Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на сегментите на едната хорда е равно на произведението на сегментите на другата хорда. Какво е хорда на окръжност в геометрията, нейното определение и свойства. Всички теореми за окръжностите

Акорд означава „струна“ на гръцки. Това понятие се използва широко в различни области на науката – в математиката, биологията и др.

В геометрията дефиницията на термина ще бъде следната: това е сегмент от права линия, който свързва две произволни точки от една и съща окръжност. Ако такъв сегмент пресича центъракрива, тя се нарича диаметър на описаната окръжност.

Във връзка с

Как да построим геометрична хорда

За да конструирате този сегмент, първо трябва да начертаете кръг. Посочете две произволни точки, през които се прекарва секуща. Правата отсечка, която се намира между точките на пресичане с окръжността, се нарича хорда.

Ако разделите такава ос наполовина и начертаете перпендикулярна линия от тази точка, тя ще премине през центъра на кръга. Можете да извършите обратното действие - от центъра на кръга начертайте радиус, перпендикулярен на хордата. В този случай радиусът ще го раздели на две еднакви половини.

Ако разгледаме частите на кривата, които са ограничени от два успоредни равни сегмента, тогава тези криви също ще бъдат равни една на друга.

Имоти

Има редица модели, свързващ акордите и центъра на кръга:

Връзка с радиус и диаметър

Горните математически концепции са свързани помежду си със следните закони:

Хорда и радиус

Между тези понятия съществуват следните връзки:

Връзки с вписани ъгли

Ъглите, вписани в кръг, се подчиняват на следните правила:

Arc взаимодействия

Ако два сегмента обхващат участъци от крива, които са еднакви по размер, тогава тези оси са равни една на друга. От това правило следват следните модели:

Хорда, която обхваща точно половин кръг, е неговият диаметър. Ако две линии на една и съща окръжност са успоредни една на друга, тогава дъгите, които са затворени между тези сегменти, също ще бъдат равни. Въпреки това, не трябва да се бъркат затворените дъги с тези, които се свеждат от същите линии.

Част 3. Кръгове

аз. Справочни материали.

аз. Свойства на тангентите, хордите и секущите. Вписани и централни ъгли.

Кръг и кръг

1. Ако от една точка, лежаща извън окръжността, прекараме две допирателни към нея, то

а) дължините на отсечките от дадена точка до допирните точки са равни;

б) ъглите между всяка допирателна и секанса, минаващи през центъра на окръжността, са равни.

2. Ако от една точка, разположена извън окръжността, начертаем допирателна и секанс към нея, тогава квадратът на допирателната е равен на произведението на секанса и външната му част

3. Ако две хорди се пресичат в една точка, произведението на отсечките на едната хорда е равно на произведението на отсечките на другата.

4. Обиколка C=2πR;

5. Дължина на дъгата L =πRn/180˚

6. Площ на окръжност S=πR 2

7. Секторна зона С ° С=πR 2 n/360

Градусната мярка на вписан ъгъл е равна на половината от градусната мярка на дъгата, върху която той лежи.

Теорема 1.Мярката на ъгъла между допирателна и хорда, имаща обща точка върху окръжност, е равна на половината градусна мярка на дъгата, затворена между нейните страни

Теорема 2(за тангенс и секанс). Ако допирателната и секущата са начертани от точка М към окръжност, тогава квадратът на допирателната отсечка от точка М до точката на допиране е равен на произведението на дължините на секущите отсечки от точка М до точките на нейната пресичане с кръга.

Теорема 3. Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на дължините на отсечките на едната хорда е равно на произведението на дължините на сегментите на другата хорда, т.е. ако хордите AB и CD се пресичат в точка M, тогава AB MV = CM MD.

Свойства на кръговите акорди:

Диаметър, перпендикулярен на хорда, я разделя наполовина. Обратно: диаметърът, минаващ през средата на хордата, е перпендикулярен на нея.

