សិប្បកម្ម

លំហវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរ និងលក្ខណៈសម្បត្តិ axiom របស់វា។ ចន្លោះវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរ: និយមន័យ, លក្ខណៈសម្បត្តិ។ តើអ្វីជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រ?

សម្ភារៈពីវិគីភីឌា - សព្វវចនាធិប្បាយឥតគិតថ្លៃ

វ៉ិចទ័រ(ឬ លីនេអ៊ែរ) លំហ- រចនាសម្ព័ន្ធគណិតវិទ្យា ដែលជាសំណុំនៃធាតុដែលហៅថា វ៉ិចទ័រ ដែលប្រតិបត្តិការនៃការបូកជាមួយគ្នា និងគុណនឹងចំនួនត្រូវបានកំណត់ - មាត្រដ្ឋាន។ ប្រតិបត្តិការទាំងនេះត្រូវមាន axioms ប្រាំបី។ មាត្រដ្ឋានអាចជាធាតុនៃពិត ស្មុគស្មាញ ឬវាលលេខផ្សេងទៀត។ ករណីពិសេសនៃលំហបែបនេះ គឺជាលំហអឺគ្លីដបីវិមាត្រធម្មតា ដែលវ៉ិចទ័ររបស់វាត្រូវបានប្រើ ឧទាហរណ៍ ដើម្បីតំណាងឱ្យកម្លាំងរាងកាយ។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាវ៉ិចទ័រជាធាតុមួយនៃទំហំវ៉ិចទ័រមិនចាំបាច់ត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងទម្រង់នៃផ្នែកដឹកនាំនោះទេ។ ការបង្កើតគំនិតទូទៅនៃ "វ៉ិចទ័រ" ទៅជាធាតុនៃលំហវ៉ិចទ័រនៃធម្មជាតិណាមួយ មិនត្រឹមតែមិនបណ្តាលឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំនៃពាក្យប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងធ្វើឱ្យវាអាចយល់បាន ឬថែមទាំងអាចទស្សន៍ទាយលទ្ធផលមួយចំនួនដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ចន្លោះនៃធម្មជាតិបំពានផងដែរ។

ចន្លោះវ៉ិចទ័រគឺជាប្រធានបទនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ លក្ខណៈសំខាន់មួយនៃទំហំវ៉ិចទ័រគឺវិមាត្ររបស់វា។ វិមាត្រតំណាងឱ្យចំនួនអតិបរិមានៃធាតុឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃលំហ ពោលគឺសំដៅលើការពិពណ៌នាធរណីមាត្ររដុប ចំនួននៃទិសដៅដែលមិនអាចបង្ហាញតាមរយៈគ្នាទៅវិញទៅមកតាមរយៈប្រតិបត្តិការនៃការបូក និងគុណដោយមាត្រដ្ឋានមួយ។ ចន្លោះវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយរចនាសម្ព័ន្ធបន្ថែម ដូចជាបទដ្ឋាន ឬផលិតផលខាងក្នុង។ លំហបែបនេះលេចឡើងដោយធម្មជាតិនៅក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា ជាចម្បងក្នុងទម្រង់នៃចន្លោះមុខងារគ្មានកំណត់ ( ភាសាអង់គ្លេស) ដែលមុខងារ។ បញ្ហានៃការវិភាគជាច្រើនតម្រូវឱ្យស្វែងរកថាតើលំដាប់នៃវ៉ិចទ័រមួយទៅវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យឬអត់។ ការពិចារណាលើសំណួរបែបនេះគឺអាចធ្វើទៅបានក្នុងចន្លោះវ៉ិចទ័រដែលមានរចនាសម្ព័ន្ធបន្ថែម ក្នុងករណីភាគច្រើនជា topology សមរម្យ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់គោលគំនិតនៃភាពជិត និងបន្ត។ ចន្លោះវ៉ិចទ័រ topological បែបនេះ ជាពិសេសលំហ Banach និង Hilbert អនុញ្ញាតឱ្យមានការសិក្សាកាន់តែស៊ីជម្រៅ។

បន្ថែមពីលើវ៉ិចទ័រ ពិជគណិតលីនេអ៊ែរក៏សិក្សាពីកម្រិតនៃចំណាត់ថ្នាក់ខ្ពស់ជាងនេះផងដែរ (មាត្រដ្ឋានត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំណាត់ថ្នាក់ 0 tensor វ៉ិចទ័រត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំណាត់ថ្នាក់លេខ 1)។

ស្នាដៃដំបូងដែលគិតទុកជាមុនអំពីការណែនាំនៃគំនិតនៃលំហវ៉ិចទ័រមានតាំងពីសតវត្សទី 17 ។ ពេលនោះហើយដែលធរណីមាត្រវិភាគ គោលលទ្ធិនៃម៉ាទ្រីស ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងវ៉ិចទ័រ Euclidean បានចាប់ផ្តើមអភិវឌ្ឍ។

និយមន័យ

លីនេអ៊ែរ, ឬ ចន្លោះវ៉ិចទ័រ $V\left (F\right)$ លើវាល $ច$ - នេះគឺជាការបញ្ជាទិញចំនួនបួន $(V,F,+,\cdot)$ , កន្លែងណា

$វ$ - សំណុំមិនទទេនៃធាតុនៃធម្មជាតិតាមអំពើចិត្តដែលត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រ;
$ច$ - វាល (ពិជគណិត) ដែលធាតុត្រូវបានគេហៅថា មាត្រដ្ឋាន;
ប្រតិបត្តិការដែលបានកំណត់ បន្ថែមវ៉ិចទ័រ $V គុណ V ដល់ V$ ដែលភ្ជាប់គូនៃធាតុនីមួយៗ $\mathbf(x), \mathbf(y)$ សំណុំ $វ$ $វ$ បានហៅពួកគេ។ ចំនួនទឹកប្រាក់និងបានកំណត់ $\mathbf(x) + \mathbf(y)$ ;
ប្រតិបត្តិការដែលបានកំណត់ គុណវ៉ិចទ័រដោយមាត្រដ្ឋាន $F \ ដង V ដល់ V$ , ផ្គូផ្គងធាតុនីមួយៗ $\lambda$ វាល $ច$ និងធាតុនីមួយៗ $\mathbf(x)$ សំណុំ $វ$ ធាតុតែមួយគត់នៃសំណុំ $វ$ , តំណាង $\lambda\cdot\mathbf(x)$ ឬ $\lambda\mathbf(x)$ ;

ចន្លោះវ៉ិចទ័រដែលបានកំណត់នៅលើសំណុំនៃធាតុដូចគ្នា ប៉ុន្តែនៅលើវាលផ្សេងគ្នានឹងជាចន្លោះវ៉ិចទ័រផ្សេងគ្នា (ឧទាហរណ៍ សំណុំនៃគូនៃចំនួនពិត $\mathbb(R)^2$ អាចជាទំហំវ៉ិចទ័រពីរវិមាត្រលើវាលនៃចំនួនពិត ឬមួយវិមាត្រ - លើវាលនៃចំនួនកុំផ្លិច)។

លក្ខណៈសម្បត្តិសាមញ្ញបំផុត។

ចន្លោះវ៉ិចទ័រគឺជាក្រុម Abelian នៅក្រោមការបន្ថែម។
ធាតុអព្យាក្រឹត $\mathbf(0) \in V$
$0\cdot\mathbf(x) = \mathbf(0)$ សម្រាប់នរណាម្នាក់ $\mathbf(x) \in V$ .
សម្រាប់នរណាម្នាក់ $\mathbf(x) \in V$ ធាតុផ្ទុយ $-\mathbf(x)\in V$ គឺជារឿងតែមួយគត់ដែលធ្វើតាមពីលក្ខណៈសម្បត្តិក្រុម។
$1\cdot\mathbf(x) = \mathbf(x)$ សម្រាប់នរណាម្នាក់ $\mathbf(x) \in V$ .
$(-\alpha)\cdot\mathbf(x) = \alpha\cdot(-\mathbf(x)) = -(\alpha\mathbf(x))$ សម្រាប់ណាមួយ។ $\alpha \ ក្នុង F$ និង $\mathbf(x) \in V$ .
$\alpha\cdot \mathbf(0) = \mathbf(0)$ សម្រាប់នរណាម្នាក់ $\alpha \ ក្នុង F$ .

និយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិដែលពាក់ព័ន្ធ

ចន្លោះរង

និយមន័យពិជគណិត៖ ចន្លោះរងលីនេអ៊ែរឬ ចន្លោះរងវ៉ិចទ័រ- សំណុំរងមិនទទេ $ខេ$ ចន្លោះលីនេអ៊ែរ $វ$ បែបនោះ។ $ខេ$ ខ្លួនវាផ្ទាល់ជាលំហលីនេអ៊ែរ ទាក់ទងនឹងអ្វីដែលកំណត់ក្នុង $វ$ ប្រតិបត្តិការនៃការបូក និងគុណដោយមាត្រដ្ឋាន។ សំណុំនៃ subspaces ទាំងអស់ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងថាជា $\mathrm(ឡាត)(V)$ . សម្រាប់សំណុំរងជាលំហរង វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់

សម្រាប់វ៉ិចទ័រណាមួយ។ $\mathbf(x)\ក្នុង K$ , វ៉ិចទ័រ $\alpha\mathbf(x)$ ជាកម្មសិទ្ធិផងដែរ។ $ខេ$ , សម្រាប់ណាមួយ។ $\alpha\នៅក្នុង F$ ;
សម្រាប់វ៉ិចទ័រទាំងអស់។ $\mathbf(x), \mathbf(y) \in K$ , វ៉ិចទ័រ $\mathbf(x)+\mathbf(y)$ ជាកម្មសិទ្ធិផងដែរ។ $ខេ$ .

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពីរចុងក្រោយគឺស្មើនឹងដូចខាងក្រោម៖

សម្រាប់វ៉ិចទ័រទាំងអស់។ $\mathbf(x), \mathbf(y) \in K$ , វ៉ិចទ័រ $\alpha\mathbf(x)+\beta\mathbf(y)$ ជាកម្មសិទ្ធិផងដែរ។ $ខេ$ សម្រាប់ណាមួយ។ $\alpha, \beta \in F$ .

ជាពិសេស ចន្លោះវ៉ិចទ័រដែលមានវ៉ិចទ័រសូន្យតែមួយគត់ គឺជាចន្លោះរងនៃលំហណាមួយ; លំហនីមួយៗគឺជា subspace របស់វា។ ចន្លោះរងដែលមិនស្របគ្នានឹងទាំងពីរនេះត្រូវបានគេហៅថា ផ្ទាល់ខ្លួនឬ មិនតូចតាច.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃចន្លោះរង

ចំនុចប្រសព្វនៃគ្រួសារនៃ subspaces គឺជា subspace ម្តងទៀត។
ផលបូកនៃចន្លោះរង $K_i\quad|\quad i \in 1\ldots N$ត្រូវបានកំណត់ជាសំណុំដែលមានផលបូកដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃធាតុ K_i: \sum_(i=1)^N (K_i):= $\mathbf(x)_1 + \mathbf(x)_2 + \ldots + \mathbf(x)_N\quad|\quad \mathbf(x)_i \in K_i\quad (i\in 1\ldots N)$.
- ផលបូកនៃក្រុមគ្រួសារនៃលំហរកំណត់គឺម្តងទៀតជាលំហរង។

បន្សំលីនេអ៊ែរ

ផលបូកចុងក្រោយនៃទម្រង់

$\alpha_1\mathbf(x)_1 + \alpha_2\mathbf(x)_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf(x)_n$

ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា:

មូលដ្ឋាន។ វិមាត្រ

វ៉ិចទ័រ $\mathbf(x)_1, \mathbf(x)_2, \ldots, \mathbf(x)_n$ ត្រូវបានហៅ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើមានការផ្សំលីនេអ៊ែរមិនសំខាន់នៃពួកវាស្មើនឹងសូន្យ៖

បើមិនដូច្នោះទេវ៉ិចទ័រទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ.

និយមន័យនេះអនុញ្ញាតឱ្យមានការធ្វើជាទូទៅដូចខាងក្រោម៖ សំណុំវ៉ិចទ័រគ្មានកំណត់ពី $វ$ ហៅ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើខ្លះពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ ចុងក្រោយសំណុំរងរបស់វា និង ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរបើមាន ចុងក្រោយសំណុំរងគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមូលដ្ឋាន៖

ណាមួយ។ $ន$ ធាតុឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ $ន$ - ទម្រង់ទំហំវិមាត្រ មូលដ្ឋានចន្លោះនេះ។
វ៉ិចទ័រណាមួយ។ $\mathbf(x) \in V$ អាចត្រូវបានតំណាង (តែមួយគត់) ជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរកំណត់នៃធាតុមូលដ្ឋាន៖

\mathbf(x) = \alpha_1\mathbf(x)_1 + \alpha_2\mathbf(x)_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf(x)_n

សែលលីនេអ៊ែរ

សែលលីនេអ៊ែរ $\mathcal V(X)$ សំណុំរង $X$ ចន្លោះលីនេអ៊ែរ $វ$ - ប្រសព្វនៃចន្លោះរងទាំងអស់។ $វ$ មាន $X$ .

វិសាលភាពលីនេអ៊ែរគឺជាចន្លោះរង $វ$ .

សែលលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថាផងដែរ។ ចន្លោះរងត្រូវបានបង្កើត $X$ . វាត្រូវបានគេនិយាយផងដែរថាសែលលីនេអ៊ែរ $\mathcal V(X)$ - លំហ, លាតសន្ធឹងមួយបាច់ $X$ .

