависимость пути от времени для того же движения, что и график рис. 18, хотя и имеет другой наклон. Отсюда ясно, что сравнивать движения по наклону графиков можно только в том случае, если они вычерчены в одном и том же масштабе.

С помощью графиков пути можно легко решать разные задачи о движении. Для примера на рис. 18 штриховыми линиями показаны построения, необходимые для того, чтобы решить следующие задачи для данного движения: а) найти путь, пройденный за время 3,5 с; б) найти время, за которое пройден путь 9 м. На рисунке графическим путем (штриховые линии) найдены ответы: а) 7 м; б) 4,5 с.

На графиках, описывающих равномерное прямолинейное движение, можно откладывать по оси ординат вместо пути координату движущейся точки. Такое описание открывает большие возможности. В частности, оно позволяет различать направление движения по отношению к оси . Кроме того, приняв начало отсчета времени за нуль, можно показать движение точки в более ранние моменты времени, которые следует считать отрицательными.

Рис. 22. Графики движений с одной и той же скоростью, но при различных начальных положениях движущейся точки

Рис. 23. Графики нескольких движений с отрицательными скоростями

Например, на рис. 22 прямая I есть график движения, происходящего с положительной скоростью 4 м/с (т. е. в направлении оси ), причем в начальный момент движущаяся точка находилась в точке с координатой м. Для сравнения на том же рисунке дан график движения, которое происходит с той же скоростью, но при котором в начальный момент движущаяся точка находится в точке с координатой (прямая II). Прямая. III соответствует случаю, когда в момент движущаяся точка находилась в точке с координатой м. Наконец, прямая IV описывает движение в случае, когда движущаяся точка имела координату в момент с.

Мы видим, что наклоны всех четырех графиков одинаковы: наклон зависит только от скорости движущейся точки, а не от ее начального положения. При изменении начального положения весь график просто переносится параллельно самому себе вдоль оси вверх или вниз на соответственное расстояние.

Графики движений, происходящих с отрицательными скоростями (т. е. в направлении, противоположном направлению оси ), показаны на рис. 23. Они представляют собой прямые, наклоненные вниз. Для таких движений координата точки с течением времени уменьшается.

12.3. График пути для точки, движущейся со скоростью , отсекает на оси ординат отрезок . Как зависит от времени расстояние от начальной точки? Напишите формулу этой зависимости.

12.4. Точка, движущаяся со скоростью , в момент находится на расстоянии от начальной.

Как зависит от времени расстояние ?

12.5. Точка, двигаясь равномерно вдоль оси , имела координаты м и м в моменты времени с и с соответственно. Найдите графически, в какой момент точка проходила через начало координат и какова была координата в начальный момент. Найдите проекцию скорости на ось .

12.6. Найдите при помощи графика пути, когда и на каком расстоянии от точки А автомашину, вышедшую из точки А, догонит вторая автомашина, вышедшая из той же точки через 20 мин после первой, если первая машина движется со скоростью 40 км/ч, а вторая - со скоростью 60 км/ч.

12.7. Найдите при помощи графика пути, где и когда встретятся автомашины, вышедшие одновременно навстречу друг другу со скоростями 40 и 60 км/ч из пунктов А и В, лежащих на расстоянии 100 км друг от друга.

Графики пути можно строить и для случаев, в которых тело движется равномерно в течение определенного промежутка времени, затем движется равномерно, но с другой скоростью в течение другого промежутка времени, затем снова меняет скорость и т. д. Например, на рис. 26 показан график движения, в котором тело двигалось в течение первого часа со скоростью 20 км/ч, в течение второго часа - со скоростью 40 км/ч и в течение третьего часа - со скоростью 15 км/ч.

Задание: 12.8. Постройте график пути для движения, в котором за последовательные часовые промежутки тело имело скорости 10, -5, 0, 2, -7 км/ч. Чему равно суммарное перемещение тела?

1. Нахождение пути по графику зависимости скорости от времени

Покажем, как можно найти пройденный телом путь с помощью графика зависимости скорости от времени.

Начнем с самого простого случая – равномерного движения. На рисунке 6.1 изображен график зависимости v(t) – скорости от времени. Он представляет собой отрезок прямой, параллельной осн времени, так как при равномерном движении скорость постоянна.

Фигура, заключенная под этим графиком, – прямоугольник (он закрашен на рисунке). Его площадь численно равна произведению скорости v на время движения t. С другой стороны, произведение vt равно пути l, пройденному телом. Итак, при равномерном движении

путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени.

Покажем теперь, что этим замечательным свойством обладает и неравномерное движение.

