Гетероген системийн ерөнхий шийдэл. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем Нэг төрлийн системийн шийдэл 0
Шугаман тэгшитгэл гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн, хэрэв түүний чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл нэг төрлийн бус. Нэг төрлийн тэгшитгэлээс бүрдсэн системийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг бөгөөд ерөнхий хэлбэртэй байна.
Нэг төрлийн систем бүр тогтвортой бөгөөд тэг (жижиг) шийдэлтэй байх нь ойлгомжтой. Тиймээс шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системд хэрэглэхдээ тэгээс өөр шийдэл байгаа эсэх асуултын хариултыг хайх шаардлагатай болдог. Энэ асуултын хариултыг дараах теоремоор томъёолж болно.
Теорем . Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь түүний зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага тохиолдолд л тэгээс өөр шийдэлтэй байна. .
Баталгаа: Зэрэглэл нь тэнцүү систем тэгээс ялгаатай шийдэлтэй гэж үзье. -ээс хэтрэхгүй нь ойлгомжтой. Хэрэв систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бол. Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем үргэлж тэг шийдэлтэй байдаг тул тэг шийдэл нь энэ өвөрмөц шийдэл байх болно. Тиймээс тэгээс өөр шийдэл нь зөвхөн .
Дүгнэлт 1 : Тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага байдаг нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем үргэлж тэгээс өөр шийдэлтэй байдаг.
Баталгаа: Хэрэв тэгшитгэлийн систем нь байвал системийн зэрэглэл нь тэгшитгэлийн тооноос хэтрэхгүй, өөрөөр хэлбэл. . Тиймээс нөхцөл хангагдсан тул систем нь тэгээс өөр шийдэлтэй байна.
Дүгнэлт 2 : Мэдэгдэхгүй тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь тодорхойлогч нь тэг байхад л тэгээс өөр шийдэлтэй байна.
Баталгаа: Матриц нь тодорхойлогчтой шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байна гэж үзье. Дараа нь батлагдсан теоремын дагуу, энэ нь матриц нь ганц бие гэсэн үг юм. .
Кронекер-Капелли теорем: Системийн матрицын зэрэглэл нь энэ системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байвал SLU нь тогтвортой байна. Хэрэв систем нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол түүнийг тогтвортой гэж нэрлэдэг.Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем.
n хувьсагчтай м шугаман тэгшитгэлийн системийг бүх чөлөөт гишүүн 0-тэй тэнцүү бол шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем гэнэ. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем үргэлж тууштай байдаг, учир нь энэ нь үргэлж дор хаяж тэг шийдэлтэй байдаг. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем нь хувьсагчдын коэффициентийн матрицын зэрэглэл нь хувьсагчдын тооноос бага байх тохиолдолд л тэгээс өөр шийдэлтэй байдаг. А зэрэглэлийн хувьд (n. Аливаа шугаман хослол
Лин системийн шийдлүүд. нэгэн төрлийн. ur-ii нь мөн энэ системийн шийдэл юм.
e1, e2,...,еk шугаман бие даасан шийдлүүдийн системийг системийн шийдэл бүр шийдлүүдийн шугаман хослол бол үндсэн гэж нэрлэдэг. Теорем: хэрэв шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн хувьсагчдын коэффициентийн матрицын r зэрэг нь хувьсагчийн тоо n-ээс бага бол системийн шийдлийн суурь систем бүр n-r шийдлүүдээс бүрдэнэ. Тиймээс шугаман системийн ерөнхий шийдэл. нэг өдөр ur-th нь дараах хэлбэртэй байна: c1e1+c2e2+...+skek, энд e1, e2,..., ek нь аливаа үндсэн шийдлийн систем, c1, c2,...,ck нь дурын тоо, k=n-r. n хувьсагчтай m шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл нь нийлбэртэй тэнцүү байна
түүнд тохирох системийн ерөнхий шийдэл нь нэгэн төрлийн байна. шугаман тэгшитгэл ба энэ системийн дурын тодорхой шийдэл.
7. Шугаман орон зай. Дэд орон зай. Суурь, хэмжээ. Шугаман бүрхүүл. Шугаман орон зай гэж нэрлэдэг n хэмжээст, хэрэв дотор нь шугаман бие даасан векторуудын систем байгаа бол илүү олон тооны векторын систем нь шугаман хамааралтай байдаг. дугаарыг дуудаж байна хэмжээс (хэмжээний тоо)шугаман орон зай ба -аар тэмдэглэгдсэн байна. Өөрөөр хэлбэл, орон зайн хэмжээс нь энэ орон зайн шугаман бие даасан векторуудын хамгийн их тоо юм. Хэрэв ийм тоо байгаа бол орон зайг хязгаарлагдмал хэмжээст гэж нэрлэдэг. Ямар ч натурал n тооны хувьд шугаман бие даасан векторуудаас тогтсон систем огторгуйд байгаа бол ийм орон зайг хязгааргүй хэмжээст (бичсэн: ) гэнэ. Дараах зүйлд өөрөөр заагаагүй бол хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайг авч үзэх болно.
n хэмжээст шугаман орон зайн үндэс нь шугаман бие даасан векторуудын дараалсан цуглуулга юм ( суурь векторууд).
