Реклама на портале

Статическое моделирование метод монте карло формулы. Как выполняется моделирование по методу монте-карло. В отношении «объект-модель» не находятся понятия

Энциклопедичный YouTube

    1 / 5

    ✪ RuleOfThumb - Метод Монте-Карло

    ✪ Дмитрий Казаков - Кварки

    ✪ [Коллоквиум]: Блеск и нищета математических методов в прикладных исследованиях

    ✪ Лекция 1: Погрешности вычислений

    ✪ Елена Браун - Миф о Ричарде lll

    Субтитры

История

Алгоритм Бюффона для определения числа Пи

Число бросаний Число пересечений Длина иглы Расстояние между прямыми Вращение Значение Пи Ошибка
Первая попытка 500 236 3 4 отсутствует 3.1780 +3,6⋅10 -2
Вторая попытка 530 253 3 4 присутствует 3.1423 +7,0⋅10 -4
Третья попытка 590 939 5 2 присутствует 3.1416 +4,7⋅10 -5

Комментарии:

Связь стохастических процессов и дифференциальных уравнений

Создание математического аппарата стохастических методов началось в конце XIX века. В 1899 году лорд Релей показал, что одномерное случайное блуждание на бесконечной решётке может давать приближенное решение одного из видов параболического дифференциального уравнения . Андрей Николаевич Колмогоров в 1931 году дал большой толчок развитию стохастических подходов к решению различных математических задач, поскольку он сумел доказать, что цепи Маркова связаны с некоторыми интегро-дифференциальными уравнениями . В 1933 году Иван Георгиевич Петровский показал, что случайное блуждание , образующее Марковскую цепь , асимптотически связано с решением эллиптического дифференциального уравнения в частных производных . После этих открытий стало понятно, что стохастические процессы можно описывать дифференциальными уравнениями и, соответственно, исследовать при помощи хорошо на тот момент разработанных математических методов решения этих уравнений.

Рождение метода Монте-Карло в Лос-Аламосе

Идея была развита Уламом, который, раскладывая пасьянсы во время выздоровления после болезни, задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс сложится. Вместо того, чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики , Улам предположил, что можно просто поставить эксперимент большое число раз и, подсчитав число удачных исходов, оценить вероятность. Он же предложил использовать компьютеры для расчётов методом Монте-Карло.

Появление первых электронных компьютеров , которые могли с большой скоростью генерировать псевдослучайные числа , резко расширило круг задач, для решения которых стохастический подход оказался более эффективным, чем другие математические методы. После этого произошёл большой прорыв, и метод Монте-Карло применялся во многих задачах, однако его использование не всегда было оправдано из-за большого количества вычислений, необходимых для получения ответа с заданной точностью.

Годом рождения метода Монте-Карло считается 1949 год , когда в свет выходит статья Метрополиса и Улама «Метод Монте-Карло». Название метода происходит от названия коммуны в княжестве Монако , широко известного своими многочисленными казино , поскольку именно рулетка является одним из самых широко известных генераторов случайных чисел . Станислав Улам пишет в своей автобиографии «Приключения математика», что название было предложено Николасом Метрополисом в честь его дяди, который был азартным игроком.

Дальнейшее развитие и современность

Интегрирование методом Монте-Карло

Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой функции. Воспользуемся неформальным геометрическим описанием интеграла и будем понимать его как площадь под графиком этой функции.

Для определения этой площади можно воспользоваться одним из обычных численных методов интегрирования : разбить отрезок на подотрезки, подсчитать площадь под графиком функции на каждом из них и сложить. Предположим, что для функции, представленной на рисунке 2, достаточно разбиения на 25 отрезков и, следовательно, вычисления 25 значений функции. Представим теперь, мы имеем дело с n {\displaystyle n} -мерной функцией. Тогда нам необходимо 25 n {\displaystyle 25^{n}} отрезков и столько же вычислений значения функции. При размерности функции больше 10 задача становится огромной. Поскольку пространства большой размерности встречаются, в частности, в задачах теории струн , а также многих других физических задачах, где имеются системы со многими степенями свободы, необходимо иметь метод решения, вычислительная сложность которого бы не столь сильно зависела от размерности. Именно таким свойством обладает метод Монте-Карло.

Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования

Предположим, требуется вычислить определённый интеграл ∫ a b f (x) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}

Рассмотрим случайную величину u {\displaystyle u} , равномерно распределённую на отрезке интегрирования . Тогда также будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как
E f (u) = ∫ a b f (x) φ (x) d x {\displaystyle \mathbb {E} f(u)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\varphi (x)\,dx} , где φ (x) {\displaystyle \varphi (x)} - плотность распределения случайной величины u {\displaystyle u} , равная 1 b − a {\displaystyle {\frac {1}{b-a}}} на участке [ a , b ] {\displaystyle } .

Таким образом, искомый интеграл выражается как
∫ a b f (x) d x = (b − a) E f (u) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)\mathbb {E} f(u)} .

Но математическое ожидание случайной величины f (u) {\displaystyle f(u)} можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.

Итак, бросаем N {\displaystyle N} точек, равномерно распределённых на [ a , b ] {\displaystyle } , для каждой точки u i {\displaystyle u_{i}} вычисляем f (u i) {\displaystyle f(u_{i})} . Затем вычисляем выборочное среднее: 1 N ∑ i = 1 N f (u i) {\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(u_{i})} .

В итоге получаем оценку интеграла: ∫ a b f (x) d x ≈ b − a N ∑ i = 1 N f (u i) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(u_{i})}

Точность оценки зависит только от количества точек N {\displaystyle N} .

Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как b − a N {\displaystyle {\frac {b-a}{N}}} , и суммируем их площади.

Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования

Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:

Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.

Использование выборки по значимости

При том же количестве случайных точек, точность вычислений можно увеличить, приблизив область, ограничивающую искомую функцию, к самой функции. Для этого необходимо использовать случайные величины с распределением, форма которого максимально близка к форме интегрируемой функции. На этом основан один из методов улучшения сходимости в вычислениях методом Монте-Карло: выборка по значимости .

Оптимизация

Различные вариации метода Монте-Карло можно использовать для решения задач оптимизации. Например, алгоритм имитации отжига .

Применение в физике

Компьютерное моделирование играет в современной физике важную роль и метод Монте-Карло является одним из самых распространённых во многих областях от квантовой физики до физики твёрдого тела, физики плазмы и астрофизики.

Алгоритм Метрополиса

Традиционно метод Монте-Карло применялся для определения различных физических параметров систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия. Предположим, что имеется набор возможных состояний физической системы S {\displaystyle S} . Для определения среднего значения A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} некоторой величины A {\displaystyle A} необходимо рассчитать A ¯ = ∑ S A (S) P (S) {\displaystyle {\overline {A}}=\sum _{S}A(S)P(S)} , где суммирование производится по всем состояниям S {\displaystyle S} из W (S) {\displaystyle W(S)} , P (S) {\displaystyle P(S)} - вероятность состояния S {\displaystyle S} .

Динамическая (кинетическая) формулировка

Прямое моделирование методом Монте-Карло

Прямое моделирование методом Монте-Карло какого-либо физического процесса подразумевает моделирование поведения отдельных элементарных частей физической системы. По сути это прямое моделирование близко к решению задачи из первых принципов , однако обычно для ускорения расчётов допускается применение каких-либо физических приближений. Примером могут служить расчёты различных процессов методом молекулярной динамики : с одной стороны система описывается через поведение её элементарных составных частей, с другой стороны, используемый потенциал взаимодействия зачастую является эмпирическим .

