Гар урлал

Үйлдлийн аргыг ашиглан дифференциал тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Шугаман дифференциал тэгшитгэл ба тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх үйлдлийн арга Дифференциал тэгшитгэлийн системийг Лапласын аргаар шийдвэрлэх

Гурав дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн жишээн дээр дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үйлдлийн аргыг авч үзье.

Тогтмол коэффициент бүхий гурав дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олох хэрэгтэй гэж бодъё.

Эхний нөхцлүүдийг хангах:

c 0, c 1, c 2 - өгөгдсөн тоонууд.

Эхийг ялгах шинж чанарыг ашиглан бид бичнэ:

Тэгшитгэлд (6.4.1) эх хувилбараас зураг руу шилжье

Үүссэн тэгшитгэлийг нэрлэнэ операторэсвэл зураг дээрх тэгшитгэл. Y-тэй харьцангуйгаар шийднэ.

Хувьсагч дахь алгебрийн олон гишүүнтүүд Р.

Тэгш байдлыг дифференциал тэгшитгэлийн оператор шийдэл гэж нэрлэдэг (6.4.1).

Эхийг нь хайж байна y(t), олсон зурагтай харгалзах нь бид дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олж авдаг.

Жишээ: Үйлдлийн тооцооллын аргыг ашиглан өгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол.

Эх хувилбараас зураг руу шилжье

Анхны тэгшитгэлийг зурган дээр бичээд шийдье Ю

Үүссэн зургийн эхийг олохын тулд бид бутархайн хуваагчийг үржвэрлэж, үүссэн бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон бичнэ.

Коэффицентүүдийг олцгооё A, B,Тэгээд ХАМТ.

Хүснэгтийг ашиглан бид үүссэн зургийн эх хувийг бичнэ

Анхны тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл.

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд үйл ажиллагааны аргыг мөн адил ашигладаг

Үл мэдэгдэх функцууд.

Зургууд руугаа явцгаая

Бид тэгшитгэлийг илэрхийлэх системийг олж авдаг

Бид системийг Крамерын аргыг ашиглан шийддэг. Бид тодорхойлогчдыг олдог:

Дүрслэх системийн шийдлийг олох X(p), Y(p) , Z(p).

Бид системийн шаардлагатай шийдлийг олж авсан

Үйлдлийн тооцоог ашиглан хувьсах коэффициент ба хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг олох боломжтой; интегралыг тооцоолох. Үүний зэрэгцээ асуудлыг шийдвэрлэх нь ихээхэн хялбаршуулсан байдаг. Математик физикийн тэгшитгэлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Өөрийгөө хянах асуултууд.

1. Аль функцийг эх гэж нэрлэдэг вэ?

2. Ямар функцийг эхийн дүрс гэж нэрлэдэг вэ?

3. Хүнд талын функц ба түүний дүрс.

4. Зургийн тодорхойлолтыг ашиглан эх хувилбарын функцүүдийн зургийг авна уу: f(t) =t , .

5. Лапласын хувиргалтуудын шинж чанарыг ашиглан функцүүдийн зургийг авна.

6. Зургийн хүснэгтийг ашиглан эхийн үүргийг ол: ;

7. Үйлдлийн тооцооллын аргыг ашиглан шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол.

Уран зохиол: 411-439-р тал, 572-594-р тал.

Жишээ нь: хуудас 305-316.

Уран зохиол

1. Данко П.Э. Дасгал, бодлого дахь дээд математик. 2 хэсэгтэй. I хэсэг: Сурах бичиг. коллежид зориулсан гарын авлага/P.E. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова - М.: Дээд. сургууль, 1997.– 304 х.

2. Данко П.Э. Дасгал, бодлого дахь дээд математик. 2 хэсэгтэй II хэсэг: Сурах бичиг. коллежид зориулсан гарын авлага./ P.E. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова - М.: Дээд. сургууль, 1997.– 416 х.

3. Каплан И.А. Дээд математикийн практик хичээлүүд. 4-р хэсэг./ I.A. Каплан - Харьковын улсын их сургуулийн хэвлэлийн газар, 1966, 236 х.

4. Пискунов Н.С. Дифференциал ба интеграл тооцоо. 2 боть, 1-р боть: сурах бичиг. коллежид зориулсан гарын авлага./ N.S. Пискунов - М.: ред. “Шинжлэх ухаан”, 1972. – 456 х.

5. Пискунов Н.С. Коллежийн дифференциал ба интеграл тооцоолол. 2 боть, 2-р боть: сурах бичиг. Коллежид зориулсан гарын авлага../ N.S. Пискунов - М.: Ред. “Шинжлэх ухаан”, 1972. – 456 х.

6. Бичсэн: Д.Т. Дээд математикийн лекцийн тэмдэглэл: бүрэн курс.–4-р хэвлэл./ Д.Т. Бичсэн – М.: Iris-press, 2006.–608 х. - (Өндөр боловсрол).

7. Слободская В.А. Дээд математикийн богино курс. Эд. 2-т, дахин боловсруулсан болон нэмэлт Сурах бичиг коллежид зориулсан гарын авлага/V.A. Слободская - М.: Дээд. сургууль, 1969.– 544 х.

Лекцийн тэмдэглэл Дээд математик

6.070104 "Далайн ба голын тээвэр" чиглэлийн оюутнуудад

"Усан онгоцны цахилгаан станцын ашиглалт" мэргэжил

өдрийн болон хагас цагийн сургалт 2-р курс

Эргэлт______ хувь Хэвлэлд гарын үсэг зурсан ______________

Захиалгын дугаар __________. Эзлэхүүн__2.78__p.l.