Векторыг суурийн хувьд тэлэх тухай теорем 8.1. Хэрэв n хэмжээст шугаман орон зайн суурь бол дурын векторыг үндсэн векторуудын шугаман хослол хэлбэрээр илэрхийлж болно.
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
мөн үүнээс гадна цорын ганц арга замаар, i.e. Коэффициентийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог.Өөрөөр хэлбэл, ямар ч орон зайн векторыг суурь болгон өргөжүүлж, үүнээс гадна өвөрмөц байдлаар өргөжүүлж болно.
Үнэхээр орон зайн хэмжээс нь . Векторуудын систем нь шугаман бие даасан (энэ нь үндэс суурь). Суурь дээр дурын вектор нэмсний дараа шугаман хамааралтай системийг олж авна (энэ систем нь n хэмжээст орон зайн векторуудаас бүрддэг тул). Шугаман хамааралтай ба шугаман бие даасан 7 векторын шинж чанарыг ашиглан теоремын дүгнэлтийг гаргана.
Мэргэжлийн дээд боловсролын холбооны улсын төсвийн боловсролын байгууллагын Калуга салбар
"Н.Е. нэрэмжит Москвагийн Улсын Техникийн Их Сургууль. Бауман"
(Н.Е. Бауманы нэрэмжит Москвагийн Улсын Техникийн Их Сургуулийн Харьков дахь салбар)
Влайков Н.Д.
Нэг төрлийн SLAE-ийн шийдэл
Дасгал хийх заавар
аналитик геометрийн курс дээр
Калуга 2011 он
Хичээлийн зорилго 4-р хуудас
Хичээлийн төлөвлөгөө 4-р хуудас
Шаардлагатай онолын мэдээлэл х.5
Практик хэсэг х.10
Хамруулсан материалын эзэмшсэн байдалд хяналт тавих 13-р тал
Гэрийн даалгавар х.14
Цагийн тоо: 2
Хичээлийн зорилго:
SLAE-ийн төрөл, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргуудын талаар олж авсан онолын мэдлэгээ системчлэх.
Нэг төрлийн SLAE-ийг шийдвэрлэх ур чадварыг олж авах.
Хичээлийн төлөвлөгөө:
Онолын материалыг товч тайлбарлана уу.
Нэг төрлийн SLAE-г шийднэ.
Нэг төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн системийг ол.
Нэг төрлийн SLAE-ийн тодорхой шийдлийг ол.
Нэг төрлийн SLAE-ийг шийдэх алгоритмыг томъёол.
Одоогийн гэрийн даалгавраа шалгана уу.
Баталгаажуулах ажлыг гүйцэтгэнэ.
Дараагийн семинарын сэдвийг танилцуулна уу.
Одоогийн гэрийн даалгавраа өгөх.
Шаардлагатай онолын мэдээлэл.
Матрицын зэрэглэл.
Def.Матрицын зэрэглэл нь 0-ээс бага насны хамгийн дээд дараалалтай тэнцүү тоо юм. Матрицын зэрэглэлийг -ээр тэмдэглэнэ.
Хэрэв квадрат матриц нь ганц биш бол түүний зэрэглэл нь дараалалтай тэнцүү байна. Хэрэв квадрат матриц нь ганц бие бол түүний зэрэглэл нь дарааллаас бага байна.
Диагональ матрицын зэрэг нь түүний тэг биш диагональ элементүүдийн тоотой тэнцүү байна.
Теор.Матрицыг шилжүүлэхэд түүний зэрэглэл өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл. 
.
Теор.Матрицын зэрэглэл нь түүний мөр, баганын энгийн хувиргалтаар өөрчлөгддөггүй.
Минорын суурь дээрх теорем.
Def.Бага 
матрицууд 
Хэрэв хоёр нөхцөл хангагдсан бол үндсэн гэж нэрлэдэг:
a) тэгтэй тэнцүү биш;
б) түүний дараалал нь матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна 
.
Матриц 
хэд хэдэн үндсэн насанд хүрээгүй хүүхэдтэй байж болно.
Матрицын мөр ба баганууд 
, сонгосон үндсэн бага байрлаж байгаа нь үндсэн гэж нэрлэдэг.
Теор.Минорын суурь дээрх теорем. Матрицын үндсэн мөрүүд (баганууд). 
, түүний суурь насанд хүрээгүй аль нэг харгалзах 
, шугаман бие даасан байна. Матрицын дурын мөрүүд (баганууд). 
, ороогүй болно 
, үндсэн мөрүүдийн (баганын) шугаман хослолууд юм.
Теор.Аливаа матрицын хувьд түүний зэрэглэл нь шугаман бие даасан мөрүүдийн (баганын) хамгийн их тоотой тэнцүү байна.
Матрицын зэрэглэлийг тооцоолох. Анхан шатны хувиргалтын арга.
Энгийн эгнээний хувиргалтыг ашиглан аливаа матрицыг эшелон хэлбэрт оруулж болно. Алхам матрицын зэрэглэл нь тэг биш мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна. Үүний үндэс нь мөр бүрийн зүүн талын эхний тэг бус элементүүдтэй харгалзах баганууд бүхий тэгээс өөр мөрүүдийн огтлолцол дээр байрладаг минор юм.
SLAU. Үндсэн тодорхойлолтууд.
Def.Систем 
(15.1)
Тоонууд 
SLAE коэффициент гэж нэрлэдэг. Тоонууд 
тэгшитгэлийн чөлөөт нөхцөл гэж нэрлэдэг.