Примеры прямого моделирования методом Монте-Карло:

  • Моделирование облучения твёрдых тел ионами в приближении бинарных столкновений.
  • Прямое Монте-Карло моделирование разреженных газов.
  • Большинство кинетических Монте-Карло моделей относятся к числу прямых (в частности, исследование молекулярно-пучковой эпитаксии).

Квантовый метод Монте-Карло

Квантовый метод Монте-Карло широко применяется для исследования сложных молекул и твёрдых тел. Это название объединяет несколько разных методов. Первый из них это вариационный метод Монте-Карло, который по сути является численным интегрированием многомерных интегралов, возникающих при решении уравнения Шрёдингера . Для решения задачи, в которой участвует 1000 электронов, необходимо взятие 3000-мерных интегралов, и при решении таких задач метод Монте-Карло имеет огромное преимущество в производительности по сравнению с другими численными методами интегрирования . Другая разновидность метода Монте-Карло - это диффузионный метод Монте-Карло.

Лекция 5.

Метод Монте-Карло

Тема 3. Процессы массового обслуживания в экономических системах

1. Вводные замечания. 1

2. Общая схема метода Монте-Карло. 2

3. Пример расчета системы массового обслуживания методом Монте-Карло. 4

Контрольные вопросы.. 5

1. Вводные замечания

Метод статистического моделирования на ЭВМ - основной метод получения результатов с помощью имитационных моделей стохастических систем, использующий в качестве теоретической базы предельные теоремы теории вероятностей. Основа - метод статистических испытаний Монте-Карло.

Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений. Как правило, предполагается, что моделирование осуществляется с помощью электронных вычислительных машин (ЭВМ), хотя в некоторых случаях можно добиться успеха, используя приспособления типа рулетки, карандаша и бумаги.

Термин "метод Монте-Карло" (предложенный Дж. Фон Нейманом и в 1940-х) относится к моделированию процессов с использованием генератора случайных чисел. Термин Монте-Карло (город, широко известный своими казино) произошел от того факта, что "число шансов" (методы моделирования Монте-Карло) было использовано с целью нахождения интегралов от сложных уравнений при разработке первых ядерных бомб (интегралы квантовой механики). С помощью формирования больших выборок случайных чисел из, например, нескольких распределений, интегралы этих (сложных) распределений могут быть аппроксимированы из (сгенерированных) данных.


Возникновение идеи использования случайных явлений в области приближенных вычислений принято относить к 1878 г., когда появилась работа Холла об определении чисел p с помощью случайных бросаний иглы на разграфленную параллельными линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число p, и приближенно оценить эту вероятность.

Отечественные работы по методу Монте-Карло появились в гг. За два десятилетия накопилась обширная библиография по методу Монте-Карло, которая насчитывает более 2000 названий. При этом даже беглый просмотр названий работ позволяет сделать вывод о применимости методы Монте-Карло для решения прикладных задач из большого числа областей науки и техники.

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. К разделам науки, где все в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие метода вычислительной математики (например, развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения. Трудность решения той или иной задачи на ЭВМ определятся в значительной мере трудностью переложения ее на «язык» машины. Создание языков автоматического программирования существенно упростило один из этапов этой работы. Наиболее сложными этапами поэтому в настоящее время являются: математическое описание исследуемого явления, необходимые упрощения задачи, выбор подходящего численного метода, исследование его погрешности и запись алгоритма. В тех случаях, когда имеется теоретико-вероятностное описание задачи, использование метода Монте-Карло может существенно упростить упомянутые промежуточные этапы. Впрочем, как будет следовать из дальнейшего, во многих случаях полезно и для задач строго детерминированных строить вероятностную модель (рандомизовать исходную задачу) с тем, чтобы далее использовать метод Монте-Карло.

2. Общая схема метода Монте-Карло

Предположим, что нам требуется вычислить некоторую неизвестную величину m, и мы хотим сделать это, рассматривая случайную величину такую, что ее математическое ожидание М, = m. Пусть при этом дисперсия данной случайной величины D = b.

Рассмотрим N случайных независимых величин,,…, распределения которых совпадают с распределением рассматриваемой случайной величины ξ..gif" width="247" height="48">

Последнее соотношение можно переписать в виде

Полученная формула дает метод расчета т и оценку погрешности этого метода.

Сущность применения метода Монте-Карло заключается в определении результатов на основании статистики, полу чаемой к моменту принятия некоторого решения.

Например. Пусть Е1 и Е2 - две единственно возможные реализации некоторого случайного процесса, причем p1 - - вероятность исхода Е1, а р2 = 1 – p1 - вероятность исхода Е2. Чтобы определить, какое из двух событий, e1 или Е2, имеет место в данном случае, возьмем в интервале между 0 и 1 случайное число и, равномерно распределенное в интервале (0, 1), и произведем испытание. Исход Е1 будет иметь место, если , а исход Е2 - в противном случае.

Таким образом, достоверность результатов, получаемых при использовании метода Монте-Карло, решающим образом определяется качеством генератора случайных чисел.

Для получения случайных чисел на ЭВМ используются способы генерирования, которые обычно основаны на много кратном повторении некоторой операции. Полученной таким образом последовательности более соответствует название псевдослучайных чисел, поскольку генерируемая последовательность является периодичной и, начиная с некоторого момента, числа начнут повторяться. Это следует из того, что в коде ЭВМ можно записать лишь конечное число различных чисел. Следовательно, в конце концов одно из генерируемых чисел γ1, совпадет с одним из предыдущих членов последовательности γL. А поскольку генерация осуществляется по формуле вида


γк+1 = F(γk),

с этого момента будут повторяться и остальные члены последовательности.

Использование равномерно распределенных случайных чисел составляет основу моделирования с помощью метода Монте-Карло. Можно сказать, что если некоторая случайная величина была определена с помощью метода Монте-Карло, то для ее вычисления использовалась последовательность равномерно распределенных случайных чисел.

Равномерно распределенные случайные числа заключены в интервале от 0 до 1 и выбираются случайным образом в соответствии с функцией распределения

F(x) = Рr{Х< х} = х, .

При этом распределении одинаково правдоподобно по явление любых значений случайной величины в интервале (0, 1). Здесь Рг{Х< х} - вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше х.

Основным методом получения случайных чисел является их генерация по модулю. Пусть m, a, с, х0 - целые числа, такие, что m > х0 и а, с, х0 > 0. Псевдослучайное число хi из последовательности {хi} получается с помощью рекуррентного соотношения

xi = а xi-1 + с (mod m).

Стохастические характеристики генерируемых чисел решающим образом зависят от выбора m, а и с. Их неудачный выбор приводит к ошибочным результатам при моделировании методом Монте-Карло.

Для численного моделирования часто требуется большое количество случайных чисел. Следовательно, период последовательности генерируемых случайных чисел, после которого последовательность начинает повторяться, должен быть достаточно большим. Он должен быть существенно больше требуемого для моделирования количества случайных чисел, иначе получаемые результаты будут искажены.

Большинство компьютеров и программных оболочек содержат генератор случайных чисел. Однако большинство статистических тестов показывает коррелированность между получаемыми случайными числами.

Существует быстрый тест, с помощью которого необходимо проверять каждый генератор. Качество генератора случайных чисел можно продемонстрировать, заполняя полностью d-мерную решетку (например, двух - или трехмерную). Хороший генератор должен заполнить все пространство гиперкуба.