Равните хорди на окръжност са на равни разстояния от центъра на окръжността. Обратно: еднакви хорди са разположени на равни разстояния от центъра на кръга.

Дъгите на окръжност, затворени между успоредни хорди, са равни.

окръжностите, които имат обща точка и обща допирателна в тази точка се наричат ​​допирателни.Ако окръжностите са разположени от едната страна на общата допирателна, тогава те се наричат ​​вътрешни допирателни, а ако от противоположните страни на допирателната, тогава се наричат външна допирателна.

II. Допълнителни материали

Свойства на някои ъгли.

Теорема.

1) Ъгъл (ABC), чийто връх лежи вътре в окръжността, е полусумата от две дъги (AC и DE), едната от които е между страните му, а другата между продълженията на страните.

2) ъгъл (ABC), чийто връх е извън окръжността, а страните се пресичат с окръжността, е полуразликата на две дъги (AC и ED), затворени между страните му

Доказателство .

Начертавайки хордата AD (на двата чертежа), получаваме ∆АВD,

спрямо който разглежданият ъгъл ABCслужи като външен, когато върхът му лежи вътре в окръжността, и вътрешен, когато върхът му лежи извън окръжността. Следователно в първия случай: ; във втория случай:

Но ъглите ADC и DAE, подобно на вписаните, се измерват с половин дъги

AC и DE; следователно ъгълът ABC се измерва: в първия случай от сумата: ½ AC+1/2 DE, която е равна 1 / 2 (ﮟ AC+ﮞ DE),а във втория случай разликата е 1 / 2 ﬞ AC- 1 / 2 ﬞ DE, което е равно на 1 / 2 (ﬞ AC- ﬞ DE).

Теорема. Ъгълът (ACD), образуван от допирателна и хорда, се измерва от половината дъга, съдържаща се в нея.

Нека първо приемем, че хордата CD минава през центъра O, т.е. че хордата е диаметър. След това ъгълът ACд- права и следователно равна на 90°. Но половината от дъгата CmD също е равна на 90°, тъй като цялата дъга CmD, образуваща полукръг, съдържа 180°. Това означава, че теоремата е вярна в конкретния случай.

Сега нека вземем общия случай, когато хордата CD не минава през центъра. Начертавайки след това диаметъра CE, ще имаме:

U целта ACE, съставена от тангентата и диаметъра, се измерва, както е доказано, от половината дъга CDE; Ъгълът DCE, като вписан, се измерва с половината дъга CnED: единствената разлика в доказателството е, че този ъгъл не трябва да се разглежда като разлика, а като сбор от правия ъгъл ALL и острия ъгъл ECD.

Пропорционални линии в кръг

Теорема.Ако някаква хорда (AB) и диаметър (CD) се начертаят през точка (M), взета вътре в окръжност, тогава произведението на сегментите на хордата (AM MB) е равно на произведението на сегментите с диаметър (MB MC).

Доказателство.

П
Като начертаем две спомагателни хорди AC и BD, получаваме два триъгълника AMC и MBD (покрити на фигурата с тирета), които са подобни, тъй като техните ъгли A и D са равни, като вписани, основани на една и съща дъга BC, ъгли C и B са равни, както са вписани, базирани на една и съща дъга AD. От сходството на триъгълниците извеждаме:

AM: MD=MS: MV, от където AM MV=MD MS.

Последица.Ако произволен брой хорди (AB, EF, KL,...) се начертаят през точка (M), взета вътре в кръг, тогава произведението на сегментите на всяка хорда е постоянно число за всички хорди, тъй като за всяка корда това произведение е равно на произведението на сегменти с диаметър CD, минаващи през взетата точка М.

Теорема.Ако от точка (M), взета извън окръжността, към нея се прекарат секанс (MA) и допирателна (MS), тогава произведението на секанса и външната му част е равно на квадрата на допирателната (приема се, че секансът е ограничен от втората пресечна точка, а тангентата - допирна точка).