(15.1) маягтын SLAE оруулгыг координат гэж нэрлэдэг.
Def. SLAE-ийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг 
. Үгүй бол үүнийг гетероген гэж нэрлэдэг.
Def. SLAE-ийн шийдэл нь үл мэдэгдэх утгуудын багц бөгөөд орлуулсны дараа системийн тэгшитгэл бүр ижил төстэй байдал болж хувирдаг. SLAE-ийн аливаа тодорхой шийдлийг мөн түүний тусгай шийдэл гэж нэрлэдэг.
SLAE-ийг шийднэ гэдэг нь хоёр асуудлыг шийднэ гэсэн үг.
SLAE-д шийдэл байгаа эсэхийг олж мэдэх;
Хэрэв байгаа бол бүх шийдлийг олоорой.
Def. SLAE нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол хамтарсан гэж нэрлэдэг. Үгүй бол үүнийг үл нийцэх гэж нэрлэдэг.
Def.Хэрэв SLAE (15.1) нь шийдэлтэй, өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг тодорхой, хэрэв шийдэл нь өвөрмөц биш бол тодорхойгүй гэж нэрлэдэг.
Def.Хэрэв (15.1) тэгшитгэлд байгаа бол 
,SLAE-г квадрат гэж нэрлэдэг.
SLAU бичлэгийн маягтууд.
Координатын хэлбэрээс (15.1) гадна SLAE бичлэгийг түүний бусад дүрслэлд ихэвчлэн ашигладаг.
(15.2)
Энэ хамаарлыг SLAE тэмдэглэгээний вектор хэлбэр гэж нэрлэдэг.
Хэрэв бид матрицын үржвэрийг үндэс болгон авбал SLAE (15.1)-ийг дараах байдлаар бичиж болно.
(15.3)
эсвэл 
.
(15.3) хэлбэрийн SLAE (15.1) тэмдэглэгээг матриц гэнэ.
Нэг төрлийн SLAE.
Нэг төрлийн систем 
шугаман алгебрийн тэгшитгэлүүд 
үл мэдэгдэх нь хэлбэрийн систем юм
Үргэлж тэг шийдэл байдаг тул нэгэн төрлийн SLAE нь үргэлж тогтвортой байдаг.
Тэг биш шийдэл байх шалгуур.Нэг төрлийн дөрвөлжин SLAE-д тэгээс өөр шийдэл байхын тулд түүний матриц нь дан байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
Теор.Хэрэв баганууд 
,
,
…,
нь нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдэл бол тэдгээрийн шугаман хослол нь мөн энэ системийн шийдэл болно.
Үр дагавар. Хэрэв нэгэн төрлийн SLAE нь тэгээс өөр шийдэлтэй бол хязгааргүй тооны шийдтэй байна.
Ийм шийдлийг олох гэж оролдох нь зүйн хэрэг 
,
,
…,
системүүд нь өөр ямар ч шийдлийг тэдгээрийн шугаман хослол хэлбэрээр, үүнээс гадна өвөрмөц байдлаар төлөөлдөг.
Def.Аливаа багц 
шугаман бие даасан баганууд 
,
,
…,
, эдгээр нь нэгэн төрлийн SLAE-ийн уусмалууд юм 
, Хаана 
- үл мэдэгдэх тоо, ба 
- түүний матрицын зэрэглэл 
, нь энэхүү нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн систем гэж нэрлэгддэг.
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг судалж, шийдвэрлэхдээ бид системийн матриц дахь минорын суурийг засах болно. Үндсэн бага нь суурь баганатай тохирч, тиймээс суурь үл мэдэгдэх зүйлстэй тохирно. Үлдсэн үл мэдэгдэх зүйлсийг бид үнэ төлбөргүй гэж нэрлэх болно.
Теор.Нэг төрлийн SLAE-ийн ерөнхий шийдлийн бүтцийн тухай. Хэрэв 
,
,
…,
- нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлийн дурын үндсэн систем 
, дараа нь түүний аль нэг шийдлийг хэлбэрээр илэрхийлж болно
Хаана 
,
…,
- зарим нь байнгын байдаг.
Тэр. нэгэн төрлийн SLAE-ийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
Практик хэсэг.
Дараах төрлийн SLAE-ийн шийдлүүдийн боломжит багц, тэдгээрийн график тайлбарыг авч үзье.
;
;
.
Эдгээр системийг Крамерын томъёо болон матрицын аргыг ашиглан шийдвэрлэх боломжийг авч үзье.
Гауссын аргын мөн чанарыг тайлбарлана уу.
Дараах асуудлуудыг шийд.
Жишээ 1. Нэг төрлийн SLAE-г шийд. FSR олох.
.
Системийн матрицыг бичиж, алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.
.
систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй байх болно. FSR нь дараахь зүйлсээс бүрдэнэ 
баганууд.
Тэг мөрүүдийг хасаад системийг дахин бичье:
.
Бид үндсэн насанд хүрээгүй хүүхдийг зүүн дээд буланд байхаар авч үзэх болно. Тэр. 
- үндсэн үл мэдэгдэх зүйлс, ба 
- үнэ төлбөргүй. илэрхийлье 
үнэгүй дамжуулан 
:
;
тавья 
.
Эцэст нь бидэнд байна:
- хариултын координатын хэлбэр, эсвэл
- хариултын матриц хэлбэр, эсвэл
- хариултын вектор хэлбэр (вектор - багана нь FSR багана).
