Функция на Мьобиус. Формула за обръщане на Мьобиус. Лентата на Мьобиус - невероятно откритие "Магията" на лентата на Мьобиус

Общинско бюджетно учебно заведение средно училище със задълбочено изучаване на индивид

елементи с. Тербуни

лентата на Мьобиус

Изпълнител: Чепурина Анна Виталиевна,

ученик от 10 клас

Ръководител: Кирикова М.А.

първи учител по математика

квалификационна категория

село Тербуни

2015 г

Въведение………………………………………………………………..................3

Исторически контекст………………………………………………………4

Лентата на Мьобиус – началото на нова наука топология..................................5

Създаване на лента на Мьобиус……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Експерименти с лентата на Мьобиус............................................. ...... .................9

Топологични свойства на лентата на Мьобиус……………………..11

Теореми за лентата на Мьобиус…………………………………….12

Трикове с лента на Мьобиус…………………………………………………………15

Приложение на лентата на Мьобиус……………………………………..16

Заключение..................................................... ............................................23

Списък на използваната литература ............................................. ........... .25

Приложение

Въведение

В днешно време е важно да се изучават различните свойства и нестандартни приложения на необичайни фигури.

Чували ли сте някога за лента на Мьобиус? Как може да се направи, как е свързано с математиката и къде се използва в живота.

Докато вършех тази работа, стигнах до заключението, че въпреки че лентата на Мьобиус е открита още през 19 век, тя е била уместна както през 20, така и през 20 век. Удивителните свойства на лентата на Мьобиус са били и се използват в кулинарията, технологиите, физиката, живописта, архитектурата и в дизайна на бижута и бижута. Той е вдъхновил творчеството на много писатели и художници.

Интересът към лентата на Мьобиус не е изчезнал и до днес. В Москва през септември 2006 г. се проведе Фестивалът на художествената математика. Речта на професор от Токио беше приета с голям успех.

Много ме интересуваше и заинтригува тази тема. Проучих литературата, след това сам направих лента на Мьобиус и след това проведох изследвания, провеждах експерименти, изучавах нейните магически, необикновени свойства.

Лентата на Мьобиус е лента хартия с единия край, обърнат на половин оборот (т.е. на 180 градуса) и залепен към другия край. Милиони хора във всички части на света дори не осъзнават, че използват лента на Мьобиус всеки ден.

Мишена : кажете и покажете на съучениците си, че една привидно проста панделка, обърната

половин оборот със залепени краища, може да съдържа много

изненади.

Обект на изследване: Лента на Мьобиус.

Задачи: идентифицирайте източници и литература по тази тема и ги анализирайте;

запознават се с историята на лентата на Мьобиус;

научите как да направите лента на Мьобиус;

изучават различните свойства на лентата на Мьобиус;

Докато работех по темата използвах следното методи: анализ, синтез,

наблюдение, експеримент, сравнение и социологическо проучване.

ГЛАВА аз

„Лентата на Мьобиус – началото на една нова наука“

1. 1. Историческа справка

Мистериозната и известна лента на Мьобиус е изобретена през 1858 г. от немски геометърАвгуст Фердинанд Мобиус . Казват, че Мобиус е помогнал да отвори своя „лист“ от прислужница, която е зашила неправилно краищата на дълга панделка. Той изчака седем години работата му да бъде прегледана и без да чака, публикува резултатите от нея.

По същото време като Мьобиус, друг ученик на К. Ф. Гаус изобретил това листо -Йохан Бенедикт Листинг, Професор в Гьотингенския университет. Той публикува работата си три години по-рано от Мобиус, през 1862 г. А. Ф. Мобиус е роден в град Шулпфорте. Известно време под ръководството на К. Гаус изучава астрономия. Той започва да провежда независими астрономически наблюдения в обсерваторията в Плейзенбург през 1818 г. става негов директор. В онези дни математиката не се поддържаше, а астрономията осигуряваше достатъчно пари, за да не мислиш за тях, и оставяше време за собствените си мисли. Ставайки професор в Лайпцигския университет през 1816 г., Мьобиус за първи път въвежда проективна геометрия, координатна система и аналитични методи на изследване; установи съществуването на едностранни повърхности (ленти на Мьобиус), полиедри, за които не важи „законът за ръбовете“ и които нямат обем. Мьобиус е един от основателите на теорията на геометричните трансформации, както и на топологията. Той получава важни резултати в теорията на числата (функцията на Мьобиус) и става един от водещите геометри на своето време.

1.2. Лентата на Мьобиус - началото на нова наука топология

От момента, в който немският математик А. Ф. Мьобиус открива съществуването на удивителен едностранен лист хартия, започва да се развива цял нов клон на математиката, наречен топология. Терминът "топология" може да се припише на два клона на математиката. Една топология, чийто основател е Поанкаре, дълго време се нарича комбинаторна. Другият, чийто произход е немският учен Георг Кантор, е наречен общ или теоретичен на множествата.

Комбинаторната топология е клон на геометрията. „Геометрия“ е гръцка дума, преведена на руски означава „геодезия“ („гео“ означава земя на гръцки, а „метрео“ означава измерване), изучава свойствата на фигурите. Както всяка наука, геометрията е разделена на раздели.

1. Планиметрия (латинска дума, "planum" - повърхност + геометрия), раздел от геометрията, който изучава свойствата на фигури в равнина (триъгълник, квадрат, кръг, кръг и др.)

2. Стереометрия (на гръцки "stereos" - пространство + геометрия) - раздел от геометрията, който изучава свойствата на фигурите в пространството (сфера, куб, паралелепипед и др.)

H. Топология (гръцки "topos" - място, терен + логика) е един от "най-младите" раздели на съвременната геометрия, който изучава свойствата на такива фигури, които не се променят, ако са огънати, опънати, компресирани, но не и залепени и не се разкъсват, т.е. не се променят при деформиране. Примери за топологични обекти са: буквите I и H, тънки дълги балони.

Комбинаторната топология изучава свойствата на геометричните фигури, които остават непроменени при едно-към-едно и непрекъснати съпоставки. Дълго време топологията се възприемаше като наука, далеч от живота, предназначена само за „прославяне на човешкия ум“. Но в наше време стана ясно, че тя е пряко свързана с обяснението на устройството на Вселената.

Общата топология е в съседство с теорията на множествата и е в основата на математиката. Това е аксиоматична теория, предназначена да изследва понятия като „граница“, „конвергенция“, „непрекъснатост“ и т.н. Основите на аксиоматиката на топологичното пространство са положени от Феликс Хаусдорф и завършени от руския математик Павел Сергеевич Александров.

1.3. Как се прави лента на Мьобиус

● Лентата на Мьобиус е една от (математическите изненади). За да направите лента на Мьобиус, вземете правоъгълна лента ABCD, завъртете го на 180 градуса и залепете противоположните страни AB иCD, т.е. така че точките А и ще съвпадат° Си точки ди В.

Вижте прил. единадесет.

● Форми и размери на хартиени ленти за лентата на Мьобиус.

Лентата трябва да е тясна и дълга, с възможно най-голямо съотношение на дължината към ширината. Не можете да направите лента на Мьобиус от квадратен лист хартия. Това е вярно, но не бива да се подценява, че ограниченията за размера имат значение, когато хартията не се набръчква. Ако мачкането на хартията не е забранено, тогава лентата на Мьобиус може да бъде залепена не само от квадрат, но и от правоъгълник с всякакъв размер - залепените страни дори могат да бъдат колкото пъти по-дълги от незалепените.

● Развиваща повърхност.

Тъй като изискването да не се мачка хартията е важно, нека видим какъв е неговият математически смисъл.

Лесно е да се разбере, че забраната за мачкане на хартия значително ограничава

способността да се работи с лист хартия. Например, лист хартия може да се навие на тръба или да се сгъне наполовина, без да се намачква, но не може да се сгъне на четири. Можете да направите конус от лист хартия, без да го смачкате, но не можете да направите сфера или дори парче от него: натиснете листа хартия към земното кълбо и със сигурност ще се появят гънки. Както можете да видите, на лист хартия не може да се придаде никаква форма. Вижте прил. 2.

Повърхностите, които могат да бъдат направени от лист хартия чрез огъване, без да се смачква, се наричат ​​от математиците развиващи се повърхности. В математиката развиващите се повърхности се дефинират по различен начин: в метаматематическия език няма думи „хартия“, „мачкам“, „правя“. Има цяла теория за развиващите се повърхнини, сред постиженията на която е задоволителен отговор на въпроса какви могат да бъдат те; математиците наричат ​​това "класификация" (отговорът принадлежи на Леонардо Ойлер). Нека представим само някои свойства на развиващите се повърхности като експериментални факти.

Вижте прил. 3

1. През всяка точка А на развиваща се повърхнина, която не лежи на нейната граница, минава сегмент, лежащ на повърхността, който не завършва в А. С други думи, до всяка точка на развиваща се повърхност (извита, но не смачкана лист хартия) може да се прикрепи игла за плетене, така че да лежи до повърхността до известна степен от двете страни на взетата точка. Такъв сегмент се нарича генератор на повърхността (нека се съгласим, че това име се отнася само за сегменти с максимална дължина, които лежат изцяло на повърхността, тоест за сегменти, които не се съдържат в големи сегменти с това свойство).

2. Ако две различни генератори преминават през точка A, която не лежи на границата на повърхност и A не е краят на нито една от тях, тогава достатъчно малко парче от повърхността, заобикаляща A, е плоско. В този случай ще наречем точка А плоска.

