Внеклассный урок - модуль числа. Модуль числа. Полные уроки — Гипермаркет знаний Модуль неотрицательного числа является неотрицательным числом
Цели урока
Познакомить школьников с таким математическим понятием, как модуль числа;
Научить школьников навыкам нахождения модулей чисел;
Закрепить изученный материал с помощью выполнения различных заданий;
Задачи
Закрепить знания детей о модуле числа;
С помощью решения тестовых заданий проверить, как усвоили ученики изученный материал;
Продолжать прививать интерес к урокам математики;
Воспитывать у школьников логическое мышление, любознательность и усидчивость.
План урока
1. Общие понятия и определение модуля числа.
2. Геометрический смысл модуля.
3. Модуль числа его свойства.
4. Решение уравнений и неравенств, которые содержат модуль числа.
5. Историческая справка о термине «модуль числа».
6. Задание на закрепление знаний пройденной темы.
7. Домашнее задание.
Общие понятия о модуле числа
Модулем числа принято называть само число, если оно не имеет отрицательного значения, или это же число отрицательное, но с противоположным знаком.
То есть, модулем неотрицательного действительного числа a является само это число:
А, модулем отрицательного действительного числа х будет противоположное число:
В записи это будет выглядеть так:
Для более доступного понимания приведем пример. Так, например, модулем числа 3 будет 3, и также модулем числа -3, является 3.
Из этого следует, что под модулем числа подразумевается абсолютная величина, то есть, ее абсолютное значение, но без учета его знака. Если говорить еще более просто, то необходимо от числа отбросить знак.
Обозначаться и выглядеть модуль числа может так: |3|, |х|, |а| и т.д.
Так, например, модуль числа 3 обозначается |3|.
Также, следует помнить, что модуль числа никогда не бывает отрицательным: |a|≥ 0.
|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 и т.д.
Геометрический смысл модуля
Модулем числа называют расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до точки. В этом определении раскрывается модуль с геометрической точки зрения.
Возьмем координатную прямую и обозначим на ней две точки. Пускай этим точкам будут соответствовать такие числа, как −4 и 2.
Теперь давайте обратим внимание на данный рисунок. Мы видим, что обозначенная на координатной прямой точка А соответствует числу -4 и если вы внимательно посмотрите, то увидите, что эта точка находится от точки отсчета 0 на расстоянии 4 единичных отрезков. Отсюда следует, что длина отрезка OA равняется четырем единицам. В этом случае, длина отрезка ОА, то есть число 4 будет модулем числа -4.
Обозначается и записывается в данном случае модуль числа таким образом: |−4| = 4.
Теперь возьмем, и на координатной прямой обозначим точку В.
Эта точка В будет соответствовать числу +2, и находится она, как мы видим, от начала отсчета на расстоянии двух единичных отрезков. Из этого следует, что длина отрезка OB равняется двум единицам. В этом случае число 2 будет модулем числа +2.
В записи это будет выглядеть так: |+2| = 2 или |2| = 2.
А теперь подведем итог. Если мы с вами возьмем какое-то неизвестное число а и обозначим его на координатной прямой точкой А, то в этом случае расстояние от точки A до начала отсчёта, то есть длинна отрезка ОА, как раз и является модулем числа «a».
В записи это будет выглядеть так: |a| = OA.
Модуль числа его свойства
А теперь давайте попробуем выделить свойства модуля, рассмотреть всевозможные случаи и записать их с помощью буквенных выражений:
Во-первых, модулем числа является число неотрицательное, а значит модуль положительного числа, равен самому числу: |a| = a, если a > 0;
Во-вторых, модули, которые состоят из противоположных чисел, равны: |а| = |–а|. То есть это свойство говорит нам о том, что противоположные числа всегда имеют равные модули, та как на координатной прямой, хотя они и имеют противоположные числа, но они находятся на одинаковом расстоянии от точки отсчета. Из этого следует, что и модули этих противоположных чисел равны.
В-третьих, модуль нуля равняется нулю в том случае, если это число является нулем: |0| = 0, если a = 0. Здесь можно с уверенностью сказать, что модулем нуля является ноль по определению, так как ему соответствует начало отсчета координатной прямой.
Четвертым свойством модуля является то, что модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел. Теперь подробнее рассмотрим, что это значит. Если следовать определению, то мы с вами знаем, что модуль произведения чисел a и b будет равен a b, или −(a b), если, а в ≥ 0, или же – (а в), если, а в больше 0. В записи это будет выглядеть так: |а b| = |а| |b|.
Пятым свойством является то, что модуль частного от деления чисел равен отношению модулей этих чисел: |а: b| = |а| : |b|.
И следующие свойства модуля числа:
Решение уравнений и неравенств, которые содержат модуль числа
Приступив к решению задач, которые имеют модуль числа, следует помнить, что чтобы решить такое задание, необходимо раскрыть знак модуля, используя знания свойств, которым эта задача соответствует.