Нэг төрлийн SLAE-ийг шийдвэрлэх алгоритм.
Дараах системийн FSR болон ерөнхий шийдлийг ол.
№2.225(4.39)
. Хариулт: 
№2.223(2.37)
. Хариулт:
№2.227(2.41)
. Хариулт: 
Нэг төрлийн SLAE-г шийднэ үү:
. Хариулт: 
Нэг төрлийн SLAE-г шийднэ үү:
. Хариулт: 
Дараагийн семинарын сэдвийн танилцуулга.
Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.
Хамарсан материалын эзэмшсэн байдалд хяналт тавих.
Туршилтын ажил 3-5 минут. Журналын 10 дугаараас эхлэн сондгой тоогоор 4 сурагч оролцоно
|
Эдгээр алхмуудыг дагана уу:
|
Эдгээр алхмуудыг дагана уу:
|
|
|
Тодорхойлогчийг тооцоолох:
|
;
;
|
Эдгээр алхмуудыг дагана уу:
|
Эдгээр алхмуудыг дагана уу:
|
|
Үүний урвуу матрицыг ол:
|
Тодорхойлогчийг тооцоолох:
|
тэмдэглэгдээгүй
Гэрийн даалгавар:
1. Асуудлыг шийдвэрлэх:
№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.
2.Дараах сэдвүүдээр лекц уншина.
Шугаман алгебр тэгшитгэлийн системүүд (SLAE). Бичлэгийн координат, матриц, вектор хэлбэрүүд. SLAE-ийн нийцтэй байдлын Kronecker-Capelli шалгуур. Нэг төрлийн бус SLAE. Нэг төрлийн SLAE-ийн 0-ээс ялгаатай уусмал байгаа эсэхийг тодорхойлох шалгуур. Нэг төрлийн SLAE-ийн уусмалын шинж чанарууд. Нэг төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн систем, түүний оршихуйн теорем. Шийдлийн ердийн суурь систем. Нэг төрлийн SLAE-ийн ерөнхий шийдийн бүтцийн тухай теорем. Нэг төрлийн бус SLAE-ийн ерөнхий шийдийн бүтцийн тухай теорем.
Бүх чөлөөт гишүүд нь тэгтэй тэнцүү байх шугаман тэгшитгэлийн системийг гэнэ нэгэн төрлийн :
Аливаа нэгэн төрлийн систем үргэлж тууштай байдаг тул үргэлж байдаг тэг (өчүүхэн ) шийдэл. Нэг төрлийн систем ямар нөхцөлд энгийн шийдэлтэй байх вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ.
Теорем 5.2.Нэг төрлийн систем нь үндсэн матрицын зэрэглэл нь түүний үл мэдэгдэх тооноос бага байх тохиолдолд л чухал бус шийдэлтэй байдаг.
Үр дагавар. Квадрат нэгэн төрлийн систем нь системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш тохиолдолд л чухал бус шийдэлтэй байдаг.
Жишээ 5.6.Системд чухал бус шийдлүүд байгаа l параметрийн утгыг тодорхойлж, эдгээр шийдлүүдийг ол.
Шийдэл. Энэ систем нь үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх үед чухал бус шийдэлтэй байх болно.
Тиймээс l=3 эсвэл l=2 үед систем нь чухал биш юм. l=3-ын хувьд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 1. Дараа нь зөвхөн нэг тэгшитгэл үлдээж, гэж үзвэл. y=аТэгээд z=б, бид авдаг x=b-a, өөрөөр хэлбэл
l=2-ын хувьд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 2. Дараа нь минорыг суурь болгон сонговол:
Бид хялбаршуулсан системийг авдаг
Эндээс бид үүнийг олж мэднэ x=z/4, y=z/2. Итгэж байна z=4а, бид авдаг
Нэг төрлийн системийн бүх шийдлүүдийн багц нь маш чухал ач холбогдолтой юм шугаман шинж чанар : X баганууд бол 1 болон X 2 - нэгэн төрлийн системийн шийдлүүд AX = 0, дараа нь тэдгээрийн дурын шугаман хослола X 1 + б X 2 мөн энэ системийн шийдэл байх болно. Үнэхээр тэр цагаас хойш AX 1 = 0 Тэгээд AX 2 = 0 , Тэр А(а X 1 + б X 2) = a AX 1 + б AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Шугаман систем нэгээс олон шийдтэй бол эдгээр шийдлүүдийн тоо хязгааргүй байх болно гэдэг нь энэ шинж чанараас үүдэлтэй юм.
Шугаман бие даасан баганууд Э 1 , Э 2 , Эк, нэг төрлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг шийдлийн үндсэн систем Хэрэв энэ системийн ерөнхий шийдийг эдгээр баганын шугаман хослолоор бичиж чадвал шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем:
Хэрэв нэгэн төрлийн систем байвал nхувьсагч ба системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь тэнцүү байна r, Тэр к = n-r.
Жишээ 5.7.Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг ол.
Шийдэл. Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг олцгооё.