Другой приближенный способ проверки равномерности распределения N случайных чисел хi состоит в вычислении их математического ожидания и дисперсии. Согласно этому критерию, для равномерного распределения должны выполняться условия

Существует множество статистических критериев, которые можно использовать для проверки того, будет ли последовательность случайной. Наиболее точным считается спектральный критерий. Например, очень распространенный критерий, называемый КС-критерием, или критерием Колмогорова-Смирнова. Проверка показывает, что, например, генератор случайных чисел в электронных таблицах Excel не удовлетворяет данному критерию.

На практике главной проблемой является построение простого и надежного генератора случайных чисел, который можно использовать в своих программах. Для этого предлагается следующая процедура.

В начале программы целой переменной X присваивается некоторое значение Х0. Затем случайные числа генерируются по правилу

X = (аХ + с) mod m. (1)

Выбор параметров следует осуществлять, пользуясь следующими основными принципами.

1. Начальное число Х0 можно выбрать произвольно. Если программа используется несколько раз и каждый раз требуются различные источники случайных чисел, можно, например, присвоить Х0 значение X, полученное последним на предыдущем прогоне.

2.Число m должно быть большим, например, 230 (поскольку именно это число определяет период генерируемой псевдослучайной последовательности).

3.Если m - степень двойки, выбирают а таким, чтобы a mod8 = 5. Если m - степень десяти, выбирают а таким, чтобы a mod10 = 21. Такой выбор гарантирует, что генератор случайных чисел будет вырабатывать все m возможных значений, прежде чем они начнут повторяться.

4.Множитель а предпочтительнее выбирать лежащим между 0.01m и 0.99m, и его двоичные или десятичные цифры не должны иметь простую регулярную структуру. Множитель должен пройти спектральный критерий и, желательно, еще несколько критериев.

5.Если a - хороший множитель, значение с не существен но, за исключением того, что с не должно иметь общего множителя с m, если m - размер компьютерного слова. Можно, например, выбрать с = 1 или с = а.

6. Можно генерировать не больше m/1000 случайных чисел. После этого должна использоваться новая схема, например, новый множитель а .

Перечисленные правила, главным образом, относятся к машинному языку программирования. Для языка программирования высокого уровня, например С++, часто используют другой вариант (1): выбирается простое число m, близкое к наибольшему легко вычисляемому целому числу, значение а полагается равным первообразному корню из m, а с берется равным нулю. Например, можно принять a = 48271 и т =

3. Пример расчета системы массового обслуживания методом Монте-Карло

Рассмотрим простейшую систему массового обслуживания (СМО), которая состоит из n линий (иначе называемых каналами или пунктами обслуживания). В случайные моменты времени в систему поступают заявки. Каждая заявка поступает на линию № 1. Если в момент поступления за явки Тк эта линия свободна, заявка обслуживается время t3 (время занятости линии). Если линия занята, заявка мгновенно передается на линию № 2 и т. д. Если все n линий в данный момент заняты, то система выдает отказ.

Естественной является задача определения характеристик данной системы, по которым можно оценить ее эффективность: среднее время ожидания обслуживания, доля времени простоя системы, среднюю длину очереди и т. д.

Для подобных систем практически единственным методом расчета является метод Монте-Карло.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image013_34.gif" width="373" height="257">

Для получения случайных чисел на ЭВМ используются алгоритмы, поэтому такие последовательности, являющиеся по сути детерминированными, называются псевдослучайными. ЭВМ оперирует n-разрядными числами, поэтому на ЭВМ вместо непрерывной совокупности равномерных случайных чисел интервала (0,1) используют дискретную последовательность 2n случайных чисел того же интервала - закон распределения такой дискретной последовательности называется квазиравномерны распределением.

Требования к идеальному генератору случайных чисел:

1. Последовательность должна состоять из квазиравномерно распределенных чисел.

2. Числа должны быть независимыми.

3. Последовательности случайных чисел должны быть воспроизводимыми.

4. Последовательности должны иметь неповторяющиеся числа.

5. Последовательности должны получаться с минимальными затратами вычислительных ресурсов.

Наибольшее применение в практике моделирования на ЭВМ для генерации последовательностей псевдослучайных числе находят алгоритмы вида:

представляющие собой реккурентные соотношения первого порядка.

Например. x0 = 0,2152 , (x0)2=0, x1 = 0,6311 , (x1)2=0, x2=0,8287 и т. д.

Недостаток подобных методов - наличие коррелляции между числами последовательности, а иногда случайность вообще отсутствует, например:

x0 = 0,4500 , (x0)2=0, x1 = 0,2500 , (x1)2=0, x2=0,2500 и т. д.

Широкое применение получили конгруэнтные процедуры генерации псевдослучайных последовательностей.

Два целых числа a и b конгруэнтны (сравнимы) по модулю m, где m - целое число, тогда и только тогда, когда существует такое целое число k, что a-b=km.

1984º4 (mod 10), 5008º8 (mod 103).

Большинство конгруэнтных процедур генерации случайных чисел основаны на следующей формуле:

где - неотрицательные целые числа.

По целым числам последовательности {Xi} можно построить последовательность {xi}={Xi/M} рациональных чисел из единичного интервала (0,1).

Применяемые генераторы случайных чисел перед моделированием должны пройти тщательное предварительное тестирование на равномерность, стохастичность и независимость получаемых последовательностей случайных чисел.

Методы улучшения качества последовательностей случайных чисел:

1. Использование рекуррентных формул порядка r:

Но применение этого способа приводит к увеличению затрат вычислительных ресурсов на получение чисел.

2. Метод возмущений:

.

5. Моделирование случайных воздействий на системы

1. Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью p. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение xi равномерно распределенной на интервале (0,1) случайной величины удовлетворяет неравенству:

Тогда вероятность события А будет https://pandia.ru/text/78/241/images/image019_31.gif" width="103" height="25">,

Процедура моделирования испытаний в этом случае состоит в последовательном сравнении случайных чисел xi со значениями lr. Если условие выполняется, исходом испытания оказывается событие Аm.

3. Рассмотрим независимые события А и В с вероятностями наступления рА и рВ. Возможными исходами совместных испытаний в этом случае будут события АВ, с вероятностями рАрВ, (1-рА)рВ, рА(1-рВ), (1-рА)(1-рВ). Для моделирования совместных испытаний можно использовать два варианта процедуры:

Последовательное выполнение процедуры, рассмотренной в п.1.

Определение одного из исходов АВ, по жребию с соответствующими вероятностями, т. е. процедура, рассмотренная в п.2.

Первый вариант потребует двух чисел xi и двух сравнений. При втором варианте можно обойтись одним числом xi, но сравнений может потребоваться больше. С точки зрения удобства построения моделирующего алгоритма и экономии количества операций и памяти ЭВМ более предпочтителен первый вариант.

4. События А и В являются зависимыми и наступают с вероятностями pА и pВ. Обозначим через pА(В) условную вероятность наступления события В при условии, что событие А произошло.

Контрольные вопросы

1) Как можно определить метод Монте-Карло?

2) Практическое значение метода Монте-Карло.

3) Общая схема метода Монте-Карло.

4) Пример расчета системы массового обслуживания методом Монте-Карло.

5) Способы генерации случайных чисел.

6) Каковы требования к идеальному генератору случайных чисел?

7) Методы улучшения качества последовательностей случайных чисел.

— необъемлемая часть любого решения, которое мы принимаем. Мы постоянно сталкиваемся с неопределенностью, неоднозначностью и изменчивостью. И даже несмотря на беспрецедентно широкий доступ к информации, мы не можем точно предсказать будущее. Моделирование по методу Монте-Карло (также известное как метод Монте-Карло) позволяет рассмотреть все возможные последствия ваших решений и оценить воздействие риска, что обеспечивает более высокую эффективность принятия решений в условиях неопределенности.