"Керчийн Улсын Далайн Технологийн Их Сургууль" хэвлэлийн газар

98309 Керчь, Орджоникидзе, 82

Гадаа бүгчим цаг болж, улиасны хөвсгөр нисч, энэ цаг агаар амрах таатай байна. Хичээлийн жилийн туршид хүн бүр ядаргаа хуримтлагдсан боловч зуны амралт/амралтын өдрүүдийг хүлээж байгаа нь шалгалт, шалгалтыг амжилттай давахад урам зориг өгөх ёстой. Дашрамд хэлэхэд багш нар ч улирлын цагаар уйтгартай байдаг тул удахгүй би ч бас тархиа тайлах цаг гаргана. Одоо кофе, системийн нэгжийн хэмнэлтэй шуугиан, цонхны тавцан дээрх хэдэн үхсэн шумуул, бүрэн ажиллаж байгаа байдал ... ... өө, хараал ид ... новшийн яруу найрагч.

Цэг хүртэл. Хэнд хамаатай юм бэ, гэхдээ өнөөдөр миний хувьд 6-р сарын 1, бид нарийн төвөгтэй шинжилгээний өөр нэг ердийн асуудлыг авч үзэх болно. үйл ажиллагааны тооцооллын аргыг ашиглан дифференциал тэгшитгэлийн системийн тодорхой шийдлийг олох. Үүнийг хэрхэн шийдэж сурахын тулд та юу мэдэж, чадах ёстой вэ? Юуны өмнө, маш их зөвлөж байнахичээлээс үзнэ үү. Оршил хэсгийг уншиж, сэдвийн ерөнхий тайлбар, нэр томъёо, тэмдэглэгээ, дор хаяж хоёр, гурван жишээг ойлгоно уу. Баримт нь диффузор системтэй бол бүх зүйл бараг ижил, бүр илүү хялбар байх болно!

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь юу болохыг та ойлгох ёстой дифференциал тэгшитгэлийн систем, энэ нь системийн ерөнхий шийдэл, системийн тодорхой шийдлийг олох гэсэн үг юм.

Дифференциал тэгшитгэлийн системийг "уламжлалт" аргаар шийдэж болохыг танд сануулъя. арилгах замаарэсвэл шинж чанарын тэгшитгэлийг ашиглан. Даалгаврыг дараах байдлаар томъёолсон тохиолдолд үйл ажиллагааны тооцооллын аргыг алсын удирдлагын системд хэрэглэнэ.

Дифференциал тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн тодорхой шийдийг ол , эхний нөхцөлтэй тохирч байна .

Өөрөөр хэлбэл, систем нь нэг төрлийн бус байж болно - функц хэлбэрээр "нэмэлт жин" -тэй, баруун талд:

Гэхдээ энэ хоёр тохиолдолд та нөхцөл байдлын хоёр үндсэн зүйлд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.

1) Энэ тухай зөвхөн хувийн шийдлийн тухай.
2) Анхны нөхцлийн хаалтанд байна хатуу тэг, өөр юу ч биш.

Ерөнхий курс, алгоритм нь маш төстэй байх болно үйл ажиллагааны аргыг ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Лавлах материалаас танд ижил зүйл хэрэгтэй болно эх болон зургийн хүснэгт.

Жишээ 1

, ,

Шийдэл:Эхлэл нь өчүүхэн юм: ашиглах Лаплас хувиргах хүснэгтүүдЭх хувилбараас харгалзах зургууд руу шилжье. Алсын удирдлагын системтэй холбоотой асуудалд энэ шилжилт нь ихэвчлэн энгийн байдаг:

Эхний нөхцөлийг харгалзан хүснэгтийн томьёо №1, 2-ыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

"Тоглоом" -той юу хийх вэ? Хүснэгт дээрх "X"-ийг "Би" болгож өөрчил. Эхний нөхцөлийг харгалзан №1, 2-ын ижил хувиргалтыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

Олдсон зургуудыг анхны тэгшитгэлд орлуулъя :

Одоо зүүн хэсгүүдэдтэгшитгэлүүдийг цуглуулах шаардлагатай Бүгдбайгаа эсвэл байгаа нөхцөл. Баруун хэсгүүдэдтэгшитгэлийг "албан ёсны болгох" хэрэгтэй бусаднөхцөл:

Дараа нь тэгшитгэл бүрийн зүүн талд бид хаалт хийдэг.

Энэ тохиолдолд эхний байрлалд дараахь зүйлийг, хоёр дахь байрлалд байрлуулна.

Үр дүнд нь хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системийг ихэвчлэн шийддэг Крамерын томъёоны дагуу. Системийн гол тодорхойлогчийг тооцоолъё.

Тодорхойлогчийг тооцоолсны үр дүнд олон гишүүнтийг олж авав.

Чухал техник!Энэ олон гишүүнт нь илүү дээр юм Нэг дорүүнийг хүчин зүйлээр тооцохыг хичээ. Эдгээр зорилгын үүднээс квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийг хичээх хэрэгтэй , гэхдээ хоёр дахь жилдээ бэлтгэгдсэн нүдтэй олон уншигч үүнийг анзаарах болно .

Тиймээс бидний системийн гол тодорхойлогч нь:

Системийг цаашид задлах нь Крамерт баярлалаа, стандарт юм:

Үүний үр дүнд бид авдаг системийн операторын шийдэл:

Энэ даалгаврын давуу тал нь бутархай нь ихэвчлэн энгийн байдаг бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх нь асуудалд бутархайтай харьцуулахад хамаагүй хялбар байдаг. үйл ажиллагааны аргыг ашиглан DE-ийн тодорхой шийдлийг олох. Таны урьдчилан таамаглал таныг хуурсангүй - сайн хөгшин тодорхойгүй коэффициентийн арга, үүний тусламжтайгаар бид бутархай бүрийг энгийн бутархай болгон задалдаг.

1) Эхний бутархайг авч үзье:

Тиймээс:

2) Бид хоёр дахь бутархайг ижил төстэй схемийн дагуу задалдаг боловч бусад тогтмол (тодорхойгүй коэффициент) ашиглах нь илүү зөв юм.

