Подготовка за училище

Поасоново разпределение. Закон за редките събития. Разпределение на Поасон на дискретна случайна променлива Вероятност за разпределение на Поасон

Най-често срещаният случай на различни видове вероятностни разпределения е биномното разпределение. Нека използваме неговата гъвкавост, за да определим най-често срещаните специфични видове разпределения, срещани в практиката.

Биномиално разпределение

Нека има някакво събитие А. Вероятността за възникване на събитие А е равна на стр, вероятността да не се случи събитие А е 1 стр, понякога се обозначава като р. Позволявам нброй тестове, мчестота на възникване на събитие А в тези нтестове.

Известно е, че общата вероятност от всички възможни комбинации от резултати е равна на единица, тоест:

1 = стр н + н · стр н 1 (1 стр) + ° С н н 2 · стр н 2 (1 стр) 2 + + ° С н м · стр м· (1 стр) н м+ + (1 стр) н .

стр нвероятност, че в ннведнъж;

н · стр н 1 (1 стр) вероятност, че в нн 1) веднъж и няма да се случи 1 път;

° С н н 2 · стр н 2 (1 стр) 2 вероятност, че в нтестове, ще настъпи събитие А ( н 2) пъти и няма да стане 2 пъти;

П м = ° С н м · стр м· (1 стр) н м вероятност, че в нтестове, ще настъпи събитие А мникога няма да се случи ( н м) веднъж;

(1 стр) нвероятност, че в нпри опити събитие А няма да се случи дори веднъж;

брой комбинации от нот м .

Очаквана стойност Мбиномното разпределение е равно на:

М = н · стр ,

Където нброй тестове, стрвероятност за възникване на събитие А.

Стандартно отклонение σ :

σ = sqrt( н · стр· (1 стр)) .

Пример 1. Изчислете вероятността събитие, което има вероятност стр= 0,5, инча н= Ще се случат 10 опита м= 1 път. Ние имаме: ° С 10 1 = 10 и по-нататък: П 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Както виждаме, вероятността това събитие да се случи е доста ниска. Това се обяснява, първо, с факта, че абсолютно не е ясно дали събитието ще се случи или не, тъй като вероятността е 0,5, а шансовете тук са „50 на 50“; и второ, изисква се да се изчисли, че събитието ще се случи точно веднъж (не повече и не по-малко) от десет.

Пример 2. Изчислете вероятността събитие, което има вероятност стр= 0,5, инча н= Ще се случат 10 опита м= 2 пъти. Ние имаме: ° С 10 2 = 45 и по-нататък: П 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Вероятността това събитие да се случи се увеличи!

Пример 3. Нека увеличим вероятността самото събитие да се случи. Нека го направим по-вероятно. Изчислете вероятността събитие, което има вероятност стр= 0,8, инча н= Ще се случат 10 опита м= 1 път. Ние имаме: ° С 10 1 = 10 и по-нататък: П 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Вероятността е станала по-малка, отколкото в първия пример! Отговорът на пръв поглед изглежда странен, но тъй като събитието има доста голяма вероятност, е малко вероятно да се случи само веднъж. По-вероятно е това да се случи повече от веднъж. Наистина, броене П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , П 10 (вероятност събитие в н= 10 опита ще се случат 0, 1, 2, 3, , 10 пъти), ще видим:

° С 10 0 = 1 , ° С 10 1 = 10 , ° С 10 2 = 45 , ° С 10 3 = 120 , ° С 10 4 = 210 , ° С 10 5 = 252 ,
° С 10 6 = 210 , ° С 10 7 = 120 , ° С 10 8 = 45 , ° С 10 9 = 10 , ° С 10 10 = 1 ;

П 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000;
П 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000;
П 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 8 = 0,0000;
П 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008;
П 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055;
П 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264;
П 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881;
П 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013;
П 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020(най-висока вероятност!);
П 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684;
П 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074

Разбира се П 0 + П 1 + П 2 + П 3 + П 4 + П 5 + П 6 + П 7 + П 8 + П 9 + П 10 = 1 .

Нормална дистрибуция

Ако изобразим количествата П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , П 10, които изчислихме в пример 3, на графиката се оказва, че тяхното разпределение има вид, близък до нормалния закон на разпределение (виж фиг. 27.1) (виж лекция 25. Моделиране на нормално разпределени случайни променливи).

Ориз. 27.1. Тип биномно разпределение
вероятности за различни m при p = 0,8, n = 10

Биномният закон става нормален, ако вероятностите за настъпване и ненастъпване на събитие А са приблизително еднакви, т.е. можем условно да напишем: стр≈ (1 стр) . Например, нека вземем н= 10 и стр= 0,5 (т.е стр= 1 стр = 0.5 ).

