Bajke

Kako riješiti jednadžbe koristeći Vietin teorem iz matematike. Vietin teorem. Primjeri rješenja Vieta metoda Kvadratna jednačina

Kada proučavate načine rješavanja jednačina drugog reda u školskom kursu algebre, razmotrite svojstva dobivenih korijena. One su sada poznate kao Vietine teoreme. Primjeri njegove upotrebe dati su u ovom članku.

Kvadratna jednadžba

Jednačina drugog reda je jednakost, koja je prikazana na slici ispod.

Ovdje su simboli a, b, c neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti jednačine koja se razmatra. Da biste riješili jednakost, morate pronaći x vrijednosti koje je čine istinitom.

Imajte na umu da je maksimalna vrijednost stepena na koji je x podignuta dva, tada je broj korijena u općem slučaju također dva.

Postoji nekoliko načina za rješavanje ove vrste jednakosti. U ovom članku ćemo razmotriti jedan od njih, koji uključuje korištenje takozvane Vietine teoreme.

Izjava Vietine teoreme

Krajem 16. stoljeća, poznati matematičar Francois Viet (Francuz) primijetio je, analizirajući svojstva korijena različitih kvadratnih jednačina, da određene njihove kombinacije zadovoljavaju specifične odnose. Konkretno, ove kombinacije su njihov proizvod i zbir.

Vietin teorem utvrđuje sljedeće: korijeni kvadratne jednadžbe, kada se zbroje, daju omjer linearnih i kvadratnih koeficijenata uzetih sa suprotnim predznakom, a kada se pomnože, dovode do omjera slobodnog člana i kvadratnog koeficijenta .

Ako je opći oblik jednadžbe napisan kao što je prikazano na fotografiji u prethodnom dijelu članka, onda se matematički ova teorema može napisati kao dvije jednakosti:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Gdje je r 1 , r 2 vrijednost korijena razmatrane jednačine.

Ove dvije jednakosti se mogu koristiti za rješavanje niza vrlo različitih matematičkih problema. Upotreba Vietine teoreme u primjerima s rješenjem data je u sljedećim odjeljcima članka.

Vietin teorem se često koristi za testiranje već pronađenih korijena. Ako ste pronašli korijene, možete koristiti formule \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) za izračunavanje vrijednosti \(p\ ) i \(q\ ). A ako se pokaže da su isti kao u izvornoj jednadžbi, tada se korijeni nalaze ispravno.

Na primjer, upotrijebimo , riješimo jednačinu \(x^2+x-56=0\) i dobijemo korijene: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Provjerimo da li smo pogriješili u procesu rješavanja. U našem slučaju, \(p=1\), i \(q=-56\). Po Vietinoj teoremi imamo:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(slučajevi)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Obje tvrdnje su se konvergirale, što znači da smo jednako riješili ispravno.

Ovaj test se može uraditi usmeno. To će trajati 5 sekundi i spasiti vas od glupih grešaka.

Inverzna Vieta teorema

Ako je \(\begin(slučajevi)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(slučajevi)\), tada su \(x_1\) i \(x_2\) korijeni kvadratne jednadžbe \ (x^ 2+px+q=0\).

Ili na jednostavan način: ako imate jednačinu oblika \(x^2+px+q=0\), onda rješavanjem sistema \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) naći ćete njegove korijene.

Zahvaljujući ovoj teoremi, možete brzo pronaći korijene kvadratne jednadžbe, posebno ako su ti korijeni . Ova vještina je važna jer štedi puno vremena.

Primjer . Riješite jednačinu \(x^2-5x+6=0\).

Odluka : Koristeći inverznu Vietinu teoremu, dobijamo da korijeni zadovoljavaju uvjete: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Pogledajte drugu jednačinu sistema \(x_1 \cdot x_2=6\). Na koja dva se broj \(6\) može rastaviti? Na \(2\) i \(3\), \(6\) i \(1\) ili \(-2\) i \(-3\), i \(-6\) i \(- 1\). A koji par odabrati, prva jednačina sistema će reći: \(x_1+x_2=5\). \(2\) i \(3\) su slični, jer \(2+3=5\).
Odgovori : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Primjeri . Koristeći inverziju Vietine teoreme, pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Odluka :
a) \(x^2-15x+14=0\) - na koje faktore se \(14\) razlaže? \(2\) i \(7\), \(-2\) i \(-7\), \(-1\) i \(-14\), \(1\) i \(14\ ). Koji parovi brojeva daju \(15\)? Odgovor: \(1\) i \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - na koje faktore se \(-4\) razlaže? \(-2\) i \(2\), \(4\) i \(-1\), \(1\) i \(-4\). Koje parove brojeva daje \(-3\)? Odgovor: \(1\) i \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – na koje faktore se \(20\) razlaže? \(4\) i \(5\), \(-4\) i \(-5\), \(2\) i \(10\), \(-2\) i \(-10\ ), \(-20\) i \(-1\), \(20\) i \(1\). Koje parove brojeva daje \(-9\)? Odgovor: \(-4\) i \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - na koje faktore se \(780\) razlaže? \(390\) i \(2\). Da li oni zbrajaju \(88\)? br. Koje druge množitelje \(780\) ima? \(78\) i \(10\). Da li oni zbrajaju \(88\)? Da. Odgovor: \(78\) i \(10\).

