Vietin teorem za kvadratne i druge jednadžbe. Vietin teorem. Primjeri korištenja Riješite kvadratne jednadžbe vieta formule
Jedna od metoda za rješavanje kvadratne jednadžbe je aplikacija VIETA formule, koji je dobio ime po FRANCOIS VIETE.
Bio je poznati advokat, a služio je u 16. veku kod francuskog kralja. U slobodno vrijeme studirao je astronomiju i matematiku. Uspostavio je vezu između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe.
Prednosti formule:
1 . Primjenom formule možete brzo pronaći rješenje. Zato što ne morate unositi drugi koeficijent u kvadrat, zatim od njega oduzeti 4ac, pronaći diskriminanta, zamijeniti njegovu vrijednost u formulu za pronalaženje korijena.
2 . Bez rješenja možete odrediti znakove korijena, pokupiti vrijednosti korijena.
3 . Nakon što smo riješili sistem od dva zapisa, nije teško pronaći same korijene. U gornjoj kvadratnoj jednadžbi, zbir korijena je jednak vrijednosti drugog koeficijenta sa predznakom minus. Proizvod korijena u gornjoj kvadratnoj jednadžbi jednak je vrijednosti trećeg koeficijenta.
4 . Prema datim korijenima napišite kvadratnu jednačinu, odnosno riješite inverzni zadatak. Na primjer, ova metoda se koristi u rješavanju problema u teorijskoj mehanici.
5 . Pogodno je primijeniti formulu kada je vodeći koeficijent jednak jedan.
Nedostaci:
1
. Formula nije univerzalna.
Vietina teorema 8. razred
Formula
Ako su x 1 i x 2 korijeni date kvadratne jednadžbe x 2 + px + q \u003d 0, tada:
Primjeri
x 1 \u003d -1; x 2 = 3 - korijeni jednadžbe x 2 - 2x - 3 \u003d 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Inverzna teorema
Formula
Ako su brojevi x 1 , x 2 , p, q povezani uslovima:
Tada su x 1 i x 2 korijeni jednadžbe x 2 + px + q = 0.
Primjer
Napravimo kvadratnu jednačinu po korijenu:
X 1 \u003d 2 -? 3 i x 2 \u003d 2 +? 3 .
P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 = (2 -? 3) (2 +? 3) = 4 - 3 = 1.
Željena jednačina ima oblik: x 2 - 4x + 1 = 0.
Formulacija i dokaz Vietine teoreme za kvadratne jednadžbe. Inverzna Vieta teorema. Vietin teorem za kubične jednačine i jednačine proizvoljnog reda.
SadržajVidi također: Korijeni kvadratne jednadžbe
Kvadratne jednadžbe
Vietin teorem
Neka i označimo korijene redukovane kvadratne jednadžbe
(1)
.
Tada je zbir korijena jednak koeficijentu na uzetom sa suprotnim predznakom. Umnožak korijena jednak je slobodnom članu:
;
.
Napomena o više korijena
Ako je diskriminanta jednadžbe (1) nula, onda ova jednačina ima jedan korijen. Ali, kako bi se izbjegle glomazne formulacije, općenito je prihvaćeno da u ovom slučaju jednačina (1) ima dva višestruka ili jednaka korijena:
.
Dokaz jedan
Nađimo korijene jednačine (1). Da biste to učinili, primijenite formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
;
;
.
Pronalaženje zbira korijena:
.
Da bismo pronašli proizvod, primjenjujemo formulu:
.
Onda
.
Teorema je dokazana.
Dokaz dva
Ako su brojevi i korijeni kvadratne jednadžbe (1), onda
.
Otvaramo zagrade.
.
Dakle, jednačina (1) će poprimiti oblik:
.
Upoređujući sa (1) nalazimo:
;
.
Teorema je dokazana.
Inverzna Vieta teorema
Neka postoje proizvoljni brojevi. Tada su i korijeni kvadratne jednadžbe
,
gdje
(2)
;
(3)
.
Dokaz Vietine obrnute teoreme
Razmotrimo kvadratnu jednačinu
(1)
.
Moramo dokazati da ako i , tada su i korijeni jednadžbe (1).
Zamijenite (2) i (3) u (1):
.
Grupiramo članove lijeve strane jednačine:
;
;
(4)
.
Zamjena u (4) :
;
.
Zamjena u (4) :
;
.
Jednačina je ispunjena. To jest, broj je korijen jednačine (1).
Teorema je dokazana.