Тиймээс:

Би дамми нарт задарсан операторын шийдлийг дараах хэлбэрээр бичихийг зөвлөж байна.
- энэ нь эцсийн шатыг илүү тодорхой болгох болно - урвуу Лаплас хувиргалт.

Хүснэгтийн баруун баганыг ашиглан зургуудаас харгалзах эх хувь руу шилжье.

Математикийн сайн дүрмийн дагуу бид үр дүнг бага зэрэг цэгцлэх болно.

Хариулт:

Хариултыг хичээл дээр нарийвчлан авч үзсэн стандарт схемийн дагуу шалгана. Дифференциал тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?Даалгаварт том нэмүү нэмэхийн тулд үүнийг үргэлж дуусгахыг хичээ.

Жишээ 2

Үйлдлийн тооцоог ашиглан өгөгдсөн анхны нөхцөлд тохирох дифференциал тэгшитгэлийн системийн тодорхой шийдийг ол.
, ,

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Асуудлын эцсийн хэлбэр, хичээлийн төгсгөлд хариултын ойролцоо жишээ.

Дифференциал тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийг шийдвэрлэх нь алгоритмын хувьд ялгаатай биш бөгөөд техникийн хувьд энэ нь арай илүү төвөгтэй байх болно.

Жишээ 3

Шийдэл:Анхны нөхцөлийг харгалзан Лапласын хувиргах хүснэгтийг ашиглана , эх хувилбараас харгалзах зургууд руу шилжье:

Гэхдээ энэ нь бүгд биш, тэгшитгэлийн баруун гар талд ганцаардсан тогтмолууд байдаг. Тогтмол нь дангаараа бүрэн ганцаараа байгаа тохиолдолд яах вэ? Энэ талаар аль хэдийн анги дээр ярилцсан. Үйл ажиллагааны аргыг ашиглан DE-ийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ. Дахин хэлье: нэг тогтмолыг оюун ухаанаар нэгээр үржүүлж, дараах Лапласын хувиргалтыг нэгжүүдэд хэрэглэнэ.

Олдсон зургуудыг анхны систем рүү орлуулъя:

-ийг агуулсан нэр томьёог зүүн тийш шилжүүлж, үлдсэн нөхцлүүдийг баруун талд байрлуулцгаая.

Зүүн талд бид хаалт хийх бөгөөд үүнээс гадна хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талыг нийтлэг хуваагч руу авчрах болно.

Үр дүнг нэн даруй хүчин зүйлээр тооцохыг зөвлөж байна гэдгийг мартаж болохгүй, системийн гол тодорхойлогчийг тооцоолъё.
, энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Үргэлжлүүлье:

Тиймээс системийн операторын шийдэл нь:

Заримдаа нэг эсвэл бүр хоёр бутархайг багасгаж болох бөгөөд заримдаа маш амжилттай байдаг тул та юу ч өргөжүүлэх шаардлагагүй болно! Мөн зарим тохиолдолд та тэр даруй үнэгүй авах боломжтой, дашрамд хэлэхэд, дараах хичээлийн жишээ нь заагч жишээ байх болно.

Тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан бид энгийн бутархайн нийлбэрийг олж авдаг.

Эхний бутархайг задалъя:

Мөн бид хоёр дахь нь:

Үүний үр дүнд операторын шийдэл нь бидэнд хэрэгтэй хэлбэрийг авдаг.

Баруун баганыг ашиглах эх болон зургийн хүснэгтүүдБид урвуу Лаплас хувиргалтыг хийдэг.

Үүссэн зургуудыг системийн операторын шийдэлд орлуулъя.

Хариулт:хувийн шийдэл:

Таны харж байгаагаар гетероген системд нэгэн төрлийн системтэй харьцуулахад илүү их хөдөлмөр шаардсан тооцоолол хийх шаардлагатай байдаг. Синус ба косинустай хэд хэдэн жишээг авч үзье, энэ нь хангалттай, учир нь бараг бүх төрлийн асуудал, шийдлийн ихэнх нюансуудыг авч үзэх болно.

Жишээ 4

Үйлдлийн тооцооллын аргыг ашиглан өгөгдсөн анхны нөхцөл бүхий дифференциал тэгшитгэлийн системийн тодорхой шийдийг олох,

Шийдэл:Би өөрөө энэ жишээнд дүн шинжилгээ хийх болно, гэхдээ сэтгэгдэл нь зөвхөн онцгой мөчүүдэд хамаарна. Та шийдлийн алгоритмыг аль хэдийн сайн мэддэг болсон гэж би бодож байна.

Эх хувилбараас харгалзах зургууд руу шилжье:

Олдсон зургуудыг анхны алсын удирдлагын системд орлуулж үзье.

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийдье.
, энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Үр дүнд нь олон гишүүнт хүчин зүйл ангилах боломжгүй. Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Юу ч биш. Энэ ч бас хийх болно.

Үүний үр дүнд системийн операторын шийдэл нь:

Энд азын тасалбар байна! Тодорхойгүй коэффициентийн аргыг огт хэрэглэх шаардлагагүй! Цорын ганц зүйл бол хүснэгтийн хувиргалтыг хэрэгжүүлэхийн тулд бид шийдлийг дараах хэлбэрээр дахин бичнэ.

Зургуудаас харгалзах эх хувь руу шилжье:

Үүссэн зургуудыг системийн операторын шийдэлд орлуулъя.

Хүнд талын тэлэлтийн томъёо

Функцийн дүрсийг бутархай рационал функц гэж үзье.