Доказателство.

Нека начертаем спомагателни акорди AC и BC; тогава получаваме два триъгълника MAC и MVS (покрити на фигурата с тирета), които са подобни, защото имат общ ъгъл M, а ъглите MCW и CAB са равни, тъй като всеки от тях се измерва с половината от дъгата BC. Нека вземем страните MA и MC в ∆MAS; подобни страни в ∆MVS ще бъдат MC и MV; следователно MA: MS = MS: MV, откъдето MA MV = MS 2.

Последица.Ако от точка (M), взета извън окръжността, произволен брой секущи (MA, MD, ME,...) се начертаят към нея, тогава произведението на всяка секуща и външната й част е постоянно число за всички секущи, тъй като за всеки секанс това произведение е равно на квадрата на тангентата (MC 2), прекарана от точка M.

III. Въвеждащи задачи.

Задача 1.

IN на равнобедрен трапец с остър ъгъл 60°, страничната страна е равна на , а по-малката основа е равна на . Намерете радиуса на окръжността, описана от този трапец.

Решение

1) Радиусът на окръжност, описана около трапец, е същият като радиуса на окръжност, описана около триъгълник, чиито върхове са всеки три върха на трапеца. Намерете радиуса R на окръжността, описана около триъгълника ABD.

2) ABCDследователно е равнобедрен трапец А.К. = М.Д., К.М. =.

В ∆ АБК А.К. = AB cos A = · cos 60° = . означава,
AD = .

Б.К. = ABгрях А = · = .

3) По косинусовата теорема в ∆ ABD BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB · AD cos А.

BD 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;
BD = .

4) S(∆ ABD) = AD · Б.К.; S(∆ ABD) = · · 3 = .

Задача 2.

В равностранен триъгълник ABCвписана е окръжност и е начертана отсечка Н.М.,

М A.C., н пр.н.е., която го допира и е успоредна на страната AB.

Определете периметъра на трапеца AMNB, ако дължината на сегмента MNе равно на 6.

Решение.

1) ∆ABC– равностранен, точка О– пресечна точка на медиани (ъглополовящи, височини), което означава CO : O.D. = 2 : 1.

2) MN– допирателна към окръжността, П– контактна точка, което означава O.D. =
= ОП, Тогава CD= 3 · C.P..

3) ∆CMN ∾ ∆ ТАКСИ, което означава ∆ CMN– равностранен СМ. = CN = MN = = 6; П.

И

3) BN = C.B. – CN = 18 – 6 = 12.

4) P ( AMNB) = А.М. + MN + BN + AB = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

Около окръжност е описан равнобедрен трапец, чиято средна линия е равна на 5, а синусът на острия ъгъл при основата е равен на 0,8. Намерете площта на трапеца.

Решение.Тъй като окръжност е вписана в четириъгълник, тогава пр.н.е. + AD = AB + CD. Този четириъгълник е равнобедрен трапец, което означава пр.н.е. + AD = 2AB.

FP– средната линия на трапеца, което означава пр.н.е. + AD = 2FP.

Тогава AB = CD = FP = 5.

∆АБК– правоъгълна, Б.К. = ABгрях А; Б.К.= 5 · 0,8 = 4.

С ( ABCD) = FP · Б.К.= 5 · 4 = 20.

Отговор: 20.

Вписаната окръжност на триъгълник ABC докосва страната BC в точка K, а вписаната окръжност докосва страната BC в точка L. Докажете, че CK=BL=(a+b+c)/2

Доказателство: нека M и N са допирателните точки на вписаната окръжност със страни AB и BC. Тогава BK+AN=BM+AM=AB, така че CK+CN= a+b-c.