Nije potrebno dekomponovati posljednji pojam na sve moguće faktore (kao u posljednjem primjeru). Možete odmah provjeriti da li njihov zbir daje \(-p\).

Bitan! Vietina teorema i obrnuta teorema rade samo sa , to jest s onim čiji je koeficijent ispred \(x^2\) jednak jedan. Ako u početku imamo neredukovanu jednačinu, onda je možemo smanjiti jednostavnim dijeljenjem koeficijentom ispred \ (x ^ 2 \).

Na primjer, neka je data jednadžba \(2x^2-4x-6=0\) i želimo koristiti jednu od Vietinih teorema. Ali ne možemo, jer je koeficijent ispred \(x^2\) jednak \(2\). Riješimo ga se tako što cijelu jednačinu podijelimo sa \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Spreman. Sada možemo koristiti obje teoreme.

Odgovori na često postavljana pitanja

Pitanje: Po Vietinoj teoremi, možete riješiti bilo koji ?
odgovor: Nažalost nema. Ako u jednadžbi nema cijelih brojeva ili jednačina uopće nema korijena, onda Vietin teorem neće pomoći. U ovom slučaju morate koristiti diskriminatorno . Srećom, 80% jednačina u školskom kursu matematike ima cjelobrojna rješenja.

U osmom razredu učenici se upoznaju sa kvadratnim jednačinama i načinom njihovog rješavanja. Istovremeno, kako pokazuje iskustvo, većina studenata koristi samo jednu metodu pri rješavanju potpunih kvadratnih jednadžbi – formulu za korijene kvadratne jednadžbe. Za učenike sa dobrim usmenim umećem brojanja, ova metoda je očigledno iracionalna. Učenici često moraju rješavati kvadratne jednačine u srednjoj školi i tamo je jednostavno šteta trošiti vrijeme na računanje diskriminanta. Po mom mišljenju, kada se proučavaju kvadratne jednačine, više vremena i pažnje treba posvetiti primeni Vietine teoreme (prema programu A.G. Mordkovich Algebra-8, predviđeno je samo dva sata za proučavanje teme „Vieta teorema. Dekompozicija kvadratni trinom u linearne faktore”).

U većini udžbenika algebre ova teorema je formulisana za redukovanu kvadratnu jednačinu i kaže da ako jednadžba ima korijene i , onda oni zadovoljavaju jednakosti , . Zatim se formulira izjava suprotna Vietinoj teoremi i nudi se niz primjera za rad na ovoj temi.

Uzmimo konkretne primjere i pratimo logiku rješenja na njima koristeći Vietin teorem.

Primjer 1. Riješite jednačinu.

Pretpostavimo da ova jednadžba ima korijene, i . Zatim, prema Vietinoj teoremi, jednakosti

Imajte na umu da je proizvod korijena pozitivan broj. Dakle, korijeni jednadžbe imaju isti predznak. A kako je i zbir korijena pozitivan broj, zaključujemo da su oba korijena jednadžbe pozitivna. Vratimo se proizvodu korijena. Pretpostavimo da su korijeni jednadžbe pozitivni cijeli brojevi. Tada se ispravna prva jednakost može dobiti na samo dva načina (do reda faktora): ili . Provjerimo za predložene parove brojeva izvodljivost druge tvrdnje Vietine teoreme: . Dakle, brojevi 2 i 3 zadovoljavaju obje jednakosti i stoga su korijeni date jednačine.

Odgovor: 2; 3.