សែលលីនេអ៊ែរ $\mathcal V(X)$ មានបន្សំលីនេអ៊ែរដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធរងកំណត់ផ្សេងៗនៃធាតុពី $X$ . ជាពិសេសប្រសិនបើ $X$ នោះគឺជាសំណុំកំណត់ $\mathcal V(X)$ មានបន្សំលីនេអ៊ែរទាំងអស់នៃធាតុ $X$ . ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រសូន្យតែងតែជាកម្មសិទ្ធិរបស់តួលីនេអ៊ែរ។

ប្រសិនបើ $X$ គឺជាសំណុំឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ បន្ទាប់មកវាគឺជាមូលដ្ឋាន $\mathcal V(X)$ ហើយដោយហេតុនេះកំណត់ទំហំរបស់វា។

ឧទាហរណ៍

ចន្លោះទទេដែលធាតុតែមួយគត់គឺសូន្យ។
ចន្លោះនៃមុខងារទាំងអស់។ $X ទៅ F$ ជាមួយនឹងការគាំទ្រកម្រិតកំណត់បង្កើតជាទំហំវ៉ិចទ័រនៃវិមាត្រស្មើនឹង cardinality $X$ .
វាលនៃចំនួនពិតអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចន្លោះវ៉ិចទ័រវិមាត្របន្តលើវាលនៃលេខសនិទាន។
វាលណាមួយគឺជាចន្លោះមួយវិមាត្រនៅពីលើខ្លួនវា។

រចនាសម្ព័ន្ធបន្ថែម

សូមមើលផងដែរ

សរសេរការពិនិត្យឡើងវិញអំពីអត្ថបទ "ទំហំវ៉ិចទ័រ"

កំណត់ចំណាំ

អក្សរសិល្ប៍

Gelfand I.M.ការបង្រៀនអំពីពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ -ទី៥. - M. : Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 ទំ។ - ISBN 5-7913-0015-8 ។
Gelfand I.M.ការបង្រៀនអំពីពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ទី 5 ed ។ - M. : Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 ទំ។ - ISBN 5-7913-0016-6 ។
Kostrikin A. I., Manin Yu. I.ពិជគណិតលីនេអ៊ែរ និងធរណីមាត្រ។ ទី 2 ed ។ - M. : Nauka, 1986. - 304 ទំ។
Kostrikin A.I.សេចក្តីផ្តើមអំពីពិជគណិត។ ផ្នែកទី 2៖ ពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ -ទី៣. - M. : Nauka., 2004. - 368 ទំ។ - (សៀវភៅសិក្សារបស់សាកលវិទ្យាល័យ) ។
Maltsev A.I.មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ -ទី៣. - M. : Nauka, 1970. - 400 ទំ។

Postnikov M. M.ពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (ការបង្រៀនអំពីធរណីមាត្រ។ ឆមាសទី២)។ - ទី២. - M. : Nauka, 1986. - 400 ទំ។
Strang G.ពិជគណិតលីនេអ៊ែរ និងកម្មវិធីរបស់វា។ - M. : Mir, 1980. - 454 ទំ។
Ilyin V.A., Poznyak E.G.ពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ទី 6 ed ។ - M. : Fizmatlit, 2010. - 280 ទំ។ - ISBN 978-5-9221-0481-4 ។
ហាមូស ភី.លំហវ៉ិចទ័រវិមាត្រកំណត់។ - M. : Fizmatgiz, 1963. - 263 ទំ។
Faddeev D.K.ការបង្រៀនអំពីពិជគណិត។ -ទី៥. - សាំងពេទឺប៊ឺគ។ : Lan, 2007. - 416 ទំ។
Shafarevich I.R., Remizov A.O.ពិជគណិតលីនេអ៊ែរ និងធរណីមាត្រ។ - ទី 1 ។ - M. : Fizmatlit, 2009. - 511 ទំ។
Schreyer O., Sperner G.ការណែនាំអំពីពិជគណិតលីនេអ៊ែរក្នុងការបង្ហាញធរណីមាត្រ = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (ការបកប្រែពីភាសាអាឡឺម៉ង់)។ - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 ទំ។