Теорем. Let, where and are дифференциалагдах функцууд. Функцийн туйлуудыг хоёуланг нь танилцуулъя, өөрөөр хэлбэл. түүний хуваагчийн үндэс (тэг). Хэрэв бид Heaviside томьёог олж авбал:

Бид градусын олон гишүүнт болон байх тохиолдлын нотолгоог гүйцэтгэдэг ТТэгээд Пүүний дагуу, while Т П. Дараа нь энэ нь зөв рационал бутархай болно. Үүнийг энгийн бутархайн нийлбэр хэлбэрээр үзүүлье.

Эндээс бид ижил төстэй байдлын коэффициентийг (17.2) олж, үүнийг хэлбэрээр дахин бичнэ

Сүүлийн тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлээд хязгаарт очъё. Үүнийг харгалзан үзээд бид олж авдаг

үүнээс үүдэлтэй (17.1). Теорем нь батлагдсан.

Тайлбар 1.Хэрэв олон гишүүнтийн коэффициентүүд бодит бол олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурууд хос хосолно. Иймээс (17.1) томъёонд нийлмэл коньюгат хэмжигдэхүүнүүд нь олон гишүүнтийн нийлмэл коньюгат язгуурт харгалзах нэр томьёо байх ба Heaviside томьёо нь хэлбэрийг авна.

Энд эхний нийлбэр нь олон гишүүнтийн бүх бодит язгуурт, хоёр дахь нь эерэг төсөөллийн хэсгүүдтэй түүний бүх нийлмэл язгуурт хүрнэ.

Тайлбар 2.Томъёоны (17.1) гишүүн бүр нь нийлмэл хэлбэрээр бичигдсэн хэлбэлзлийг илэрхийлдэг бөгөөд энд. Тиймээс бодит үндэс () нь периодик хэлбэлзэлтэй, сөрөг бодит хэсэгтэй цогц үндэс нь чийгшүүлсэн хэлбэлзэлтэй, цэвэр төсөөлөлтэй үндэс нь унтрахгүй гармоник хэлбэлзэлтэй тохирч байна.

Хэрэв хуваагч нь эерэг бодит хэсгүүдтэй үндэсгүй бол хангалттай том утгын хувьд бид тогтвортой төлөвийг олж авна.

Эерэг төсөөллийн хэсгүүдтэй олон гишүүнтийн цэвэр төсөөллийн үндэс.

Сөрөг бодит хэсгүүдтэй үндэст тохирох хэлбэлзэл нь экспоненциалаар мууддаг тул тогтвортой байдалд ордоггүй.

Жишээ 1.Жинхэнэ зургийг олоорой

Шийдэл. Бидэнд байгаа. Олон гишүүнтийн язгуурыг бичье: .

Томъёоны дагуу (17.1)

Энд тоонууд нь тэгшитгэлийн үндэс болдог. Тиймээс,

Жишээ 2.Жинхэнэ зургийг олоорой

Хаана А 0; .

Шийдэл. Энд функц нь тодорхой язгуураас гадна хязгааргүй олон язгууртай бөгөөд энэ нь функцийн тэг юм. Тэгшитгэлийг шийдэж, бид хаана байна

Ийнхүү хуваагчийн үндэс нь ба, хаана гэсэн хэлбэртэй байна

(17.3) томъёог ашиглан бид эхийг олно

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх операторын арга

Дифференциал тэгшитгэл.Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн Коши бодлогыг авч үзье

(энд) анхны нөхцөлтэй

(18.1) дэх зургууд руу шилжихэд Лапласын хувиргалт шугаман байдлаас шалтгаалан бид байх болно

§ 16-ын 3-р теорем ба анхны нөхцөл (18.2) -ийг ашиглан бид деривативын дүрсийг хэлбэрээр бичнэ.

(18.4)-ийг (18.3) орлуулснаар энгийн хувиргалтуудын дараа бид операторын тэгшитгэлийг олж авна.

хаана (шинж чанар олон гишүүнт); .

(18.5) тэгшитгэлээс бид операторын шийдийг олно

Кошигийн асуудлын шийдэл (18.1), (18.2) нь анхны операторын шийдэл юм (18.6):

Кошигийн асуудлын хувьд бид хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээнд бичиж болно

Операторын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Операторын шийдлийг энгийн бутархай болгон задалцгаая.

§ 15-д олж авсан томъёог ашиглан бид эх хувийг олж авна.

Тиймээс Кошигийн асуудлын шийдэл нь хэлбэртэй байх болно

Жишээ 1.Анхны нөхцөлтэй дифференциал тэгшитгэлийн Коши бодлогыг шийд, хаана.

Шийдэл.

Үүний шийдэл нь хэлбэртэй байна

§ 16-ын 2-р теоремыг ашигласнаар бид тогтмол олдог:

Жишээ 2.Алхам импульсийн функц нь тэг анхны нөхцөлтэй дифференциал тэгшитгэлийн Кошигийн бодлогыг шийд.

Шийдэл. Операторын тэгшитгэлийг бичье

болон түүний шийдвэр

§ 16-ын 2-р теоремоос энэ нь дараах байдалтай байна

удаашруулах теоремын дагуу (§ 15)

Эцэст нь,

Жишээ 3.Нэг цэгийн масс Т, хөшүүн чанараар хавар хавсаргасан -таймөн гөлгөр хэвтээ хавтгайд байрладаг бөгөөд үе үе өөрчлөгддөг хүч үйлчилдэг. Хэсэг хугацааны дараа цэг нь импульс бүхий цохилтонд өртөв. Эсэргүүцлийг үл тоомсорлож, тухайн цэг нь координатын эхэнд цаг хугацааны эхний мөчид амарч байсан бол түүний хөдөлгөөний хуулийг ол.

Шийдэл. Бид хөдөлгөөний тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ

уян хатан хүч хаана байна; - Дирак функц. Операторын тэгшитгэлийг шийдье

Хэрэв (резонанс үүсэх тохиолдол) бол

Сааталын теоремоор

Эцэст нь,

Дюхамелийн интеграл (томьёо). Анхны нөхцөлд (18.1) тэгшитгэлийн Коши бодлогыг авч үзье. Энэ тохиолдолд операторын шийдэл нь хэлбэртэй байна

Жингийн функцийг анхных гэж үзье. дараа нь § 16-ын 1-р теоремоор бид олж авна

(18.7) хамаарлыг Дюхамелийн интеграл (томьёо) гэж нэрлэдэг.

