Jednakostranični trougao je paralelogram. Teoreme paralelograma. Dijagonale prepolovljene

Kao iu euklidskoj geometriji, tačka i prava linija su glavni elementi teorije ravni, pa je paralelogram jedna od ključnih figura konveksnih četvorouglova. Iz njega, poput niti iz lopte, teku koncepti "pravougaonika", "kvadrata", "romba" i drugih geometrijskih veličina.

U kontaktu sa

Definicija paralelograma

konveksan četvorougao, koji se sastoji od segmenata, od kojih je svaki par paralelan, poznat je u geometriji kao paralelogram.

Kako izgleda klasični paralelogram je četverougao ABCD. Stranice se nazivaju osnovice (AB, BC, CD i AD), okomice povučene iz bilo kojeg vrha na suprotnu stranu ovog vrha nazivaju se visinom (BE i BF), prave AC i BD su dijagonale.

Pažnja! Kvadrat, romb i pravougaonik su posebni slučajevi paralelograma.

Stranice i uglovi: karakteristike omjera

Ključna svojstva, uglavnom, unaprijed određeno samom oznakom, oni su dokazani teoremom. Ove karakteristike su sljedeće:

1. Strane koje su suprotne su identične u paru.
2. Uglovi koji su suprotni jedan drugom jednaki su u parovima.

Dokaz: razmotrite ∆ABC i ∆ADC, koji se dobijaju dijeljenjem četverougla ABCD pravom AC. ∠BCA=∠CAD i ∠BAC=∠ACD, pošto im je AC zajednički (vertikalni uglovi za BC||AD i AB||CD, respektivno). Iz ovoga slijedi: ∆ABC = ∆ADC (drugi kriterij jednakosti trouglova).

Segmenti AB i BC u ∆ABC odgovaraju u parovima linijama CD i AD u ∆ADC, što znači da su identični: AB = CD, BC = AD. Dakle, ∠B odgovara ∠D i oni su jednaki. Pošto su ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, koji su takođe identični u parovima, onda je ∠A = ∠C. Imovina je dokazana.

Karakteristike dijagonala figure

Glavna karakteristika ove paralelogramske prave: tačka preseka ih deli na pola.

Dokaz: neka je m. E presjek dijagonala AC i BD figure ABCD. Oni formiraju dva srazmerna trougla - ∆ABE i ∆CDE.

AB=CD jer su suprotne. Prema linijama i sekantima, ∠ABE = ∠CDE i ∠BAE = ∠DCE.

Prema drugom znaku jednakosti, ∆ABE = ∆CDE. To znači da su elementi ∆ABE i ∆CDE: AE = CE, BE = DE i, štaviše, oni su srazmjerni dijelovi AC i BD. Imovina je dokazana.

Karakteristike susjednih uglova

Na susjednim stranama zbir uglova je 180°, budući da leže na istoj strani paralelnih pravih i sekanse. Za četvorougao ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Svojstva simetrale:

1. , spušteni na jednu stranu, su okomiti;
2. suprotni vrhovi imaju paralelne simetrale;
3. trokut dobijen povlačenjem simetrale bit će jednakokračan.

Određivanje karakteristika paralelograma teoremom

Karakteristike ove figure proizlaze iz njene glavne teoreme, koja glasi: četvorougao se smatra paralelogramom u slučaju da se njegove dijagonale sijeku, a ova tačka ih dijeli na jednake segmente.

Dokaz: Neka se prave AC i BD četverougla ABCD sijeku u t. E. Kako je ∠AED = ∠BEC, a AE+CE=AC BE+DE=BD, onda je ∆AED = ∆BEC (prema prvom znaku jednakosti trouglova). To jest, ∠EAD = ∠ECB. Oni su takođe unutrašnji uglovi ukrštanja sekante AC za prave AD i BC. Dakle, po definiciji paralelizma - AD || BC. Slično svojstvo pravih BC i CD je također izvedeno. Teorema je dokazana.

Izračunavanje površine figure

Područje ove figure nalazi na nekoliko načina jedan od najjednostavnijih: množenje visine i osnove na koju je nacrtana.

Dokaz: Nacrtajte okomite BE i CF iz vrhova B i C. ∆ABE i ∆DCF su jednaki jer su AB = CD i BE = CF. ABCD je jednak pravougaoniku EBCF, jer se i oni sastoje od proporcionalnih figura: S ABE i S EBCD, kao i S DCF i S EBCD. Iz toga slijedi da je površina ove geometrijske figure ista kao i pravokutnika:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Da bismo odredili opću formulu za površinu paralelograma, označavamo visinu kao hb, i sa strane b. odnosno:

Drugi načini za pronalaženje područja

Proračuni površine kroz stranice paralelograma i ugla, koji oni formiraju, je druga poznata metoda.

