Karte

Moment sile oko ose. Moment sile Šta je moment sile oko tačke

Definicija

Vektorski proizvod radijusa - vektora (), koji je povučen iz tačke O (slika 1) do tačke na koju se sila primenjuje na sam vektor naziva se moment sile () u odnosu na tačku O:

Na slici 1, tačka O i vektor sile () i radijus vektor su u ravnini slike. U ovom slučaju, vektor momenta sile () je okomit na ravninu crteža i ima smjer od nas. Vektor momenta sile je aksijalan. Smjer vektora momenta sile bira se na način da rotacija oko tačke O u smjeru sile i vektora stvaraju desnoruki sistem. Smjer momenta sile i kutnog ubrzanja se poklapaju.

Veličina vektora je:

gdje je ugao između radijusa i smjera vektora sile, je krak sile u odnosu na tačku O.

Moment sile oko ose

Moment sile u odnosu na osu je fizička količina, jednako projekciji vektora momenta sile u odnosu na tačku odabrane ose na ovu osu. U ovom slučaju, izbor tačke nije bitan.

Glavni momenat snage

Glavni moment skupa sila u odnosu na tačku O naziva se vektor (moment sile), koji je jednak zbiru momenata svih sila koje djeluju u sistemu u odnosu na istu tačku:

U ovom slučaju, tačka O se naziva središte redukcije sistema sila.

Ako postoje dva glavna momenta ( i ) za jedan sistem sila za različita dva centra dovođenja sila (O i O’), onda su oni povezani izrazom:

gdje je vektor radijusa, koji je povučen od tačke O do tačke O’, glavni vektor sistema sila.

Općenito, rezultat akcije na solidan proizvoljnog sistema sila je isto što i dejstvo na telo glavnog momenta sistema sila i glavnog vektora sistema sila, koji se primenjuje u centru redukcije (tačka O).

Osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja

gdje je ugaoni moment tijela u rotaciji.

Za čvrsto tijelo ovaj zakon se može predstaviti kao:

gdje je I moment inercije tijela, a ugaono ubrzanje.

Jedinice zakretnog momenta

Osnovna jedinica mjerenja momenta sile u SI sistemu je: [M]=N m

U GHS: [M]=din cm

Primjeri rješavanja problema

Primjer

Vježbajte. Na slici 1 prikazano je tijelo koje ima os rotacije OO". Moment sile primijenjene na tijelo u odnosu na datu osu bit će jednak nuli? Osa i vektor sile nalaze se u ravnini slike.

Rješenje. Kao osnovu za rješavanje problema uzet ćemo formulu koja određuje moment sile:

U vektorskom proizvodu (može se vidjeti sa slike). Ugao između vektora sile i vektora radijusa će se takođe razlikovati od nule (ili), stoga vektorski proizvod (1.1) nije jednak nuli. To znači da je moment sile različit od nule.

Odgovori.

Primjer

Vježbajte. Ugaona brzina rotirajućeg krutog tijela se mijenja u skladu sa grafikom prikazanim na slici 2. U kojoj je od tačaka prikazanih na grafikonu moment sila primijenjenih na tijelo jednak nuli?

Proučavanje svojstava para sila, koji je jedan od glavnih elemenata statike, zahtijeva uvođenje važnog pojma momenta sile u odnosu na tačku.

Neka sila deluje na telo u tački A (Sl. 89). Odaberimo bilo koju tačku u prostoru O (obično je ishodište koordinata odabrano kao ova tačka) i nacrtajmo iz nje vektor radijusa koji ide do tačke primjene ove sile.

Vektorski moment sile u odnosu na tačku O je slobodni vektor definiran vektorskim proizvodom od

Označavajući to sa imamo

Apsolutna vrijednost vektora jednaka je dvostrukoj površini trokuta konstruiranog na vektorima i vektor je usmjeren okomito na ravan definiranu vektorima tako da ako ovu ravninu pogledate s njenog kraja, sila će težiti da rotirate tijelo oko tačke O u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Obično se smatra da je vektor primijenjen u tački. Ako je sila različita od nule, tada je vektorski moment jednak nuli samo kada tačka O leži na liniji djelovanja sile. U SI sistemu jedinica, dimenzija momenta sile u odnosu na tačku je jednaka

Iz definicije vektorskog momenta slijedi da se on ne mijenja ako se sila pomjeri duž linije njenog djelovanja. Zaista, u ovom slučaju ravan definirana vektorima ne mijenja svoju

lokaciju u prostoru, a površina trokuta izgrađenog na ovim vektorima se ne mijenja (Sl. 89).

Iz ovog svojstva slijedi da je koncept momenta vektora u odnosu na tačku usko povezan s konceptom kliznog vektora.

Algebarski moment sile

Ako se razmatra ravan sistem sila ili sila koje se nalaze u jednoj ravni, onda je preporučljivo uvesti pojam algebarskog momenta sile.

Modul vektorskog momenta, kao što je naznačeno, jednak je dvostrukoj površini trokuta izgrađenog na vektorima, ako je ugao između vektora jednak a

Ali posao

predstavlja dužinu okomice spuštene iz tačke O na liniju dejstva sile. Ta veličina se zove krak sile u odnosu na tačku O. Postavimo je u ravan koju definišu vektori i koordinatne ose, dok će os z biti locirana okomito na ovu ravan (slika 90). Algebarski moment sile je proizvod kraka sile i modula sile

Predznak algebarskog momenta će biti pozitivan ako, za posmatrača koji se nalazi duž pozitivnog smera ose z, sila teži da se rotira oko tačke O u smeru suprotnom od kazaljke na satu. U suprotnom, predznak algebarskog momenta će biti negativan.

Moment sile oko ose

Koncept momenta sile oko tačke usko je povezan sa konceptom momenta sile oko ose.

Moment sile oko ose je projekcija momenta sile oko proizvoljne tačke na osi na osu.

Da bi ova definicija imala smisla, potrebno je dokazati da su projekcije na osu momenata sile u odnosu na dvije proizvoljne tačke ose jednake.

Da bismo to dokazali, nacrtajmo ravan okomitu na osu (slika 91) i projektujmo vektor na tu ravan.

Označimo sa a ugao koji formira vektor sa osom. Tada je moment vektora u odnosu na osu određen formulom:

Dakle, pošto vrednost ne zavisi od položaja tačke O na osi (slika 92), onda

Formula koja određuje aksijalni moment omogućava vam da uspostavite geometrijsko pravilo za njegovo izračunavanje. Ovo pravilo je sljedeće: nacrtajte ravan okomitu na osu, projektirajte vektor na nju

Dvostruka površina trokuta formiranog ovom projekcijom i točka presjeka ose s ravninom određuje veličinu aksijalnog momenta.

Predznak momenta će biti pozitivan ako, za posmatrača koji se nalazi duž pozitivnog smera ose, projekcija vektora teži da se rotira oko tačke preseka ose sa ravninom u smeru suprotnom od kazaljke na satu; ako projekcija teži da se rotira u smjeru kazaljke na satu, tada će predznak trenutka biti negativan.

Formule za određivanje momenata kroz projekcije

Početna tačka koordinata obično se bira kao tačka O, u odnosu na koju se računa moment kliznog vektora. Tada će se moment sile primijeniti na ishodište koordinata i njegove projekcije na osu će biti odgovarajući aksijalni momenti. Iz definicije i geometrijskog pravila za izračunavanje aksijalnog momenta slijedi da će on biti jednak nuli ako je vektor paralelan s osi, ili njegova linija djelovanja siječe osu. Ako je sila data njenim projekcijama i poznate su projekcije vektora radijusa koji definiraju točku primjene sile (ili jednostavno koordinate ove tačke), tada je moment vektora u odnosu na tačku O i momenti

u odnosu na koordinatne ose, kao što sledi iz prethodne, određuju se formulom:

Moment sile oko ose je trenutak projekcije sile na ravan okomitu na osu, u odnosu na tačku presjeka ose s ovom ravninom

Trenutak oko ose je pozitivan ako sila teži da rotira ravan okomitu na osu suprotno od kazaljke na satu kada gleda prema osi.

Moment sile oko ose je 0 u dva slučaja:

Ako je sila paralelna sa osom

Ako sila prelazi osu

Ako linija djelovanja i osa leže u istoj ravni, tada je moment sile oko ose jednak 0.

27. Odnos između momenta sile oko ose i vektorskog momenta sile oko tačke.

Mz(F)=Mo(F)*cosαMoment sile u odnosu na osu jednak je projekciji vektora momenta sile u odnosu na tačku ose na ovu osu.

28. Glavna teorema statike o dovođenju sistema sila u dato središte (Poinsotova teorema). Glavni vektor i glavni moment sistema sila.

U opštem slučaju, bilo koji prostorni sistem sila može se zamijeniti ekvivalentnim sistemom koji se sastoji od jedne sile primijenjene u nekoj tački tijela (centar redukcije) i jednake glavnom vektoru ovog sistema sila i jednog para sila. , čiji je moment jednak glavnom momentu svih sila u odnosu na odabrani centar adukcije.

Glavni vektor sistema sila zove se vektor R, jednako vektorskom zbiru ovih sila:

R = F 1 + F 2 + ... + F n = F i.

Za ravan sistem sila, njegov glavni vektor leži u ravni djelovanja ovih sila.

Glavna tačka sistema snaga u odnosu na centar O naziva se vektor L O, jednako zbroju vektorskih momenata ovih sila u odnosu na tačku O:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F i).

Vector R ne zavisi od izbora centra O, i vektora L Kada se položaj centra promijeni, O se generalno može promijeniti.

Poinsotova teorema: proizvoljan prostorni sistem sila može se zamijeniti jednom silom sa glavnim vektorom sistema sila i parom sila sa glavnim momentom bez narušavanja stanja čvrstog tijela. Glavni vektor predstavlja geometrijski zbir sve sile koje djeluju na čvrsto tijelo i nalazi se u ravni djelovanja sila. Glavni vektor se razmatra kroz njegove projekcije na koordinatne ose.

Da bi se dovele sile u dato središte koje se primenjuju u nekoj tački čvrstog tela, potrebno je: 1) preneti silu paralelnu sebi na dato središte bez promene modula sile; 2) u datom centru primeniti par sila čiji je vektorski moment jednak vektorskom momentu prenete sile u odnosu na novi centar.

Ovisnost glavnog trenutka o izboru centra redukcije. Glavni moment oko novog centra redukcije jednak je geometrijskom zbroju glavnog momenta oko starog centra redukcije i vektorskog proizvoda radijus vektora koji glavnim vektorom povezuje novo središte redukcije sa starim.

29 Posebni slučajevi redukcije prostornog sistema snaga

	Vrijednosti glavnog vektora i glavnog momenta	Rezultat kastinga
		Sistem sila se svodi na par sila čiji je moment jednak glavnom momentu (glavni moment sistema sila ne zavisi od izbora centra redukcije O).
		Sistem sila se svodi na rezultantu jednaku prolasku kroz centar O.
		Sistem sila je sveden na rezultantu jednaku glavnom vektoru i paralelnu s njim i smještenu na udaljenosti od njega. Položaj linije djelovanja rezultante mora biti takav da se smjer njenog momenta u odnosu na centar redukcije O poklapa sa smjerom u odnosu na centar O.
	, a vektori nisu okomiti	Sistem sila je sveden na dina (motorni vijak) - kombinaciju sile i para sila koje leže u ravni okomitoj na ovu silu.
		Sistem sila primijenjenih na čvrsto tijelo je uravnotežen.

30. Svođenje na dinamiku. U mehanici se dinamikom naziva takav skup sila i parova sila () koje djeluju na čvrsto tijelo, u kojem je sila okomita na ravninu djelovanja para sila. Koristeći vektorski moment para sila, dinamizam možemo definirati i kao kombinaciju sile i para čija je sila paralelna vektorskom momentu para sila.

Jednačina centralne spiralne ose Pretpostavimo da se u centru redukcije, uzetom kao ishodištu koordinata, dobije glavni vektor sa projekcijama na koordinatne ose i glavni moment sa projekcijama pri dovođenju sistema sila u centar redukcije O 1 (Sl 30), dobijena je dina sa glavnim vektorom i glavnim momentom, vektorima i kao formiranjem liname. su paralelni i stoga se mogu razlikovati samo u skalarnom faktoru k 0. Imamo, pošto su glavni momenti i zadovoljavaju relaciju

Trenutak nekoliko sila

Moment sile u odnosu na bilo koju tačku (centar) je vektor koji je numerički jednak proizvodu modula sile i kraka, tj. na najkraću udaljenost od navedene tačke do linije djelovanja sile, a usmjerena okomito na ravan koja prolazi kroz odabranu tačku i liniju djelovanja sile u smjeru iz kojeg se vrši "rotacija" koju vrši sila oko čini se da se tačka javlja suprotno od kazaljke na satu. Moment sile karakteriše njeno rotaciono dejstvo.

Ako O– tačka u odnosu na koju se nalazi moment sile F, tada je moment sile označen simbolom M o (Ž). Pokažimo da ako je tačka primjene sile F određen radijus vektorom r, tada je relacija važeća

M o (F)=r×F. (3.6)

Prema ovom omjeru moment sile jednak je vektorskom proizvodu vektora r vektorom F.

U stvari, modul vektorskog proizvoda je jednak

M o ( F)=rF sin= Fh, (3.7)

Gdje h- rame snage. Imajte na umu i da vektor M o (Ž) usmjeren okomito na ravan koja prolazi kroz vektore r I F, u smjeru iz kojeg je najkraći okret vektora r u pravcu vektora F izgleda da se dešava suprotno od kazaljke na satu. Dakle, formula (3.6) u potpunosti određuje modul i smjer momenta sile F.

Ponekad je korisno napisati formulu (3.7) u formu

M o ( F)=2S, (3.8)

Gdje S- površina trougla OAV.

Neka x, y, z su koordinate tačke primjene sile, i Fx, Fy, Fz– projekcije sile na koordinatne ose. Onda ako je poenta O se nalazi na početku, moment sile se izražava na sljedeći način:

Iz toga slijedi da su projekcije momenta sile na koordinatne osi određene formulama:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Hajde da sada uvedemo koncept projekcije sile na ravan.

Neka snaga bude data F i neki avion. Spustimo okomice s početka i kraja vektora sile na ovu ravan.

Projekcija sile na ravan pozvao vektor , čiji se početak i kraj poklapaju sa projekcijom početka i projekcijom kraja sile na ovu ravan.

Ako uzmemo avion kao avion koji se razmatra xOy, zatim projekcija sile F na ovoj ravni će biti vektor Fxy.

Trenutak snage Fxy u odnosu na tačku O(tačke ukrštanja ose z sa avionom xOy) može se izračunati pomoću formule (3.9), ako je uzmemo z=0, Fz=0. Dobijamo

MO(Fxy)=(xF y -yF x)k.

Dakle, moment je usmjeren duž ose z, i njegovu projekciju na osu z tačno poklapa sa projekcijom na istu osu momenta sile F u odnosu na tačku O. Drugim riječima,

M Oz(F)=M Oz(Fxy)= xF y -yF x. (3.11)

Očigledno, isti rezultat se može dobiti ako projektujemo silu F na bilo koju drugu paralelnu ravan xOy. U ovom slučaju, točka presjeka ose z sa ravninom će biti drugačije (novu tačku preseka označavamo sa O 1). Međutim, sve količine uključene na desnoj strani jednakosti (3.11) X, at, F x, F yće ostati nepromijenjen, pa se stoga može napisati

M Oz(F)=M O 1 z ( Fxy).

Drugim riječima, projekcija momenta sile u odnosu na tačku na osu koja prolazi kroz ovu tačku ne zavisi od izbora tačke na osi . Stoga, u nastavku, umjesto simbola M Oz(F) koristićemo simbol Mz(F). Ova projekcija trenutka se zove moment sile oko ose z. Često je pogodnije izračunati moment sile oko ose projektovanjem sile F na ravni okomitoj na osu i izračunavanje vrijednosti Mz(Fxy).

U skladu sa formulom (3.7) i uzimajući u obzir predznak projekcije, dobijamo:

Mz(F)=Mz(Fxy)=± F xy h*. (3.12)

Evo h*– rame snage Fxy u odnosu na tačku O. Ako promatrač vidi iz pozitivnog smjera z-ose da je sila Fxy teži da rotira tijelo oko ose z u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se uzima znak “+”, au suprotnom znak “–”.

Formula (3.12) omogućava da se formuliše sledeće pravilo za izračunavanje momenta sile oko ose. Da biste to uradili potrebno vam je:

· izabrati proizvoljnu tačku na osi i konstruisati ravan okomitu na osu;

· projektuje silu na ovu ravan;

· odrediti krak projekcije sile h*.

Moment sile u odnosu na osu jednak je proizvodu modula projekcije sile na njeno rame, uzet sa odgovarajućim predznakom (vidi gore navedeno pravilo).

Iz formule (3.12) slijedi da moment sile oko ose je nula u dva slučaja:

· kada je projekcija sile na ravan okomitu na osu jednaka nuli, tj. kada su sila i osa paralelne ;

kada projekcija ramena h* jednako nuli, tj. kada linija akcije siječe osu .

Oba ova slučaja se mogu kombinovati u jedan: moment sile oko ose je nula ako i samo ako su linija djelovanja sile i ose u istoj ravni .

Zadatak 3.1. Izračunajte u odnosu na tačku O momenta moći F, primijenjen na tačku A i dijagonalno usmjereno lice kocke sa stranicom A.

Prilikom rješavanja ovakvih zadataka preporučljivo je prvo izračunati momente sile F u odnosu na koordinatne ose x, y, z. Koordinate tačaka A primena sile Fće

Projekcije sile F na koordinatnim osama:

Zamjenom ovih vrijednosti u jednakosti (3.10), nalazimo

, , .

Isti izrazi za momente sile F u odnosu na koordinatne ose može se dobiti pomoću formule (3.12). Da bismo to učinili, dizajniramo silu F na ravni okomitoj na osu X I at. Očigledno je da . Primjenom gore navedenog pravila dobijamo, kako bi se očekivalo, iste izraze:

, , .

Modul momenta je određen jednakošću

Hajde da sada uvedemo koncept trenutka para. Nađimo prvo čemu je jednak zbir momenata sila koje čine par u odnosu na proizvoljnu tačku. Neka O je proizvoljna tačka u prostoru, i F I F" – sile koje čine par.

Onda M o (F)= OA × F, M o (F")= OB × F",

M o (F)+ M o (F")= OA × F+ OB × F",

ali pošto F= -F", To

M o (F)+ M o (F")= OA × F- OB × F=(OA-OB)× F.

Uzimajući u obzir ravnopravnost OA-OB=BA , konačno nalazimo:

M o (F)+ M o (F")= VA × F.

dakle, zbir momenata sila koje čine par ne zavisi od položaja tačke u odnosu na koju se momenti uzimaju .

Vector artwork VA × F i zove se par trenutaka . Trenutak para je označen simbolom M(Ž, Ž"), i

M(Ž, Ž")=VA × F= AB × F",

ili, ukratko,

M=VA × F= AB × F". (3.13)

S obzirom na desnu stranu ove jednakosti, to primjećujemo trenutak para je vektor, okomito na ravan para, koji je po modulu jednak proizvodu modula jedne sile para na kraku para (tj. najkraća udaljenost između linija djelovanja sila koje čine par) i usmjerena u smjeru iz kojeg se vidi se da se "rotacija" para dešava suprotno od kazaljke na satu . Ako h– onda rame para M(Ž, Ž")=h×F.

Iz same definicije jasno je da je moment para sila slobodan vektor, čija linija djelovanja nije definirana (dodatno opravdanje za ovu primjedbu slijedi iz teorema 2 i 3 ovog poglavlja).

Da bi par sila činio uravnotežen sistem (sistem sila ekvivalentnih nuli), potrebno je i dovoljno da moment para bude jednak nuli. Zaista, ako je trenutak para nula, M=h×F, onda bilo F=0, tj. nema snage, ni ramena para h jednako nuli. Ali u ovom slučaju, sile para će djelovati u jednoj pravoj liniji; budući da su jednake po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima, onda će, na osnovu aksioma 1, formirati uravnotežen sistem. Obrnuto, ako dvije sile F 1 I F 2, koji čine par, su uravnoteženi, a zatim, na osnovu istog aksioma 1, djeluju u jednoj pravoj liniji. Ali u ovom slučaju poluga para h jednako nuli i stoga M=h×F=0.

Teoreme para

Dokažimo tri teoreme uz pomoć kojih postaju moguće ekvivalentne transformacije parova. U svim razmatranjima treba imati na umu da se oni odnose na parove koji djeluju na bilo koje jedno čvrsto tijelo.

Teorema 1. Dva para koja leže u istoj ravni mogu se zamijeniti jednim parom koji leži u istoj ravni, sa momentom jednakim zbroju momenata ova dva para.

Da biste dokazali ovu teoremu, razmotrite dva para ( F 1,Ž" 1) I ( F 2,Ž" 2) i pomjeriti tačke primjene svih sila duž linija njihovog djelovanja do tačaka A I IN respektivno. Sabiranjem sila prema aksiomu 3, dobijamo

R=F 1+F 2 I R"=F" 1+Ž" 2,

Ali F 1=-Ž" 1 I F 2=-Ž" 2.

dakle, R=- R", tj. snagu R I R" formiraju par. Nađimo trenutak ovog para koristeći formulu (3.13):

M=M(R, R")=VA× R= VA× (F 1+F 2)=VA× F 1+VA× F 2. (3.14)

Kada se sile koje čine par prenesu duž linija njihovog delovanja, ne menjaju se ni krak ni smer rotacije para, pa se ne menja ni moment para. znači,

BA×F 1 =M(F 1,Ž" 1)=M 1, VA× F 2 = M(F 2,Ž" 2)=M 2

i formula (3.14) poprima oblik

M=M 1 +M 2, (3.15)

što dokazuje valjanost gore formulirane teoreme.

Navedimo dvije napomene na ovu teoremu.

1. Linije djelovanja sila koje čine parove mogu se pokazati paralelnim. Teorema u ovom slučaju ostaje važeća, ali da bismo je dokazali treba koristiti pravilo zbrajanja paralelnih sila.

2. Nakon dodavanja može se ispostaviti da M(R, R")=0; Na osnovu ranije date napomene, proizilazi da je kolekcija dva para ( F 1,Ž" 1, F 2,Ž" 2)=0.

Teorema 2. Dva para koja imaju geometrijski jednake momente su ekvivalentna.

Pustite na telu u avionu I par ( F 1,Ž" 1) sa momentom M 1. Pokažimo da se ovaj par može zamijeniti drugim sa parom ( F 2,Ž" 2), koji se nalazi u avionu II, ako je samo njen trenutak M 2 jednaki M 1(prema definiciji (vidi 1.1) to će značiti da parovi ( F 1,Ž" 1) I ( F 2,Ž" 2) su ekvivalentni). Prije svega, napominjemo da su avioni I I II moraju biti paralelne, posebno se mogu poklapati. Zaista, iz paralelizma trenutaka M 1 I M 2(u našem slučaju M 1=M 2) slijedi da su ravni djelovanja parova okomite na momente također paralelne.

Hajde da predstavimo novi par ( F 3,Ž" 3) i pričvrstite ga zajedno sa parom ( F 2,Ž" 2) na tijelo, stavljajući oba para u ravan II. Da biste to učinili, prema aksiomu 2, trebate odabrati par ( F 3,Ž" 3) sa momentom M 3 tako da primijenjeni sistem sila ( F 2,Ž" 2, F 3,Ž" 3) je bila uravnotežena. To se može učiniti, na primjer, na sljedeći način: staviti F 3=-Ž" 1 I F" 3 =-F 1 i kombinuju tačke primene ovih sila sa projekcijama A 1 i IN 1 bod A I IN u avion II. U skladu sa izgradnjom imaćemo: M 3 = -M 1 ili, s obzirom na to M 1 = M 2,

M 2 + M 3 = 0.

Uzimajući u obzir drugu napomenu na prethodnu teoremu, dobijamo ( F 2,Ž" 2, F 3,Ž" 3)=0. Dakle, parovi ( F 2,Ž" 2) I ( F 3,Ž" 3) su međusobno uravnoteženi i njihova vezanost za tijelo ne narušava njegovo stanje (aksiom 2), tako da

(F 1,Ž" 1)= (F 1,Ž" 1, F 2,Ž" 2, F 3,Ž" 3). (3.16)

S druge strane, sile F 1 I F 3, i Ž" 1 I Ž" 3 može se dodati po pravilu sabiranja paralelnih sila usmjerenih u jednom smjeru. U modulu su sve ove sile jednake jedna drugoj, dakle i njihove rezultante R I R" mora biti primijenjen na presjeku dijagonala pravokutnika ABB 1 A 1 ; osim toga, jednake su po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima. To znači da oni čine sistem ekvivalentan nuli. dakle,

(F 1,Ž" 1, F 3,Ž" 3)=(R, R")=0.

Sada možemo pisati

(F 1,Ž" 1, F 2,Ž" 2, F 3,Ž" 3)=(F 3,Ž" 3). (3.17)

Upoređujući relacije (3.16) i (3.17), dobijamo ( F 1,Ž" 1)=(F 2,Ž" 2), što je trebalo dokazati.

Iz ove teoreme slijedi da se par sila može pomjeriti u ravni svog djelovanja, prenijeti u paralelnu ravan; konačno, u paru možete istovremeno mijenjati sile i polugu, zadržavajući samo smjer rotacije para i modul njegovog momenta ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

U nastavku ćemo u velikoj mjeri koristiti takve ekvivalentne transformacije parova.

Teorema 3. Dva para koja leže u ravninama koje se seku su ekvivalentne jednom paru čiji je moment jednak zbiru momenata dva data para.

Neka parovi ( F 1,Ž" 1) I ( F 2,Ž" 2) nalaze se u ravninama koje se seku I I II respektivno. Koristeći posljedicu teoreme 2, oba para svodimo na rame AB, koji se nalazi na liniji presjeka ravnina I I II. Označimo transformisane parove sa ( P 1,Q" 1) I ( P 2,Q" 2). U ovom slučaju, jednakosti moraju biti zadovoljene

M 1 = M(P 1,Q" 1)=M(F 1,Ž" 1) I M 2 = M(P 2,Q" 2)=M(F 2,Ž" 2).

Dodajmo, prema aksiomu, 3 sile primijenjene u tačkama A I IN respektivno. Onda dobijamo R=Q 1 +Q 2 I R"=Q" 1 +Q" 2. S obzirom na to Q" 1 = -Q 1 I Q" 2 = -Q 2, dobijamo R=-R". Tako smo dokazali da je sistem od dva para ekvivalentan jednom paru ( R,R").

Hajde da nađemo trenutak M ovaj par. Na osnovu formule (3.13) imamo

M(R,R")=VA× (Q 1 +Q 2)=VA× Q 1 + VA× P 2=

=M(P 1,Q" 1)+M(P 2,Q" 2)=M(F 1,Ž" 1)+M(F 2,Ž" 2)

M=M 1 +M 2,

one. teorema je dokazana.

Imajte na umu da dobijeni rezultat vrijedi i za parove koji leže u paralelnim ravnima. Teoremom 2 takvi se parovi mogu svesti na jednu ravan, a prema teoremi 1 mogu se zamijeniti jednim parom čiji je moment jednak zbroju momenata sastavnih parova.

Gore dokazane teoreme para omogućuju nam da izvučemo važan zaključak: moment para je slobodan vektor i u potpunosti određuje djelovanje para na apsolutno kruto tijelo . U stvari, već smo dokazali da ako dva para imaju iste momente (dakle, leže u istoj ravni ili u paralelnim ravnima), onda su oni jedan drugome ekvivalentni (teorema 2). S druge strane, dva para koja leže u ravninama koje se seku ne mogu biti ekvivalentne, jer bi to značilo da su jedan od njih i par nasuprot drugome ekvivalentni nuli, što je nemoguće, jer je zbir momenata takvih parova različit od nule.

Stoga je uvedeni koncept trenutka para izuzetno koristan, jer u potpunosti odražava mehaničko djelovanje para na tijelo. U tom smislu možemo reći da trenutak iscrpno predstavlja djelovanje para na kruto tijelo.

Za deformabilna tijela, teorija parova gore navedena nije primjenjiva. Dva suprotna para, koja djeluju, na primjer, na krajevima štapa, jednaka su nuli sa stanovišta statike čvrstog tijela. U međuvremenu, njihovo djelovanje na deformabilnu šipku uzrokuje njenu torziju, a što je veći moduli momenta.

Pređimo na rješavanje prvog i drugog problema statike, kada na tijelo djeluju samo parovi sila.

Moment sile oko ose je trenutak projekcije sile na ravan okomitu na osu, u odnosu na tačku presjeka ose s ovom ravninom

Trenutak oko ose je pozitivan ako sila teži da rotira ravan okomitu na osu suprotno od kazaljke na satu kada gleda prema osi.

Moment sile oko ose je 0 u dva slučaja:

Ako je sila paralelna sa osom

Ako sila prelazi osu

Ako linija djelovanja i osa leže u istoj ravni, tada je moment sile oko ose jednak 0.

27. Odnos između momenta sile oko ose i vektorskog momenta sile oko tačke.

Mz(F)=Mo(F)*cosαMoment sile u odnosu na osu jednak je projekciji vektora momenta sile u odnosu na tačku ose na ovu osu.

28. Glavna teorema statike o dovođenju sistema sila u dato središte (Poinsotova teorema). Glavni vektor i glavni moment sistema sila.

Glavni vektor sistema sila zove se vektor R, jednako vektorskom zbiru ovih sila:

R = F 1 + F 2 + ... + F n = F i.

Za ravan sistem sila, njegov glavni vektor leži u ravni djelovanja ovih sila.

Glavna tačka sistema snaga u odnosu na centar O naziva se vektor L O, jednako zbroju vektorskih momenata ovih sila u odnosu na tačku O:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F i).

Vector R ne zavisi od izbora centra O, i vektora L Kada se položaj centra promijeni, O se generalno može promijeniti.

Poinsotova teorema: proizvoljan prostorni sistem sila može se zamijeniti jednom silom sa glavnim vektorom sistema sila i parom sila sa glavnim momentom bez narušavanja stanja čvrstog tijela. Glavni vektor je geometrijski zbir svih sila koje djeluju na čvrsto tijelo i nalazi se u ravni djelovanja sila. Glavni vektor se razmatra kroz njegove projekcije na koordinatne ose.

29 Posebni slučajevi redukcije prostornog sistema snaga

	Vrijednosti glavnog vektora i glavnog momenta	Rezultat kastinga
		Sistem sila se svodi na par sila čiji je moment jednak glavnom momentu (glavni moment sistema sila ne zavisi od izbora centra redukcije O).
		Sistem sila se svodi na rezultantu jednaku prolasku kroz centar O.
		Sistem sila je sveden na rezultantu jednaku glavnom vektoru i paralelnu s njim i smještenu na udaljenosti od njega. Položaj linije djelovanja rezultante mora biti takav da se smjer njenog momenta u odnosu na centar redukcije O poklapa sa smjerom u odnosu na centar O.
	, a vektori nisu okomiti	Sistem sila je sveden na dina (motorni vijak) - kombinaciju sile i para sila koje leže u ravni okomitoj na ovu silu.
		Sistem sila primijenjenih na čvrsto tijelo je uravnotežen.

Zamena, dobijamo

Označimo koordinate tačke O 1 u kojoj se dobija dinamika sa x, y, z. Tada su projekcije vektora na koordinatne ose jednake koordinatama x, y, z. S obzirom na to, (*) se može izraziti u obliku

gdje ja. j ,k su jedinični vektori koordinatnih osa, a vektorski proizvod * je predstavljen determinantom. Vektorska jednadžba(**) je ekvivalentno tri skalara, koji se, nakon odbacivanja, mogu predstaviti kao

Rezultirajuće linearne jednadžbe za koordinate x, y, z su jednadžbe prave linije - centralne spiralne ose. Shodno tome, postoji prava linija u čijim se tačkama sistem sila svodi na dinamiku.