Смислено ще стигнем до такъв проблем, ако например искаме теоретично да изчислим колко момчета и колко момичета ще има на 10 деца, родени в родилния дом в един и същи ден. По-точно ще броим не момчета и момичета, а вероятността да се родят само момчета, да се родят 1 момче и 9 момичета, да се родят 2 момчета и 8 момичета и т.н. Нека приемем за простота, че вероятността да имате момче и момиче е една и съща и равна на 0,5 (но всъщност, честно казано, това не е така, вижте курса „Моделиране на системи с изкуствен интелект“).

Ясно е, че разпределението ще бъде симетрично, тъй като вероятността да имаш 3 момчета и 7 момичета е равна на вероятността да имаш 7 момчета и 3 момичета. Най-голяма вероятност за раждане ще има 5 момчета и 5 момичета. Тази вероятност е равна на 0,25, между другото, не е толкова голяма в абсолютна стойност. Освен това вероятността 10 или 9 момчета да се родят наведнъж е много по-малка от вероятността 5 ± 1 момче да се роди от 10 деца. Биномното разпределение ще ни помогне да направим това изчисление. Така.

П 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977;
П 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766;
П 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945;
П 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188;
П 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078;
П 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094;
П 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078;
П 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188;
П 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945;
П 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766;
П 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977

Разбира се П 0 + П 1 + П 2 + П 3 + П 4 + П 5 + П 6 + П 7 + П 8 + П 9 + П 10 = 1 .

Нека изведем количествата на графиката П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , П 10 (виж Фиг. 27.2).

Ориз. 27.2. Графика на биномно разпределение с параметри
p = 0,5 и n = 10, което го доближава до нормалния закон

И така, при условията м ≈ н/2 и стр≈ 1 стрили стр≈ 0,5 вместо биномно разпределение можете да използвате нормалното. За големи стойности нграфиката се измества надясно и става все по-плоска, тъй като математическото очакване и дисперсията се увеличават с увеличаване н : М = н · стр , д = н · стр· (1 стр) .

Между другото, биномният закон клони към нормално и с нарастване н, което е съвсем естествено, съгласно централната гранична теорема (виж лекция 34. Записване и обработка на статистически резултати).

Сега помислете как биномният закон се променя в случай, когато стр ≠ р, това е стр> 0 . В този случай хипотезата за нормално разпределение не може да бъде приложена и биномиалното разпределение се превръща в разпределение на Поасон.

Поасоново разпределение

Разпределението на Поасон е специален случай на биномното разпределение (с н>> 0 и при стр>0 (редки събития)).

От математиката е известна формула, която ви позволява приблизително да изчислите стойността на всеки член на биномното разпределение:

Където а = н · стр Параметър на Поасон (математическо очакване), а дисперсията е равна на математическото очакване. Нека представим математически изчисления, които обясняват този преход. Биномен закон на разпределение

П м = ° С н м · стр м· (1 стр) н м

може да се напише, ако поставите стр = а/н , като

защото стре много малък, тогава трябва да се вземат предвид само числата м, малък в сравнение с н. работа

много близо до единството. Същото важи и за размера

величина

много близо до д а. От тук получаваме формулата:

Пример. Кутията съдържа н= 100 части, както качествени, така и дефектни. Вероятността да получите дефектен продукт е стр= 0,01. Да кажем, че извадим продукт, установим дали е дефектен или не и го върнем обратно. По този начин се оказа, че от 100 продукта, през които преминахме, два се оказаха дефектни. Каква е вероятността от това?

От биномното разпределение получаваме:

От разпределението на Поасон получаваме:

Както можете да видите, стойностите се оказаха близки, така че в случай на редки събития е напълно приемливо да се приложи законът на Поасон, особено след като изисква по-малко изчислителни усилия.

Нека покажем графично формата на закона на Поасон. Да вземем параметрите като пример стр = 0.05 , н= 10. Тогава:

П 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987;
П 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151;
П 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746;
П 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105;
П 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096;
П 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006;
П 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000;
П 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000;
П 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000;
П 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000;
П 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000

Разбира се П 0 + П 1 + П 2 + П 3 + П 4 + П 5 + П 6 + П 7 + П 8 + П 9 + П 10 = 1 .

Ориз. 27.3. Графика на разпределението на Поасон при p = 0,05 и n = 10

При н> ∞ разпределението на Поасон се превръща в нормален закон, съгласно централната гранична теорема (вж.