វ៉ិចទ័រ និងម៉ាទ្រីស

វ៉ិចទ័រ

គំនិតជាមូលដ្ឋាន

ប្រភេទនៃវ៉ិចទ័រ

ប្រតិបត្តិការលើវ៉ិចទ័រ

ប្រភេទនៃចន្លោះ

ម៉ាទ្រីស

គំនិតជាមូលដ្ឋាន

ផ្សេងទៀត

សម្រង់ដែលកំណត់លក្ខណៈវ៉ិចទ័រលំហ

Kutuzov បានដើរកាត់ជួរ ម្តងម្កាលឈប់ ហើយនិយាយពាក្យល្អពីរបីទៅនាយទាហានដែលគាត់ស្គាល់ពីសង្គ្រាមទួរគី ហើយពេលខ្លះទៅកាន់ទាហាន។ ក្រឡេកមើលស្បែកជើង គាត់បានគ្រវីក្បាលជាច្រើនដងដោយក្រៀមក្រំ ហើយចង្អុលទៅមេទ័ពអូទ្រីសដោយការបញ្ចេញមតិបែបនេះថា គាត់ហាក់បីដូចជាមិនបន្ទោសនរណាម្នាក់ចំពោះវាទេ ប៉ុន្តែគាត់មិនអាចជួយបាន ប៉ុន្តែមើលថាតើវាអាក្រក់ប៉ុណ្ណា។ រាល់ពេលដែលមេបញ្ជាការកងវរសេនាធំរត់ទៅមុខ ខ្លាចនឹកពាក្យរបស់មេបញ្ជាការទាក់ទងនឹងកងវរសេនាធំ។ នៅពីក្រោយ Kutuzov នៅចម្ងាយដែលពាក្យដែលនិយាយតិចៗអាចត្រូវបានគេឮបានដើរប្រហែល 20 នាក់នៅក្នុងការបន្តរបស់គាត់។ សុភាពបុរសនៃអ្នកចូលនិវត្តន៍បាននិយាយជាមួយគ្នាហើយពេលខ្លះសើច។ អ្នកជំនួយការសង្ហាបានដើរទៅជិតមេទ័ពបំផុត។ វាគឺជាព្រះអង្គម្ចាស់ Bolkonsky ។ នៅក្បែរគាត់ដើរជាមួយសមមិត្តរបស់គាត់ឈ្មោះ Nesvitsky ដែលជាមន្ត្រីបុគ្គលិកខ្ពស់ធាត់ខ្លាំង ជាមួយនឹងទឹកមុខញញឹមស្រស់សង្ហា និងភ្នែកមានសំណើម។ Nesvitsky ស្ទើរតែមិនអាចទប់ខ្លួនគាត់ពីការសើចដោយរំភើបដោយមន្រ្តី hussar ខ្មៅដែលដើរក្បែរគាត់។ មន្ត្រី Hussar ដោយមិនញញឹម ដោយមិនផ្លាស់ប្តូរទឹកមុខ សម្លឹងមើលដោយទឹកមុខធ្ងន់ធ្ងរនៅខាងក្រោយមេទ័ព ហើយធ្វើតាមគ្រប់ចលនារបស់គាត់។ រាល់ពេលដែលមេបញ្ជាការកងវរសេនាធំងើបមុខ ហើយបត់ទៅមុខ តាមរបៀបដូចគ្នា មេទ័ព Hussar ស្ទុះទៅមុខ ហើយបត់ទៅមុខ។ Nesvitsky សើចហើយរុញអ្នកផ្សេងទៀតឱ្យមើលបុរសកំប្លែង។
Kutuzov ដើរយឺតៗ ហើយយឺតៗ ឆ្លងកាត់ភ្នែករាប់ពាន់ដែលរមៀលចេញពីរន្ធរបស់ពួកគេ សម្លឹងមើលចៅហ្វាយរបស់ពួកគេ។ ដោយចាប់បានក្រុមហ៊ុនទី៣ គាត់ក៏ឈប់ភ្លាម។ អ្នកបន្តវេន ដោយមិនស្មានថាឈប់នេះ បានធ្វើចលនាឆ្ពោះទៅរកគាត់ដោយអចេតនា។
- អា ធីម៉ូឃីន! - មេបញ្ជាការបាននិយាយថាដោយទទួលស្គាល់ប្រធានក្រុមដែលមានច្រមុះក្រហមដែលទទួលរងនូវអាវពណ៌ខៀវរបស់គាត់។
វាហាក់ដូចជាមិនអាចលាតសន្ធឹងលើសពី Timokhin បានទេ ខណៈដែលមេបញ្ជាការកងវរសេនាធំបានស្តីបន្ទោសគាត់។ ប៉ុន្តែនៅពេលនោះ មេទ័ពបាននិយាយទៅកាន់គាត់ មេទ័ពក៏ឈរត្រង់ ហាក់ដូចជាថា ប្រសិនបើមេទ័ពមើលគាត់យូរបន្តិច មេទ័ពមិនអាចទ្រាំទ្របានឡើយ។ ដូច្នេះហើយ Kutuzov ដែលយល់ច្បាស់អំពីជំហររបស់គាត់ និងបំណងប្រាថ្នា ផ្ទុយទៅវិញ អ្វីៗដែលល្អបំផុតសម្រាប់ប្រធានក្រុមបានងាកចេញយ៉ាងលឿន។ ស្នាមញញឹមដែលគួរឱ្យកត់សម្គាល់បានរត់ពាសពេញមុខដែលមានស្នាមរបួស និងខូចទ្រង់ទ្រាយរបស់ Kutuzov ។
គាត់បាននិយាយថា "សមមិត្ត Izmailovo ម្នាក់ទៀត" ។ - មន្ត្រីក្លាហាន! តើអ្នកសប្បាយចិត្តនឹងវាទេ? - Kutuzov បានសួរមេបញ្ជាការកងវរសេនាធំ។
ហើយមេបញ្ជាការកងវរសេនាធំដែលឆ្លុះបញ្ចាំងដូចកញ្ចក់មើលមិនឃើញដោយខ្លួនឯង ក្នុងមន្ត្រីហ៊ូសាទាំងញ័រខ្លួនបានចេញមកមុខឆ្លើយថា៖
- ខ្ញុំពិតជារីករាយណាស់ ឯកឧត្តម។
Kutuzov ញញឹមហើយងាកចេញពីគាត់ថា "យើងទាំងអស់គ្នាមិនមានភាពទន់ខ្សោយទេ" ។ "គាត់មានការលះបង់ចំពោះ Bacchus ។
មេបញ្ជាការកងវរសេនាធំខ្លាចគេស្តីបន្ទោសរឿងនេះ ហើយមិនឆ្លើយអ្វីសោះ ។ មន្រ្តីនៅពេលនោះបានកត់សម្គាល់ឃើញមុខរបស់ប្រធានក្រុមដែលមានច្រមុះក្រហម និងក្បាលពោះ ហើយយកតម្រាប់តាមមុខរបស់គាត់ ហើយធ្វើយ៉ាងជិតស្និតដែល Nesvitsky មិនអាចឈប់សើចបាន។
Kutuzov បានងាក។ វាច្បាស់ណាស់ថាមន្រ្តីអាចគ្រប់គ្រងមុខរបស់គាត់តាមដែលគាត់ចង់បាន: នាទី Kutuzov បានងាកមកមន្រ្តីបានបញ្ចេញទឹកមុខញញឹមហើយបន្ទាប់ពីនោះទទួលយកការបញ្ចេញមតិដ៏ធ្ងន់ធ្ងរគោរពនិងគ្មានកំហុស។
ក្រុមហ៊ុនទីបីគឺជាក្រុមហ៊ុនចុងក្រោយ ហើយ Kutuzov បានគិតអំពីវា ជាក់ស្តែងចងចាំអ្វីមួយ។ ព្រះអង្គម្ចាស់ Andrei បានលាលែងពីតំណែង ហើយបាននិយាយជាភាសាបារាំងដោយស្ងាត់ៗថា៖
- អ្នកបានបញ្ជាឱ្យមានការរំលឹកអំពី Dolokhov ដែលត្រូវបានទម្លាក់នៅក្នុងកងវរសេនាធំនេះ។
- តើ Dolokhov នៅឯណា? - បានសួរ Kutuzov ។
Dolokhov ដែលស្លៀកពាក់អាវធំពណ៌ប្រផេះរបស់ទាហានរួចហើយ មិនបានរង់ចាំគេហៅទេ។ រូបរាងស្រឡូនរបស់ទាហានសក់ទង់ដែងមានភ្នែកពណ៌ខៀវច្បាស់លាស់ចេញពីខាងមុខ។ គាត់ចូលទៅជិតមេបញ្ជាការ ហើយដាក់គាត់ឲ្យយាម។
- ទាមទារ? - Kutuzov សួរដោយងឿងឆ្ងល់។
ព្រះអង្គម្ចាស់ Andrei បាននិយាយថា "នេះគឺជា Dolokhov" ។
- អេ! - បាននិយាយថា Kutuzov ។ "ខ្ញុំសង្ឃឹមថាមេរៀននេះនឹងកែអ្នក បម្រើបានល្អ" ព្រះអម្ចាស់មានព្រះហឫទ័យមេត្តាករុណា។ ហើយខ្ញុំនឹងមិនភ្លេចអ្នកទេ ប្រសិនបើអ្នកសមនឹងទទួលបានវា។
ភ្នែកពណ៌ខៀវស្រឡះសម្លឹងមើលមេទ័ពយ៉ាងព្រឺព្រួចដូចមេទ័ព ហាក់ដូចជាកំពុងហែកវាំងនននៃសន្និបាត ដែលរហូតមកដល់ពេលនេះបានបំបែកមេទ័ពចេញពីទាហាន។
«ខ្ញុំសុំរឿងមួយ ឯកឧត្តម» គាត់និយាយដោយសំឡេងរឹងរូស រឹងប៉ឹង មិនប្រញាប់។ "សូមផ្តល់ឱកាសឱ្យខ្ញុំកែប្រែកំហុសរបស់ខ្ញុំ និងបង្ហាញការលះបង់របស់ខ្ញុំចំពោះអធិរាជ និងរុស្ស៊ី"។
Kutuzov បានងាកចេញ។ ស្នាមញញឹមដូចគ្នានៅក្នុងភ្នែករបស់គាត់បានភ្លឺពេញមុខរបស់គាត់ដូចជាពេលដែលគាត់បានងាកចេញពីប្រធានក្រុម Timokhin ។ គាត់បានងាកចេញ ហើយនិយាយទាំងអួលដើមក ហាក់ដូចជាចង់បង្ហាញថា អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែល Dolokhov ប្រាប់គាត់ និងអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលគាត់អាចប្រាប់គាត់បាន គាត់បានដឹងជាយូរមកហើយថា អ្វីៗទាំងអស់នេះបានធ្វើឱ្យគាត់ធុញទ្រាន់ ហើយថាទាំងអស់នេះមិនមែនទេ។ អ្វីទាំងអស់ដែលគាត់ត្រូវការ។ គាត់បានងាកចេញហើយឆ្ពោះទៅរករទេះរុញ។
កងវរសេនាធំបានរំសាយនៅក្នុងក្រុមហ៊ុននានា ហើយបានឆ្ពោះទៅកាន់សង្កាត់ដែលនៅមិនឆ្ងាយពី Braunau ជាកន្លែងដែលពួកគេសង្ឃឹមថានឹងពាក់ស្បែកជើង ស្លៀកពាក់ និងសម្រាកបន្ទាប់ពីការហែក្បួនដ៏លំបាក។
- អ្នកមិនទាមទារឱ្យខ្ញុំ Prokhor Ignatyich ទេ? - បាននិយាយថាមេបញ្ជាការកងវរសេនាធំដែលកំពុងបើកបរជុំវិញកងពលលេខ 3 ឆ្ពោះទៅកាន់កន្លែងនោះហើយចូលទៅជិតមេបញ្ជាការ Timokhin ដែលកំពុងដើរនៅពីមុខវា។ ទឹកមុខរបស់មេបញ្ជាការកងវរសេនាធំបានសម្តែងនូវសេចក្តីរីករាយដែលមិនអាចគ្រប់គ្រងបាន បន្ទាប់ពីការត្រួតពិនិត្យបានបញ្ចប់ដោយរីករាយ។ - ព្រះរាជកិច្ច... វាមិនអាចទៅរួចទេ... មួយទៀតអ្នកនឹងបញ្ចប់វានៅខាងមុខ ... ខ្ញុំនឹងសុំទោសជាមុន អ្នកស្គាល់ខ្ញុំ ... ខ្ញុំសូមអរគុណអ្នកខ្លាំងណាស់! - ហើយគាត់បានលើកដៃរបស់គាត់ទៅមេបញ្ជាការក្រុមហ៊ុន។
- សម្រាប់សេចក្ដីមេត្តាករុណាជាទូទៅខ្ញុំហ៊ាន! - បានឆ្លើយតបប្រធានក្រុមដោយប្រែពណ៌ក្រហមដោយច្រមុះរបស់គាត់ញញឹមហើយបង្ហាញដោយស្នាមញញឹមដែលខ្វះធ្មេញមុខពីរដែលគោះដោយគូទនៅក្រោមអ៊ីស្មាអែល។
- បាទប្រាប់លោក Dolokhov ថាខ្ញុំនឹងមិនភ្លេចគាត់ទេដើម្បីឱ្យគាត់ស្ងប់ស្ងាត់។ បាទសូមប្រាប់ខ្ញុំផង ខ្ញុំចេះតែចង់សួរគាត់ថាតើគាត់មានអាកប្បកិរិយាយ៉ាងណា? ហើយនោះជាអ្វីទាំងអស់ ...
លោក Timokhin មានប្រសាសន៍ថា “គាត់ពិតជាបម្រើការបានល្អណាស់ ឯកឧត្តម... ប៉ុន្តែអ្នកធ្វើធម្មនុញ្ញ...” ។
- តើតួអង្គអ្វី? - បានសួរមេបញ្ជាការកងវរសេនាធំ។
មេទ័ពបាននិយាយថា៖ «ឯកឧត្តមរកឃើញច្រើនថ្ងៃហើយថាគាត់ឆ្លាត រៀន និងចិត្តល្អ»។ វាជាសត្វតិរច្ឆាន។ គាត់បានសម្លាប់ជនជាតិយូដានៅប្រទេសប៉ូឡូញ ប្រសិនបើអ្នកសូម...
មេបញ្ជាការកងវរសេនាធំបាននិយាយថា "បាទ បាទ បាទ យើងនៅតែត្រូវមានអារម្មណ៍សោកស្តាយចំពោះយុវជននៅក្នុងសំណាងអាក្រក់" ។ យ៉ាងណាមិញ ទំនាក់ទំនងដ៏អស្ចារ្យ... ដូច្នេះអ្នក...
Timokhin និយាយទាំងញញឹម ធ្វើឲ្យមានអារម្មណ៍ថាគាត់យល់ពីបំណងរបស់ចៅហ្វាយថា “ខ្ញុំកំពុងស្តាប់ ឯកឧត្តម”។
- បាទបាទ។
មេបញ្ជាការកងវរសេនាធំបានរកឃើញ Dolokhov នៅក្នុងជួរហើយកាន់កាប់សេះរបស់គាត់។
គាត់បានប្រាប់គាត់ថា "មុនពេលកិច្ចការដំបូង epaulets" ។
Dolokhov ក្រឡេកមើលជុំវិញដោយមិននិយាយអ្វីទាំងអស់ ហើយមិនបានផ្លាស់ប្តូរការបញ្ចេញមតិនៃមាត់ញញឹមចំអករបស់គាត់។
មេបញ្ជាការកងវរសេនាធំបន្តថា៖ «វាល្អហើយ»។ លោកបានបន្ថែមថា៖ «មនុស្សម្នាក់ៗមានវ៉ូដកាមួយកែវពីខ្ញុំ» ដើម្បីឲ្យទាហានបានឮ។ - អរគុណអ្នកទាំងអស់គ្នា! ព្រះប្រទានពរ! - ហើយគាត់បានជែងក្រុមហ៊ុនបានបើកទៅមួយទៀត។
“មែនហើយ គាត់ពិតជាមនុស្សល្អមែន។ "អ្នកអាចបម្រើជាមួយគាត់បាន" Timokhin បាននិយាយទៅកាន់មន្រ្តីដែលដើរក្បែរគាត់។
«ពាក្យមួយម៉ាត់ ស្ដេចនៃបេះដូង!...
អារម្មណ៍សប្បាយរីករាយរបស់អាជ្ញាធរបន្ទាប់ពីការត្រួតពិនិត្យបានរីករាលដាលដល់ទាហាន។ ក្រុមហ៊ុនបានដើរយ៉ាងរីករាយ។ សំឡេងទាហាននិយាយពីគ្រប់ទិសទី។
- តើពួកគេនិយាយអ្វីដោយកោង Kutuzov ប្រហែលមួយភ្នែក?
- បើមិនអញ្ចឹងទេ! កោងទាំងស្រុង។
- ទេ... បងប្រុស គាត់មានភ្នែកធំជាងអ្នក។ ស្បែកជើងកវែង - ខ្ញុំបានមើលអ្វីៗទាំងអស់ ...
- ម៉េចក៏គាត់មើលជើងខ្ញុំដែរ...! គិត…
- ហើយជនជាតិអូទ្រីសម្នាក់ទៀតជាមួយគាត់គឺដូចជាលាបជាមួយដីស។ ដូចជាម្សៅពណ៌ស។ ខ្ញុំតែធ្វើម៉េចគេសម្អាតរំសេវ!
- ចុះ Fedeshow!... តើគាត់បាននិយាយថានៅពេលដែលការប្រយុទ្ធបានចាប់ផ្តើម, អ្នកឈរកាន់តែជិត? ពួកគេទាំងអស់គ្នាបាននិយាយថា Bunaparte ខ្លួនឯងឈរនៅ Brunovo ។
- Bunaparte មានតម្លៃវា! គាត់និយាយកុហក អ្នកល្ងង់! អ្វីដែលគាត់មិនដឹង! ឥឡូវនេះ Prussian កំពុងបះបោរ។ ដូច្នេះ អូទ្រីស ធ្វើឱ្យគាត់ស្ងប់។ នៅពេលដែលគាត់បង្កើតសន្តិភាព សង្គ្រាមនឹងបើកជាមួយ Bunaparte ។ បើមិនដូច្នោះទេគាត់និយាយថា Bunaparte កំពុងឈរនៅ Brunovo! នោះហើយជាអ្វីដែលបង្ហាញថាគាត់ជាមនុស្សល្ងីល្ងើ។ ស្តាប់បន្ថែមទៀត។
- មើលចុះអ្នកផ្ទះសំណាក់! ក្រុមហ៊ុនទីប្រាំ មើលទៅ កំពុងតែបត់ចូលភូមិរួចហើយ គេនឹងធ្វើបបរ ហើយយើងនៅតែមិនទាន់ទៅដល់កន្លែង។
- ផ្តល់ឱ្យខ្ញុំនូវនំកែកឃឺមួយ, damn វា។
- តើអ្នកបានឱ្យខ្ញុំថ្នាំជក់កាលពីម្សិលមិញទេ? នោះហើយជាវាបងប្រុស។ មែនហើយ យើងទៅនេះ ព្រះជាម្ចាស់គង់ជាមួយអ្នក។
«យ៉ាងហោចណាស់ពួកគេបានឈប់ បើមិនដូច្នេះទេយើងនឹងមិនញ៉ាំអាហាររយៈពេលប្រាំម៉ាយទៀតទេ»។
- វាពិតជាល្អណាស់ដែលជនជាតិអាឡឺម៉ង់ផ្តល់ឱ្យយើងនូវរទេះរុញ។ ពេលទៅដឹងថាសំខាន់!
"ហើយនៅទីនេះ បងប្រុស មនុស្សបានឆ្កួតទាំងស្រុង" អ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅទីនោះហាក់ដូចជាប៉ូល អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺមកពីមកុដរុស្ស៊ី។ ហើយឥឡូវនេះ បងប្រុសគាត់បានទៅអាល្លឺម៉ង់ទាំងស្រុង។
- អ្នកនិពន្ធបទចម្រៀងទៅមុខ! - សម្រែករបស់ប្រធានក្រុមត្រូវបានឮ។
ហើយមនុស្សម្ភៃនាក់បានរត់ចេញពីជួរផ្សេងគ្នានៅមុខក្រុមហ៊ុន។ អ្នកវាយស្គរបានចាប់ផ្តើមច្រៀង ហើយបែរមុខទៅអ្នកសរសេរបទចម្រៀង ហើយគ្រវីដៃចាប់ផ្តើមបទចម្រៀងរបស់ទាហានដែលចេញរួច ដែលចាប់ផ្តើម៖ “តើព្រឹកព្រលឹមទេ ព្រះអាទិត្យបានបែក…” ហើយបញ្ចប់ដោយពាក្យ។ : "ដូច្នេះ បងប្អូនអើយ នឹងមានសិរីរុងរឿងសម្រាប់យើង និងឪពុករបស់ Kamensky ... " បទចម្រៀងនេះត្រូវបាននិពន្ធនៅក្នុងប្រទេសទួរគី ហើយឥឡូវនេះត្រូវបានច្រៀងនៅក្នុងប្រទេសអូទ្រីស តែជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរជំនួសឱ្យ "ឪពុករបស់ Kamensky" ពាក្យត្រូវបានបញ្ចូល: " ឪពុករបស់ Kutuzov ។
ដោយបានហែកពាក្យចុងក្រោយនេះដូចជាទាហាន ហើយគ្រវីដៃ ហាក់ដូចជាគាត់កំពុងគប់អ្វីមួយទៅដី អ្នកវាយស្គរ ដែលជាទាហានស្ងួត និងសង្ហាអាយុប្រហែលសែសិបនាក់ បានសម្លឹងមើលទៅទាហានអ្នកនិពន្ធបទចម្រៀង ហើយបិទភ្នែករបស់គាត់យ៉ាងតឹងរឹង។ បន្ទាប់មក ដោយធ្វើឱ្យប្រាកដថា គ្រប់ក្រសែភ្នែកបានសំឡឹងមកលើគាត់ គាត់ហាក់ដូចជាលើកដៃទាំងសងខាងយ៉ាងប្រុងប្រយ័ត្ន យកវត្ថុមានតម្លៃមួយចំនួនដែលមើលមិនឃើញនៅពីលើក្បាលរបស់គាត់ កាន់វាដូចនោះអស់ជាច្រើនវិនាទី ហើយស្រាប់តែបោះវាចោលយ៉ាងអស់សង្ឃឹម៖
អូអ្នក, ដំបូលរបស់ខ្ញុំ, ដំបូលរបស់ខ្ញុំ!
«ដំបូលថ្មីរបស់ខ្ញុំ...» សំឡេងម្ភៃបន្លឺឡើង ហើយអ្នកកាន់ស្លាបព្រា ទោះជាមានទម្ងន់នៃគ្រាប់កាំភ្លើងក៏ដោយ ក៏ស្ទុះទៅមុខយ៉ាងលឿន ហើយដើរថយក្រោយនៅមុខក្រុមហ៊ុន រំកិលស្មារបស់គាត់ ហើយគំរាមនរណាម្នាក់ដោយប្រើស្លាបព្រារបស់គាត់។ ទាហានគ្រវីដៃទៅនឹងបទចម្រៀង ដើរដោយបោះជំហានយ៉ាងវែង ដោយវាយជើងដោយអចេតនា។ ពីខាងក្រោយក្រុមហ៊ុនមានសំឡេងកង់ ការគាំងនៃប្រភពទឹក និងការជាន់ជើងសេះត្រូវបានឮ។
Kutuzov និងអ្នកចូលនិវត្តន៍របស់គាត់កំពុងត្រលប់ទៅទីក្រុងវិញ។ ឯកឧត្តម ឧត្តមសេនីយ៍ឯក បានលើកស្លាកសញ្ញាឱ្យប្រជាពលរដ្ឋបន្តដើរដោយសេរី ហើយការសប្បាយរីករាយត្រូវបានបង្ហាញនៅលើផ្ទៃមុខ និងមុខអ្នកបន្តវេនទាំងអស់ ដោយសំឡេងនៃបទចម្រៀង នៅចំពោះមុខទាហានរាំ និងទាហានរបស់ ក្រុមហ៊ុនដើរដោយរីករាយ និងរហ័ស នៅជួរទីពីរពីផ្នែកខាងស្តាំដែលរទេះរុញបានវ៉ាដាច់ក្រុមហ៊ុន មនុស្សម្នាក់បានស្ទាក់ភ្នែកទាហានភ្នែកពណ៌ខៀវម្នាក់ឈ្មោះ Dolokhov ដែលជាពិសេសបានដើរយ៉ាងព្រឺព្រួច និងសុភាពរាបសារបានដើរទៅបុកបទចម្រៀង ហើយមើលមុខរបស់ អ្នកដែលឆ្លងកាត់ដោយការបញ្ចេញមតិបែបនេះ ដូចជាអាណិតអ្នករាល់គ្នាដែលមិនបានទៅជាមួយក្រុមហ៊ុនក្នុងពេលនេះ។ Hussar Cornet ពីការបន្តរបស់ Kutuzov ធ្វើត្រាប់តាមមេបញ្ជាការកងវរសេនាធំបានធ្លាក់នៅពីក្រោយរទេះរុញហើយបើកឡានទៅ Dolokhov ។
Hussar Cornet Zherkov នៅពេលមួយនៅ St. Petersburg ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សង្គមឃោរឃៅដែលដឹកនាំដោយ Dolokhov ។ នៅក្រៅប្រទេស Zherkov បានជួប Dolokhov ជាទាហានប៉ុន្តែមិនបានចាត់ទុកថាវាចាំបាច់ដើម្បីទទួលស្គាល់គាត់ទេ។ ឥឡូវនេះបន្ទាប់ពីការសន្ទនារបស់ Kutuzov ជាមួយបុរសដែលត្រូវបានទម្លាក់ពីតំណែងគាត់បានងាកមករកគាត់ដោយសេចក្តីរីករាយពីមិត្តចាស់៖
- មិត្តសម្លាញ់ តើអ្នកសុខសប្បាយជាទេ? - គាត់បាននិយាយតាមសំឡេងនៃបទចម្រៀងដែលផ្គូផ្គងជំហាននៃសេះរបស់គាត់ជាមួយនឹងជំហានរបស់ក្រុមហ៊ុន។
- ខ្ញុំដូច? - Dolokhov បានឆ្លើយយ៉ាងត្រជាក់ - ដូចដែលអ្នកឃើញ។
បទចម្រៀងដ៏រស់រវើកបានផ្តល់នូវសារៈសំខាន់ជាពិសេសចំពោះសម្លេងនៃភាពស្រើបស្រាលដែល Zherkov និយាយ និងភាពត្រជាក់ដោយចេតនានៃចម្លើយរបស់ Dolokhov ។
- អញ្ចឹងតើអ្នកចុះសម្រុងជាមួយចៅហ្វាយរបស់អ្នកដោយរបៀបណា? - សួរ Zherkov ។
- គ្មានអ្វីទេមនុស្សល្អ។ តើអ្នកចូលទីស្នាក់ការដោយរបៀបណា?
- ទីពីរ, នៅលើកាតព្វកិច្ច។
ពួកគេនៅស្ងៀម។
បទចម្រៀងនេះបាននិយាយដោយអចេតនាថា៖ «នាងបានបញ្ចេញសត្វក្ងោកមួយក្បាលចេញពីដៃអាវខាងស្តាំរបស់នាង។ ការសន្ទនារបស់ពួកគេប្រហែលជាមានភាពខុសគ្នាប្រសិនបើពួកគេមិនបាននិយាយជាសំឡេងនៃបទចម្រៀង។
– តើពិតទេដែលជនជាតិអូទ្រីសត្រូវបានគេវាយ? - បានសួរ Dolokhov ។
ពួកគេនិយាយថា "អារក្សស្គាល់ពួកគេ" ។
Dolokhov បានឆ្លើយយ៉ាងខ្លី និងច្បាស់ថា "ខ្ញុំរីករាយ" ដូចដែលបទចម្រៀងតម្រូវ។
Zherkov បាននិយាយថា "មែនហើយមករកយើងនៅពេលល្ងាចអ្នកនឹងបញ្ចាំស្តេចផារ៉ោន" ។
- ឬអ្នកមានលុយច្រើន?
- មក។
- វាត្រូវបានហាមឃាត់។ ខ្ញុំបានស្បថ។ ខ្ញុំមិនផឹកឬលេងល្បែងទេរហូតទាល់តែគេធ្វើ។
- អញ្ចឹងទៅរឿងដំបូង...
- យើងនឹងឃើញនៅទីនោះ។
ជាថ្មីម្តងទៀតពួកគេនៅស្ងៀម។
Zherkov បាននិយាយថា "អ្នកចូលមកប្រសិនបើអ្នកត្រូវការអ្វី អ្នករាល់គ្នានៅទីស្នាក់ការកណ្តាលនឹងជួយ ... " ។
Dolokhov ញញឹម។
- អ្នកប្រសើរជាងកុំបារម្ភ។ ខ្ញុំមិនសុំអ្វីដែលខ្ញុំត្រូវការទេ ខ្ញុំនឹងយកវាដោយខ្លួនឯង។
- អញ្ចឹងខ្ញុំ ...
- អញ្ចឹងខ្ញុំក៏អញ្ចឹងដែរ។
- លាហើយ។
- មានសុខភាពល្អ…
... ហើយខ្ពស់និងឆ្ងាយ
នៅខាងផ្ទះ...
Zherkov ប៉ះជើងសេះរបស់គាត់ ដែលរំភើបចិត្ត ទាត់បីដង មិនដឹងថាត្រូវចាប់ផ្តើមជាមួយមួយណា គ្រប់គ្រង និងលោតចុះពីលើក្រុមហ៊ុន ហើយតាមទាន់រទេះ ក៏ត្រូវបទចម្រៀងផងដែរ។

ត្រឡប់ពីការពិនិត្យឡើងវិញ Kutuzov អមដោយឧត្តមសេនីយអូទ្រីសបានចូលទៅក្នុងការិយាល័យរបស់គាត់ហើយហៅអ្នកជំនួយការបានបញ្ជាឱ្យផ្តល់ឯកសារមួយចំនួនទាក់ទងនឹងស្ថានភាពនៃកងទ័ពដែលមកដល់ហើយសំបុត្រដែលបានទទួលពី Archduke Ferdinand ដែលបញ្ជាកងទ័ពជឿនលឿន។ . ព្រះអង្គម្ចាស់ Andrei Bolkonsky បានចូលការិយាល័យអគ្គមេបញ្ជាការដោយមានឯកសារដែលត្រូវការ។ Kutuzov និងសមាជិកអូទ្រីសម្នាក់នៃ Gofkriegsrat អង្គុយនៅពីមុខផែនការដែលបានដាក់នៅលើតុ។
"Ah..." បាននិយាយថា Kutuzov ដោយក្រឡេកមើលទៅ Bolkonsky ដូចជាពាក្យនេះគាត់កំពុងអញ្ជើញអ្នកជំនួយការឱ្យរង់ចាំហើយបន្តការសន្ទនាដែលគាត់បានចាប់ផ្តើមជាភាសាបារាំង។
"ខ្ញុំគ្រាន់តែនិយាយរឿងមួយ ឧត្តមសេនីយ៍" Kutuzov បាននិយាយដោយទឹកមុខរីករាយនៃការបញ្ចេញមតិ និងសំឡេងដែលបង្ខំឱ្យអ្នកស្តាប់ដោយយកចិត្តទុកដាក់នូវរាល់ពាក្យដែលនិយាយដោយរីករាយ។ វាច្បាស់ណាស់ថា Kutuzov ខ្លួនឯងចូលចិត្តស្តាប់ខ្លួនឯង។ «ខ្ញុំនិយាយតែរឿងមួយទេ លោកឧត្តមសេនីយ៍ថា ប្រសិនបើបញ្ហាអាស្រ័យលើបំណងប្រាថ្នាផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ខ្ញុំ នោះឆន្ទៈរបស់ព្រះចៅអធិរាជ Franz នឹងត្រូវបានសម្រេចជាយូរមកហើយ។ ខ្ញុំនឹងបានចូលរួមជាមួយ Archduke ជាយូរមកហើយ។ ហើយជឿជាក់លើកិត្តិយសរបស់ខ្ញុំ វាជាសេចក្តីរីករាយសម្រាប់ខ្ញុំផ្ទាល់ក្នុងការប្រគល់បញ្ជាការជាន់ខ្ពស់នៃកងទ័ពទៅឱ្យឧត្តមសេនីយដែលមានចំណេះដឹង និងជំនាញជាងខ្ញុំ ដែលអូទ្រីសមានច្រើនក្រៃលែង ហើយលះបង់នូវការទទួលខុសត្រូវដ៏ធ្ងន់នេះ។ ប៉ុន្តែកាលៈទេសៈគឺខ្លាំងជាងយើង, ទូទៅ។
ហើយ Kutuzov ញញឹមដោយបញ្ចេញមតិដូចជាគាត់និយាយថា “អ្នកមានសិទ្ធិមិនជឿខ្ញុំ ហើយសូម្បីតែខ្ញុំមិនខ្វល់ថាអ្នកជឿខ្ញុំឬអត់ ប៉ុន្តែអ្នកគ្មានហេតុផលដើម្បីប្រាប់ខ្ញុំរឿងនេះទេ។ ហើយនោះជាចំណុចទាំងមូល»។
ឧត្តមសេនីយ៍អូទ្រីសមើលទៅមិនពេញចិត្ត ប៉ុន្តែមិនអាចជួយអ្វីបានក្រៅពីឆ្លើយតបទៅ Kutuzov ក្នុងសម្លេងដដែល។
ព្រះអង្គមានព្រះបន្ទូលដោយទឹកមុខក្រៀមក្រំ និងខឹងសម្បារ ដូច្នេះផ្ទុយទៅនឹងអត្ថន័យដ៏ត្រេកត្រអាលនៃពាក្យដែលព្រះអង្គបាននិយាយនោះ «ផ្ទុយទៅវិញ ការចូលរួមរបស់ឯកឧត្តមក្នុងបុព្វហេតុរួមគឺមានតម្លៃខ្ពស់ពីព្រះករុណា។ ប៉ុន្តែយើងជឿថា ភាពយឺតយ៉ាវនាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ ដកហូតកងទ័ពរុស្ស៊ីដ៏រុងរឿង និងមេបញ្ជាការនៃពួកឡូរ៉ល ដែលពួកគេស៊ាំនឹងការច្រូតកាត់នៅក្នុងសមរភូមិ» គាត់បានបញ្ចប់ឃ្លាដែលបានរៀបចំជាក់ស្តែងរបស់គាត់។
Kutuzov បានឱនក្បាលដោយមិនផ្លាស់ប្តូរស្នាមញញឹមរបស់គាត់។
“ហើយខ្ញុំជឿជាក់ខ្លាំងណាស់ ហើយផ្អែកលើសំបុត្រចុងក្រោយដែលព្រះអង្គម្ចាស់ Archduke Ferdinand បានផ្តល់កិត្តិយសដល់ខ្ញុំ ខ្ញុំសន្មត់ថា កងទ័ពអូទ្រីស ក្រោមការបញ្ជារបស់ជំនួយការដ៏ប៉ិនប្រសប់ដូចជាឧត្តមសេនីយ៍ Mack ឥឡូវនេះបានទទួលជ័យជម្នះយ៉ាងដាច់អហង្ការ ហើយលែងមានទៀតហើយ។ ត្រូវការជំនួយរបស់យើង” Kutuzov បាននិយាយ។
ឧត្តមសេនីយ៍បានងឿងឆ្ងល់។ ទោះបីជាមិនមានព័ត៌មានវិជ្ជមានអំពីការបរាជ័យរបស់ជនជាតិអូទ្រីសក៏ដោយ មានកាលៈទេសៈជាច្រើនដែលបញ្ជាក់ពីពាក្យចចាមអារ៉ាមមិនអំណោយផលទូទៅ។ ដូច្នេះហើយ ការសន្មត់របស់ Kutuzov អំពីជ័យជំនះរបស់ជនជាតិអូទ្រីសគឺស្រដៀងនឹងការចំអក។ ប៉ុន្តែ Kutuzov ញញឹមយ៉ាងស្លូតបូត ដោយនៅតែបញ្ចេញមតិដដែល ដែលបាននិយាយថា គាត់មានសិទ្ធិសន្មត់រឿងនេះ។ ជាការពិតណាស់ សំបុត្រចុងក្រោយដែលគាត់បានទទួលពីកងទ័ពរបស់ Mac បានជូនដំណឹងដល់គាត់អំពីជ័យជម្នះ និងទីតាំងយុទ្ធសាស្ត្រដ៏មានអត្ថប្រយោជន៍បំផុតរបស់កងទ័ព។
Kutuzov បាននិយាយដោយងាកទៅរកព្រះអង្គម្ចាស់ Andrei ថា "ផ្តល់ឱ្យខ្ញុំនូវសំបុត្រនេះនៅទីនេះ" ។ - ប្រសិនបើអ្នកសូមមើល។ - ហើយ Kutuzov ដោយស្នាមញញឹមចំអកនៅចុងបបូរមាត់របស់គាត់ អានជាភាសាអាឡឺម៉ង់ទៅកាន់ឧត្តមសេនីយ៍អូទ្រីសនូវអត្ថបទខាងក្រោមពីសំបុត្ររបស់ Archduke Ferdinand៖ “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70,000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen ។ Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte et mit, Allirte mit, ន. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zubereiten, ដូច្នេះ។ [យើងមានកម្លាំងប្រមូលផ្តុំប្រហែល 70,000 នាក់ ដូច្នេះយើងអាចវាយប្រហារ និងកម្ចាត់សត្រូវប្រសិនបើគាត់ឆ្លងកាត់ Lech ។ ដោយសារយើងមាន Ulm រួចហើយ យើងអាចរក្សាអត្ថប្រយោជន៍នៃបញ្ជារបស់ធនាគារទាំងពីរនៃ Danube ដូច្នេះរាល់នាទី ប្រសិនបើសត្រូវមិនឆ្លងកាត់ Lech ឆ្លងកាត់ Danube ប្រញាប់ទៅខ្សែទំនាក់ទំនងរបស់គាត់ ហើយខាងក្រោមឆ្លងកាត់ Danube ត្រឡប់មកវិញ។ ចំពោះសត្រូវ ប្រសិនបើគាត់សម្រេចចិត្តបង្វែរអំណាចទាំងអស់របស់គាត់មកលើសម្ព័ន្ធមិត្តដ៏ស្មោះត្រង់របស់យើង រារាំងបំណងរបស់គាត់ពីការសម្រេច។ ដូច្នេះហើយ យើងនឹងរង់ចាំដោយរីករាយនូវពេលដែលកងទ័ពអធិរាជរុស្ស៊ីបានត្រៀមខ្លួនរួចរាល់ជាស្រេច ហើយបន្ទាប់មករួមគ្នា យើងនឹងងាយស្រួលស្វែងរកឱកាសដើម្បីរៀបចំសម្រាប់សត្រូវតាមជោគវាសនាដែលគាត់សមនឹងទទួលបាន។

VECTOR SPACE ជាលំហលីនេអ៊ែរលើវាល K គឺជាក្រុម Abelian ដែលត្រូវបានសរសេរបន្ថែម ដែលក្នុងនោះការគុណនៃធាតុដោយមាត្រដ្ឋានត្រូវបានកំណត់ ពោលគឺការគូសផែនទី

K × E → E: (λ, x) → λx,

បំពេញ axioms ខាងក្រោម (x, y ∈ E, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(x + y) = λx + λy,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = x ។

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗខាងក្រោមនៃលំហវ៉ិចទ័រ (0 ∈ E) ធ្វើតាម axioms 1)-4):

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

ធាតុនៃ V. p. ហៅថា។ ពិន្ទុ VP ឬវ៉ិចទ័រ ហើយធាតុនៃវាល K គឺជាមាត្រដ្ឋាន។

កម្មវិធីដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងកម្មវិធីត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើវាល ℂ នៃចំនួនកុំផ្លិច ឬនៅលើវាល ℝ នៃចំនួនពិត។ ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា រៀងគ្នា complex v. p. ឬ real v. p.

axioms នៃ v. p. បង្ហាញពីពិជគណិតជាក់លាក់។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃថ្នាក់ជាច្រើននៃមុខងារដែលជួបប្រទះជាញឹកញាប់នៅក្នុងការវិភាគ។ ក្នុងចំណោមឧទាហរណ៍នៃលំហបញ្ឈរ មូលដ្ឋានគ្រឹះបំផុត និងដំបូងបំផុតគឺ n-dimensional Euclidean spaces ។ ស្ទើរតែឧទាហរណ៍សំខាន់ៗដូចគ្នាគឺលំហមុខងារជាច្រើន៖ លំហនៃអនុគមន៍បន្ត ចន្លោះនៃអនុគមន៍ដែលអាចវាស់វែងបាន លំហនៃអនុគមន៍ដែលអាចសង្ខេបបាន ចន្លោះនៃអនុគមន៍វិភាគ។ មុខងារ, ចន្លោះនៃមុខងារនៃការប្រែប្រួលមានកំណត់។

គោលគំនិតនៃ v. space គឺជាករណីពិសេសនៃគោលគំនិតនៃម៉ូឌុលលើរង្វង់មួយ ពោលគឺ v. space គឺជាម៉ូឌុលឯកតាលើវាលមួយ។ ម៉ូឌុលឯកតាលើវាល skew ដែលមិនផ្លាស់ប្តូរត្រូវបានហៅផងដែរ។ ចន្លោះវ៉ិចទ័រនៅលើរាងកាយ; ទ្រឹស្ដីនៃទម្រង់រលកបែបនេះគឺមានលក្ខណៈស្មុគស្មាញជាងទ្រឹស្តីនៃទម្រង់រលកនៅលើវាលមួយ។

បញ្ហាសំខាន់មួយដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងលំហវ៉ិចទ័រគឺការសិក្សាអំពីធរណីមាត្រនៃលំហវ៉ិចទ័រ ពោលគឺការសិក្សាលើបន្ទាត់ក្នុងចន្លោះវ៉ិចទ័រ សំណុំសំប៉ែត និងប៉ោងក្នុងចន្លោះវ៉ិចទ័រ ចន្លោះរងនៃលំហវ៉ិចទ័រ និងមូលដ្ឋានក្នុងលំហវ៉ិចទ័រ។ ទំ.

Vector subspace ឬគ្រាន់តែ subspace V. p. E លើវាល K ត្រូវបានគេហៅថា។ សំណុំរង F ⊂ E បានបិទក្រោមសកម្មភាពនៃការបូក និងគុណដោយមាត្រដ្ឋាន។ លំហរងមួយ ចាត់ទុកថាដាច់ដោយឡែកពីចន្លោះដែលផ្ទុកវាជាចន្លោះនៅលើវាលតែមួយ។

បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ពីរចំនុច x និង y B. p. E ហៅថា។ សំណុំនៃធាតុ z ∈ E នៃទម្រង់ z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. សំណុំ G ∈ E ត្រូវបានហៅ។ សំណុំផ្ទះល្វែង ប្រសិនបើ រួមជាមួយនឹងចំណុចពីរណាមួយ វាមានបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ។ សំណុំផ្ទះល្វែងនីមួយៗត្រូវបានទទួលពីចន្លោះរងជាក់លាក់មួយដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរ (ការបកប្រែស្របគ្នា): G = x + F; នេះមានន័យថាធាតុនីមួយៗ z ∈ G អាចត្រូវបានតំណាងដោយឡែកក្នុងទម្រង់ z = x + y, y ∈ F ហើយសមភាពនេះផ្តល់នូវការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់មួយរវាង F និង G ។

សំណុំនៃការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ F x = x + F នៃចន្លោះរងដែលបានផ្តល់ឱ្យ F បង្កើតជាចន្លោះ V. លើ K ដែលហៅថា។ កត្តា E/F ប្រសិនបើយើងកំណត់ប្រតិបត្តិការដូចខាងក្រោម៖

F x F y = F x + y ; λF x = F λx , λ ∈ K ។

អនុញ្ញាតឱ្យ M = (x α) α∈A ជាសំណុំវ៉ិចទ័របំពានពី E; ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ x α ∈ E ត្រូវបានគេហៅថា។ វ៉ិចទ័រ x ដែលកំណត់ដោយរូបមន្ត

x = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K ,

ក្នុងនោះមានតែចំនួនមេគុណកំណត់ប៉ុណ្ណោះគឺមិនសូន្យ។ សំណុំនៃបន្សំលីនេអ៊ែរទាំងអស់នៃវ៉ិចទ័រនៃសំណុំ M គឺជាចន្លោះតូចបំផុតដែលមាន M ហើយត្រូវបានគេហៅថា។ វិសាលភាពលីនេអ៊ែរនៃសំណុំ M. ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា។ តូចតាច ប្រសិនបើមេគុណទាំងអស់ λ α ស្មើនឹងសូន្យ។ សំណុំ M ត្រូវបានគេហៅថា។ សំណុំឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើបន្សំលីនេអ៊ែរមិនសំខាន់ទាំងអស់នៃវ៉ិចទ័រពី M គឺមិនមែនសូន្យ។

សំណុំឯករាជ្យលីនេអ៊ែរណាមួយមាននៅក្នុងសំណុំឯករាជ្យលីនេអ៊ែរអតិបរិមាជាក់លាក់ M0 ពោលគឺនៅក្នុងសំណុំដែលឈប់ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរបន្ទាប់ពីបន្ថែមធាតុណាមួយពី E ទៅវា។

ធាតុនីមួយៗ x ∈ E អាចត្រូវបានតំណាងដោយឡែកពីគ្នាជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃធាតុនៃសំណុំឯករាជ្យលីនេអ៊ែរអតិបរមា៖

x = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 ។

ក្នុងន័យនេះសំណុំឯករាជ្យលីនេអ៊ែរអតិបរមាត្រូវបានគេហៅថា។ មូលដ្ឋាននៃ V. p. (មូលដ្ឋានពិជគណិត) ។ មូលដ្ឋានទាំងអស់នៃ VP ដែលបានផ្តល់ឱ្យមាន cardinality ដូចគ្នា ដែលគេហៅថា។ វិមាត្រ V. p. ប្រសិនបើថាមពលនេះមានកំណត់ ចន្លោះត្រូវបានគេហៅថា។ កំណត់វិមាត្រ V. ទំ។ ; បើមិនដូច្នេះទេវាត្រូវបានគេហៅថា infinite-dimensional V. ទំ។

វាល K អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាទំហំបញ្ឈរមួយវិមាត្រលើវាល K; មូលដ្ឋាននៃធាតុ V. នេះមានធាតុមួយ; វាអាចជាធាតុណាមួយក្រៅពីសូន្យ។ វ៉ិចទ័រវិមាត្រកំណត់ដែលមានមូលដ្ឋាននៃធាតុ n ត្រូវបានគេហៅថា។ n-វិមាត្រ។

នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃសំណុំប៉ោងពិត និងស្មុគស្មាញ ទ្រឹស្តីនៃសំណុំប៉ោងមានតួនាទីសំខាន់។ សំណុំ M នៅក្នុង V.p. ពិតប្រាកដត្រូវបានគេហៅថា។ គឺជាសំណុំរាងប៉ោង ប្រសិនបើរួមនឹងចំណុចពីររបស់វា x, y, ចម្រៀក tx + (1 - t)y, t ∈, ក៏ជារបស់ M.

កន្លែងដ៏ធំមួយនៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃលំហបញ្ឈរត្រូវបានកាន់កាប់ដោយទ្រឹស្ដីនៃមុខងារលីនេអ៊ែរនៅលើលំហបញ្ឈរ និងទ្រឹស្តីដែលទាក់ទងនៃ duality ។ អនុញ្ញាតឱ្យ E ជា CV លើវាល K. មុខងារលីនេអ៊ែរនៅលើ E ត្រូវបានគេហៅថា។ ការធ្វើផែនទីបន្ថែមនិងភាពដូចគ្នា f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x)។

សំណុំ E* នៃមុខងារលីនេអ៊ែរទាំងអស់នៅលើ E បង្កើតជាកន្លែងទំនេរនៅលើវាល K ទាក់ទងនឹងប្រតិបត្តិការ

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈ អ៊ី*។

នេះគឺ V.p. ហៅថា។ conjugate (ឬ dual) space (ទៅ E) ។ ទ្រឹស្តីធរណីមាត្រមួយចំនួនត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងគំនិតនៃលំហ conjugate ។ លក្ខខណ្ឌ។ អនុញ្ញាតឱ្យ D ⊂ E (រៀងគ្នា Г ⊂ E*); ការបំផ្លិចបំផ្លាញនៃសំណុំ D ឬការបំពេញបន្ថែមរាងពងក្រពើនៃសំណុំ D (រៀងគ្នាសំណុំ Г) ត្រូវបានគេហៅថា។ មួយបាច់

D ⊥ = (f ∈ E *: f(x) = 0 សម្រាប់ x ∈ D)

(រៀងគ្នា Г ⊥ = (x ∈ E: f(x) = 0 សម្រាប់ f ∈ Г)); នៅទីនេះ D ⊥ និង Г ⊥ គឺជាចន្លោះរងនៃចន្លោះ E* និង E រៀងគ្នា។ ប្រសិនបើ f ជាធាតុមិនសូន្យនៃ E* នោះ (f) គឺជាលំហលីនេអ៊ែរត្រឹមត្រូវអតិបរមានៃ E ដែលហៅថា។ ពេលខ្លះ hypersubspace; ការផ្លាស់ប្តូរនៃ subspace បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា។ យន្តហោះខ្ពស់នៅក្នុង E; រាល់យន្តហោះខ្ពស់មានទម្រង់

(x: f(x) = λ), ដែល f ≠ 0, f ∈ E*, λ ∈ K ។

ប្រសិនបើ F គឺជា subspace នៃ B. p. E នោះមាន isomorphisms ធម្មជាតិរវាង F* និង

E*/F ⊥ និងរវាង (E/F)* និង F ⊥ ។

សំណុំរង Г ⊂ E* ត្រូវបានហៅ សំណុំរងសរុបនៅលើ E ប្រសិនបើការបំផ្លិចបំផ្លាញរបស់វាមានតែធាតុសូន្យប៉ុណ្ណោះ៖ Г ⊥ = (0) ។

សំណុំឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនីមួយៗ (x α ) α∈A ⊂ E អាចត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយសំណុំ conjugate (f α ) α∈A ⊂ E*, i.e. ដូចជាសំណុំដែល f α (x β) = δ αβ (និមិត្តសញ្ញា Kronecker) សម្រាប់ α, β ∈ A. សំណុំនៃគូ (x α, f α) ត្រូវបានគេហៅថា។ ជាមួយនឹងប្រព័ន្ធ biorthogonal ។ ប្រសិនបើសំណុំ (x α) គឺជាមូលដ្ឋាននៅក្នុង E នោះ (f α) គឺលើស E ទាំងស្រុង។

កន្លែងសំខាន់នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃការបំប្លែងលីនេអ៊ែរត្រូវបានកាន់កាប់ដោយទ្រឹស្តីនៃការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរនៃការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ។ អនុញ្ញាតឱ្យ E 1 និង E 2 ជាការបំប្លែងលីនេអ៊ែរពីរលើវាលដូចគ្នា K. A ការធ្វើផែនទីលីនេអ៊ែរ ឬប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ T គូសផែនទីលីនេអ៊ែរ ការបំប្លែង E 1 ក្នុង V. p. E 2 (ឬប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរពី E 1 ដល់ E 2) ដែលហៅថា។ ការធ្វើផែនទីបន្ថែមនិងភាពដូចគ្នានៃលំហ E 1 ដល់ E 2៖

T(x + y) = Tx + Ty; Т(λх) = λТ(х); x, y ∈ E ១.

ករណីពិសេសនៃគោលគំនិតនេះគឺជាមុខងារលីនេអ៊ែរ ឬប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរពី E 1 ដល់ K. ការគូសផែនទីលីនេអ៊ែរគឺជាឧទាហរណ៍ ផែនទីធម្មជាតិនៃ B. p. E ទៅលើលំហ quotient E/F ដែលភ្ជាប់ទៅ ធាតុនីមួយៗ x ∈ E សំណុំផ្ទះល្វែង F x ∈ E/ F ។ សំណុំ ℒ(E 1, E 2) នៃប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរទាំងអស់ T: E 1 → E 2 បង្កើតជា V. p. ទាក់ទងនឹងប្រតិបត្តិការ

(T 1 + T 2)x = T 1 x + T 2 x; (λТ)х = λТх; x ∈ E 1; λ ∈ K ; T 1, T 2, T ∈ ℒ (E 1, E 2) ។

ធាតុ V. ពីរ E 1 និង E 2 បានហៅ។ គឺ isomorphic to v. items ប្រសិនបើមាន linear operator (“isomorphism”) ដែលអនុវត្តការឆ្លើយឆ្លងពីមួយទៅមួយរវាងធាតុរបស់ពួកគេ។ E 1 និង E 2 គឺជា isomorphic ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែមូលដ្ឋានរបស់ពួកគេមាន cardinality ដូចគ្នា។

អនុញ្ញាតឱ្យ T ជាប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរដែលគូសផែនទី E 1 ដល់ E 2 ។ ប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរភ្ជាប់ ឬ ប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរពីរ ទាក់ទងនឹង T ត្រូវបានហៅ។ ប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ T * ពី E * 2 ទៅ E * 1 ដែលកំណត់ដោយសមភាព

(T*φ)x = φ(Tx) សម្រាប់ x ∈ E 1, φ ∈ E* 2 ។

ទំនាក់ទំនង T * -1 (0) = ⊥, T * (E * 2) = [T -1 (0)] ⊥ សង្កត់ ដែលមានន័យថា T* គឺជា isomorphism ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើ T គឺជា isomorphism ។

ទ្រឹស្តីនៃការគូសផែនទីទ្វេលីនេអ៊ែរ និងការគូសផែនទីពហុលីនេអ៊ែរនៃលំហបញ្ឈរមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងទ្រឹស្តីនៃការគូសផែនទីលីនេអ៊ែរនៃលំហបញ្ឈរ។

ក្រុមសំខាន់នៃបញ្ហានៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃការគូសផែនទីលីនេអ៊ែរត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយបញ្ហានៃការបន្តនៃផែនទីលីនេអ៊ែរ។ សូមឲ្យ F ជាចន្លោះរងនៃ V. p. E 1, E 2 ជាលំហលីនេអ៊ែរលើវាលដូចគ្នានឹង E 1 ហើយទុក T 0 ជាផែនទីលីនេអ៊ែរនៃ F ទៅក្នុង E 2; វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកផ្នែកបន្ថែម T នៃផែនទី T 0 ដែលកំណត់នៅលើ E 1 ទាំងមូល និងដែលជាផែនទីលីនេអ៊ែរពី E 1 ដល់ E 2 ។ ការបន្តបែបនេះតែងតែមាន ប៉ុន្តែការរឹតបន្តឹងបន្ថែមលើមុខងារ (ដែលភ្ជាប់ជាមួយរចនាសម្ព័ន្ធបន្ថែមនៅក្នុង VP ឧទាហរណ៍ ទំនាក់ទំនង topology ឬលំដាប់) អាចធ្វើឱ្យបញ្ហាមិនអាចដោះស្រាយបាន។ ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាបន្តគឺទ្រឹស្តីបទ Han-Banach និងទ្រឹស្តីបទស្តីពីការបន្តនៃមុខងារវិជ្ជមានក្នុងចន្លោះជាមួយកោណ។

ផ្នែកសំខាន់មួយនៃទ្រឹស្ដីនៃប្រតិបត្តិការនិម្មិតគឺទ្រឹស្តីនៃប្រតិបត្តិការលើវ៉ិចទ័រ ពោលគឺវិធីសាស្ត្រសម្រាប់បង្កើតវ៉ិចទ័រថ្មីដោយប្រើអ្វីដែលស្គាល់។ ឧទាហរណ៍នៃប្រតិបត្តិការបែបនេះគឺជាប្រតិបត្តិការដ៏ល្បីនៃការយកលំហរងមួយ និងបង្កើតលំហដកឃ្លាពីលំហរង។ ប្រតិបត្តិការសំខាន់ៗផ្សេងទៀតគឺការសាងសង់ផលបូកផ្ទាល់ ផលិតផលផ្ទាល់ និងផលិតផល tensor របស់ VP ។

អនុញ្ញាតឱ្យ (E α ) α∈I ជាក្រុមគ្រួសារនៃចន្លោះអថេរនៅលើវាល K. សំណុំ E - ផលិតផលនៃសំណុំ E α - អាចបំប្លែងទៅជាគ្រួសារនៃចន្លោះបញ្ឈរលើវាល K ដោយការណែនាំប្រតិបត្តិការ

(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K ; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

បានទទួល V. p. E ហៅ។ ផលិតផលផ្ទាល់របស់ V. p. E α និងត្រូវបានតាងដោយ P α∈I E α។ ចន្លោះរងនៃ V. p. E ដែលមានសំណុំទាំងអស់នោះ (x α) ដែលសំណុំនីមួយៗ (α: x α ≠ 0) ត្រូវបានកំណត់ត្រូវបានកំណត់។ ផលបូកផ្ទាល់នៃ V. p. E α និងត្រូវបានតាងដោយ Σ α E α ឬ Σ α + E α ; សម្រាប់ចំនួនកំណត់នៃពាក្យ និយមន័យទាំងនេះស្របគ្នា; ក្នុងករណីនេះសញ្ញាណខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ៖

អនុញ្ញាតឱ្យ E 1, E 2 ជាទីតាំង V. ពីរនៅលើវាល K; E" 1, E" 2 គឺជាចន្លោះរងសរុបនៃ V. p. E* 1, E* 2, និង E 1 □ E 2 -B ។ n. ដែលមានមូលដ្ឋានសរុបនៃធាតុទាំងអស់នៃលំហ E 1 × E 2 ។ ធាតុនីមួយៗ x □ y ∈ E 1 □ E 2 ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយអនុគមន៍ bilinear b = T(x, y) លើ E" 1 × E 2 យោងតាមរូបមន្ត b(f, g) = f(x)g(y ), f ∈ E " 1 , g ∈ E " 2. ការធ្វើផែនទីនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន x □ y ∈ E 1 □ E 2 អាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាផែនទីលីនេអ៊ែរ T B. p. E 1 □ E 2 ចូលទៅក្នុង B. p. នៃអនុគមន៍ bilinear ទាំងអស់នៅលើ E" 1 × E " 2. អនុញ្ញាតឱ្យ E 0 = T -1 (0) ។ផលិតផល tensor នៃ V. space E 1 និង E 2 ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាលំហ E 1 ○ E 2 = (E 1 □ E 2)/E 0; រូបភាពនៃធាតុ x □ y ត្រូវបានតាងដោយ x ○ y ។ ចន្លោះវ៉ិចទ័រ E 1 ○ E 2 គឺ isomorphic ទៅទំហំវ៉ិចទ័រនៃមុខងារ bilinear នៅលើ E 1 × E 2 (សូមមើលផលិតផល Tensor នៃចន្លោះវ៉ិចទ័រ) ។

ពន្លឺ៖ Bourbaki N., ពិជគណិត។ រចនាសម្ព័ន្ធពិជគណិត។ ពិជគណិតលីនេអ៊ែរ និងពហុលីនេអ៊ែរ, trans ។ ពីភាសាបារាំង, M. , 1962; Raikov D. A., ចន្លោះវ៉ិចទ័រ, M., 1962; ថ្ងៃ M. M., ចន្លោះលីនេអ៊ែរធម្មតា, trans ។ ពីភាសាអង់គ្លេស M. , 1961; , Edward R. , ការវិភាគមុខងារ, trans ។ ពីភាសាអង់គ្លេស, M., 1969; Halmos P., ចន្លោះវ៉ិចទ័រវិមាត្រកំណត់, trans ។ ពីភាសាអង់គ្លេស M. , 1963; Glazman I.M., Lyubich Yu.I., ការវិភាគលីនេអ៊ែរវិមាត្រចុងក្រោយនៅក្នុងបញ្ហា, M., 1969 ។

M.I. Kadets ។

ប្រភព៖

សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា។ T. 1 (A - D) ។ អេដ។ ក្រុមប្រឹក្សាភិបាល៖ I. M. Vinogradov (និពន្ធនាយក) [និងអ្នកដទៃ] - M., “សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀត”, ឆ្នាំ ១៩៧៧, ១១៥២ stb ។ ពី illus ។

សូមឱ្យ P ជាវាល។ ធាតុ a, b, ... О រយើងនឹងហៅ មាត្រដ្ឋាន.

និយមន័យ ១.ថ្នាក់ វវត្ថុ (ធាតុ) , , , ... នៃធម្មជាតិបំពានត្រូវបានគេហៅថា ចន្លោះវ៉ិចទ័រលើវាល Pហើយធាតុនៃថ្នាក់ V ត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រប្រសិនបើ V ត្រូវបានបិទនៅក្រោមប្រតិបត្តិការ "+" និងប្រតិបត្តិការនៃការគុណដោយមាត្រដ្ឋានពី P (ឧទាហរណ៍សម្រាប់ណាមួយ ОV + О វ;"aО Р aОV) ហើយលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖

A 1: ពិជគណិត - ក្រុម Abelian;

A 2: សម្រាប់ a, bОР, សម្រាប់ ОV, a(b)=(ab) គឺជាច្បាប់សមាគមទូទៅ។

A 3: សម្រាប់ a, bОР, សម្រាប់ ОV ណាមួយ, (a+b)= a+ b;

A 4: សម្រាប់ណាមួយពី P សម្រាប់ណាមួយ ពី V, a(+)=a+a (ច្បាប់ចែកចាយទូទៅ);

A 5: សម្រាប់ណាមួយនៃ V, 1 = ពេញចិត្ត, ដែល 1 គឺជាឯកតានៃវាល P - ទ្រព្យសម្បត្តិនៃឯកតា។

យើងនឹងហៅធាតុនៃវាល P scalar និងធាតុនៃវ៉ិចទ័រកំណត់ V ។

មតិយោបល់។ការគុណវ៉ិចទ័រដោយមាត្រដ្ឋានមិនមែនជាប្រតិបត្តិការគោលពីរនៅលើសំណុំ V ទេព្រោះវាជាផែនទីP´V®V។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃចន្លោះវ៉ិចទ័រ។

ឧទាហរណ៍ ១.ចន្លោះវ៉ិចទ័រសូន្យ (សូន្យវិមាត្រ) - លំហ V 0 =() - មានវ៉ិចទ័រទទេមួយ។

ហើយសម្រាប់ aОР a= ណាមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលការពេញចិត្តនៃ axioms ចន្លោះវ៉ិចទ័រ។

ចំណាំថាលំហវ៉ិចទ័រសូន្យអាស្រ័យទៅលើវាល P. ដូច្នេះ ចន្លោះសូន្យវិមាត្រលើវាលនៃលេខសនិទាន និងលើវាលនៃចំនួនពិតត្រូវបានចាត់ទុកថាខុសគ្នា ទោះបីជាពួកវាមានវ៉ិចទ័រសូន្យតែមួយក៏ដោយ។

ឧទាហរណ៍ ២.វាល P គឺខ្លួនវាជាចន្លោះវ៉ិចទ័រលើវាល P. សូម V=P ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលការពេញចិត្តនៃ axioms ចន្លោះវ៉ិចទ័រ។ ដោយសារ P គឺជាវាលមួយ ដូច្នេះ P គឺជាក្រុម Abelian បន្ថែម ហើយ A 1 កាន់កាប់។ ដោយសារតែការពេញចិត្តនៃគុណនៅក្នុង P, A2 គឺពេញចិត្ត។ Axioms A 3 និង A 4 ពេញចិត្តដោយសារតែលទ្ធភាពក្នុង P នៃការចែកចាយនៃគុណទាក់ទងនឹងការបូក។ ដោយសារមានធាតុឯកតា 1 នៅក្នុងវាល P នោះទ្រព្យសម្បត្តិឯកតា A 5 គឺពេញចិត្ត។ ដូច្នេះ វាល P គឺជាចន្លោះវ៉ិចទ័រលើវាល P ។

ឧទាហរណ៍ ៣.នព្វន្ធ n-dimensional វ៉ិចទ័រលំហ។

សូមឱ្យ P ជាវាល។ ពិចារណាសំណុំ V = P n = ((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i О P, i = 1, …, n) ។ ចូរយើងណែនាំនៅលើសំណុំ V នូវប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ និងគុណវ៉ិចទ័រដោយមាត្រដ្ឋាន យោងតាមច្បាប់ខាងក្រោម៖

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n +bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

ធាតុនៃសំណុំ V នឹងត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រវិមាត្រ. វ៉ិចទ័រ n-dimensional ពីរត្រូវបានគេនិយាយថាស្មើគ្នាប្រសិនបើសមាសធាតុដែលត្រូវគ្នា (កូអរដោនេ) ស្មើគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថា V គឺជាចន្លោះវ៉ិចទ័រនៅលើវាល P. ពីនិយមន័យនៃប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមវ៉ិចទ័រនិងគុណនៃវ៉ិចទ័រដោយមាត្រដ្ឋានវាដូចខាងក្រោមថា V ត្រូវបានបិទនៅក្រោមប្រតិបត្តិការទាំងនេះ។ ចាប់តាំងពីការបន្ថែមធាតុនៃ V កាត់បន្ថយទៅនឹងការបន្ថែមធាតុនៃវាល P ហើយ P គឺជាក្រុម Abelian បន្ថែមបន្ទាប់មក V គឺជាក្រុម Abelian បន្ថែម។ លើសពីនេះទៅទៀត =, ដែល 0 ជាសូន្យនៃវាល P, -= (-a 1, -a 2, …, -a n) ។ ដូច្នេះ A1 ពេញចិត្ត។ ចាប់តាំងពីការគុណធាតុពី V ដោយធាតុពី P កាត់បន្ថយទៅគុណធាតុនៃវាល P បន្ទាប់មក:

A 2 ពេញចិត្តដោយសារតែការភ្ជាប់នៃគុណដោយ P;

A 3 និង A 4 ពេញចិត្តដោយសារតែការចែកចាយនៃគុណដែលទាក់ទងនឹងការបូកដោយ P;

A 5 ពេញចិត្តព្រោះ 1 Î P គឺជាធាតុអព្យាក្រឹតទាក់ទងនឹងគុណនឹង P ។

និយមន័យ ២.សំណុំ V = P n ជាមួយនឹងប្រតិបត្តិការដែលបានកំណត់ដោយរូបមន្ត (1) និង (2) ត្រូវបានគេហៅថា arithmetic n-dimensional vector space over the field P.

ការបង្រៀន 6. ចន្លោះវ៉ិចទ័រ។

សំណួរចម្បង។

1. វ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរចន្លោះ។

2. មូលដ្ឋាន និងវិមាត្រនៃលំហ។

3. ការតំរង់ទិសអវកាស។

4. ការបំបែកវ៉ិចទ័រតាមមូលដ្ឋាន។

5. កូអរដោនេវ៉ិចទ័រ។

1. វ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរចន្លោះ។

សំណុំដែលមានធាតុនៃធម្មជាតិណាមួយដែលប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរត្រូវបានកំណត់៖ ការបន្ថែមធាតុពីរ និងការគុណនៃធាតុដោយលេខត្រូវបានគេហៅថា ចន្លោះនិងធាតុរបស់ពួកគេគឺ វ៉ិចទ័រលំហនេះ និងត្រូវបានតាងតាមរបៀបដូចគ្នាទៅនឹងបរិមាណវ៉ិចទ័រនៅក្នុងធរណីមាត្រ៖ . វ៉ិចទ័រចន្លោះអរូបីបែបនេះ ជាក្បួនមិនមានអ្វីដូចគ្នាជាមួយវ៉ិចទ័រធរណីមាត្រធម្មតា។ ធាតុនៃលំហអរូបីអាចជាមុខងារ ប្រព័ន្ធនៃលេខ ម៉ាទ្រីស។ល។ ហើយក្នុងករណីជាក់លាក់មួយ វ៉ិចទ័រធម្មតា។ ដូច្នេះចន្លោះបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាជាធម្មតា ចន្លោះវ៉ិចទ័រ .

ចន្លោះវ៉ិចទ័រគឺ ឧទាហរណ៍សំណុំនៃវ៉ិចទ័រ collinear តំណាង វ1 , សំណុំនៃវ៉ិចទ័រ coplanar វ2 , សំណុំនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា (លំហពិត) វ3 .

សម្រាប់ករណីពិសេសនេះ យើងអាចផ្តល់និយមន័យខាងក្រោមនៃទំហំវ៉ិចទ័រ។

និយមន័យ ១.សំណុំនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា ចន្លោះវ៉ិចទ័រប្រសិនបើការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រណាមួយនៃសំណុំក៏ជាវ៉ិចទ័រនៃសំណុំនេះផងដែរ។ វ៉ិចទ័រខ្លួនឯងត្រូវបានគេហៅថា ធាតុចន្លោះវ៉ិចទ័រ។

សំខាន់ជាងនេះទៅទៀត ទាំងទ្រឹស្តី និងការអនុវត្ត គឺគំនិតទូទៅ (អរូបី) នៃលំហវ៉ិចទ័រ។

និយមន័យ ២.មួយបាច់ រធាតុដែលផលបូកត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ធាតុពីរណាមួយ និងសម្រាប់ធាតុណាមួយ https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20">ហៅថា វ៉ិចទ័រ(ឬលីនេអ៊ែរ) លំហហើយធាតុរបស់វាគឺជាវ៉ិចទ័រ ប្រសិនបើប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ និងគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ បំពេញលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម ( axioms) :

1) ការបន្ថែមគឺ commutative, i.e..gif" width="184" height="25">;

3) មានធាតុបែបនេះ (សូន្យវ៉ិចទ័រ) ដែលសម្រាប់ https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;

5) សម្រាប់វ៉ិចទ័រណាមួយ និងលេខណាមួយ λ សមភាពទទួលបាន;

6) សម្រាប់វ៉ិចទ័រនិងលេខណាមួយ។ λ និង µ សមភាពគឺពិត៖ https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> និងលេខណាមួយ λ និង µ យុត្តិធម៌ ;

៨) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">។

axioms សាមញ្ញបំផុតដែលកំណត់ទំហំវ៉ិចទ័រមានដូចខាងក្រោម៖ ផលវិបាក :

1. ក្នុងចន្លោះវ៉ិចទ័រមានសូន្យតែមួយ - ធាតុ - វ៉ិចទ័រសូន្យ។

2. ក្នុងចន្លោះវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័រនីមួយៗមានវ៉ិចទ័រទល់មុខតែមួយ។

3. សម្រាប់ធាតុនីមួយៗសមភាពត្រូវបានពេញចិត្ត។

4. សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ។ λ និងសូន្យវ៉ិចទ័រ https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">។

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> គឺជាវ៉ិចទ័រដែលបំពេញនូវសមភាព https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">។

ដូច្នេះ ពិតណាស់ សំណុំនៃវ៉ិចទ័រធរណីមាត្រទាំងអស់គឺជាលំហលីនេអ៊ែរ (វ៉ិចទ័រ) ចាប់តាំងពីសម្រាប់ធាតុនៃសំណុំនេះ សកម្មភាពនៃការបូក និងគុណដោយលេខត្រូវបានកំណត់ ដែលបំពេញតាមអ័ក្សដែលបានបង្កើត។

2. មូលដ្ឋាន និងវិមាត្រនៃលំហ។

គោលគំនិតសំខាន់ៗនៃទំហំវ៉ិចទ័រ គឺជាគោលគំនិតនៃមូលដ្ឋាន និងវិមាត្រ។

និយមន័យ។សំណុំនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ដែលយកតាមលំដាប់លំដោយជាក់លាក់មួយ ដែលតាមនោះវ៉ិចទ័រនៃលំហណាមួយអាចត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរ ត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋានចន្លោះនេះ។ វ៉ិចទ័រ។ សមាសធាតុនៃមូលដ្ឋាននៃលំហត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាន .

មូលដ្ឋាននៃសំណុំនៃវ៉ិចទ័រដែលមានទីតាំងនៅលើបន្ទាត់បំពានអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាវ៉ិចទ័ររួមមួយទៅបន្ទាត់នេះ។

មូលដ្ឋានលើយន្តហោះតោះហៅវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាជួរពីរនៅលើយន្តហោះនេះ ដែលថតតាមលំដាប់ជាក់លាក់មួយ https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានត្រូវបានកាត់កែងជាគូ (អ័រតូហ្គោន) នោះមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា រាងមូលហើយប្រសិនបើវ៉ិចទ័រទាំងនេះមានប្រវែងស្មើនឹងមួយ នោះមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា ធម្មតា .

ចំនួនវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរច្រើនបំផុតនៅក្នុងលំហត្រូវបានគេហៅថា វិមាត្រនៃលំហនេះ ពោលគឺ វិមាត្រនៃលំហត្រូវគ្នានឹងចំនួនវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាននៃលំហនេះ។

ដូច្នេះយោងទៅតាមនិយមន័យទាំងនេះ៖

1. លំហមួយវិមាត្រ វ1 គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ ហើយមូលដ្ឋានមាន collinear មួយ។វ៉ិចទ័រ https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> ។

3. លំហធម្មតា គឺជាលំហបីវិមាត្រ វ3 ដែលមូលដ្ឋានមាន បីមិន coplanarវ៉ិចទ័រ

ពីទីនេះយើងឃើញថាចំនួនវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាននៅលើបន្ទាត់មួយនៅលើយន្តហោះក្នុងលំហពិតស្របគ្នាជាមួយនឹងអ្វីដែលនៅក្នុងធរណីមាត្រត្រូវបានគេហៅថាជាធម្មតាចំនួនវិមាត្រ (វិមាត្រ) នៃបន្ទាត់ យន្តហោះ លំហ។ ដូច្នេះ វាជារឿងធម្មតាក្នុងការណែនាំនិយមន័យទូទៅបន្ថែមទៀត។

និយមន័យ។ចន្លោះវ៉ិចទ័រ រហៅ ន- វិមាត្រប្រសិនបើមានមិនលើសពី នវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងត្រូវបានតំណាង រ ន. ចំនួន នហៅ វិមាត្រលំហ។

ស្របតាមវិមាត្រនៃលំហត្រូវបានបែងចែកទៅជា វិមាត្រកំណត់និង វិមាត្រគ្មានកំណត់. វិមាត្រនៃចន្លោះទទេត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើនឹងសូន្យតាមនិយមន័យ។

ចំណាំ ១.ក្នុងចន្លោះនីមួយៗ អ្នកអាចបញ្ជាក់មូលដ្ឋានជាច្រើនតាមដែលអ្នកចូលចិត្ត ប៉ុន្តែមូលដ្ឋានទាំងអស់នៃចន្លោះដែលបានផ្តល់ឱ្យមានចំនួនវ៉ិចទ័រដូចគ្នា។

ចំណាំ ២. IN ន- ក្នុងទំហំវ៉ិចទ័រវិមាត្រ មូលដ្ឋានគឺជាការប្រមូលតាមលំដាប់ណាមួយ។ នវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

3. ការតំរង់ទិសអវកាស។

ទុកវ៉ិចទ័រជាមូលដ្ឋានក្នុងលំហ វ3 មាន ការចាប់ផ្តើមទូទៅនិង បានបញ្ជាឧ. វាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញថាវ៉ិចទ័រមួយណាត្រូវបានចាត់ទុកថាទីមួយ ដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាជាទីពីរ និងដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាជាវ៉ិចទ័រទីបី។ ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងមូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រត្រូវបានតម្រៀបតាមលិបិក្រម។

សម្រាប់របស់នោះ ដើម្បីតំរង់ទិសលំហ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់មូលដ្ឋានមួយចំនួន ហើយប្រកាសថាវាវិជ្ជមាន .

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាសំណុំនៃមូលដ្ឋានទាំងអស់នៃលំហរធ្លាក់ចូលទៅក្នុងថ្នាក់ពីរ, នោះគឺចូលទៅក្នុងសំណុំរង disjoint ពីរ។

ក) មូលដ្ឋានទាំងអស់ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំរងមួយ (ថ្នាក់) មាន ដូចគ្នាការតំរង់ទិស (មូលដ្ឋាននៃឈ្មោះដូចគ្នា);

ខ) មូលដ្ឋានទាំងពីរដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ផ្សេងៗសំណុំរង (ថ្នាក់), មាន ផ្ទុយទិស, ( ឈ្មោះផ្សេងគ្នាមូលដ្ឋាន) ។

ប្រសិនបើថ្នាក់មួយក្នុងចំណោមពីរថ្នាក់នៃមូលដ្ឋាននៃលំហមួយត្រូវបានប្រកាសថាវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានផ្សេងទៀត នោះគេនិយាយថាលំហនេះ តម្រង់ទិស .

ជាញឹកញាប់នៅពេលតម្រង់ទិសលំហ មូលដ្ឋានខ្លះត្រូវបានគេហៅថា ត្រឹមត្រូវ។, ហើយផ្សេងទៀត - ឆ្វេង .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> ត្រូវបានហៅ ត្រឹមត្រូវ។ប្រសិនបើនៅពេលសង្កេតពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រទីបី ការបង្វិលខ្លីបំផុតនៃវ៉ិចទ័រទីមួយ https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > ត្រូវបានអនុវត្ត ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា(រូបភាព 1.8, ក) ។

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

អង្ករ។ ១.៨. មូលដ្ឋានស្តាំ (ក) និងមូលដ្ឋានខាងឆ្វេង (ខ)

ជាធម្មតាមូលដ្ឋានត្រឹមត្រូវនៃលំហត្រូវបានប្រកាសថាជាមូលដ្ឋានវិជ្ជមាន

មូលដ្ឋានខាងស្តាំ (ឆ្វេង) នៃលំហក៏អាចត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើច្បាប់នៃវីស "ស្តាំ" ("ឆ្វេង") ឬ gimlet ។

ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនេះ គំនិតនៃស្តាំ និងឆ្វេងត្រូវបានណែនាំ បីវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជា coplanar ដែលត្រូវតែបញ្ជា (រូបភាព 1.8) ។

ដូច្នេះ នៅក្នុងករណីទូទៅ វ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាកូបឡារបីដែលបានបញ្ជាទិញមានទិសដូចគ្នា (ឈ្មោះដូចគ្នា) ក្នុងលំហ។ វ3 ប្រសិនបើពួកគេទាំងពីរស្តាំ ឬទាំងពីរខាងឆ្វេង និង - ទិសផ្ទុយ (ផ្ទុយ) ប្រសិនបើមួយក្នុងចំណោមពួកគេស្តាំ និងមួយទៀតគឺនៅខាងឆ្វេង។

ដូចគ្នានេះដែរត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងករណីនៃលំហ វ2 (យន្តហោះ) ។

4. ការបំបែកវ៉ិចទ័រតាមមូលដ្ឋាន។

សម្រាប់ភាពសាមញ្ញនៃការវែកញែក ចូរយើងពិចារណាសំណួរនេះដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃទំហំវ៉ិចទ័របីវិមាត្រ រ3 .

អនុញ្ញាតឱ្យ https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19">ជាវ៉ិចទ័របំពាននៃលំហនេះ។

នៅក្នុងអត្ថបទអំពីវ៉ិចទ័រ n-dimensional យើងបានមកដល់គំនិតនៃលំហលីនេអ៊ែរដែលបង្កើតឡើងដោយសំណុំនៃវ៉ិចទ័រ n-dimensional ។ ឥឡូវនេះ យើងត្រូវពិចារណាគោលគំនិតសំខាន់ៗស្មើគ្នា ដូចជាវិមាត្រ និងមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ។ ពួកវាទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងគំនិតនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ដូច្នេះវាត្រូវបានផ្ដល់អនុសាសន៍បន្ថែមដើម្បីរំលឹកខ្លួនអ្នកអំពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃប្រធានបទនេះ។

ចូរយើងណែនាំនិយមន័យមួយចំនួន។

និយមន័យ ១

វិមាត្រនៃទំហំវ៉ិចទ័រ- លេខដែលត្រូវនឹងចំនួនអតិបរមានៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរក្នុងចន្លោះនេះ។

និយមន័យ ២

មូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រ- សំណុំនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ តាមលំដាប់លំដោយ និងស្មើនឹងចំនួនវិមាត្រនៃលំហ។

ចូរយើងពិចារណាចន្លោះជាក់លាក់នៃ n -vectors ។ វិមាត្ររបស់វាត្រូវគ្នានឹង n ។ ចូរយើងយកប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ n-unit៖

e (1) = (1, 0, ... 0) e (2) = (0, 1, .. , 0) e (n) = (0, 0, ... , 1)

យើងប្រើវ៉ិចទ័រទាំងនេះជាសមាសធាតុនៃម៉ាទ្រីស A៖ វានឹងក្លាយជាម៉ាទ្រីសឯកតាដែលមានវិមាត្រ n ដោយ n ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនេះគឺ n ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ e (1), e (2), . . . , e(n) គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ក្នុងករណីនេះ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបន្ថែមវ៉ិចទ័រតែមួយទៅក្នុងប្រព័ន្ធដោយមិនបំពានលើឯករាជ្យភាពលីនេអ៊ែររបស់វា។

ដោយសារចំនួនវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធគឺ n នោះវិមាត្រនៃលំហនៃវ៉ិចទ័រវិមាត្រគឺ n ហើយវ៉ិចទ័រឯកតាគឺ e (1), e (2), ។ . . , e (n) គឺជាមូលដ្ឋាននៃចន្លោះដែលបានបញ្ជាក់។

តាមនិយមន័យលទ្ធផល យើងអាចសន្និដ្ឋានបាន៖ ប្រព័ន្ធណាមួយនៃវ៉ិចទ័រ n-dimensional ដែលចំនួនវ៉ិចទ័រតិចជាង n មិនមែនជាមូលដ្ឋាននៃលំហទេ។

ប្រសិនបើយើងប្តូរវ៉ិចទ័រទីមួយ និងទីពីរ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ e (2), e (1), . . . , អ៊ី (ន) ។ វាក៏នឹងជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ n-dimensional ផងដែរ។ ចូរបង្កើតម៉ាទ្រីសដោយយកវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផលជាជួររបស់វា។ ម៉ាទ្រីសអាចទទួលបានពីម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណដោយប្ដូរជួរដេកពីរដំបូង ចំណាត់ថ្នាក់របស់វានឹងជា n ។ ប្រព័ន្ធ e (2), e (1), . . . , e(n) គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ n-dimensional ។

តាមរយៈការរៀបចំវ៉ិចទ័រផ្សេងទៀតនៅក្នុងប្រព័ន្ធដើម យើងទទួលបានមូលដ្ឋានមួយផ្សេងទៀត។

យើងអាចយកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាឯកតា ហើយវាក៏នឹងតំណាងឱ្យមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ n-dimensional ផងដែរ។

និយមន័យ ៣

ចន្លោះវ៉ិចទ័រដែលមានវិមាត្រ n មានមូលដ្ឋានច្រើនដូចដែលមានប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រវិមាត្រនៃលេខ n ។

យន្តហោះគឺជាលំហពីរវិមាត្រ - មូលដ្ឋានរបស់វានឹងជាវ៉ិចទ័រដែលមិនជាប់គ្នាទាំងពីរ។ មូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រនឹងជាវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនកូបឡាណាទាំងបី។

ចូរយើងពិចារណាអំពីការអនុវត្តទ្រឹស្តីនេះដោយប្រើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

ឧទាហរណ៍ ១

ទិន្នន័យដំបូង៖វ៉ិចទ័រ

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

វាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ថាតើវ៉ិចទ័រដែលបានបញ្ជាក់គឺជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័របីវិមាត្រ។

ដំណោះស្រាយ

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា យើងសិក្សាប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ។ ចូរបង្កើតម៉ាទ្រីស ដែលជួរដេកជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ។ ចូរកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស។

ក = 3 2 3 − 2 1 − 1 1 2 − 2 A = 3 − 2 1 2 1 2 3 − 1 − 2 = 3 1 (− 2) + (− 2) 2 3 + 1 2 · (− 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

អាស្រ័យហេតុនេះ វ៉ិចទ័រដែលបានបញ្ជាក់ដោយលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយចំនួនរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងវិមាត្រនៃទំហំវ៉ិចទ័រ - ពួកគេជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ។

ចម្លើយ៖វ៉ិចទ័រដែលបានបង្ហាញគឺជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ។

ឧទាហរណ៍ ២

ទិន្នន័យដំបូង៖វ៉ិចទ័រ

a = (3, − 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, − 1, − 2) d = (0, 1, 2)

វាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ថាតើប្រព័ន្ធដែលបានបញ្ជាក់នៃវ៉ិចទ័រអាចជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ។

ដំណោះស្រាយ

ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហាគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ពីព្រោះ ចំនួនអតិបរិមានៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរគឺ 3. ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានបញ្ជាក់មិនអាចបម្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ទំហំវ៉ិចទ័របីវិមាត្របានទេ។ ប៉ុន្តែគួរកត់សំគាល់ថាប្រព័ន្ធរងនៃប្រព័ន្ធដើម a = (3, − 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, − 1, − 2) គឺជាមូលដ្ឋាន។

ចម្លើយ៖ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានបង្ហាញមិនមែនជាមូលដ្ឋានទេ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ទិន្នន័យដំបូង៖វ៉ិចទ័រ

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

តើពួកគេអាចជាមូលដ្ឋាននៃលំហបួនវិមាត្របានទេ?