,

Spr-ma - područje;

a i b su njegove stranice

α - ugao između segmenata a i b.

Ova metoda je praktično zasnovana na prvoj, ali u slučaju da je nepoznata. uvijek odsijeca pravougaoni trougao čiji se parametri nalaze trigonometrijskim identitetima, tj. Transformirajući omjer, dobijamo . U jednadžbi prve metode zamjenjujemo visinu ovim proizvodom i dobivamo dokaz valjanosti ove formule.

Kroz dijagonale paralelograma i ugla, koje stvaraju kada se ukrštaju, također možete pronaći područje.

Dokaz: AC i BD koji se seku formiraju četiri trougla: ABE, BEC, CDE i AED. Njihov zbir je jednak površini ovog četvorougla.

Površina svakog od ovih ∆ može se naći iz izraza , gdje je a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Budući da se u proračunima koristi jedna vrijednost sinusa. To je . Budući da AE+CE=AC= d 1 i BE+DE=BD= d 2 , formula površine se svodi na:

.

Primjena u vektorskoj algebri

Karakteristike sastavnih delova ovog četvorougla našle su primenu u vektorskoj algebri, i to: sabiranje dva vektora. Pravilo paralelograma to kaže ako su dati vektoriinesu kolinearni, onda će njihov zbir biti jednak dijagonali ove figure, čije baze odgovaraju ovim vektorima.

Dokaz: sa proizvoljno izabranog početka - tj. - gradimo vektore i . Zatim gradimo paralelogram OASV, gdje su segmenti OA i OB stranice. Dakle, OS leži na vektoru ili zbiru.

Formule za izračunavanje parametara paralelograma

Identiteti se daju pod sledećim uslovima:

1. a i b, α - stranice i ugao između njih;
2. d 1 i d 2 , γ - dijagonale i u tački njihovog preseka;
3. h a i h b - visine spuštene na strane a i b;

Parametar	Formula
Pronalaženje strana
duž dijagonala i kosinusa ugla između njih
dijagonalno i bočno
kroz visinu i suprotni vrh
Pronalaženje dužine dijagonala
na stranama i veličini vrha između njih
duž stranica i jedne od dijagonala	 Zaključak Paralelogram, kao jedna od ključnih figura geometrije, koristi se u životu, na primjer, u građevinarstvu kada se izračunava površina lokacije ili druga mjerenja. Stoga znanje o karakterističnim karakteristikama i metodama za izračunavanje njegovih različitih parametara može biti korisno u bilo kojem trenutku u životu.

Tema lekcije

• Svojstva dijagonala paralelograma.

Ciljevi lekcije

• Upoznajte se s novim definicijama i prisjetite se nekih već proučenih.
• Formulirajte i dokažite svojstvo dijagonala paralelograma.
• Naučite primijeniti svojstva oblika u rješavanju problema.
• Razvijanje – razvijati pažnju učenika, upornost, upornost, logičko mišljenje, matematički govor.
• Obrazovni - kroz lekciju, njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, uzajamne pomoći, nezavisnosti.

Ciljevi lekcije

• Provjerite sposobnost učenika da rješavaju probleme.

Plan lekcije

1. Uvodni govor.
2. Ponavljanje prethodno naučenog gradiva.
3. Paralelogram, njegova svojstva i znaci.
4. Primjeri zadataka.
5. Samoprovjera.

Uvod

“Veliko naučno otkriće pruža rješenje za veliki problem, ali u rješenju svakog problema postoji zrno otkrića.”

Svojstva suprotnih strana paralelograma

Paralelogram ima jednake suprotne strane.

Dokaz.

Neka je ABCD dati paralelogram. I neka se njegove dijagonale sijeku u tački O.
Pošto je Δ AOB = Δ COD po prvom znaku jednakosti trouglova (∠ AOB = ∠ COD, kao vertikalni, AO=OC, DO=OB, po svojstvu dijagonala paralelograma), onda je AB=CD. Slično, iz jednakosti trouglova BOC i DOA, slijedi da je BC=DA. Teorema je dokazana.

Svojstvo suprotnih uglova paralelograma

Paralelogram ima suprotne uglove.

Dokaz.