Иймээс энэхүү тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн багц нь хэмжээсийн шугаман дэд орон зайг бүрдүүлдэг n-r= 5 - 2 = 3. Минорыг суурь болгон сонгоцгооё
Дараа нь зөвхөн үндсэн тэгшитгэлүүд (үлдсэн хэсэг нь эдгээр тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол байх болно) болон үндсэн хувьсагчдыг (бид үлдсэн хэсгийг нь баруун тийш шилжүүлж, чөлөөт хувьсагч гэж нэрлэдэг) үлдээж, тэгшитгэлийн хялбаршуулсан системийг олж авна.
Итгэж байна x 3 = а, x 4 = б, x 5 = в, бид олдог
Итгэж байна а= 1, b = c= 0, бид эхний үндсэн шийдлийг олж авна; итгэх б= 1, a = c= 0, бид хоёр дахь үндсэн шийдлийг олж авна; итгэх в= 1, a = b= 0, бид гурав дахь үндсэн шийдлийг олж авна. Үүний үр дүнд шийдлүүдийн ердийн суурь систем хэлбэр болно
Үндсэн системийг ашиглан нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно
X = aE 1 + bE 2 + cE 3. а
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүдийн зарим шинж чанарыг тэмдэглэе AX=Bба тэдгээрийн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системтэй хамаарал AX = 0.
Нэг төрлийн бус системийн ерөнхий шийдэлхаргалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийд AX = 0 ба нэгэн төрлийн бус системийн дурын тусгай шийдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.. Нээрээ л байя Ю 0 нь нэгэн төрлийн бус системийн дурын тодорхой шийдэл, өөрөөр хэлбэл. AY 0 = Б, Мөн Ю- гетероген системийн ерөнхий шийдэл, i.e. AY=B. Нэг тэгшитгэлийг нөгөөгөөсөө хасвал бид олж авна
А(Ө-Ө 0) = 0, өөрөөр хэлбэл. Ө-Ө 0 нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл юм AX=0. Тиймээс, Ө-Ө 0 = X, эсвэл Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Нэг төрлийн бус системийг AX = B хэлбэртэй болго 1 + Б 2 . Тэгвэл ийм системийн ерөнхий шийдлийг X = X гэж бичиж болно 1 + X 2 , хаана AX 1 = Б 1 болон AX 2 = Б 2. Энэ шинж чанар нь аливаа шугаман системийн бүх нийтийн шинж чанарыг илэрхийлдэг (алгебрийн, дифференциал, функциональ гэх мэт). Физикийн хувьд энэ өмчийг нэрлэдэг суперпозиция зарчим, цахилгаан ба радио инженерийн чиглэлээр - суперпозиция зарчим. Жишээлбэл, шугаман цахилгаан хэлхээний онолд аль ч хэлхээний гүйдлийг эрчим хүчний эх үүсвэр тус бүрээс үүссэн гүйдлийн алгебрийн нийлбэр байдлаар авч болно.
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем AX = 0үргэлж хамтдаа. Энэ нь өчүүхэн бус (тэг биш) шийдлүүдтэй, хэрэв r= зэрэглэл А< n .
Нэг төрлийн системүүдийн хувьд үндсэн хувьсагчдыг (коэффициент нь үндсэн минорыг бүрдүүлдэг) чөлөөт хувьсагчаар дараах хэлбэрийн харьцаагаар илэрхийлнэ.
Дараа нь n-rШугаман бие даасан вектор шийдлүүд нь:
болон бусад аливаа шийдэл нь тэдгээрийн шугаман хослол юм. Вектор шийдлүүд 
хэвийн суурь тогтолцоог бүрдүүлнэ.
Шугаман орон зайд шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлүүдийн багц нь хэмжээсийн дэд орон зайг бүрдүүлдэг. n-r; 
- энэ дэд орон зайн үндэс.
Систем мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх(эсвэл, шугаман систем
 |
Энд x 1 , x 2 , …, x n а 11 , а 12 , …, a mn- системийн коэффициентүүд - ба б 1 , б 2 , … б м a ijби) ба үл мэдэгдэх ( j
Систем (1) гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийнб 1 = б 2 = … = б м= 0), өөрөөр хэлбэл - гетероген.
Систем (1) гэж нэрлэдэг дөрвөлжин, хэрэв тоо мтоотой тэнцүү тэгшитгэл nүл мэдэгдэх.
Шийдэлсистемүүд (1) - тохируулна nтоо в 1 , в 2 , …, c n, тус бүрийн орлуулалт в биоронд нь x iсистем (1) нь бүх тэгшитгэлээ таних тэмдэг болгон хувиргадаг.
Систем (1) гэж нэрлэдэг хамтарсан хамтарсан бус
Шийдэл в 1 (1) , в 2 (1) , …, c n(1) ба в 1 (2) , в 2 (2) , …, c n янз бүрийн
| в 1 (1) = в 1 (2) , в 2 (1) = в 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
тодорхой тодорхойгүй. Хэрэв үл мэдэгдэхээс олон тэгшитгэл байгаа бол түүнийг дуудна дахин тодорхойлсон.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх
Матрицын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ~ Гауссын арга
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргуудыг хоёр бүлэгт хуваадаг.
1. нарийн аргууд, эдгээр нь системийн үндсийг тооцоолох хязгаарлагдмал алгоритмууд (урвуу матриц ашиглан системийг шийдвэрлэх, Крамерын дүрэм, Гауссын арга гэх мэт),
2. давтагдах аргууд, энэ нь конвергент давталтын процессоор (давталтын арга, Зайделийн арга гэх мэт) өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар системийн шийдлийг олж авах боломжтой болгодог.