Что такое моделирование по методу Монте-Карло?
Моделирование по методу Монте-Карло представляет собой автоматизированную математическую методику, предназначенную для учета риска в процессе количественного анализа и принятия решений. Эта методика применяется профессионалами в разных областях, таких как финансы, управление проектами, энергетика, производство, проектирование, НИОКР, страхование, нефтегазовая отрасль, транспорт и охрана окружающей среды.

Каждый раз в процессе выбора направления дальнейших действий моделирование по методу Монте-Карло позволяет специалисту, принимающему решения, рассматривать целый спектр возможных последствий и оценивать вероятность их наступления. Этот метод демонстрирует возможности, лежащие на противоположных концах спектра (результаты игры ва-банк и принятия наиболее консервативных мер), а также вероятные последствия умеренных решений.

Впервые этим методом воспользовалась ученые, занимавшиеся разработкой атомной бомбы; его назвали в честь Монте-Карло - курорта в Монако, известного своими казино. Получив распространение в годы Второй мировой войны, метод Монте-Карло стал применяться для моделирования всевозможных физических и теоретических систем.

Посмотреть отзывы
Даглас Хаббард
Hubbard Decision Research
Время : 00:35 сек

«Моделирование по методу Монте-Карло — единственный способ выполнить анализ ответственных решений в условиях неопределенности»

Джон Чжао
Suncor Energy
Время : 02:36 мин

«Проведение моделирования по методу Монте-Карло при оценке капитальных затрат стало [в Suncor] обязательным требованием для любых крупных проектов»

Как выполняется моделирование по методу Монте-Карло
В рамках метода Монте-Карло анализ риска выполняется с помощью моделей возможных результатов. При создании таких моделей любой фактор, которому свойственна неопределенность, заменяется диапазоном значений - распределением вероятностей. Затем выполняются многократные расчеты результатов, причем каждый раз используется другой набор случайных значений функций вероятности. Порой для завершения моделирования бывает необходимо произвести тысячи и даже десятки тысяч перерасчетов - в зависимости от количества неопределенностей и установленных для них диапазонов. Моделирование по методу Монте-Карло позволяет получить распределения значений возможных последствий.

При использовании распределений вероятностей переменные могут иметь разные вероятности наступления разных последствий. Распределения вероятностей представляют собой гораздо более реалистичный способ описания неопределенности переменных в процессе анализа риска. Ниже перечислены наиболее распространенные распределения вероятностей.

Нормальное распределение (или « гауссова кривая »). Чтобы описать отклонение от среднего, пользователь определяет среднее или ожидаемое значение и стандартное отклонение. Значения, расположенные посредине, рядом со средним, характеризуются наиболее высокой вероятностью. Нормальное распределение симметрично и описывает множество обычных явлений - например, рост людей. К примерам переменных, которые описываются нормальными распределениями, относятся темпы инфляции и цены на энергоносители.

Логнормальное распределение. Значения имеют положительную асимметрию и в отличие от нормального распределения несимметричны. Такое распределение используется для отражения величин, которые не опускаются ниже нуля, но могут принимать неограниченные положительные значения. Примеры переменных, описываемых логнормальными распределениями, включают стоимость недвижимого имущества, цены на акции и нефтяные запасы.

Равномерное распределение. Все величины могут с равной вероятностью принимать то или иное значение, пользователь просто определяет минимум и максимум. К примерам переменных, которые могут иметь равномерное распределение, относятся производственные издержки или доходы от будущих продаж нового продукта.

Треугольное распределение. Пользователь определяет минимальное, наиболее вероятное и максимальное значения. Наибольшую вероятность имеют значения, расположенные возле точки максимальной вероятности. В число переменных, которые могут быть описаны треугольным распределением, входят продажи за минувший период в единицу времени и уровни запасов материальных оборотных средств.

PERT-распределение. Пользователь определяет минимальное, наиболее вероятное и максимальное значения — так же, как при треугольном распределении. Наибольшую вероятность имеют значения, расположенные возле точки максимальной вероятности. Однако величины в диапазоне между наиболее вероятным и предельными значениями проявляются с большей вероятностью, чем при треугольном распределении, то есть отсутствует акцент на предельных значениях. Пример использования PERT-распределения — описание продолжительности выполнения задачи в рамках модели управления проектом.

Дискретное распределение. Пользователь определяет конкретные значения из числа возможных, а также вероятность получения каждого из них. Примером может служить результат судебного процесса: 20% вероятность положительного решения, 30% вероятность отрицательного решения, 40% вероятность соглашения сторон и 10% вероятность аннулирования судебного процесса.

При моделировании по методу Монте-Карло значения выбираются случайным образом из исходных распределений вероятности. Каждая выборка значений называется итерацией; полученный из выборки результат фиксируется. В процессе моделирования такая процедура выполняется сотни или тысячи раз, а итогом становится распределение вероятностей возможных последствий. Таким образом, моделирование по методу Монте-Карло дает гораздо более полное представление о возможных событиях. Оно позволяет судить не только о том, что может произойти, но и о том, какова вероятность такого исхода.

Моделирование по методу Монте-Карло имеет ряд преимуществ по сравнению с детерминистским анализом, или анализом « по точечным оценкам»:

  • Вероятностные результаты. Результаты демонстрируют не только возможные события, но и вероятность их наступления.
  • Графическое представление результатов. Характер данных, получаемых при использовании метода Монте-Карло, позволяет создавать графики различных последствий, а также вероятностей их наступления. Это важно при передаче результатов другим заинтересованным лицам.
  • Анализ чувствительности. За редким исключением детерминистский анализ затрудняет определение того, какая из переменных в наибольшей степени влияет на результаты. При проведении моделирования по методу Монте-Карло несложно увидеть, какие исходные данные оказывают наибольшее воздействие на конечные результаты.
  • Анализ сценариев. В детерминистских моделях очень сложно моделировать различные сочетания величин для различных исходных значений, и, следовательно, оценить воздействие по-настоящему отличающихся сценариев. Применяя метод Монте-Карло, аналитики могут точно определить, какие исходные данные приводят к тем или иным значениям, и проследить наступление определенных последствий. Это очень важно для проведения дальнейшего анализа.
  • Корреляция исходных данных. Метод Монте-Карло позволяет моделировать взаимозависимые отношения между исходными переменными. Для получения достоверных сведений необходимо представлять себе, в каких случаях при увеличении некоторых факторов соответствующим образом возрастают или снижаются другие.

Вы также можете улучшить результаты моделирования по методу Монте-Карло путем проведения выборки с применением метода « латинский гиперкуб», в рамках которого отбор производится с большей точностью из всего интервала функций распределения.

Продукты Palisade для моделирования
по методу Монте-Карло
Появление приложений, предназначенных для работы с электронными таблицами на персональных компьютерах, открыло перед специалистами широкие возможности для использования метода Монте-Карло при проведении анализа в повседневной деятельности. Microsoft Excel относится к числу наиболее распространенных аналитических инструментов для электронных таблиц, а программа представляет собой основной плагин Palisade для Excel, позволяющий выполнять моделирование по методу Монте-Карло. Впервые программа @RISK была представлена для Lotus 1-2-3 на базе операционной системы DOS в 1987 году и благодаря точности расчетов, гибкости моделирования и простоте использования сразу же заслужила превосходную репутацию. Появление Microsoft Project привело к созданию другого логического приложения для применения метода Монте-Карло. Его основная задача заключалась в анализе неопределенностей и рисков, связанных с управлением крупными проектами.