Vietin teorem za kompletnu kvadratnu jednačinu
Sada razmotrite kompletnu kvadratnu jednačinu
(5)
,
gdje , i su neki brojevi. i .
Jednačinu (5) dijelimo sa:
.
To jest, dobili smo gornju jednačinu
,
gdje ; .
Tada Vieta teorema za kompletnu kvadratnu jednačinu ima sljedeći oblik.
Neka i označimo korijene kompletne kvadratne jednadžbe
.
Tada se zbir i proizvod korijena određuju formulama:
;
.
Vietin teorem za kubnu jednačinu
Slično, možemo uspostaviti veze između korijena kubne jednadžbe. Razmotrimo kubnu jednačinu
(6)
,
gdje su , , , neki brojevi. i .
Podijelimo ovu jednačinu sa:
(7)
,
gdje , , .
Neka su , , korijeni jednadžbe (7) (i jednačine (6)). Onda
.
Upoređujući sa jednačinom (7) nalazimo:
;
;
.
Vietin teorem za jednačinu n-og stepena
Na isti način možete pronaći veze između korijena , , ... , , za jednadžbu n-tog stepena
.
Vietin teorem za jednačinu n-tog stepena ima sljedeći oblik:
;
;
;
.
Da bismo dobili ove formule, zapisujemo jednačinu u sljedećem obliku:
.
Zatim izjednačavamo koeficijente na , , , ... , i poredimo slobodni član.
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov i dr., Algebra: udžbenik za 8. razred obrazovnih ustanova, Moskva, Prosveta, 2006.
U ovom predavanju ćemo se upoznati sa zanimljivim odnosima između korijena kvadratne jednadžbe i njenih koeficijenata. Ove odnose je prvi otkrio francuski matematičar Francois Viet (1540-1603).
Na primjer, za jednadžbu Zx 2 - 8x - 6 \u003d 0, bez pronalaženja njenih korijena, možete, koristeći Vieta teoremu, odmah reći da je zbroj korijena , a proizvod korijena je
tj. - 2. A za jednadžbu x 2 - 6x + 8 = 0 zaključujemo: zbir korijena je 6, proizvod korijena je 8; usput, nije teško pogoditi čemu su jednaki korijeni: 4 i 2.
Dokaz Vietine teoreme. Korijeni x 1 i x 2 kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c \u003d 0 nalaze se po formulama
Gdje je D \u003d b 2 - 4ac diskriminanta jednadžbe. Postavljanje ovih korijena
dobijamo
Sada izračunavamo proizvod korijena x 1 i x 2. Imamo
Druga relacija je dokazana:
Komentar.
Vietin teorem vrijedi i u slučaju kada kvadratna jednadžba ima jedan korijen (tj. kada je D = 0), samo se u ovom slučaju smatra da jednačina ima dva identična korijena, na koje se primjenjuju gornji odnosi .
Dokazani odnosi za redukovanu kvadratnu jednačinu x 2 + px + q \u003d 0 imaju posebno jednostavan oblik. U ovom slučaju dobijamo:
x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 = q
one. zbir korijena date kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.
Koristeći Vietinu teoremu, mogu se dobiti i drugi odnosi između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Neka su, na primjer, x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 + px + q = 0. Tada
Međutim, glavna svrha Vietine teoreme nije da ona izražava određene odnose između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Mnogo je važnija činjenica da se uz pomoć Vietinog teorema izvodi formula za faktoriranje kvadratnog trinoma, bez koje u budućnosti nećemo.
Dokaz. Imamo
Primjer 1. Faktorizirajte kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3.
Odluka. Nakon što smo riješili jednadžbu Zx 2 - 10x + 3 = 0, nalazimo korijene kvadratnog trinoma Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Koristeći teoremu 2, dobijamo
Umjesto toga ima smisla napisati Zx - 1. Tada konačno dobijamo Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Imajte na umu da se dati kvadratni trinom može rastaviti na faktore bez upotrebe teoreme 2, koristeći metodu grupisanja:
Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).
Ali, kao što vidite, kod ove metode uspjeh zavisi od toga da li možemo pronaći uspješno grupiranje ili ne, dok je kod prve metode uspjeh zagarantovan.