Нека P и Q са точките на допиране на вписаната окръжност с продълженията на страните AB и BC. Тогава AP=AB+BP=AB+BL и AQ=AC+CQ=AC+CL. Следователно AP+AQ=a+b+c. Следователно BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

а) Продължението на ъглополовящата на ъгъл B на триъгълник ABC пресича описаната окръжност в точка M. O е центърът на вписаната окръжност. O B е центърът на неописаната окръжност, допирателна към страната AC. Докажете, че точки A, C, O и O B лежат на окръжност с център M.

д
доказателство: Защото

б) Точка O, разположена вътре в триъгълник ABC, има свойството прави AO, BO, CO да минават през центровете на описаните окръжности на триъгълници BCO, ACO, ABO. Докажете, че O е центърът на вписаната окръжност на триъгълник ABC

Доказателство: Нека P е центърът на описаната около триъгълник ACO. Тогава

IV. Допълнителни задачи

номер 1. Окръжността, допирателна към хипотенузата на правоъгълен триъгълник и продълженията на неговите катети, има радиус R. Намерете периметъра на триъгълника

Р решение: HOGB - квадрат със страна R

1) ∆OAH =∆OAF по катета и хипотенузата =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) P ABC =AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

номер 2. Точки C и D лежат на окръжност с диаметър AB. AC ∩ BD = P и AD ∩ BC = Q. Докажете, че правите AB и PQ са перпендикулярни

Доказателство: А D – диаметър => вписан ъгъл ADB=90 o (според диаметъра)=> QD/QP=QN/QA; ∆QDP е подобно на ∆QNA от 2 страни и ъгълът между тях => QN е перпендикулярен на AB.

номер 3. В успоредника ABCD диагоналът AC е по-голям от диагонала BD; M е точка на диагонал AC, BDCM е цикличен четириъгълник Докажете, че правата BD е обща допирателна към описаните окръжности на триъгълници ABM и ADM

П
устието O е пресечната точка на диагоналите AC и ВD. Тогава МО · OC=BO · OD. Докато OS = OA и VO = ВD, тогава MO · OA=VO 2 и MO · OA=DO 2. Тези равенства означават, че OB е допирателна към описаната окръжност на триъгълника ADM

номер 4. н В основата AB на равнобедрения триъгълник ABC е взета точка E и в триъгълниците ACE и ABE са вписани окръжности, докосващи отсечката CE в точки M и N. Намерете дължината на отсечката MN, ако са известни дължините AE и BE.

Според уводна задача 4 CM=(AC+CE-AE)/2 и CN=(BC+CE-BE)/2. Като се има предвид, че AC=BC, получаваме MN=|CM-CN|=|AE-BE|/2

номер 5. Дължините на страните на триъгълник ABC образуват аритметична прогресия, а a

Нека M е средата на страната AC, N е точката на допир на вписаната окръжност със страната BC. Тогава BN=р–b (уводна задача 4), следователно BN=AM, т.к p=3b/2 по условие. Освен това,

V .Задачи за самостоятелно решаване

номер 1. Четириъгълникът ABCD има свойството да има окръжност, вписана в ъгъл BAD и допирателна към продълженията на страните BC и CD. Докажете, че AB+BC=AD+DC.

номер 2. Общата вътрешна допирателна към окръжности с радиуси R и r пресича техните общи външни допирателни в точки A и B и се допира до една от окръжностите в точка C. Докажете, че AC∙CB=Rr

номер 3. В триъгълник ABC ъгъл C е прав ъгъл. Докажете, че r =(a+b-c)/2 и r c =(a+b+c)/2

номер 4. Две окръжности се пресичат в точки A и B; MN е общата допирателна към тях. Докажете, че правата AB дели отсечката MN наполовина.