Въведение

Теорията на вероятностите е математическа наука, която изучава моделите в случайни явления. Днес това е пълноценна наука с голямо практическо значение.

Историята на теорията на вероятностите датира от 17 век, когато са направени първите опити за систематично изследване на проблеми, свързани с масови случайни явления, и се е появил съответният математически апарат. Оттогава много основи са разработени и задълбочени до настоящите концепции и са открити други важни закони и модели. Много учени са работили и работят върху проблеми в теорията на вероятностите.

Сред тях не може да не се обърне внимание на трудовете на Симеон Дени Поасон ((1781–1840) - френски математик), който доказа по-обща форма на закона за големите числа от Якоб Бернули, а също така за първи път приложи теорията на вероятността за проблеми със стрелбата. Името на Поасон се свързва с един от законите за разпределение, който играе важна роля в теорията на вероятностите и нейните приложения.

Броят на случванията на определено случайно събитие за единица време, когато фактът на възникване на това събитие в даден експеримент не зависи от това колко пъти и в какви моменти от времето се е случило в миналото и не влияе на бъдещето. И тестовете се провеждат при стационарни условия, тогава законът на Поасон обикновено се използва за описание на разпределението на такава случайна променлива (това разпределение е предложено и публикувано за първи път от този учен през 1837 г.).

Този закон може да се опише и като ограничаващ случай на биномиалното разпределение, когато вероятността p за възникване на интересуващото ни събитие в един експеримент е много малка, но броят на експериментите m, извършени за единица време, е доста голям , а именно такава, че в процеса п

0 и m, произведението mp клони към някаква положителна постоянна стойност (т.е. mp).

Следователно законът на Поасон често се нарича още закон за редките събития.

Поасоново разпределение в теорията на вероятностите

Функционални и разпределителни серии

Разпределението на Поасон е специален случай на биномното разпределение (с н>> 0 и при стр–> 0 (редки събития)).

Където а = н · стре параметърът на Поасон (математическо очакване), а дисперсията е равна на математическото очакване. Нека представим математически изчисления, които обясняват този преход. Биномен закон на разпределение

следобед = C n m · p m· (1 - стр)н – м

може да се напише, ако поставите стр = а/н, като

защото стре много малък, тогава трябва да се вземат предвид само числата м, малък в сравнение с н. работа

много близо до единството. Същото важи и за размера

много близо до д –а. От тук получаваме формулата:

Число на Ойлер (2.71...). ,

За генериращата функция

разполагаме с количества:

Кумулативната функция на разпределение на вероятността е равна на

Класически пример за случайна променлива, разпределена според Поасон, е броят на автомобилите, преминаващи през определен участък от пътя за даден период от време. Можете също така да отбелязвате такива примери като броя на звездите в част от небето с даден размер, броя на грешките в текст с дадена дължина, броя на телефонните обаждания в кол център или броя на обажданията до уеб сървър за даден период от време.

Серията на разпределение на случайна променлива X, разпределена според закона на Поасон, изглежда така:

x m	0	1	2	…	м	…
следобед	е-а			…		…

На фиг. 1 са показани полигоните на разпределението на случайната променлива хспоред закона на Поасон, съответстващ на различни стойности на параметъра А.

Първо, нека се уверим, че последователността от вероятности може да бъде серия на разпределение, т.е. че сумата от всички вероятности Рмравно на едно.

Използваме разширението на функцията e xв поредицата Maclaurin:

Известно е, че този ред се събира за всяка стойност х, следователно, като х=а, получаваме

следователно

Числени характеристики на позицията на разпределението на Поасон

Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички нейни възможни стойности и техните вероятности.

По дефиниция, когато дискретна случайна променлива приема изброим набор от стойности:

Първият член на сумата (съответстващ м=0 ) е равно на нула, следователно сумирането може да започне от м=1 :

Така че параметърът Ане е нищо повече от математическото очакване на случайна променлива х.

В допълнение към математическото очакване, позицията на случайна променлива се характеризира с нейния мод и медиана.

Режимът на случайна променлива е нейната най-вероятна стойност.

За непрекъснато количество модата се нарича точка на локален максимум на функцията за плътност на вероятността. Ако полигон или крива на разпределение има един максимум (фиг. 2 а), тогава разпределението се нарича унимодално; ако има повече от един максимум, то е мултимодално (по-специално, разпределение с два режима се нарича бимодално). Разпределение, което има минимум, се нарича антимодално (фиг. 2 b)

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Най-вероятната стойност на случайна променлива е режимът, който осигурява глобалната максимална вероятност за дискретна случайна променлива или плътността на разпределение за непрекъсната случайна променлива.