Primjer 1. Smanjite frakciju
Odluka. Iz jednačine 2x 2 + 5x + 2 = 0 nalazimo x 1 = - 2,
Iz jednačine x2 - 4x - 12 = 0 nalazimo x 1 = 6, x 2 = -2. dakle
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Sada smanjimo dati razlomak:
Primjer 3. Faktorizirajte izraze:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Rješenje a) Uvodimo novu varijablu y = x 2 . Ovo će nam omogućiti da dati izraz prepišemo u obliku kvadratnog trinoma u odnosu na varijablu y, naime, u obliku y 2 + bu + 6.
Nakon što smo riješili jednadžbu y 2 + bu + 6 = 0, nalazimo korijene kvadratnog trinoma y 2 + 5y + 6: y 1 = 2, y 2 = -3. Sada koristimo teoremu 2; dobijamo
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Ostaje zapamtiti da je y = x 2, tj. vratiti se na dati izraz. dakle,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Hajde da uvedemo novu varijablu y = . Ovo će vam omogućiti da prepišete dati izraz u obliku kvadratnog trinoma u odnosu na varijablu y, naime, u obliku 2y 2 + y - 3. Nakon što ste riješili jednačinu
2y 2 + y - 3 \u003d 0, nalazimo korijene kvadratnog trinoma 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Dalje, koristeći teoremu 2, dobijamo:
Ostaje zapamtiti da se y \u003d, tj. vratiti na dati izraz. dakle,
Odjeljak završava nekim razmatranjima, opet povezanim s Vietinom teoremom, ili bolje rečeno, s obrnutom tvrdnjom:
ako su brojevi x 1, x 2 takvi da je x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, onda su ovi brojevi korijeni jednadžbe
Koristeći ovu izjavu, možete riješiti mnoge kvadratne jednadžbe usmeno, bez korištenja glomaznih korijenskih formula, a također možete sastaviti kvadratne jednadžbe s datim korijenima. Navedimo primjere.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Ovdje je x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Lako je pogoditi da je x 1 = 8, x 2 = 3.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Ovdje je x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Lako je pogoditi da je x 1 = -5, x 2 = -6.
Imajte na umu: ako je slobodni član jednadžbe pozitivan broj, tada su oba korijena ili pozitivna ili negativna; ovo je važno uzeti u obzir pri odabiru korijena.
3) x 2 + x - 12 = 0. Ovdje x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Lako je pogoditi da je x 1 = 3, x2 \u003d -4.
Imajte na umu: ako je slobodni član jednadžbe negativan broj, tada su korijeni različiti u predznaku; ovo je važno uzeti u obzir pri odabiru korijena.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Lako je vidjeti da x = 1 zadovoljava jednačinu, tj. x 1 \u003d 1 - korijen jednadžbe. Budući da je x 1 x 2 = - i x 1 = 1, dobijamo da je x 2 = -.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Ovdje je x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Ako obratite pažnju na činjenicu da je 2830 = 283. 10, i 293 = 283 + 10, tada postaje jasno da je x 1 = 283, x 2 = 10 (sada zamislite koji bi se proračuni morali izvršiti za rješavanje ove kvadratne jednadžbe pomoću standardnih formula).
6) Sastavimo kvadratnu jednadžbu tako da joj korijeni služe brojevi x 1 = 8, x 2 = 4. Obično u takvim slučajevima oni čine redukovanu kvadratnu jednačinu x 2 + px + q = 0.
Imamo x 1 + x 2 = -p, dakle 8 - 4 = -p, odnosno p = -4. Dalje, x 1 x 2 = q, tj. 8"(-4) = q, odakle dobijamo q = -32. Dakle, p = -4, q = -32, što znači da željena kvadratna jednadžba ima oblik x 2 -4x-32 \u003d 0.
Prvo, formulirajmo samu teoremu: Recimo da imamo redukovanu kvadratnu jednačinu oblika x^2+b*x + c = 0. Recimo da ova jednačina sadrži korijene x1 i x2. Tada su, prema teoremi, sljedeće tvrdnje prihvatljive:
1) Zbir korijena x1 i x2 će biti jednak negativnoj vrijednosti koeficijenta b.
2) Proizvod ovih korijena će nam dati koeficijent c.
Ali šta je gornja jednačina?
Redukovana kvadratna jednačina je kvadratna jednačina, koeficijent najvišeg stepena, koji je jednak jedinici, tj. ovo je jednačina oblika x^2 + b*x + c = 0. (a jednačina a*x^2 + b*x + c = 0 nije redukovana). Drugim rečima, da bismo sveli jednačinu na redukovani oblik, moramo ovu jednačinu podeliti sa koeficijentom na najvišem stepenu (a). Zadatak je dovesti ovu jednačinu u redukovani oblik:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
Podijelimo svaku jednačinu sa koeficijentom najvišeg stepena, dobićemo:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3,5*x - 5,5 = 0.