номер 5. Продълженията на ъглополовящите на ъглите на триъгълник ABC пресичат описаната окръжност в точки A 1, B 1, C 1. M – пресечна точка на ъглополовящи. Докажи това:

а) MA·MC/MB 1 =2r;

b) MA 1 ·MC 1 /MB=R

номер 6. Ъгълът, образуван от две допирателни, прекарани от една точка на окръжност, е равен на 23°15`. Изчисляване на дъги между допирателни точки

номер 7. Изчислете ъгъла, образуван от допирателната и хордата, ако хордата разделя окръжността на две части в отношение 3:7.

VI. Контролни задачи.

Опция 1.

Точка M се намира извън окръжността с център O. Три секущи се изчертават от точка M: първата пресича окръжността в точки B и A (M-B-A), втората в точки D и C (M-D-C), а третата пресича окръжността в точки F и E (M-F-E) и минава през центъра на окръжността, AB = 4, BM =5, FM = 3.

Докажете, че ако AB = CD, то ъглите AME и CME са равни.

Намерете радиуса на окръжността.

Намерете дължината на допирателната, прекарана от точка М към окръжността.

Намерете ъгъл AEB.

Вариант 2.

AB е диаметърът на окръжност с център O. Хордата EF пресича диаметъра в точка K (A-K-O), EK = 4, KF = 6, OK = 5.

Намерете радиуса на окръжността.

Намерете разстоянието от центъра на окръжността до хордата BF.

Намерете острия ъгъл между диаметъра AB и хордата EF.

На какво е равна хордата FM, ако EM е успоредна на AB?

Вариант 3. В правоъгълен триъгълник ABC (

Вариант 4.

AB е диаметърът на окръжност с център O. Радиусът на тази окръжност е 4, O 1 е средата на OA. Начертана е окръжност с център в точка O 1, допирателна към по-голямата окръжност в точка A. Хордата CD на по-голямата окръжност е перпендикулярна на AB и пресича AB в точка K. E и F са точките на пресичане на CD с по-малкият кръг (C-E-K-F-D), AK=3.

Намерете акордите AE и AC.

Намерете градусната мярка на дъгата AF и нейната дължина.

Намерете площта на частта от по-малкия кръг, отрязан от хордата EF.

Намерете радиуса на окръжността, описана около триъгълника ACE.

Първо, нека разберем разликата между кръг и кръг. За да видите тази разлика, достатъчно е да разгледате какво представляват и двете фигури. Това са безкраен брой точки на равнината, разположени на еднакво разстояние от една централна точка. Но ако кръгът се състои и от вътрешно пространство, тогава той не принадлежи на кръга. Оказва се, че окръжността е както окръжност, която я ограничава (circle(r)), така и безброй точки, които са вътре в окръжността.

За всяка точка L, лежаща на окръжността, важи равенството OL=R. (Дължината на отсечката OL е равна на радиуса на окръжността).

Отсечка, която свързва две точки от окръжност, е негова акорд.

Хорда, минаваща директно през центъра на окръжност, е диаметъртози кръг (D). Диаметърът може да се изчисли по формулата: D=2R

Обиколкаизчислява се по формулата: C=2\pi R

Площ на кръг: S=\pi R^(2)

Дъга от кръгсе нарича тази част от него, която се намира между двете му точки. Тези две точки определят две дъги на окръжност. Хордата CD обхваща две дъги: CMD и CLD. Еднаквите хорди обхващат равни дъги.

Централен ъгълЪгъл, който лежи между два радиуса, се нарича.

Дължината на дъгатаможе да се намери с помощта на формулата:

1. Използване на степенна мярка: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Използване на радианова мярка: CD = \alpha R

Диаметърът, който е перпендикулярен на хордата, разделя хордата и свитите от нея дъги наполовина.

Ако хордите AB и CD на окръжността се пресичат в точка N, то произведенията на отсечките на хордите, разделени от точка N, са равни една на друга.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Допирателна към окръжност

Допирателна към окръжностОбичайно е да се нарича права линия, която има една обща точка с кръг.

Ако една права има две общи точки, тя се нарича секуща.

