Standaus kūno sukimasis aplink fiksuotą ašį. Sukamasis standaus kūno judėjimas aplink fiksuotą ašį. Kampinis greitis ir kampinis pagreitis Paspartintas sukimosi judėjimas aplink fiksuotą ašį

Ir Saveljeva.

Kūno judėjimo į priekį metu (§ 60 E. M. Nikitino vadovėlyje) visi jo taškai juda identiškomis trajektorijomis ir kiekvienu momentu turi vienodą greitį ir vienodą pagreitį.

Todėl kūno transliacinį judėjimą lemia bet kurio vieno taško judėjimas, dažniausiai svorio centro judėjimas.

Nagrinėdami automobilio (147 problema) ar dyzelinio lokomotyvo (141 problema) judėjimą, iš tikrųjų atsižvelgiame į jų svorio centrų judėjimą.

Sukamasis kūno judėjimas (E.M. Nikitinas, § 61) negali būti tapatinamas su kurio nors jo taško judėjimu. Bet kurio besisukančio kūno (dyzelinio smagračio, elektros variklio rotoriaus, mašinos veleno, ventiliatoriaus mentės ir kt.) ašis judėjimo metu užima tą pačią vietą erdvėje, palyginti su aplinkiniais stacionariais kūnais.

Materialaus taško judėjimas arba judėjimas į priekį kūnai charakterizuojami priklausomai nuo laiko tiesiniai dydžiai s (kelias, atstumas), v (greitis) ir a (pagreitis) su jo komponentais a t ir a n.

Sukamasis judėjimas kūnai priklausomai nuo laiko t charakterizuoja kampines vertes: φ (sukimosi kampas radianais), ω (kampinis greitis rad/sek.) ir ε (kampinis pagreitis rad/sek. 2).

Kūno sukimosi judėjimo dėsnis išreiškiamas lygtimi
φ = f(t).

Kampinis greitis- kūno sukimosi greitį apibūdinantis dydis bendruoju atveju apibrėžiamas kaip sukimosi kampo laiko atžvilgiu išvestinė
ω = dφ/dt = f" (t).

Kampinis pagreitis- kampinio greičio kitimo greitį apibūdinantis dydis apibrėžiamas kaip kampinio greičio išvestinė
ε = dω/dt = f"" (t).

Pradedant spręsti kūno sukamojo judėjimo uždavinius, reikia turėti omenyje, kad atliekant techninius skaičiavimus ir uždavinius, kampinis poslinkis paprastai išreiškiamas ne radianais φ, o apsisukimais φ apie.

Todėl būtina turėti galimybę pereiti nuo apsisukimų skaičiaus prie radianinio kampinio poslinkio matavimo ir atvirkščiai.

Kadangi vienas pilnas apsisukimas atitinka 2π rad, tai
φ = 2πφ apie ir φ apie = φ/(2π).

Kampinis greitis techniniuose skaičiavimuose labai dažnai matuojamas apsisukimais, pagamintais per minutę (rpm), todėl būtina aiškiai suprasti, kad ω rad/sek ir n rpm išreiškia tą pačią sąvoką - kūno sukimosi greitį (kampinį greitį) , bet skirtingais vienetais - rad/sek arba aps./min.

Perėjimas iš vieno kampinio greičio vieneto į kitą atliekamas pagal formules
ω = πn/30 ir n = 30ω/π.

Kūno sukimosi judesio metu visi jo taškai juda apskritimais, kurių centrai išsidėstę vienoje fiksuotoje tiesėje (sukamojo kūno ašyje). Sprendžiant šiame skyriuje pateiktus uždavinius, labai svarbu aiškiai suprasti santykį tarp kampinių dydžių φ, ω ir ε, apibūdinančių kūno sukamąjį judėjimą, ir tiesinių dydžių s, v, a t ir an, charakterizuojančių. įvairių šio kūno taškų judėjimas (205 pav.).

Jei R yra atstumas nuo besisukančio kūno geometrinės ašies iki bet kurio taško A (205 pav. R = OA), tai ryšys tarp φ - kūno sukimosi kampo ir s - atstumo, kurį nuvažiuoja taškas kūnas per tą patį laiką išreiškiamas taip:
s = φR.

Ryšys tarp kūno kampinio greičio ir taško greičio kiekvienu momentu išreiškiamas lygybe
v = ωR.

Tangentinis taško pagreitis priklauso nuo kampinio pagreičio ir nustatomas pagal formulę
a t = εR.

Normalus taško pagreitis priklauso nuo kūno kampinio greičio ir yra nulemtas ryšio
a n = ω 2 R.

Sprendžiant šiame skyriuje pateiktą problemą, būtina aiškiai suprasti, kad sukimasis yra judėjimas kietas, o ne taškai. Pavienis materialus taškas nesisuka, o juda ratu – daro kreivinį judėjimą.

§ 33. Tolygus sukamasis judėjimas

Jei kampinis greitis ω=const, tai sukamasis judėjimas vadinamas vienodu.

Vienodo sukimosi lygtis turi formą
φ = φ 0 + ωt.