Пусть, например, график зависимости скорости от времени имеет вид кривой, изображенной на рисунке 6.2.

Разобьем мысленно все время движения на столь малые промежутки, чтобы в течение каждого из них движение тела можно было считать практически равномерным (это разбиение показано штриховыми линиями на рисунке 6.2).

Тогда путь, пройденный за каждый такой промежуток, численно равен площади фигуры под соответствующим ком графика. Поэтому и весь путь равен площади фигур заключенной под всем графиком. (Использованный нами прием лежит в основе интегрального исчисления, основы которого вы будете изучать в курсе «Начала математического анализа».)

2. Путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Применим теперь описанный выше способ нахождения пути к прямолинейному равноускоренному движению.

Начальная скорость тела равна нулю

Направим ось x в сторону ускорения тела. Тогда ax = a, vx = v. Следовательно,

На рисунке 6.3 изображен график зависимости v(t).

1. Используя рисунок 6.3, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости путь l выражается через модуль ускорения a и время движения t формулой

Главный вывод:

при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату времени движения.

Этим равноускоренное движение существенно отличается от равномерного.

На рисунке 6.4 приведены графики зависимости пути от времени для двух тел, одно из которых движется равномерно, а другое – равноускоренно без начальной скорости.

2. Рассмотрите рисунок 6.4 и ответьте на вопросы.
а) Каким цветом изображен график для тела, движущегося равноускоренно?
б) Чему равно ускорение этого тела?
в) Чему равны скорости тел в тот момент, когда они прошли одинаковый путь?
г) В какой момент времени скорости тел равны?

3. Тронувшись с места, автомобиль за первые 4 с проехал расстояние 20 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какое расстояние проедет автомобиль:
а) за 8 с? б) за 16 с? в) за 2 с?

Найдем теперь зависимость проекции перемещения sx от времени. В данном случае проекция ускорения на ось x положительна, поэтому sx = l, ax = a. Таким образом, из формулы (2) следует:

sx = axt2/2. (3)

Формулы (2) и (3) очень похожи, что приводит порой к ошибкам при решении простых задач. Дело в том, что значение проекции перемещения может быть отрицательным. Так будет, если ось x направлена противоположно перемещению: тогда sx < 0. А путь отрицательным быть не может!

4. На рисунке 6.5 изображены графики зависимости от времени пути и проекции перемещения для некоторого тела. Какой цвет у графика проекции перемещения?

Начальная скорость тела не равна нулю

Напомним, что в таком случае зависимость проекции скорости от времени выражается формулой

vx = v0x + axt, (4)

где v0x – проекция начальной скорости на ось x.

Мы рассмотрим далее случай, когда v0x > 0, ax > 0. В этом случае снова можно воспользоваться тем, что путь численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. (Другие комбинации знаков проекции начальной скорости и ускорения рассмотрите самостоятельно: в результате получится та же общая формула (5).

На рисунке 6.6 изображен график зависимости vx(t) при v0x > 0, ax > 0.

5. Используя рисунок 6.6, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении с начальной скоростью проекция перемещения

sx = v0x + axt2/2.

Эта формула позволяет найти зависимость координаты x тела от времени. Напомним (см. формулу (6), § 2), что координата x тела связана с проекцией его перемещения sx соотношением

где x0 - начальная координата тела. Следовательно,

x = x0 + sx, (6)

Из формул (5), (6) получаем:

x = x0 + v0xt + axt2/2. (7)

6. Зависимость координаты от времени для некоторого тела, движущегося вдоль оси x, выражается в единицах СИ формулой x = 6 – 5t + t2.
а) Чему равна начальная координата тела?
б) Чему равна проекция начальной скорости на ось x?
в) Чему равна проекция ускорения на ось x?
г) Начертите график зависимости координаты x от времени.
д) Начертите график зависимости проекции скорости от времени.
е) В какой момент скорость тела равна нулю?
ж) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент (моменты) времени?
з) Пройдет ли тело через начало координат? Если да, то в какой момент (моменты) времени?
и) Начертите график зависимости проекции перемещения от времени.
к) Начертите график зависимости пути от времени.

3. Соотношение между путем и скоростью

При решении задач часто используют соотношения между путем, ускорением и скоростью (начальной v0, конечной v или ими обеими). Выведем эти соотношения. Начнем с движения без начальной скорости. Из формулы (1) получаем для времени движения:

Подставим это выражение в формулу (2) для пути:

l = at2/2 = a/2(v/a)2 = v2/2a. (9)

Главный вывод:

при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату конечной скорости.