Зайлшгүй дугуйрсан тул яг нарийн аргуудын үр дүн нь ойролцоо байна. Давталтын аргуудыг ашиглахдаа үүнээс гадна аргын алдааг нэмдэг.
Давталттай аргуудыг үр дүнтэй ашиглах нь эхний ойролцооллыг амжилттай сонгох, үйл явцын нэгдэх хурдаас ихээхэн хамаардаг.
Матрицын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Системийг анхаарч үзээрэй n-д хамаарах шугаман алгебрийн тэгшитгэл nүл мэдэгдэх X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Матриц А, баганууд нь харгалзах үл мэдэгдэх коэффициентүүд, мөрүүд нь харгалзах тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх коэффициентүүд юм. системийн матриц; матриц багана б, элементүүд нь системийн тэгшитгэлийн баруун гар талуудыг нэрлэдэг баруун талын матрицэсвэл зүгээр л системийн баруун тал. Баганын матриц XЭлементүүд нь үл мэдэгдэх үл мэдэгдэх зүйлсийг нэрлэдэг системийн шийдэл.
Хэрэв матриц А- тусгай бус, өөрөөр хэлбэл, det А н e нь 0-тэй тэнцүү бол систем (13), эсвэл үүнтэй тэнцэх матриц тэгшитгэл (14) нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.
Үнэн хэрэгтээ, заасан det A нь тэнцүү биш юм 0 урвуу матриц байна А-1. (14) тэгшитгэлийн хоёр талыг матрицаар үржүүлэх А-1 бид дараахь зүйлийг авна.
| (16) |
Формула (16) нь (14) тэгшитгэлийн шийдлийг өгдөг бөгөөд энэ нь өвөрмөц юм.
Функцийг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой шийднэ.
шийдэх( А, б)
Шийдлийн векторыг буцаана xтиймэрхүү Өө= б.
Аргументууд:
А- квадрат, ганц биш матриц.
б- матриц дахь мөртэй ижил тооны мөртэй вектор А .
Гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг Зураг 8-д үзүүлэв.
Гауссын арга
Гауссын арга буюу Гауссын арилгах арга нь (13) системийг гурвалжин матрицтай эквивалент систем болгон үл мэдэгдэх зүйлсийг дараалан арилгах замаар бууруулсан явдал юм.
Матрицын тэмдэглэгээнд энэ нь эхлээд (Гауссын аргын шууд хандлага) мөрүүд дээрх энгийн үйлдлүүдийн тусламжтайгаар системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулдаг гэсэн үг юм.
дараа нь (Гауссын аргын урвуу) энэ алхамын матрицыг эхний шатанд хувиргана. nбаганад бид нэгж матрицыг авна:
.
Сүүлийн, ( n+ 1) энэ матрицын баганад (13) системийн шийдлийг агуулна.
Mathcad-д Гауссын аргын урагш болон хойшлох хөдөлгөөнийг функцээр гүйцэтгэдэг rref(А).
Зураг 9-д дараах функцуудыг ашигладаг Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг үзүүлэв.
rref( А)
Матрицын алхам хэлбэрийг буцаана А.
нэмэгдүүлэх( А, IN)
Байршлаар үүссэн массивыг буцаана А Тэгээд IN зэрэгцээд. Массив А Тэгээд IN ижил тооны мөртэй байх ёстой.
дэд матриц( A, ir, jr, ic, jc)
Бүх элементүүдээс бүрдсэн дэд матрицыг буцаана ir By jrба баганууд ic By jc.Үүнийг шалгаарай ir jrТэгээд
ic jc,эс бөгөөс мөр ба/эсвэл баганын дарааллыг өөрчлөх болно.
Зураг 9.
Аргын тайлбар
n үл мэдэгдэх n шугаман тэгшитгэлийн системийн хувьд (дурын талбар дээр)
системийн матрицын тодорхойлогч Δ тэгээс ялгаатай байвал шийдийг хэлбэрээр бичнэ
(системийн матрицын i-р багана нь чөлөөт нөхцлийн баганаар солигдоно).
Өөр нэг хэлбэрээр Крамерын дүрмийг дараах байдлаар томъёолсон: c1, c2, ..., cn аливаа коэффициентүүдийн хувьд дараахь тэгш байдлыг хангана.
Энэ хэлбэрээр Крамерын томъёо нь Δ нь тэгээс ялгаатай гэсэн таамаглалгүйгээр хүчинтэй бөгөөд системийн коэффициентүүд нь интеграл цагирагийн элементүүд байх шаардлагагүй (системийн тодорхойлогч нь 0-д хуваагч ч байж болно). коэффициентийн цагираг). Мөн b1,b2,...,bn ба x1,x2,...,xn олонлогууд эсвэл c1,c2,...,cn олонлогууд нь коэффициентийн цагирагийн элементүүдээс тогтдоггүй гэж үзэж болно. системийн, гэхдээ энэ цагираг дээрх зарим модуль. Энэ хэлбэрээр Крамерын томъёог жишээ нь Грам тодорхойлогч ба Накаямагийн Леммагийн томъёоны нотолгоонд ашигладаг.