Сэтгэгдэл.Тэг биш анхны нөхцлийн хувьд Духамелийн томъёог шууд хэрэглэх боломжгүй. Энэ тохиолдолд эхлээд анхны бодлогыг нэгэн төрлийн (тэг) нөхцөлтэй бодлого болгон хувиргах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид шинэ функцийг нэвтрүүлж байна

Хүссэн шийдлийн анхны утгууд хаана байна.

Үүнийг харахад хичнээн амархан, тиймээс .

Иймд функц нь (18.1) тэгшитгэлийн (18.1) баруун талтай (18.8)-ыг (18.1) орлуулснаар олж авсан анхны өгөгдлүүдийг тэглэх шийдэл юм.

(18.7)-г ашиглан бид ба.

Жишээ 4.Дюхамелийн интегралыг ашиглан Кошигийн асуудлын шийдлийг ол

анхны нөхцөлтэй.

Шийдэл. Эхний өгөгдөл нь тэг биш байна. (18.8)-ын дагуу бид таамаглаж байна. Дараа нь тодорхойлолтын хувьд бид нэгэн төрлийн анхны нөхцөл бүхий тэгшитгэлийг олж авна.

Харж байгаа асуудлын хувьд шинж чанарын олон гишүүнт, жингийн функц. Дюхамелийн томъёоны дагуу

Эцэст нь,

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системүүд.Матрицын тэмдэглэгээнд шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системд зориулсан Коши бодлого нь хэлбэртэй байна

шаардлагатай функцүүдийн вектор хаана байна; - баруун талын вектор; - коэффициент матриц; - анхны өгөгдлийн вектор.

Дифференциал тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн тодорхой шийдийг ол , эхний нөхцөлтэй тохирч байна .

Өөрөөр хэлбэл, систем нь нэг төрлийн бус байж болно - функц хэлбэрээр "нэмэлт жин" -тэй, баруун талд:

Гэхдээ энэ хоёр тохиолдолд та нөхцөл байдлын хоёр үндсэн зүйлд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.

1) Энэ тухай зөвхөн хувийн шийдлийн тухай.
2) Анхны нөхцлийн хаалтанд байна хатуу тэг, өөр юу ч биш.

Жишээ 1

, ,

Эхний нөхцөлийг харгалзан хүснэгтийн томьёо №1, 2-ыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Олдсон зургуудыг анхны тэгшитгэлд орлуулъя :

Тодорхойлогчийг тооцоолсны үр дүнд олон гишүүнтийг олж авав.

Тиймээс бидний системийн гол тодорхойлогч нь:

Системийг цаашид задлах нь Крамерт баярлалаа, стандарт юм:

Үүний үр дүнд бид авдаг системийн операторын шийдэл:

1) Эхний бутархайг авч үзье:

Тиймээс:

Хүснэгтийн баруун баганыг ашиглан зургуудаас харгалзах эх хувь руу шилжье.

Математикийн сайн дүрмийн дагуу бид үр дүнг бага зэрэг цэгцлэх болно.

Хариулт:

Жишээ 2

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Асуудлын эцсийн хэлбэр, хичээлийн төгсгөлд хариултын ойролцоо жишээ.

Жишээ 3

Олдсон зургуудыг анхны систем рүү орлуулъя:

-ийг агуулсан нэр томьёог зүүн тийш шилжүүлж, үлдсэн нөхцлүүдийг баруун талд байрлуулцгаая.

Үргэлжлүүлье:

Тиймээс системийн операторын шийдэл нь:

Тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан бид энгийн бутархайн нийлбэрийг олж авдаг.

Эхний бутархайг задалъя:

Мөн бид хоёр дахь нь:

Үүний үр дүнд операторын шийдэл нь бидэнд хэрэгтэй хэлбэрийг авдаг.

Баруун баганыг ашиглах эх болон зургийн хүснэгтүүдБид урвуу Лаплас хувиргалтыг хийдэг.

Үүссэн зургуудыг системийн операторын шийдэлд орлуулъя.

Хариулт:хувийн шийдэл:

Жишээ 4

Эх хувилбараас харгалзах зургууд руу шилжье:

Олдсон зургуудыг анхны алсын удирдлагын системд орлуулж үзье.

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийдье.
, энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Үр дүнд нь олон гишүүнт хүчин зүйл ангилах боломжгүй. Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Юу ч биш. Энэ ч бас хийх болно.

Үүний үр дүнд системийн операторын шийдэл нь:

Зургуудаас харгалзах эх хувь руу шилжье:

Үүссэн зургуудыг системийн операторын шийдэлд орлуулъя.

Дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ
үйл ажиллагааны тооцооллын арга?

Энэ хичээлд нарийн төвөгтэй дүн шинжилгээ хийх ердийн бөгөөд өргөн тархсан ажлыг нарийвчлан авч үзэх болно. Үйл ажиллагааны тооцооллын аргыг ашиглан тогтмол коэффициент бүхий 2-р эрэмбийн DE-ийн тодорхой шийдлийг олох. Материал нь төсөөлшгүй нарийн төвөгтэй, хүртээмжгүй гэсэн урьдчилсан төсөөллөөс үе үе ангижрах болно. Энэ нь инээдтэй, гэхдээ жишээнүүдийг эзэмшихийн тулд та ялгах, нэгтгэх чадваргүй, тэр ч байтугай юу болохыг мэдэхгүй байж магадгүй юм. нийлмэл тоо. Хэрэглээний ур чадвар шаардлагатай тодорхойгүй коэффициентийн арга, үүнийг нийтлэлд нарийвчлан авч үзсэн болно Бутархай-рационал функцүүдийн интеграцчлал. Үнэн хэрэгтээ даалгаврын тулгын чулуу нь энгийн алгебрийн үйлдлүүд бөгөөд энэ материалыг ахлах ангийн сурагчид ч хүртээмжтэй гэдэгт би итгэлтэй байна.