7. Тронувшись с места, автомобиль набрал скорость 10 м/с на пути 40 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какой путь от начала движения проехал автомобиль, когда его скорость была равна: а) 20 м/с? б) 40 м/с? в) 5 м/с?

Соотношение (9) можно получить также, вспомнив, что путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени (рис. 6.7).

Это соображение поможет вам легко справиться со следующим заданием.

8. Используя рисунок 6.8, докажите, что при торможении с постоянным ускорением тело проходит до полной остановки путь lт = v02/2a, где v0 – начальная скорость тела, a – модуль ускорения.

В случае торможения транспортного средства (автомобиль, поезд) путь, пройденный до полной остановки, называют тормозным путём. Обратите внимание: тормозной путь при начальной скорости v0 и путь, пройденный при разгоне с места до скорости v0 с тем же по модулю ускорением a, одинаковы.

9. При экстренном торможении на сухом асфальте ускорение автомобиля равно по модулю 5 м/с2. Чему равен тормозной путь автомобиля при начальной скорости: а) 60 км/ч (максимальная разрешенная скорость в городе); б) 120 км/ч? Найдите тормозной путь при указанных скоростях во время гололеда, когда модуль ускорения равен 2 м/с2. Сравните найденные вами значения тормозного пути с длиной классной комнаты.

10. Используя рисунок 6.9 и формулу, выражающую площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении:
а) l = (v2 – v02)/2a, если скорость тела увеличивается;
б) l = (v02 – v2)/2a, если скорость тела уменьшается.

11. Докажите, что проекции перемещения, начальной и конечной скорости, а также ускорения связаны соотношением

sx = (vx2 – v0x2)/2ax (10)

12. Автомобиль на пути 200 м разогнался от скорости 10 м/с до 30 м/с.
а) С каким ускорением двигался автомобиль?
б) За какое время автомобиль проехал указанный путь?
в) Чему равна средняя скорость автомобиля?

Дополнительные вопросы и задания

13. От движущегося поезда отцепляют последний вагон, после чего поезд движется равномерно, а вагон – с постоянным ускорением до полной остановки.
а) Изобразите на одном чертеже графики зависимости скорости от времени для поезда и вагона.
б) Во сколько раз путь, пройденный вагоном до остановки, меньше пути, пройденного поездом за то же время?

14. Отойдя от станции, электричка какое-то время ехала равноускоренно, затем в течение 1 мин – равномерно со скоростью 60 км/ч, после чего снова равноускоренно до остановки на следующей станции. Модули ускорений при разгоне и торможении были различны. Расстояние между станциями электричка прошла за 2 мин.
а) Начертите схематически график зависимости проекции скорости электрички от времени.
б) Используя этот график, найдите расстояние между станциями.
в) Какое расстояние проехала бы электричка, если бы на первом участке пути она разгонялась, а на втором – тормозила? Какова была бы при этом ее максимальная скорость?

15. Тело движется равноускоренно вдоль оси x. В начальный момент оно находилось в начале координат, а проекция его скорости была равна 8 м/с. Через 2 с координата тела стала равной 12 м.
а) Чему равна проекция ускорения тела?
б) Постройте график зависимости vx(t).
в) Напишите формулу, выражающую в единицах СИ зависимость x(t).
г) Будет ли скорость тела равна нулю? Если да, то в какой момент времени?
д) Побывает ли тело второй раз в точке с координатой 12 м? Если да, то в какой момент времени?
е) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент времени, и чему будет равен пройденный при этом путь?

16. После толчка шарик вкатывается вверх по наклонной плоскости, после чего возвращается в начальную точку. На расстоянии b от начальной точки шарик побывал дважды через промежутки времени t1 и t2 после толчка. Вверх и вниз вдоль наклонной плоскости шарик двигался с одинаковым по модулю ускорением.
а) Направьте ось x вверх вдоль наклонной плоскости, выберите начало координат в точке начального положения шарика и напишите формулу, выражающую зависимость x(t), в которую входят модуль начальной скорости шарика v0 и модуль ускорения шарика a.
б) Используя эту формулу и тот факт, что на расстоянии b от начальной точки шарик побывал в моменты времени t1 и t2 составьте систему двух уравнений с двумя неизвестными v0 и a.
в) Решив эту систему уравнений, выразите v0 и a через b, t1 и t2.
г) Выразите весь пройденный шариком путь l через b, t1 и t2.
д) Найдите числовые значения v0, a и l при b = 30 см, t1 = 1с, t2 = 2 с.
е) Постройте графики зависимости vx(t), sx(t), l(t).
ж) С помощью графика зависимости sx(t) определите момент, когда модуль перемещения шарика был максимальным.