Konkrečiu atveju, kai pradinis sukimosi kampas φ 0 = 0,
φ = ωt.

Tolygiai besisukančio kūno kampinis greitis
ω = φ/t
galima išreikšti taip:
ω = 2π/T,
čia T yra kūno sukimosi laikotarpis; φ=2π - sukimosi kampas vienam periodui.

§ 34. Tolygus sukamasis judėjimas

Sukamasis judėjimas su kintamu kampiniu greičiu vadinamas netolygiu (žr. toliau § 35). Jei kampinis pagreitis ε=const, vadinasi sukamasis judėjimas vienodai kintamas. Taigi tolygus kūno sukimasis yra ypatinga byla netolygus sukimosi judėjimas.

Tolygaus sukimosi lygtis
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
ir lygtis, išreiškianti kūno kampinį greitį bet kuriuo metu,
(2) ω = ω 0 + εt
yra pagrindinių formulių, skirtų kūno sukimosi tolygiam judėjimui, rinkinys.

Šios formulės apima tik šešis dydžius: tris konstantas tam tikrai problemai φ 0, ω 0 ir ε ir tris kintamuosius φ, ω ir t. Vadinasi, kiekvienos problemos sąlygoje, kad sukimasis būtų vienodas, turi būti bent keturi nurodyti kiekiai.

Kai kurių uždavinių sprendimo patogumui iš (1) ir (2) lygčių galima gauti dar dvi pagalbines formules.

Išskirkime kampinį pagreitį ε iš (1) ir (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0) t/2.

Išskirkime laiką t iš (1) ir (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

Konkrečiu tolygiai pagreitinto sukimosi atveju, pradedant nuo ramybės būsenos, φ 0 =0 ir ω 0 =0. Todėl pirmiau pateiktos pagrindinės ir pagalbinės formulės yra tokios formos:
(5) φ = εt 2/2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Netolygus sukamasis judėjimas

Panagrinėkime problemos sprendimo pavyzdį, kuriame nurodytas netolygus kūno sukamasis judėjimas.

Visiškai standus korpusas - kūnas tarpusavio susitarimas kurių dalys judant nesikeičia.

Transliacinis standaus kūno judėjimas - tai yra jo judėjimas, kai bet kuri tiesi linija, standžiai sujungta su kūnu, juda, išlikdama lygiagreti pradinei krypčiai.

Standaus kūno transliacinio judėjimo metu visi jo taškai per trumpą laiką dt pasislenka vienodai, tiek pat pakinta šių taškų spindulio vektorius. Atitinkamai, kiekvienu laiko momentu visų jo taškų greičiai yra vienodi ir vienodi. Todėl kinematika svarstoma judėjimas į priekį kieto kūno atveju reikia ištirti bet kurio jo taško judėjimą. Paprastai laikome standaus kūno, laisvai judančio erdvėje, inercijos centro judėjimą.

Sukamasis standaus kūno judėjimas - tai judėjimas, kurio metu visi jo taškai juda apskritimais, kurių centrai yra už kūno ribų . Tiesi linija vadinama kūno sukimosi ašimi.

Kampinis greitis– vektorinis dydis, apibūdinantis kūno sukimosi greitį; sukimosi kampo ir laiko, per kurį šis sukimasis įvyko, santykis; vektorius, kurį lemia pirmoji kūno sukimosi kampo išvestinė laiko atžvilgiu. Kampinio greičio vektorius nukreipiamas išilgai sukimosi ašies pagal dešiniojo sraigto taisyklę. ω=φ/t=2π/T=2πn, kur T – sukimosi periodas, n – sukimosi dažnis. ω=lim Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt.

Kampinis pagreitis– vektorius, nustatomas pagal pirmąją kampinio greičio išvestinę laiko atžvilgiu. Kai kūnas sukasi aplink fiksuotą ašį, kampinio pagreičio vektorius nukreipiamas išilgai sukimosi ašies link elementaraus kampinio greičio prieaugio vektoriaus. Antroji sukimosi kampo išvestinė laiko atžvilgiu. Kai kūnas sukasi aplink fiksuotą ašį, kampinio pagreičio vektorius nukreipiamas išilgai sukimosi ašies link elementaraus kampinio greičio prieaugio vektoriaus. Kai judesys pagreitintas, vektorius ε yra kartu su vektoriumi φ, o kai lėtas – priešingas jam. ε=dω/dt.

Jei dω/dt> 0, tai εω

Jei dω/dt< 0, то ε ↓ω

4. Inercijos principas (pirmasis Niutono dėsnis). Inercinės atskaitos sistemos. Reliatyvumo principas.

Pirmasis Niutono dėsnis (inercijos dėsnis): kiekvienas materialus taškas (kūnas) išlaiko ramybės būseną arba tolygų tiesinį judėjimą tol, kol kitų kūnų įtaka priverčia jį pakeisti šią būseną

Kūno noras išlaikyti ramybės būseną arba tolygų tiesinį judėjimą vadinamas inercija. Todėl pirmasis Niutono dėsnis vadinamas inercijos dėsniu.

Pirmasis Niutono dėsnis teigia, kad egzistuoja inercinės atskaitos sistemos.

Inercinis atskaitos rėmas– tai atskaitos sistema, kurios atžvilgiu laisvas materialus taškas, neveikiamas kitų kūnų, tolygiai juda tiesia linija; tai sistema, kuri yra ramybės būsenoje arba juda tolygiai ir tiesia linija, palyginti su kita inercine sistema.

Reliatyvumo principas– fundamentalus fizinis įstatymas, pagal kurią bet koks procesas vyksta identiškai izoliuotoje medžiagų sistemoje ramybės būsenoje ir toje pačioje sistemoje vienodo tiesinio judėjimo būsenoje. Judėjimo arba ramybės būsenos apibrėžiamos savavališkai pasirinktos inercinės atskaitos sistemos atžvilgiu. Reliatyvumo principas yra Einšteino specialiosios reliatyvumo teorijos pagrindas.

5. Galilėjaus transformacijos.

Reliatyvumo principas (Galileja): jokie eksperimentai (mechaniniai, elektriniai, optiniai), atlikti tam tikroje inercinėje atskaitos sistemoje, neleidžia nustatyti, ar ši sistema yra ramybės būsenoje, ar juda tolygiai ir tiesiai; visi gamtos dėsniai yra nekintami perėjimo iš vienos inercinės atskaitos sistemos į kitą atžvilgiu.

Panagrinėkime dvi atskaitos sistemas: inercinę sistemą K (su koordinatės x,y,z), kurią sutartinai laikysime nejudančia, o sistemą K’ (su koordinatėmis x’,y’,z’), judančią K atžvilgiu tolygiai ir tiesiškai greičiu U (U = const). Raskime ryšį tarp savavališko taško A koordinačių abiejose sistemose. r = r’+r0=r’+Ut. (1.)

Lygtį (1.) galima parašyti projekcijose ant koordinačių ašių:

y=y’+Uyt; (2.)

z=z’+Uzt; (1.) ir (2.) lygtys vadinamos Galilėjos koordinačių transformacijomis.

Ryšys tarp potencialios energijos ir jėgos

Kiekvienas potencialaus lauko taškas, viena vertus, atitinka tam tikrą kūną veikiančio jėgos vektoriaus vertę, kita vertus, tam tikrą potencialios energijos vertę. Todėl tarp jėgos ir potencialios energijos turi būti tam tikras ryšys.

Norėdami nustatyti šį ryšį, apskaičiuokime elementarų lauko jėgų atliekamą darbą nedidelio kūno poslinkio metu, vykstant savavališkai pasirinkta kryptimi erdvėje, kurią žymime raide . Šis darbas lygus

kur yra jėgos projekcija į kryptį.

Kadangi šiuo atveju darbas atliekamas dėl potencialios energijos rezervo, jis lygus potencialios energijos praradimui ašies segmente:

Iš paskutinių dviejų išraiškų gauname

Ši formulė nustato jėgos vektoriaus projekciją į koordinačių ašis. Jei šios projekcijos žinomos, pats jėgos vektorius yra nustatytas:

matematikos vektoriumi ,

kur a yra x, y, z skaliarinė funkcija, vadinama šio skaliaro gradientu ir žymima simboliu . Todėl jėga lygi potencialios energijos gradientui, paimtam su priešingu ženklu

Rotacinis jie vadina tokį judesį, kai du su kūnu susiję taškai, todėl per šiuos taškus einanti tiesė judesio metu lieka nejudantys (2.16 pav.). Fiksuota tiesi linija A B paskambino sukimosi ašis.

Ryžiai. 2,1 V. Kūno sukamojo judėjimo apibrėžimo link

Kūno padėtis sukimosi judesio metu lemia sukimosi kampą φ, rad (žr. 2.16 pav.). Judant sukimosi kampas laikui bėgant kinta, t.y. kūno sukamojo judėjimo dėsnis apibrėžiamas kaip dvikampio kampo Ф = Ф(/) tarp fiksuotos pusplokštumos vertės kitimo laike dėsnis. Į () , einančios per sukimosi ašį, ir judančios n 1 pusiau plokštuma, sujungta su kūnu ir taip pat einanti per sukimosi ašį.

Visų kūno taškų trajektorijos sukimosi metu yra koncentriniai apskritimai, esantys lygiagrečiose plokštumose, kurių centrai yra sukimosi ašyje.

Sukamojo kūno judėjimo kinematinės charakteristikos. Lygiai taip pat, kaip buvo įvestos taško kinematinės charakteristikos, įvedama kinematinė sąvoka, apibūdinanti funkcijos φ(c), kuri lemia kūno padėtį sukimosi judėjimo metu, kitimo greitį, t.y. kampinis greitis co = f = s/f/s//, kampinio greičio matmuo [co] = rad /Su.

Techniniuose skaičiavimuose dažnai naudojama kitokio matmens kampinio greičio išraiška – apsisukimų skaičiumi per minutę: [i] = aps./min., o ryšys tarp P ir co gali būti pavaizduoti taip: co = 27w/60 = 7w/30.

Apskritai, kampinis greitis kinta laikui bėgant. Kampinio greičio kitimo greičio matas yra kampinis pagreitis e = c/co/c//= co = f, kampinio pagreičio matmuo [e] = rad/s 2 .

Įvestos kampinės kinematinės charakteristikos yra visiškai nulemtos nurodant vieną funkciją - sukimosi kampą laiko atžvilgiu.

Kūno taškų kinematinės charakteristikos sukimosi judesio metu. Apsvarstykite esmę M kūnas, esantis atstumu p nuo sukimosi ašies. Šis taškas juda išilgai apskritimo, kurio spindulys p (2.17 pav.).

Ryžiai. 2.17.

kūno taškai jo sukimosi metu

Arkos ilgis M Q M apskritimas, kurio spindulys p apibrėžiamas kaip s= ptp, kur f yra sukimosi kampas, rad. Jei kūno judėjimo dėsnis pateikiamas kaip φ = φ(g), tai taško judėjimo dėsnis M palei trajektoriją nustatoma pagal formulę S= рф(7).

Naudojant kinematinių charakteristikų išraiškas su natūraliu taško judėjimo patikslinimo metodu, gauname besisukančio kūno taškų kinematinės charakteristikos: greitis pagal (2.6) formulę.

V= 5 = rf = rso; (2.22)

tangentinis pagreitis pagal (2.12) išraišką

i t = K = sor = er; (2.23)

normalus pagreitis pagal (2.13) formulę

a„ = Ir 2 /р = с 2 р 2 /р = ogr; (2.24)

bendras pagreitis naudojant išraišką (2.15)

A = -] A + a] = px/e 2 + co 4. (2.25)

Suminio pagreičio krypties charakteristika imama p - viso pagreičio vektoriaus nuokrypio kampas nuo tašku aprašyto apskritimo spindulio (2.18 pav.).

Iš pav. 2.18 gauname

tgjLi = aja n=re/pco 2 =g/(o 2. (2.26)

Ryžiai. 2.18.

Atkreipkite dėmesį, kad visos besisukančio kūno taškų kinematinės charakteristikos yra proporcingos atstumams iki sukimosi ašies. Ve-

Jų tapatybės nustatomos per tos pačios funkcijos – sukimosi kampo – darinius.

Kampinių ir tiesinių kinematinių charakteristikų vektorinės išraiškos. Analitiniam besisukančio kūno kampinių kinematinių charakteristikų, kartu su sukimosi ašimi, aprašymui, koncepcija sukimosi kampo vektorius(2.19 pav.): φ = φ(/)A:, kur Į- valgyti

sukimosi ašies vektorius

1; Į=sop51 .

Vektorius f nukreiptas išilgai šios ašies taip, kad jį būtų galima matyti iš „galo“

sukimas vyksta prieš laikrodžio rodyklę.

Ryžiai. 2.19.

charakteristikos vektorine forma

Jei vektorius φ(/) yra žinomas, tada visas kitas sukimosi judėjimo kampines charakteristikas galima pavaizduoti vektorine forma:

• kampinio greičio vektorius co = f = f Į. Kampinio greičio vektoriaus kryptis lemia sukimosi kampo išvestinės ženklą;
• kampinio pagreičio vektorius є = сo = Ф Į.Šio vektoriaus kryptis lemia kampinio greičio išvestinės ženklą.

Įvesti vektoriai с ir є leidžia gauti taškų kinematinių charakteristikų vektorines išraiškas (žr. 2.19 pav.).

Atkreipkite dėmesį, kad taško greičio vektoriaus modulis sutampa su kampinio greičio vektoriaus ir spindulio vektoriaus sandaugos moduliu: |cox G= sogvіpa = šiukšlės. Atsižvelgdami į vektorių с ir r kryptis bei vektoriaus sandaugos krypties taisyklę, galime parašyti greičio vektoriaus išraišką:

V= co xg.

Panašiai lengva tai parodyti

• ? X
• - pvzBіpa= єр = a t Ir

Sosor = co p = i.

(Be to, šių kinematinių charakteristikų vektoriai sutampa su atitinkamomis vektorių sandaugomis.

Todėl tangentinio ir normalaus pagreičio vektorius galima pavaizduoti kaip vektorinių sandaugų:

• (2.28)
• (2.29)

a x = g X G

A= co x V.

Sukimosi kampas, kampinis greitis ir kampinis pagreitis

Standaus kūno sukimasis aplink fiksuotą ašį Vadinamas toks judėjimas, kai du kūno taškai visą judėjimo laiką lieka nejudantys. Tokiu atveju visi kūno taškai, esantys tiesioje linijoje, einančioje per fiksuotus taškus, taip pat lieka nejudantys. Ši linija vadinama kūno sukimosi ašis.

Jeigu A Ir IN- fiksuoti kūno taškai (15 pav.). ), tada sukimosi ašis yra ašis Ozas, kurios erdvėje gali turėti bet kokią kryptį, nebūtinai vertikalią. Vienos ašies kryptis Ozas priimamas kaip teigiamas.

Per sukimosi ašį nubrėžiame fiksuotą plokštumą Autorius ir mobilusis P, pritvirtintas prie besisukančio korpuso. Tegul pradiniu laiko momentu abi plokštumos sutampa. Tada tam tikru momentu t judančios plokštumos ir paties besisukančio kūno padėtį galima nustatyti pagal dvisienį kampą tarp plokštumų ir atitinkamą tiesinį kampą φ tarp tiesių, esančių šiose plokštumose ir statmenai sukimosi ašiai. Kampas φ paskambino kūno sukimosi kampas.

Kūno padėtis pasirinktos atskaitos sistemos atžvilgiu yra visiškai nustatyta bet kurioje

laiko momentas, jei pateikta lygtis φ =f(t) (5)

Kur f(t)- bet kuri du kartus diferencijuojama laiko funkcija. Ši lygtis vadinama standaus kūno sukimosi aplink fiksuotą ašį lygtis.

Kūnas, besisukantis aplink fiksuotą ašį, turi vieną laisvės laipsnį, nes jo padėtis nustatoma nurodant tik vieną parametrą - kampą φ .

Kampas φ yra laikomas teigiamu, jei jis brėžiamas prieš laikrodžio rodyklę, ir neigiamas priešinga kryptimi, kai žiūrima iš teigiamos ašies krypties Ozas. Kūno taškų trajektorijos, kai jis sukasi aplink fiksuotą ašį, yra apskritimai, esantys plokštumose, statmenose sukimosi ašiai.

Norėdami apibūdinti standaus kūno sukimosi judėjimą aplink fiksuotą ašį, pristatome kampinio greičio ir kampinio pagreičio sąvokas. Kūno algebrinis kampinis greitis bet kuriuo laiko momentu vadinamas pirmąja šio momento sukimosi kampo išvestine laiko atžvilgiu, t.y. dφ/dt = φ. Tai teigiamas dydis, kai kūnas sukasi prieš laikrodžio rodyklę, nes sukimosi kampas laikui bėgant didėja, ir neigiamas, kai kūnas sukasi pagal laikrodžio rodyklę, nes sukimosi kampas mažėja.

Kampinio greičio modulis žymimas ω. Tada ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

Kampinio greičio matmuo nustatomas pagal (6)

[ω] = kampas/laikas = rad/s = s -1.

Inžinerijoje kampinis greitis yra sukimosi greitis, išreikštas apsisukimais per minutę. Per 1 minutę kūnas pasisuks kampu 2πп, Jeigu P- apsisukimų skaičius per minutę. Padalinę šį kampą iš sekundžių skaičiaus per minutę, gauname: (7)

Kūno algebrinis kampinis pagreitis vadinamas pirmąja išvestine algebrinio greičio laiko atžvilgiu, t.y. antroji sukimosi kampo išvestinė d 2 φ/dt 2 = ω. Pažymime kampinio pagreičio modulį ε , Tada ε=|φ| (8)

Kampinio pagreičio matmuo gaunamas iš (8):

[ε ] = kampinis greitis/laikas = rad/s 2 = s -2

Jeigu φ’’>0 adresu φ’>0 , tada algebrinis kampinis greitis laikui bėgant didėja, todėl kūnas tuo momentu sukasi pagreitintai teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodyklę). At φ’’<0 Ir φ’<0 kūnas greitai sukasi neigiama kryptimi. Jeigu φ’’<0 adresu φ’>0 , tada mes turime lėtą sukimąsi teigiama kryptimi. At φ’’>0 Ir φ’<0 , t.y. lėtas sukimasis vyksta neigiama kryptimi. Kampinis greitis ir kampinis pagreitis paveiksluose pavaizduoti lanko rodyklėmis aplink sukimosi ašį. Kampinio greičio lanko rodyklė rodo kūnų sukimosi kryptį;

Pagreitinto sukimosi atveju kampinio greičio ir kampinio pagreičio lanko rodyklės turi tas pačias kryptis, o lėto sukimosi kryptys yra priešingos.

Ypatingi standaus korpuso sukimosi atvejai

Sakoma, kad sukimasis vienodas, jei ω = pastovus, φ = φ’t

Sukimasis bus vienodas, jei ε=konst. φ’= φ’ 0 + φ’’t ir

Apskritai, jei φ’’ ne visada,

Kūno taškų greičiai ir pagreičiai

Yra žinoma standaus kūno sukimosi aplink fiksuotą ašį lygtis φ = f(t)(16 pav.). Atstumas s taškų M judančioje plokštumoje P išilgai apskritimo lanko (taško trajektorija), matuojant nuo taško M o, esantis fiksuotoje plokštumoje, išreikštas kampu φ priklausomybė s=hφ, Kur h- apskritimo, kuriuo juda taškas, spindulys. Tai trumpiausias atstumas nuo taško Mį sukimosi ašį. Tai kartais vadinama taško sukimosi spinduliu. Kiekviename kūno taške sukimosi spindulys išlieka nepakitęs, kai kūnas sukasi aplink fiksuotą ašį.

Algebrinis taško greitis M nustatoma pagal formulę v τ =s’=hφ Taško greičio modulis: v=hω(9)

Kūno taškų greičiai, kai jie sukasi aplink fiksuotą ašį, yra proporcingi jų trumpiausiam atstumui iki šios ašies. Proporcingumo koeficientas yra kampinis greitis. Taškų greičiai nukreipti išilgai trajektorijų liestinių ir todėl yra statmeni sukimosi spinduliams. Tiesios linijos atkarpoje esančių kūno taškų greičiai OM, pagal (9) paskirstomi pagal tiesinį dėsnį. Jie yra tarpusavyje lygiagretūs, o jų galai yra toje pačioje tiesėje, einančioje per sukimosi ašį. Taško pagreitį išskaidome į tangentinę ir normaliąją dedamąsias, t.y. a=a τ +a nτ Tangentinis ir normalusis pagreičiai apskaičiuojami naudojant (10) formules.

kadangi apskritimo kreivio spindulys yra p=h(17 pav ). Taigi,

Tangentiniai, normalieji ir suminiai taškų pagreičiai, taip pat greičiai taip pat pasiskirsto pagal tiesinį dėsnį. Jie tiesiškai priklauso nuo taškų atstumų iki sukimosi ašies. Normalus pagreitis nukreipiamas išilgai apskritimo spindulio sukimosi ašies link. Tangentinio pagreičio kryptis priklauso nuo algebrinio kampinio pagreičio ženklo. At φ’>0 Ir φ’’>0 arba φ’<0 Ir φ’<0 turime pagreitintą kūno sukimąsi ir vektorių kryptis a τ Ir v susilyginti. Jeigu φ’ Ir φ’" turi skirtingus ženklus (lėtas sukimasis), tada a τ Ir v nukreipti vienas prieš kitą.

Paskyrus α turime kampą tarp viso taško pagreičio ir jo sukimosi spindulio

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

nuo normalaus pagreičio a p visada posityvus. Kampas A vienodas visuose kūno taškuose. Jis turėtų būti atidėtas nuo pagreičio iki sukimosi spindulio kampinio pagreičio lanko rodyklės kryptimi, neatsižvelgiant į standaus korpuso sukimosi kryptį.

Kampinio greičio ir kampinio pagreičio vektoriai

Supažindinkime su kūno kampinio greičio ir kampinio pagreičio vektorių sąvokomis. Jeigu KAM yra sukimosi ašies, nukreiptos teigiama kryptimi, vienetinis vektorius, tada kampinio greičio vektoriai ώ ir kampinis pagreitis ε nustatoma pagal išraiškas (12)

Nes k yra vektoriaus dydžio ir krypties konstanta, tada iš (12) išplaukia, kad

ε=dώ/dt(13)

At φ’>0 Ir φ’’>0 vektorines kryptis ώ Ir ε susilyginti. Jie abu yra nukreipti į teigiamą sukimosi ašies pusę Ozas(18.a pav.)Jei φ’>0 Ir φ’’<0 , tada jie nukreipiami priešingomis kryptimis (18.b pav.). ). Kampinio pagreičio vektorius pagreitinto sukimosi metu sutampa su kampinio greičio vektoriumi, o lėto sukimosi metu yra jam priešingas. Vektoriai ώ Ir ε gali būti pavaizduotas bet kuriame sukimosi ašies taške. Jie yra judantys vektoriai. Ši savybė išplaukia iš kūno taškų greičių ir pagreičių vektorinių formulių.

Sudėtingas taško judėjimas

Pagrindinės sąvokos

Norint ištirti kai kuriuos sudėtingesnius standaus kūno judėjimo tipus, patartina atsižvelgti į paprasčiausią sudėtingą taško judesį. Daugelyje problemų taško judėjimas turi būti vertinamas dviejų (ar daugiau) atskaitos sistemų, judančių viena kitos atžvilgiu, atžvilgiu. Taigi erdvėlaivio judėjimas, judantis Mėnulio link, turi būti vertinamas vienu metu tiek Žemės atžvilgiu, tiek Mėnulio, kuris juda Žemės atžvilgiu, atžvilgiu. Bet koks taško judėjimas gali būti laikomas sudėtingu, susidedančiu iš kelių judesių. Pavyzdžiui, laivo judėjimas upe Žemės atžvilgiu gali būti laikomas sudėtingu, susidedančiu iš judėjimo per vandenį ir kartu su tekančiu vandeniu.

Paprasčiausiu atveju sudėtingas taško judėjimas susideda iš santykinių ir transliacinių judesių. Apibrėžkime šiuos judesius. Tegul dvi atskaitos sistemos juda viena kitos atžvilgiu. Jei viena iš šių sistemų O l x 1 y 1 z 1(19 pav ) laikoma pagrindine arba stacionaria (jos judėjimas kitų atskaitos sistemų atžvilgiu neatsižvelgiamas), tada antroji atskaitos sistema Oxyz pajudės, palyginti su pirmuoju. Taško judėjimas judančio atskaitos rėmo atžvilgiu Oxyz paskambino giminaitis.Šio judėjimo charakteristikos, tokios kaip trajektorija, greitis ir pagreitis, vadinamos giminaitis. Jie žymimi indeksu r; greičiui ir įsibėgėjimui v r , a r . Taško judėjimas pagrindinio arba fiksuoto sistemos atskaitos rėmo atžvilgiu O 1 x 1 y 1 z 1 paskambino absoliutus(arba kompleksas ). Jis taip pat kartais vadinamas sudėtinis judėjimas. Šio judėjimo trajektorija, greitis ir pagreitis vadinamas absoliučiu. Absoliutaus judėjimo greitis ir pagreitis žymimi raidėmis v, a nėra indeksų.

Nešiojamasis taško judėjimas yra judėjimas, kurį jis atlieka kartu su judančia atskaitos sistema, kaip taškas, standžiai prijungtas prie šios sistemos nagrinėjamu metu. Dėl santykinio judėjimo judantis taškas skirtingu metu sutampa su skirtingais kūno taškais S, prie kurios pritvirtinta judanti atskaitos sistema. Nešiojamasis greitis ir nešiojamasis pagreitis yra to kūno taško greitis ir pagreitis S, su kuriuo šiuo metu sutampa judantis taškas. Nešiojamasis greitis ir pagreitis reiškia v e , a e.

Jeigu visų kūno taškų trajektorijos S, pritvirtinta prie judančios atskaitos sistemos, pavaizduota paveiksle (20 pav.), tada gauname linijų šeimą – taško kilnojamojo judėjimo trajektorijų šeimą. M. Dėl santykinio taško judėjimo M kiekvienu laiko momentu jis yra vienoje iš nešiojamojo judėjimo trajektorijų. Taškas M gali sutapti tik su vienu tašku kiekvienoje šios nešiojamųjų trajektorijų šeimos trajektorijoje. Šiuo atžvilgiu kartais manoma, kad nėra nešiojamojo judėjimo trajektorijų, nes linijas reikia laikyti nešiojamojo judėjimo trajektorijomis, kurioms tik vienas taškas iš tikrųjų yra trajektorijos taškas.

Taško kinematikoje buvo tiriamas taško judėjimas bet kurios atskaitos sistemos atžvilgiu, neatsižvelgiant į tai, ar ši atskaitos sistema juda kitų sistemų atžvilgiu, ar ne. Papildykime šį tyrimą nagrinėdami sudėtingą judesį, paprasčiausiu atveju susidedantį iš santykinio ir vaizdinio judėjimo. Vienas ir tas pats absoliutus judesys, pasirenkant skirtingus judančius atskaitos rėmus, gali būti laikomas susidedančiu iš skirtingų nešiojamų ir atitinkamai santykinių judesių.

Greičio papildymas

Nustatykime taško absoliutaus judėjimo greitį, jei žinomi šio taško santykinio ir kilnojamojo judėjimo greičiai. Tegul taškas atlieka tik vieną santykinį judėjimą judančios atskaitos sistemos Oxyz atžvilgiu ir laiko momentu t santykinio judėjimo trajektorijoje užima padėtį M (20 pav.). Laiko momentu t+ t dėl ​​santykinio judėjimo taškas bus padėtyje M 1, pajudėjęs MM 1 išilgai santykinio judėjimo trajektorijos. Tarkime, kad tai yra esmė Oxyz ir su santykine trajektorija jis judės tam tikra kreive toliau MM 2. Jei taškas vienu metu dalyvauja ir santykiniuose, ir nešiojamuose judesiuose, tai laike A; ji persikels į MM" absoliutaus judėjimo trajektorija ir laiko momentu t+At užims pareigas M". Jei laikas At mažai ir tada pereikite prie ribos ties tuo, linkę į nulį, tada nedideli poslinkiai išilgai kreivių gali būti pakeisti stygų segmentais ir imami kaip poslinkio vektoriai. Sudėję vektorių poslinkius, gauname

Šiuo atžvilgiu maži aukštesnio laipsnio kiekiai yra atmetami, link nulio tuo, linkę į nulį. Peržengiame ribą, turime (14)

Todėl (14) bus forma (15)

Gaunama vadinamoji greičio sudėjimo teorema: taško absoliutaus judėjimo greitis lygus šio taško kilnojamųjų ir santykinių judesių greičių vektorinei sumai. Kadangi bendruoju atveju nešiojamųjų ir santykinių judesių greičiai nėra statmeni, tai (15’)

Susijusi informacija.

Ryžiai. 6.4

Toks kūno judėjimas, kuriame bet kurie du jo taškai (A Ir IN pav. 6.4) lieka nejudantys, vadinami sukimu aplink fiksuotą ašį.

Galima parodyti, kad šiuo atveju bet kuris kūno taškas, esantis tiesioje linijoje, jungiančioje taškus, lieka nejudantis. Oi V.

Ašis, einanti per šiuos taškus, vadinama sukimosi ašis kūnai; jo teigiama kryptis pasirenkama savavališkai (6.4 pav.).

Bet koks taškas M ant sukimosi ašies gulintis kūnas apibūdina apskritimą, kurio centras yra sukimosi ašyje (6.4 pav.).