Kao što se može vidjeti iz primjera, čak i jednadžbe koje sadrže razlomke mogu se svesti na reducirani oblik.
Korištenje Vietine teoreme
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
dobijamo korijene: x1 = 2; x2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;
kao rezultat, dobijamo korijene: x1 = -2; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;
dobijamo korijene: x1 = −1; x2 = −4.
Značaj Vietine teoreme
Vietin teorem nam omogućava da bilo koju datu kvadratnu jednačinu riješimo za skoro nekoliko sekundi. Na prvi pogled ovo izgleda kao prilično težak zadatak, ali nakon 5 10 jednadžbi možete odmah naučiti vidjeti korijene.
Iz gornjih primjera, i korištenjem teoreme, možete vidjeti kako možete značajno pojednostaviti rješavanje kvadratnih jednadžbi, jer pomoću ove teoreme možete riješiti kvadratnu jednačinu sa malo ili nimalo kompliciranih proračuna i izračunavanjem diskriminanta, a kao što znate , što je manje proračuna, teže je pogriješiti, što je važno.
U svim primjerima koristili smo ovo pravilo zasnovano na dvije važne pretpostavke:
Gornja jednačina, tj. koeficijent na najvišem stepenu jednak je jedan (ovaj uslov je lako izbeći. Možete koristiti neredukovani oblik jednačine, tada će sledeće izjave x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a biti važi, ali obično je teže rešiti :))
Kada će jednadžba imati dva različita korijena. Pretpostavljamo da je nejednakost tačna i da je diskriminanta striktno veća od nule.
Stoga možemo sastaviti opći algoritam rješenja koristeći Vietin teorem.
Opći algoritam rješenja po Vietinoj teoremi
Kvadratnu jednačinu dovodimo u reduciran oblik ako nam je jednačina data u nereduciranom obliku. Kada se koeficijenti u kvadratnoj jednadžbi, koju smo prethodno predstavili kao redukovane, ispostavi da su razlomci (ne decimalni), onda u ovom slučaju našu jednačinu treba riješiti preko diskriminanta.
Postoje i slučajevi u kojima nam vraćanje na prvobitnu jednačinu omogućava rad sa "prikladnim" brojevima.
Kada proučavate načine rješavanja jednačina drugog reda u školskom kursu algebre, razmotrite svojstva dobivenih korijena. One su sada poznate kao Vietine teoreme. Primjeri njegove upotrebe dati su u ovom članku.
Kvadratna jednadžba
Jednačina drugog reda je jednakost, koja je prikazana na slici ispod.
Ovdje su simboli a, b, c neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti jednačine koja se razmatra. Da biste riješili jednakost, morate pronaći x vrijednosti koje je čine istinitom.
Imajte na umu da je maksimalna vrijednost stepena na koji je x podignuta dva, tada je broj korijena u općem slučaju također dva.
Postoji nekoliko načina za rješavanje ove vrste jednakosti. U ovom članku ćemo razmotriti jedan od njih, koji uključuje korištenje takozvane Vietine teoreme.
Izjava Vietine teoreme
Krajem 16. vijeka, poznati matematičar Francois Viet (Francuz) primijetio je, analizirajući svojstva korijena različitih kvadratnih jednačina, da određene njihove kombinacije zadovoljavaju specifične odnose. Konkretno, ove kombinacije su njihov proizvod i zbir.
Vietin teorem utvrđuje sljedeće: korijeni kvadratne jednadžbe, kada se zbroje, daju omjer linearnih i kvadratnih koeficijenata uzetih sa suprotnim predznakom, a kada se pomnože, dovode do omjera slobodnog člana i kvadratnog koeficijenta .
Ako je opći oblik jednadžbe napisan kao što je prikazano na fotografiji u prethodnom dijelu članka, onda se matematički ova teorema može napisati kao dvije jednakosti:
- r 2 + r 1 \u003d -b / a;
- r 1 x r 2 \u003d c / a.
Gdje je r 1 , r 2 vrijednost korijena razmatrane jednačine.
Ove dvije jednakosti se mogu koristiti za rješavanje niza vrlo različitih matematičkih problema. Upotreba Vietine teoreme u primjerima s rješenjem data je u sljedećim odjeljcima članka.