Медианата е стойността на x l, която разделя площта под графиката на плътността на вероятността наполовина, т.е. Медианата е всеки корен на уравнението. Математическото очакване може да не съществува, но медианата винаги съществува и може да бъде нееднозначно дефинирана.

Медиана на случайна променлива

неговата стойност = x med се нарича така, че P (< x med) = Р ( >x med) = .

Числени характеристики на разсейването

Дисперсията на случайна променлива X е математическото очакване на квадратното отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване.

Където λ е равно на средния брой появявания на събития в идентични независими опити, т.е. λ = n × p, където p е вероятността за събитие в един опит, e = 2,71828.

Редът на разпределение по закона на Поасон има формата:

Цел на услугата. Онлайн калкулаторът се използва за конструиране на разпределението на Поасон и изчисляване на всички характеристики на реда: математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение. Протоколът с решението се съставя във формат Word.

В случай, когато n е голямо и λ = p n > 10, формулата на Поасон дава много грубо приближение и локалната и интегралната теореми на Moivre-Laplace се използват за изчисляване на P n (m).

Числени характеристики на случайната величина X

Очакване на разпределението на Поасон
M[X] = λ

Дисперсия на разпределението на Поасон
D[X] = λ

Пример №1. Семената съдържат 0,1% плевели. Каква е вероятността да намерите 5 семена от плевели, ако произволно изберете 2000 семена?
Решение.
Вероятността p е малка, но числото n е голямо. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Очаквана стойност: M[X] = λ = 2
дисперсия: D[X] = λ = 2

Пример №2. Сред семената на ръжта има 0,4% семена от плевели. Съставете закон за разпределение на броя на плевелите с произволен подбор от 5000 семена. Намерете математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.
Решение. Математическо очакване: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Дисперсия: D[X] = λ = 20
Закон за разпределение:

х	0	1	2	…	м	…
П	е -20	20е -20	200e -20	…	20 m e -20 /m!	…

Пример №3. При телефонна централа възниква неправилна връзка с вероятност 1/200. Намерете вероятността сред 200 връзки да се случи следното:
а) точно една неправилна връзка;
б) по-малко от три неправилни връзки;
в) повече от две неправилни връзки.
Решение.Според условията на задачата вероятността за събитието е ниска, затова използваме формулата на Поасон (15).
a) Дадено е: n = 200, p = 1/200, k = 1. Нека намерим P 200 (1).
Получаваме: . Тогава P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Дадено е: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Имаме: a = 1.

в) Дадено е: n = 200, p = 1/200, k > 2. Намерете P 200 (k > 2).
Този проблем може да бъде решен по-просто: намерете вероятността за обратното събитие, тъй като в този случай трябва да изчислите по-малко условия. Като вземем предвид предишния случай, имаме

Да разгледаме случая, когато n е достатъчно голямо и p достатъчно малко; нека поставим np = a, където a е някакво число. В този случай желаната вероятност се определя от формулата на Поасон:

Вероятността за настъпване на k събития за период от време t може също да бъде намерена с помощта на формулата на Поасон:
където λ е интензивността на потока от събития, т.е. средният брой събития, които се появяват за единица време.

Пример №4. Вероятността частта да е дефектна е 0,005. Проверени са 400 части. Дайте формула за изчисляване на вероятността повече от 3 части да са дефектни.

Пример №5. Вероятността за поява на дефектни части по време на масовото производство е p. определете вероятността една партида от N части да съдържа а) точно три части; б) не повече от три дефектни части.
р=0,001; N = 4500
Решение.
Вероятността p е малка, но числото n е голямо. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Случайната променлива X има диапазон от стойности (0,1,2,...,m). Вероятностите на тези стойности могат да бъдат намерени по формулата:

Нека намерим серията на разпространение на X.
Тук λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Тогава вероятността партида от N части да съдържа точно три части е равна на:

Тогава вероятността една партида от N части да съдържа не повече от три дефектни части:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Пример №6. Една автоматична телефонна централа получава N повиквания средно на час. Определете вероятността в дадена минута тя да получи: а) точно две обаждания; б) повече от две обаждания.
N=18
Решение.
За една минута автоматичната телефонна централа получава средно λ = 18/60 min. = 0,3
Ако приемем, че произволен брой X повиквания, получени в PBX за една минута,
се подчинява на закона на Поасон, използвайки формулата ще намерим желаната вероятност

Нека намерим серията на разпространение на X.
Тук λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Вероятността тя да получи точно две обаждания за дадена минута е:
P(2) = 0,03334
Вероятността тя да получи повече от две обаждания за дадена минута е:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Пример № 7. Разглеждат се два елемента, работещи независимо един от друг. Продължителността на безотказната работа има експоненциално разпределение с параметър λ1 = 0,02 за първия елемент и λ2 = 0,05 за втория елемент. Намерете вероятността след 10 часа: а) и двата елемента да работят безотказно; б) само вероятността елемент № 1 да не излезе от строя след 10 часа:
Решение.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0,02*10 = 0,8187

Вероятността елемент № 2 да не се повреди след 10 часа:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0,05*10 = 0,6065

а) двата елемента ще работят безупречно;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) само един елемент ще се повреди.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Пример №7. Производството произвежда 1% дефекти. Каква е вероятността от 1100 продукта, взети за изследване, не повече от 17 да бъдат отхвърлени?
Забележка: тъй като тук n*p =1100*0.01=11 > 10, е необходимо да се използва

Когато се разглеждат събития с ниска вероятност, които се случват в голяма поредица от независими опити определен (краен) брой пъти, вероятностите за настъпване на тези събития се подчиняват на закона на Поасон или закона на редките събития, където λ е равно на средния брой на възникване на събития в идентични независими опити, т.е. λ = n × p, където p е вероятността за събитие по време на едно изпитване, e = 2,71828, m е честотата на това събитие, математическото очакване M[X] е равно на λ.

Редът на разпределение по закона на Поасон има формата:

Числени характеристики на случайната величина X

Очакване на разпределението на Поасон
M[X] = λ

Дисперсия на разпределението на Поасон
D[X] = λ

Закон на Поасонможе да се използва за популации, които са достатъчно големи по обем (n > 100) и имат достатъчно малък дял единици, притежаващи тази характеристика (p< 0,1).
В този случай разпределението на Поасон може да се приложи, когато не само стойността на n – общият брой възможни резултати – не е известна, но и когато крайното число, което n може да представлява, не е известно. Когато има среден брой настъпвания на дадено събитие, вероятността събитието да се случи се описва от условията на разширението:
.
Следователно съответните вероятности са:

Следователно, ако средният брой земетресения е едно на месец, тогава m=1 и вероятността от събития на месец ще бъде както следва, изчислена от приблизителната стойност на e - m = 0,3679:

Пример. В резултат на проверка на 1000 партиди идентични продукти се получава следното разпределение на броя на дефектните продукти в партидата:

Нека да определим средния брой дефектни продукти в партида:
.
Намираме теоретичните честоти на закона на Поасон:

Емпирично и теоретично установено разпределение на Поасон:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

Сравнението показва, че емпиричното разпределение съответства на разпределението на Поасон.

Пример №2. Отделът за технически контрол провери n партиди от подобни продукти и установи, че броят на X нестандартни продукти в една партида има емпирично разпределение, показано в таблицата, един ред от която показва броя x i на нестандартни продукти в една партида, а другият ред показва броя на n i партиди, съдържащи x i нестандартни продукти. Изисква се да се тества хипотезата при ниво на значимост α=0,05, че случайната променлива X (броят нестандартни продукти в една партида) разпределени според закона на Поасон.

x i	0	1	2	3	4	5
n i	370	360	190	63	14	3

Нека проверим хипотезата, че X е разпределено върху Закон на ПоасонИзползване на услугата, проверка на статистически хипотези.

където p i е вероятността случайна променлива, разпределена по хипотетичен закон, да попадне в i-тия интервал; λ = x ср.
i = 0: p 0 = 0,3679, np 0 = 367,88
i = 1: p 1 = 0,3679, np 1 = 367,88
i = 2: p 2 = 0,1839, np 2 = 183,94
i = 3: p 3 = 0,0613, np 3 = 61,31
i = 4: p 4 = 0,0153, np 4 = 15,33
i = 5: p 5 = 0,0031, np 5 = 3,07
i = 6: 17 = 14 + 3
i = 6: 18,39=15,33 + 3,07

i	Наблюдавана честота n i	p i	Очаквана честота np i
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

Нека определим границата на критичната област. Тъй като статистиката на Pearson измерва разликата между емпиричните и теоретичните разпределения, колкото по-голяма е нейната наблюдавана стойност K obs, толкова по-силен е аргументът срещу основната хипотеза.
Следователно критичната област за тези статистики винаги е дясната :)