1. Мгновенная скорость

Мы видим, что за равные интервалы времени автомобиль проходит разные пути, то есть движется неравномерно.

1. По рисунку 4.2 определите мгновенную скорость автомобиля. Длину автомобиля примите равной 5 м.

Значение мгновенной скорости автомобиля показывает спидометр (рис. 4.3).

Как найти мгновенную скорость по графику зависимости координаты от времени

2. Чему равна мгновенная скорость автомобиля в момент t = 3 с?

3. Рассмотрите рисунок 4.6.
а) В каких точках графика угол наклона касательной наибольший? наименьший?
б) Найдите наибольшую и наименьшую мгновенную скорость автомобиля в течение первых 6 с его движения.

2. Средняя скорость

Во многих задачах используют среднюю скорость, связанную с пройденным путем:

vср = l/t. (1)

Средняя скорость на двух участках движения

vср = (l1 + l2)/(t1 + t2), (2)

7. Сравните промежутки времени, в течение которых Саша ехал и шел пешком в первом и втором случаях.

Обобщим рассмотренные выше ситуации.

Рассмотрим сначала случай, когда тело двигалось с разными скоростями в течение равных промежутков времени.

8. Выразите через v1, v2 и t:
a) l1 и l2; б) l; в) среднюю скорость.

Рассмотрим теперь случай, когда тело двигалось с разными скоростями первую и вторую половину пути.

9. Выразите через v1, v2 и l:
а) t1 и t2; б) t; в) среднюю скорость.

Дополнительные вопросы и задания

Автомобиль ехал три четверти всего пути со скоростью v1, а оставшийся участок пути – со скоростью v2.
а) Выразите все время движения автомобиля через v1, v2 и весь пройденный путь l.
б) Выразите среднюю скорость движения автомобиля через v1 и v2.
в) Найдите числовое значение средней скорости при v1 = 80 км/ч, v2 = 100 км/ч.

Для построения этого графика на оси абсцисс откладывают время движения, а на оси ординат - скорость (проекцию скорости) тела. В равноускоренном движении скорость тела с течением времени изменяется. Если тело движется вдоль оси О х, зависимость его скорости от времени выражается формулами
v x =v 0x +a x t и v x =at (при v 0x = 0).

Из этих формул видно, что зависимость v х от t линейная, следовательно, графиком скорости является прямая линия. Если тело движется с некоторой начальной скоростью, эта прямая пересекает ось ординат в точке v 0x . Если же начальная скорость тела равна нулю, график скорости проходит через начало координат.

Графики скорости прямолинейного равноускоренного движения изображены на рис. 9. На этом рисунке графики 1 и 2 соответствуют движению с положительной проекцией ускорения на ось О х (скорость увеличивается), а график 3 соответствует движению с отрицательной проекцией ускорения (скорость уменьшается). График 2 соответствует движению без начальной скорости, а графики 1 и 3 - движению с начальной скоростью v ox . Угол наклона a графика к оси абсцисс зависит от ускорения движения тела. Как видно из рис. 10 и формулы (1.10),

tg=(v x -v 0x)/t=a x .

По графикам скорости можно определить путь, пройденный телом за промежуток времени t. Для этого определим площадь трапеции и треугольника, закрашенных на рис. 11.

В выбранном масштабе одно основание трапеции численно равно модулю проекции начальной скорости v 0x тела, а другое ее основание - модулю прокции его скорости v х в момент времени t. Высота трапеции численно равна длительности промежутка времени t. Площадь трапеции

S=(v 0x +v x)/2t.

Использовав формулу (1.11), после преобразований находим, что площадь трапеции

S=v 0x t+at 2 /2.

путь, пройденный в прямолинейном равноускоренном движении с начальной скоростью, численно равен площади трапеции, ограниченной графиком скорости, осями координат и ординатой, соответствующей значению скорости тела в момент времени t.

В выбранном масштабе высота треугольника (рис. 11,б) численно равна модулю проекции скорости v х тела в момент времени t, а основание треугольника численно равно длительности промежутка времени t. Площадь треугольника S=v x t/2.

Использовав формулу 1.12, после преобразований находим, что площадь треугольника

Правая часть последнего равенства представляет собой выражение, определяющее путь, пройденный телом. Следовательно, путь, пройденный в прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости, численно равен площади треугольника, ограниченного графиком скорости, осью абсцисс и ординатой, соответствующей скорости тела в момент времени t.