Izdvajamo glavne faze zaključivanja pri rješavanju date kvadratne jednadžbe pomoću Vietine teoreme:

zapišite tvrdnju Vietine teoreme

(*)

odrediti predznake korijena jednadžbe (Ako su proizvod i zbir korijena pozitivni, onda su oba korijena pozitivni brojevi. Ako je proizvod korijena pozitivan broj, a zbir korijena negativan, tada oba korijena su negativni brojevi. Ako je umnožak korijena negativan broj, tada korijeni imaju različite predznake. Štaviše, ako je zbroj korijena pozitivan, tada je korijen sa većim modulom pozitivan broj, a ako je zbir korijena manji od nule, tada je korijen sa većim modulom negativan broj);
odaberite parove cijelih brojeva čiji proizvod daje ispravnu prvu jednakost u zapisu (*);
od pronađenih parova brojeva odaberite par koji će, kada se unese u drugu jednakost u zapisu (*), dati ispravnu jednakost;
navedite u odgovoru pronađene korijene jednačine.

Navedimo još nekoliko primjera.

Primjer 2: Riješite jednačinu .

Odluka.

Neka su i korijeni date jednadžbe. Zatim, prema Vietinom teoremu, primijetite da je proizvod pozitivan, a zbroj negativan. Dakle, oba korijena su negativni brojevi. Odabiremo parove faktora koji daju proizvod 10 (-1 i -10; -2 i -5). Drugi par brojeva daje -7. Dakle, brojevi -2 i -5 su korijeni ove jednadžbe.

odgovor: -2; -5.

Primjer 3. Riješite jednačinu .

Odluka.

Neka su i korijeni date jednadžbe. Zatim, prema Vietinom teoremu, primijetite da je proizvod negativan. Dakle, korijeni su različitog predznaka. Zbir korijena je također negativan broj. Dakle, korijen s najvećim modulom je negativan. Odabiremo parove faktora koji daju proizvod -10 (1 i -10; 2 i -5). Drugi par brojeva daje -3. Dakle, brojevi 2 i -5 su korijeni ove jednadžbe.

odgovor: 2; -5.

Imajte na umu da se Vietina teorema u principu može formulirati za potpunu kvadratnu jednačinu: ako je kvadratna jednačina ima korijene i , onda oni zadovoljavaju jednakosti , . Međutim, primjena ove teoreme je prilično problematična, budući da je u punoj kvadratnoj jednadžbi barem jedan od korijena (ako ih ima, naravno) razlomak. A rad sa odabirom frakcija je dug i težak. Ali ipak postoji izlaz.

Razmotrimo kompletnu kvadratnu jednačinu . Pomnožite obje strane jednačine s prvim koeficijentom a i napišite jednačinu u formu . Uvodimo novu varijablu i dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu , čiji se korijeni i (ako ih ima) mogu pronaći pomoću Vietine teoreme. Tada će korijeni originalne jednadžbe biti . Imajte na umu da je vrlo lako napisati pomoćnu redukovanu jednačinu: drugi koeficijent je sačuvan, a treći koeficijent jednak je proizvodu as. Uz određenu vještinu, učenici odmah sastavljaju pomoćnu jednačinu, pronalaze njene korijene pomoću Vietine teoreme i ukazuju na korijene date kompletne jednačine. Navedimo primjere.

Primjer 4. Riješite jednačinu .

Napravimo pomoćnu jednačinu i Vietinom teoremom nalazimo njegove korijene. Dakle, korijeni originalne jednadžbe .

odgovor: .

Primjer 5. Riješite jednačinu .

Pomoćna jednadžba ima oblik . Prema Vietinoj teoremi, njegovi korijeni su . Pronalazimo korijene originalne jednadžbe .

odgovor: .

I još jedan slučaj kada vam primjena Vietine teoreme omogućava verbalno pronalaženje korijena potpune kvadratne jednadžbe. To je lako dokazati broj 1 je korijen jednadžbe , ako i samo ako. Drugi korijen jednadžbe nalazi se po Vietinoj teoremi i jednak je . Još jedna izjava: tako da je broj -1 korijen jednadžbe neophodno i dovoljno za. Tada je drugi korijen jednadžbe prema Vietinoj teoremi jednak . Slične izjave se mogu formulisati za redukovanu kvadratnu jednačinu.

Primjer 6. Riješite jednačinu.

Imajte na umu da je zbir koeficijenata jednačine nula. Dakle, korijeni jednadžbe .

odgovor: .

Primjer 7. Riješite jednačinu.

Koeficijenti ove jednačine zadovoljavaju svojstvo (zaista, 1-(-999)+(-1000)=0). Dakle, korijeni jednadžbe .

odgovor: ..

Primjeri za primjenu Vietine teoreme

Zadatak 1. Riješite datu kvadratnu jednačinu koristeći Vietin teorem.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

Zadatak 2. Riješite kompletnu kvadratnu jednačinu koristeći prijelaz na pomoćnu redukovanu kvadratnu jednačinu.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

Zadatak 3. Riješite kvadratnu jednačinu koristeći svojstvo.

Jedna od metoda za rješavanje kvadratne jednadžbe je aplikacija VIETA formule, koji je dobio ime po FRANCOIS VIETE.

Bio je poznati advokat, a služio je u 16. veku kod francuskog kralja. U slobodno vrijeme studirao je astronomiju i matematiku. Uspostavio je vezu između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe.

Prednosti formule:

1 . Primjenom formule možete brzo pronaći rješenje. Zato što ne morate unositi drugi koeficijent u kvadrat, zatim od njega oduzeti 4ac, pronaći diskriminanta, zamijeniti njegovu vrijednost u formulu za pronalaženje korijena.

2 . Bez rješenja možete odrediti znakove korijena, pokupiti vrijednosti korijena.

3 . Nakon što smo riješili sistem od dva zapisa, nije teško pronaći same korijene. U gornjoj kvadratnoj jednadžbi, zbir korijena je jednak vrijednosti drugog koeficijenta sa predznakom minus. Proizvod korijena u gornjoj kvadratnoj jednadžbi jednak je vrijednosti trećeg koeficijenta.

4 . Prema datim korijenima napišite kvadratnu jednačinu, odnosno riješite inverzni zadatak. Na primjer, ova metoda se koristi u rješavanju problema u teorijskoj mehanici.

5 . Pogodno je primijeniti formulu kada je vodeći koeficijent jednak jedan.

Nedostaci:

1 . Formula nije univerzalna.

Vietina teorema 8. razred

Formula
Ako su x 1 i x 2 korijeni date kvadratne jednadžbe x 2 + px + q \u003d 0, tada:

Primjeri
x 1 \u003d -1; x 2 = 3 - korijeni jednadžbe x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Inverzna teorema

Formula
Ako su brojevi x 1 , x 2 , p, q povezani uslovima:

Tada su x 1 i x 2 korijeni jednadžbe x 2 + px + q = 0.

Primjer
Napravimo kvadratnu jednačinu po korijenu:

X 1 \u003d 2 -? 3 i x 2 \u003d 2 +? 3 .

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 = (2 -? 3) (2 +? 3) = 4 - 3 = 1.

Željena jednačina ima oblik: x 2 - 4x + 1 = 0.

U ovom predavanju ćemo se upoznati sa zanimljivim odnosima između korijena kvadratne jednadžbe i njenih koeficijenata. Ove odnose je prvi otkrio francuski matematičar Francois Viet (1540-1603).

Na primjer, za jednadžbu Zx 2 - 8x - 6 \u003d 0, bez pronalaženja njenih korijena, možete, koristeći Vieta teoremu, odmah reći da je zbroj korijena , a proizvod korijena je
tj. - 2. A za jednadžbu x 2 - 6x + 8 = 0 zaključujemo: zbir korijena je 6, proizvod korijena je 8; usput, nije teško pogoditi čemu su jednaki korijeni: 4 i 2.
Dokaz Vietine teoreme. Korijeni x 1 i x 2 kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c \u003d 0 nalaze se po formulama

Gdje je D \u003d b 2 - 4ac diskriminanta jednadžbe. Postavljanje ovih korijena
dobijamo

Sada izračunavamo proizvod korijena x 1 i x 2. Imamo

Druga relacija je dokazana:
Komentar. Vietin teorem vrijedi i u slučaju kada kvadratna jednadžba ima jedan korijen (tj. kada je D = 0), samo se u ovom slučaju smatra da jednačina ima dva identična korijena, na koje se primjenjuju gornji odnosi .
Dokazani odnosi za redukovanu kvadratnu jednačinu x 2 + px + q \u003d 0 imaju posebno jednostavan oblik. U ovom slučaju dobijamo:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 = q
one. zbir korijena date kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.
Koristeći Vietinu teoremu, mogu se dobiti i drugi odnosi između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Neka su, na primjer, x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 + px + q = 0. Tada

Međutim, glavna svrha Vietine teoreme nije da ona izražava određene odnose između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Mnogo je važnija činjenica da se uz pomoć Vietinog teorema izvodi formula za faktoriranje kvadratnog trinoma, bez koje u budućnosti nećemo.

Dokaz. Imamo

Primjer 1. Faktorizirajte kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3.
Odluka. Nakon što smo riješili jednadžbu Zx 2 - 10x + 3 = 0, nalazimo korijene kvadratnog trinoma Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Koristeći teoremu 2, dobijamo

Umjesto toga ima smisla napisati Zx - 1. Tada konačno dobijamo Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Imajte na umu da se dati kvadratni trinom može rastaviti na faktore bez upotrebe teoreme 2, koristeći metodu grupisanja:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Ali, kao što vidite, kod ove metode uspjeh zavisi od toga da li možemo pronaći uspješno grupiranje ili ne, dok je kod prve metode uspjeh zagarantovan.
Primjer 1. Smanjite frakciju

Odluka. Iz jednačine 2x 2 + 5x + 2 = 0 nalazimo x 1 = - 2,

Iz jednačine x2 - 4x - 12 = 0 nalazimo x 1 = 6, x 2 = -2. dakle
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Sada smanjimo dati razlomak:

Primjer 3. Faktorizirajte izraze:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Rješenje a) Uvodimo novu varijablu y = x 2 . Ovo će nam omogućiti da dati izraz prepišemo u obliku kvadratnog trinoma u odnosu na varijablu y, naime, u obliku y 2 + bu + 6.
Nakon što smo riješili jednadžbu y 2 + bu + 6 = 0, nalazimo korijene kvadratnog trinoma y 2 + 5y + 6: y 1 = 2, y 2 = -3. Sada koristimo teoremu 2; dobijamo

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Ostaje zapamtiti da je y = x 2, tj. vratiti se na dati izraz. dakle,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Hajde da uvedemo novu varijablu y = . Ovo će vam omogućiti da prepišete dati izraz u obliku kvadratnog trinoma u odnosu na varijablu y, naime, u obliku 2y 2 + y - 3. Nakon što ste riješili jednačinu
2y 2 + y - 3 \u003d 0, nalazimo korijene kvadratnog trinoma 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Dalje, koristeći teoremu 2, dobijamo:

Ostaje zapamtiti da se y \u003d, tj. vratiti na dati izraz. dakle,

Odjeljak završava nekim razmatranjima, opet povezanim s Vietinom teoremom, ili bolje rečeno, s obrnutom tvrdnjom:
ako su brojevi x 1, x 2 takvi da je x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, onda su ovi brojevi korijeni jednadžbe
Koristeći ovu izjavu, možete riješiti mnoge kvadratne jednadžbe usmeno, bez korištenja glomaznih korijenskih formula, a također možete sastaviti kvadratne jednadžbe sa datim korijenima. Navedimo primjere.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Ovdje je x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Lako je pogoditi da je x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Ovdje je x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Lako je pogoditi da je x 1 = -5, x 2 = -6.
Imajte na umu: ako je slobodni član jednadžbe pozitivan broj, tada su oba korijena ili pozitivna ili negativna; ovo je važno uzeti u obzir pri odabiru korijena.

3) x 2 + x - 12 = 0. Ovdje x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Lako je pogoditi da je x 1 = 3, x2 \u003d -4.
Imajte na umu: ako je slobodni član jednadžbe negativan broj, tada su korijeni različiti u predznaku; ovo je važno uzeti u obzir pri odabiru korijena.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Lako je vidjeti da x = 1 zadovoljava jednačinu, tj. x 1 \u003d 1 - korijen jednadžbe. Budući da je x 1 x 2 = - i x 1 = 1, dobijamo da je x 2 = -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Ovdje je x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Ako obratite pažnju na činjenicu da je 2830 = 283. 10, i 293 = 283 + 10, tada postaje jasno da je x 1 = 283, x 2 = 10 (sada zamislite koji bi se proračuni morali izvršiti za rješavanje ove kvadratne jednadžbe pomoću standardnih formula).

6) Sastavimo kvadratnu jednadžbu tako da joj korijeni služe brojevi x 1 = 8, x 2 = 4. Obično u takvim slučajevima oni čine redukovanu kvadratnu jednačinu x 2 + px + q = 0.
Imamo x 1 + x 2 = -p, dakle 8 - 4 = -p, odnosno p = -4. Dalje, x 1 x 2 = q, tj. 8"(-4) = q, odakle dobijamo q = -32. Dakle, p = -4, q = -32, što znači da željena kvadratna jednadžba ima oblik x 2 -4x-32 \u003d 0.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.