Нэгдүгээрт, авч үзэж буй математик шинжилгээний хэсгийн тухай товч онолын мэдээлэл. Гол санаа үйл ажиллагааны тооцоодараах байдалтай байна: функц хүчинтэйхэмжигдэхүүнийг ашиглан хувьсагч Лапласын хувиргалт-д харуулав функц цогцхувьсагч :

Нэр томьёо ба тэмдэглэгээ:
функцийг дууддаг эх;
функцийг дууддаг зураг;
том үсэг илэрхийлнэ Лапласын хувиргалт.

Энгийнээр хэлбэл, тодорхой дүрмийн дагуу бодит функцийг (эх) цогц функц (зураг) болгон хувиргах ёстой. Сум нь яг энэ өөрчлөлтийг харуулж байна. Мөн "тодорхой дүрэм" нь өөрөө юм Лапласын хувиргалт, бид үүнийг зөвхөн албан ёсоор авч үзэх бөгөөд энэ нь асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай байх болно.

Зургийг эх болгон хувиргах үед урвуу Лаплас хувиргалтыг хийх боломжтой.

Энэ бүхэн яагаад хэрэгтэй вэ? Математикийн өндөр түвшний хэд хэдэн асуудлын хувьд эх хувилбараас зураг руу шилжих нь маш ашигтай байж болох юм, учир нь энэ тохиолдолд асуудлыг шийдвэрлэх нь ихээхэн хялбаршуулсан байдаг (зүгээр л тоглож байна). Мөн бид эдгээр асуудлын зөвхөн нэгийг авч үзэх болно. Хэрэв та үйл ажиллагааны тооцоог харах хүртэл амьдарсан бол томъёолол нь танд маш сайн танил байх ёстой.

Өгөгдсөн анхны нөхцлийн хувьд тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол.

Жич: Заримдаа дифференциал тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байж болно: , үүний хувьд дээрх томъёололд үйл ажиллагааны тооцооллын аргыг мөн хэрэглэнэ. Гэсэн хэдий ч практик жишээн дээр 2-р эрэмбийн нэгэн төрлийн DEЭнэ нь маш ховор бөгөөд цаашид бид нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн талаар ярих болно.

Одоо гурав дахь аргыг авч үзэх болно - үйл ажиллагааны тооцооллыг ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Үүнийг би дахин нэг удаа онцолж байна Бид тодорхой шийдэл олох талаар ярьж байна, Түүнээс гадна, анхны нөхцөл нь хатуу хэлбэртэй байна("X" нь тэгтэй тэнцүү).

Дашрамд хэлэхэд "X"-ийн тухай. Тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
, энд “x” нь бие даасан хувьсагч, “y” нь функц юм. Хэлэлцэж буй асуудалд бусад үсгүүдийг ихэвчлэн ашигладаг тул би энэ тухай ярьж байгаа нь санамсаргүй хэрэг биш юм.

Өөрөөр хэлбэл, бие даасан хувьсагчийн үүргийг "te" хувьсагч ("x"-ийн оронд), функцийн үүргийг "x" ("y"-ийн оронд) хувьсагч гүйцэтгэдэг.

Энэ нь мэдээжийн хэрэг эвгүй гэдгийг би ойлгож байна, гэхдээ ихэнх асуудлын ном, сургалтын гарын авлагад байдаг тэмдэглэгээг баримтлах нь дээр.

Тиймээс, бусад үсэгтэй холбоотой бидний асуудал дараах байдлаар бичигдсэн болно.

Даалгаврын утга нь огт өөрчлөгдөөгүй, зөвхөн үсэг нь өөрчлөгдсөн.

Үйл ажиллагааны тооцооллын аргыг ашиглан энэ асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ?

Юуны өмнө танд хэрэгтэй болно эх болон зургийн хүснэгт. Энэ бол шийдвэрлэх гол хэрэгсэл бөгөөд та үүнгүйгээр хийж чадахгүй. Тиймээс, боломжтой бол өгсөн лавлах материалыг хэвлэхийг хичээгээрэй. Би "pe" үсэг ямар утгатай болохыг нэн даруй тайлбарлая: цогц хувьсагч (ердийн "z"-ийн оронд). Хэдийгээр энэ баримт нь асуудлыг шийдвэрлэхэд тийм ч чухал биш боловч "pe" нь "pe" юм.

Хүснэгтийг ашиглан эх хувийг зарим зураг болгон хувиргах шаардлагатай. Дараах нь ердийн үйлдлүүдийн цуврал бөгөөд урвуу Лаплас хувиргалтыг ашигладаг (мөн хүснэгтэд). Тиймээс хүссэн тодорхой шийдэл олдох болно.

Сайхан бүх асуудлыг нэлээд хатуу алгоритмын дагуу шийддэг.

Жишээ 1

, ,

Шийдэл:Эхний алхамд бид эх хувилбараас харгалзах зургууд руу шилжих болно. Бид зүүн талыг ашигладаг.

Эхлээд анхны тэгшитгэлийн зүүн талыг харцгаая. Лапласын өөрчлөлтийн хувьд бидэнд байна шугаман байдлын дүрэм, тиймээс бид бүх тогтмолуудыг үл тоомсорлож, функц болон түүний уламжлалтай тус тусад нь ажилладаг.

Хүснэгтийн №1 томъёог ашиглан бид функцийг хувиргана.

2-р томьёоны дагуу , анхны нөхцөлийг харгалзан бид деривативыг хувиргадаг.