Задание 1
Так, к примеру, если под знаком модуля стоит выражение, которое зависит от переменной, то раскрывать модуль следует в соответствии с определением:
Конечно же, при решении задач бывают случаи, когда модуль раскрывается однозначно. Если, например, взять
, здесь мы видим, что такое выражение под знаком модуля неотрицательно при любых значениях х и у.
Или, же для примера берем
, мы видим, что это выражение под модулем не положительно при любых значениях z.
Задание 2
Перед вами изображена координатная прямая. На этой прямой необходимо отметить числа, модуль которых будет равен 2.
Решение
В первую очередь, мы должны начертить координатную прямую. Вам уже известно, что для этого, вначале на прямой необходимо выбрать начало отсчета, направление и единичный отрезок. Далее, нам нужно от начала отсчета поставить точки, которые равны расстоянию двух единичных отрезков.
Как видим, таких точек на координатной прямой две, одна из которых соответствует числу -2, а другая числу 2.
Историческая справка о модуле числа
Термин «модуль» произошел от латинского названия modulus, что в переводе обозначает слово «мера». Ввел в обращение этот термин английский математик Роджер Котес. А вот знак модуля был введен благодаря немецкому математику Карлу Вейерштрассу. При написании модуль обозначается с помощью такого символа: | |.
Вопросы на закрепление знаний материала
На сегодняшнем уроке мы с вами познакомились с таким понятием, как модуль числа, а теперь давайте проверим, как вы усвоили эту тему, ответив на поставленные вопросы:
1. Как называется число, которое противоположно положительному числу?
2. Какое название носит число, которое противоположно отрицательному числу?
3. Назовите число, которое является противоположным нулю. Существует ли такое число?
4. Назовите то число, которое не может являться модулем числа.
5. Дайте определение модулю числа.
Домашнее задание
1. Перед вами изображены числа, которые вам нужно расположить в порядке убывания модулей. Если вы правильно выполните задание, то узнаете фамилию человека, который впервые ввел в математику термин «модуль».
2. Начертите координатную прямую и найдите расстояние от М(-5) и К (8) до начала отсчета.
Сегодня, друзья, не будет никаких соплей и сантиментов. Вместо них я без лишних вопросов отправлю вас в бой с одним из самых грозных противников в курсе алгебры 8—9 класса.
Да, вы всё правильно поняли: речь идёт о неравенствах с модулем. Мы рассмотрим четыре основных приёма, с помощью которых вы научитесь решать порядка 90% таких задач. А что с остальными 10%? Что ж, о них мы поговорим в отдельном уроке.:)
Однако перед тем, как разбирать какие-то там приёмы, хотелось бы напомнить два факта, которые уже необходимо знать. Иначе вы рискуете вообще не понять материал сегодняшнего урока.
Что уже нужно знать
Капитан Очевидность как бы намекает, что для решения неравенств с модулем необходимо знать две вещи:
- Как решаются неравенства;
- Что такое модуль.
Начнём со второго пункта.
Определение модуля
Тут всё просто. Есть два определения: алгебраическое и графическое. Для начала — алгебраическое:
Определение. Модуль числа $x$ — это либо само это число, если оно неотрицательно, либо число, ему противоположное, если исходный $x$ — всё-таки отрицателен.
Записывается это так:
\[\left| x \right|=\left\{ \begin{align} & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end{align} \right.\]
Говоря простым языком, модуль — это «число без минуса». И именно в этой двойственности (где-то с исходным числом ничего не надо делать, а где-то придётся убрать какой-то там минус) и заключается вся сложность для начинающих учеников.
Есть ещё геометрическое определение. Его тоже полезно знать, но обращаться к нему мы будем лишь в сложных и каких-то специальных случаях, где геометрический подход удобнее алгебраического (спойлер: не сегодня).
Определение. Пусть на числовой прямой отмечена точка $a$. Тогда модулем $\left| x-a \right|$ называется расстояние от точки $x$ до точки $a$ на этой прямой.
Если начертить картинку, то получится что-то типа этого:
Графическое определение модуля
Так или иначе, из определения модуля сразу следует его ключевое свойство: модуль числа всегда является величиной неотрицательной . Этот факт будет красной нитью идти через всё наше сегодняшнее повествование.
Решение неравенств. Метод интервалов
Теперь разберёмся с неравенствами. Их существует великое множество, но наша задача сейчас — уметь решать хотя бы самые простые из них. Те, которые сводятся к линейным неравенствам, а также к методу интервалов.
На эту тему у меня есть два больших урока (между прочем, очень, ОЧЕНЬ полезных — рекомендую изучить):
- Метод интервалов для неравенств (особенно посмотрите видео);
- Дробно-рациональные неравенства — весьма объёмный урок, но после него у вас вообще не останется каких-либо вопросов.