Neka je ABCD dati paralelogram. I neka se njegove dijagonale sijeku u tački O.
Iz svojstava suprotnih strana paralelograma dokazanog u teoremi o Δ ABC = Δ CDA na tri strane (AB=CD, BC=DA iz dokazanog, AC je općenito). Iz jednakosti trouglova slijedi da je ∠ABC = ∠CDA.
Također je dokazano da je ∠ DAB = ∠ BCD, što slijedi iz ∠ ABD = ∠ CDB. Teorema je dokazana.

Svojstvo dijagonala paralelograma

Dijagonale paralelograma se sijeku, a presječna tačka je prepolovljena.

Dokaz.

Neka je ABCD dati paralelogram. Nacrtajmo dijagonalu AC. Na njemu označavamo sredinu O. Na nastavku segmenta DO odvajamo segment OB 1 jednak DO.
Prema prethodnoj teoremi, AB 1 CD je paralelogram. Dakle, prava AB 1 je paralelna sa DC. Ali kroz tačku A može se povući samo jedna prava paralelna sa DC. Dakle, prava AB 1 poklapa se sa pravom AB.
Također je dokazano da se BC 1 poklapa sa BC. Dakle, tačka C se poklapa sa C 1 . paralelogram ABCD se poklapa sa paralelogramom AB 1 CD. Dakle, dijagonale paralelograma se sijeku, a presječna tačka je prepolovljena. Teorema je dokazana.

U udžbenicima za obične škole (na primjer, u Pogorelovu), dokazuje se na sljedeći način: dijagonale dijele paralelogram na 4 trougla. Razmotrite jedan par i saznajte - oni su jednaki: njihove baze su suprotne strane, odgovarajući uglovi uz njega jednaki su kao vertikalni sa paralelnim linijama. To jest, segmenti dijagonala su u paru jednaki. Sve.

Da li je to sve?
Gore je dokazano da tačka preseka deli dijagonale - ako postoji. Gore navedeno rezonovanje ni na koji način ne dokazuje njegovo postojanje. Odnosno, dio teoreme "paralelogramske dijagonale se sijeku" ostaje nedokazan.

Smiješno je kako je ovaj dio mnogo teže dokazati. Usput, ovo slijedi iz općenitijeg rezultata: za bilo koji konveksni četverokut, dijagonale će se sijeći, za bilo koji nekonveksni neće.

O jednakosti trokuta duž stranice i dva ugla uz nju (drugi znak jednakosti trokuta) i dr.

Teorema o jednakosti dva trokuta duž stranice i dva ugla uz nju, Tales je našao važnu praktičnu primjenu. U luci Mileta izgrađen je daljinomjer koji određuje udaljenost do broda na moru. Sastojao se od tri zabijena klina A, B i C (AB = BC) i označene prave linije SK, okomite na CA. Kada se brod pojavio na pravoj liniji SC, pronađena je tačka D takva da su tačke D, .B i E bile na istoj pravoj liniji. Kao što je jasno iz crteža, udaljenost CD na tlu je željena udaljenost do broda.

Pitanja

1. Jesu li dijagonale kvadrata podijeljene presječnom točkom?
   
2. Jesu li dijagonale paralelograma jednake?
3. Da li su suprotni uglovi paralelograma jednaki?
4. Koja je definicija paralelograma?
5. Koliko karakteristika ima paralelogram?
   
6. Može li romb biti paralelogram?
   

Spisak korištenih izvora

1. Kuznjecov A. V., nastavnik matematike (5-9 razredi), Kijev
2. “Jedinstveni državni ispit 2006. Matematika. Obrazovni i trenažni materijali za pripremu studenata / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellekt-Centar, 2006.
3. Mazur K. I. "Rješavanje glavnih takmičarskih problema iz matematike zbirke koju je uredio M. I. Scanavi"
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometrija, 7 - 9: udžbenik za obrazovne ustanove"

Rad na lekciji

Kuznjecov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeny Petrov

Možete postaviti pitanje o modernom obrazovanju, izraziti ideju ili riješiti hitan problem na Obrazovni forum gdje se na međunarodnom nivou sastaje obrazovno vijeće svježe misli i djelovanja. Nakon što je stvorio blog, Ne samo da ćete poboljšati svoj status kompetentnog nastavnika, već ćete dati značajan doprinos razvoju škole budućnosti. Udruženje vođa obrazovanja otvara vrata vrhunskim stručnjacima i poziva vas na saradnju u pravcu stvaranja najboljih škola na svijetu.

Predmeti > Matematika > Matematika 8. razred

Dokaz

Prvo nacrtajmo dijagonalu AC. Dobijaju se dva trougla: ABC i ADC.

Kako je ABCD paralelogram, vrijedi sljedeće:

AD || BC \Strelica udesno \ugao 1 = \ugao 2 kao ležanje popreko.

AB || CD \Strelica desno \ugao3 = \ugao 4 kao ležanje popreko.

Dakle, \trougao ABC = \trougao ADC (po drugoj osobini: i AC je uobičajen).

I, prema tome, \trougao ABC = \trokut ADC, zatim AB = CD i AD = BC.

Dokazan!

2. Suprotni uglovi su identični.

Dokaz

Prema dokazu svojstva 1 Znamo to \ugao 1 = \ugao 2, \ugao 3 = \ugao 4. Dakle, zbir suprotnih uglova je: \ugao 1 + \ugao 3 = \ugao 2 + \ugao 4. S obzirom da je \trougao ABC = \trougao ADC dobijamo \ugao A = \ugao C , \ugao B = \ugao D .

Dokazan!

3. Dijagonale su prepolovljene točkom presjeka.

Dokaz

Nacrtajmo još jednu dijagonalu.

By imovina 1 znamo da su suprotne strane identične: AB = CD . Još jednom bilježimo jednake uglove koji leže poprečno.

Dakle, po drugom znaku jednakosti trokuta (dva ugla i stranica između njih) može se vidjeti da je \trokut AOB = \trokut COD). To jest, BO = OD (suprotno \ugao 2 i \ugao 1 ) i AO = OC (nasuprot \ugao 3 i \ugao 4).

Dokazan!

Karakteristike paralelograma

Ako je u vašem problemu prisutan samo jedan znak, onda je figura paralelogram i možete koristiti sva svojstva ove figure.

Za bolje pamćenje, imajte na umu da će znak paralelograma odgovoriti na sljedeće pitanje − "kako saznati?". Odnosno, kako saznati da je data figura paralelogram.

1. Paralelogram je četverougao čije su dvije stranice jednake i paralelne.

AB=CD; AB || CD \Rightarrow ABCD je paralelogram.

Dokaz

Razmotrimo detaljnije. Zašto AD || BC?

\trougao ABC = \trougao ADC po imovina 1: AB = CD , AC je zajednički i \ugao 1 = \ugao 2 kao poprečno sa AB i CD paralelno i sekantno AC .

Ali ako je \trougao ABC = \trougao ADC, onda je \ugao 3 = \ugao 4 (leže nasuprot AB i CD). I stoga AD || BC (\ugao 3 i \ugao 4 - ležeći poprečno su takođe jednaki).

Prvi znak je tačan.

2. Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane jednake.

AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD je paralelogram.

Dokaz

Hajde da razmotrimo ovu osobinu. Ponovo nacrtajmo dijagonalu AC.

By imovina 1\trougao ABC = \trougao ACD .

Iz toga slijedi da: \ugao 1 = \ugao 2 \desno AD || BC i \ugao 3 = \ugao 4 \desno AB || CD, odnosno ABCD je paralelogram.

Drugi znak je tačan.

3. Paralelogram je četverougao čiji su suprotni uglovi jednaki.

\ugao A = \ugao C , \ugao B = \ugao D \Strelica desno ABCD- paralelogram.

Dokaz

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(jer je ABCD četverougao, a \ugao A = \ugao C , \ugao B = \ugao D po konvenciji).

Dakle, \alpha + \beta = 180^(\circ) . Ali \alpha i \beta su unutrašnje jednostrane na sekanti AB.

A činjenica da je \alpha + \beta = 180^(\circ) također znači da je AD || BC.

Istovremeno, \alpha i \beta su unutrašnje jednostrane sa sekantom AD . A to znači AB || CD.

Treći znak je tačan.

4. Paralelogram je četvorougao čije su dijagonale presečene tačkom preseka.

AO=OC; BO = OD \ Desni strelast paralelogram.

Dokaz

BO=OD; AO = OC , \ugao 1 = \ugao 2 kao okomito \Rightarrow \trokut AOB = \trokut COD, \Strelica udesno \ugao 3 = \ugao 4, i \Rightarrow AB || CD.

Slično BO = OD; AO=OC, \ugao 5 = \ugao 6 \Strelica desno \trokut AOD = \trokut BOC \Strelica desno \ugao 7 = \ugao 8, i \Rightarrow AD || BC.

Četvrti znak je tačan.

Paralelogram je četvorougao čije su suprotne strane u parovima paralelne (sl. 233).

Proizvoljni paralelogram ima sljedeća svojstva:

1. Suprotne strane paralelograma su jednake.

Dokaz. Nacrtaj dijagonalu AC u paralelogramu ABCD. Trokuti ACD i AC B jednaki su kao da imaju zajedničku stranicu AC i dva para jednakih uglova koja su susjedna s njom:

(kao poprečni uglovi sa paralelnim linijama AD i BC). Dakle, i kao stranice jednakih trouglova koji leže nasuprot jednakih uglova, što je trebalo dokazati.

2. Suprotni uglovi paralelograma su:

3. Susedni uglovi paralelograma, odnosno uglovi susedni jednoj strani, sabiraju se itd.

Dokaz svojstava 2 i 3 odmah slijedi iz svojstava uglova kod paralelnih pravih.

4. Dijagonale paralelograma dijele jedna drugu popola u tački njihovog sjecišta. Drugim riječima,

Dokaz. Trouglovi AOD i BOC su jednaki, jer su im stranice AD ​​i BC jednake (svojstvo 1) i uglovi koji su im susedni (kao unakrsno ležeći uglovi sa paralelnim linijama). To implicira jednakost odgovarajućih stranica ovih trouglova: AO što je trebalo dokazati.

Svako od ova četiri svojstva karakterizira paralelogram, ili je, kako kažu, njegovo karakteristično svojstvo, tj. svaki četverokut koji ima barem jedno od ovih svojstava je paralelogram (i stoga ima sva ostala tri svojstva).

Dokaz vršimo za svaku nekretninu posebno.

1". Ako su suprotne strane četverougla po paru jednake, onda je to paralelogram.

Dokaz. Neka četverougao ABCD ima jednake stranice AD ​​i BC, AB i CD (sl. 233). Nacrtajmo dijagonalu AC. Trouglovi ABC i CDA će biti podudarni kao da imaju tri para jednakih stranica.

Ali tada su uglovi BAC i DCA jednaki i . Paralelizam stranica BC i AD proizlazi iz jednakosti uglova CAD i DIA.

2. Ako četverougao ima dva para suprotnih uglova jednaka, onda je to paralelogram.

Dokaz. Neka . Pošto su obe strane AD i BC paralelne (na osnovu paralelnih pravih).

3. Formulaciju i dokaz prepuštamo čitaocu.

4. Ako su dijagonale četverougla međusobno podijeljene u tački sjecišta na pola, onda je četverougao paralelogram.

Dokaz. Ako su AO = OS, BO = OD (slika 233), tada su trokuti AOD i BOC jednaki, jer imaju jednake uglove (vertikalno!) U vrhu O, zatvoreni između parova jednakih stranica AO i CO, BO i DO. Iz jednakosti trouglova zaključujemo da su stranice AD ​​i BC jednake. Stranice AB i CD su također jednake, a četverougao se ispostavlja kao paralelogram prema karakterističnom svojstvu G.

Dakle, da bi se dokazalo da je dati četverougao paralelogram, dovoljno je provjeriti valjanost bilo kojeg od četiri svojstva. Čitalac je pozvan da samostalno dokaže još jedno karakteristično svojstvo paralelograma.

5. Ako četverougao ima par jednakih, paralelnih stranica, onda je to paralelogram.

Ponekad se bilo koji par paralelnih stranica paralelograma naziva njegovim bazama, dok se druge dvije nazivaju bočnim stranicama. Odsječak prave okomite na dvije strane paralelograma, zatvoren između njih, naziva se visina paralelograma. Paralelogram na sl. 234 ima visinu h povučenu na stranice AD ​​i BC, njegova druga visina je predstavljena segmentom .

Opštinska budžetska obrazovna ustanova

Srednja škola Savinskaya

Istraživanja

Paralelogram i njegova nova svojstva

Uradio: učenik 8B razreda

Srednja škola MBOU Savinskaya

Kuznjecova Svetlana, 14 godina

Voditelj: nastavnik matematike

Tulchevskaya N.A.

Savino

Ivanovska oblast, Rusija

2016

I. Uvod _______________________________________________ strana 3

II. Iz istorije paralelograma ___________________________________ strana 4

III Dodatna svojstva paralelograma ___________________strana 4

IV. Dokaz imovine ___________________________________ strana 5

V. Rješavanje problema korištenjem dodatnih svojstava __________ stranica 8

VI. Primjena svojstava paralelograma u životu ___________________strana 11

VII. Zaključak ___________________________________________________ strana 12

VIII. Literatura ________________________________________________ strana 13

Uvod

"Među jednakim umovima

at sličnost drugih uslova

superiorniji od onih koji znaju geometriju"

(Blejz Paskal).