№3 томьёог ашиглан эхний нөхцлийг харгалзан бид хоёр дахь деривативыг хувиргана.

Шинж тэмдгүүдэд бүү андуур!

"Томъёо" гэхээсээ илүү "хувиргалт" гэж хэлэх нь илүү зөв гэдгийг би хүлээн зөвшөөрч байна, гэхдээ энгийн байх үүднээс би хүснэгтийн агуулгыг үе үе томъёо гэж нэрлэх болно.

Одоо олон гишүүнтийг агуулсан баруун талыг харцгаая. Үүнтэй ижил шалтгаанаар шугаман байдлын дүрэмЛапласыг хувиргаснаар бид нэр томъёо бүртэй тус тусад нь ажилладаг.

Эхний гишүүнийг харцгаая: - энэ нь "te" бие даасан хувьсагчийг тогтмолоор үржүүлсэн тоо юм. Бид тогтмолыг үл тоомсорлож, хүснэгтийн 4-р цэгийг ашиглан хувиргалтыг хийнэ.

Хоёр дахь гишүүнийг авч үзье: –5. Тогтмол дангаараа олдвол түүнийг алгасах боломжгүй. Нэг тогтмол тоогоор тэд үүнийг хийдэг: тодорхой болгохын тулд үүнийг бүтээгдэхүүн болгон төлөөлж болно: , мөн хувиргалтыг нэгдмэл байдалд хэрэглэж болно:

Тиймээс дифференциал тэгшитгэлийн бүх элементүүдийн (эх хувь) хүснэгтийг ашиглан харгалзах зургуудыг олов.

Олдсон зургуудыг анхны тэгшитгэлд орлъё.

Дараагийн даалгавар бол илэрхийлэх явдал юм операторын шийдэлбусад бүх зүйлээр, тухайлбал нэг бутархайгаар дамжуулан. Энэ тохиолдолд дараахь журмыг дагаж мөрдөхийг зөвлөж байна.

Эхлээд зүүн талын хаалтуудыг нээнэ үү:

Бид ижил төстэй нэр томъёог зүүн талд (хэрэв байгаа бол) танилцуулж байна. Энэ тохиолдолд бид -2 ба -3 тоог нэмнэ. Цайны савнууд энэ алхамыг алгасахгүй байхыг би хатуу зөвлөж байна.

Зүүн талд бид агуулсан нэр томъёог үлдээж, үлдсэн нэр томъёог тэмдгийн өөрчлөлтөөр баруун тийш шилжүүлнэ.

Зүүн талд бид операторын шийдлийг хаалтнаас гаргаж, баруун талд нь илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулна.

Зүүн талд байгаа олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр ялгах хэрэгтэй (боломжтой бол). Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх:

Тиймээс:

Бид баруун талын хуваагч руу дахин тохируулна:

Зорилгодоо хүрсэн - операторын шийдлийг нэг бутархайгаар илэрхийлнэ.

Хоёрдугаар үйлдэл. Ашиглаж байна тодорхойгүй коэффициентийн арга, тэгшитгэлийн оператор шийдлийг энгийн бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлэх ёстой.

Коэффициентийг харгалзах зэрэгт тэнцүүлж, системийг шийдье.

Хэрэв танд ямар нэгэн асуудал байгаа бол нийтлэлүүдтэй танилцана уу Бутархай-рационал функцийг нэгтгэхТэгээд Тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?Бутархай нь үндсэндээ асуудлын хамгийн чухал хэсэг учраас энэ нь маш чухал юм.

Тиймээс коэффициентүүд олддог: , операторын шийдэл нь бидний өмнө задарсан хэлбэрээр гарч ирнэ.

Тогтмол тоонуудыг бутархай тоологчоор бичдэггүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ бичлэгийн хэлбэр нь илүү ашигтай байдаг . Энэ нь илүү ашигтай, учир нь эцсийн үйлдэл нь будлиан, алдаагүйгээр явагдах болно.

Асуудлын эцсийн шат бол урвуу Лаплас хувиргалтыг ашиглан зургуудаас харгалзах эх хувь руу шилжих явдал юм. Баруун баганыг ашиглах эх болон зургийн хүснэгтүүд.

Хүн бүр хөрвүүлэлтийг ойлгодоггүй байж магадгүй юм. Хүснэгтийн 5-р цэгийн томъёог энд ашигласан болно: . Илүү дэлгэрэнгүй: . Үнэндээ ижил төстэй тохиолдлуудад томъёог өөрчилж болно: . 5-р цэгийн бүх хүснэгтийн томьёог ижил төстэй байдлаар дахин бичихэд маш хялбар байдаг.

Урвуу шилжилтийн дараа DE-ийн хүссэн хэсэгчилсэн уусмалыг мөнгөн таваг дээр авна.

байсан:

болсон:

Хариулт:хувийн шийдэл:

Хэрэв танд цаг байгаа бол шалгалт хийхийг үргэлж зөвлөж байна. Шалгалт нь ангид аль хэдийн яригдсан стандарт схемийн дагуу хийгддэг. 2-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл. Дахин хэлье:

Эхний нөхцлийн биелэлтийг шалгая:
- хийсэн.

Эхний деривативыг олъё:

Хоёрдахь эхний нөхцлийн биелэлтийг шалгая:
- хийсэн.

Хоёр дахь деривативыг олъё:

Орлуулж үзье , ба анхны тэгшитгэлийн зүүн талд:

Анхны тэгшитгэлийн баруун талыг олж авна.

Дүгнэлт: даалгаврыг зөв гүйцэтгэсэн.

Өөрийнхөө шийдлийн жижиг жишээ:

Жишээ 2

Үйл ажиллагааны тооцооллыг ашиглан өгөгдсөн анхны нөхцөлд дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол.

Хичээлийн төгсгөлд хийх эцсийн даалгаврын ойролцоо жишээ.