Если вы всё это знаете, если фраза «перейдём от неравенства к уравнению» не вызывает у вас смутное желание убиться об стену, то вы готовы: добро пожаловать в ад к основной теме урока.:)
1. Неравенства вида «Модуль меньше функции»
Это одна из самых часто встречающихся задач с модулями. Требуется решить неравенство вида:
\[\left| f \right| \lt g\]
В роли функций $f$ и $g$ может выступать что угодно, но обычно это многочлены. Примеры таких неравенств:
\[\begin{align} & \left| 2x+3 \right| \lt x+7; \\ & \left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| {{x}^{2}}-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end{align}\]
Все они решаются буквально в одну строчку по схеме:
\[\left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end{align} \right. \right)\]
Нетрудно заметить, что избавляемся от модуля, но взамен получаем двойное неравенство (или, что тоже самое, систему из двух неравенств). Зато этот переход учитывает абсолютно все возможные проблемы: если число под модулем положительно, метод работает; если отрицательно — всё равно работает; и даже при самой неадекватной функции на месте $f$ или $g$ метод всё равно сработает.
Естественно, возникает вопрос: а проще нельзя? К сожалению, нельзя. В этом вся фишка модуля.
Впрочем, хватит философствовать. Давайте решим парочку задач:
Задача. Решите неравенство:
\[\left| 2x+3 \right| \lt x+7\]
Решение. Итак, перед нами классическое неравенство вида «модуль меньше» — даже преобразовывать нечего. Работаем по алгоритму:
\[\begin{align} & \left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end{align}\]
Не торопитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит «минус»: вполне возможно, что из-за спешки вы допустите обидную ошибку.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\{ \begin{align} & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end{align} \right.\]
\[\left\{ \begin{align} & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end{align} \right.\]
\[\left\{ \begin{align} & x \gt -\frac{10}{3} \\ & x \lt 4 \\ \end{align} \right.\]
Задача свелась к двум элементарным неравенствам. Отметим их решения на параллельных числовых прямых:
Пересечение множеств
Пересечением этих множеств и будет ответ.
Ответ: $x\in \left(-\frac{10}{3};4 \right)$
Задача. Решите неравенство:
\[\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
Решение. Это задание уже чуть посложнее. Для начала уединим модуль, перенеся второе слагаемое вправо:
\[\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]
Очевидно, перед нами вновь неравенство вида «модуль меньше», поэтому избавляемся от модуля по уже известному алгоритму:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt {{x}^{2}}+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Вот сейчас внимание: кто-то скажет, что я немного извращенец со всеми этими скобками. Но ещё раз напомню, что наша ключевая цель — грамотно решить неравенство и получить ответ . Позже, когда вы в совершенстве освоите всё, о чём рассказано в этом уроке, можете сами извращаться как хотите: раскрывать скобки, вносить минусы и т.д.
А мы для начала просто избавимся от двойного минуса слева:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right)=3\left(x+1 \right)\]
Теперь раскроем все скобки в двойном неравенстве:
Переходим к двойному неравенству. В этот раз выкладки будут посерьёзнее:
\[\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt {{x}^{2}}+2x-3 \\ \end{align} \right.\]
\[\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+5x \lt 0 \\ & {{x}^{2}}-x-6 \gt 0 \\ \end{align} \right.\]
Оба неравенства являются квадратными и решаются методом интервалов (потому и говорю: если не знаете, что это такое, лучше пока не браться за модули). Переходим к уравнению в первом неравенстве:
\[\begin{align} & {{x}^{2}}+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & {{x}_{1}}=0;{{x}_{2}}=-5. \\\end{align}\]
Как видим, на выходе получилось неполное квадратное уравнение, которое решается элементарно. Теперь разберёмся со вторым неравенством системы. Там придётся применить теорему Виета:
\[\begin{align} & {{x}^{2}}-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& {{x}_{1}}=3;{{x}_{2}}=-2. \\\end{align}\]
Отмечаем полученные числа на двух параллельных прямых (отдельная для первого неравенства и отдельная для второго):
Опять же, поскольку мы решаем систему неравенств, нас интересует пересечение заштрихованных множеств: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Это и есть ответ.
Ответ: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Думаю, после этих примеров схема решения предельно ясна:
- Уединить модуль, перенеся все другие слагаемые в противоположную часть неравенства. Таким образом мы получим неравенство вида $\left| f \right| \lt g$.
- Решить это неравенство, избавившись от модуля по описанной выше схеме. В какой-то момент потребуется перейти от двойного неравенства к системе из двух самостоятельных выражений, каждое из которых уже можно решать отдельно.
- Наконец, останется лишь пересечь решения этих двух самостоятельных выражений — и всё, мы получим окончательный ответ.
Аналогичный алгоритм существует и для неравенств следующего типа, когда модуль больше функции. Однако там есть парочка серьёзных «но». Об этих «но» мы сейчас и поговорим.
2. Неравенства вида «Модуль больше функции»
Выглядят они так:
\[\left| f \right| \gt g\]
Похоже на предыдущее? Похоже. И тем не менее решаются такие задачи совсем по-другому. Формально схема следующая:
\[\left| f \right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin{align} & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end{align} \right.\]
Другими словами, мы рассматриваем два случая:
- Сначала просто игнорируем модуль — решаем обычное неравенство;
- Затем по сути раскрываем модуль со знаком «минус», а затем умножаем обе части неравенства на −1, меня при этом знак.
При этом варианты объединены квадратной скобкой, т.е. перед нами совокупность двух требований.
Обратите внимание ещё раз: перед нами не система, а совокупность, поэтому в ответе множества объединяются, а не пересекаются . Это принципиальное отличие от предыдущего пункта!
Вообще, с объединениями и пересечениями у многих учеников сплошная путаница, поэтому давайте разберёмся в этом вопросе раз и навсегда:
- «∪» — это знак объединения. По сути, это стилизованная буква «U», которая пришла к нам из английского языка и является аббревиатурой от «Union», т.е. «Объединения».
- «∩» — это знак пересечения. Эта хрень ниоткуда не пришла, а просто возникла как противопоставление к «∪».
Чтобы ещё проще было запомнить, просто пририсуйте к этим знакам ножки, чтобы получились бокалы (вот только не надо сейчас обвинять меня в пропаганде наркомании и алкоголизма: если вы всерьёз изучаете этот урок, то вы уже наркоман):
Разница между пересечением и объединением множеств
В переводе на русский это означает следующее: объединение (совокупность) включает в себя элементы из обоих множеств, поэтому никак не меньше каждого из них; а вот пересечение (система) включает в себя лишь те элементы, которые одновременно находятся и в первом множестве, и во втором. Поэтому пересечение множеств никогда не бывает больше множеств-исходников.
Так стало понятнее? Вот и отлично. Переходим к практике.
Задача. Решите неравенство:
\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]
Решение. Действуем по схеме:
\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin{align} & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end{align} \right.\]
Решаем каждое неравенство совокупности:
\[\left[ \begin{align} & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end{align} \right.\]
\[\left[ \begin{align} & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end{align} \right.\]
\[\left[ \begin{align} & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end{align} \right.\]
Отмечаем каждое полученное множество на числовой прямой, а затем объединяем их:
Объединение множеств
Совершенно очевидно, что ответом будет $x\in \left(\frac{4}{7};+\infty \right)$
Ответ: $x\in \left(\frac{4}{7};+\infty \right)$
Задача. Решите неравенство:
\[\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right| \gt x\]
Решение. Ну что? Да ничего — всё то же самое. Переходим от неравенства с модулем к совокупности двух неравенств:
\[\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 \gt x \\ & {{x}^{2}}+2x-3 \lt -x \\\end{align} \right.\]
Решаем каждое неравенство. К сожалению, корни там будут не оч:
\[\begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 \gt x; \\ & {{x}^{2}}+x-3 \gt 0; \\ & D=1+12=13; \\ & x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}. \\\end{align}\]
Во втором неравенстве тоже немного дичи:
\[\begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 \lt -x; \\ & {{x}^{2}}+3x-3 \lt 0; \\ & D=9+12=21; \\ & x=\frac{-3\pm \sqrt{21}}{2}. \\\end{align}\]
Теперь нужно отметить эти числа на двух осях — по одной оси для каждого неравенства. Однако отмечать точки нужно в правильном порядке: чем больше число, тем дальше сдвигам точку вправо.
И вот тут нас ждёт подстава. Если с числами $\frac{-3-\sqrt{21}}{2} \lt \frac{-1-\sqrt{13}}{2}$ всё ясно (слагаемые в числителе первой дроби меньше слагаемых в числителе второй, поэтому сумма тоже меньше), с числами $\frac{-3-\sqrt{13}}{2} \lt \frac{-1+\sqrt{21}}{2}$ тоже не возникнет затруднений (положительное число заведомо больше отрицательного), то вот с последней парочкой всё не так однозначно. Что больше: $\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$ или $\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$? От ответа на этот вопрос будет зависеть расстановка точек на числовых прямых и, собственно, ответ.
Поэтому давайте сравнивать:
\[\begin{matrix} \frac{-1+\sqrt{13}}{2}\vee \frac{-3+\sqrt{21}}{2} \\ -1+\sqrt{13}\vee -3+\sqrt{21} \\ 2+\sqrt{13}\vee \sqrt{21} \\\end{matrix}\]
Мы уединили корень, получили неотрицательные числа с обеих сторон неравенства, поэтому вправе возвести обе стороны в квадрат:
\[\begin{matrix} {{\left(2+\sqrt{13} \right)}^{2}}\vee {{\left(\sqrt{21} \right)}^{2}} \\ 4+4\sqrt{13}+13\vee 21 \\ 4\sqrt{13}\vee 3 \\\end{matrix}\]
Думаю, тут и ежу понятно, что $4\sqrt{13} \gt 3$, поэтому $\frac{-1+\sqrt{13}}{2} \gt \frac{-3+\sqrt{21}}{2}$, окончательно точки на осях будут расставлены вот так:
Случай некрасивых корней
Напомню, мы решаем совокупность, поэтому в ответ пойдёт объединение, а не пересечение заштрихованных множеств.
Ответ: $x\in \left(-\infty ;\frac{-3+\sqrt{21}}{2} \right)\bigcup \left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};+\infty \right)$
Как видите, наша схема прекрасно работает как для простых задач, так и для весьма жёстких. Единственное «слабое место» в таком подходе — нужно грамотно сравнивать иррациональные числа (и поверьте: это не только корни). Но вопросам сравнения будет посвящён отдельный (и очень серьёзный урок). А мы идём дальше.
3. Неравенства с неотрицательными «хвостами»
Вот мы и добрались до самого интересного. Это неравенства вида:
\[\left| f \right| \gt \left| g \right|\]
Вообще говоря, алгоритм, о котором мы сейчас поговорим, верен н только для модуля. Он работает во всех неравенствах, где слева и справа стоят гарантированно неотрицательные выражения:
Что делать с этими задачами? Просто помните:
В неравенствах с неотрицательными «хвостами» можно возводить обе части в любую натуральную степень. Никаких дополнительных ограничений при этом не возникнет.
Прежде всего нас будет интересовать возведение в квадрат — он сжигает модули и корни:
\[\begin{align} & {{\left(\left| f \right| \right)}^{2}}={{f}^{2}}; \\ & {{\left(\sqrt{f} \right)}^{2}}=f. \\\end{align}\]
Вот только не надо путать это с извлечением корня из квадрата:
\[\sqrt{{{f}^{2}}}=\left| f \right|\ne f\]
Бесчисленное множество ошибок было допущено в тот момент, когда ученик забывал ставить модуль! Но это совсем другая история (это как бы иррациональные уравнения), поэтому не будем сейчас в это углубляться. Давайте лучше решим парочку задач:
Задача. Решите неравенство:
\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]
Решение. Сразу заметим две вещи:
- Это нестрогое неравенство. Точки на числовой прямой будут выколоты.
- Обе стороны неравенства заведомо неотрицательны (это свойство модуля: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Следовательно, можем возвести обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от модуля и решать задачу обычным методом интервалов:
\[\begin{align} & {{\left(\left| x+2 \right| \right)}^{2}}\ge {{\left(\left| 1-2x \right| \right)}^{2}}; \\ & {{\left(x+2 \right)}^{2}}\ge {{\left(2x-1 \right)}^{2}}. \\\end{align}\]
На последнем шаге я слегка схитрил: поменял последовательность слагаемых, воспользовавшись чётностью модуля (по сути, умножил выражение $1-2x$ на −1).
\[\begin{align} & {{\left(2x-1 \right)}^{2}}-{{\left(x+2 \right)}^{2}}\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \right) \right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end{align}\]
Решаем методом интервалов. Переходим от неравенства к уравнению:
\[\begin{align} & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & {{x}_{1}}=3;{{x}_{2}}=-\frac{1}{3}. \\\end{align}\]
Отмечаем найденные корни на числовой прямой. Ещё раз: все точки закрашены, поскольку исходное неравенство — нестрогое!
Избавление от знака модуля
Напомню для особо упоротых: знаки мы берём из последнего неравенства, которое было записано перед переходом к уравнению. И закрашиваем области, требуемые в том же неравенстве. В нашем случае это $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Ну вот и всё. Задача решена.
Ответ: $x\in \left[ -\frac{1}{3};3 \right]$.
Задача. Решите неравенство:
\[\left| {{x}^{2}}+x+1 \right|\le \left| {{x}^{2}}+3x+4 \right|\]
Решение. Делаем всё то же самое. Я не буду комментировать — просто посмотрите на последовательность действий.
Возводим в квадрат:
\[\begin{align} & {{\left(\left| {{x}^{2}}+x+1 \right| \right)}^{2}}\le {{\left(\left| {{x}^{2}}+3x+4 \right| \right)}^{2}}; \\ & {{\left({{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}\le {{\left({{x}^{2}}+3x+4 \right)}^{2}}; \\ & {{\left({{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}-{{\left({{x}^{2}}+3x+4 \right)}^{2}}\le 0; \\ & \left({{x}^{2}}+x+1-{{x}^{2}}-3x-4 \right)\times \\ & \times \left({{x}^{2}}+x+1+{{x}^{2}}+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2{{x}^{2}}+4x+5 \right)\le 0. \\\end{align}\]
Метод интервалов:
\[\begin{align} & \left(-2x-3 \right)\left(2{{x}^{2}}+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\Rightarrow x=-1,5; \\ & 2{{x}^{2}}+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end{align}\]
Всего один корень на числовой прямой:
Ответ — целый интервал
Ответ: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.
Небольшое замечание насчёт последней задачи. Как точно подметил один мой ученик, оба подмодульных выражения в данном неравенстве заведомо положительны, поэтому знак модуля можно без ущерба для здоровья опустить.
Но это уже совсем другой уровень размышлений и другой подход — его условно можно назвать методом следствий. О нём — в отдельном уроке. А сейчас перейдём к финальной части сегодняшнего урока и рассмотрим универсальный алгоритм, который работает всегда. Даже тогда, когда все предыдущие подходы оказались бессильны.:)
4. Метод перебора вариантов
А что, если все эти приёмы не помогут? Если неравенство не сводится неотрицательным хвостам, если уединить модуль не получается, если вообще боль-печаль-тоска?
Тогда на сцену выходит «тяжёлая артиллерия» всей математики — метод перебора. Применительно к неравенствам с модулем выглядит он так:
- Выписать все подмодульные выражения и приравнять их к нулю;
- Решить полученные уравнения и отметить найденные корни на одной числовой прямой;
- Прямая разобьётся на несколько участков, внутри которого каждый модуль имеет фиксированный знак и потому однозначно раскрывается;
- Решить неравенство на каждом таком участке (можно отдельно рассмотреть корни-границы, полученные в пункте 2 — для надёжности). Результаты объединить — это и будет ответ.:)
Ну как? Слабо? Легко! Только долго. Посмотрим на практике:
Задача. Решите неравенство:
\[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac{3}{2}\]
Решение. Эта хрень не сводится к неравенствам вида $\left| f \right| \lt g$, $\left| f \right| \gt g$ или $\left| f \right| \lt \left| g \right|$, поэтому действуем напролом.
Выписываем подмодульные выражения, приравниваем их к нулю и находим корни:
\[\begin{align} & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\end{align}\]
Итого у нас два корня, которые разбивают числовую прямую на три участка, внутри которых каждый модуль раскрывается однозначно:
Разбиение числовой прямой нулями подмодульных функций
Рассмотрим каждый участок отдельно.
1. Пусть $x \lt -2$. Тогда оба подмодульных выражения отрицательны, и исходное неравенство перепишется так:
\[\begin{align} & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end{align}\]
Получили довольно простое ограничение. Пересечём его с исходным предположением, что $x \lt -2$:
\[\left\{ \begin{align} & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end{align} \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Очевидно, что переменная $x$ не может одновременно быть меньше −2, но больше 1,5. Решений на этом участке нет.
1.1. Отдельно рассмотрим пограничный случай: $x=-2$. Просто подставим это число в исходное неравенство и проверим: выполняется ли оно?
\[\begin{align} & {{\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|}_{x=-2}} \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end{align}\]
Очевидно, что цепочка вычислений привела нас к неверному неравенству. Следовательно, исходное неравенство тоже неверно, и $x=-2$ не входит в ответ.
2. Пусть теперь $-2 \lt x \lt 1$. Левый модуль уже раскроется с «плюсом», но правый — всё ещё с «минусом». Имеем:
\[\begin{align} & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt -2,5 \\\end{align}\]
Снова пересекаем с исходным требованием:
\[\left\{ \begin{align} & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end{align} \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
И снова пустое множество решений, поскольку нет таких чисел, которые одновременно меньше −2,5, но больше −2.
2.1. И вновь частный случай: $x=1$. Подставляем в исходное неравенство:
\[\begin{align} & {{\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|}_{x=1}} \\ & \left| 3 \right| \lt \left| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end{align}\]
Аналогично предыдущему «частному случаю», число $x=1$ явно не входит в ответ.
3. Последний кусок прямой: $x \gt 1$. Тут все модули раскрываются со знаком «плюс»:
\[\begin{align} & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\\end{align}\]
И вновь пересекаем найденное множество с исходным ограничением:
\[\left\{ \begin{align} & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end{align} \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \right)\]
Ну наконец-то! Мы нашли интервал, который и будет ответом.
Ответ: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Напоследок — одно замечание, которое, возможно, убережёт вас от глупых ошибок при решении реальных задач:
Решения неравенств с модулями обычно представляют собой сплошные множества на числовой прямой — интервалы и отрезки. Гораздо реже встречаются изолированные точки. И ещё реже случается так, что границ решения (конец отрезка) совпадает с границей рассматриваемого диапазона.
Следовательно, если границы (те самые «частные случаи») не входят в ответ, то почти наверняка не войдут в ответ и области слева-справа от этих границ. И напротив: граница вошла в ответ — значит, и какие-то области вокруг неё тоже будут ответами.
Помните об этом, когда проверяете свои решения.
В рамках урока будет рассмотрено понятие модуля действительного числа и введено несколько его основных определений, затем будут рассмотрены примеры, в которых будет демонстрироваться применение различных из этих определений.
Тема: Действительные числа
Урок: Модуль действительного числа
1. Определения модуля
Рассмотрим такое понятие, как модуль действительного числа, у него есть несколько определений.
Определение 1. Расстояние от точки на координатной прямой до нуля называется модулем числа , которое является координатой данной точки (рис. 1).
Пример 1. 
. Заметим, что модули противоположных чисел равны и неотрицательны, т. к. это расстояние, а оно не может быть отрицательным, и расстояние от симметричных относительно нуля чисел до начала отсчета равны.
Определение 2. 
.
Пример 2. Рассмотрим одну из задач, поставленную в предыдущем примере для демонстрации равносильности введенных определений. 
, как видим, при отрицательном числе под знаком модуля добавление перед ним еще одного минуса обеспечивает неотрицательный результат, как и следует из определения модуля.
Следствие. Расстояние между двумя точками с координатами на координатной прямой можно найти следующим образом 
в независимости от взаимного расположения точек (рис. 2).
2. Основные свойства модуля
1. Модуль любого числа неотрицателен
2. Модуль произведения - это произведение модулей
3. Модуль частного - это частное модулей
3. Решение задач
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Воспользуемся вторым определением модуля: 
и запишем наше уравнение в виде системы уравнений при различных вариантах раскрытия модуля.
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Аналогично решению предыдущего примера получаем, что .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Решим через следствие из первого определения модуля: . Изобразим это на числовой оси с учетом того, что искомый корень будет находиться на расстоянии 2 от точки 3 (рис. 3).
Исходя из рисунка, получаем корни уравнения: 
, т. к. точки с такими координатами находятся на расстоянии 2 от точки 3, как то требуется в уравнении.
Ответ. .
Пример 6. Решить уравнение .
Решение. По сравнению с предыдущей задачей имеется только одно усложнение - это то, что нет полного сходства с формулировкой следствия о расстоянии между числами на координатной оси, т. к. под знаком модуля находится знак плюс, а не минус. Но привести к необходимому виду несложно, что мы и проделаем:
Изобразим это на числовой оси аналогично предыдущему решению (рис. 4).
Корни уравнения 
.
Ответ. .
Пример 7. Решить уравнение .
Решение. Это уравнение еще немного сложнее предыдущего, т. к. неизвестная находится на втором месте и со знаком минус, кроме того, она еще и с числовым множителем. Для решения первой проблемы воспользуемся одним из свойств модуля и получим:
Для решения второй проблемы выполним замену переменных: , что приведет нас к простейшему уравнению . По второму определению модуля 
. Подставим эти корни в уравнение замены и получим два линейных уравнения:
Ответ.
.
4. Квадратный корень и модуль
Довольно часто в ходе решения задач с корнями возникают модули, и следует обратить внимание, в каких ситуациях они возникают.
При первом взгляде на это тождество могут возникнуть вопросы: «зачем там модуль?» и «почему неверно тождество ?». Оказывается, что можно привести простой контрпример для второго вопроса: если то должно быть верно, чточто равносильно, а это неверное тождество.
После этого может возникнуть вопрос: «а не решает ли проблему такое тождество », но и для этого предложения тоже есть контрпример. Еслито должно быть верно, чточто равносильно, а это неверное тождество.
Соответственно, если вспомнить, что квадратный корень из неотрицательного числа является неотрицательным числом, и значение модуля является неотрицательным, становится понятно, почему верно указанное выше утверждение:
.
Пример 8. Вычислить значение выражения .
Решение. В подобных заданиях важно не избавиться бездумно сразу от корня, а воспользоваться указанным выше тождеством , т. к. .
Состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.
Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем нуль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля . Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка , позволяющее сравнивать одно целое число с другим.
Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n , которое дополняет n до нуля: n + (− n ) = 0 . Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a равносильно сложению с противоположным для него: -a .
Свойства отрицательных чисел
Отрицательные числа подчиняются практически тем же правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.
Исторический очерк
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
- Глейзер Г. И. История математики в школе . - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Неосторожное сопричинение вреда
- Неотропики
Смотреть что такое "Неотрицательное число" в других словарях:
Вещественное число - Вещественное, или действительное число математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение… … Википедия
как правило, небольшое неотрицательное целое число - Часть кодирования, которая представляет значения неограниченного неотрицательного целого числа, но где более вероятно, что небольшие значения встречаются чаще (МСЭ Т Х.691). Тематики… … Справочник технического переводчика
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО - вещественное число, положительное число, отрицательное число или нуль. Понятие Д. ч. возникло путем расширения понятия рационального числа. Необходимость этого расширения обусловлена как практическим использованием математики при выражении… … Математическая энциклопедия
Простое число - Простое число это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы… … Википедия
натуральное число - ▲ целое число выражающий, действительный, численность натуральное число неотрицательное целое число; выражает число отдельных целых объектов в какой л. совокупности; обозначают количество реальных целых объектов; выражение численности. четверка … Идеографический словарь русского языка
Десятичная дробь - Десятичная дробь разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде где знак дроби: либо, либо, десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа… … Википедия Википедия
Руководитель ШМО
учителей математики _______Калашникова Ж.ЮМуниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №89»
Тематические тесты по математике для 6-ых классов
по учебнику И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича
Составили: учителя математики:
Калашникова Жанна Юрьевна
Столбова Людмила Антоновна
ЗАТО г. Северск
2016 год
Содержание
Тест №1………………………………………………………………………………………….3-6
Тест №2………………………………………………………………………………………….7-10
Тест №3………………………………………………………………………………………….11-14
Ответы…………………………………………………………………………………………..15
Тест №1 «Положительные и отрицательные числа»
Вариант 1
Укажите отрицательное дробное число:
-165
38
-7.92
67Охарактеризуйте событие «На координатном луче отмечено число -5,5»
Достоверное
Невозможное
Случайное
Какое из четырёх чисел наибольшее?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Какая из точек расположена на координатной прямой правее точки О (0)?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D (-1,2)
Ночью температура воздуха была -5°C. Днём на термометре было уже +3 °C. Как изменилась температура воздуха?
Повысилась на 8о
Понизилась на 2о
Повысилась на 2о
Понизилась на 8о
На координатной прямой отмечена точка x(-2) – центр симметрии. Укажите координаты точек, расположенных на этой прямой симметрично точке x.
(-1) и (1)
(-1) и (1)
(3) и (-3)
(0) и (-4)
Какие точки на координатной прямой не являются симметричными относительно начало отсчёта - точки О (0).
В(-5) и С(5)
D(0,5) и E(-0,5)
M(-3) и K(13)
А(18) и X(-18)
Чему равна сумма чисел 0,316+0,4?
0,356
0,716
4,316
0,32
Вычислите 25% от числа 0,4.
0,1
0,001
10
100
Вычислите разность 9100 и 0,03
0,05
0,6
9,03
350Вариант 2
Укажите отрицательное дробное число.
8,63
-1045
913-0,2
Охарактеризуйте событие «На координатном луче отмечено число 7».
Случайное
Невозможное
Достоверное
Какое из чисел наименьшее?
15,49
154,9
1,549
1549
Какая из точек расположена на координатной прямой левее точки О(0).
А(-0,5)
В(6)
М(0,5)
К(38)
Днём термометр показывал +5°C, а к вечеру -2 °C. Как изменилась температура воздуха?
Повысилась на 3о
Понизилась на 7о
Понизилась на 3о
Повысилась на 7о
На координатной прямой отмечен центр симметрии – точка А(-3). Укажите координаты точек, расположенных на этой прямой симметрично точке А.
(-2) и (2)
(0) и (-5)
(-6) и (1)
(-1) и (-5)
Какие точки координатной прямой не являются симметричными относительно начало отсчёта - точки О(0).
А(6) и В(-6)
С(12) и D(-2)
М(-1) и К(1)
X (-9) и Y(9)
Чему равна сумма чисел 0,237 и 0,3
0,24
3,237
0,537
0,267
Вычислите 20% от числа 0,5
10
0,1
0,2
0,01
Вычислите разность 0,07 и 31001250,5
1
425Тест №2. Модуль числа. Противоположные числа.
Вариант 1
Какое из данных чисел имеет наименьший модуль
-11
1013-4,196
-4,2
Укажите неверное равенство
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58Модуль неотрицательного числа является неотрицательным числом. Верно ли это утверждение.
Да
Нет
Какое из данных чисел противоположно числу -34 ?43-43-3434Чему равно значение выражение -(-m), если m = -15
+15
-15
Вычислите значение выражения: -2,5∙4--919
-10
1
-1
Решите уравнение: х=40-40
40
40 или -40
Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами- 2,75 и 3,9?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
Верно ли неравенство -30>-50Да
Нет
Укажите все целые числа x, если x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Вариант 2
Какое из чисел имеет наибольший модуль?
-0,6
-50,603
493550,530
Укажите неверное равенство
-1,5=1,512=12-117=117-325=-325Может ли модуль отрицательного числа быть отрицательным числом
Да
Нет
Какое из данных чисел противоположно числу 124?
-24
24
-124124Чему равно значение выражения –(-k), если k = -9
-9
+9
Вычислите значение выражения: 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
Решите уравнение x=100100
-100
100 или -100
Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами 1 и - 4,5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
Верно ли неравенство -25<-10?
Да
Нет
Укажите все целые числа x, если x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Тест №3. Сравнение чисел
Вариант 1
Какое из неравенств неверно?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3
-320 -920>
<
=
Верно ли, что число 0 больше любого отрицательного числа?
Да
Нет
Число a неотрицательное. Как записать это утверждение в виде неравенства?
a<0a≤0a≥0a>0Укажите наибольшее из данных чисел.
0,16
-3018-0,4
0,01
При каких натуральных значениях x верно неравенство x≤44, 3, 2
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
При каких целых значениях y верно неравенство y<-2?0
-1
0, -1, 1
Нет таких значений
Числа -6; -3,8; -115; 0,8 расположены:
В порядке уменьшения
В порядке увеличения
В беспорядке
По радио передали прогноз погоды: ожидается понижение температуры до -20 оС. Охарактеризуйте это событие:
Невозможное
Достоверное
Случайное
Вариант 2
Какое из неравенств верно?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Какой знак надо записать между данными дробями, чтобы неравенство было верным?
-1315 -715<
>
=
Верно ли, что число 0 меньше любого отрицательного числа?
Да
Нет
Число x не больше нуля. Как записать это утверждение в виде неравенства?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35При каких натуральных значениях a верно неравенство a≤3?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
При каких целых значениях m верно неравенство m<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Нет таких значений
Числа 1,2; -1,2; -427; -100 расположены:
В беспорядке
В порядке увеличения
В порядке уменьшения
На координатной прямой отмечена точка А(5). На этой прямой отметили наугад другую точку В. Её координатой оказалось число противоположное числу 5. Охарактеризуйте это событие.
Случайное
Достоверное
Невозможное
Ответы
Тест №1 Тест №2
№ Вариант 1 Вариант 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
№ Вариант 1 Вариант 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4
Тест №3
№ Вариант 1 Вариант 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3