ដំណោះស្រាយ

ចូរបង្កើតម៉ាទ្រីសដោយប្រើកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យជាជួរ

ក = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian យើងកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស៖

ក = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

អាស្រ័យហេតុនេះ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយចំនួនរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងវិមាត្រនៃទំហំវ៉ិចទ័រ - ពួកគេគឺជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័របួនវិមាត្រ។

ចម្លើយ៖វ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាមូលដ្ឋាននៃលំហបួនវិមាត្រ។

ឧទាហរណ៍ 4

ទិន្នន័យដំបូង៖វ៉ិចទ័រ

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

តើពួកវាបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវិមាត្រ 4 ដែរឬទេ?

ដំណោះស្រាយ

ប្រព័ន្ធដើមនៃវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប៉ុន្តែចំនួនវ៉ិចទ័រនៅក្នុងវាមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីក្លាយជាមូលដ្ឋាននៃលំហបួនវិមាត្រនោះទេ។

ចម្លើយ៖ទេ ពួកគេមិនធ្វើទេ។

ការបំបែកវ៉ិចទ័រទៅជាមូលដ្ឋាន

ចូរយើងសន្មតថាវ៉ិចទ័របំពាន e (1), e (2), . . . , e (n) គឺជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ n-dimensional ។ ចូរយើងបន្ថែមវ៉ិចទ័រ n-dimensional x →៖ ប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃវ៉ិចទ័រនឹងក្លាយទៅជាលីនេអ៊ែរអាស្រ័យ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរបញ្ជាក់ថាយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធបែបនេះអាចត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈធាតុផ្សេងទៀត។ ការធ្វើកំណែទម្រង់សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ យើងអាចនិយាយបានថា យ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយនៃប្រព័ន្ធពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាវ៉ិចទ័រដែលនៅសល់។

ដូចនេះ យើងបានមកបង្កើតទ្រឹស្តីបទសំខាន់បំផុត៖

និយមន័យ ៤

វ៉ិចទ័រណាមួយនៃទំហំវ៉ិចទ័រ n-dimensional អាចត្រូវបាន decomposed តែមួយគត់ចូលទៅក្នុងមូលដ្ឋានមួយ។

ភស្តុតាង ១

ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទនេះ៖

ចូរយើងកំណត់មូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ n-dimensional - e (1), e (2), . . . , អ៊ី (ន) ។ ចូរធ្វើឱ្យប្រព័ន្ធអាស្រ័យដោយបន្ថែមវ៉ិចទ័រ n-dimensional x → ទៅវា។ វ៉ិចទ័រនេះអាចបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រដើម អ៊ី៖

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) ដែល x 1 , x 2 , ។ . . , x n - លេខមួយចំនួន។

ឥឡូវនេះយើងបង្ហាញថាការរលួយបែបនេះគឺមានតែមួយគត់។ ចូរសន្មតថានេះមិនមែនជាករណីទេហើយមានការបំផ្លាញស្រដៀងគ្នាមួយទៀត:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) ដែល x ~ 1 , x ~ 2 , ។ . . , x ~ n - លេខមួយចំនួន។

ចូរយើងដកពីផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាពនេះ រៀងគ្នាផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាព x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + ។ . . + x n · e (n) ។ យើងទទួលបាន:

0 = (x ~ 1 − x 1) · e (1) + (x ~ 2 − x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន e (1), e (2), . . . , e(n) គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ; តាមនិយមន័យនៃឯករាជភាពលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ សមភាពខាងលើគឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែមេគុណទាំងអស់គឺ (x ~ 1 - x 1), (x ~ 2 - x 2), ។ . . , (x ~ n − x n) នឹងស្មើនឹងសូន្យ។ ពីដែលវានឹងមានភាពយុត្តិធម៌៖ x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, ។ . . , x n = x ~ n . ហើយនេះបង្ហាញពីជម្រើសតែមួយគត់សម្រាប់ decomposing វ៉ិចទ័រទៅជាមូលដ្ឋានមួយ។

ក្នុងករណីនេះ មេគុណ x 1, x 2, . . . , x n ត្រូវបានគេហៅថាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ x → ក្នុងមូលដ្ឋាន e (1), e (2), . . . , អ៊ី (ន) ។

ទ្រឹស្ដីដែលបង្ហាញឱ្យឃើញច្បាស់ពីកន្សោម "ដែលបានផ្តល់ឱ្យ n-dimensional វ៉ិចទ័រ x = (x 1 , x 2 , ... , x n)": វ៉ិចទ័រ x → n-dimensional វ៉ិចទ័រត្រូវបានពិចារណា ហើយកូអរដោនេរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុង មូលដ្ឋានជាក់លាក់។ វាក៏ច្បាស់ដែរថាវ៉ិចទ័រដូចគ្នានៅក្នុងមូលដ្ឋានមួយផ្សេងទៀតនៃលំហ n-dimensional នឹងមានកូអរដោនេផ្សេងគ្នា។

ពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖ ឧបមាថានៅក្នុងមូលដ្ឋានមួយចំនួននៃទំហំវ៉ិចទ័រ n វិមាត្រ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

ហើយវ៉ិចទ័រ x = (x 1 , x 2 , ... , x n) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

វ៉ិចទ័រ អ៊ី ១ (១), អ៊ី ២ (២), . . . , e n (n) ក្នុងករណីនេះក៏ជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រនេះដែរ។

ឧបមាថាវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ x → ក្នុងមូលដ្ឋាន e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) តំណាងថា x ~ 1 , x ~ 2 , ។ . . , x ~ ន.

វ៉ិចទ័រ x → នឹងត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

តោះសរសេរកន្សោមនេះក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ៖

(x 1 , x 2 , ... , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , .. , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , ... , e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , ... , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + ... + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + ... + x ~ n e 2 (n), ... , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

សមភាពលទ្ធផលគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធនៃកន្សោមពិជគណិតលីនេអ៊ែរជាមួយ n អថេរលីនេអ៊ែរដែលមិនស្គាល់ x ~ 1, x ~ 2, ។ . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + ។ . . + x~n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x~n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

ម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនេះនឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

អនុញ្ញាតឱ្យនេះជាម៉ាទ្រីស A ហើយជួរឈររបស់វាគឺជាវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ e 1 (1), e 2 (2), ។ . . , e n (n) ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺ n ហើយកត្តាកំណត់របស់វាគឺមិនសូន្យ។ នេះបង្ហាញថាប្រព័ន្ធសមីការមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលកំណត់ដោយវិធីសាស្ត្រងាយស្រួលណាមួយ៖ ឧទាហរណ៍ វិធីសាស្ត្រ Cramer ឬវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស។ វិធីនេះយើងអាចកំណត់កូអរដោនេ x ~ 1, x ~ 2, ។ . . , x ~ n វ៉ិចទ័រ x → ក្នុងមូលដ្ឋាន e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) ។

ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្ដីដែលបានពិចារណាទៅលើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ទិន្នន័យដំបូង៖វ៉ិចទ័រត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

វាចាំបាច់ក្នុងការបញ្ជាក់ពីការពិតដែលថាប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ e (1), e (2), e (3) ក៏បម្រើជាមូលដ្ឋាននៃចន្លោះដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយក៏ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ x នៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដំណោះស្រាយ

ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ e (1), e (2), e (3) នឹងជាមូលដ្ឋាននៃលំហរបីវិមាត្រប្រសិនបើវាជាលីនេអ៊ែរឯករាជ្យ។ ចូរយើងស្វែងយល់ពីលទ្ធភាពនេះដោយកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A ជួរដែលជាវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ e (1), e (2), e (3) ។

យើងប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ e (1), e (2), e (3) គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនិងជាមូលដ្ឋានមួយ។

សូមឲ្យវ៉ិចទ័រ x → មានកូអរដោណេ x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 ជាមូលដ្ឋាន។ ទំនាក់ទំនងរវាងកូអរដោនេទាំងនេះត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ៖

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

ចូរយើងអនុវត្តតម្លៃទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា៖

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 − x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 − 5 x ~ 2 − 3 x 3 = − 7

តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer៖

∆ = 1 3 2 − 1 2 1 1 − 5 − 3 = − 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 − 7 − 5 − 3 = − 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = − 1 − 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 − 1 2 1 1 − 7 − 3 = − 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = − 1 − 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 − 1 2 2 1 − 5 − 7 = − 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = − 1 − 1 = 1

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ x → នៅក្នុងមូលដ្ឋាន e (1), e (2), e (3) មានកូអរដោនេ x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1 ។

ចម្លើយ៖ x = (1, 1, 1)

ទំនាក់ទំនងរវាងមូលដ្ឋាន

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថានៅក្នុងមូលដ្ឋានមួយចំនួននៃទំហំវ៉ិចទ័រ n-dimensional ប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពីរនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:

c (1) = (c 1 (1), c 2 (1), ... , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , ... , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n), e 2 (n), ... , c n (n))

e (1) = (e 1 (1), e 2 (1), ... , e n (1)) e (2) = (e 1 (2), e 2 (2), ... , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n), e 2 (n), ... , e n (n))

ប្រព័ន្ធទាំងនេះក៏ជាមូលដ្ឋាននៃទំហំដែលបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ។

អនុញ្ញាតឱ្យ c ~ 1 (1), c ~ 2 (1), ។ . . , c ~ n (1) - កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ c (1) នៅក្នុងមូលដ្ឋាន e (1), e (2), . . . , e (3) បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនងសំរបសំរួលនឹងត្រូវបានផ្តល់ដោយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . +c~n(1)e 1(n)c 2(1)=c~1(1)e 2(1)+c~2(1)e 2(2)+។ . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

ប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានតំណាងជាម៉ាទ្រីសដូចខាងក្រោមៈ

(c 1 (1), c 2 (1), ... , c n (1)) = (c ~ 1 (1), c ~ 2 (1), ... , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

ចូរយើងបង្កើតធាតុដូចគ្នាសម្រាប់វ៉ិចទ័រ c (2) ដោយភាពស្រដៀងគ្នា៖

(c 1 (2), c 2 (2), ... , c n (2)) = (c ~ 1 (2), c ~ 2 (2), ... , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n), c 2 (n), ... , c n (n)) = (c ~ 1 (n), c ~ 2 (n), ... , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

ចូរផ្សំសមភាពម៉ាទ្រីសទៅជាកន្សោមតែមួយ៖

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯c n (n) = c~1(1)c~2(1) ⋯ c~n(1)c~1(2)c~2(2) ⋯ 2 (n) ⋯ c~n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) ។ e 2 (n) ⋯ e n (n)

វានឹងកំណត់ការតភ្ជាប់រវាងវ៉ិចទ័រនៃមូលដ្ឋានពីរផ្សេងគ្នា។

ដោយប្រើគោលការណ៍ដូចគ្នា វាអាចបង្ហាញវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានទាំងអស់ e(1), e(2), . . . , e (3) តាមរយៈមូលដ្ឋាន c (1), c (2), . . . , គ (n)៖

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) ។ c 2 (n) ⋯ c n (n)

ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដូចខាងក្រោមៈ

និយមន័យ ៥

ម៉ាទ្រីស c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) គឺជាម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋាន e (1), e (2), . . . , អ៊ី (3)

ទៅមូលដ្ឋាន c (1), c (2), . . . , គ (n) ។

និយមន័យ ៦

ម៉ាទ្រីស e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) អ៊ី ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) គឺជាម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋាន c(1), c(2), . . . , c(n)

ទៅមូលដ្ឋាន e (1), e (2), . . . , អ៊ី (3) ។

ពីសមភាពទាំងនេះវាច្បាស់ណាស់។

c~1(1)c~2(1) ⋯ c~n(1)c~1(2)c~2(2) ⋯ 2(n)⋯ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

ទាំងនោះ។ ម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរគឺទៅវិញទៅមក។

សូមក្រឡេកមើលទ្រឹស្តីដោយប្រើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍ ៧

ទិន្នន័យដំបូង៖វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋាន

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

អ្នកក៏ត្រូវចង្អុលបង្ហាញទំនាក់ទំនងរវាងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័របំពាន x → នៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដំណោះស្រាយ

1. សូមឱ្យ T ជាម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរ នោះសមភាពនឹងជាការពិត៖

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

គុណភាគីទាំងពីរនៃសមភាពដោយ

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

ហើយយើងទទួលបាន៖

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 − 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 − 1

2. កំណត់ម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរ៖

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = − 27 9 4 − 71 20 12 − 41 9 8

3. ចូរយើងកំណត់ទំនាក់ទំនងរវាងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ x → :

ចូរយើងសន្មតថានៅក្នុងមូលដ្ឋាន c (1), c (2), . . . , c (n) វ៉ិចទ័រ x → មានកូអរដោនេ x 1 , x 2 , x 3 បន្ទាប់មក៖

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

ហើយនៅក្នុងមូលដ្ឋាន e (1), e (2), . . . , e (3) មានកូអរដោនេ x~1, x~2, x~3 បន្ទាប់មក៖

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 1 - 6

ដោយសារតែ ប្រសិនបើផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពទាំងនេះស្មើគ្នា យើងអាចស្មើនឹងផ្នែកខាងស្តាំផងដែរ៖

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

គុណទាំងសងខាងនៅខាងស្តាំដោយ

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

ហើយយើងទទួលបាន៖

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 ៨

នៅម្ខាងទៀត

(x~1,x~2,x~3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

សមភាពចុងក្រោយបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ x → ក្នុងមូលដ្ឋានទាំងពីរ។

ចម្លើយ៖ម៉ាទ្រីសអន្តរកាល

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ x → នៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x~1,x~2,x~3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter