Vrste paralelepipeda. Kosi paralelepiped: svojstva, formule i zadaci za nastavnika matematike Direktno crtanje paralelepipeda

U ovoj lekciji svi će moći proučiti temu "Pravougaoni paralelepiped". Na početku lekcije ponovit ćemo šta su proizvoljni i ravni paralelepipedi, zapamtiti svojstva njihovih suprotnih strana i dijagonala paralelepipeda. Zatim ćemo pogledati šta je kvadar i razmotriti njegova osnovna svojstva.

Tema: Okomitost pravih i ravni

Lekcija: Kuboid

Površina sastavljena od dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 i četiri paralelograma ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 naziva se paralelepiped(Sl. 1).

Rice. 1 paralelepiped

To jest: imamo dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), oni leže u paralelnim ravnima tako da su bočne ivice AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 paralelne. Tako se zove površina sastavljena od paralelograma paralelepiped.

Dakle, površina paralelepipeda je zbir svih paralelograma koji čine paralelopiped.

1. Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.

(oblici su jednaki, odnosno mogu se kombinovati preklapanjem)

Na primjer:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (jednaki paralelogrami po definiciji),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (pošto su AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C suprotne strane paralelepipeda),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (pošto su AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C suprotne strane paralelepipeda).

2. Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i tom tačkom se dijele popola.

Dijagonale paralelepipeda AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B seku se u jednoj tački O, a svaka dijagonala je podijeljena na pola ovom tačkom (slika 2).

Rice. 2 Dijagonale paralelepipeda se sijeku i dijele na pola presječnom točkom.

3. Postoje tri četvorke jednakih i paralelnih ivica paralelepipeda: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definicija. Paralelepiped se naziva pravim ako su njegove bočne ivice okomite na osnovice.

Neka bočna ivica AA 1 bude okomita na osnovu (slika 3). To znači da je prava AA 1 okomita na prave AD i AB, koje leže u ravni baze. To znači da bočne strane sadrže pravokutnike. A baze sadrže proizvoljne paralelograme. Označimo ∠BAD = φ, ugao φ može biti bilo koji.

Rice. 3 Desni paralelepiped

Dakle, pravi paralelepiped je paralelepiped kod kojeg su bočne ivice okomite na osnove paralelepipeda.

Definicija. Paralelepiped se naziva pravougaonim, ako su njegove bočne ivice okomite na osnovu. Osnove su pravougaonici.

Paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je pravougaonog oblika (slika 4), ako:

1. AA 1 ⊥ ABCD (bočna ivica okomita na ravan osnove, odnosno pravi paralelepiped).

2. ∠BAD = 90°, tj. osnova je pravougaonik.

Rice. 4 Pravougaoni paralelepiped

Pravougaoni paralelepiped ima sva svojstva proizvoljnog paralelepipeda. Ali postoje dodatna svojstva koja su izvedena iz definicije kvadra.

dakle, kuboid je paralelepiped čije su bočne ivice okomite na osnovu. Osnova pravougaonog paralelepipeda je pravougaonik.

1. U pravokutnom paralelepipedu svih šest lica su pravokutnici.

ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su pravokutnici po definiciji.

2. Bočna rebra su okomita na osnovu. To znači da su sve bočne strane pravokutnog paralelepipeda pravokutnici.

3. Svi diedarski uglovi pravougaonog paralelepipeda su pravi.

Razmotrimo, na primjer, diedarski ugao pravougaonog paralelepipeda sa ivicom AB, odnosno diedarski ugao između ravnina ABC 1 i ABC.

AB je ivica, tačka A 1 leži u jednoj ravni - u ravni ABB 1, a tačka D u drugoj - u ravni A 1 B 1 C 1 D 1. Tada se razmatrani diedarski ugao može označiti i na sljedeći način: ∠A 1 ABD.

Uzmimo tačku A na rubu AB. AA 1 je okomita na ivicu AB u ravni AVV-1, AD je okomita na ivicu AB u ravni ABC. To znači da je ∠A 1 AD linearni ugao datog diedralnog ugla. ∠A 1 AD = 90°, što znači da je diedarski ugao na ivici AB 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Slično, dokazano je da su svaki diedarski uglovi pravougaonog paralelepipeda pravi.

Kvadrat dijagonale pravokutnog paralelepipeda jednak je zbiru kvadrata njegove tri dimenzije.

Bilješka. Dužine tri ivice koje izlaze iz jednog vrha kvadra su mjere kvadra. Ponekad se nazivaju dužina, širina, visina.

Dato: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravougaoni paralelepiped (slika 5).

Dokaži: .

Rice. 5 Pravougaoni paralelepiped

dokaz:

Prava CC 1 je okomita na ravan ABC, a samim tim i na pravu AC. To znači da je trougao CC 1 A pravougao. Prema Pitagorinoj teoremi:

Razmotrimo pravougli trougao ABC. Prema Pitagorinoj teoremi:

Ali BC i AD su suprotne strane pravougaonika. Dakle BC = AD. onda:

Jer , A , To. Pošto je CC 1 = AA 1, to je ono što je trebalo dokazati.

Dijagonale pravougaonog paralelepipeda su jednake.

Označimo dimenzije paralelepipeda ABC kao a, b, c (vidi sliku 6), tada AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Ili (ekvivalentno) poliedar, koji ima šest lica i svako od njih - paralelogram.

Vrste paralelepipeda

Postoji nekoliko vrsta paralelepipeda:

• Kuboid je paralelepiped čije su sve strane pravougaonici.
• Desni paralelepiped je paralelepiped sa 4 bočne strane koje su pravokutnici.
• Kosi paralelepiped je paralelepiped čije bočne strane nisu okomite na osnovice.

Bitni elementi

Dvije strane paralelepipeda koje nemaju zajedničku ivicu nazivaju se suprotne, a one koje imaju zajedničku ivicu su susjedne. Dva vrha paralelepipeda koji ne pripadaju istom licu nazivaju se suprotnim. Segment koji povezuje suprotne vrhove naziva se dijagonala paralelepipeda. Dužine tri ivice pravougaonog paralelepipeda koje imaju zajednički vrh nazivaju se njegove dimenzije.

Svojstva

• Paralelepiped je simetričan oko sredine svoje dijagonale.
• Svaki segment s krajevima koji pripadaju površini paralelepipeda i koji prolaze kroz sredinu njegove dijagonale podijeljen je na pola; posebno, sve dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i njome se dijele popola.
• Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.
• Kvadrat dužine dijagonale pravokutnog paralelepipeda jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.

Osnovne formule

Desni paralelepiped

Bočna površina S b =P o *h, gdje je P o obim baze, h visina

Ukupna površina S p =S b +2S o, gdje je S o površina baze

Volume V=S o *h

Pravougaoni paralelepiped

Bočna površina S b =2c(a+b), gdje su a, b stranice baze, c bočna ivica pravokutnog paralelepipeda

Ukupna površina S p =2(ab+bc+ac)

Volume V=abc, gdje su a, b, c dimenzije pravokutnog paralelepipeda.

Kocka

Površina: $S=6a^2$
Volume: $V=a^3$, Gdje $a$- ivica kocke.

Bilo koji paralelepiped

Volumen i omjeri u nagnutom paralelepipedu se često određuju pomoću vektorske algebre. Zapremina paralelepipeda jednaka je apsolutnoj vrijednosti mješovitog proizvoda tri vektora određenog sa tri strane paralelepipeda koji izlaze iz jednog vrha. Odnos između dužina stranica paralelepipeda i uglova između njih daje tvrdnju da je Gramova determinanta navedena tri vektora jednaka kvadratu njihovog mješovitog proizvoda: 215.

U matematičkoj analizi

IN matematička analiza ispod n-dimenzionalnog kuboida $B$ razumiju mnoge tačke $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ vrsta $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Napišite recenziju o članku "Paralelepiped"

Bilješke

Linkovi

Tačno Tačno nekonveksan Konveksna formule, teoreme, teorije Ostalo

Odlomak koji karakteriše paralelepiped

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine... [Kažu da su se rivali pomirili zahvaljujući ovoj bolesti.]
Reč angine se ponavljala sa velikim zadovoljstvom.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Stari grof je, kažu, vrlo dirljiv. Plakao je kao dijete kad je doktor rekao taj opasan slučaj.]
- Oh, ce serait une perte terrible. C"est une femme ravissante. [Oh, to bi bio veliki gubitak. Tako ljupka žena.]
"Vous parlez de la pauvre comtesse", reče Ana Pavlovna prilazeći. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde", rekla je Ana Pavlovna sa osmehom na svoj entuzijazam. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Govorite o jadnoj grofici... Poslao sam da saznam za njeno zdravlje. Rekli su mi da se osjeća malo bolje. Oh, bez sumnje, ovo je najljepša žena na svijetu. Mi pripadamo različitim taborima, ali to me ne sprečava da je poštujem prema njenim zaslugama. Ona je tako nesrećna.] – dodala je Ana Pavlovna.
Vjerujući da ovim riječima Anna Pavlovna pomalo podiže veo tajne nad groficinom bolešću, jedan nemarni mladić dozvolio je sebi da izrazi iznenađenje što nisu pozvani poznati doktori, već što groficu liječi šarlatan koji može opasno dati pravni lijekovi.
„Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes“, iznenada je Ana Pavlovna otrovno napala neiskusnog mladića. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Vaše vesti su možda tačnije od mojih... ali iz dobrih izvora znam da je ovaj doktor veoma učena i vešta osoba. Ovo je životni lekar španske kraljice.] - I tako uništivši mladića, Ana Pavlovna se okrenula Bilibinu, koji je u drugom krugu podigao kožu i, očigledno, spremajući je da je olabavi da kaže un mot, progovori o Austrijancima.
"Je trouve que c"est charmant! [Smatram to šarmantnim!]", rekao je o diplomatskom papiru s kojim su austrijske zastave koje je uzeo Vitgenštajn poslate u Beč, le heros de Petropol [heroj Petropola] (kako je on zvao se u Petersburgu).
- Kako, kako je ovo? - okrenula se Ana Pavlovna prema njemu, probudivši tišinu da čuje moto, koji je već znala.
I Bilibin je ponovio sljedeće originalne riječi diplomatske depeše koju je sastavio:
"L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens", rekao je Bilibin, "drapeaux amis et egares qu"il a trouve hors de la route, [Car šalje austrijske zastave, prijateljske i izgubljene zastave koje je pronašao izvan pravog puta.], ” završio je Bilibin, opuštajući kožu.
"Šarmantno, šarmantno, [Lijepo, šarmantno", reče princ Vasilij.
"C"est la route de Varsovie peut être, [Ovo je varšavski put, možda.] - rekao je princ Hipolit glasno i neočekivano. Svi su mu uzvratili pogled, ne shvatajući šta je time hteo da kaže. Princ Hipolit se takođe osvrnuo sa vedrim iznenađenjem oko sebe, on, kao i drugi, nije razumeo šta znače reči koje je izgovorio tokom svoje diplomatske karijere, više puta je primetio da su ovako izgovorene reči odjednom ispale veoma duhovite. riječi za svaki slučaj, "Možda će to uspjeti", pomislio je, "a ako ne uspije, oni će to zaista moći urediti." zavladala je neugodna tišina, ušlo je to nedovoljno rodoljubivo lice, i ona, osmehujući se Ipolitu, pozvala je knjaza Vasilija za sto i, dajući mu dve sveće i rukopis, zamolila ga da sve utihne .

Definicija

Poliedar nazvat ćemo zatvorenu površinu sastavljenu od poligona i koja ograničava određeni dio prostora.

Segmenti koji su stranice ovih poligona nazivaju se rebra poliedar, a sami poligoni su ivice. Vrhovi poligona se nazivaju vrhovi poliedra.

Razmotrićemo samo konveksne poliedre (ovo je poliedar koji se nalazi na jednoj strani svake ravnine koja sadrži njeno lice).

Poligoni koji čine poliedar formiraju njegovu površinu. Dio prostora koji je omeđen datim poliedrom naziva se njegova unutrašnjost.

Definicija: prizma

Razmotrimo dva jednaka poligona \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) smještena u paralelnim ravninama tako da segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralelno. Poliedar formiran od poligona \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) , kao i od paralelograma \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), naziva se (\(n\)-gonalni) prizma.

Poligoni \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) se nazivaju baze prizme, paralelogrami \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– bočne strane, segmenti \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- bočna rebra.
Dakle, bočne ivice prizme su paralelne i jednake jedna drugoj.

Pogledajmo primjer - prizmu \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), u čijoj osnovi leži konveksni petougao.

Visina prizme su okomice ispuštene iz bilo koje tačke jedne baze na ravan druge baze.

Ako bočne ivice nisu okomite na bazu, onda se takva prizma naziva skloni(slika 1), inače – ravno. U pravoj prizmi, bočne ivice su visine, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Ako pravilni mnogokut leži u osnovi ravne prizme, tada se prizma naziva ispravan.

Definicija: koncept volumena

Jedinica mjerenja zapremine je jedinična kocka (kocka koja mjeri \(1\puta1\put1\) jedinica\(^3\), gdje je jedinica određena mjerna jedinica).

Možemo reći da je volumen poliedra količina prostora koju ovaj poliedar ograničava. Inače: ovo je veličina čija brojčana vrijednost pokazuje koliko puta se jedinična kocka i njeni dijelovi uklapaju u dati poliedar.

Volumen ima ista svojstva kao i površina:

1. Sveske jednake brojke su jednaki.

2. Ako je poliedar sastavljen od nekoliko poliedara koji se ne seku, onda je njegov volumen jednak zbiru zapremina ovih poliedara.

3. Volumen je nenegativna veličina.

4. Zapremina se mjeri u cm\(^3\) (kubnim centimetrima), m\(^3\) (kubnim metrima) itd.

Teorema

1. Površina bočne površine prizme jednaka je proizvodu obima osnove i visine prizme.
Bočna površina je zbir površina bočnih površina prizme.

2. Zapremina prizme jednaka je umnošku površine osnove i visine prizme: \

Definicija: paralelepiped

Paralelepiped je prizma sa paralelogramom u osnovi.

Sve strane paralelepipeda (postoje \(6\) : \(4\) bočne strane i \(2\) baze) su paralelogrami, a suprotne strane (paralelne jedna drugoj) su jednaki paralelogrami (slika 2) .

Dijagonala paralelepipeda je segment koji povezuje dva vrha paralelepipeda koji ne leže na istoj strani (ima ih \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) itd.).

Pravougaoni paralelepiped je pravi paralelepiped sa pravougaonikom u osnovi.
Jer Budući da je ovo pravi paralelepiped, bočne strane su pravokutnici. To znači da su općenito sva lica pravokutnog paralelepipeda pravokutnici.

Sve dijagonale pravokutnog paralelepipeda su jednake (ovo slijedi iz jednakosti trokuta \(\trokut ACC_1=\trokut AA_1C=\trokut BDD_1=\trokut BB_1D\) itd.).

Komentar

Dakle, paralelepiped ima sva svojstva prizme.

Teorema

Bočna površina pravokutnog paralelepipeda je \

Ukupna površina pravougaonog paralelepipeda je \

Teorema

Zapremina kvadra jednaka je umnošku njegove tri ivice koje izlaze iz jednog vrha (tri dimenzije kvadra): \

Dokaz

Jer U pravougaonom paralelepipedu, bočne ivice su okomite na osnovu, tada su i njegove visine, odnosno \(h=AA_1=c\) Jer onda je osnova pravougaonik \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Odatle dolazi ova formula.

Teorema

Dijagonala \(d\) pravokutnog paralelepipeda nalazi se pomoću formule (gdje su \(a,b,c\) dimenzije paralelepipeda) \

Dokaz

Pogledajmo sl. 3. Jer osnova je pravougaonik, tada je \(\trougao ABD\) pravougaonik, dakle, prema Pitagorinoj teoremi \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Jer onda su sve bočne ivice okomite na baze \(BB_1\perp (ABC) \Strelica desno BB_1\) okomito na bilo koju pravu liniju u ovoj ravni, tj. \(BB_1\perp BD\) . To znači da je \(\trougao BB_1D\) pravougaonog oblika. Zatim, po Pitagorinoj teoremi \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definicija: kocka

Kocka je pravougaoni paralelepiped, čija su sva lica jednaka kvadrata.

Dakle, tri dimenzije su jednake jedna drugoj: \(a=b=c\) . Dakle, sljedeće su istinite

Teoreme

1. Zapremina kocke sa rubom \(a\) jednaka je \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Dijagonala kocke se nalazi pomoću formule \(d=a\sqrt3\) .

3. Ukupna površina kocke \(S_(\text(puna kocka))=6a^2\).

Pravougaoni paralelepiped

Pravougaoni paralelepiped je pravi paralelepiped kojemu su sve strane pravokutnici.

Dovoljno je pogledati oko sebe, pa ćemo vidjeti da predmeti oko nas imaju oblik sličan paralelepipedu. Mogu se razlikovati po boji, imaju puno dodatnih detalja, ali ako se te suptilnosti odbace, onda možemo reći da, na primjer, ormar, kutija itd., imaju približno isti oblik.

S konceptom pravougaonog paralelepipeda nailazimo skoro svaki dan! Pogledaj oko sebe i reci mi gdje vidiš pravougaone paralelepipede? Pogledajte knjigu, potpuno je istog oblika! Cigla, kutija šibica, blok od drveta imaju isti oblik, a čak se i sada nalazite unutar pravougaonog paralelepipeda, jer je učionica najsjajnija interpretacija ove geometrijske figure.

vježba: Koje primjere paralelepipeda možete navesti?

Pogledajmo izbliza kvadar. I šta vidimo?

Prvo, vidimo da je ova figura formirana od šest pravougaonika, koji su lica kvadra;

Drugo, kvadar ima osam vrhova i dvanaest ivica. Rubovi kvadra su stranice njegovih strana, a vrhovi kvadra su vrhovi lica.

vježba:

1. Kako se zove svako od lica pravougaonog paralelepipeda? 2. Zahvaljujući kojim parametrima se može mjeriti paralelogram? 3. Definirajte suprotna lica.

Vrste paralelepipeda

Ali paralelepipedi nisu samo pravokutni, već mogu biti i ravni i nagnuti, a prave se dijele na pravokutne, nepravokutne i kocke.

Zadatak: Pogledaj sliku i reci koji su paralelepipedi prikazani na njoj. Po čemu se pravougaoni paralelepiped razlikuje od kocke?

Svojstva pravougaonog paralelepipeda

Pravougaoni paralelepiped ima niz važnih svojstava:

Prvo, kvadrat dijagonale ove geometrijske figure jednak je zbroju kvadrata njegova tri glavna parametra: visine, širine i dužine.

Drugo, sve četiri njegove dijagonale su apsolutno identične.

Treće, ako su sva tri parametra paralelepipeda ista, odnosno, dužina, širina i visina su jednake, tada se takav paralelepiped naziva kocka, a sve će njegove strane biti jednake istom kvadratu.

Vježbajte

1. Da li pravougaoni paralelepiped ima jednake stranice? Ako ih ima, pokažite ih na slici. 2. Koje? geometrijski oblici Koje su stranice pravougaonog paralelepipeda? 3. Kakav je raspored jednakih ivica jedna u odnosu na drugu? 4. Navedite broj parova jednakih lica ove figure. 5. Pronađite rubove pravokutnog paralelepipeda koji označavaju njegovu dužinu, širinu, visinu. Koliko ste izbrojali?

Zadatak

Kako bi lijepo ukrasila rođendanski poklon svojoj majci, Tanya je uzela kutiju u obliku pravokutnog paralelepipeda. Veličina ove kutije je 25cm*35cm*45cm. Kako bi ovo pakovanje bilo lijepo, Tanya ga je odlučila prekriti prekrasnim papirom, čija cijena iznosi 3 grivne po 1 dm2. Koliko novca treba da potrošite na papir za umotavanje?

Znate li da je poznati iluzionista David Blaine proveo 44 dana u staklenom paralelepipedu obješenom iznad Temze u sklopu eksperimenta. Ova 44 dana nije jeo, već je samo pio vodu. U svom dobrovoljnom zatvoru David je uzeo samo materijal za pisanje, jastuk i dušek i maramice.

ili (ekvivalentno) poliedar sa šest lica koja su paralelogrami. Hexagon.

Paralelogrami koji čine paralelepiped su ivice ovog paralelepipeda, stranice ovih paralelograma su ivice paralelepipeda, a vrhovi paralelograma su vrhovi paralelepiped. U paralelepipedu, svako lice je paralelogram.

U pravilu se identifikuju i pozivaju bilo koja 2 suprotna lica baze paralelepipeda, a preostala lica - bočne strane paralelepipeda. Rubovi paralelepipeda koji ne pripadaju bazama su bočna rebra.

2 lica paralelepipeda koji imaju zajedničku ivicu su susjedni, i one koje nemaju zajedničke ivice - suprotno.

Segment koji povezuje 2 vrha koji ne pripadaju 1. licu je dijagonala paralelepipeda.

Dužine ivica pravougaonog paralelepipeda koje nisu paralelne su linearne dimenzije (mjerenja) paralelepiped. Pravougaoni paralelepiped ima 3 linearne dimenzije.

Vrste paralelepipeda.

Postoji nekoliko vrsta paralelepipeda:

Direktno je paralelepiped sa ivicom, okomito na ravan osnove.

Pravougaoni paralelepiped u kojem su sve 3 dimenzije jednake je kocka. Svaka strana kocke je jednaka kvadrata .

Bilo koji paralelepiped. Volumen i omjeri u kosom paralelepipedu uglavnom se određuju pomoću vektorske algebre. Zapremina paralelepipeda jednaka je apsolutnoj vrijednosti mješovitog proizvoda 3 vektora, koji su određeni 3 strane paralelepipeda (koje potiču iz istog vrha). Odnos između dužina stranica paralelepipeda i uglova između njih pokazuje tvrdnju da je Gramova determinanta data 3 vektora jednaka kvadratu njihovog mješovitog proizvoda.

Svojstva paralelepipeda.

• Paralelepiped je simetričan oko sredine svoje dijagonale.
• Svaki segment s krajevima koji pripadaju površini paralelepipeda i koji prolazi sredinom njegove dijagonale dijeli se na dva jednaka dijela. Sve dijagonale paralelepipeda seku se u 1. tački i njome se dijele na dva jednaka dijela.
• Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake su dimenzije.
• Kvadrat dužine dijagonale pravokutnog paralelepipeda je jednak