3. Ако точка А, която не лежи на границата на повърхността, е краят на някакъв генератор, да речем,А , тогава околността на точка А е структурирана така: през точка А минава единствената образуваща, която не свършва там, да речемb . Тази образуваща разделя повърхността на две части. От другата страна на генератораb , с която се намира генератораа , към генератора b плоско парче е съседно, от другата страна наb , произволно от точка А, има неравни точки. В тази ситуация ще наречем точка А полуплоска.

Подчертаваме, че ако дадена точка от повърхнина не е нито гранична, нито плоска, тогава през нея минава една-единствена образуваща, която не завършва на нея, а краищата на тази образуваща лежат на границата на повърхността.

●Примери: Лист хартия, навит на цилиндър или конус, няма плоски (или полуплоски) точки. За цилиндър образуващите образуват семейство от успоредни сегменти; за конус те образуват семейство от сегменти, разпръснати от една точка. Възможни са по-сложни подредби на образуващите.

Вижте прил. 4 .

Например, генераторите и плоските точки на развиваща се повърхност са показани на фигурата (в която повърхността е разгъната в плосък лист хартия): тънките линии са генератори, а защрихованите области се състоят от плоски точки.

Точките, лежащи на границата на област от плоски точки, са или гранични точки за цялата повърхност, или полуплоски. Ако една повърхност е направена от хартиен многоъгълник (да речем, правоъгълник), тогава равнинните точки съставляват един или повече равнинни многоъгълници, като всеки от тези многоъгълници има върхове, лежащи на границата на повърхността, и страни, лежащи на границата или състоящи се на полуравнинни точки.

ГЛАВА 2

2.1. Експерименти с лентата на Мьобиус

Всеки от нас има интуитивна представа какво е „повърхност“. Повърхността на лист хартия, повърхността на стените на класната стая, повърхността на земното кълбо са известни на всички. Може ли да има нещо загадъчно в толкова обикновена концепция? Да, може би пример е лентата на Мьобиус. За да проуча свойствата му, проведох сам няколко експеримента (като ги разделих на две групи).

аз група от експерименти

Експеримент № 1. Ние сме свикнали, че на всяка повърхност, от която

имаме работа (лист хартия, тръба за велосипед или волейбол) –

две страни.

Започнах да рисувам лентата на Мьобиус, без да я обръщам.

Резултат . Лентата на Мьобиус беше изцяло боядисана.

„Ако някой реши да оцвети само едната страна

повърхността на лентата на Мьобиус, нека веднага да я потопи цялата в кофа с боя,” - пишат Ричард Курант и Хърбърт Робинс в отличен

книга "Какво е математика?"

Опит No2. Направих паяк и муха от хартия и ги изпратих „на разходка“.

обикновен пръстен, но им забрани да преминават границите.

Резултат. Паякът не можа да стигне до мухата.

Експеримент № 3. Изпратих тези паяци и летят само по лентата на Мьобиус. И

им забрани да пълзят през границата.

Резултат.Бедната муха ще бъде изядена, ако, разбира се, паякът бяга

по-бързо!

Опит No4. Направих малко човече от хартия и го изпратих да пътува по ивицата на Мьобиус.

Резултат. Малкото човече ще се върне до началната точка, където ще срещне своя огледален образ.

IIгрупа от експерименти

свързани с изрязването на лентата на Мьобиус, резултатите са изброени в таблицата

опит

Описание на преживяването

Резултат

Разрязах обикновен пръстен по дължина по средата.

Получих два прости пръстена, еднаква дължина, два пъти по-широки, с две граници.

Лентата на Мьобиус беше разрязана по дължина по средата.

Получих 1 пръстен, чиято дължина е два пъти по-дълга, ширината е два пъти по-тясна, усукана на 1 пълен оборот, с една граница.

Ширина на лентата на Мьобиус

5см разрязва се по дължина на разстояние 1см от ръба.

Получих два пръстена, свързани един с друг: 1) лента на Мьобиус - дължина = дължината на оригиналния, ширина 3 см; 2) ширина 1 см, дължина два пъти по-голяма от оригинала, усукана две пълни обороти, с две граници.

Ширина на лентата на Мьобиус

5см разрязва се по дължина на разстояние 2см от ръба.

Получих два пръстена, свързани един с друг: 1) пръстенът е лента на Мьобиус с ширина 1 см, дължина = дължината на оригиналния; 2) халка - широка 2 см, два пъти по-дълга от оригиналната, усукана на два пълни оборота, с две граници.

Лента на Мьобиус с ширина 5 cm, разрязана по дължина на разстояние 3 cm от ръба.

Имам два пръстена, свързани един с друг: 1) пръстенът е лента на Мьобиус с шир.

1 см със същата дължина; 2) пръстен – широк 2 см, дължината му е два пъти по-голяма от оригинала, усукан на два пълни оборота.

Резултатите от социологическо проучване с ученици от 10 клас.

Въпроси

да

Не

Чували ли сте

1. Знаете ли какво е топология?

2. Знаете ли какво е лента на Мьобиус?

3.Знаете ли свойства на лентата на Мьобиус?

Само 5% от учениците в 10 клас знаят какво е топология. 30% от учениците знаят какво е лента на Мьобиус, а 20% са чували за нея. 50% нямат представа за лентата на Мьобиус. 25% от учениците знаят свойствата на лентата, 10% са чували за тях, 65% не знаят нищо за свойствата на лентата на Мьобиус.

2.2.Топологични свойства на лентата на Мьобиус

Въз основа на резултатите от експериментите можем да формулираме следните топологични свойства на лентата на Мьобиус, свързани с математически изненади.

Едностранчивостта е топологично свойство на лентата на Мьобиус, характерно само за нея.

Непрекъснатост - върху лентата на Мьобиус всяка точка може да бъде свързана

с всяка друга точка. Няма прекъсвания - пълна непрекъснатост.

От топологична гледна точка кръгът е неразличим от квадрата,

тъй като те лесно се превръщат един в друг, без да се счупят

приемственост.

Свързване – ще са необходими два разреза, за да се разполови пръстенът. Що се отнася до лентата на Мьобиус, броят на връзките се заменя в зависимост от промяната в броя на завъртанията на лентата: ако един завой е двойно свързан, ако два завоя са просто свързани, ако три завъртания са двойно свързани и т.н. разделете квадрата на две части, имаме нужда само от един разрез. Свързването обикновено се оценява чрез числото на Бети или понякога се използва характеристиката на Ойлер.

4. Ориентацията е свойство, което липсва в лентата на Мьобиус. Така че, ако човек може да пътува по всички завои на лентата на Мьобиус, тогава той ще се върне в началната точка, но ще се превърне в огледалния си образ.

5. “Хроматично число” е максималният брой зони, които могат да бъдат начертани върху една повърхност, така че всяка от тях да има обща граница с всички останали. Хроматичното число на лентата на Мьобиус е шест.

6. Теореми за лентата на Мьобиус

Теорема 1: λ ≥ π/2

Поради сложността на доказателството не го разглеждам в работата си.

Теорема 2: λ ≤ √3

Тази теорема е по-проста от предишната: за да я докажете, достатъчно е да обясните как да залепите лента на Мьобиус от лента, чиято дължина е по-голяма от √3. Нека първо приемем, че дължината му е точно √3. След това можете да поставите два правилни триъгълника върху тази лента. Нека сгънем лентата по страните на тези триъгълници, като редуваме посоките на сгъване. Ръбовете AB и CD на лентата ще се изравнят и точка A ще се изравни с точка D, а точка B с точка C. Резултатът ще бъде лента на Мьобиус, чиито ръбове са разположени от край до край (вижте Приложение 1.2 )

При тази конструкция е нарушено основното правило - не набръчквайте хартията. Но е лесно да се разбере, че ако дължината на лентата е поне малко повече от √3, тогава прекъсването по протежение на генератора може да бъде заменено с огъване, извършено в тесен участък. Накратко, ние не се страхуваме от прегъване по прав сегмент: той може да бъде заменен от завой близо до него. (Непоправимо намачкване на хартията се получава при пресичане на две линии на сгъване, т.е. когато листът е сгънат като носна кърпичка - всичко това ни е известно от всекидневния опит.) Структурата му може да си представим по следния начин: три еднакви правилни триъгълника ABC, A"B"C", A"B"C" лежат успоредно един на друг, съответните върхове са над съответните върхове; страните AB и A"B", B"C" и B"C", C"A" и CA са свързани с джъмпери. Линията на залепване минава по медианата на един от триъгълниците.

Защо не можем да намерим λ по-точно?

Докато проблемът не бъде решен, е трудно да се каже защо не е решен. Независимо от това, понякога в различни нерешени проблеми е възможно да се проследят общи трудности, да се маркират, така да се каже, трудни места на математическа карта, което понякога позволява да се предвиди успех или неуспех при решаването на конкретен проблем

Теорема 3. Лента на Мьобиус със самопресичане може да бъде слепена от лента с произволна дължина, по-голяма от π/2.

Прави се така. Нека вземем достатъчно голямо странно n и построим правилен n-ъгълник, вписан в окръжност с диаметър 1. Освен това разгледайте n триъгълника, съдържащи центъра на окръжността, всеки от които е ограничен от страна и два диагонала на n- gon (n=7). Тези триъгълници покриват нашия n-ъгълник, някои от местата му няколко пъти. Нека сега приложим тези n триъгълника един към друг, след което отрязваме половината от най-левия триъгълник по дългата медиана и го прилагаме към най-десния триъгълник. Резултатът е правоъгълна лента със съотношение на дължина към ширина, по-голямо от π/2 и клонящо към π/2 като n, клонящо към ∞ (ширината на лентата клони към 1, а дължината към π/2). Сгънете последователно тази лента по всички линии, начертани върху нея, като редувате посоките на сгъване. Сегментите AB и CD почти ще съвпаднат - между тях ще има само няколко слоя сгъната хартия. При това „почти подравняване“ точка A ще се изравни с D, а точка B ще се изравни с C, така че ако можем да „прокараме лентата през“ и да залепим |AB| с |CD|, тогава резултатът ще бъде лента на Мьобиус. Ако вземете лентата малко по-дълго, можете да избегнете гънките, точно както направихме в доказателството на теорема 2. Получихме лента на Мьобиус, чиито краища са разделени от няколко слоя хартия, вижте Приложение 1.3. Но да се върнем на лентата на Мьобиус. Теорема 1, както видяхме, всъщност се прилага за самопресичащи се ивици. Малко вероятно е условието за липса на самопресичане да няма ефект върху λ; обаче не е възможно да се вземе предвид този ефект, тъй като математиката не разполага с достатъчно технически средства за изследване на самопресичанията в триизмерното пространство. Напротив, твърде вероятно е теорема 2 да не може да бъде подобрена. В края на краищата подобряването му означава измисляне на нов дизайн на лентата. Опитът показва, че оптималните конструкции са прости и хармонични, каквато е конструкцията от доказателството на Теорема 2. Естествено е да се предположи, че ако съществуваше най-добрата конструкция, тя щеше да бъде открита - след толкова години!

Ето защо можем да очакваме λ = √3.

Трикове с лента на Мьобиус

Проблем при връзване на възли

Как да завържем възел на шал, без да пускаме краищата му? Може да се направи така. Поставете шала на масата. Скръстете ръце на гърдите си. Продължавайки да ги държите в това положение, наведете се над масата и вземете единия край на шала с всяка ръка на свой ред. След като ръцете се раздалечат, автоматично ще се образува възел в средата на шала. Използвайки топологична терминология, можем да кажем, че ръцете, тялото и шалът на зрителя образуват затворена крива под формата на възел с „три листа“. При разпръскване на ръцете възелът се движи само от ръцете към шала.

Завържете шала на възел с една ръка, без да пускате края на шала от ръката си. Отговорът на този пъзел може да се намери в книгата „Математически чудеса и мистерии” от М. Гарднър.

От топологична гледна точка жилетката може да се разглежда като двустранна повърхност с три несвързани ръба, всеки от които е обикновена затворена крива. Жилетката с копчета е двустранна повърхност с четири ръба.

Мистериозна примка.

Зрителят, който носи жилетката, има примка на ръката си и след това е помолен да постави палеца си в долния джоб на жилетката. Сега можете да поканите присъстващите да свалят примката от ръката ви, без да изваждат пръста си от джоба на жилетката. Решението е следното: примката трябва да се изтегли в отвора на жилетката за ръкава, да се хвърли върху главата на зрителя, да се издърпа през втория отвор за ръкава и да се премести под втората ръка. В резултат на тези действия примката ще бъде под жилетката, заобикаляйки гърдите. Спуснете го, докато се появи изпод жилетката, и след това го оставете да падне на пода.

Обръщане на жилетката отвътре навън, без да я сваляте от човека.

Собственикът на жилетката трябва да стисне пръстите си зад гърба си. Околните трябва да обърнат жилетката навътре, без да отделят ръцете на собственика. За да демонстрирате това преживяване, е необходимо да разкопчаете жилетката и да я издърпате през ръцете зад гърба на носещия. Жилетката ще виси във въздуха, но, разбира се, няма да се свали, защото ръцете са стиснати. Сега трябва да вземете левия подгъв на жилетката и, опитвайки се да не набръчкате жилетката, я натиснете доколкото е възможно в дясната ръкавна дупка. След това вземете дясната извивка и я вкарайте в същата извивка и в същата посока. Остава само да изправите жилетката и да я дръпнете върху собственика. Жилетката ще бъде обърната наопаки. Изпълнихме този номер и го заснехме с нашите съученици. Съдържа се в презентацията "Лентата на Мьобиус".

2.3. Приложение на лентата на Мьобиус

∞ На входа на Музея на историята и технологиите във Вашингтон стоманена лента, усукана на половин оборот, бавно се върти на пиедестал. През 1967 г., когато в Бразилия се проведе Международният математически конгрес, неговите организатори издадоха възпоменателна марка с номинал от пет сентаво. Изобразяваше лента на Мьобиус. Както паметникът, висок повече от два метра, така и малката марка са уникални паметници на немския математик и астроном Август Фердинанд Мьобиус.

Вижте Приложение 5.

Патентната служба е регистрирала много изобретения, базирани на една и съща едностранна повърхност.

∞ Лентата на Мьобиус се използва в много изобретения, вдъхновени от внимателното изследване на свойствата на едностранна повърхност. Лентата на транспортната лента, направена под формата на лента на Мьобиус, позволява да работи два пъти по-дълго, тъй като цялата повърхност на листа се износва равномерно. През 1923 г. е издаден патент на изобретателя Лий де Форс, който предлага запис на звук върху филм без смяна на ролки от двете страни наведнъж. Изобретени са касети за магнетофони, при които лентата е усукана и залепена в пръстен, което дава възможност да се записва или чете информация от двете страни едновременно, което удвоява капацитета на касетата и съответно времето за възпроизвеждане. При матричните принтери мастилената лента е оформена като лента на Мьобиус, за да се увеличи срокът на годност. Това осигурява значителни спестявания. Лентата на Мьобиус се използва в тръбите за колоездене и волейбол.

∞ Съвсем наскоро намериха друго приложение за него - той започна да играе ролята на пружина, само специална пружина. Както знаете, заредена пружина се задейства в обратната посока. Лентата на Mobius, противно на всички закони, не променя посоката на работа, като механизми с две стабилни позиции. Такава пружина би могла да стане безценна в играчките за навиване - не може да се усуква като обикновена - един вид вечен двигател.

Вижте прил. 6.

∞ През 1971 г. изобретателят от Урал П. Н. Чесноков. прилага филтър под формата на лента на Мьобиус.

∞ Листата на Мьобиус се използват в кулинарията за създаване на интересна и апетитна визия на кифли, крекери и храсти. А също и в производството на инструменти за приготвяне и декориране на различни ястия, силови конструкции (бъркалка).

Вижте прил. 7.

∞ С помощта на лента на Мьобиус се създават цели шедьоври.

Лентата на Мьобиус служи като вдъхновение за скулптури и графично изкуство. Ешер беше един от художниците, които го обичаха особено и посвети няколко от своите литографии на този математически обект. Един известен показва мравки, пълзящи по повърхността на лента на Мьобиус.

Вижте приложение 9.

∞ Лентата на Мьобиус също се появява редовно в научната фантастика, като например в историята на Артър К. Кларк „Стената на мрака“. Понякога научнофантастичните истории предполагат, че нашата Вселена може да е някакъв вид обобщена лента на Мьобиус. В историята на автора A.J. Deitch, метрото в Бостън изгражда нова линия, чийто маршрут става толкова объркващ, че се превръща в лента на Мобиус, след което влаковете започват да изчезват по тази линия.

∞ Има хипотеза, че самата спирала на ДНК също е фрагмент от лента на Мьобиус и това е единствената причина генетичният код да е толкова труден за дешифриране и възприемане. Освен това такава структура съвсем логично обяснява причината за настъпването на биологичната смърт: спиралата се затваря в себе си и настъпва самоунищожение.

Приложение 10.

∞ Лентата на Мьобиус се хареса не само на математиците, но и на магьосниците

Повече от 100 години лентата на Мьобиус се използва за извършване на различни магически трикове и забавления. Удивителните свойства на листата бяха демонстрирани дори в цирка, където бяха окачени ярки ленти, залепени заедно под формата на ленти на Мьобиус. Магьосникът запали цигара и с горящия край докосна средната линия на всяка лента, която беше направена от калиев нитрат. Огненият път превърна първата лента в по-дълга, а втората в две ленти, ввити една в друга. (В този случай магьосникът преряза лентата на Мьобиус не по средата, а на разстояние една трета от нейната ширина).

∞ Физиците твърдят, че всички оптични закони се основават на свойствата на лентата на Мобиус, по-специално отражението в огледалото е вид прехвърляне във времето, краткотрайно, с продължителност стотни от секундата, защото виждаме пред себе си. .точно така, нашето огледало двойно.

∞Има хипотеза, че нашата Вселена е доста вероятно затворена в една и съща лента на Мьобиус, според теорията на относителността, колкото по-голяма е масата, толкова по-голяма е кривината на пространството. Тази теория напълно потвърждава предположението, че космически кораб, летящ през цялото време направо, може да се върне в началната точка, което потвърждава неограничеността и крайността на Вселената.

Вижте прил. единадесет.

∞ Интересът към лентата на Мьобиус не е изчезнал и до днес. Фестивалът на художествената математика се проведе в Москва през септември 2006 г. Речта на професора от Токио Джин Акияма беше приета с голям успех. Изпълнението му напомняше шоу на илюзионисти, където имаше място за лентата на Мьобиус (работа с хартия „Лентата на Мьобиус и нейните модификации“).

СПОРТ

Ръчен разширител "Робур"

Вижте прил. 12 .

Един отлюбими неща на всички учители по физкултура в училище, които според тяхпо собствените му думи „не тренирасамо мускулите на ръката, нои мозъчен мускул."Карпален разширител отСтудиото на Артемий Лебедев повтаря формата на лента на Мьобиус. Отлично средство за облекчаване на стреса, мислене забезкрайност ипросто полезен начин да държите ръцете си заети.

ПАРФЮМ

Парфюм Bugatti

Вижте прил. 13

КомпанияБугатизапочна да произвежда не само ултраскъпи автомобили (моделVeyronструва 1,3 милиона евро), но и... парфюм. Всяка бутилка, изработена от кристал и покрита с истинско злато, е проектирана под формата на необичайна лента на Мьобиус, която има само една страна. Цена на парфюмБугатие 3500 евро.

Парфюм Loewe Quzas, Quizas, Quizas

Вижте прил. 14 .

През есента на 2011 г. беше пусната пурпурна версия на аромата, чийто флакон е обвит в лента на Мобиус - символ на цикъла на страстите в природата. Богатството на композицията се състои от свежест на азиатски портокали, бергамот, червени горски плодове, продължава с флорално сърце от магнолия, фрезия и портокалови листенца и завършва с чувствена следа от кашмирено дърво, златен кехлибар и ветивер.

Парфюм UFO Limited Edition, Kenzo

Вижте прил. 15 .

Презентация на ароматаКензосе проведе през 2009 г. на ретроспективна изложба на творби на Рон Арад (РонАрад) в Центъра Помпиду в Париж. Именно този художник и архитект измисли космическия дизайн на бутилката под формата на лента на Мьобиус. Той е проектиран да пасва точно в дланта ви.НеидентифициранАроматОбект, или „Неидентифициран ароматен обект“, е ограничен само до 180 броя и се продава на дребно за $188.

МЕБЕЛИ

Таблица на Мобиус

Вижте прил. 16

Маса с една повърхност, на която можете да стоите, седите и лежите удобно.

Рафт за книги Infinity

Вижте прил. 17.

Дизайнерът Джоб Келевиус разби шаблона, когато проектира своята библиотека Infinity. Използвайки математическата концепция на Lemniscate и нещо подобно на лентата на Мьобиус, дизайнерът въплъщава физическата концепция за безкрайността в Infinity Shelf. Това означава, че ако сте прочели всички книги на този рафт, смятайте, че сте разбрали цялата безкрайност на литературата.

Диван Мобиус

Вижте прил. 18.

Роден под мотото "Двоен стол - двойно удоволствие", диванът столМьобиусДвойнаФотьойлсъздаден от дизайнерGaдтенВандеУайърот Белгия и носи свежа визия на мебели за влюбени.

ЛОГОТА

Лого на компанията Woolmark

Вижте прил. 19.

Логото е създадено през 1964 г. в резултат на конкурс за дизайн. Член на журитоФранкоГринянине можа да устои и предложи своя версия, криейки се под псевдонимФранческоСерал. Това лого прилича на лента на Мьобиус и е символ на вечността и гъвкавостта на компанията.

Символ за рециклиране

Вижте прил. 20.

Международният символ за рециклиране е лентата на Мьобиус.Рециклиране (други условия: рециклиране, рециклиране на отпадъци,рециклиране и рециклиране)- повторно използване или връщане в обращение на промишлени отпадъци или боклук. Най-често срещаните са вторични, третични и T. д. рециклиране в един или друг мащаб на материали като стъкло, хартия, алуминий, асфалт, желязо, тъкани и различни видове пластмаса. Органичните земеделски и битови отпадъци също се използват в селското стопанство от древни времена.

Математически символ

Вижте прил. 21.

Лентата на Мьобиус се смята за символ на съвременната математика, тъй като именно той даде тласък на нови математически изследвания.

ОБЛЕКЛО И ОБУВКИ

Обувки

Вижте прил. 22.

Основана през 2003 г. от архитекта Рам Ди Колхаасе и обущаря Галахад КларкЮнайтедголае специализирана в производството на иновативни дизайнерски обувки. Едно от най-успешните разработки на компанията са обувкитеМобиус , кръстен на геометъра Август Мьобиус и неговата идея за едностранна повърхност. Идеята на обувките е следната: кожената горна част на обувките и подметката са една лента, усукана по определен начин.

Шал Мобиус

Вижте прил. 23.

Интересен е шалът на Мьобиус, който се появява в гардеробите на 21 век. Можете сами да направите шал на Мьобиус, като завържете краищата на шала и го завъртите на един оборот.

БОЯДИСВАНЕ

Графити

Вижте прил. 24.

Модерна лента на Мьобиус е нарисувана на стена в Прага, Чехия.

 По лентата се движат два вида превозни средства: танкове и пътностроителна техника.Символ на съвременната цивилизация: унищожи-построи-унищожи-построи..

АРХИТЕКТУРА

Сграда на библиотеката

Вижте прил. 25.

В момента се разглежда проект за изграждане на библиотека под формата на лента на Мьобиус в Казахстан.

Извивките на сградата образуват лента на Мьобиус, като по този начин вътрешното пространство прелива във външното и обратно; по подобен начин стените се превръщат в покрив, а покривът отново в стени. Естествената светлина навлиза във вътрешните коридори през геометрични отвори във външната обвивка, създавайки красиво осветени пространства, идеални за четене.

атракции

Вижте прил. 26.

Разходката с влакче наподобява формата на лента на Мьобиус. В Москва има най-голямото обърнато влакче в света, където човек седи на висящ стол и краката му са във въздуха. Скорост - 81 км / ч, височина 30 м. Височината в сравнение с чуждестранните аналози е малка, но повече от изплаща с изобилието от спирали, пръстени и бримки.

Филмова ролка

Вижте прил. 27.

През 1923 г. е издаден патент на изобретателя Лий де Форс, който предлага запис на звук върху филм без смяна на барабани, от двете страни наведнъж.

Касета

Вижте прил. 28.

Касетите са измислени за магнетофони, където лентата е усукана и залепена в пръстен, което дава възможност да се записва или чете информация от двете страни наведнъж, което увеличава капацитета на касетата и съответно времето за възпроизвеждане.

Автомобил Toyota MOB

Вижте прил. 29.

Лентата на Мьобиус е проектирана от испанския дизайнер Хорхе Марти Видал и съчетава красотата и мистерията на лентата на Мьобиус. Уникалната форма на тялото осигурява на състезателния автомобил добра аеродинамика

Матричен принтер

Вижте прил. тридесет.

В много матрични принтери мастилената лента има и формата на лента на Мьобиус, за да увеличи ресурса си.

Резистор на Мьобиус

Вижте прил. 31.

Това е новоизобретен електронен елемент, който няма собствена индуктивност.

Шлифовъчна лента

Вижте прил. 32.

През 1969 г. съветският изобретател Губайдулин предлага безкрайна шлифовъчна лента под формата на лента на Мьобиус.

Заключение

Лентата на Мьобиус е първата едностранна повърхност, открита от учен. По-късно математиците откриха цяла поредица от едностранни повърхности. Но

този, първият, който постави основите на цяло направление в геометрията, продължава да привлича вниманието на учени, изобретатели, художници и нашите студенти. Бях много заинтересован от отворените свойства на лентата на Мьобиус:

Лентата на Мьобиус има един ръб, една страна

Лентата на Мьобиус е топологичен обект. Като всяка топологична фигура, тя не променя свойствата си, докато не бъде нарязана, разкъсана или отделните й части не бъдат залепени заедно.

Единият ръб и едната страна на лентата на Мьобиус не са свързани с нейното положение в пространството и не са свързани с понятията за разстояние.

Лентата на Мьобиус намира множество приложения в кулинарията, технологиите, физиката, живописта, архитектурата, дизайна на бижута и изследването на свойствата на Вселената. Той е вдъхновил творчеството на много писатели и художници.

μ( н) е определено за всички естествени числа ни приема стойности в зависимост от естеството на разширяването на числото нна прости фактори:

• μ( н) = 1 ако нбез квадрати (т.е. никое просто число не се дели на квадрат) и разлагането нчетен брой фактори;
• μ( н) = − 1 ако нбез квадрати и разлагане нв прости множители се състои от нечетен брой множители;
• μ( н) = 0 ако нне е свободен от квадрати.

По дефиниция ние също приемаме μ(1) = 1.

Свойства и приложения

Функцията на Мьобиус е мултипликативна: за всякакви взаимно прости числа аИ bима равенство μ( аb) = μ( а)μ( b) .

Сумата от стойностите на функцията на Мьобиус върху всички делители на цяло число н, не равно на едно, е равно на нула

Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" border="0">

От тук по-специално следва, че за всяко непразно крайно множество, броят на различните подмножества, състоящи се от нечетен брой елементи, е равен на броя на различните подмножества, състоящи се от четен брой елементи - факт, използван в доказателство.

Функцията на Мьобиус е свързана с функцията на Мертенс чрез отношението

Функцията на Мертенс от своя страна е тясно свързана с проблема за нулите на дзета функцията на Риман, вижте статията Хипотеза на Мертенс.

Инверсия на Мьобиус

Първата формула за обръщане на Мьобиус

За аритметични функции fИ ж ,

ж(н) =	∑	f(д)
	д | н

тогава и само когато

.

Втора формула за обръщане на Мьобиус

За функции с реални стойности f(х) И ж(х), дефинирани в ,

тогава и само когато

.

Тук сумата се тълкува като.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво представлява „функцията на Мобиус“ в други речници:

Функцията на Мьобиус μ(n) е мултипликативна аритметична функция, използвана в теорията на числата и комбинаториката, кръстена на немския математик Мьобиус, който за първи път я разглежда през 1831 г. Съдържание 1 Определение 2 Свойства и приложения ... Wikipedia

Функцията на Мьобиус μ(n) е мултипликативна аритметична функция, използвана в теорията на числата и комбинаториката, кръстена на немския математик Мьобиус, който за първи път я разглежда през 1831 г. Съдържание 1 Определение 2 Свойства и приложения ... Wikipedia

Тип трансформации на комплексната равнина (сиво) и сферата на Риман (черно) Съдържание 1 Определение 2 Алгебрични свойства ... Wikipedia

Дробната линейна функция е функция от формата, където z = (z1,...,zn) са комплексни или реални променливи, ai,b,ci,d са комплексни или реални коефициенти. Често терминът „дробна линейна функция“ се използва за нейния специален случай на трансформация... ... Wikipedia

Редът на Мьобиус е функционален ред от формата Тази редица е изследвана от Мьобиус, който открива формула за инверсия за този ред: където μ(s) е функцията на Мьобиус ... Wikipedia

МЕТОДИ НА МЕДИЦИНСКО ИЗСЛЕДВАНЕ- аз Общи принципи на медицинските изследвания. Растежът и задълбочаването на нашите знания, все повече и повече техническо оборудване на клиниката, основано на използването на най-новите постижения на физиката, химията и технологиите, свързаното с това усложняване на методите... ... Голяма медицинска енциклопедия

Патологично състояние, което се развива по време на раждането и се характеризира с увреждане на тъканите и органите на детето, придружено, като правило, от нарушение на техните функции. Факторите, предразполагащи към развитието на R. т.нар. са неверни... ... Медицинска енциклопедия

Лема.

Доказателство. Твърдението е очевидно. Нека и е каноничното разширение на числото . Тогава, като се има предвид, че делителите имат формата , където , ,…, ; , получаваме

тъй като

Теорема. (Адитивна формула за обръщане на Мьобиус.) Нека и са функции на естествения аргумент . Тогава ако

Доказателство. Ние имаме

Позволявам . След това фиксираният преминава през всички стойности на делителите на числото. Това означава, че знаците за сумиране в последната двойна сума могат да бъдат обърнати, т.е.

Сега, предвид това

получаваме

Има и друга форма на доказаната теорема:

Теорема. (Формула за мултипликативна инверсия на Мьобиус.) Позволявам

където символът обозначава произведението, разширено до всички делители на числото.

Доказателство:

Примери за използване на формулата за обръщане на Мьобиус:

Проблем с броя на последователностите на звънене. Виж: Хол М. Комбинаторика. М.: Мир, , § .

Броят на нередуцируемите полиноми от дадена степен върху крайно поле от елементи. Вижте: Berlekamp E. Теория на алгебричното кодиране. − М.: Мир, 1970, гл. 3.

Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра. В т. М.: Хелиос, . T. , § .

За самообучение:

Инверсия на Мьобиус върху частично подредени множества. Принципът на включване-изключване като частен случай на формулата за обръщане на Мьобиус. Виж: Хол М. Комбинаторика. М.: Мир, , § ; Bender E., Goldman J. Относно приложенията на инверсията на Мьобиус в комбинаторния анализ. В книгата: Изброителни проблеми на комбинаторния анализ. М.: Мир, 1971. С. - .

Сравнения за комбинации от числа

Нека е просто число.

Лема.

Доказателство. Когато числителят във формулата

Последица.

Доказателство.

Лема.Нека , , , са неотрицателни цели числа и нека , . Тогава

Доказателство. Ние имаме

От друга страна,

Сравнявайки коефициентите при еднакви градуси, получаваме желания резултат. ∎

− представяне на неотрицателни цели числа и основа. (Тук е всяко цяло число, за което , ). Върху множеството от неотрицателни цели числа дефинираме отношението на частичен ред (отношението предимство), ако приемем, ако и само ако

теорема на Лукас ( ).

Доказателство. Според предишната лема,

Където , . Прилагайки лемата многократно съответния брой пъти, получаваме желания резултат. ∎

Коментирайте.Теоремата не е вярна за непростите. Например (виж Berlekamp, ​​стр.),

Последица.

II . Алгебрични структури

II. 1. Набори с бинарни операции. Групоиди, полугрупи, моноиди

Двоична алгебрична операция(или закон на състава) на непразно множество Снаречено картографиране : , съпоставяне на двойка елементи с уникално дефиниран елемент. Много операции могат да бъдат зададени върху набор. (Ако, например, разбира се, тогава броят на начините е равен на , където е броят на елементите в .) Ако искате да маркирате един от тях, например, напишете , . Такъв обект се нарича двоична алгебра, или групоид. Вместо , те често пишат , а самата операция се обозначава с някакъв символ ( , , и т.н.).

Коментирайте.Наред с двоичните операции се разглеждат и по-общи -арни операции (унарни при, троични при и т.н.). Свързаните с тях алгебрични структури (системи) съставляват обект на изследване на т.нар. универсални алгебри.

Извиква се двоична операция върху множество асоциативен, Ако

, за всякакви , , .

Групоид с асоциативна операция се нарича полугрупа.

Пример за неасоциативен групоид.На множеството дефинираме операцията като . Операцията е неасоциативна: , но .

Теорема.Ако една двоична операция върху множество е асоциативна, тогава стойността на израза не зависи от поставянето на скобите в него.

Доказателство.С или твърдението е очевидно. Защото е достатъчно да се покаже, използвайки индукция, че

за всякакви,. По хипотезата на индукция, поставянето на скоби в

Незначителен; в частност, .

Ако, тогава.

Ако , тогава

До същия вид се привежда и дясната част на доказваното равенство (1). ∎

Елементът се нарича неутраленотносно операцията, ако

за всеки .

Полугрупа с елемент се нарича моноид(или полугрупа с идентичност) и обозначават , , .

Една полугрупа (групоид) може да има най-много един неутрален елемент: if

, тогава са неутрални елементи

Групоид (полугрупа) се нарича подгрупоид (подполугрупа) групоид (полугрупа), , ако

И за всякакви ,.

В този случай те казват, че подмножеството затворен в експлоатация. Моноидът се нарича субмоноидмоноид , , , ако и .

Елементът на моноида, , се нарича обратими, ако има такъв елемент, че (очевидно, тогава ще го обърнем). Ако елементът има същото свойство, т.е. , то от равенствата следва, че елементът действително е уникален (по отношение на ). Това ни позволява да говорим за обратенелемент , към (обратим) елемент , със свойства: , .

Ако , са обратими елементи на моноида , , , то техният продукт също е обратим елемент, тъй като , . Очевидно това е обратим елемент. Следователно има

Теорема.Множеството от всички обратими елементи на моноида , , е затворено спрямо операцията ∗ и образува подмоноид в , , .

Групи

Дефиниция на група.Нарича се моноид , , , чиито всички елементи са обратими група.

С други думи, групата е набор с двоична операция, за която са валидни следните аксиоми:

. (Затворена операция.) , .

. (Операционна асоциативност.) ,

. (Наличие на неутрален елемент.) ∃ .

. (Наличие на обратен елемент.) .

Коментирайте.Връщайки се към въведените по-горе алгебрични структури, наблюдаваме следната йерархия сред тях: двойката , е групоид, ако аксиомата е изпълнена; полугрупа, ако аксиоми и ; моноид, ако аксиоми , и ; група, ако аксиомите , , и .

Степените на елементите с очевидни свойства се определят по естествен начин:

( веднъж),

; , ( , , .

Най-общо казано, невъзможно е да се пренаредят елементи в израз (т.е. ). Ако , тогава елементите се извикват преместваем, или пътуване до работното място. Ако всеки два елемента от група пътуват, тогава групата се извиква комутативен, или абелевски(в чест на норвежкия математик Рийл Хенрик Абел ( - )).

Операция в група най-често се обозначава или със символ (събиране), или със символ (умножение). В този случай групата се извиква съответно добавкаили мултипликативен, неговият неутрален елемент е съответно нула() или мерна единица(). В адитивна група се нарича елементът, обратен на елемента противоположности е обозначено, но вместо това пишат. В мултипликативна група те обикновено пишат вместо това, като пропускат символа на операцията.

Примери за адитивни групи. 1) , , , , , , , – адитивни групи на пръстена и полета , , . Те просто пишат , , , . 2) Всеки пръстен чрез добавяне е абелева група. По-специално, пръстенът от полиноми ,…, ] и пръстенът от матрици от ред над поле са абелеви групи. 3) Всяко векторно пространство над поле по отношение на събирането е абелева група. 4) , 1,…, – пълна система от най-малко неотрицателни модулни остатъци с операцията модулно събиране.

Примери за мултипликативни групи. 1) , , са мултипликативни групи от полета , , . 2) е набор от обратими елементи на всеки пръстен с единица при умножение. По-специално, = ; , е множеството от обратими матрици от . 3) − всички (реални и комплексни) корени

, , 1,…, , − имагинерна единица,

уравнението е мултипликативна абелева група. 4) - множеството от завъртания на правилен -гон в равнината и в пространството - некомутативна група (за ).

Освен това по-често се използва мултипликативната форма на запис на операцията. Групата обикновено се обозначава с една буква, без да се посочва операцията. Съвкупността от всички елементи на една група се нарича основен комплект на групатаи се обозначава със същата буква. Ако базовото множество е ограничено, тогава групата се нарича крайна; иначе се казва безкраен. Числовият елемент на крайна група се нарича негов в ред. Извиква се група от първи ред единичен, или Т съперник. Казва се, че има безкрайна група безкраен ред. За да се посочи редът на групата (кардиналността на основния набор), се използват равни символи Карта (кардинално число) и ().

Ако , са подмножества (на основното множество) на групата, тогава поставяме

, , .

Подгрупана група е подмножество, в което самото е група по отношение на същата операция като в . С други думи, едно подмножество е подгрупа тогава и само ако (едно в) и е затворено спрямо умножение и реципрочно, т.е. , (всъщност тук дори има равенства). Ако е подгрупа в , тогава напишете ; ако в същото време, тогава се нарича собственподгрупа и това се означава като .

Функция на Мьобиус  (н), Където н– естествено число, приема следните стойности:

Функцията на Мьобиус ви позволява да запишете функцията на Ойлер като сума:

Сумирането е върху всички делители на n (а не само върху простите делители).

Пример.Нека изчислим φ (100) с помощта на функцията на Мьобиус.

Всички делители на 100 са (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100).

(2) = (-1) 1 = -1 (две има един прост делител – 2)

(4) = 0 (4 е разделено на квадрат две)

(5) = (-1) 1 = -1 (5 има един прост делител – 5)

(10) = (-1) 2 = 1 (10 има два прости множителя – 2 и 5)

(20) = 0 (20 делено на квадрат две)

(25) = 0 (25 делено на квадрат от пет)

(50) = 0 (50 се дели както на 2 2, така и на 5 5)

(100) = 0 (100 се дели както на 2 2, така и на 5 5)

По този начин,

Свойство на функцията на Мьобиус:.

Например, н=100, {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

16 Теорема за броя на начините за избор на k-елементи, сред които няма два съседни, от n елемента, подредени в редица. Докажете, като получите рекурентна формула.

17 Брой комбинации с повторения

Номер r-съчетания с повторения от н- комплектите са равни

.

– доказателство с помощта на рекурентна формула.

Методът се основава на получаване на формула, която ви позволява да изчислите стойностите на желаното количество стъпка по стъпка, въз основа на известните начални стойности и стойностите, изчислени в предишни стъпки.

Формула за повторениеr -та поръчка– формула на формата

а н = f(н, а н- 1 , а н- 2 , … , а н-р).

Формулата изразява при n>rвсеки член на последователността ( а аз) през предишния rчленове. Конструирането на рекурентна формула се състои от следните стъпки.

1. Развитие на началните условиявъз основа на всякакви очевидни връзки.

Нека означим с f(n,r). Очевидно е, че

2. Логически разсъждения.Нека поправим някой елемент в комплекта С. След това спрямо всяка r- комбинации с повторения от н- комплекти Сможем да кажем дали съдържа даден фиксиран елемент или не.

Ако съдържа, след това останалите ( r-1) елементът може да бъде избран f(н,r-1) начини.

Ако не съдържа(този елемент не е в селекцията), тогава r- комбинация, съставена от елементи ( н-1)-набори (набор Сс изключение на този фиксиран елемент). Брой такива комбинации f(н-1,r).

защото тези случаи са взаимно изключващи се, тогава според правилото за сумата

3. Проверка на формулата за някои стойности и извеждане на общ модел.

1) Нека изчислим f (н ,0) . От (2) следва

Тогава f(н,0)=f(н,1)-f(н-1,1). от (1) f(н,1)=n,f(н-1,1)=н-1.

следователно f(н,0)=н-(н-1)=1=.

2) f (н ,1) =f(н,0)+f(н-1,1) = 1+н- 1 =н==.

3) f (н ,2) =f(н,1)+f(н-1,2) =н+f(н-1,1)+f(н-2,2) =н+(н-1)+f(н-2,1)+f(н-3,2) = … =

= н+(н-1)+…+2+1 =.

(сума от аритметичната прогресия)

4) f (н ,3) =f(н,2)+f(н-1,3) =+f(н-1,2)+f(н-2,3) =++f(н-2,2)+f(н-3,3) = … =

(сума от геометрична прогресия)

5) f (н ,4) =

Въз основа на конкретни случаи може да се предположи, че

4. Проверка на началните условия с помощта на получената формула.

,

което е в съответствие с (1) #

19, 20) Броят на двоичните дървета с n върха е равен на C(n), където C(n) е n-тото каталанско число.

Броят на двоичните дървета с n върха се нарича Каталанско число, което има много интересни свойства. N-тото каталонско число се изчислява по формулата (2n)! / (n+1)!n!, което расте експоненциално. (Уикипедия предлага няколко доказателства, че това е форма на каталонското число.) Брой двоични дървета с даден размер 0 1 1 1 2 2 4 14 8 1430 12 208012 16 35357670

Заместване

Отидете на: навигация, Търсене

Това е статия за заместването като синтактична операция върхутерми . Може да се интересувате отпренареждане .

IN математикаИ Информатика заместване- това е операция синтактичензамяна на подпонятия на даден термадруги условия, съгласно определени правила. Обикновено говорим за заместване на термин вместо променлива.

Дефиниции и означения

Няма универсална, съгласувана нотация за заместване, нито стандартна дефиниция. Концепцията за заместване варира не само в рамките на разделите, но и на ниво отделни публикации. Като цяло можем да подчертаем заместване на контекстаИ заместване "вместо". В първия случай се посочва мястото в срока, където става замяната контекст, тоест част от термина „около” това място. По-специално, тази концепция за заместване се използва в пренаписване. Вторият вариант е по-често срещан. В този случай заместването обикновено се определя от някаква функция от набор от променливи в набор от термини. Да се ​​посочи заместващи действия, като правило, използвайте постфиксна нотация. Например означава резултат от заместващо действие върху термин.

В по-голямата част от случаите се изисква заместването да има краен носител, т.е. беше краен. В този случай може да се уточни чрез просто изброяване на двойките "променлива-стойност". Тъй като всяко такова заместване може да бъде сведено до поредица от замествания, които заместват само една променлива всяка, без загуба на общост можем да приемем, че заместването е дадено от една двойка "променлива-стойност", което обикновено се прави.

Последното определение за заместване е може би най-типичното и често използвано. За него обаче няма единна общоприета нотация. Най-често се използва за обозначаване на заместване авместо х V Tизползва се запис T[а/х], T[х:=а] или T[х←а].

Променливо заместване вλ-считане

В λ-изчислението заместването се определя от структурна индукция. За произволни обекти и произволна променлива се изчислява резултатът от заместването на произволно свободно срещане заместванеи се определя чрез индукция върху конструкцията:

i) основа:: обект съвпада с променлива. Тогава;

(ii) основа:: обект съвпада с константа. След това за произволни атомни;

(iii) стъпка: : обектът не е атомен и изглежда като приложение. Тогава;

(iv) стъпка:: обектът не е атомен и е абстракция. Тогава [;

(v) стъпка:: обектът не е атомен и освен това е абстракция. Тогава:

за andor;

Заместване на променливи в програмирането

Заместванепроменлива ( Английски заместване) В приложно програмиранесе разбира по следния начин. За изчисляване на стойността на функция fна аргумента vвлизането се прилага f(v)), Където fопределени от дизайна f(x) = e. Записвайте f(v)в този случай означава, че в израза дсе случва заместване, или заместване на променлива хНа v. Заместването се извършва в съответствие с семантика на изчисленията.

Заместванепроменлива ( Английски задание) В програмиранеразбира се като задание. Операторът за присвояване е проявление на ефекта на фон Нойман за запушване на традиционните езици за програмиране . Свободен от това приложни изчислителни системи.

http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/Brenner_Evans.pdf

21 Генериращи функции.Генерираща функция (числител) и изброяваща генерираща функция за комбинации без повторения.

Генериращи функции: 1) Z-преобразува 2) генератор 3) генерираща функция 4) генерираща функция на последователността (a r ) на основата (g r ) - функция f, когато се разшири в поредица от функции с фиксирана основа (g r ), се образува тази последователност от коефициенти (a r ). …………*)

Тази серия е формална. Името формално означава, че третираме формулата *) като удобна нотация за нашата последователност - в този случай няма значение за кои (действия и сложни) стойности тя се сближава. Ролята на t се свежда до разграничаване на коефициентите на редицата A0, A1,…Ar….следователно в теорията на генериращите функции стойностите на тази серия никога не се изчисляват за конкретна стойност на променливата t. Само някои операции се извършват върху такива серии, след което се определят само някои операции върху такива серии, след което се определят коефициентите за отделните степени на променливата t.

Обикновено като

22 Генерираща функция. Генерираща функция (числител) и изброяваща генерираща функция за комбинации с повторения.

Производствена база за:

Строително правило

1) Ако елемент от тип i може да бъде включен в комбинации K 1 или K 2 или... K i пъти, тогава той има съответен множител

3) Остава да намерим коефициента. при

експоненциална генерираща функция за правило за конструиране на разположения

25) Комбинаторните числа също включват Числа на Стърлингот първи и втори вид. Тези числа се определят като коефициенти в равенствата

и имат прост комбинаторен смисъл - равни на броя на елементите от пермутационната група, които са продукти на точно кдизюнктни цикли и равен на броя на дяловете н-включен елемент кнепразни подмножества. Очевидно е, че. Подобна сума от числа на Стърлинг от втори род се нарича н- Номер на звънец и равен на броя на всички дялове н- набор от елементи. Формулата за повторение е валидна за числата на Бел.

При решаване на комбинаторни задачи често е полезно формула за включване-изключване

което позволява да се намери кардиналността на обединението на множества, ако е известна мощността на техните пресечни точки. Нека използваме формулата за включване-изключване, за да получим явна формула за числата на Стърлинг от втори род.

Числа на Стърлинг от първи вид

Материали от Wikipedia - свободната енциклопедия

Отидете на: навигация, Търсене

Числа на Стърлинг от първи вид(без подпис) - количество пермутациипоръчка нс к цикли.

Определение

Числа на Стърлинг от първи вид(със знак) s(n, k)се наричат ​​коефициенти полином:

Където ( х) н - Pochhammer символ (намаляващ факториел):

Както се вижда от определението, числата имат редуващ се знак. Техните абсолютни стойности определят броя пермутациикомплект, състоящ се от нелементи с к цикли.

Рекурентна връзка

Дадени са числата на Стърлинг от първи вид рецидивиращсъотношение:

с(н,н) = 1, за n ≥ 0,

с(н,0) = 0, за n > 0,

за 0< к < н.

Доказателство.

За н=1 това равенство се проверява директно. Нека пермутацията ( н-1)-ти ред се разлага на кцикли. Номер нможе да се добави след всяко число в съответния цикъл. Всички получени пермутации са различни и съдържат k цикъла, техният брой ( н-1)· с(н-1, к). От всяка пермутация ( н-1) ред, съдържащ к-1 цикъл, може да се образува една единствена пермутация нпоръчка, съдържаща кцикли чрез добавяне на цикъл, образуван от единствено число н. Очевидно тази конструкция описва всички пермутации н-та поръчка, съдържаща кцикли. Така се доказва равенството.

Пример

Първи редове:

IN комбинаторика Число на Стърлинг от втори видот нот к, означено с или, е броят на неподредените прегради н- елементарен комплектиНа кнепразни подмножества.

Формула за повторение

Числата на Стърлинг от втори вид удовлетворяват рецидивиращсъотношение:

За n ≥ 0,

За n > 0,

Изрична формула

Пример

Първоначалните стойности на числата на Стърлинг от втори вид са дадени в таблицата:

Имоти

двусмисленКартографирането е картографиране, което има свойствата да бъде инъективно и сюрективно едновременно.

1. Нека първо си припомним дефиницията на важната теоретично числова функция на Мьобиу

1, ако n = 1

µ (n)=0, ако има просто число p, p2 n (-1)k, ако n = p1 ... pk е произведението на k различни прости множители.

Нека докажем основното свойство на функцията на Мьобиус:

Теорема 1.

♦ Ако n = 1, тогава единственият делител е d = 1 и (1) е вярно, защото µ (1) = 1. Сега нека n > 1. Нека го представим във формата

n = p1 s 1 ps 2 2 K ps k k ,

където pi, i 1, k са прости числа, si са техните степени. Ако d е делител на n, тогава d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k ,

където 0 ≤ di ≤ si, i 1, k. Ако di > 1 за някои i 1, k, тогава µ (d) = 0. Това означава, че в (1) трябва да разгледаме само онези d, за които di ≤ 1, i 1, k. Всеки такъв делител съ-

се състои от произведението на r различни прости числа, където r 1, k, и неговия принос към сумата

(1) е равно на (-1)r и има общо k. Така получаваме

			µ (d) = 1 −	K + (− 1) k	0. ♦
			Теорема 2. (Формула за обръщане на Мьобиус). Нека f(n) и g(n) са естествени функции
рал аргумент. След това равенство
					∑f(d)
е вярно тогава и само тогава, когато равенството е вярно
					∑ µ (d)g(

♦ Нека (2) е вярно за всяко n. Тогава

g(d n ) = ∑ f(d′ )

d ′ d n

Замествайки в дясната страна на (3), получаваме

∑ µ (d)g(			) = ∑ µ (d) ∑ f(d′ )
					д'

Двойното сумиране вдясно се извършва върху всички двойки d, d′, така че d d′ n. Ако изберете d ′, тогава d ще премине през всички делители d n ′. По този начин

∑ µ (d)g(

) = ∑ f(d′ ) ∑ µ (d′ )

д'

д'

д'

n > d′

Но според (1) имаме ∑

µ (d′) =

n = d′

д'

д'

Това означава, че равенството (3) е установено. Нека сега (3) е вярно за всяко n. Тогава

∑ f(d) =

∑ ∑ µ (d′ )g(

) , d′′ = d d ′ - е делител на n и двойната сума може

д'

n d′

бъде пренаписано като

∑ µ (d′ )g(d′′ ) =

∑ g(d′′ )

∑ µ(d′)

д''

n d ′

д''

д''

д'

д''

Съгласно (1) последната сума се превръща в единица в случай d′′ = n, в останалите случаи

Във всеки случай е нула. Това доказва (2). ♦ 2. Разгледайте приложение на инверсията на Мьобиус.

Нека е дадена азбука A от s букви. Има sn думи с дължина n в дадена азбука. За всяка дума w0 = a1 a2 … могат да се дефинират n - 1 думи

w1 = a2 a3 … an a1 , w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1 , получени един от друг чрез циклични смени. Върху множеството от всички sn думи въвеждаме релация на еквивалентност: обявяваме две думи за еквивалентни, ако едната е получена от другата чрез циклично изместване. Ще се интересуваме от броя на класовете, които съдържат точно n думи. Този проблем възниква в теорията на синхронизиращите кодове.

Ще наречем дума w изродена, ако класът на еквивалентност, съдържащ w, се състои от по-малко от n думи. Нека наречем w периодично, ако съществува дума u и естествено число m, така че w = u u … u (m пъти).

Теорема 3. Думата w е периодична тогава и само ако е изродена.

като u можем да вземем a 1 a 2 … a p и като m =

♦ Ясно е, че ако w е периодично, то е изродено. Нека w е изродено. Нека p е минималното цяло число, така че w = wp. Тогава ако

w = a1 a2 … an , тогава wp = a1+p a2+p … an+p (индекси по модул n). От тук получаваме това в n p . (Лесно се вижда, че p n). ♦ Тапет

значимо чрез M(d) - броят квадрати, които съдържат d думи. От предишното имаме

d n. Следователно формулата е валидна∑ dM(d) = s n . d n

Нека приложим формулата за обръщане на Мьобиус за случая g(n) = sn , f(d) = dM(d). Тогава получаваме

nM(n) = ∑ µ (d)s n d d n

∑ µ (d)sn d

Така M(n) е числото, което ни интересува. Ако n = p е просто число, тогава

− s)

Има мултипликативна версия на инверсията на Мьобиус. Справедлива

Теорема 4. Нека f(n) и g(n) са функции на естествен аргумент, свързани съответно

носене

f(n) = ∏g(d)

µ(n

g(n) = ∏ f(d)

И обратно, от (5) следва (4).

С помощта на формулата за обръщане на Мьобиус може да се реши практически важният проблем за броя на нередуцируемите полиноми с фиксирана степен върху крайно поле. Нека GF(q) е поле от q елемента и m е естествено число. След това за броя

Φ m (q) на нередуцируеми полиноми над полето GF(q) важи следната формула:

Нека представим таблица на първите няколко стойности на функцията Φ m (2)

Φ m (2)

§ 5. Постоянните и приложението им към изброителните

1. Постоянните се използват за решаване на много комбинаторни проблеми. Помислете за числовата матрица

A = (ai, j), i = 1, n, j = 1, m, n ≤ m

Постоянната матрица A (означение - per A) се определя от равенството

за A = ∑			a 2 j L a nj
(j1, K, jn)

където сумирането се извършва върху всички n-пермутации на m елемента 1, 2, m. С други думи, перманентът на матрицата е равен на сумата от продуктите на елементите, взети по един от всеки ред и различни колони.

От формула (1) следват някои очевидни свойства на перманента, подобни на свойствата на детерминантата за квадратни матрици.

1. Ако една от линиите(n × m) матрица A (n ≤ m) се състои от нули, тогава per A = 0. За n = m същото важи и за колоните.

2. Когато всички елементи на един от редовете на матрицата A се умножат по определено число, стойността на перманента A се умножава по същото число.

3. Перманентът не се променя, когато неговите редове и колони се пренаредят.

Нека означим с Aij матрицата, получена от A чрез изтриване на i-тия ред и j-тата колона.

4. Валидна е формулата за разлагане на перманента в i-тия ред: per A = ai1 per Ai1 + ai2 per Ai2 + ... + aim per Aim (2)

по този начин много свойства на перманентите са подобни на тези на детерминантите.

Основното свойство на детерминантите det(A B) = detA detB обаче не е изпълнено за перманентите и това обстоятелство прави тяхното изчисляване много трудно.

Например,

					2, per
Въпреки това, 4 = per						≠ per

Нека разгледаме едно от най-важните приложения на концепцията за перманент в комбинаторни проблеми.

дачи Нека X = (x1, xm) е крайно множество и X1, …, Xn е система от подмножества

В този случай се казва, че елементът xi представлява множеството Xi. Необходимостта от намиране на система от различни представители възниква при решаването на много приложни задачи. Помислете за следния проблем с кодирането. Нека има някакво предложение, т.е. подреден набор от думи в някаква азбука. Изисква се да кодирате това изречение, така че на всяка дума да бъде присвоена една буква и тази буква трябва да бъде част от тази дума, а различните букви трябва да съответстват на различни думи.

Пример: Изречението a bc ab d abe c de cd e може да бъде кодирано като abecd. В същото време изречението ab ab bc abc bcd не може да бъде кодирано по този начин, тъй като първите четири думи заедно съдържат само три букви.

За система от множества X1 , … , Xn дефинираме матрица на инцидента A = (aij), i = 1, n,

				1 ако xi
		a ij =
				0 в противен случай.
		Справедлива
		Теорема 1. Нека A = (aij), i =					(n ≤ m) матрица на инцидентност

множества X1, …, Xn, където Xi X, i = 1, n, X = (x1, …, xm). След това за броя на системите

лични представители R(X1 , … , Xn ) на множествата X1 , … , Xn важи следното равенство:

R(X1, …, Xn) = за A

♦ Действително, тъй като в матрица A елементът aij = 1, ако xj Xi и aij = 0,

ако xj

K, xi

) елементи X е система от различни пре-

Xi, след това множеството (xi

наставки за X1, …, Xn

ако и само ако a1i

K ,a ni

ченгета a1i

K ,a ni

са в различни колони на матрица A. Нека обобщим числата

a1i ,K ,a ni

върху всички n-пермутации на елементи 1, 2, …, m. Тогава получаваме от сто

рони, броя на системите от различни представители за X1, ..., Xn, и от друга страна, стойността на пер-

манента матрица A. ♦

a 1i 1 a 2i 2 L a ni n

Последица. Система от различни представители за X1, …, Xn съществува тогава и само ако за съответния матричен инцидент A е изпълнено:

Тъй като във формула (1) има m(m - 1) ... (m - n +1) членове, изчисляването на перманента въз основа на дефиницията е трудно. Нека представим обща формула за тази цел.

2. Нека се ограничим до разглеждане на квадратни числови матрици A = (aij), i, j = 1, n.

Тогава per A = ∑

(i1,K,in)

където сумата обхваща всички пермутации i1 , … , в елементи

1, 2, … , n. Нека приложим формулата за включване-изключване, за да изчислим перманента на матрица A. Присвояваме на всеки набор i1, ..., в тегло, равно на a1i 1,K,a ni n.

Това означава, че перманентът А е сумата от теглата на тези множества, които съответстват на пермутациите. Нека въведем n свойства P1 , … , Pn на множеството от всички колекции i1 , i2 , … , в от 1, 2, … , n, където свойството Pi означава, че няма елемент i в колекцията i1 , … , в. Така перманентът A е сумата от теглата на множествата i1, ..., in, които нямат нито едно от свойствата P1, ..., Pn. Остава да се определи сумата от теглата W(Pi 1,K, Pi k) на набори, имащи k свойства

Pi 1,K, Pi k. Имаме за сумата от теглата W(0) на всички набори i1 , … , ik .
W(0) = ∑			К, ани		= (a 11 + L + a 1n )(a 21 + L + a 2n ) L (a n1 + L + a nn )
i1 ,K ,in
W(N(Pi )) =			a1i ,K ,a ni				= (a 11 + L + a 1i	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nn ) (9)
	≠i

където знакът ^ над елемент от матрица A означава, че този елемент трябва да бъде пропуснат. По същия начин за sij (т.е< j) имеем

W(N(Pi , Pj )) = (a11 + L + a1i	L+a 1j	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nj + L + a nn ) (10)

Сега, използвайки формулата за включване-изключване, получаваме формулата на Рейзър за постоянно A:

за A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) − ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L +
+ (− 1)s	∑∏n
		(a k1 + L + a ki1	L+a ki	L +a kn ) +L
	1≤i1< L < is ≤ k n= 1

Изчисляването на перманента с помощта на формулата на Raiser може да бъде организирано по такъв начин, че да изисква

(2n - 1)(n - 4) умножения и (2n - 2)(n + 1) събирания. Въпреки че тази стойност расте бързо с увеличаване на n, тази формула предоставя най-ефективния начин за изчисляване на перманентите.

3. Нека сега изясним въпроса за условията постоянната (0, 1) матрица да е равна на нула. Нека се ограничим до случая на квадратна матрица.

Теорема 2. Нека A = (aij ), i, j = 1, n е (0, 1) матрица от ред n. Тогава

per A= 0, ако и само ако A съдържа подматрица от нули с размер s × t, където s + t = n + 1.

♦ Нека такава нулева подматрица съществува в A. Тъй като перманентът не се променя поради пермутации на редове и колони, можем да приемем, че тази подматрица се намира в долния ляв ъгъл, т.е.

където O - (s × t) е матрица от нули, подматрица B има размер (n - s) × t. Всеки член на постоянен A трябва да съдържа един елемент от първите t колони. Следователно, ако търсим положителен член на перманента, тогава елементите на тези колони трябва да принадлежат към по двойки различни редове с номера 1, 2, ..., n - s. Въпреки това n - s = t - 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.

Нека сега per A = 0. Доказваме теоремата чрез индукция по n. За n = 1 твърдението е очевидно (A = (0)). Нека е вярно за всички поръчки, по-малки от n. Ако A е нулева матрица от ред n, тогава твърдението е очевидно. Ако A не е нулева матрица, тогава нека aij = 1. Нека напишем разлагането на A по ред i:

за A = ai1 Ai1 + … + ain Ain

Тъй като per A = 0, тогава per Aij = 0. Но Aij има размер (n - 1) × (n - 1) и според индукционната хипотеза има подматрица от нули с размер

s1 × t1, като s1 + t1 = n - 1 + 1 = n. Нека пренаредим редовете и колоните, така че тази нулева подматрица да е в долния ляв ъгъл:

A → B =

където O е нулевата подматрица с размер s1 × t1, s1 + t1 = n, C - има размер (n - s1) × t1, D -

има размер s1 × (n - t) . Това означава, че матриците C и D са квадратни и имат ред (t1 × t1) и (s1 × s1), съответно. Съгласно определението за постоянен, имаме per B = per A и,

per B = per C per D и следователно от per A = 0 следва, че или per C = 0, или per D = 0.

Нека per C = 0. По индукционната хипотеза има нулева подматрица с размер

u × v, където u + v = t1 + 1. Нека се намира в редове с номера i1, …, iu и колони с номера j1, …, jv. Да разгледаме подматрица B, състояща се от редове

i1, …, iu, t1 + 1, …, n и колони j1, …, jv. Това е нулева подматрица с размер (u + n - t1) × v,

където u + n - t1 + v = n + +1. И така, матрица B съдържа нулева подматрица с размер s × t, където s + t = n + 1. Тъй като матриците A и B се различават по пермутацията на редове и колони, теоремата е доказана. ♦

Нека сега разгледаме един важен специален случай на матрицата A. Нека означим с A(k, n) матрица от 0,1 елемента с размер n × n с k единици за всеки ред и всяка колона (k > 0).

Теорема 3. За всяка матрица A(k, n) per A(k, n) > 0.

♦ Нека приемем обратното, че per A(k, n) = 0. Тогава, съгласно теорема 2, съществува нулева

подматрица с размер s × t, където s + t = n + 1. Тогава, пренареждайки редовете и колоните на матрицата A(k, n), получаваме матрицата

където O е нулевата (s × t) матрица.

Нека преброим броя на единиците в матриците B и D. Тъй като A(k, n) има k единици във всеки ред и всяка колона, тогава има точно k единици във всяка колона на B и всеки ред на D

единици. Има общо n k единици в A(k, n), така че nk ≥ tk + sk = (t + s)n. Насам

som, n ≥ t + s, което е невъзможно, т.к s + t = n + 1 От това противоречие следва, че

валидност на твърдението. ♦ Доказва се по подобен начин

Теорема 3а. Нека A е (0,1) матрица с размер n × m (n≤ m). Тогава perA = 0 тогава и само ако съдържа нулева подматрица с размер s×t, където s+t=m+1.

4. Нека сега разгледаме приложението на разглежданите въпроси към изграждането на ла-

Тина каре. латиница (n × m)-правоъгълниквърху множеството X=(x1 ,…,xm )

се нарича (n×m) -матрица от елементи X, в която всеки ред е n-пермутация на X, а всяка колона е m-пермутация на множеството X. За n=m латинският правоъгълник се нарича Латинско каре.

Ясно е, че за n=1 броят на латинските правоъгълници 1×m е равен на m!. Когато n=2, след като е избран първият ред, всяка пермутация може да се приеме като втори ред.

нов продукт, който противоречи на избрания. Броят на тези пермутации е Dm, така че числото 2 × m е

на латински правоъгълници е равно на m! Дм.

Възниква естествен въпрос във връзка с индуктивното конструиране на латински квадрати. Нека конструираме латински (n × m)-правоъгълник (n< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?

Справедлива

Теорема 4. Всеки латински (n× m)-правоъгълник n

♦ Нека X=(x1,…,xm) и L-латински (n×m)-правоъгълник с елементи от X. Да разгледаме набор от множества A1,…,Am, където Ai са елементите на i-тата колона на латинския правоъгълник L. Нека A е инцидентна матрица на множествената система A1 ,… ,Am . Той има размер m×m и всеки ред от матрица A съдържа точно n единици, тъй като Ai = n, i = 1, m. Всеки елемент xi X може да се появи в колоните на L не повече от m пъти, в противен случай ще има ред, в който този елемент се появява два пъти. Общ брой елементи

L е равно на m n, така че всеки елемент xi X се появява точно n пъти в колоните. От това следва, че всяка колона на матрица A съдържа точно n единици. Нека сега разгледаме матрицата A, получена чрез замяна на всяка единица с нула и всяка нула с единица.

Матрица A е матрицата на инцидентност на системата от множества X1, …, Xn, където Xi = X\Ai,

i = 1, m. Съдържа m - n единици във всеки ред и във всяка колона. По теорема

> 0. Нека ai1

…а ми

≠ 0 . Тогава имаме xi X1 ,K , xi

Xm и всички елементи

xi,K,xi

различни по двойки. Линия

xi,K,xi

може да се приеме като (n + 1)-то

за латински (n × m)-правоъгълник L. Продължавайки тази процедура, получаваме латински

небесен площад. ♦

Нека означим l n - броя на латинските квадрати от ред n, с елементи от множеството X = (1, 2, ..., n), в което елементите на първата колона и първия ред са в естествен ред. Ето таблица с няколко известни стойности на числото l n:

5. Матрица A = (aij) с размер n × n с реални, неотрицателни елементи се нарича два пъти стохастичен, Ако