| 35) Кронекер-Капелли теорем |
n үл мэдэгдэх m нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийн систем тууштай байхын тулд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай. (1.13) систем тууштай байг, өөрөөр хэлбэл ийм тоо байдаг X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n = α n ,Юу  (1.15) Өргөтгөсөн матрицын сүүлчийн баганаас түүний эхний баганыг α 1, хоёр дахь нь - α 2, ..., n-ээр үржүүлсэн α n, өөрөөр хэлбэл матрицын сүүлчийн баганаас хасъя. (1.14) тэнцүү байдлын зүүн талыг хасах хэрэгтэй (1.15). Дараа нь бид матрицыг авна  анхан шатны өөрчлөлтийн үр дүнд зэрэглэл нь өөрчлөгдөхгүй ба . Гэхдээ энэ нь ойлгомжтой, тиймээс хангалттай байдлын нотолгоо юм. Тодорхой байхын тулд матрицын зүүн дээд буланд r зэрэглэлийн тэг биш минорыг байрлуулъя:  Энэ нь матрицын үлдсэн мөрүүдийг эхний r эгнээний шугаман хослолоор олж авах боломжтой гэсэн үг юм, өөрөөр хэлбэл матрицын m-r мөрүүдийг эхний r мөрүүдийн нийлбэрээр зарим тоогоор үржүүлж дүрсэлж болно гэсэн үг юм. Харин дараа нь (1.13) системийн эхний r тэгшитгэлүүд нь бие даасан, бусад нь тэдгээрийн үр дагавар, өөрөөр хэлбэл эхний r тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь автоматаар үлдсэн тэгшитгэлийн шийдэл болно. Хоёр боломжит тохиолдол бий. 1. r=n. Тэгвэл эхний r тэгшитгэлээс бүрдэх систем нь ижил тооны тэгшитгэл, үл мэдэгдэх тоотой бөгөөд тууштай, шийдэл нь өвөрмөц юм. 2.r |
36) тодорхой, тодорхойгүй байдал
Систем мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх(эсвэл, шугаман систем) шугаман алгебр нь хэлбэрийн тэгшитгэлийн систем юм
 |
Энд x 1 , x 2 , …, x n- тодорхойлох шаардлагатай үл мэдэгдэх зүйлс. а 11 , а 12 , …, a mn- системийн коэффициентүүд - ба б 1 , б 2 , … б м- чөлөөт гишүүд - танигдсан гэж үздэг. Коэффицентийн индексүүд ( a ij) системүүд тэгшитгэлийн дугаарыг ( би) ба үл мэдэгдэх ( j), энэ коэффициент нь тус тус зогсож байна.
Систем (1) гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн, хэрэв түүний бүх чөлөөт нөхцөл нь тэгтэй тэнцүү бол ( б 1 = б 2 = … = б м= 0), өөрөөр хэлбэл - гетероген.
Систем (1) гэж нэрлэдэг хамтарсан, хэрэв энэ нь ядаж нэг шийдэлтэй бол, ба хамтарсан бус, хэрэв түүнд ганц шийдэл байхгүй бол.
(1) төрлийн хамтарсан систем нь нэг буюу хэд хэдэн шийдэлтэй байж болно.
Шийдэл в 1 (1) , в 2 (1) , …, c n(1) ба в 1 (2) , в 2 (2) , …, c n(2) (1) хэлбэрийн хамтарсан системийг нэрлэдэг янз бүрийн, хэрэв тэгш байдлын дор хаяж нэг нь зөрчигдсөн бол:
| в 1 (1) = в 1 (2) , в 2 (1) = в 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
(1) хэлбэрийн хамтарсан системийг нэрлэдэг тодорхой, хэрэв энэ нь өвөрмөц шийдэлтэй бол; хэрэв энэ нь дор хаяж хоёр өөр шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхойгүй
37) Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх
Анхны системийг ийм болгоё
Матриц Асистемийн үндсэн матриц гэж нэрлэдэг. б- чөлөөт гишүүдийн багана.
Дараа нь эгнээний үндсэн хувиргалтуудын шинж чанарын дагуу энэ системийн үндсэн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулж болно (чөлөөт нэр томъёоны баганад ижил өөрчлөлтийг хийх ёстой):
Дараа нь хувьсагчдыг дуудна үндсэн хувьсагчид. Бусад бүх хүмүүс дуудагддаг үнэгүй.
[засварлах] Тохиромжтой байдлын нөхцөл
Бүгдэд зориулсан дээрх нөхцөлийг нийцтэй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл болгон томъёолж болно.
Хамтарсан системийн зэрэглэл нь түүний үндсэн матрицын зэрэглэл (эсвэл өргөтгөсөн матриц, учир нь тэдгээр нь тэнцүү) гэдгийг санаарай.
Алгоритм
Тодорхойлолт
Гауссын аргыг ашиглан SLAE-ийг шийдвэрлэх алгоритм нь хоёр үе шатанд хуваагдана.
§ Эхний шатанд эгнээний үндсэн хувиргалтаар системийг шаталсан эсвэл гурвалжин хэлбэрт оруулах эсвэл систем нь таарахгүй байгаа нь тогтоогдсон тохиолдолд шууд хөдөлгөөн гэж нэрлэгддэг. Тухайлбал, матрицын эхний баганын элементүүдээс тэгээс өөр нэгийг сонгож, мөрүүдийг дахин цэгцлэх замаар хамгийн дээд байрлал руу шилжүүлж, дахин зохион байгуулалтын дараа үлдсэн мөрүүдээс үүссэн эхний мөрийг хасч, утгыг үржүүлнэ. Эдгээр мөр бүрийн эхний элементийг эхний эгнээний эхний элементтэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байх ба үүний доорх баганыг тэглэнэ. Заасан хувиргалтыг хийж дууссаны дараа эхний мөр ба эхний баганыг оюун ухаанаар зурж, тэг хэмжээтэй матриц үлдэх хүртэл үргэлжлүүлнэ. Хэрэв ямар нэгэн давталт дээр эхний баганын элементүүдийн дунд тэгээс өөр элемент байхгүй бол дараагийн багана руу очиж ижил төстэй үйлдлийг гүйцэтгэнэ.