Ако начертаете радиуса към допирателната, той ще бъде перпендикулярен на допирателната към окръжността.

Нека начертаем две допирателни от тази точка към нашата окръжност. Оказва се, че допирателните сегменти ще бъдат равни един на друг, а центърът на окръжността ще бъде разположен върху ъглополовящата на ъгъла с върха в тази точка.

AC = CB

Сега нека начертаем допирателна и секанс към окръжността от нашата точка. Получаваме, че квадратът на дължината на допирателната отсечка ще бъде равен на произведението на цялата секуща отсечка и външната му част.

AC^(2) = CD \cdot BC

Можем да заключим: произведението на цяла отсечка от първия секанс и неговата външна част е равно на произведението от цяла отсечка от втория секанс и неговата външна част.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Ъгли в кръг

Градусните мерки на централния ъгъл и дъгата, върху която той лежи, са равни.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Вписан ъгъле ъгъл, чийто връх е върху окръжност и чиито страни съдържат хорди.

Можете да го изчислите, като знаете размера на дъгата, тъй като той е равен на половината от тази дъга.

\ъгъл AOB = 2 \ъгъл ADB

Въз основа на диаметър, вписан ъгъл, прав ъгъл.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Вписаните ъгли, които обхващат една и съща дъга, са еднакви.

Вписаните ъгли, лежащи върху една хорда, са еднакви или сумата им е равна на 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\ъгъл ADB = \ъгъл AEB = \ъгъл AFB

На същата окръжност са върховете на триъгълници с еднакви ъгли и дадена основа.

Ъгъл с връх вътре в окръжността и разположен между две хорди е идентичен на половината от сумата от ъгловите стойности на дъгите на окръжността, които се съдържат в дадения и вертикалния ъгъл.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Ъгъл с връх извън окръжността и разположен между две секанти е идентичен на половината от разликата в ъгловите стойности на дъгите на окръжността, които се съдържат вътре в ъгъла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписан кръг

Вписан кръге окръжност, допирателна към страните на многоъгълник.

В точката, където се пресичат ъглополовящите на ъглите на многоъгълник, се намира неговият център.

Окръжност не може да бъде вписана във всеки многоъгълник.

Площта на многоъгълник с вписан кръг се намира по формулата:

S = pr,

p е полупериметърът на многоъгълника,

r е радиусът на вписаната окръжност.

От това следва, че радиусът на вписаната окръжност е равен на:

r = \frac(S)(p)

Сумите от дължините на противоположните страни ще бъдат еднакви, ако окръжността е вписана в изпъкнал четириъгълник. И обратно: окръжност се вписва в изпъкнал четириъгълник, ако сумите от дължините на срещуположните страни са еднакви.

AB + DC = AD + BC

Във всеки от триъгълниците е възможно да се впише кръг. Само един единствен. В точката, където се пресичат ъглополовящите на вътрешните ъгли на фигурата, ще лежи центърът на тази вписана окръжност.

Радиусът на вписаната окръжност се изчислява по формулата:

r = \frac(S)(p),

където p = \frac(a + b + c)(2)

Околна окръжност

Ако окръжност минава през всеки връх на многоъгълник, тогава такава окръжност обикновено се нарича описано за многоъгълник.

В точката на пресичане на перпендикулярните ъглополовящи на страните на тази фигура ще бъде центърът на описаната окръжност.

Радиусът може да се намери, като се изчисли като радиуса на окръжността, описана около триъгълника, определен от всеки 3 върха на многоъгълника.

Съществува следното условие: около четириъгълник може да се опише окръжност само ако сборът от срещуположните му ъгли е равен на 180^( \circ) .

\ъгъл A + \ъгъл C = \ъгъл B + \ъгъл D = 180^ (\circ)

Около всеки триъгълник можете да опишете окръжност и само една. Центърът на такъв кръг ще бъде разположен в точката, където се пресичат перпендикулярните ъглополовящи на страните на триъгълника.

Радиусът на описаната окръжност може да се изчисли по формулите:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c са дължините на страните на триъгълника,

S е площта на триъгълника.

Теорема на Птолемей

И накрая, разгледайте теоремата на Птолемей.

Теоремата на Птолемей гласи, че произведението на диагоналите е идентично на сумата от произведенията на противоположните страни на цикличен четириъгълник.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Теоретични справочни материали по геометрия за изпълнение на задачи от преподавател по математика. Да помогне на учениците да решават проблеми.

1) Тема за вписан ъгъл в окръжност.

Теорема: ъгъл, вписан в кръг, е равен на половината градусна мярка на дъгата, върху която лежи (или половината от централния ъгъл, съответстващ на тази дъга), т.е. .

2) Следствия от теоремата за вписания ъгъл в окръжност.

2.1) Свойство на ъглите, поддържани от една дъга.

Теорема: ако вписаните ъгли се поддържат от една дъга, тогава те са равни (ако се поддържат от допълнителни дъги, сборът им е равен

2.2) Свойство на ъгъл, сключен от диаметър.

Теорема: Вписан ъгъл в окръжност се простира от диаметър тогава и само ако е прав.

AC диаметър

3) Свойство на допирателните отсечки. Окръжност, вписана в ъгъл.

Теорема 1:ако към нея се прекарат две допирателни от една точка, която не лежи на окръжността, тогава техните сегменти са равни, т.е. PB=PC.

Теорема 2:Ако окръжност е вписана в ъгъл, тогава нейният център лежи върху ъглополовящата на този ъгъл, т.е. PO ъглополовяща.

4) Свойство на сегменти от хорди при вътрешно пресичане на секущи.
Теорема 1:произведението на сегменти от една хорда е равно на произведението на сегменти от друга хорда, т.е

Теорема 2: ъгълът между хордите е равен на половината от сбора на дъгите, които тези хорди образуват върху окръжността, т.е.

Преглед:

Урок по темата:

„Теоремата за произведението на отсечки от пресичащи се хорди»

Предмет: геометрия

Клас: 8

учител б: Херат Людмила Василиевна

Училище : MOBU "Дружбинская средна школа" Сол-Илецк район, Оренбургска област

Тип урок: Урок по „откриване” на нови знания.

Форми на работа: индивидуални, фронтални, групови.

Методи на обучение:словесно, визуално, практично, проблемно.

Оборудване: компютърен клас, мултимедиен проектор,

Раздавателни материали (карти), презентация.

Цели на урока:

• образователен- изучава теоремата за произведението на пресичащи се хорди и показва нейното приложение при решаване на задачи.

Подобрете уменията за решаване на проблеми с помощта на теоремата за вписания ъгъл и нейните последствия.

• развиващи се – развиват творческата и умствената дейност на учениците в класната стая; да развие интелектуалните качества на личността на учениците, като независимост, гъвкавост, способност за извършване на оценъчни действия и обобщение; насърчават формирането на умения за работа в екип и самостоятелна работа; развийте способността ясно и ясно да изразявате мислите си.
• образователен – възпитайте у учениците интерес към предмета чрез използването на информационни технологии (с помощта на компютър); развиват способността за точно и компетентно извършване на математически обозначения и начертаване на картина за задача.

Образователните дейности са насочени към повишаване на ефективността и производителността на преподавателската работа чрез прехвърляне на студенти от позициятаобект дейности на учителя в позицияпредмет на преподаване , насърчава развитието на потенциала на всяко дете, разкриването на възможностите, присъщи на него.

Възпитанието (развитието) на субективността е възможно само в дейноститев който участва субектът, в който тойсам: а) поставя цели; б) концентрира волевите усилия за постигане на целта; в) отразява напредъка и резултатите от своята работа. Рефлексията е мощен инструмент за лично саморазвитие(лично самоизграждане).

Проблемът за развитието на субективността на ученикаТози проблем не може да бъде решен в никаква степен с еднократни мерки. Това качество се развивапоследователно поради включването на ученика в учебно-познавателниядейност (в идеалния случай - във всеки урок), който изпълнявасебе си, прилагайки своите собствени усилия, извършванетехен сами, с минимална външна помощ, всички действия в тяхната логическа последователност. Урокът осигурява рефлексия на учениците върху всички 4 етапа на работа плюс резултати, отговарящи напълно на изискваниятадейностен подходв образованието.

Чрез предложения дизайн на урока и използването на компютърни технологии се преследват следните цели за развитие:

• Интелектуална култура;
• Информационна култура;
• Култури на самоорганизация;
• Изследователска култура;

Дейностите на учениците трябва да бъдат организирани по такъв начин, че да предоставят на учениците вътрешни цели и мотиви; необходимостта от търсене е най-важната задача на обучението и образованието; за това е необходимо да се създават ситуации на успех, ситуации на търсене, които предизвикват положителни емоции.

План на урока

1. Доказателство на теоремата за вписания ъгъл (3 случая); работа с карти

Решаване на задачи с помощта на готови чертежи.

2. Работа по двойки.

3. Изучаване на теоремата за произведението на отсечки от пресичащи се хорди.

4. Решаване на задачи за затвърдяване на теоремата.

По време на часовете.

1. Актуализиране на знанията на учениците по изучаваната тема.

Трима ученици се извикват на дъската за доказване на теореми, двама ученици получават карти със задачи, останалите решават задачи по готови чертежи. Доказателството на теоремите се слуша от целия клас, след като учениците решават задачите върху готовите чертежи.

Картичка №1..

1. Въведете пропуснатите думи „Един ъгъл се нарича вписан ъгъл, ако неговият връх лежи на …………….., а страните на ъгъла………………………………..“.

2. Намерете и запишете вписаните ъгли, показани на фигурата:

3. Намерете градусната мярка на ъгъла ABC, показан на фигурата, ако градусната мярка на дъгата ABC = 270.

Карта №2.

1. Попълнете пропуснатите думи: „Вписан ъгъл се измерва с ………….“.

1. Дадено е: OA=AB. Намерете градусната мярка на дъга AB.

Решаване на задачи с помощта на готови чертежи.

Фиг. 1. Намерете фиг.2. Фиг.3. Фиг.4. Фиг.5.

AOD, ACD Намерете ABC Намерете BCD Намерете BAC Намерете BCD

II. Работете по двойки.

Доказателството на теоремата за сегменти от пресичащи се хорди се извършва под формата на задача:

Докажете, че ако две хорди AB и CD на окръжност се пресичат в точка E, то

AE * BE =CE * DE

От тях се иска да решат проблема самостоятелно по двойки и след това да обсъдят решението му. Запишете схема на доказателството на теоремата в тетрадките и на дъската.

Контур

а) АСО ДВЕ (A = D като вписани ъгли, базирани на дъга BC;

AES = DEB като вертикален).

Въпроси за обсъждане:

Какво можете да кажете за ъглите CAB и CDB? Относно ъглите AEC и DEB?

Какво представляват триъгълниците ACE и DBE? Какво е отношението на техните страни, които са отсечки от допирателни хорди?

Какво равенство може да се напише от равенството на две съотношения, като се използва основното свойство на пропорциите?

IV. Затвърдяване на научения материал.

Решете задачата: Хордите на окръжността PT и KM се пресичат в точка E. Намерете ME if

KE = 4cm, TE =6cm, PE =2cm.

Решение: AE * BE =CE * DE

AE * 4 = 2 * 6

AE = 3 см.

№ 666 б. x*x =16*9

X* x =144

X = 12

V. Рефлексия. (използвайки стикери от три цвята)

VI. Домашна работа.

стр. 71, № 666 а, в; 667.