Proučavajući temu „Paralelogram“ na časovima geometrije, razmatrali smo dva svojstva paralelograma i tri karakteristike, ali kada smo počeli rješavati probleme, pokazalo se da to nije dovoljno.

Imao sam pitanje da li paralelogram ima još neka svojstva i kako će pomoći u rješavanju problema.

I odlučio sam da proučim dodatna svojstva paralelograma i pokažem kako se ona mogu primijeniti za rješavanje problema.

Predmet studija : paralelogram

Predmet proučavanja : svojstva paralelograma
Cilj:

formulacija i dokazivanje dodatnih svojstava paralelograma koja se ne izučavaju u školi;

primjena ovih svojstava za rješavanje problema.

Zadaci:

Proučavati istoriju paralelograma i istoriju razvoja njegovih svojstava;

Pronađite dodatnu literaturu o pitanju koje se proučava;

Proučiti dodatna svojstva paralelograma i dokazati ih;

Pokažite primjenu ovih svojstava za rješavanje problema;

Razmotrimo primjenu svojstava paralelograma u životu.
Metode istraživanja:

Rad sa obrazovnom i naučno – popularnom literaturom, internet resursima;

Proučavanje teorijskog materijala;

Izbor niza zadataka koji se mogu riješiti korištenjem dodatnih svojstava paralelograma;

Posmatranje, poređenje, analiza, analogija.

Trajanje studija : 3 mjeseca: januar-mart 2016

1. Iz istorije paralelograma

U udžbeniku geometrije čitamo sljedeću definiciju paralelograma: Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane paralelne u parovima.

Riječ "paralelogram" prevodi se kao "paralelne linije" (od grčkih riječi Parallelos - paralela i gramme - prava), ovaj termin je uveo Euklid. U svojoj knjizi Elementi, Euklid je dokazao sljedeća svojstva paralelograma: suprotne strane i uglovi paralelograma su jednaki, a dijagonala ga prepolovi. Euklid ne pominje tačku preseka paralelograma. Tek krajem srednjeg veka razvijena je kompletna teorija paralelograma, a tek u 17. veku u udžbenicima se pojavljuju teoreme o paralelogramu, koje se dokazuju Euklidovom teoremom o svojstvima paralelograma.

III Dodatna svojstva paralelograma

U udžbeniku geometrije data su samo 2 svojstva paralelograma:

Suprotni uglovi i stranice su jednaki

Dijagonale paralelograma se sijeku, a tačka preseka je prepolovljena

U različitim izvorima o geometriji mogu se pronaći sljedeća dodatna svojstva:

Zbir susjednih uglova paralelograma je 180 0

Simetrala ugla paralelograma odsijeca od njega jednakokraki trokut;

Simetrale suprotnih uglova paralelograma leže na paralelnim pravima;

Simetrale susjednih uglova paralelograma seku se pod pravim uglom;

Simetrale svih uglova paralelograma formiraju pravougaonik kada se sijeku;

Udaljenosti od suprotnih uglova paralelograma do jedne te iste dijagonale su jednake.

Ako spojite suprotne vrhove u paralelogramu sa sredinama suprotnih strana, dobićete još jedan paralelogram.

Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je dvostrukom zbiru kvadrata njegovih susjednih stranica.

Ako povučemo visine iz dva suprotna ugla u paralelogramu, dobićemo pravougaonik.

IV Dokaz svojstava paralelograma

Zbir susjednih uglova paralelograma je 180 0

Dato:

ABCD je paralelogram

dokazati:

A+
B=

dokaz:

A i
B - unutrašnji jednostrani uglovi sa paralelnim ravnim linijama BC AD i sekansa AB, dakle
A+
B=

2

Dato: A B C D - paralelogram,

AK -simetrala
I.

dokazati: AVK - jednakokraki

dokaz:

1)
1=
3 (ukršteno sa BC AD i sekansa AK),

2)
2=
3 jer je AK ​​simetrala,

znači 1=
2.