Kūno padėtis su fiksuota sukimosi ašimi z(6.5 pav.) galima apibūdinti naudojant tik vieną skaliarinį parametrą – sukimosi kampas (r. Tai kampas tarp dviejų plokštumų, nubrėžtų per sukimosi ašį: fiksuota plokštuma N ir kilnojamas - R, standžiai sujungta su korpusu (6.5 pav.). Kampo atskaitos kryptį laikome teigiama priešinga judėjimui pagal laikrodžio rodyklę žiūrint iš ašies galo z.(6.5 pav. pažymėta lankine rodykle). Kampo SI matavimo vienetas yra 1 radianas « 57,3°. Sukimosi kampo funkcinė priklausomybė nuo laiko

visiškai nustato kūno sukamąjį judėjimą aplink fiksuotą ašį. Todėl lygybė (6.3) vadinama standaus kūno sukimosi aplink fiksuotą ašį lygtimi.

Kūno sukimosi greitis apibūdinamas kampiniu greičiu su kūnas, kuris apibrėžiamas kaip sukimosi kampo išvestinė laiko atžvilgiu

ir turi matmenis rad/s (arba s"").

Antroji sukimosi judėjimo kinematinė charakteristika yra kampinis pagreitis - kūno kampinio greičio išvestinė:

Kampinio pagreičio matmuo yra rad/s 2 (arba Su~ 2).

komentuoti. Simboliai su ir? Všios paskaitos yra paskirtos algebrinė kampinio greičio ir kampinio pagreičio vertės. Jų ženklai rodo sukimosi kryptį ir jo pobūdį (pagreitintas arba sulėtintas). Pavyzdžiui, jei su = f> 0, tada kampas (R laikui bėgant didėja, todėl kūnas sukasi atskaitos kryptimi (R.

Kiekvieno besisukančio kūno taško greitį ir pagreitį galima lengvai susieti su jo kampiniu greičiu ir kampiniu pagreičiu. Apsvarstykite savavališko taško judėjimą M kūnai (6.6 pav.).

Kadangi jo trajektorija yra apskritimas, tai taško lanko koordinatė.9 M apvertus kūną kampu valios

Kur h- atstumas nuo taško Mį sukimosi ašį (6.6 pav.).

Atskirdami abi šios lygybės puses laiko atžvilgiu, gauname, atsižvelgdami į (5.14) ir (6.4):

čia g g yra taško greičio projekcija į liestinę g, nukreiptą į lanko atskaitos tašką.v ir kampą

Normalaus taško pagreičio dydis M pagal (5.20) ir (6.6) bus

ir jo tangentinio pagreičio projekcija į liestinę r pagal (5.19) ir (6.5)

Viso taško pagreičio modulis M

vektorių kryptys v, a, a„, a, tuo atveju, kai f> 0 ir f > 0 parodytos fig. 6.7.

Pavyzdys 1. Transmisijos mechanizmas susideda iš ratų / ir 2, kurie yra sujungti taške KAM kad jiems besisukant nebūtų abipusio slydimo. Ratų sukimosi lygtis 1:

teigiamo kampo atskaitos kryptis (R parodyta lankine rodykle pav. 6.8.

Mechanizmo matmenys žinomi: G= 4 cm, R2 = 6 cm, g 2 = 2 cm.

Raskite taško greitį ir pagreitį M ratai 2 laiko momentui /| = 2 s.

Sprendimas. Kai juda rato mechanizmas 1 ir 2 sukasi aplink fiksuotas ašis, einančias per taškus 0 Ir 0 2 statmena fig. plokštumai. 6.8. Rato kampinio greičio ir kampinio pagreičio nustatymas aš momentu / = 2 s, naudojant aukščiau pateiktus šių dydžių apibrėžimus (6.4) ir (6.5):

Jų neigiami ženklai rodo, kad šiuo metu t- 2 s ratas / sukasi pagal laikrodžio rodyklę (priešingai nei kampo rodmens krypčiai (R) ir šis sukimasis paspartėja. Dėl to, kad nėra abipusio ratų slydimo aš ir 2 jų taškų greičio vektoriai sąlyčio taške KAM turi būti lygus. Išreikškime šio greičio dydį ratų kampiniais greičiais naudodami (6.6):

Iš paskutinės lygybės išreiškiame rato 2 kampinio greičio modulį ir randame jo reikšmę nurodytam laiko momentui 6 = 2 s:

Greičio kryptis Į(6.9 pav.) rodo, kad ratas 2 sukasi prieš laikrodžio rodyklę ir todėl Oi> 0. Iš (6.10) ir paskutinės nelygybės aišku, kad ratų kampiniai greičiai skiriasi pastoviu neigiamu koeficientu (- g1g 2): su 2 = g (/g 2). Bet tada šių greičių išvestinės – ratų kampiniai pagreičiai – turi skirtis tuo pačiu koeficientu: e 2 =? ] (-g ] /g 1) = -2-(-4/2) = 4s~2.

Taško greičio ir pagreičio nustatymas M 2 pakopinis ratas naudojant (6.6) – (6.9) formules:

Vektorių v ir, a, ir d/ kryptys parodytos fig. 6.9.