Статистическое моделирование - базовый метод моделирования, заключающийся в том, что модель испытывается множеством случайных сигналов с заданной плотностью вероятности. Целью является статистическое определение выходных результатов. В основе статистического моделирования лежит метод Монте-Карло . Напомним, что имитацию используют тогда, когда другие методы применить невозможно.

Метод Монте-Карло

Рассмотрим метод Монте-Карло на примере вычисления интеграла, значение которого аналитическим способом найти не удается.

Задача 1. Найти значение интеграла:

На рис. 1.1 представлен график функции f (x ). Вычислить значение интеграла этой функции - значит, найти площадь под этим графиком.

Рис. 1.1

Ограничиваем кривую сверху, справа и слева. Случайным образом распределяем точки в прямоугольнике поиска. Обозначим через N 1 количество точек, принятых для испытаний (то есть попавших в прямоугольник, эти точки изображены на рис. 1.1 красным и синим цветом), и через N 2 - количество точек под кривой, то есть попавших в закрашенную площадь под функцией (эти точки изображены на рис. 1.1 красным цветом). Тогда естественно предположить, что количество точек, попавших под кривую по отношению к общему числу точек пропорционально площади под кривой (величине интеграла) по отношению к площади испытуемого прямоугольника. Математически это можно выразить так:

Рассуждения эти, конечно, статистические и тем более верны, чем большее число испытуемых точек мы возьмем.

Фрагмент алгоритма метода Монте-Карло в виде блок-схемы выглядит так, как показано на рис. 1.2

Рис. 1.2

Значения r 1 и r 2 на рис. 1.2 являются равномерно распределенными случайными числами из интервалов (x 1 ; x 2) и (c 1 ; c 2) соответственно.

Метод Монте-Карло чрезвычайно эффективен, прост, но необходим "хороший" генератор случайных чисел. Вторая проблема применения метода заключается в определении объема выборки, то есть количества точек, необходимых для обеспечения решения с заданной точностью. Эксперименты показывают: чтобы увеличить точность в 10 раз, объем выборки нужно увеличить в 100 раз; то есть точность примерно пропорциональна корню квадратному из объема выборки:

Схема использования метода Монте-Карло при исследовании систем со случайными параметрами

Построив модель системы со случайными параметрами, на ее вход подают входные сигналы от генератора случайных чисел (ГСЧ), как показано на рис. 1.3 ГСЧ устроен так, что он выдает равномерно распределенные случайные числа r рр из интервала . Так как одни события могут быть более вероятными, другие - менее вероятными, то равномерно распределенные случайные числа от генератора подают на преобразователь закона случайных чисел (ПЗСЧ), который преобразует их в заданный пользователем закон распределения вероятности, например, в нормальный или экспоненциальный закон. Эти преобразованные случайные числа x подают на вход модели. Модель отрабатывает входной сигнал x по некоторому закону y = ц (x ) и получает выходной сигнал y , который также является случайным.

статистическое моделирование случайная величина


Рис. 1.3

В блоке накопления статистики (БНСтат) установлены фильтры и счетчики. Фильтр (некоторое логическое условие) определяет по значению y , реализовалось ли в конкретном опыте некоторое событие (выполнилось условие, f = 1) или нет (условие не выполнилось, f = 0). Если событие реализовалось, то счетчик события увеличивается на единицу. Если событие не реализовалось, то значение счетчика не меняется. Если требуется следить за несколькими разными типами событий, то для статистического моделирования понадобится несколько фильтров и счетчиков N i . Всегда ведется счетчик количества экспериментов - N .

Далее отношение N i к N , рассчитываемое в блоке вычисления статистических характеристик (БВСХ) по методу Монте-Карло, дает оценку вероятности p i появления события i , то есть указывает на частоту его выпадения в серии из N опытов. Это позволяет сделать выводы о статистических свойствах моделируемого объекта.

Например, событие A совершилось в результате проведенных 200 экспериментов 50 раз. Это означает, согласно методу Монте-Карло, что вероятность совершения события равна: p A = 50/200 = 0.25. Вероятность того, что событие не совершится, равна, соответственно, 1 - 0.25 = 0.75.

Обратите внимание: когда говорят о вероятности, полученной экспериментально, то ее называют частостью; слово вероятность употребляют, когда хотят подчеркнуть, что речь идет о теоретическом понятии.

При большом количестве опытов N частота появления события, полученная экспериментальным путем, стремится к значению теоретической вероятности появления события.

В блоке оценки достоверности (БОД) анализируют степень достоверности статистических экспериментальных данных, снятых с модели (принимая во внимание точность результата е , заданную пользователем) и определяют необходимое для этого количество статистических испытаний. Если колебания значений частоты появления событий относительно теоретической вероятности меньше заданной точности, то экспериментальную частоту принимают в качестве ответа, иначе генерацию случайных входных воздействий продолжают, и процесс моделирования повторяется. При малом числе испытаний результат может оказаться недостоверным. Но чем более испытаний, тем точнее ответ, согласно центральной предельной теореме.

Заметим, что оценивание ведут по худшей из частот. Это обеспечивает достоверный результат сразу по всем снимаемым характеристикам модели.

Пример 1. Решим простую задачу. Какова вероятность выпадения монеты орлом кверху при падении ее с высоты случайным образом?

Начнем подбрасывать монетку и фиксировать результаты каждого броска (см. табл. 1.1).

Таблица 1.1.

Результаты испытаний бросания монеты


Будем подсчитывать частость выпадения орла как отношение количества случаев выпадения орла к общему числу наблюдений. Посмотрите в табл. 1.1 случаи для N = 1, N = 2, N = 3 - сначала значения частости нельзя назвать достоверными. Попробуем построить график зависимости P о от N - и посмотрим, как меняется частость выпадения орла в зависимости от количества проведенных опытов. Разумеется, при различных экспериментах будут получаться разные таблицы и, следовательно, разные графики. На рис. 1.4 показан один из вариантов.


Рис. 1.4

Сделаем некоторые выводы.

  • 1. Видно, что при малых значениях N , например, N = 1, N = 2, N = 3 ответу вообще доверять нельзя. Например, P о = 0 при N = 1, то есть вероятность выпадения орла при одном броске равна нулю! Хотя всем хорошо известно, что это не так. То есть пока мы получили очень грубый ответ. Однако, посмотрите на график: в процессе накопления информации ответ медленно, но верно приближается к правильному (он выделен пунктирной линией). К счастью, в данном конкретном случае правильный ответ нам известен: в идеале, вероятность выпадения орла равна 0.5 (в других, более сложных задачах, ответ нам, конечно, будет неизвестен). Допустим, что ответ нам надо знать с точностью е = 0.1. Проведем две параллельные линии, отстоящие от правильного ответа 0.5 на расстояние 0.1 (см. рис. 1.4). Ширина образовавшегося коридора будет равна 0.2. Как только кривая P о (N ) войдет в этот коридор так, что уже никогда его не покинет, можно остановиться и посмотреть, для какого значения N это произошло. Это и есть экспериментально вычисленное критическое значение необходимого количества опытов N кр э для определения ответа с точностью е = 0.1; е -окрестность в наших рассуждениях играет роль своеобразной трубки точности. Заметьте, что ответы P о (91), P о (92) и так далее уже не меняют сильно своих значений (см. рис. 1.4); по крайней мере, у них не изменяется первая цифра после запятой, которой мы обязаны доверять по условиям задачи.
  • 2. Причиной такого поведения кривой является действие центральной предельной теоремы . Пока здесь мы сформулируем ее в самом простом варианте "Сумма случайных величин есть величина неслучайная". Мы использовали среднюю величину P о, которая несет в себе информацию о сумме опытов, и поэтому постепенно эта величина становится все более достоверной.
  • 3. Если проделать еще раз этот опыт сначала, то, конечно, его результатом будет другой вид случайной кривой. И ответ будет другим, хотя примерно таким же. Проведем целую серию таких экспериментов (см. рис. 1.5). Такая серия называется ансамблем реализаций. Какому же ответу в итоге следует верить? Ведь они, хоть и являются близкими, все же разнятся. На практике поступают по-разному. Первый вариант - вычислить среднее значение ответов за несколько реализаций (см. табл. 1.2).