3) ABK je jednakokraka jer su 2 ugla trougla jednaka

. Simetrala ugla paralelograma odsijeca od njega jednakokraki trougao

3

Dato: ABCD je paralelogram

AK je simetrala od A,

SR je simetrala od C.

dokazati: AK ║ SR

dokaz:

1) 1=2 pošto je AK-simetrala

2) 4=5 jer SR - simetrala

3) 3=1 (poprečni uglovi u

BC ║ AD i AK-sekant),

4) A \u003d C (po svojstvu paralelograma), što znači 2 \u003d 3 = 4 \u003d 5.

4) Iz st. 3 i 4 proizilazi da je 1 = 4, a ti uglovi odgovaraju pravim AK i SR i sekantom BC,

dakle, AK ║ SR (na osnovu paralelnih pravih)

. Simetrale suprotnih uglova paralelograma leže na paralelnim pravima

Simetrale susjednih uglova paralelograma seku se pod pravim uglom

Dato: ABCD - paralelogram,

AC simetrala A,

DP-simetrala D

dokazati: DP AK.

dokaz:

1) 1=2, jer AK - simetrala

Neka je 1=2=x, zatim A=2x,

2) 3=4, jer D P - simetrala

Neka je 3=4=y, zatim D=2y

3) A + D \u003d 180 0, jer zbir susednih uglova paralelograma je 180

2) Razmotrite A OD

1+3=90 0 onda
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Simetrale svih uglova paralelograma formiraju pravougaonik kada se sijeku

Dato: ABCD - paralelogram, AK-simetrala A,

DP-simetrala D,

CM je simetrala od C,

BF -simetrala od B.

Dokazati: KRNS -pravougaonik

dokaz:

Na osnovu prethodnog svojstva 8=7=6=5=90 0 ,

znači KRNS je pravougaonik.

Udaljenosti od suprotnih uglova paralelograma do jedne te iste dijagonale su jednake.

Dato: ABCD-paralelogram, AC-dijagonala.

VC AU, D.P. AC

dokazati: BK=DP

dokaz: 1) DCP \u003d KAB, kao unutrašnji poprečno leži na AB ║ CD i sekant AC.

2) AKB= CDP (duž strane i dva ugla uz nju AB=CD CD P=AB K).

A u jednakim trokutima odgovarajuće stranice su jednake, tako da je DP \u003d BK.

Ako spojite suprotne vrhove u paralelogramu sa sredinama suprotnih strana, dobićete još jedan paralelogram.

Dato: ABCD paralelogram.

dokazati: VKDP je paralelogram.

dokaz:

1) BP=KD (AD=BC, tačke K i P

prepoloviti ove strane)

2) BP ║ KD (leži na AD prije Krista)

Ako su suprotne strane četverougla jednake i paralelne, onda je ovaj četverokut paralelogram.

Ako povučemo visine iz dva suprotna ugla u paralelogramu, dobićemo pravougaonik.

Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je dvostrukom zbiru kvadrata njegovih susjednih stranica.

Dato: ABCD je paralelogram. BD i AC su dijagonale.

dokazati: AC 2 + BD 2 =2(AB 2 + AD 2 )

dokaz: 1)PITAJTE: AC ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + PD 2 (prema Pitagorinoj teoremi)

3) AC ²+ BD ²=SC²+A K²+B R²+RD ²

4) SK = BP = H(visina )

5) AC 2 +VD 2 = H 2 + A To 2 + H 2 +PD 2

6) Neka D K=A P=x, onda C ToD : H 2 = CD 2 - X 2 prema Pitagorinoj teoremi )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+VD ²=2CD 2 -2x 2 + A To 2 +PD 2

8) A To=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+VD ² =2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,

AC²+ ATD²=2 ODD²-2 X²+AD 2 +2AD X+ X 2 + AD 2 -2AD X+ X 2 ,
AC²+ ATD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 + AD 2 ).

V . Rješavanje problema korištenjem ovih svojstava

Točka presjeka simetrala dvaju uglova paralelograma susednih jednoj strani pripada suprotnoj strani. Kraća stranica paralelograma je 5 . Nađi njegovu veliku stranu.

Dato: ABCD je paralelogram,

AK - simetrala
I,

D K - simetrala
D, AB=5

Nađi: sunce

rješenje

Odluka

Jer AK - simetrala
A, tada je ABC jednakokraka.

Jer D K - simetrala
D, onda DCK - jednakokraki

DC \u003d C K \u003d 5

Tada je VS=VK+SK=5+5 = 10

Odgovor: 10

2. Nađi obim paralelograma ako simetrala jednog od njegovih uglova dijeli stranicu paralelograma na segmente od 7 cm i 14 cm.

1 slučaj

Dato:
I,

VK=14 cm, KS=7 cm

Pronađite: R paralelogram

Odluka

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

Jer AK - simetrala
A, tada je ABC jednakokraka.

AB=BK=14cm

Zatim P = 2 (14 + 21) = 70 (cm)

dešava

Dato: ABCD je paralelogram,

D K - simetrala
D,

VK=14 cm, KS=7 cm

Nađi: R paralelogram

Odluka

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

Jer D K - simetrala
D, onda DCK - jednakokraki

DC \u003d C K \u003d 7

Zatim, P = 2 (21 + 7) = 56 (cm)

odgovor: 70 cm ili 56 cm

3. Stranice paralelograma su 10 cm i 3 cm. Simetrale dvaju ugla susednih većoj strani dele suprotnu stranu na tri segmenta. Pronađite ove segmente.

1 slučaj: simetrale se sijeku izvan paralelograma

Dato: ABCD - paralelogram, AK - simetrala
I,

D K - simetrala
D , AB=3 cm, BC=10 cm

Nađi: BM, MN, NC

Odluka

Jer AM - simetrala
I tada je AVM jednakokračan.

Jer DN - simetrala
D, onda DCN - jednakokraki

DC=CN=3

Zatim, MN = 10 - (BM + NC) = 10 - (3 + 3) \u003d 4 cm

2 slučaj: simetrale se sijeku unutar paralelograma

Jer AN - simetrala
A, tada je ABN jednakokračan.

AB=BN = 3 D

I klizna rešetka - pomaknite se na potrebnu udaljenost u vratima

Paralelogramski mehanizam- mehanizam sa četiri veze, čije karike čine paralelogram. Koristi se za implementaciju translacijskog kretanja zglobnih mehanizama.

Paralelogram sa fiksnom vezom- jedna karika je nepomična, suprotna vrši ljuljanje, ostajući paralelna sa nepokretnom. Dva paralelograma povezana jedan iza drugog daju konačnoj karici dva stepena slobode, ostavljajući je paralelnom sa fiksnom.

Primjeri: brisači vjetrobranskog stakla autobusa, viljuškari, tronošci, vješalice, vješalice za automobile.

Paralelogram sa fiksnom šarkom- svojstvo paralelograma se koristi za održavanje konstantnog omjera udaljenosti između tri tačke. Primjer: pantograf za crtanje - uređaj za skaliranje crteža.

Rhombus- sve karike su iste dužine, približavanje (kontrakcija) para suprotnih šarki dovodi do proširenja druge dvije šarke. Svi linkovi rade u kompresiji.

Primjeri su auto dijamantska dizalica, tramvajski pantograf.

makaze ili Mehanizam u obliku slova X, također poznat kao Nirnberg makaze- varijanta romba - dvije karike povezane u sredini šarkom. Prednosti mehanizma su kompaktnost i jednostavnost, nedostatak je prisustvo dva klizna para. Dva (ili više) takvih mehanizama, povezanih u seriju, formiraju romb (e) u sredini. Koristi se u liftovima, dječjim igračkama.

VII Zaključak

Ko se matematikom bavi od detinjstva,

razvija pažnju, trenira svoj mozak,

vlastitu volju, neguje istrajnost

i istrajnost u postizanju cilja

A. Markushevich

U toku rada dokazao sam dodatna svojstva paralelograma.

Bio sam uvjeren da primjenom ovih svojstava možete brže riješiti probleme.

Pokazao sam kako se ova svojstva primjenjuju na primjerima rješavanja konkretnih problema.

Naučio sam mnogo o paralelogramu čega nema u našem udžbeniku geometrije

Da je poznavanje geometrije veoma važno u životu, uvjerio sam se na primjerima primjene svojstava paralelograma.

Svrha mog istraživačkog rada je ostvarena.

O važnosti matematičkog znanja svjedoči i činjenica da je ustanovljena nagrada za onoga ko objavi knjigu o osobi koja je cijeli život proživjela bez pomoći matematike. Ovu nagradu do sada niko nije dobio.

VIII Književnost

1. Pogorelov A.V. Geometrija 7-9: udžbenik za opšte obrazovanje. institucije-M.: Obrazovanje, 2014

   L.S. Atanasyan i dr. Geometrija. Dodati. Poglavlja udžbenika 8 ćelija: udžbenik. dodatak za učenike škola i odeljenja sa produb. studija matematike. – M.: Vita-press, 2003

   Internet resursi

   Wikipedia materijali