§ Хоёр дахь шатанд урвуу нүүдэл гэж нэрлэгддэг бөгөөд үүний мөн чанар нь бүх үндсэн хувьсагчдыг үндсэн бус хувьсагчаар илэрхийлж, шийдлийн үндсэн системийг бий болгох, эсвэл хэрэв бүх хувьсагч нь үндсэн, дараа нь шугаман тэгшитгэлийн системийн цорын ганц шийдлийг тоогоор илэрхийлнэ. Энэ процедур нь хамгийн сүүлийн тэгшитгэлээс эхэлдэг бөгөөд үүнээс харгалзах үндсэн хувьсагчийг илэрхийлж (зөвхөн нэг л байдаг) өмнөх тэгшитгэлд орлуулж, "алхам" дээшилнэ. Мөр бүр нь яг нэг суурь хувьсагчтай тохирч байгаа тул сүүлчийн (хамгийн дээд)-ээс бусад алхам бүрт нөхцөл байдал сүүлийн мөрний тохиолдлыг яг давтдаг.
Гауссын арга нь захиалга шаарддаг О(n 3) үйлдэл.
Энэ арга нь:
38)Кронекер-Капелли теорем.
Үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байвал систем тогтвортой байна.
Үйлчилгээний зорилго. Онлайн тооцоолуур нь SLAE-ийн энгийн бөгөөд үндсэн шийдлийг олоход зориулагдсан. Үүссэн шийдлийг Word файлд хадгална (шийдэл жишээг үзнэ үү).
Зааварчилгаа. Матрицын хэмжээсийг сонгох:
Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шинж чанарууд
Системтэй байхын тулд энгийн бус шийдлүүд, түүний матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.Теорем. m=n тохиолдолд систем нь тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л чухал бус шийдэлтэй байна.
Теорем. Системийн шийдлүүдийн шугаман хослол нь мөн энэ системийн шийдэл юм.
Тодорхойлолт. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн багцыг гэнэ шийдлийн үндсэн систем, хэрэв энэ олонлог нь шугаман бие даасан шийдлүүдээс бүрдэх ба системийн аливаа шийдэл нь эдгээр шийдлүүдийн шугаман хослол юм.
Теорем. Хэрэв системийн матрицын r зэрэглэл нь үл мэдэгдэх n тооноос бага байвал (n-r) шийдлүүдээс бүрдсэн шийдлийн үндсэн систем бий болно.
Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх алгоритм
- Матрицын зэрэглэлийг олох.
- Бид үндсэн насанд хүрээгүй хүнийг сонгодог. Бид хамааралтай (үндсэн) болон чөлөөт үл мэдэгдэхийг ялгадаг.
- Коэффициент нь минорын үндсэнд ороогүй системийн тэгшитгэлүүдийг бид хасдаг, учир нь тэдгээр нь бусдын үр дагавар юм (минорын үндсэн дээрх теоремийн дагуу).
- Бид чөлөөт үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэлийн нөхцлүүдийг баруун тийш шилжүүлнэ. Үүний үр дүнд бид тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай r үл мэдэгдэх r тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.
- Бид үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах замаар үүссэн системийг шийддэг. Бид чөлөөт хувьсагчаар дамжуулан хамааралтай хувьсагчдыг илэрхийлдэг харилцааг олдог.
- Хэрэв матрицын зэрэглэл нь хувьсагчийн тоотой тэнцүү биш бол системийн үндсэн шийдлийг олно.
- Rang = n тохиолдолд бидэнд өчүүхэн шийдэл байна.
Жишээ. Векторуудын системийн суурийг (a 1, a 2,...,a m) олж, суурь дээр үндэслэн векторуудыг эрэмбэлж, илэрхийл. Хэрэв 1 =(0,0,1,-1), 2 =(1,1,2,0), 3 =(1,1,1,1), 4 =(3,2,1) байвал ,4), 5 =(2,1,0,3).
Системийн үндсэн матрицыг бичье.
3-р мөрийг (-3) үржүүлнэ. 4-р мөрийг 3-т нэмье:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
4-р мөрийг (-2) үржүүлнэ. 5-р мөрийг (3) үржүүлье. 5-р мөрийг 4-р мөрөнд нэмье:
1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:
Матрицын зэрэглэлийг олцгооё.
Энэхүү матрицын коэффициент бүхий систем нь анхны системтэй тэнцүү бөгөөд дараах хэлбэртэй байна.
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2х 1 + х 2 = - 3х 4
Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргыг ашиглан бид энгийн бус шийдлийг олдог.
Бид x 1 , x 2 , x 3 хамааралтай хувьсагчдыг x 4 чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлсэн харилцааг олж авсан, өөрөөр хэлбэл ерөнхий шийдлийг олсон.
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