Рис. 1.5

Мы поставили несколько экспериментов и определяли каждый раз, сколько необходимо было сделать опытов, то есть N кр э. Было проделано 10 экспериментов, результаты которых были сведены в табл. 1.2 По результатам 10-ти экспериментов было вычислено среднее значение N кр э.

Таблица 1.2.

Экспериментальные данные необходимого количества бросков монеты для достижения точности е

Таким образом, проведя 10 реализаций разной длины, мы определили, что достаточно в среднем было сделать 1 реализацию длиной в 94 броска монеты.

Еще один важный факт. Внимательно рассмотрите график на рис.21.5 На нем нарисовано 100 реализаций - 100 красных линий. Отметьте на нем абсциссу N = 94 вертикальной чертой. Есть какой-то процент красных линий, которые не успели пересечь е -окрестность, то есть (P эксп - е ? P теор? P эксп + е ), и войти в коридор точности до момента N = 94. Обратите внимание, таких линий 5. Это значит, что 95 из 100, то есть 95%, линий достоверно вошли в обозначенный интервал.

Таким образом, проведя 100 реализаций, мы добились примерно 95% -ного доверия к полученной экспериментально величине вероятности выпадения орла, определив ее с точностью 0.1.

Для сравнения полученного результата вычислим теоретическое значение N кр т теоретически. Однако для этого придется ввести понятие доверительной вероятности Q F , которая показывает, насколько мы готовы верить ответу.

Например, при Q F = 0.95 мы готовы верить ответу в 95% случаев из 100. Имеет вид: N кр т = k (Q F ) · p · (1 - p ) /е 2 , где k (Q F ) - коэффициент Лапласа, p - вероятность выпадения орла, е - точность (доверительный интервал). В табл. 1.3 показаны значения теоретической величины количества необходимых опытов при разных Q F (для точности е = 0.1 и вероятности p = 0.5).

Таблица 1.3.

Теоретический расчет необходимого количества бросков монеты для достижения точности е = 0.1 при вычислении вероятности выпадения орла


Как видите, полученная нами оценка длины реализации, равная 94 опытам очень близка к теоретической, равной 96. Некоторое несовпадение объясняется тем, что, видимо, 10 реализаций недостаточно для точного вычисления N кр э. Если вы решите, что вам нужен результат, которому следует доверять больше, то измените значение доверительной вероятности. Например, теория говорит нам, что если опытов будет 167, то всего 1-2 линии из ансамбля не войдут в предложенную трубку точности. Но имейте в виду, количество экспериментов с ростом точности и достоверности растет очень быстро.

Второй вариант, используемый на практике - провести одну реализацию и увеличить полученное для нее N кр э в 2 раза . Это считают хорошей гарантией точности ответа (см. рис. 1.6).


Рис. 1.6. Иллюстрация экспериментального определения N кр э по правилу "умножь на два"

Если присмотреться к ансамблю случайных реализаций , то можно обнаружить, что сходимость частости к значению теоретической вероятности происходит по кривой, соответствующей обратной квадратичной зависимости от числа экспериментов (см. рис. 1.7).


Рис. 1.7

Это действительно так получается и теоретически. Если изменять задаваемую точность е и исследовать количество экспериментов, требуемых для обеспечения каждой из них, то получится табл. 1.4

Таблица 1.4.

Теоретическая зависимость количества экспериментов, необходимых для обеспечения заданной точности при Q F = 0.95


Построим по табл. 1.4 график зависимости N кр т (е ) (см. рис. 1.8).

Рис. 1.8 Зависимость числа экспериментов, требуемых для достижения заданной точности е при фиксированном Q F = 0.95

Итак, рассмотренные графики подтверждают приведенную выше оценку:

Заметим, что оценок точности может быть несколько.

Пример 2. Нахождение площади фигуры методом Монте-Карло. Определите методом Монте-Карло площадь пятиугольника с координатами углов (0, 0), (0,10), (5, 20), (10,10), (7, 0).

Нарисуем в двухмерных координатах заданный пятиугольник, вписав его в прямоугольник, чья площадь, как нетрудно догадаться, составляет (10 - 0) · (20 - 0) = 200 (см. рис. 1.9).

Рис. 1.9

Используем таблицу случайных чисел для генерации пар чисел R , G , равномерно распределенных в интервале от 0 до 1. Число R X (0 ? X ? 10), следовательно, X = 10 · R . Число G будет имитировать координату Y (0 ? Y ? 20), следовательно, Y = 20 · G . Сгенерируем по 10 чисел R и G и отобразим 10 точек (X ; Y ) на рис. 1.9 и в табл. 1.5

Таблица 1.5.

Решение задачи методом Монте-Карло


Статистическая гипотеза заключается в том, что количество точек, попавших в контур фигуры, пропорционально площади фигуры: 6: 10 = S : 200. То есть, по формуле метода Монте-Карло, получаем, что площадь S пятиугольника равна: 200 · 6/10 = 120.

Проследим, как менялась величина S от опыта к опыту (см. табл. 1.6).

Таблица 1.6.

Оценка точности ответа

Поскольку в ответе все еще меняется значение второго разряда, то возможная неточность составляет пока больше 10%. Точность расчета может быть увеличена с ростом числа испытаний (см. рис. 1.10).

Рис. 1.10 Иллюстрация процесса сходимости определяемого экспериментально ответа к теоретическому результату

Лекция 2. Генераторы случайных чисел

В основе метода Монте-Карло (см. Лекцию 1. Статистическое моделирование) лежит генерация случайных чисел, которые должны быть равномерно распределены в интервале (0;1).

Если генератор выдает числа, смещенные в какую-то часть интервала (одни числа выпадают чаще других), то результат решения задачи, решаемой статистическим методом, может оказаться неверным. Поэтому проблема использования хорошего генератора действительно случайных и действительно равномерно распределенных чисел стоит очень остро.

Математическое ожидание m r и дисперсия D r такой последовательности, состоящей из n случайных чисел r i , должны быть следующими (если это действительно равномерно распределенные случайные числа в интервале от 0 до 1):

Если пользователю потребуется, чтобы случайное число x находилось в интервале (a ; b ), отличном от (0;

  • 1), нужно воспользоваться формулой x = a + (b - a ) · r , где r - случайное число из интервала (0;
  • 1). Законность данного преобразования демонстрируется на рис. 2.1

Рис. 2.1

1) в интервал (a; b)

Теперь x - случайное число, равномерно распределенное в диапазоне от a до b .

За эталон генератора случайных чисел (ГСЧ) принят такой генератор, который порождает последовательность случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале (0;

  • 1). За одно обращение данный генератор возвращает одно случайное число. Если наблюдать такой ГСЧ достаточно длительное время, то окажется, что, например, в каждый из десяти интервалов (0; 0.1), (0.1; 0.2), (0.2; 0.3), …, (0.9;
  • 1) попадет практически одинаковое количество случайных чисел - то есть они будут распределены равномерно по всему интервалу (0;
  • 1). Если изобразить на графике k = 10 интервалов и частоты N i попаданий в них, то получится экспериментальная кривая плотности распределения случайных чисел (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2

Заметим, что в идеале кривая плотности распределения случайных чисел выглядела бы так, как показано на рис. 2.3. То есть в идеальном случае в каждый интервал попадает одинаковое число точек: N i = N /k , где N - общее число точек, k - количество интервалов, i = 1, …, k .


Рис. 2.3

Следует помнить, что генерация произвольного случайного числа состоит из двух этапов:

  • · генерация нормализованного случайного числа (то есть равномерно распределенного от 0 до 1);
  • · преобразование нормализованных случайных чисел r i в случайные числа x i , которые распределены по необходимому пользователю (произвольному) закону распределения или в необходимом интервале.

Генераторы случайных чисел по способу получения чисел делятся на:

  • · физические;
  • · табличные;
  • · алгоритмические.

Не так давно я прочитал замечательную книгу Дугласа Хаббарда . В кратком конспекте книги я обещал, что одному из разделов – Оценка риска: введение в моделирование методом Монте-Карло – я посвящу отдельную заметку. Да всё как-то не складывалось. И вот недавно я стал более внимательно изучать методы управления валютными рисками. В материалах, посвященных этой тематике, часто упоминается моделирование методом Монте-Карло. Так что обещанный материал перед вами.

Приведу простой пример моделирования методом Монте-Карло для тех, кто никогда не работал с ним ранее, но имеет определенное представление об использовании электронных таблиц Excel.

Предположим, что вы хотите арендовать новый станок. Стоимость годовой аренды станка 400 000 дол., и договор нужно подписать на несколько лет. Поэтому, даже не достигнув , вы всё равно не сможете сразу вернуть станок. Вы собираетесь подписать договор, думая, что современное оборудование позволит сэкономить на трудозатратах и стоимости сырья и материалов, а также считаете, что материально-техническое обслуживание нового станка обойдется дешевле.

Скачать заметку в формате , примеры в формате

Ваши калиброванные специалисты по оценке дали следующие интервалы значений ожидаемой экономии и годового объема производства:

Годовая экономия составит: (MS + LS + RMS) х PL

Конечно, этот пример слишком прост, чтобы быть реалистичным. Объем производства каждый год меняется, какие-то затраты снизятся, когда рабочие окончательно освоят новый станок, и т.д. Но мы в этом примере намеренно пожертвовали реализмом ради простоты.

Если мы возьмем медиану (среднее) каждого из интервалов значений, то получим годовую экономию: (15 + 3 + 6) х 25 000 = 600 000 (дол.)

Похоже, что мы не только добились безубыточности, но и получили кое-какую прибыль, но не забывайте – существуют неопределенности. Как же оценить рискованность этих инвестиций? Давайте, прежде всего, определим, что такое риск в данном контексте. Чтобы получить риск, мы должны наметить будущие результаты с присущими им неопределенностями, причем какие-то из них – с вероятностью понести ущерб, поддающийся количественному определению. Один из способов взглянуть на риск – представить вероятность того, что мы не добьемся безубыточности, то есть что наша экономия окажется меньше годовой стоимости аренды станка. Чем больше нам не хватит на покрытие расходов на аренду, тем больше мы потеряем. Сумма 600 000 дол. – это медиана интервала. Как определить реальный интервал значений и рассчитать по нему вероятность того, что мы не достигнем точки безубыточности?

Поскольку точные данные отсутствуют, нельзя выполнить простые расчеты для ответа на вопрос, сможем ли мы добиться требуемой экономии. Есть методы, позволяющие при определенных условиях найти интервал значений результирующего параметра по диапазонам значений исходных данных, но для большинства проблем из реальной жизни такие условия, как правило, не существуют. Как только мы начинаем суммировать и умножать разные типы распределений, задача обычно превращается в то, что математики называют неразрешимой или не имеющей решения обычными математическими методами проблемой. Поэтому взамен мы пользуемся методом прямого подбора возможных вариантов, ставшим возможным благодаря появлению компьютеров. Из имеющихся интервалов мы выбираем наугад множество (тысячи) точных значений исходных параметров и рассчитываем множество точных значений искомого показателя.

Моделирование методом Монте-Карло – превосходный способ решения подобных проблем. Мы должны лишь случайным образом выбрать в указанных интервалах значения, подставить их в формулу для расчета годовой экономии и рассчитать итог. Одни результаты превысят рассчитанную нами медиану 600 000 дол., а другие окажутся ниже. Некоторые будут даже ниже требуемых для безубыточности 400 000 дол.

Вы легко сможете осуществить моделирование методом Монте-Карло на персональном компьютере с помощью программы Excel, но для этого понадобится чуть больше информации, чем 90%-ный доверительный интервал. Необходимо знать форму кривой распределения. Для разных величин больше подходят кривые одной формы, чем другой. В случае 90%-ного доверительного интервала обычно используется кривая нормального (гауссова) распределения. Это хорошо знакомая всем колоколообразная кривая, на которой большинство возможных значений результатов группируются в центральной части графика и лишь немногие, менее вероятные, распределяются, сходя на нет к его краям (рис. 1).

Вот как выглядит нормальное распределение:

Рис.1. Нормальное распределение. По оси абсцисс число сигм.

Особенности:

  • значения, располагающиеся в центральной части графика, более вероятны, чем значения по его краям;
  • распределение симметрично; медиана находится точно посредине между верхней и нижней границами 90%-ного доверительного интервала (CI);
  • «хвосты» графика бесконечны; значения за пределами 90%-ного доверительного интервала маловероятны, но все же возможны.

Для построения нормального распределения в Excel можно воспользоваться функцией =НОРМРАСП(Х; Среднее; Стандартное_откл; Интегральная), где
Х – значение, для которого строится нормальное распределение;
Среднее – среднее арифметическое распределения; в нашем случае = 0;
Стандартное_откл – стандартное отклонение распределения; в нашем случае = 1;
Интегральная – логическое значение, определяющее форму функции; если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения; в нашем случае = ЛОЖЬ.

Говоря о нормальном распределении, необходимо упомянуть о таком связанном с ним понятии, как стандартное отклонение. Очевидно, не все обладают интуитивным пониманием, что это такое, но поскольку стандартное отклонение можно заменить числом, рассчитанным по 90%-ному доверительному интервалу (смысл которого интуитивно понимают многие), я не буду здесь подробно на нем останавливаться. Рисунок 1 показывает, что в одном 90%-ном доверительном интервале насчитывается 3,29 стандартного отклонения, поэтому нам просто нужно будет сделать преобразование.

В нашем случае следует создать в электронной таблице генератор случайных чисел для каждого интервала значений. Начнем, например, с MS – экономии на материально-техническом обслуживании. Воспользуемся формулой Excel: =НОРМОБР(вероятность;среднее;стандартное_откл), где
Вероятность – вероятность, соответствующая нормальному распределению;
Среднее – среднее арифметическое распределения;
Стандартное_откл – стандартное отклонение распределения.

В нашем случае:
Среднее (медиана) = (Верхняя граница 90%-ного CI + Нижняя граница 90%-ного СI)/2;
Стандартное отклонение = (Верхняя граница 90%-ного CI – Нижняя граница 90%-ного СI)/3,29.

Для параметра MS формула имеет вид: =НОРМОБР(СЛЧИС();15;(20-10)/3,29), где
СЛЧИС – функция, генерирующая случайные числа в диапазоне от 0 до 1;
15 – среднее арифметическое диапазона MS;
(20-10)/3,29 = 3,04 – стандартное отклонение; напомню, что смысл стандартного отклонения в следующем: в интервал 3,29*Стандарт_откл, расположенный симметрично относительного среднего, попадает 90% всех значений случайной величины (в нашем случае MS)

Распределение величины экономии на материально-техническом обслуживании для 100 случайных нормально распределенных значений:

Рис. 2. Вероятность распределения MS по диапазонам значений; о том, как построить такое распределение с помощью сводной таблицы см.

Поскольку мы использовали «лишь» 100 случайных значений, распределение получилось не таким уж и симметричным. Тем не менее, около 90% значений попали в диапазон экономии на MS от 10 до 20 долл. (если быть точным, то 91%).

Построим таблицу на основе доверительных интервалов параметров MS, LS, RMS и PL (рис. 3). Два последних столбца показывают результаты расчетов на основе данных других столбцов. В столбце «Общая экономия» показана годовая экономия, рассчитанная для каждой строки. Например, в случае реализации сценария 1 общая экономия составит (14,3 + 5,8 + 4,3) х 23 471 = 570 834 долл. Столбец «Достигается ли безубыточность?» вам на самом деле не нужен. Я включил его просто для информативности. Создадим в Excel 10 000 строк-сценариев.

Рис. 3. Расчет сценариев методом Монте-Карло в Excel

Чтобы оценить полученные результаты, можно использовать, например, сводную таблицу, которая позволяет подсчитать число сценариев в каждом 100-тысячном диапазоне. Затем вы строите график, отображающий результаты расчета (рис. 4). Этот график показывает, какая доля из 10 000 сценариев будут иметь годовую экономию в том или ином интервале значений. Например, около 3% сценариев дадут годовую экономию более 1М дол.

Рис. 4. Распределение общей экономии по диапазонам значений. По оси абсцисс отложены 100-тысячные диапазоны размера экономии, а по оси ординат доля сценариев, приходящихся на указанный диапазон

Из всех полученных значений годовой экономии примерно 15% будут меньше 400К дол. Это означает, что вероятность ущерба составляет 15%. Данное число и представляет содержательную оценку риска. Но риск не всегда сводится к возможности отрицательной доходности инвестиций. Оценивая размеры вещи, мы определяем ее высоту, массу, обхват и т.д. Точно так же существуют и несколько полезных показателей риска. Дальнейший анализ показывает: есть 4%-ная вероятность того, что завод вместо экономии будет терять ежегодно по 100К дол. Однако полное отсутствие доходов практически исключено. Вот что подразумевается под анализом риска – мы должны уметь рассчитывать вероятности ущерба разного масштаба. Если вы действительно измеряете риск, то должны делать именно это.

В некоторых ситуациях можно пойти более коротким путем. Если все распределения значений, с которыми мы работаем, будут нормальными и нам надо просто сложить интервалы этих значений (например, интервалы затрат и выгод) или вычесть их друг из друга, то можно обойтись и без моделирования методом Монте-Карло. Когда необходимо суммировать три вида экономии из нашего примера, следует провести простой расчет. Чтобы получить искомый интервал, используйте шесть шагов, перечисленных ниже:

1) вычтите среднее значение каждого интервала значений из его верхней границы; для экономии на материально-техническом обслуживании 20 – 15 = 5 (дол.), для экономии на трудозатратах – 5 дол. и для экономии на сырье и материалах – 3 дол.;

2) возведите в квадрат результаты первого шага 5 2 = 25 (дол.) и т.д.;

3) суммируйте результаты второго шага 25 + 25 + 9 = 59 (дол.);

4) извлеките квадратный корень из полученной суммы: получится 7,7 дол.;

5) сложите все средние значения: 15 + 3 + 6 = 24 (дол.);

6) прибавьте к сумме средних значений результат шага 4 и получите верхнюю границу диапазона: 24 + 7,7 = 31,7 дол.; вычтите из суммы средних значений результат шага 4 и получите нижнюю границу диапазона 24 – 7,7 = 16,3 дол.

Таким образом, 90%-ный доверительный интервал для суммы трех 90%-ных доверительных интервалов по каждому виду экономии составляет 16,3–31,7 дол.

Мы использовали следующее свойство: размах суммарного интервала равен квадратному корню из суммы квадратов размахов отдельных интервалов .

Иногда нечто похожее делают, суммируя все «оптимистические» значения верхней границы и «пессимистические» значения нижней границы интервала. В данном случае мы получили бы на основе наших трех 90%-ных доверительных интервалов суммарный интервал 11–37 дол. Этот интервал несколько шире, чем 16,3–31,7 дол. Когда такие расчеты выполняются при обосновании проекта с десятками переменных, расширение интервала становится чрезмерным, чтобы его игнорировать. Брать самые «оптимистические» значения для верхней границы и «пессимистические» для нижней – все равно что думать: бросив несколько игральных костей, мы во всех случаях получим только «1» или только «6». На самом же деле выпадет некое сочетание низких и высоких значений. Чрезмерное расширение интервала – распространенная ошибка, которая, несомненно, часто приводит к принятию необоснованных решений. В то же время описанный мной простой метод прекрасно работает, когда у нас есть несколько 90%-ных доверительных интервалов, которые необходимо суммировать.

Однако наша цель не только суммировать интервалы, но и умножить их на объем производства, значения которого также даны в виде диапазона. Простой метод суммирования годится только для вычитания или сложения интервалов значений.

Моделирование методом Монте-Карло требуется и тогда, когда не все распределения являются нормальными. Хотя другие типы распределений не входят в предмет данной книги, упомянем о двух из них - равномерном и бинарном (рис. 5, 6).

Рис. 5. Равномерное распределение (не идеальное, а построенное с помощью функции СЛЧИС в Excel)

Особенности:

  • вероятность всех значений одинакова;
  • распределение симметрично, без перекосов; медиана находится точно посредине между верхней и нижней границами интервала;
  • значения за пределами интервала невозможны.

Для построения данного распределения в Excel была использована формула: СЛЧИС()*(UB – LB) + LB, где UB – верхняя граница; LB – нижняя граница; с последующим разбиением всех значений на диапазоны с помощью сводной таблицы.

Рис. 6. Бинарное распределение (распределение Бернулли)

Особенности:

  • возможны только два значения;
  • существует единственная вероятность одного значения (в данном случае 60%); вероятность другого значения равна единице минус вероятность первого значения

Для построения случайного распределения данного вида в Excel использовалась функция: =ЕСЛИ(СЛЧИС()<Р;1;0), где Р - вероятность выпадения «1»; вероятность выпадения «0» равна 1–Р; с последующим разбиением всех значений на два значения с помощью сводной таблицы.

Метод впервые использовал математик Станислав Улам (см. ).

Дуглас Хаббард далее перечисляет несколько программ, предназначенных для моделирования методом Монте-Карло. Среди них и Crystal Ball компании Decisioneering, Inc, Денвер, штат Колорадо. Книга на английском языке была издана в 2007 г. Сейчас же эта программа принадлежит уже Oracle . Демо-версия программы доступна для скачивания с сайта компании. О ее возможностях мы и погорим .

См. главу 5 упоминавшейся книги Дугласа Хаббарда

Здесь Дуглас Хаббард под размахом понимает разность между верхней границей 90%-ного доверительного интервала и средним значением этого интервала (или между средним значением и нижней границей, так как распределение симметрично). Обычно под размахом понимают разность между верхней и нижней границами.