Дифференциал тэгшитгэлийн хамгийн түгээмэл зочин бол экспоненциалууд юм, тиймээс тэдний төрөл төрөгсөдтэй хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 3

, ,

Шийдэл:Лапласын хувиргах хүснэгтийг (хүснэгтийн зүүн талд) ашиглан бид эх хувилбараас харгалзах зургууд руу шилждэг.

Эхлээд тэгшитгэлийн зүүн талыг харцгаая. Тэнд анхны дериватив байхгүй. Тэгээд юу гэж? Агуу их. Ажил багатай. Эхний нөхцлүүдийг харгалзан №1, 3 хүснэгтийн томъёог ашиглан бид зургуудыг олно.

Одоо баруун талыг харна уу: – хоёр функцийн үржвэр. Давуу талыг ашиглахын тулд шугаман шинж чанаруудЛаплас хувиргахад та хаалт нээх хэрэгтэй: . Тогтмол үзүүлэлтүүд бүтээгдэхүүнд байдаг тул бид тэдгээрийг мартаж, хүснэгтийн томъёоны 5-р бүлгийг ашиглан бид зургуудыг олдог.

Олдсон зургуудыг анхны тэгшитгэлд орлъё.

Дараагийн даалгавар бол операторын шийдлийг нэг бутархайгаар илэрхийлэх явдал гэдгийг сануулъя.

Зүүн талд бид агуулсан нэр томъёог үлдээж, үлдсэн нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлнэ. Үүний зэрэгцээ, баруун талд бид бутархайг нийтлэг хуваагч болгон аажмаар бууруулж эхэлдэг.

Зүүн талд нь бид үүнийг хаалтнаас гаргаж, баруун талд нь илэрхийллийг нийтлэг хуваагч руу авчирдаг.

Зүүн талд бид үржвэрлэх боломжгүй олон гишүүнтийг олж авна. Хэрэв олон гишүүнтийг үржвэрлэх боломжгүй бол хөөрхий тэр даруй баруун талын ёроолд шидэгдэж, хөлийг нь сав газарт бетоноор цутгах ёстой. Тоолуур дээр бид хаалт нээж, ижил төстэй нэр томъёог танилцуулна.

Хамгийн хэцүү үе шат ирлээ: тодорхойгүй коэффициентийн аргаТэгшитгэлийн оператор шийдийг энгийн бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлье.

Тиймээс:

Бутархай хэрхэн задарч байгааг анхаарна уу: , Би удахгүй яагаад ийм болсныг тайлбарлах болно.

Дуусгах: зургуудаас харгалзах эх хувь руу шилжиж, хүснэгтийн баруун баганыг ашиглана уу.

Хоёр доод хувиргалтанд хүснэгтийн 6 ба 7-р томьёог ашигласан бөгөөд зөвхөн хүснэгтийн хувиргалтанд "тохируулахын тулд" фракцыг урьдчилан өргөтгөсөн.

Үүний үр дүнд тодорхой шийдэл:

Хариулт:шаардлагатай тодорхой шийдэл:

DIY шийдлийн ижил төстэй жишээ:

Жишээ 4

Үйлдлийн тооцооллын аргыг ашиглан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол.

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Жишээ 4-т эхний нөхцлүүдийн нэг нь тэг байна. Энэ нь шийдлийг хялбарчлах нь гарцаагүй бөгөөд эхний нөхцөл хоёулаа тэг байх үед хамгийн тохиромжтой сонголт бол: . Энэ тохиолдолд деривативуудыг сүүлгүй зураг болгон хувиргадаг.

Өмнө дурьдсанчлан, асуудлын хамгийн хэцүү техникийн тал бол фракцыг өргөжүүлэх явдал юм тодорхойгүй коэффициентийн арга, мөн надад маш их хөдөлмөр шаардсан жишээнүүд бий. Гэсэн хэдий ч би мангасуудтай хэнийг ч айлгахгүй; тэгшитгэлийн хэд хэдэн ердийн хувилбарыг авч үзье:

Жишээ 5

Үйлдлийн тооцооллын аргыг ашиглан өгөгдсөн анхны нөхцлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол.
, ,

Шийдэл:Лаплас хувиргах хүснэгтийг ашиглан бид эх хувилбараас харгалзах зургууд руу шилждэг. Анхны нөхцөлийг харгалзан үзэх :

Баруун талд нь ямар ч асуудал байхгүй:

(Үржүүлэгчийн тогтмолуудыг үл тоомсорлодог гэдгийг санаарай)

Үүссэн зургуудыг анхны тэгшитгэлд орлуулж, стандарт үйлдлүүдийг хийцгээе, та аль хэдийн сайн ажилласан гэж найдаж байна.

Бид хуваагч дахь тогтмолыг бутархайгаас гадна авдаг, гол зүйл бол үүнийг дараа нь мартаж болохгүй.

Тоолуураас нэмэлт хоёрыг хасах эсэх талаар бодож байсан ч дүгнэлт хийсний дараа энэ алхам нь цаашдын шийдвэрийг хялбаршуулахгүй гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн.

Даалгаврын онцлог нь үр дүнгийн фракц юм. Энэ нь түүний задрал нь урт бөгөөд хэцүү байх болно, гэхдээ гадаад төрх нь хуурамч юм. Мэдээжийн хэрэг, хэцүү зүйлүүд байдаг, гэхдээ ямар ч тохиолдолд айдас, эргэлзээгүйгээр урагшаа:

Зарим зөрчилдөөн нь бутархай болж хувирсан нь төөрөгдүүлэх ёсгүй, ийм нөхцөл байдал тийм ч ховор биш юм. Хэрэв зөвхөн тооцоолох технологи амжилтгүй болоогүй бол. Үүнээс гадна хариултыг шалгах боломж үргэлж байдаг.

Үүний үр дүнд операторын шийдэл: